SKKN phát triển tư duy, năng lực học sinh thông qua hoạt động hình thành, phát triển các bài toán hàm ẩn từ những bài toán gốc

T

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NGHỆ AN
TRƯỜNG THPT ANH SƠN 1

===***===

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
Tên đê tài “Phát triển tư duy, năng lực học sinh thơng
qua hoạt động hình thành, phát triển các bài toán hàm ẩn
từ những bài toán gốc”

Người thực hiện: Nguyễn Công Trung
Ngày sinh : 09/ 08/ 1982
Chức vụ: Giáo viên
Đơn vị công tác: Trường THPT Anh Sơn 1

Anh Sơn, tháng 3 năm 2021
====================
1


MỤC LỤC
Phần 1. Đặt vấn đề

Trang 2

1.1 Lí do chọn đề tài

Trang 2

1.2 Đối tượng, phạm vi nghiên cứu

Trang 2

1.3 Mục đích sáng kiến

Trang 2

1.4 Nhiệm vụ nghiên cứu

Trang 2

1.5 Phương pháp nghiên cứu

Trang 3

1.6 Những đóng góp của đề tài

Trang 3

Phần 2. Nội dung đề tài

Trang 4

2.1 Cơ sở lí luận của đề tài

Trang 4

2.2 Cơ sở thực tiễn

Trang 5

2.3 Gải pháp phát triển tư duy, năng lực học sinh

Trang 5

2.3.1 Định hướng xây dựng bài toán xuất phát từ bài toán gốc

Trang 5

2.3.2 Thiết kế các hoạt động định hướng phát triển
a) Xây dựng các bài toán đơn điệu dựa trên bài toán gốc

Trang 5

b) Xây dựng các bài toán cực trị dựa trên bài toán gốc

Trang 12

c) Xây dựng các bài toán tương giao dựa trên bài toán gốc.

Trang 18

2.3.3. Tổ chức thực hiện đề tài

Trang 25

2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm

Trang 27

2.4.1. Đánh giá phẩm chất năng lực

Trang 27

2.4.2. Khả năng ứng dụng, triển khai sáng kiến kinh nghiệm

Trang 29

PHẦN III. Kết luận và kiến nghị

Trang 30

Tài liệu tham khảo

Trang 31

Phụ lục

Trang 32

Trang 5

2


3


PHẦN 1. ĐẶT VẤN ĐỀ

1.1.

Lí do chọn đề tài

Đối với mỗi giáo viên chúng ta, giảng dạy luôn luôn đặt mục tiêu nâng cao chất
lượng giáo dục , năng lực, tri thức, nhận thức của học sinh. Đặt mục tiêu làm sao để
tri thức, trí thức của học sinh được rèn luyện, mài dũa, một cách tốt nhất. Tôi nhận
thấy rằng rèn luyện tư duy, kĩ năng giải toán, làm việc sáng tạo là một việc cần thiết,
quan trọng để đáp ứng nhu cầu của học sinh và cũng là trách nhiệm của mỗi người
giáo viên khi giảng dạy.
Qua các kì thi THPT quốc gia và các đề thi thử trong các năm gần đây xuất hiện
khá nhiều bài toán yêu cầu học sinh biết liên hệ nhiều kiến thức, có những bài tốn
địi hỏi tư duy, khả năng liên hệ, kết hợp các kiến thưc, năng lực ở mức độ cao. Một
trong các bài tốn đó có khá nhiều bài liên quan đên các hàm hợp. Đây là phần bài
tốn trong các đề thi có đầy đủ các mức độ từ nhận biết, thông hiểu vận dụng thấp,vận
dụng cao; có khá nhiều vấn đề liên quan như đạo hàm của hàm số, bài tốn tính đơn
điệu, cực trị của hàm số, cũng như bài toán tương giao, hay là các bài tốn về phương
trình, phương trình chứa tham số, bài toán về đường tiệm cận, nguyên hàm, …
Từ những vấn đề đã nêu trên, tôi thật sự trăn trở làm sao để cỏ thể giúp học sinh
giải quyết được các bài tốn này một cách nhanh và chính xác; rèn luyện tư duy, nâng
cao năng lực cho học sinh, tôi đã liên hệ các kiến thức và mạnh dạn đưa ra sáng kiến
kinh nghiệm
‘’ Phát triển tư duy, năng lực học sinh thơng qua hoạt động hình thành, phát
triển các bài toán hàm ẩn từ những bài toán gốc’’.
1.2. Đối tượng, phạm vi nghiên cứu
- Học sinh lớp 12, học sinh ôn thi THPT
- Giáo viên giảng dạy môn Tốn bậc THPT.
1.3. Mục đích của sáng kiến
Trên các nghiên cứu về lý thuyết và thực tiễn, tôi đề xuất một số cách khai thác
và phát triển các dạng bài tập tốn từ một số bài tốn gốc, nhằm góp phần đổi mới

phương pháp dạy học, nâng cao kiến thức năng lực của học sinh.
1.4 Nhiệm vụ nghiên cứu
Nghiên cứu cơ sở lí thuyết và ứng dụng đạo hàm của hàm số.
Nghiên cứu phương pháp dạy học thich hợp: Hoạt động nhóm, dạy học dự án.
Xây dựng các tiêu chí, công cụ đánh giá kiến thức, phẩm chất năng lực học sinh.
Thực nghiệm sư phạm của để đánh giá hiệu quả của đề tài và có những điều
chỉnh, kiến nghị đề xuất phù hợp.
1.5. Phương pháp nghiên cứu
4


Phương pháp nghiên cứu lí thuyết.
Phương pháp thống kê.
Phương pháp tham vấn.
Phương pháp tổ chức hoạt động nhóm.
1.6. Những đóng góp của đề tài
Lựa chọn và nghiên cứu được cơ sở lí luân, cơ sở thực tiễn của hoạt động sáng
tạo khám phá bài toán mới.
Rèn luyện các phẩm chất trung thực trách nhiệm chăm chỉ, các năng lực tự chủ,
tự lực, tự học, giao tiếp hợp tác, giải quyết vấn đề sáng tạo, năng lực ngôn ngữ.
Rút ra được một số kinh nghiệm dạy học, phát huy tính tự giác, sáng tạo, tạo
hứng thú trong học tập cho học sinh.

5


PHẦN II. NỘI DUNG NGHIÊN CỨU
Hầu hết các giáo viên chúng ta khi giảng dạy cứ quan niệm nhẹ nhàng miễn sao
học sinh cỏ thể làm ra kết quả, đáp án đúng mà lãng quên bản chất, nguyên nhân xuất
phát của bài tốn từ đâu, vì thế đánh mất sự kết hợp liên quan giữa các yếu tố, kiến

thức, nhất là với hiện tại bây giờ các đề thi chủ yếu đánh giá năng lực bằng hình thức
trắc nghiệm. Nếu chúng ta chỉ truyền thụ kiến thức cơ bản cho học sinh mà bỏ qua
hoạt động rèn luyện tư duy,kết hợp kiến thức, liên hệ và phát triển thì khơng những
bản thân chúng ta sẽ bị mai một kiến thức , mà các em học sinh sẽ bị động trước một
vấn đề tưởng chừng như mới mẻ của toán học, khả năng suy luận, tư duy sáng tạo của
học sinh sẽ bị hạn chế.
2.1 Cơ sở lí luận của đề tài
2.1.1. Lí thuyết cần tìm hiểu :
- Hàm số hợp và đạo hàm của hàm số hợp
- Các ứng dụng của đạo hàm:
+) Tính đơn điệu hàm số.
+) Cực rị hàm số.
+) Tương giao giữa đồ thị các hàm số
2.1.2. Nghiên cứu phương pháp phát triển bài toán mới liên quan
Các định hướng xây dựng bài toán xuất phát từ bài toán gốc
Bài toán gốc: Cho hàm số
y = f ( x).

Tính đơn điêu
hàm số

Cực trị hàm
số

g ( x) = f (u ( x))

g ( x) = f (u ( x ))
u ( x),

Tương giao:

Nghiệm phương
trình

f (u ( x)) = 0

Ơ đây chúng ta xây dựng các
là đa thức ẩn x, hoặc các biểu thức là căn
thức chứa x, logarit, mũ chứa x, hoặc là một biểu thức lượng giác.
2.2. Cơ sở thực tiễn
Thực trạng của việc tổ chức dạy học chủ đề gắn với việc giáo dục ý thức trách
nhiệm của học sinh.

6


Hứng thú học tập của học sinh trong việc tự tìm hiểu, sáng tạo, khám phá các bài
tập mới.
2.3. Giải pháp phát triển tư duy, năng lực học sinh thông qua hoạt động hình
thành, phát triển các bài tốn hàm ẩn từ những bài toán gốc.
2.3.1 Định hướng xây dựng bài toán xuất phát từ bài toán gốc về hàm số
Bài tốn gốc: Cho hàm số
y = f ( x).

Tính đơn điêu
hàm
số

Cực trị hàm
số

Tương giao: Nghiệm
phương trình

g ( x) = f (u ( x))

g ( x) = f (u ( x))

f (u ( x )) = 0

(
u ( x),

Ơ đây chúng ta xây dựng các
là đa thức ẩn x, hoặc các biểu thức là căn thức
chứa x, logarit,m.mũ chứa x, hoặc là một biểu thức lượng giác, cũng cỏ thể là biểu thức
chứa tham số
2.3.2 Thiết kế các hoạt động định hướng phát triển các bài toán xuất phát từ bài
toán gốc
+) Định hướng phát triển bài toán đơn điệu.
+) Định hướng phát triển bài toán cực trị.
+) Định hướng phát triển bài toán tương giao
a) Xây dựng các bài toán đơn điệu dựa trên bài toán gốc
Bài toán gốc 1. Cho hàm số

y = 2 x 2 + 1.

Mệnh đề nào dưới đây đúng?
(−1;1).

A.

Hàm số nghịch biến trên khoảng

B.

Hàm số đồng biến trên khoảng

C.

Hàm số đồng biến trên khoảng

D.

Hàm số nghịch biến trên khoảng
( Câu 21 mã đề 104 đề thi THPTQG năm 2017)
Lời giải

(0; +∞).
(−∞;0).
(0; +∞).

7


Tập xác định
y' =

Ta có

¡

2x
2x2 + 1

>0⇔ x>0

Vậy hàm số đồng biến trên khoảng

(0; +∞).

Chọn đáp án B.
Ta có thể đánh giá bài toán trên ở mức vận dụng thấp, để nhằm giải quyết những
bài tốn dạng này thì học sinh chỉ cần nắm vững đạo hàm của hàm hợp, đồng thời
y'

nắm vững cách xét dấu
là làm được. Đặt vấn đề phát triển bài toán tương tự,
chúng ta cỏ thể định hướng cho học sinh thay biểu thức trong căn bậc hai bằng
những đa thức bậc nhất, bậc hai, bậc ba khác. Chẳng hạn thay

2 x 2 + 1,

bởi các biểu

2 x + 1, −2 x + 1, 1 − x 2 , 3 x 2 + 2, 4 − x 2 , x 3 − 3 x 2 , − x3 + 4 x,...

thức như
Với biểu thức bậc nhất khi thay vào bài toán gốc ta được lớp bài tốn ở mức độ
thơng hiểu, ví dụ như bài sau.
Bài 1. Cho hàm số

A.

B.

y = 2 x + 1.

Mệnh đề nào dưới đây đúng ?

Hàm số đồng biến trên đạn

¡.

Hàm số đồng biến trên khoảng

1
(− ; +∞).
2

C.

Hàm số nghịch biến trên khoảng

D.

Hàm số nghịch biến trên khoảng

1
(− ; +∞).
2
¡.

Giải

Tập xác định

1
[ − ; +∞).
2

8


y' =

Ta có

1
2x + 1

⇒ y' > 0

1
∀x > − .
2
1
với
(− ; +∞).
2

Vậy hàm số đồng biến trên khoảng

Đáp án B.
Với biểu thức bậc hai, bậc ba khi thay vào bài toán gốc ta được lớp bài toán ở
mức độ nhận biết tương đương bài toán gốc.
Bài 2. Cho hàm số

y = 1 − x2 .

Mệnh đề nào dưới đây đúng?
[0;1].

A.

Hàm số đồng biến trên đạn

D.

Hàm số nghịch biến trên khoảng

(0;1).
B. Hàm số đồng biến trên khoảng (0;1).
C. Hàm số nghịch biến trên khoảng ( −1; 0).

Giải
Tập xác định
y'=

Ta có

[−1;1].

−x
1 − x2

⇒ y' < 0

khi

0 < x <1

và

y'> 0

khi

−1 < x < 0

(0;1).

Vậy hàm số nghịch biến trên khoảng
Đáp án C.
y = 3x 2 + 2.
Bài 3. Cho hàm số
Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A.

Hàm số nghịch biến trên khoảng

B.

Hàm số đồng biến trên khoảng

C.

Hàm số đồng biến trên khoảng

(−1;1).

(0; +∞).
(−∞;0).

Hàm số nghịch biến trên khoảng
Đáp án B.

(0; +∞).

D.

Bài 4. Cho hàm số

y = x3 − 3x 2 .

Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A.

Hàm số đồng biến trên khoảng

B.

Hàm số đồng biến trên khoảng

(3; +∞).

(2; +∞).
9


C.

Hàm số nghịch biến trên khoảng

D.

Hàm số nghịch biến trên khoảng

Đáp án A.
Bài 5. Cho hàm số

y = − x3 + 4 x .

(2; +∞).
(3; +∞).

Mệnh đề nào dưới đây đúng?
(0; 2).

A.

Hàm số đồng biến trên khoảng

B.

Hàm số đồng biến trên khoảng

C.

Hàm số nghịch biến trên khoảng

D.

Hàm số nghịch biến trên khoảng

(−∞; 2).
(0; 2).
( −∞; 2).

Đáp án D.
y=

Bài 6. Cho hàm số

x −1
.
x +1

Mệnh đề nào dưới đây đúng?
(−1;1).

A.

Hàm số đồng biến trên khoảng

B.

Hàm số đồng biến trên khoảng

C.

Hàm số nghịch biến trên khoảng

D.

Hàm số nghịch biến trên khoảng

(−∞; −1).
(1; +∞).
(−∞; −1).

Đáp án B.
m,

Khi kết hợp các biểu thức ở các dạng trên nhưng có chứa tham số
thay vào
bài tốn gốc thu được lớp bài toán ở mức vận dụng, khi tổ chức thực hiện thì có nhiều
em đã sáng tạo ra nhiều bài toán hay.
y=

x −1
.

x−m

Bài 7. Cho hàm số
trên các khoảng xác định là?
(1; +∞).
A.

B.

Tập tất cả các giá trị tham số

(−∞;1].

C.

[1; +∞).

m

để hàm số đồng biến

D.

(−∞;1).

Giải
10


−m + 1

( x − m) 2

y' =

Ta có
Khi
Khi
nên

m = 1,

ta có

m < 1,

ta có

m < 1,
m > 1,


x −1 
:  2
÷
÷
 x−m 

y ' = 0, ∀ x ≠ 1,

nên khơng thỏ mãn u cầu bài tốn

y ' > 0, ∀x ∈ (−∞; m) ∪ (1; +∞),

hàm số đồng biến trên các khoảng xác đinh,

thỏa mãn yêu cầu bài tốn

Khi
ta có
bài tốn.
Đáp án A.

y ' < 0, ∀x ∈ (−∞;1) ∪ (m; +∞),

Bài 8. Cho hàm số

y = x 2 − 2mx + 2m − 1.

luôn đồng biến trên khoảng
(1; +∞).

B.

A.

(1; +∞),

y'=

Ta có :

Tập tất cả các giá trị tham số

m

để hàm số

là

(−∞;1].

Điều kiện xác định của hàm số

hàm số nghịch biến nên không thỏa mãn

C.
Giải

[1; +∞).

D.

(−∞;1).

x 2 − 2mx + 2m − 1 ≥ 0.

x−m

x − 2mx + 2m − 1
2

Hàm số đã cho luôn đồng biến trên khoảng

(1; +∞),

 x − m ≥ 0, ∀x ≥ 1 m ≤ 1
⇔
⇔ m < 1.

2
m
−
1
<
1
m
<
1



khi và chỉ khi

Đáp án D.
Bài 9. Cho hàm số
trên khoảng

(1; +∞),

0

Đáp án D.
A.

y = x 2 − 2mx + 1.

Số giá trị m nguyên để hàm số luôn đồng biến

là
B.

1.

C.

2.

D.

3.

11


Bài 10. Cho hàm số

y = x 3 − 3mx 2 .

đồng biến trên các khoảng
(0; +∞ ).

(0;1),

B.

A.

Tập tất cả các giá trị tham số

m

để hàm số luôn

là

( −∞;0).

C.

[0; +∞ ).

D.

( −∞;0].

Đáp án B.
u ( x),

x,

Khi thay

bởi

v( x ),

và kết hợp cộng với một hàm số

được lớp bài toán hàm số dạng
Bài 11. Cho hàm số
(
A.

g ( x ) = f (u ( x )) + g(x).

y = 2 x 2 + 1 − x + 1.

2
; +∞).
2

(−∞;

B.

vào bài toán gốc thu

Tạo ra nhiều bài toán hay.

Hàm số đồng biến trên khoảng nào ?

2
).
2

C.

( +0; ∞).

D.

( −∞;0).

Đáp án A.
Bài 12. Cho hàm số

y = 2 x 2 + 1 − x 2 + 3.

(0; +∞ ).

B.

A.

( −∞;0).

Hàm số đồng biến trên khoảng nào ?
C.

¡.

D.

( −∞; 0);(0; +∞).

Đáp án B.
Bài toán gốc 2. Cho hàm số

f ( x ),

x −∞
Hàm số

y = f ( x)

f '( x)

bảng xét dấu hàm số

−3
0

+

−1
0

−

như sau

+∞

nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?

(−3; +∞ ).
A.

−

f '( x )

B.

(−3; −1).

(−1; +∞).

C.
Giải

D.

Dựa vào bảng biến thiên ta có hàm số nghịch biến trên các khoảng
Đáp án C

( −∞; −1).

( −∞; −3);( −1;1)

12

Thực hiện phát triển bài toán một cách tương tự bài toán gốc 1, ta thu được một
số dạng bài toán
Bài 1. Cho hàm số

f ( x),

xác định trên

x −∞
f '( x)
Hàm số

y = f (3 − 2 x)

−

¡,

có bảng xét dấu hàm số

−3

+

0

−1
0

−

f '( x)

như sau

+∞

nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?

(2; +∞)

B.

A.

(3; +∞).

C.

(−∞;3).

D.

(2;3).

Giải

Ta có

3 − 2 x < −3  x > 3
y ' = −2. f '(3 − 2 x) < 0 ⇔ f '(3 − 2 x) > 0 ⇔ 
⇔
3 − 2 x > −1  x < 2
(−∞; 2);(3; +∞).

Vậy hàm số nghịch biến trên các khoảng
Đáp án B.
Bài 2. Cho hàm số

f ( x),

xác định trên

x −∞
Hàm số

A.

x +1
y= f(
)
x −1

1
(0; ).
2

f '( x)

−

¡,

có bảng xét dấu hàm số

−3
0

+

−1
0

−

+∞

f '( x)

như sau

nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?

B.

1
(−∞; ).
2

C.

(0;1).

D.

(1; +∞).

Giải

Ta có

 4x − 2
 x − 1 > 0
−2
x +1
x +1
x +1
1
y' =
. f '(
) < 0 ⇔ f '(
) > 0 ⇔ −3 <
< −1 ⇔ 
⇔0< x<
2
( x − 1)
x −1
x −1

x −1
2
 2x < 0
 x − 1
13


1
(0; ).
2

Vậy hàm số đồng biến trên
Đáp án A
Bài 3. Cho hàm số

f ( x),

xác định trên

x −∞
f '( x)
Hàm số
A.

y = f ( 2 x + 4)

−

B.

−3

(−2; +∞ ).

f ( x),

C.

xác định trên

x −∞
f '( x)
Hàm số

(2; +∞).
A.

+

0

Đáp án B

y = f ( x2 − 4x )

có bảng xét dấu hàm số

−1
0

−

f '( x)

như sau

+∞

đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

¡.

Bài 4. Cho hàm số

¡,

−

¡,

D.

có bảng xét dấu hàm số

−3
0

(−3; −1).

+

−1
0

−

(−3; +∞).

f '( x)

như sau

+∞

đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
B.

(0; 2).

C.

( −∞; 2).

D.

( −∞;0).

Giải
Tập xác định

D = (−∞;0] ∪ [4; +∞).

Ta có

14


y'=

  x − 2 > 0

2
 −3 < x − 4 x < −1

x−2
. f '( x 2 − 4 x ) > 0 ⇔   x − 2 < 0
⇔ x<2
x2 − 4 x
   2
   x − 4 x < −3
 2
   x − 4 x > −1

Kết hợp tập xác định ta có

hàm số đồng biến trên

( −∞;0).

Đáp án D.

Bài 5. Cho hàm số

f ( x),

xác định trên

x −∞
f '( x)
Hàm số

y = f ( − x2 + 2 x )

(1; 2).

−3
0

(0;1).

Bài 6. Cho hàm số

+
C.

Đáp án B
f ( x),

có bảng xét dấu hàm số

−1

0

−

f '( x)

như sau

+∞

đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
B.

A.

−

¡,

xác định trên

x −∞

−

¡,

(0; 2).

D.

có bảng xét dấu hàm số

−1

−3

−

(−3; −1).

f '( x)

như sau

+∞

(0; 2)
y = f (x − m + 1)
0
+
0
Tập tất cả các giá trị của m để hàm số
đồng biến trên các khoảng

f '( x)

là.
(0; 4).

B.

A.

[0; 4].

C.

(0; 2).

D.

[0; 2].

Đáp án B
¡,
f ( x),
f '( x)
Bài 7. Cho hàm số
xác định trên
có bảng xét dấu hàm số
như sau

x −∞
f '( x)

−

−3
0

+

−1
0

−

+∞

15


y= f(

Tập giá trị m nguyên để hàm số
A.

¡.

B.

−x + m
)
x +1

¡ \{−1}.

đồng biến trên khoảng
(−∞;1).

C.

D.

(−1; +∞)

là

(−1; +∞).

Đáp án C
b) Xây dựng các bài toán cực trị dựa trên bài toán gốc
Bài toán gốc. Cho hàm số

y = f ( x),

x −∞
+∞
f '( x)

liên tục trên

1

¡,

+∞
+∞

1

0

2
−1

−3
f '( x )

và có bảng biến thiên của hàm số

như sau

Số điểm cực trị của hàm số
A.

1.

B.

y = f ( x)
2.

là
3.

C.
Giải

D.

5.

Dựa vào bảng trên ta có hàm số có 3 cực trị
Đáp án C.
Chúng ta có thể định hướng mẫu cho học sinh phát triển thành các bài toán như
sau từ bài toán gốc. Tìm số điểm cực trị của hàm số
u ( x)

y = f (u(x))

, lưu ý các biểu thức

không cho một cách tùy ý bởi nhiều khi không giải quyết được số nghiệm các

phương trình

u ( x)

=a

16


Bài 1. Cho hàm số
như sau

y = f ( x),

x −∞
+∞
f '( x)

liên tục trên

1

¡,

và có bảng biến thiên của hàm số

1

0

2

A.

4.

Xét hàm số

B.

+∞
+∞

−1

−3
Số điểm cực trị của hàm số

f '( x)

y = g ( x) = f (1 − 2 x)
3.

y = g ( x) = f (1 − 2 x),

là
6.

C.
Giải

D.

5.

ta có

1 − 2 x = x1 ∈ (−∞; −1)

1 − 2 x = x2 ∈ (−1; 0)
g'(x) = −2 f '(1 − 2 x) = 0 ⇔ 
1 − 2 x = x3 ∈ (0;1)

1 − 2 x = x4 ∈ (1; +∞)

Vậy chứng tỏ phương trình

g '( x) = 0,

có 4 nghiệm đơn phân biệt, suy ra hàm số

y = g ( x),

có 4 điểm cực trị
Đáp án A
x

Khi chúng ta thay
bởi biểu thức
thi trong kì thi THPTQG năm 2019
Bài 2. Cho hàm số
như sau

y = f ( x),

x −∞
+∞
f '( x)

liên tục trên

1

x 2 − 2 x,

¡,

0

thì thu được bài tốn đã từng được

và có bảng biến thiên của hàm số

1

2
−3

−1

f '( x)

+∞
+∞
17


y = f ( x 2 − 2 x)

Số điểm cực trị của hàm số
B.

9.

B.

3.

7.

C.
Lời giải

Từ bảng biến thiên ta có phương trình
Xét hàm số

y = f ( x 2 − 2 x ),

là
D.

5.

 x = a, a ∈ (−∞; −1)
 x = b, b ∈ (−1;0)
⇔
 x = c, c ∈ (0;1)

f '( x ) = 0
 x = d , d ∈ (1; +∞)

ta có

x = 1

 2
x − 2x = a
x
=
1


y ' = 2( x − 1) f '( x 2 − 2 x) = 0 ⇔ 
⇔ x 2 − 2 x = b
2
 f '(x − 2 x) = 0
x2 − 2x = c

x2 − 2x = d


Do

x 2 − 2 x = ( x − 1)2 − 1 ≥ −1,

Phương trình
Phương trình

(1)
(2)

với
với

(1)

(2)
(3)
(4)

suy ra ta có:

a < −1

vơ nghiệm;

b ∈ ( −1; 0)

có hai nghiệm phân biệt khác

1

;

(3)
c ∈ (0;1)
1
Phương trình(2) với
có hai nghiệm phân biệt khác và khác các nghiệm

của phương trình

;

(4)

d ∈ (1; +∞)
1
với(2)
và khác các
(3). có hai nghiệm phân biệt khác

Phương trình
nghiệm của phương trình

và

y'= 0
2
Vậy phươngytrình
= f ( x − 2 x) có 7 nghiệm phân biệt và qua các gia trị nghiệm đó đổi

dấu nên hàm số

có 7 điểm cực trị.

Đáp án C.
Đây là bài tốn địi hỏi người làm được cần có một năng lực tốn học tốt, biết
kết hợp, vận dụng nhiều kiến thức liên quan như đạo hàm của hàm hợp, kĩ năng đọc
bảng biến thiên, kĩ năng giải và biện luận số nghiệm của phương trình. Sau đây tơi
xin trình bày một số bài tốn được phát triển.
18


Bài 3. Cho hàm số
như sau

y = f ( x),

x −∞
+∞
f '( x)

liên tục trên

1

¡,

và có bảng biến thiên của hàm số

1

0

2

A.

1.

y = f ( x − 1)

B.

Xét hàm số

Do

x − 1 ≥ 0,

là

3.

2.

C.
Lời giải

Từ bảng biến thiên ta có phương trình

y = f ( x − 1),

+∞
+∞

−1

−3
Số điểm cực trị của hàm số

f '( x)

ta có

D.

4.

 x = a, a ∈ (−∞; −1)
 x = b, b ∈ (−1;0)

 x = c, c ∈ (0;1)

f '( x) = 0 ⇔  x = d , d ∈ (1; +∞)




1
y' =
f '( x − 1) = 0 ⇔ 
2 x −1




x − 1 = a (1)
x − 1 = b (2)
x − 1 = c (3)
x − 1 = d (4)

suy ra ta có:

Các phương trình
Phương trình

Phương trình

(3)

(4)

(1);(2)

với
với

vơ nghiệm;

c ∈ (0;1)

có nghiệm là

d ∈ (1; +∞)

có nghiệm

x = c 2 + 1 ∈ (1; 2)
x = d 2 + 1∈ (1; +∞)

y'= 0
Vậy phương trình
y = f ( x −có
1) 2 nghiệm lẻ phân biệt và qua các gia trị nghiệm đó

đổi dấu nên hàm số

có 2 điểm cực trị.

Đáp án C.

19


Bài 4. Cho hàm số
như sau

y = f ( x),

x −∞
+∞
f '( x)

liên tục trên

1

−1

y = f ( x 2 + 1)

B.

3.

C.

Lời giải

y' =

Do

x 2 + 1 ≥ 1, ∀ x ∈ ¡

Phương trình

(4)

ta có

với

Vậy phương trình
cực trị.

D.

4.

 x = a, a ∈ (−∞; −1)
 x = b, b ∈ (−1;0)

 x = c, c ∈ (0;1)

f ( x) = 0 ⇔  x = d , d ∈ (1; +∞)

x = 0
 2
 x +1 = a

x
f '( x 2 + 1) = 0 ⇔  x 2 + 1 = b
x2 + 1
 2
 x +1 = c
 2
 x +1 = d

(1)
(2)
(3)
(4)

suy ra ta có:
(1);(2); (3)

Các phương trình

là

2.

Từ bảng biến thiên ta có phương trình

y = f ( x 2 + 1),

f '( x)

+∞
+∞

1

0

−3

1.

Xét hàm số

và có bảng biến thiên của hàm số

2

Số điểm cực trị của hàm số
A.

¡,

vơ nghiệm;

d ∈ (1; +∞)

y'= 0

có nghiệm

x = ± d 2 −1 ≠ 0

có 3 nghiệm lẻ phân biệt nên hàm số

y = f ( x 2 + 1)

có 3 điểm
20


Đáp án C.
Bài 5. Cho hàm số

y = f ( x),

f '( x)

bảng biến thiên của hàm số

x −∞
+∞
f '( x)

1

+∞
+∞

1

0

2
−1

−3
Tìm số điểm cực trị của hàm số
2

như sau

y = 3 f ( x) + 2 f ( x)

.

3

4

5

A. .
B. .
C. .
D. .
Đáp án D
Chúng ta cỏ thể định hướng mẫu cho học sinh phát triển thành các bài toán như
sau từ bài tốn gốc. Tìm số điểm cực trị của hàm số

số bài toán khá hay.
Bài 6. Cho hàm số

y = f ( x),

x −∞
+∞
f '( x)

f '( x)

bảng biến thiên của hàm số

1

0

Số điểm cực trị của hàm số

như sau

−1

g ( x ) = f ( x − 2019 ) − 2020 x + 2021

1.

ta được một

+∞

+∞

1

2
−3

A.

y = f (u(x)) + v(x),

B.

2.

C.

là

3.

D.

4.

Lời giải.

Ta có

g ′ ( x ) = f ' ( x − 2019 ) − 2020; g ′ ( x ) = 0 ⇔ f ' ( x − 2019 ) = 2020.

Dựa vào đồ thị hàm số

y = f '( x)

đơn duy nhất. Suy ra hàm số

g ( x)

suy ra phương trình
có

1

f ' ( x − 2017 ) = 2018

có

1

nghiệm

điểm cực trị.
21


Đáp án A.
Bài 7. Cho hàm số

y = f ( x),

x −∞
+∞
f '( x)

bảng biến thiên của hàm số

1

2
−1

Tìm số điểm cực trị của hàm số
2.

A.
Đáp án A

B.
y = f ( x),

x −∞
+∞
f '( x)

y = g ( x) = f ( x) − x + 2.
3.

C.

f '( x)

B.
y = f ( x),

3.

1 2
x + 2 x − 2.
2

C.

0.

bảng biến thiên của hàm số

1

0

1

2
−3

như sau

−1

Tìm số điểm cực trị của hàm số
2.

1.

+∞
+∞

2

y = g ( x) = f ( x) −

x −∞
+∞
f '( x)

D.

1

0

−3

Bài 9. Cho hàm số

0.

bảng biến thiên của hàm số

1

A.
Đáp án C

như sau

+∞
+∞

1

0

−3

Bài 8. Cho hàm số

f '( x)

D.
f '( x)

1.

như sau

+∞
+∞

−1

22


Tìm số điểm cực trị của hàm số

1
2
y = g ( x) = f ( x) + x3 − 2 x + .
3
3

2.

3.

4.

A.
B.
C.
Đáp án A
c) Xây dựng các bài toán tương giao dựa trên bài toán gốc.

D.

1.

Với các định hướng tương tự như trên, chúng ta cỏ thể đưa ra các bài toán gốc về

tương giao của các đồ thị, hay bài tốn tìm số nghiệm của một phương trình đê các
em phát triển bài toán tương tự và các bài tốn nâng cao lên ở mức độ khó hơn
Bài toán gốc. Cho hàm số bậc ba

y = f ( x)

f ( x) = 2

Số nghiệm thực của phương trình
A.

3.

B.

Số giao điểm của đồ thị hàm số
của phương trình là 3

có đồ thị như hình vẽ dưới đây.

là

2.

C.

y = f ( x )Giải

1.

với đường thẳng

D.
y = 2,

0.

là 3 nên số nghiệm

Đáp án A

u ( x),

Ta cỏ thể định hướng cho học sinh phát triển bằng cách thế x bởi
hoặc là
vận dụng phép biến đổi đồ thị, hoặc kết hợp cả hai để tạo ra những bài toán mới
Bài 1. Cho hàm số bậc ba

y = f ( x)

có đồ thị như hình vẽ dưới đây.

23


f ( 2 x − 1) = 2

Số nghiệm thực của phương trình
A.

3.

B.

2.

là
C.

1.

D.

0.

Giải

Từ đồ thị ta có

 2 x − 1 = x1 ∈ ( −1;0) : vn

.
 2 x − 1 = x2 ∈ (1; 2)

 2 x − 1 = x3 ∈ (2;3)

Suy ra phương trình có hai nghiệm
y = f ( x ) phân biệt. Đáp án B
Bài 2. Cho hàm số bậc ba

có đồ thị như hình vẽ dưới đây.

Số nghiệm thực dương của phương trình

f (x 2 − 2 x) = 1

là
24


A.

3.

Từ đồ thị ta có

B.

2.

C.

5.

D.

4.

 x 2 − 2 x = x1 ∈ (−1;0)
 x 2 − 2 x − x1 = 0(1)

 2

⇔  x 2 − 2 x − 1 = 0(2) .
 x − 2x = 1
 x 2 − 2 x = x ∈ (1;3)
 x 2 − 2 x − x = 0(3)
3
3



Phương trình (1) có

∆ ' = 1 + x1 > 0

nên phương trình có 2 nghiệm phân biệt dương là

x = 1 ± ∆ '(0 < ∆ ' < 1)

Các phương trình (2); (3) mỗi phương trình có hai nghiệm trái dấu
Vậy phương trình đã cho có 4 nghiệm dương
Đáp án D
Bài 3. Cho hàm số bậc ba

y = f ( x)

có đồ thị như hình vẽ dưới đây.

f ( 2 x − 1) = 2

là

Số nghiệm thực của phương trình
A.

3.

B.

2.

C.

1.

D.

0.

25