Phương pháp newton suy rộng cho bài toán bất đẳng thức biến phân

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
KHOA TỐN HỌC
----------

KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP

PHƯƠNG PHÁP NEWTON SUY RỘNG
CHO BÀI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC
BIẾN PHÂN

Sinh viên thực hiện: Văn Bá Công – Lớp 16CTUDE
Giảng viên hướng dẫn: TS. Phạm Qúy Mười

--- Đà Nẵng, tháng 6 năm 2020 ---


ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
KHOA TỐN
*****

KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP

PHƯƠNG PHÁP NEWTON SUY RỘNG
CHO BÀI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC
BIẾN PHÂN

Sinh viên thực hiện: Văn Bá Công – Lớp 16CTUDE
Giảng viên hướng dẫn: TS. Phạm Qúy Mười

Đà Nẵng, tháng 6 năm 2020


LỜI CAM ĐOAN

Em xin cam đoan những kết quả được trình bày trong khóa luận tốt
nghiệp này là cơng trình nghiên cứu của riêng em. Các kết quả và số liệu
trong đề tài nghiên cứu là trung thực được trích dẫn nguồn đầy đủ hoặc
chưa từng công bố trong bất kỳ cơng trình của ai khác. Kết quả bài báo
viết chung với các tác giả khác đều nhận được sự nhất trí của các đồng
tác giả khi đưa vào luận văn tốt nghiệp.
Đà Nẵng, tháng 6 năm 2020
Tác giả
Văn Bá Công


LỜI CẢM ƠN

Khóa luận tốt nghiệp này được hồn thành tại khoa Toán trường đại
học Sư Phạm - Đại học Đà Nẵng. Sau một thời gian tích cực học tập và
nghiên cứu, dưới sự chỉ bảo tận tình của thầy giáo hướng dẫn, đến nay
luận văn của em đã hoàn thành.
Em xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành đến TS. Phạm Qúy Mười, người
đã tận tình hướng dẫn, giúp đỡ em trong quá trình học tập và nghiên cứu.
Em cũng xin gửi lời cảm ơn chân thành nhất đến tất cả các thầy cơ giáo
đã tận tình dạy bảo em trong suốt thời gian học tập tại Khoa Toán học.
Cuối cùng em xin chân thành cảm ơn gia đình, bạn bè và tập thể lớp
16CTUDE đã giúp đỡ, động viên, tạo điều kiện cho em hồn thành khóa
luận tốt nghiệp này.
Tác giả

Văn Bá Công


MỤC LỤC
MỞ ĐẦU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
CHƯƠNG 1. CƠ SỞ LÝ THUYẾT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.1. Không gian Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2. Không gian Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.3. Tích vơ hướng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.4. Hàm nhiều biến . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.5. Tập lồi - Nón lồi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.6. Toán tử và toán tử chiếu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.7. Điểm bất động . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.8. Bài toán bất đẳng thức biến phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .8
1.8.1. Phát biểu bài toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.8.2. Sự tồn tại và tính duy nhất nghiệm của bài toán bất đẳng
thức biến phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
CHƯƠNG 2. PHƯƠNG PHÁP NEWTON SUY RỘNG CHO
PHƯƠNG TRÌNH KHƠNG TRƠN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.1. Đạo hàm nghiêng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.1.1. Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.1.2. Một số tính chất của hàm khả vi nghiêng . . . . . . . . . . . . .17
2.2. Phương pháp Newton suy rộng cho phương trình khơng trơn 22


CHƯƠNG 3. PHƯƠNG PHÁP NEWTON SUY RỘNG CHO
BÀI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN . . . . . . . . . . . . 27
3.1. Phát biểu bài toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.2. Một số tính chất của tốn tử Φ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3.3. Thuật toán Newton suy rộng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

3.4. Ví dụ số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
KẾT LUẬN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48


1

MỞ ĐẦU

1. Lý do chọn đề tài
Bài toán bất đẳng thức biến phân là một bài toán quan trọng trong
toán học ứng dụng, được giới thiệu lần đầu tiên vào năm 1966 khi Philip
Hartman và Guido Stampacchia công bố những nghiên cứu đầu tiên của
mình về bất đẳng thức biến phân liên quan tới việc giải các bài toán biến
phân, bài toán điều khiển tối ưu và các bài toán biên trong lý thuyết
phương trình đạo hàm riêng. Bài tốn bất đẳng thức biến phân có quan
hệ mật thiết với các bài toán tối ưu khác và bài toán bù phi tuyến là một
trường hợp đặc biệt của bài toán bất đẳng thức biến phân[2, 5, 6].
Gần đây việc nghiên cứu bài toán bất đẳng thức biến phân bao hàm
nhiều lớp bài toán quan trọng thuộc các lĩnh vực khác nhau như bài toán
tối ưu, bài toán bù, bài toán điểm bất động của Brouwer, lý thuyết trị
chơi, bài tốn cân bằng Nash, bài tốn cân bằng mạng giao thơng,... Các
nhà nghiên cứu cũng chỉ ra rằng nhiều bài toán thực tế trong các lĩnh vực
kinh tế, đời sống và kỹ thuật có thể mơ tả được dưới dạng bài toán bất
đẳng thức biến phân[2, 6].
Cho tới nay, việc nghiên cứu bài tốn bất đẳng thức biến phân ln
nhận được sự quan tâm nghiên cứu của nhiều nhà toán học trong và ngồi
nước. Hai hướng nghiên cứu chính về bài toán bất đẳng thức biến phân
là nghiên cứu về các vấn đề định tính như: Sự tồn tại nghiệm, cấu trúc
tập nghiệm, tính ổn định,...và nghiên cứu về định lượng như đề xuất các

phương pháp, thuật tốn giải, tính hội tụ của các thuật toán,...
Với mong muốn nghiên cứu sâu hơn về bài toán bất đẳng thức biến
phân và được sự gợi ý của giáo viên hướng dẫn em chọn đề tài:"Phương
pháp Newton suy rộng cho bài toán bất đẳng thức biến phân" làm khóa
luận tốt nghiệp của mình. Khóa luận tập trung nghiên cứu một phương
pháp Newton suy rộng dựa trên khái niệm đạo hàm nghiêng và áp dụng
phương pháp này vào giải bài toán bù phi tuyến - Một trường hợp cụ thể


2

của bài toán bất đẳng thức biến phân. Hơn nữa, khóa luận cũng nghiên
cứu sự tồn tại và duy nhất nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân.
Nội dung của khóa luận được trình bày trong 3 chương. Ngồi ra, khóa
luận cịn có phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo.
Chương I: Cơ sở lý thuyết: Chương này, trình bày một số kiến thức cơ
bản về khơng gian Banach, khơng gian Rn , tích vơ hướng, tập lồi, toán tử
chiếu, điểm bất động và bài toán bất đẳng thức biến phân[1, 2, 3, 4, 5, 6].
Một số kết quả quan trọng về sự tồn tại và duy nhất nghiệm của bài toán
bất đẳng thức biến phân đã được viết thành bài báo khoa học và đăng
trên tạp chí khoa học trường đại học Sư Phạm Đà Nẵng[7].
Chương II: Phương pháp Newton suy rộng cho phương trình khơng
trơn. Chương này, trình bày định nghĩa đạo hàm nghiêng và tính chất
hàm khả vi nghiêng. Tiếp theo, áp dụng phương pháp Newton suy rộng
để giải phương trình khơng trơn[3, 8].
Chương III: Phương pháp Newton suy rộng cho bài toán bất đẳng thức
biến phân: Chương này, trình bày phương pháp Newton suy rộng để giải
bài toán bù phi tuyến[2, 9].
Hướng nghiên cứu tiếp là ứng dụng phương pháp Newton suy rộng vào
các bài toán khác nhau và nghiên cứu phương pháp tựa Newton suy rộng...

2. Mục tiêu và phương pháp nghiên cứu
Nhằm hiểu thấu đáo về bài toán bất đẳng thức biến phân, sự tồn tại
nghiệm, nghiệm duy nhất từ đó nghiên cứu tìm ra các phương pháp giải
bài tốn. Ngồi ra, em mong muốn sẽ đưa ra được những kết quả mới
nhằm đóng góp phần nào đó cho mảng nghiên cứu này.
Trong khóa luận này, em sử dụng phương pháp nghiên cứu các tài liệu
đã có liên quan đến bài toán cần nghiên cứu. Trước tiên, em thu thập các
bài báo khoa học[8, 9] của những tác giả đi trước liên quan đến bài toán
bất đẳng thức biến phân bù phi tuyến. Sau đó, tìm ra nhứng vấn đề cịn
mới để đi tìm lời giải, cuối cùng sử dụng phương pháp Newton suy rộng
để giải bài toán này.


3

3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Đối tượng nghiên cứu là sự tồn tại, duy nhất nghiệm của bài toán bất
đẳng thức biến phân và phương pháp Newton suy rộng để giải bài toán.
Phạm vi Nghiên cứu là các khía cạnh liên quan đến bài tốn bất đẳng
thức biến phân cụ thể là bù phi tuyến trong không gian Rn .
4. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn
Các kết quả nghiên cứu của đề tài góp phần bổ sung thêm các kết quả
lý thuyết của bài toán bất đẳng thức biến phân. Đồng thời, đề tài cũng
đóng góp vào việc tìm hiểu phương pháp Newton suy rộng để giải bài tốn
bất đẳng thức biến phân.
Bài nghiên cứu có thể sử dụng làm tài liệu tham khảo cho sinh viên,
học viên và các nghiên cứu sinh đang nghiên cứu về mảng này.


4

CHƯƠNG 1

CƠ SỞ LÝ THUYẾT

Chương này, trình bày một số kiến thức cơ bản về không gian Banach,
không gian Rn , tích vơ hướng, tập lồi, tốn tử chiếu, điểm bất động, bài
toán bất đẳng thức biến phân. Những kiến thức này sẽ được sử dụng ở
phần sau, việc chứng minh các tính chất, định lý trong chương này người
đọc có thể tham khảo ở các tài liệu[1, 2, 3, 4, 5, 6]. Một số kết quả quan
trọng về sự tồn tại và duy nhất nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến
phân đã được viết thành bài báo khoa học và đăng trên tạp chí khoa học
trường đại học Sư Phạm Đà Nẵng[7].
1.1. Không gian Banach
Định nghĩa 1.1.1. [Không gian định chuẩn]. Cho X là một không gian
vecto trên R và || · || : X → R là một hàm số thỏa mãn:
1. ∀x ∈ X : ||x|| ≥ 0; ||x|| = 0 khi và chỉ khi x = 0.
2. ||λx|| = |λ|||x||, với mọi λ ∈ R, x ∈ X .
3. ||x + y|| ≤ ||x|| + ||y||, với mọi x, y ∈ X .
Khi đó, cặp (X, || · ||) được gọi là không gian tuyến tính định chuẩn hay
gọi là khơng gian định chuẩn và hàm số || · || được gọi là một chuẩn trên

X.
Định nghĩa 1.1.2. [Sự hội tụ theo chuẩn]. Cho (X, || · ||) là một không
gian định chuẩn. Dãy (xn )n ⊂ X được gọi là hội tụ đến x trong không
gian X nếu lim ||xn − x|| = 0.
n→∞

Định nghĩa 1.1.3. [Dãy Cauchy]. Cho (xn )n là một dãy trong không gian
định chuẩn (X, || · ||). (xn )n được gọi là một dãy Cauchy nếu ∀ε > 0, ∃no ∈

N sao cho mọi n, m ≥ no ta có ||xn − xm || < ε.
Tính chất. Trong khơng gian định chuẩn X , mọi dãy hội tụ là Cauchy
cịn dãy Cauchy thì chưa chắc hội tụ. Trong trường hợp ngược lại là đúng
thì khơng gian định chuẩn X được gọi là không gian Banach.


5

Định nghĩa 1.1.4. [Không gian Banach]. Cho (X, || · ||) là không gian
định chuẩn. Nếu mọi dãy Cauchy trong X đều hội tụ về một điểm thuộc
X thì X được gọi là không gian Banach.
1.2. Không gian Rn
Định nghĩa 1.2.1. Ta ký hiệu Rn là tập hợp các bộ có thứ tự gồm n số
thực, Rn = {x = (x1 , x2 , ..., xn ) : xi ∈ R}. Khi n = 1, thì R1 là tập hợp
các số thực R. Khi n = 2, thì R2 là tập hợp các cặp số thực (x1 , x2 ) hay
tập hợp các điểm của mặt phẳng có tọa độ (x1 , x2 ). R2 được gọi là không
gian 2 chiều và các điểm của R2 thường được ký hiệu là (x, y) thay cho
(x1 , x2 ). Khi n = 3, thì R3 là tập hợp các bộ ba số thực (x1 , x2 , x3 ) hoặc
tập hợp các điểm trong không gian. R3 được gọi là không gian 3 chiều
và các điểm trong không gian thường được ký hiệu là (x, y, z) thay cho

(x1 , x2 , x3 ). Rn được gọi là không gian n chiều với mỗi phần tử của nó gọi
là một điểm hay véctơ. Nếu x = (x1 , x2 , ..., xn ) là một điểm của Rn thì
x1 , x2 , ..., xn cũng gọi là các tọa độ điểm x.
Định nghĩa 1.2.2. Khoảng cách giữa hai điểm x = (x1 , x2 , ..., xn ) và
y = (y1 , y2 , ..., yn ) của không gian Rn là số thực.

d(x, y) := ||x − y|| =

(x1 − y1 )2 + (x2 − y2 )2 + ... + (xn − yn )2 .

Tính chất 1.1. Với mọi điểm x, y, z của Rn , ta có:
(i) d(x, y) ≥ 0 và d(x, y) = 0 ⇐⇒ x = y ,
(ii) d(x, y) = d(y, x),
(iii) d(x, y) ≤ d(x, z) + d(y, z).
1.3. Tích vơ hướng
Định nghĩa 1.3.1. Trong khơng gian Rn , tích vơ hướng của hai vectơ:
x = (x1 , x2 , ..., xn ), y = (y1 , y2 , ..., yn ) là số thực được ký hiệu và xác định
bởi:

x, y := x1 y1 + x2 y2 + ... + xn yn .
Tính chất:
(1) x, y = y, x , ∀x, y ∈ Rn ,
(2) x + y, z = x, z + y, z , ∀x, y ∈ Rn ,
(3) αx, y = α x, y , ∀α ∈ R, ∀x, y ∈ Rn ,
(4) x, x > 0, ∀x = 0 và x, x = 0 ⇐⇒ x = 0.


6

1.4. Hàm nhiều biến
Định nghĩa 1.4.1. Cho D là tập con khác rỗng của Rn . Ánh xạ f :

D ⊂ Rn → R xác định bởi x = (x1 , x2 , ..., xn ) ∈ D → u = f (x) =
f (x1 , x2 , ..., xn ) ∈ R được gọi là hàm số n biến số xác định trên D. Khi đó,
D được gọi là miền xác định của hàm số f , x1 , x2 , ..., xn được gọi là các
biến số độc lập. Nếu xem x1 , x2 , ..., xn là các tọa độ của một điểm M ∈ Rn
trong một hệ tọa độ nào đó thì cũng có thể viết u = f (M ).
Trong trường hợp thường gặp n = 2 hay n = 3 người ta dùng kí hiệu
z = f (x, y) hay u = f (x, y, z).

Định nghĩa 1.4.2. [Đạo hàm riêng]. Giả sử {e1 , e2 , ..., en } là cơ sở chính
tắc trong không gian Rn , U là một tập hợp mở trong Rn và f: U → R là
một hàm số n biến số x = (x1 , x2 , ..., xn ) ∈ U.
Nếu giới hạn:

f (x + tei ) − f (x)
,
t→0
t
tồn tại hữu hạn thì giới hạn đó được gọi là đạo hàm riêng thứ i của hàm
f tại x hay đạo hàm riêng theo biến xi của hàm f tại x và ký hiệu là:
∂f
Di f (x) hay fxi (x) hay
(x).
∂xi
Định nghĩa 1.4.3. Hàm số f xác định trên một tập mở U thuộc Rn được
gọi là khả vi tại điểm x ∈ U nếu tồn tại các đạo hàm riêng của f theo mọi
biến tại điểm đó và với mọi d ∈ Rn ,||d|| đủ nhỏ để x + d ∈ U, ta có:
lim

f (x + d) = f (x) +

f (x), d + o(||d||),

trong đó o(||d||) là vơ cùng bé bật cao hơn ||d|| khi ||d|| −→ 0.
Nhận xét. Biểu thức trên tương đương với
f (x + d) − f (x) − f (x), d
lim
= 0.
||d||→0

||d||
Định lí 1.4.4. Cho U là một tập mở trong Rn và f: U → R. Nếu f khả vi
tại a ∈ U thì f có đạo hàm riêng theo mọi hướng tại a và
∂f
∂f
∂f
f (a)h =
(a)h1 +
(a)h2 + ... +
(a)hn ,
∂x1
∂x2
∂xn
trong đó h = (h1 , h2 , ..., hn ) ∈ Rn .
Định nghĩa 1.4.5. [Gradient] Cho f: Rn → R có đạo hàm riêng tại


7

x ∈ Rn . Khi đó, véctơ
∂f (x) ∂f (x) ∂f (x)
,
, ...
,
∂x1
∂x2
∂xn
được gọi là Gradient của f tại x. Vécto Gradient f (x) cịn được kí hiệu
là grad f (x).
f (x) =

1.5. Tập lồi - Nón lồi
Định nghĩa 1.5.1. [Tập lồi] Cho hai điểm x, y ∈ Rn . Tập tất cả các điểm
z = (1 − λ)x + λy , với 0 ≤ λ ≤ 1 được gọi là đoạn thẳng (đóng) nối x, y
và được kí hiệu [x, y].
Tập C ⊂ Rn được gọi là lồi nếu nó chứa mọi đoạn thẳng nối hai điểm
bất kỳ thuộc nó, tức là:

(1 − λ)x + λy ∈ C, ∀x, y ∈ C, 0 ≤ λ ≤ 1.
Định nghĩa 1.5.2. [Nón lồi] Tập K ⊂ Rn được gọi là nón có đỉnh tại 0
nếu:

∀x ∈ K, ∀λ > 0

⇒

λx ∈ K.

K được gọi là nón có đỉnh tại x0 nếu K − x0 là nón có đỉnh tại 0.
Định nghĩa 1.5.3. [Nón lồi] Nón K có đỉnh tại 0 được gọi là nón lồi nếu
K là tập lồi, tức là:

∀x, y ∈ K, ∀λx + µy ∈ K, λ, µ > 0.
Định lí 1.5.4. Tập K ⊂ Rn là nón lồi có đỉnh tại 0 khi và chỉ khi

∀x, y ∈ K, ∀λ > 0

⇒

x + y ∈ K, λx ∈ K.

Định nghĩa 1.5.5. [Tập compact] Tập C ⊂ Rn được gọi là tập compact
khi và chỉ khi nó đóng và bị chặn.
1.6. Toán tử và toán tử chiếu
Định nghĩa 1.6.1. Cho C là một tập con lồi, đóng và khác rỗng của
không gian Rn , và ánh xạ F : C → Rn xác định bởi:

PC (x) = argmin{||x − y|| : y ∈ C},
được gọi là toán tử chiếu trên C .
Bổ đề 1.6.2. Cho C là tập lồi, đóng và khác rỗng. Khi đó, y = PC (x)
khi và chỉ khi

y − x, z − y ≤ 0 hay y, z − y ≤ x, z − y , ∀z ∈ C.


8

Định nghĩa 1.6.3. Cho C là một tập con lồi đóng, khác rỗng của khơng
gian Rn , ánh xạ T : C → C được gọi là không giãn trên C nếu:

||T (x) − T (y)|| ≤ ||x − y||, ∀x, y ∈ C.
1.7. Điểm bất động
Định nghĩa 1.7.1. Cho C là một tập con khác rỗng của không gian Rn
và T : C → C là một ánh xạ. Điểm x ∈ C được gọi là điểm bất động của
ánh xạ T nếu T (x) = x. Ký hiệu F ix(T ) là tập tất cả các điểm bất động
của T, tức là:

F ix(T ) = {x ∈ C : T (x) = x}.
Định lí 1.7.2. [Định lý điểm bất động Brower].
Cho B n = {x ∈ Rn , ||x|| ≤ 1} là hình cầu đơn vị đóng trong Rn . Khi đó,

mọi anh xạ liên tục T :B n → B n từ hình cầu này vào chính nó đều tồn
tại ít nhất một điểm bất động x sao cho T (x) = x.
1.8. Bài toán bất đẳng thức biến phân
Phần này trình bày định nghĩa, sự tồn tại nghiệm và nghiệm duy nhất
của bài toán bất đẳng thức biến phân trong không gian Rn [2, 6]. Một số
kết quả quan trọng về sự tồn tại và duy nhất nghiệm của bài toán bất
đẳng thức biến phân đã được viết thành bài báo khoa học và đăng trên
tạp chí khoa học trường đại học Sư Phạm - Đại học Đà Nẵng[7].

1.8.1. Phát biểu bài toán
Cho C là một tập con lồi, đóng và khác rỗng của Rn và F : C → Rn .
Khi đó, bài tốn bất đẳng thức biến phân, viết tắt V I(F, C), được phát
biểu dưới dạng:
Tìm x∗ ∈ C sao cho F (x∗ ), x − x∗ ≥ 0, ∀x ∈ C.

(1.1)

Định nghĩa 1.8.1. Cho C là một tập con lồi, khác rỗng của không gian
Rn . Ánh xạ F : C → Rn được gọi là
(a) Đơn điệu mạnh (Strongly monotone) trên C với hằng số β > 0, nếu
∀x, y ∈ C

F (x) − F (y), x − y ≥ β||x − y||2 .
(b) Đơn điệu chặt (Strictly monotone) trên C, nếu ∀x, y ∈ C, x = y,

F (x) − F (y), x − y > 0.


9

(c) Đơn điệu (Monotone) trên C, nếu ∀x, y ∈ C,

F (x) − F (y), x − y ≥ 0.
(d) γ -giả đơn điệu mạnh(Strongly pseudomonotone) trên C, nếu ∀x, y ∈
C,

F (y), x − y ≥ 0 =⇒ F (x), x − y ≥ γ||x − y||2 .
(e) Giả đơn điệu (Peseudomonotone) trên C, nếu ∀x, y ∈ C,

F (y), x − y ≥ 0 =⇒ F (x), x − y ≥ 0.
(f) Tựa đơn điệu (Quasimonotone) trên C, nếu ∀x, y ∈ C,

F (y), x − y > 0 =⇒

F (x), x − y ≥ 0.

(g) Liên tục Lipschitz trên C với hệ số L > 0, nếu ∀x, y ∈ C,

||F (x) − F (y)|| ≤ L||x − y||.
Các suy luận dưới đây được suy ra trực tiếp từ Định nghĩa 1.8.1:

(a) → (b) → (c) → (e) → (f ), (e) ←− (d).
Trong bài toán bất đẳng thức biến phân V I(F, C), với mỗi x ∈ C và
λ > 0, ánh xạ FC : C → Rn được xác định bởi:

FC (x) = x − PC (x − λF (x)).

(1.2)

Khi đó, ánh xạ FC thường được gọi là ánh xạ giá tự nhiên của F trên C.

Mối quan hệ giữa nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân V I(F, C),
và ánh xạ giá tự nhiên FC được trình bày trong kết quả dưới đây.
Mệnh đề 1.8.2. Điểm x∗ là một nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến
phân V I(F, C) nếu và chỉ nếu nó là nghiệm của phương trình FC (x∗ ) = 0.
Chứng minh.

•(⇒) Theo định nghĩa x∗ là 1 nghiệm của bài toán V I(F, C) và λ 0. Ta
có
λF (x∗ ), y − x∗ ≥ 0, ∀y ∈ C
hay

x∗ − [x∗ − λF (x∗ )], y − x∗ ≥ 0, ∀y ∈ C
⇐⇒ x∗ , y − x∗ − x∗ − λF (x∗ ), y − x∗ ≥ 0, ∀y ∈ C
⇐⇒ x∗ , y − x∗ ≥ x∗ − λF (x∗ ), y − x∗ , ∀y ∈ C


10

Theo Bổ đề 1.6.2 thì x∗ = PC (x∗ − λF (x∗ )) thay x∗ vào 1.2 ta được

FC (x∗ ) = 0 =⇒ x∗ là nghiệm của bài toán V I(F, C).
•(⇐) Nếu FC (x∗ ) = 0. thì bất đẳng thức ở 1.1 xảy ra dấu "=", Do đó x∗
là nghiệm của bài tốn V I(F, C).
Bổ đề 1.8.3. Cho x∗ là nghiệm của V I(F, C) khi và chỉ khi x∗ là điểm bất
động của ánh xạ T : C → C cho bởi T (x) = P (x − λF (x)), ∀x ∈ C, λ > 0
là số bất kì. Khi đó, x∗ ∈ Sol(F, C) ⇐⇒ x∗ ∈ F ix(T ).
Chứng minh. x∗ ∈ F ix(T )

⇐⇒ x∗ = T (x∗ ) ⇐⇒ x∗ = P (x∗ − λF (x∗ ))
⇐⇒ x∗ − λF (x∗ ) − x∗ , z − x∗ ≤ 0, ∀z ∈ C

⇐⇒ −λF (x∗ ), z − x∗ ≤ 0, ∀z ∈ C
⇐⇒ − λ F (x∗ ), z − x∗ ≤ 0, ∀z ∈ C
⇐⇒ F (x∗ ), z − x∗ ≥ 0, ∀z ∈ C
⇐⇒ x∗ ∈ Sol(F, C).

1.8.2. Sự tồn tại và tính duy nhất nghiệm của bài tốn bất đẳng
thức biến phân
Định lí 1.8.4. Cho C là một tập con lồi, compact và khác rỗng của một
không gian Rn , và một ánh xạ liên tục F : C → Rn . Khi đó, bài tốn bất
đẳng thức biến phân V I(F, C) có ít nhất một nghiệm.
Chứng minh.
Đặt T (x) := PC (x − λF (x)), ∀x ∈ C, λ > 0. Vì F liên tục trên C và
phép chiếu PC liên tục trên T nên theo định lý điểm bất động Brower
tồn tại x∗ = T (x∗ ). Mặt khác, theo định nghĩa của T thì x∗ = T (x∗ ) =

PC (x∗ − λF (x∗ )). Áp dụng Mệnh đề 1.8.2 và Bổ đề 1.8.3 ta được:
F (x∗ ), x − x∗ ≥ 0, ∀x ∈ C.
Vậy bài tốn V I(F, C) có ít nhất một nghiệm.
Chú ý 1.8.5. Cho tập lồi C = ∅, CR = C ∩ B(O, R) trong đó B là hình
cầu đóng. Khi đó CR bị chặn ⇒ CR là tập compact.


11

Ký hiệu V I(F, CR ) là bất đẳng thức biến phận: Tìm xR ∈ C , sao cho

F (xR ), y − xR ≥ 0, ∀y ∈ CR .

(1.3)

Định lí 1.8.6. Cho C là một tập con lồi, đóng và khác rỗng của Rn và

F : C → Rn . Bài tốn V I(F, C) có nghiệm khi và chỉ khi tồn tại R > 0
và nghiệm xR của bài toán V I(F, CR ) với ||xR || < R.
Chứng minh.

•(⇒) Rõ ràng nếu bài tốn V I(F, C) có nghiệm x∗ thì x∗ cũng là nghiệm
của V I(F, CR ) với xR < R. Giả sử x∗ ∈ CR mà CR ⊂ C nên x∗ là nghiệm
của bài tốn V I(F, C) và V I(F, CR ).
•(⇐) Giả sử xR ∈ CR với ||xR || < R thì xR cũng là nghiệm của bài toán
V I(F, C). Thật vậy, với ||xR || < R, y ∈ C , do C là tập lồi nên ta có:
z = εy + (1 − ε)xR = εy + xR − εxR ∈ CR , ∀ε ∈ (0, 1).
Mặt khác, xR ∈ CR ⊂ C nên ta có:

F (xR ), z − xR ≥ 0
⇐⇒ F (xR ), εy + xR − εxR − xR ≥ 0
⇐⇒ F (xR ), ε(y − xR ) ≥ 0
⇐⇒ ε F (xR ), y − xR ≥ 0, ∀y ∈ CR .
Điều này có nghĩa là xR là 1 nghiệm của V I(F, C).
Định lí 1.8.7. Cho C là một tập con lồi, đóng và khác rỗng của một
không gian Rn , và một ánh xạ liên tục F : C → Rn thỏa mãn điều kiện
bức, tức là, tồn tại x0 ∈ C , sao cho
F (x) − F (xo ), x − xo
→ +∞, khi x → +∞ và x ∈ C.
||x − xo ||
Khi đó, bài tốn bất đẳng thức biến phân V I(F, C) có nghiệm.


12

Chứng minh. Chọn H > ||F (xo )|| và R > ||xo || sao cho:
F (x) − F (xo ), x − xo
≥ H, ∀||x|| > R, x ∈ C
||x − xo ||
⇐⇒ F (x) − F (xo ), x − xo ≥ H||x − xo ||

⇐⇒ F (x), x − xo − F (xo ), x − xo ≥ H||x − xo ||
⇐⇒ F (x), x − xo ≥ H||x − xo || + F (xo ), x − xo )
⇐⇒ F (x), x − xo ≥ H||x − xo || − ||F (xo )||.||x − xo ||
⇐⇒ F (x), x − xo ≥ ||x − xo ||(H − F (xo )) ≥ 0, ∀||x|| ≥ R.
Giả sử xR ∈ KR là nghiệm của bài toán V IR , khi đó:

F (xR ), xR − xo = − F (xR ), xo − xR ≤ 0.
Do đó, ||x|| ≥ R =⇒ ||xR || = R, hay nói cách khác ||xR || < R. Ta có
điều phải chứng minh.
Định lí 1.8.8. Nếu F : C → Rn là β đơn điệu mạnh và liên thực Lipschitz
trên C thì bài tốn V I(F, C) có nghiệm duy nhất.
Chứng minh. Xét ánh xạ T : C → C là ánh xạ không giãn cho bởi T (x) =

PC (x − µF (x)), ∀x ∈ C. Vì T là ánh xạ khơng giãn trên C nên ta có
∀x, y ∈ C thì
||T (x) − T (y)||2 = ||PC (x − µF (x)) − PC (y − µF (y))||2
≤ ||(x − µF (x)) − (y − µF (y))||2
= ||x − y − µ(F (x) − F (y))||2
= ||x − y||2 − 2µ F (x) − F (y), x − y + µ2 ||F (x) − F (y)||2
Vì β - đơn điệu mạnh nên ta có:

F (x) − F (y), x − y ≥ β||x − y||2
−2µ F (x) − F (y), x − y ≤ −2µβ||x − y||2
Vì F liên tục Lipschitz với L là hằng số Lípchitz ta có:

||F (x) − F (y)|| ≤ L||x − y||
µ||F (x) − F (y)|| ≤ µL||x − y||
µ2 ||F (x) − F (y)||2 ≤ µ2 L2 ||x − y||2 .


13

Suy ra

||T (x) − T (y)||2 ≤ ||x − y||2 − 2µ F (x) − F (y), x − y + µ2 ||F (x) − F (y)||2
≤ ||x − y||2 − 2µβ||x − y||2 + µ2 L2 ||x − y||2
= ||x − y||2 (1 − 2µβ + µ2 L2 ).
Suy ra

||T (x) − T (y)|| ≤ ||x − y|| 1 − 2µβ + µ2 L2
= ||x − y|| 1 − µ(2β − µL2 )
= ||x − y||ρ.
Trong đó

ρ=

1 − µ(2β − µL2 ) ∈ [0, 1).

Vậy T : C → C là ánh xạ co. Theo nguyên lý ánh xạ co, tồn tại duy nhất
x∗ ∈ C sao cho T (x∗ ) = x∗ ⇐⇒ PC (x∗ − µF (x∗ )) = x∗ Theo Bộ đề 1.8.3
suy ra x∗ ∈ SOL(C, F ) và là nghiệm duy nhất của bài tốn V I(F, C).
Định lí 1.8.9. Nếu C là tập lồi đóng khác rỗng và F là đơn điệu chặt
trên C thì bài tốn V I(F, C) có khơng q một nghiệm[7].
Chứng minh. Giả sử x1 và x2 là hai nghiệm của bài toán V I(C, F ),x1 = x2 .

Khi đó, ta có:

F (x1 ), x − x1 ≥ 0, ∀x ∈ C

(1.4)

F (x2 ), x − x2 ≥ 0, ∀x ∈ C.

(1.5)

và
Thay x bởi x1 trong (1.5) và thay x bởi x2 trong (1.4), rồi cộng theo vế
các bất đẳng thức ta được:

F (x1 ) − F (x2 ), x2 − x1 ≥ 0, ∀x ∈ C
hay

F (x1 ) − F (x2 ), x1 − x2 ≤ 0, ∀x ∈ C
Điều này trái với định nghĩa về tính đơn điệu chặt của F. Do đó x1 =
x2 .
Định lí 1.8.10. Nếu F là giả đơn điệu mạnh trên C với hằng số γ > 0
thì bài tốn V I(F, C) có khơng q một nghiệm[7].


14

Chứng minh. Giả sử x1 và x2 là 2 nghiệm của bài tốn V I(F, C),x1 = x2 .
Khi đó, ta có:

F (x1 ), x2 − x1 ≥ 0, ∀x ∈ C

(1.6)

F (x2 ), x1 − x2 ≥ 0, ∀x ∈ C.

(1.7)

và
Từ (1.6) và tính giả đơn điệu mạnh của F trên C với hằng số γ > 0, ta
có:

F (x2 ), x2 − x1 ≥ γ||x2 − x1 ||2 > 0
⇒ F (x2 ), x2 − x1 > 0
⇒ F (x2 ), x1 − x2 < 0.

(1.8)

Điều này trái với (1.7). Do đó, x1 = x2 , hay bài tốn V I(F, C) có khơng
q một nghiệm.


15

CHƯƠNG 2

PHƯƠNG PHÁP NEWTON SUY RỘNG CHO
PHƯƠNG TRÌNH KHƠNG TRƠN

Trong chương này, trình bày định nghĩa đạo hàm nghiêng và tính chất
hàm khả vi nghiêng. Tiếp theo, sẽ đi nghiên cứu phương pháp Newton suy

rộng để giải phương trình

F (x) = 0,

(2.1)

với F : D ⊂ X → Y là ánh xạ liên tục, D là tập mở trong X và X, Y là
không gian Banach. Nguồn tài liệu tham khảo[3, 8].
2.1. Đạo hàm nghiêng
Trong phần này trình bày định nghĩa, các tính chất của đạo hàm nghiêng
và một số ví dụ.

2.1.1. Định nghĩa
Định nghĩa 2.1.1. Cho hàm F : D ⊂ X → Y được gọi là khả vi
nghiêng tại tại x ∈ D nếu tồn tại ánh xạ f o : D → L(X, Y ) sao cho họ

f o (x + h)(của các tốn tử tuyến tính bị chặn) bị chặn đều theo chuẩn toán
tử khi h đủ nhỏ và
F (x + h) − F (x) − f o (x + h)h
=0
(2.2)
lim
h→0
||h||
Khi đó, f o được gọi là "hàm nghiêng" của F tại x.
Định nghĩa 2.1.2. Giả sử f o là một hàm nghiêng của F tại x ∈ D. Tập

∂s F (x) := { lim f o (xk )} được gọi là "đạo hàm nghiêng" của F ứng với f o
xk →x
tại x.

Nhận xét 2.1.3.
1) f o (x) ∈ ∂s F (x) ⇒ ∂s F (x) = φ.
2) Hàm nghiêng không duy nhất.
Chứng minh. Giả sử F có đạo hàm Frechet liên tục trên D. Đặt g o (x) =
F (x), ∀x ∈ D. Do đó g o là hàm nghiêng của F tại x và g o = f o ⇒ hàm


16

nghiêng không duy nhất.
3) Mối liên hệ giữa hàm nghiêng với đạo hàm Frechet. Nếu F có đạo hàm
Frechet tại x thì F có hàm nghiêng tại x.
Chứng minh. Theo định nghĩa ta có, hàm f được gọi là khả vi Fréchet tại
x∗ ∈ X nếu tồn tại A ∈ L(X, Y ) sao cho
||F (x∗ + h) − F (x∗ ) − A(x∗ )h||Y
= 0.
lim
h→0
||h||X
Nếu đặt f o (x + h) = A(x∗ ), ∀h. Ta có:
||F (x + h) − F (x) − f o (x + h)h||
lim
= 0,
h→0
||h||
khi đó, F có hàm nghiêng tại x
4) Nếu f o , g o là hàm nghiêng của F tại x thì h = λf o + (1 − λ)g o , với
λ ∈ [0, 1] cũng là một hàm nghiêng cho F tại x (trong D), Trong đó

λ ∈ [0, 1]. Hơn thế nữa lim ||f o (x + h)h − g o (x + h)h|| = 0 . Mặt khác, nếu

h→0

o

o

f và g là các hàm nghiêng cho F và G tại x(trong D), thì ho = αf o +βg o
là hàm nghiêng của αF + βG tại x(trong D) trong đó α, β là hằng số.
5) Đối với một hàm F khả vi nghiêng tại x, thì tập ∂s F (x) là phụ thuộc
vào chọn một hàm nghiêng cho F tại x. Liên kết với bất kỳ hàm nghiêng
thì tập hợp ∂s F (x) là giới hạn, vì f o (x + h) là giới hạn đều với h đủ nhỏ.
Ví dụ, đặt X = Y = R,
xsin x1 nếu x = 0,
sin x1 nếu x = 0,
o
F (x) =
khi đó, f (x) =
0
nếu x = 0
0
nếu x = 0
là hàm nghiên của F tại 0 và ∂s F (0) = [−1, 1]. Lưu ý, F không khả vi
theo hướng tại 0 và không Lipschitz trong bất kỳ lân cận 0. Hàm f o trong
ví dụ này không khả vi nghiêng tại 0
6) Một hàm liên tục khơng nhất thiết phải khả vi nghiêng. ví dụ, đặt
X = Y = R,
√
x
nếu x ≥ 0,
√

F (x) =
− −x nếu x < 0
h
1
và √ → ∞ khi h → 0, hàm f o không bị chặn
|h|
h
o
đều nhưng F (h) − F (0) − f (h)h = o(h).

vì F (h) − F (0) =


17

2.1.2. Một số tính chất của hàm khả vi nghiêng
Định nghĩa 2.1.4. F liên tục lipchitz tại x nếu ∃L > 0 sao cho:

||F (x + h) − F (x)|| ≤ L||h||, với h đủ bé.
Định lí 2.1.5. Hàm F : D ⊂ X → Y khả vi nghiêng tại x ∈ X nếu và
chỉ nếu F liên tục Lipchitz tại x.
Chứng minh.

•(⇒) Hàm F : X → Y khả vi nghiêng. f o (x + h) bị chặn đều với h đủ
bé nên ∃L > 0 sao cho: ||f o (x + h)|| < L21 với h đủ bé. Ta có:
F (x + h) − F (x) − f o (x + h)h
lim
=0
h→0
||h||

||F (x + h) − F (x) − f o (x + h)h|| L
Với ∃L > 0 :
<
||h||
2
o
||F (x + h) − F (x)|| ||F (x + h) − F (x) − f (x + h)h + f o (x + h)h||
⇒
=
||h||
||h||
o
o
||F (x + h) − F (x) − f (x + h)h|| ||f (x + h)||||h||
+
≤
||h||
||h||
L L
≤ + .
2
2
•(⇐) Giả sử F liên tục Lipchitz với hằng số L>0. Với mỗi h ∈ X, h = 0,
tồn tại tốn tử tuyến tính g ∈ X ∗ sao cho: g(h) = ||h|| và ||g|| = 1 với
mỗi x ∈ D ⊂ X .
(x)
Ta định nghĩa: f o (x + h) = F (x+h)−F
g , với h = 0 và f o (x) là một tốn
||h||
tử tuyến tính bị chặn bất kì từ X và Y.

⇒ f o (x + h) ∈ L(X, Y ) vì g ∈ X ∗ , ∀h.
Khi đó:∀z ∈ X ,
F (x + h) − F (x)
f o (x + h)z =
g(z)
||h||
F (x + h) − F (x)
⇒ ||f o (x + h)z|| ≤||
||g(z)||
||h||
≤L||z||∀x ∈ X
||f o (x + h)z||
o
⇒ ||f (x + h)|| =Supz=0
≤L
||z||
⇒ f o (x + h) bị chặn đều.
Định nghĩa 2.1.6. Một hàm F : D ⊂ X → Y được gọi là khả vi theo


18
(x)
hướng tại x nếu giới hạn δ + F (x, h) := lim+ F (x+th)−F
tồn tại. Khi đó,
t
t→0

δ + F (x, h) được gọi là đạo hàm của F tại x theeo hướng h.
Định nghĩa 2.1.7. Một hàm F : D ⊂ X → Y được gọi là B- khả vi tại
(x)−δ + F (x,h)

= 0. Khi đó,
x nếu F khả vi theo hướng tại x và lim F (x+h)−F||h||
h→0

+

δ F (x, ·) được gọi là B-đạo hàm của F tại x.
Mệnh đề 2.1.8. Giả sử F khả vi nghiêng tại x và cho f o là hàm nghiêng
của F tại x.
(a) F khả vi theo hướng tại x khi và chỉ khi lim+ f o (x + th)h tồn tại.
h→0

Hơn nữa, nếu F khả vi theo hướng tại x, thì δ F (x; h) = lim+ f o (x+th)h.
+

h→0

o

(b) F có B-đạo hàm tại x khi và chỉ khi lim+ f (x + th)h "tồn tại đều"
h→0

với h trên mỗi tập bị chặn (Giả sử, ||h|| = 1).
Chứng minh.
(a) Đặt h ∈ X với h = 1 và t > 0. Lúc đó
||F (x + th) − F (x) − f o (x + th)th||
lim
=0
t→0+
t

tương đương với
F (x + th) − F (x)
lim+ ||
− f o (x + th)h|| = 0
t→0
t
Do đó, nếu F có đạo hàm theo hướng, thì
F (x + th) − F (x)
= lim+ f o (x + th)h
δ + F (x; h) = lim+
t→0
t→0
t
(b) F có B-đạo hàm tại x khi và chỉ khi lim+ f o (x + th)h "tồn tại đều"
h→0

với h trên mỗi tập bị chặn.
Từ câu (a) khi F có đạo hàm theo hướng, thì
F (x + th) − F (x)
δ + F (x; h) = lim+
= lim+ f o (x + th)h
t→0
t→0
t
.
F (x + th) − F (x)
Do đó, F có B-đạo hàm tại x chỉ khi lim+
"tồn tại đều
t→0
t

" với h trên mỗi tập bị chặn.
Định lí 2.1.9. Giả sử F khả vi nghiêng tại x và cho f o là hàm nghiêng
của F tại x. Các mệnh đề sau tương đương:
(a) Đối với môt số( hàm g : X → Y trong đó o(||h||), f o (x + h)h + g(h)
đồng bậc với h bậc 1


19

(b) lim+ f o (x + th)h tồn tại với mọi h ∈ X và
h→0

limt→0+ f o (x + th) − f o (x + th)h
||h||→0
||h||
+
(c) F là B-đạo hàm tại x, và δ F (x; h) − f o (x + h)h = o(||h||).
lim

Chứng minh.
(a)⇒(b): Nếu f o (x + h)h + g(h) đồng bậc với h bậc 1, Khi đó, cho bất
kỳ t > 0,

f o (x + th)(th) + g(th) = t(f o (x + h)h + g(h)),
suy ra

f o (x + th)h + f o (x + h)h = g(h) − g(th)/t
Lưu ý rằng g(h) = o(||h||) khi và chỉ khi g(th) = o(t) cho h cố định, tính
đều trong h trên mỗi tập bị chặn. Do đó với mọi h ∈ X ,

lim f o (x + th)h = f o (x + h)h + g(h)

h→0+

tính đều với h trên mỗi tập bị chặn. Mặt khác,
g(h)
limt→0+ f o (x + th) − f o (x + th)h
= lim
= 0.
lim
||h||→0 ||h||
||h||→0
||h||
(b)⇒(c): Bằng phần (b) của Mệnh đề 2.1.8 phát biểu của (b) ngụ ý rằng
F là B-đạo hàm và limt→0+ f o (x + th)h = δ + F (x; h). Suy ra (c).
(c)⇒(a) Vì δ + F (x; h) = f o (x + h)h + o(||h||), và δ + F (x; h) đồng bậc với
h bậc 1, suy ra (a).
Ví dụ 2.1.10. Cho hàm F : X → Y với X = Y = R và F (x) = |x|
a) Tìm một hàm nghiêng của F tại x = 0.
b) Tìm một hàm nghiêng của F tại x = 1.
c) Tìm đạo hàm nghiêng của F tại x = 0 và x = 1 liên kết với f o ở câu
trên.
Giải.
Với δ ∈ R, ta định nghĩa f o : R → L(R, R) đạo hàm bởi:


−h nếu x < 0
−1 nếu x < 0
o
o

f (x)h = δh
nếu x = 0 hay f (x) = δ
nếu x = 0


h
nếu x > 0
1
nếu x > 0