SKKN rèn luyện tư duy sáng tạo cho học sinh lớp 12 thông qua việc giải phương trình mũ và một số bài toán liên quan

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
Đề tài:
“ RÈN LUYỆN TƯ DUY SÁNG TẠO CHO HỌC SINH
LỚP 12 THÔNG QUA VIỆC GIẢI PHƯƠNG TRÌNH MŨ
VÀ MỘT SỐ BÀI TỐN LIÊN QUAN”.

BỘ MƠN: TỐN HỌC


SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NGHỆ AN
TRƯỜNG THPT CÁT NGẠN

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
Đề tài:
“ RÈN LUYỆN TƯ DUY SÁNG TẠO CHO HỌC SINH
LỚP 12 THÔNG QUA VIỆC GIẢI PHƯƠNG TRÌNH MŨ
VÀ MỘT SỐ BÀI TỐN LIÊN QUAN”.

Bộ mơn: Tốn học.
Tác giả: Nguyễn Thị Huyền.
Tổ: TOÁN TIN.
.
Năm học: 2020-2021


LỜI CAM ĐOAN.
Năm học 2020 - 2021, tôi viết sáng kiến kinh nghiệm có tên là ''Rèn luyện tư
duy sáng tạo cho học sinh lớp 12 thông qua việc giải phương trình mũ và
một số bài tốn liên quan''.
Tơi cam kết sản phẩm này là của cá nhân tôi tham khảo được từ các tài liệu,
từ thực tế giảng dạy, từ mạng internet và qua đó tổng hợp viết thành sản phẩm

này không sao chép SKKN của người khác để nộp. Nếu nhà trường và tổ chuyên
môn phát hiện ra tơi sao chép của ai hay có sự tranh chấp về quyền sở hữu thì tơi
xin chịu hồn tồn trách nhiệm trước ban chun mơn về tính trung thực của lời
cam đoan này.
Thanh chương, ngày 11 tháng 3 năm 2021.
Người viết SKKN

Nguyễn Thị Huyền.


DANH MỤC CÁC KÍ HIỆU, CÁC CHỮ VIẾT TẮT
Viết tắt

Viết đầy đủ

ĐC

Đối chứng

TN

Thực nghiệm

GV

Giáo viên

HS

Học sinh

HSG

Học sinh giỏi.

PP

Phương pháp.

YCBT

Yêu cầu bài tốn.

L

Loại.

TM

Thỏa mãn.

THPT

Trung học phổ thơng.

THPTQG

Trung học phổ thơng Quốc gia.

TNSP

Thực nghiệm sư phạm.

SKKN

Sáng kiến kinh nghiệm

PT

Phương trình

NXB

Nhà xuất bản.

GD&ĐT

Giáo dục và Đào tạo.

BBT

Bảng biến thiên

GTLN, GTNN

Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất.


MỤC LỤC
PHẦN I: ĐẶT VẤN ĐỀ.

1

1.1. Lý do chọn đề tài

1

1.2. Mục đích nghiên cứu.

1

1.3. Đối tượng nghiên cứu.

2

1.4. Phạm vi nghiên cứu

2

1.5. Kế hoạch nghiên .

2

1.6. Phương pháp nghiên cứu.

2

1.7. Điểm mới của đề tài.

3

PHẦN II: NỘI DUNG CỦA ĐỀ TÀI.

4

2.1. Cơ sở lý luận của đề tài.

4

2.1.1. Tư duy.

4

2.1.2. Tư duy sáng tạo.

5

2.2. Cơ sở thực tiễn.

7

2.2.1. Khảo sát thực trạng của học sinh với mơn Tốn.

7

2.2.2. Khảo sát quan điểm của một số giáo viên về rèn luyện tư duy
sáng tạo cho học sinh THPT.

7

2.2.3. Kế hoạch giảng dạy phương trình mũ.

8

2.3. Thực trạng của đề tài.

10

2.4. Các sáng kiến của đề tài

12

2.4.1. Một số phương pháp giải phương trình mũ đơn giản.

13

2.4.1.1. Phương pháp đưa về cùng cơ số.

14

2.4.1.2. Phương pháp đặt ẩn phụ.

15

2.4.1.3. Phương pháp logarit hóa.

19


2.4.2. Một số phương pháp khác để giải phương trình mũ.

21

2.4.2.1. Phương pháp sử dụng tính đơn điệu của hàm số.

21

2.4.2.2. Phương pháp đánh giá.

25

2.4.2.3. Phương pháp phân tích thành tích.

25

2.4.2.4. Phương pháp đặt ẩn phụ khơng hồn tồn và kết hợp tìm
nghiệm của phương trình bậc hai.
2.4.3. Một số bài tốn liên quan đến phương trình mũ.

26
29

2.4.3.1.Tìm điều kiện của tham số để phương trình mũ có nghiệm
thỏa mãn điều kiện nào đó.

29

2.4.3.2. Một số bài tốn thực tiễn, liên mơn liên quan đến tốn học.

39

2.5. Hiệu quả của sáng kiến.

43

2.5.1. Chọn bài thực nghiệm.

44

2.5.2. Cách thức tiến hành, giáo án thực nghiệm sư phạm, một số hình
ảnh thực nghiệm, phiếu khảo sát học sinh, hướng dẫn một số bài tập.

44

2.5.3. Kết quả thực nghiệm sư phạm.

45

2.5.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm.

46

PHẦN III: KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ.

48

TÀI LIỆU THAM KHẢO

50

Phụ lục 1: Một số công thức tính đạo hàm của hàm số
Phụ lục 2: Các giáo án thực nghiệm, minh họa bài làm của học sinh.
Phụ lục 3: Một số hình ảnh minh họa cho các tiết dạy thực nghiệm.
Phụ lục 4: Phiếu khảo sát học sinh sau khi học một số nội dung trong
đề tài.
Phụ lục 5: Hướng dẫn một số câu trong phần bài tập.


PHẦN 1: ĐẶT VẤN ĐỀ.
1.1. Lý do chọn đề tài.
Trước đây, từng có những quan niệm mơn Tốn là một mơn học trừu tượng
và ít có tính thực tiễn. Những quan niệm đó đã dần thay đổi trong giai đoạn hiện
nay khi khoa học công nghệ ngày càng phát triển mà nền tảng của sự phát triển
đó chính là khoa học cơ bản, trong đó phải kể đến vai trị của tốn học. Tốn hoc
là cơng cụ để giải quyết nhiều vấn đề trong nghiên cứu khoa học, trong thực tế
cuộc sống của chúng ta. Tốn học cũng được nhìn nhận rộng hơn trong nhiều mặt
của đời sống xã hội hiện nay. Đối với mơn tốn lớp 12 trong những năm gần đây
hình thức thi thay đổi, kiến thức trong mỗi đề thi đều rộng và sâu, có nhiều câu
liên quan đến tính ứng dụng trong thực tiễn cuộc sống mà học sinh đã dùng kiến
thức toán học để giải nó. Do vậy, qúa trình dạy học nhiều giáo viên đã sử dụng
phương pháp dạy học tích cực nhằm phát huy năng lực cho học sinh, qua đó học
sinh được tự mình khám phá, tự mình tìm ra lời giải của bài tốn mới, từ đó hình
thành năng lực, rèn luyện tư duy sáng tạo cho học sinh nhằm đáp ứng xu hướng
giáo dục của thời đại mới.
Trong chương trình tốn THPT, phương trình mũ là một trong những kiến
thức quan trọng của chương II sách Giải tích 12, nó có nhiều bài tốn nhằm rèn
luyện tư duy sáng tạo cho học sinh cũng như tính ứng dụng của nó trong thực
tiễn cuộc sống. Đây cũng là một nội dung thường được đề cập ở một số câu của
đề thi chính thức THPT Quốc gia, thi tốt nghiệp THPT, đề thi thử THPT Quốc
gia, đề thi thử tốt nghiệp THPT của một số trường THPT hoặc đề của Sở

GD&ĐT, một số đề thi HSG của một số tỉnh, đặc biệt hơn nữa nội dung của nó
có ứng dụng để giải một số bài tốn trong thực tiễn.
Trong q trình giảng dạy, ôn thi THPT Quốc gia, ôn thi tốt nghiệp THPT
tôi nhận thấy tâm lý chung của học sinh là rất ngại và lúng túng khi gặp phải một
số bài tốn về phương trình mũ chưa có dạng quen thuộc và một số bài tập liên
quan đến phương trình mũ có chứa tham số, cũng như có một số câu trong đề thi
liên quan đến ứng dụng của toán học vào thực tiễn có sử dụng phương trình mũ,
hàm số mũ để giải nó. Vì vậy, tơi viết SKKN ''Rèn luyện tư duy sáng tạo cho
học sinh lớp 12 thông qua việc giải phương trình mũ và một số bài tốn liên
quan'' để phần nào đó giúp các em học sinh lớp 12 có cái nhìn từ cụ thể, hệ
thống, hình thành năng lực, rèn luyện tư duy sáng tạo và cách học tích cực hơn
đối với dạng tốn này.
1.2. Mục đích nghiên cứu.
Giúp các em học sinh lớp 12 tiếp cận một số phương pháp giải phương
trình mũ và một số bài toán liên quan. Đồng thời rèn luyện cho học sinh tư duy
sáng tạo khi giải và trình bày dạng tốn này, qua đó góp phần nâng cao chất
lượng dạy học mơn tốn ở trường THPT.
7


1.3. Đối tượng nghiên cứu.
Một số phương pháp giải và giải một số bài tập cơ bản, nâng cao, một số
bài tập về ứng dụng của toán học vào bài toán thực tiễn liên quan đến PT mũ,
hàm số mũ hoặc bài tốn liên quan đến phương trình mũ có chứa tham số, nhằm
giúp học sinh lớp 12 rèn luyện tư duy sáng tạo.
1.4. Phạm vi nghiên cứu.
Đề tài chủ yếu tập trung rèn luyện tính tư duy sáng tạo cho học sinh lớp 12
thơng qua việc giải phương trình mũ và một số bài tốn liên quan thơng qua hệ
thống bài tập cơ bản đến nâng cao.
1.5. Kế hoạch nghiên cứu.

TT

1

2

Thời gian

Nội dung công việc

Sản phẩm

- Chọn đề tài SKKN.

- Bản đề cương chi tiết.

Tháng 8/2020 đến - Đăng ký với tổ chuyên - Tập hợp tài liệu.
tháng 10/2020
môn.
- Số liệu khảo sát đã xử
- Khảo sát thực trạng.
lý.
- Tham khảo tài liệu, mạng - Đề cương sáng kiến
internet, lựa chọn bài kinh nghiệm gửi sở.
Từ tháng 11/2020 tập .. .
- Tập hợp ý kiến đóng
đến tháng
- Trao đổi với đồng nghiệp. góp của đồng nghiệp.
01 /2021
- Soạn giáo án, áp dụng - Thực nghiệm.

thực nghiệm.
- Tham khảo các tài liệu, - Bản nháp báo cáo.
mạng internet, chọn bài tập - Bản chính thức.
mới.

3

Từ tháng 02/2021
đến hết tháng - Viết báo cáo.
3/2021.
- Tham khảo ý kiến của
đồng nghiệp.
- Hoàn thiện SKKN.

1.6. Phương pháp nghiên cứu.
+ Phương pháp nghiên cứu lí luận: Nghiên cứu các tài liệu về tư duy, tư
duy sáng tạo, một số phương pháp giải phương trình mũt, một số bài toán liên quan
và bài toán thực tế liên quan.
+ Phương pháp nghiên cứu lý thuyết:
- Phương pháp thu thập các nguồn tài liệu.
- Phương pháp phân tích, tổng hợp các nguồn tài liệu đã thu thập.
8


+ Phương pháp nghiên cứu thực tiễn:
- Điều tra thực trạng của học sinh khi học toán, toán với thực tế, qua ôn thi
năm học trước khi học sinh giải phương trình mũ và một số bài tốn liên quan.
- Điều tra tính cần thiết của việc rèn luyện tư duy sáng tạo cho học sinh
qua kênh của giáo viên. Trao đổi với giáo viên trong nhóm.
+ Phương pháp thực nghiệm sư phạm: Thực nghiệm giảng dạy một số tiết

dạy theo hướng của đề tài nhằm đánh giá tính khả thi và hiệu quả của đề tài.
+ Phương pháp thống kê tốn học: Xử lý phân tích các kết quả thực
nghiệm sư phạm.
1.7. Điểm mới của đề tài.
''Rèn luyện tư duy sáng tạo cho học sinh lớp 12 thông qua việc giải
phương trình mũ và một số bài tốn liên quan'' đã được một số tác giả nghiên
cứu nhưng đề tài của tôi đã cập nhật một số bài tập mới nhất, sắp xếp các dạng bài
tập từ đơn giản đến phức tạp, bài tập dạng cụ thể ứng dụng để giải cho bài tập sau
liên quan, phù hợp với nhiều đối tượng, một số bài tập tôi đưa ra một số phương
pháp giải khác nhau, đồng thời bài tập chủ yếu tôi tham khảo ở một số đề thi chính
thức THPT Quốc gia, thi tốt nghiệp THPT, đề thi thử THPT Quốc gia, đề thi thử
tốt nghiệp THPT của một số trường THPT hoặc đề của Sở GD&ĐT, một số đề thi
HSG của một số tỉnh trong những năm gần đây để các em thấy hứng thú hơn khi
giải được dạng phương trình mũ hoặc một số bài tốn liên quan trong đề thi. Qua
đó phát huy được tính tự học, tự rèn luyện, rèn luyện tư duy sáng tạo cho học sinh.
Trong thực tiễn giảng dạy của bản thân tôi, đồng nghiệp đã áp dụng đề tài này
vào giảng dạy và đã thu được kết quả rất khả quan, học sinh hứng thứ hơn, tích
cực, chủ động, sáng tạo hơn khi gặp dạng tốn này. Đề tài có thể làm tài liệu tham
khảo cho giáo viên và học sinh trong q trình dạy và học ở dạng tốn này.

PHẦN II: NỘI DUNG NGHIÊN CỨU
9


2.1. Cơ sở lý luận của đề tài.
2.1.1. Tư duy.
2.1.1.1. Khái niệm về tư duy.
Theo từ điển triết học: Tư duy, sản phẩm cao nhất của vật chất được tổ
chức một cách đặc biệt là bộ não, là quá trình phản ánh tích cực thế giới khách
quan trong các khái niệm, phán đoán, lý luận. Tư duy xuất hiện trong quá trình

sản xuất xã hội của con người và đảm bảo phản ánh thực tại một cách gián tiếp,
phát hiện những mối liên hệ hợp quy luật. Tư duy chỉ tồn tại trong mối liên hệ
không thể tách rời khỏi hoạt động lao động và lời nói, là hoạt động chỉ tiêu biểu
cho xã hội loài người cho nên tư duy của con người được thực hiện trong mối
liên hệ chặt chẽ với lời nói và những kết quả của tư duy được ghi nhận trong
ngôn ngữ. Tiêu biểu cho tư duy là những q trình như trừu tượng hóa, phân tích
và tổng hợp, việc nêu lên những vấn đề nhất định và tìm cách giải quyết chúng,
việc đề xuất những giả thiết, những ý niệm...Kết quả của quá trình tư duy bao giờ
cũng là một ý nghĩ nào đó.
Theo tâm lý học tư duy là thuộc tính đặc biệt của vật chất có tổ chức cao,
chính là bộ não người. tư duy phản ánh thế giới vật chất dưới dạng các hình ảnh
lý tưởng: “Tư duy phản ánh những thuộc tính bên trong, bản chất, những mối
quan hệ có tính quy luật của sự vật hiện tượng mà trước đó ta chưa biết”.
Theo cách hiểu đơn giản, tư duy là một loạt những hoạt động của bộ não
diễn ra khi có sự kích thích. Những kích thích này được não bộ tiếp nhận thông
qua bất kỳ giác quan nào trong năm giác quan: Xúc giác, thính giác, thị giác,
khứu giác, vị giác.
Tư duy toán học được hiểu thứ nhất là hình thức biểu lộ của tư duy biện
chứng trong q trình con người nhận thức khoa học, tốn học hay trong q
trình áp dụng tốn học vào các khoa học khác như: Kỹ thuật, kinh tế
quốc dân... Thứ hai tư duy tốn học có các tính chất đặc thù được quy định bởi
bản chất của toán học, bởi sự áp dụng các phương pháp toán học để nhận thức
các hiện tượng của thế giới hiện thực cũng như chính các phương thức chung của
tư duy mà nó sử dụng.
2.1.1.2.Các thao tác tư duy.
Phân tích và tổng hợp.
So sánh và tương tự.
Khái qt hố và đặc biệt hóa.
Trừu tượng hố và cụ thể hóa.
Các thao tác tư duy cơ bản được xem như quy luật bên trong của mỗi hành

động tư duy. Trong thực tế các thao tác tư duy đan chéo vào nhau mà khơng theo
trình tự máy móc. Tuy nhiên, tùy theo từng nhiệm vụ tư duy, điều kiện tư duy,
10


không phải mọi hành động tư duy cũng nhất thiết phải thực hiện tất cả các thao
tác trên.
Trong mơn tốn, thao tác phân tích và tổng hợp thường được sử dụng để tìm
hiểu bài tốn, để nhận diện bài tốn thuộc loại nào, sau đó phân tích tìm mối quan
hệ giữa các yếu tố của bài toán (các yếu tố đã biết và các yếu tố cần tìm...) từ đó sẽ
tổng hợp các yếu tố, điều kiện vừa phân tích để đưa ra các bước giải hoàn thiện.
Hơn nữa, nhờ phân tích và tổng hợp ta có thể tổng hợp các bài toán tương tự thành
một vài dạng toán mẫu cùng với cách giải tương ứng của chúng.
2.1.1.3. Các giai đoạn hoạt động của tư duy.
Tư duy là một hoạt động trí tuệ có các giai đoạn sau:
Giai đoạn 1: Xác định vấn đề và biểu đạt vấn đề.
Giai đoạn 2: Huy động các tri thức, kinh nghiệm.
Giai đoạn 3: Sàng lọc các liên tưởng và hình thành giả thuyết.
Giai đoạn 4: Kiểm tra giả thuyết.
Giai đoạn 5: Giải quyết nhiệm vụ đặt ra.
2.1.1.4. Phân loại tư duy
Theo đặc trưng của tư duy, có các loại tư duy sau: Tư duy độc lập; Tư duy
logic; Tư duy trừu tượng; Tư duy biện chứng; Tư duy phê phán; Tư duy sáng tạo.
2.1.2. Tư duy duy sáng tạo.
2.1.2.1. Khái niệm về tư duy sáng tạo.
Trong tâm lý học định nghĩa: “Tư duy sáng tạo là tư duy vượt ra ngoài
phạm vi giới hạn của hiện thực, của vốn tri thức và kinh nghiệm đã có, giúp q
trình giải quyết nhiệm vụ của tư duy linh hoạt và hiệu quả”.
Theo từ điển Giáo dục học: “Tư duy sáng tạo là tư duy tạo ra những hình
ảnh, ý tưởng, sự vật mới và chưa có từ trước”.

Các nhà nghiên cứu đưa ra quan điểm khác nhau về tư duy sáng tạo:
Theo J.DanTon: “Tư duy sáng tạo đó là những năng lực tìm thấy những ý
nghĩa mới, tìm thấy những mối quan hệ mới, là một chức năng của kiến
thức, trí tưởng tượng và sự đánh giá, là một quá trình, một cách dạy và học bao
gồm những chuỗi phiêu lưu, chứa đựng những điều như: Sự khám phá, sự phát
sinh, sự đổi mới, trí tưởng tượng, sự thử nghiệm, sự thám hiểm” .
Theo Bùi Văn Nghị: “Tư duy sáng tạo được hiểu là cách nghĩ mới về sự vật,
hiện tượng, về mối quan hệ, suy nghĩ về cách giải quyết mới có ý nghĩa, giá trị”.

11


Tác giả Trần Thúc Trình đã cụ thể hóa sự sáng tạo với người học toán:
“Đối với người học toán, có thể quan niệm sự sáng tạo đối với họ, nếu họ đương
đầu với những vấn đề đó, để tự mình thu nhận được cái mới mà họ chưa từng
biết”.
Theo định nghĩa thông thường và phổ biến nhất của tư duy sáng tạo thì đó
là tư duy tạo ra cái mới. Tư duy sáng tạo dẫn đến những tri thức mới về thế giới
về các phương thức hoạt động.
Như vậy, một bài tập cũng được xem như là mang yếu tố sáng tạo nếu các
thao tác giải nó khơng bị những mệnh lệnh nào đó chi phối (từng phần hay hoàn
toàn), tức là nếu người giải chưa biết trước thuật tốn để giải và phải tiến hành
tìm hiểu những bước đi chưa biết trước.
Các quy trình giải một bài tốn theo bốn bước của Polya:
Bước 1: Tìm hiểu nội dung bài tốn.
Bước 2: Tìm cách giải.
Bước 3: Trình bày bài giải.
Bước 4: Nghiên cứu sâu lời giải.
2.1.2.2. Mối quan hệ giữa các khái niệm tư duy tích cực, tư duy độc lập, tư duy
sáng tạo.

Bàn về mối quan hệ giữa các khái niệm tư duy tích cực, tư duy độc lập, tư
duy sáng tạo thì mối quan hệ đó là các mức độ tư duy khác nhau mà tư duy tích
cực có vai trị là tiền đề. Q trình từ tư duy tích cực đến tư duy sáng tạo thơng
qua tư duy độc lập. Như vậy trong tư duy sáng tạo ln có tư duy tích cực và tư
duy độc lập. Ơng Bùi Văn Nghị cho rằng:
Tư duy tích cực: Khi một HS chăm chú theo dõi việc giải bài tập và cố
gắng hiểu được các bước giải.
Tư duy độc lập: Thể hiện ở việc HS tự mình phát hiện ra vấn đề tự
mình xác định phương hướng, tìm ra cách giải quyết, tự mình kiểm tra và
hồn thiện kết quả đạt được.
Tư duy sáng tạo: Trên các kết quả đó HS tự khám phá tìm ra cách
chứng minh, lời giải mà HS chưa biết.
2.1.2.3. Một số đặc trưng của tư duy sáng tạo.
Tính mềm dẻo, tính nhuần nhuyễn, tính độc đáo, tính hồn thiện, tính nhạy
cảm vấn đề, tính chính xác, năng lực định giá, phán đốn, năng lực định nghĩa là
một số
đặc trưng cơ bản của tư duy sáng tạo.
Các yếu tố cơ bản nói trên chúng quan hệ mật thiết với nhau, hỗ trợ, bổ
xung cho nhau và không tách rời nhau. Khả năng linh hoạt chuyển từ hoạt động
12


trí tuệ này sang hoạt động trí tuệ khác (tính mềm dẻo) tạo điều kiện cho việc tìm
được ra nhiều giải pháp trên nhiều góc độ và tình huống khác nhau (tính nhuần
nhuyễn) và qua đó phát hiện, đề xuất được nhiều phương án khác nhau, cũng như
có thể tìm được phương án ấn tượng, khác lạ (tính độc đáo). Tất cả các yếu tố cơ
bản này lại quan hệ khăng khít với các yếu tố khác như: tính nhạy cảm vấn đề,
tính chính xác, tính hồn thiện.
2.2. Cơ sở thực tiễn.
2.2.1. Khảo sát thực trạng của học sinh với mơn Tốn.

Để tìm hiểu vấn đề này, tơi đã tiến hành khảo sát về phía học sinh và đã
phát 200 phiếu khảo sát cho HS lớp 12 trong đó có 49 học sinh của trường THPT
Cát Ngạn, 74 học sinh của trường THPT Thanh Chương III, 77 em học sinh
trường THPT Nguyễn Cảnh Chân để các em phát biểu những ý kiến của mình
khi học mơn Tốn. Nội dung khảo sát như sau:
Phiếu khảo sát.
Họ và tên học sinh.................................................................Lớp
Trường THPT .............................................................................................
Em hãy trả lời câu hỏi dưới đây bằng cách đánh dấu x vào ơ trống trong bảng
có câu trả lời phù hợp với em?
Nội dung

Có

Khơng
/ chưa

(1) Em có thích khi học mơn Tốn khơng?.
(2) Em có thấy rằng kiến thức Tốn THPT có nhiều ứng
dụng trong thực tiễn cuộc sống khơng?.
(3) Mỗi bài tập tốn em có thường làm theo cách của thầy
cô đã dạy không?.
(4) Em đã bao giờ áp dụng kiến thức Toán học THPT vào
thực tế chưa?.
2.2.2. Khảo sát quan điểm của một số giáo viên về rèn luyện tư duy sáng tạo
cho học sinh THPT.
Tổng số giáo viên dạy môn tự nhiên được khảo sát 50 giáo viên (10 giáo
viên trường THPT Cát Ngạn, 22 giáo trườngTHPT Thanh Chương III, 18 giáo
viên trường Nguyễn Cảnh Chân).
Kính đề nghị Thầy/Cơ vui lịng dành thời gian đọc kỹ và trả lời khách quan

các nội dung câu hỏi dưới đây bằng cách đánh dấu x vào ô của phương án (phiếu
13


1) và khoanh tròn vào chữ cái đứng trước phương án (phiếu 2) cho câu trả lời của
mình.
Phiếu 1: Khảo sát tính cần thiết trong dạy học rèn luyện tư duy sáng tạo cho
học sinh THPT
Các câu hỏi khảo sát

Rất cần
thiết

Cần thiết

Khơng cần
thiết

1. Thầy (cơ) có cho rằng dạy học
rèn luyện tư duy sáng tạo cho học
sinh có cần thiết hay không?.
2. Theo thầy (cô) rèn luyện tư
duy sáng tạo cho học sinh THPT qua
việc giải bài tập có cần thiết khơng?.
Phiếu 2: Khó khăn nhất trong dạy học tư duy sáng tạo cho học sinh THPT.
3. Khó khăn nhất khi dạy học rèn luyện tư duy sáng tạo cho học sinh
THPT.
Với học sinh.

A. Trình độ của học sinh khơng đồng đều.

B. Không hứng thú với môn học.
C. Chưa làm quen với hướng tiếp cận này.

Với giáo viên.

A. Chưa có kinh nghiệm, phương pháp.
B. Trình độ của giáo viên cịn hạn chế.
C. Chưa có tài liệu hướng dẫn.

2.2.3. Kế hoạch giảng dạy phương trình mũ.
2.2.3.1.Khung phân phối chương trình chính khóa và đại trà.
Dựa vào sách giáo khoa chỉnh lí hợp nhất năm 2008 của nhà xuất bản giáo
dục và kế hoạch giảng dạy của nhóm chun mơn năm học 2020-2021 bài
''Phương trình mũ và phương trình logarit'' (Giải tích 12) được tách thành hai bài
''Phương trình mũ'' bài ''phương trình lơgarit'', thời lượng học chính khóa cả 2 bài
là 4 tiết, ôn tập chương 2 tiết, học đại trà 6 tiết (trong đó học kỳ 1 có 3 tiết), ôn
thi tốt nghiệp.
Bảng 1. Khung phân phối chương trình''phương trình mũ'' trường THPT Cát
Ngạn.
14


Dạy

Tên bài

Tiết
PPCT

Phương trình

mũ.

36
37

chính
khóa
Ơn thi tốt
nghiệp
Ơn tập PT mũ
và PT lơgarit

95

Thiết bị,
học liệu

Hình
thức

Phương trình mũ cơ Máy chiếu, Trên lớp
bản + Bài tập.
SGK, bảng
phụ, phiếu
PP giải phương trình
học tập,...
mũ đơn giản + bài tập
Phương trình mũ.

37, 38 Ơn tập PT mũ.

Phiếu học
Tìm điều kiện của tập, SGK,
tham số để PT mũ có máy tính,
nghiệm thỏa mãn điều bảng phụ,
kiện nào đó.
...

Dạy đại
trà
(dạy
thêm)

Nội dung dạy học

Ơn tập hàm
số, PT mũ và
lơgarit

45

Ứng dụng của toán học
vào một số bài toán
liên quan đến thực tiễn

Ơn thi tốt
nghiệp

94

Phương trình mũ.

Trên lớp

2.2.3.2. Mục tiêu nghiên cứu của đề tài.
Kiến thức
- Nắm được định nghĩa nêu được cách giải phương trình mũ cơ bản.
- Hiểu rõ được các phương pháp thường dùng để giải phương trình mũ đơn giản,
một số phương pháp khác để giải phương trình mũ
- Tìm điều kiện để phương trình mũ có nghiệm thỏa mãn điều kiện nào đó.
- Biết giải bài tốn liên quan gắn với thực tiễn và nắm ý nghĩa của nó.
Kỹ năng
- Giải chính xác được các phương trình mũ cơ bản và một số dạng thường gặp.
- Sử dụng thành thạo các công thức để biến đổi PT đã cho về dạng quen thuộc.
Tư duy và thái độ
- Rèn luyện tư duy logic, tư duy thuật toán, tư duy trìu tượng và đặc biệt là rèn
luyện tư duy sáng tạo, khả năng nhạy bén và năng động trong các tình huống.
- Giáo dục cho học sinh tính cần cù, cẩn thận, chính xác, kỷ luật, khơng ngại khó
và tích cực tìm ra cái mới. Nghiêm túc, tích cực, chủ động, độc lập và hợp tác
15


trong hoạt động nhóm.
- Say sưa, hứng thú trong học tập và tìm tịi nghiên cứu kiến thức liên quan.
Phát triển năng lực:
- Năng lực hợp tác: Tổ chức nhóm học sinh hợp tác thực hiện các hoạt động.
- Năng lực tự học, tự nghiên cứu: Học sinh tự giác tìm tịi, lĩnh hội kiến thức và
phương pháp giải quyết bài tập và các tình huống, tự liên hệ thực tế.
- Năng lực giải quyết vấn đề: Học sinh biết cách huy động các kiến thức đã học
để giải quyết các câu hỏi. Biết cách giải quyết các tình huống trong giờ học.

- Năng lực sử dụng công nghệ thông tin: HS sử dụng máy tính, mạng internet.
- Năng lực thuyết trình, báo cáo: Phát huy khả năng báo cáo trước tập thể, khả
năng thuyết trình. Năng lực tính tốn.
2.3. Thực trạng của đề tài.
Bảng 2: Kết quả khảo sát thực trạng của học sinh với mơn tốn
Nội dung

Tỉ lệ
Có

Khơng/chưa

(1) Em có thích khi học mơn Tốn khơng?.

57,5%

42,5%

(2) Em có thấy rằng kiến thức Tốn THPT có nhiều
ứng dụng trong thực tiễn cuộc sống khơng?.

41,5%

58,5%

(3) Mỗi bài tập tốn em có thường làm theo cách của
thầy cơ đã dạy khơng?.

69%

(4) Em đã bao giờ áp dụng kiến thức Toán học
THPT vào thực tế chưa?.

22,5%

31%

77,5%

Bảng 3. Kết quả khảo sát tính cần thiết trong dạy học rèn luyện tư duy sáng tạo
cho học sinh THPT.
Các câu hỏi khảo sát

Tỉ lệ
16


Cần

Rất cần
thiết

thiết

Khơng
cần thiết

1. Thầy (cơ) có cho rằng dạy học
rèn luyện tư duy sáng tạo cho học sinh
có cần thiết hay không?.

66,0%

34,0%

0,0%

2. Theo thầy (cô) rèn luyện tư duy
sáng tạo cho học sinh THPT qua việc
giải bài tập có cần thiết hay khơng?.

80,0%

18,0%

2,0%

Bảng 4. Khó khăn nhất trong dạy học tư duy sáng tạo cho học sinh THPT.
Khó khăn nhất khi sử khi dạy học rèn luyện tư duy sáng tạo cho học
sinh THPT
Với học sinh

Với giáo viên

Tỉ lệ

A. Trình độ chưa cao, không đồng đều.

40%

B. Không hứng thú với môn học.

46%

C. Chưa làm quen với hướng tiếp cận này.

14 %

A. Chưa có kinh nghiệm, phương pháp.

44%

B. Trình độ của giáo viên cịn hạn chế.

36%

C. Chưa có tài liệu hướng dẫn.

20%

Qua các bảng kết quả khảo sát trên, ta rút ra một số nhận xét sau:
Về phía học sinh: 57,5% học sinh có thích học tốn, thấy tốn khơng có
ứng dụng trong thực tế (58,5%), phần lớn (69%) học sinh làm theo cách của giáo
viên đã hướng dẫn, phần lớn học sinh chưa áp dụng toán học THPT vào bài tốn
thực tế.
Về phía giáo viên: Đa số GV cho rằng dạy học rèn luyện tư duy sáng tạo
cho học sinh là rất cần thiết (66%). Đa số giáo viên thấy rằng rèn luyện tư duy
sáng tạo cho học sinh THPT qua việc giải bài tập rất cần thiết (80%). Tìm hiểu
khó khăn nhất khi sử khi dạy học rèn luyện tư duy sáng tạo cho học sinh THPT:
Với HS không hứng thú với mơn học (46%), GV chưa có kinh nghiệm và

phương pháp (44%), trình độ giáo viên cịn hạn chế (36%),
Nhận xét: Từ các số liệu nghiên cứu, ta thấy phần lớn học sinh làm theo cách
mà giáo viên đã dạy, thấy tốn THPT ít có ứng dụng trong thực tế, phần lớn giáo
viên đã chú trọng hơn trong việc sử dụng phương pháp dạy rèn luyện tư duy sáng
tạo cho học sinh.

17


Trong sách giáo khoa chỉnh lí hợp nhất năm 2008 của nhà xuất bản giáo
dục, nhìn chung, nội dung phương trình mũ được bố trí và sắp xếp rất hợp lý, hệ
thống bài tập phù hợp với đa số học sinh. Song số bài tập nâng cao để rèn luyện
tư duy sáng tạo học sinh học tốt thì chưa nhiều và chưa phong phú, ở một số bài
tập đưa ra khơng đề cập đến các phương trình địi hỏi phải biến đổi các biểu thức
phức tạp. Sách giáo khoa cũng khơng xét đến các phương trình có chứa tham số,
vì thế phần lớn mà học sinh không giải được một số câu hỏi trong một số đề thi
THPT trong những năm gần đây nếu như các em không được rèn luyện dạng toán
này. Cụ thể:
Trong đề thi THPT Quốc gia năm 2018 mã đề 102 có câu:
Gọi S là tập các giá trị nguyên của tham số m sao cho phương trình
25x  m.2 x 1  7m 2  7  0 có hai nghiệm phân biệt. Hỏi S có bao nhiêu phần tử.
A. 7

B. 1

C. 2

D. 3

Qua quá trình ơn thi THPT và tìm hiểu từ phía học sinh lớp 12 trường tôi

trong năm học 2019-2020, tôi nhận thấy rằng số học sinh giải được câu trên là rất
ít thậm chí là khơng. Ngun nhân là do các em chưa biết quy lạ về quen, các em
còn gại suy nghĩ, chưa linh động khi gặp dạng bài toán mới. Cụ thể
Trường
THPT Cát Ngạn

Năm học
2019-2020

Sĩ số
khối 12

Biết rõ

110

5/110

28/110

77/110

(4,5%)

(25,5 %)

70 %)

Biết sơ sài Không biết

Từ các thực trạng trên đã thôi thúc tôi nghiên cứu đề tài ''Rèn luyện tư duy
sáng tạo cho học sinh lớp 12 thông qua việc giải phương trình mũ và một số
bài tốn liên quan'' và áp dụng nội dung dạy học này trong năm học 2020 –
2021 để góp phần nâng cao chất lượng dạy học mơn tốn ở trường THPT và là tài
liệu tham khảo cho học sinh lớp 12 cũng như giáo viên bộ mơn tốn.
2.4. Các sáng kiến của đề tài.
Việc giải phương trình mũ đã có một số cách giải cụ thể, song người học
cần lựa chọn ra những phương pháp giải phù hợp cho mỗi loại phương trình, mỗi
loại bài tốn. Chính vì vậy khi dạy phần này giáo viên cần rèn luyện cho học sinh
các thao tác tư duy cơ bản: phân tích, tổng hợp, so sánh, tương tự, khái quát hóa,
trừu tượng hóa, cụ thể hóa, đặc biệt hóa...
Trong phần này tơi trình bày một số phương pháp giải phương trình mũ
cùng với một số ví dụ minh họa kết hợp, giải một số bài toán về tìm điều kiện của
tham số để phương trình mũ có nghiệm thỏa mãn điều kiện nào đó và ứng dụng
của nó trong một số bài tốn thực tế, liên mơn dựa trên việc rèn luyện tư duy
sáng tạo cho học sinh, tôi không đề cập phần hướng dẫn nhanh thử đáp án bằng
máy tính (nếu được) để tìm đáp án của bài toán trắc nghiệm.
18


2.4.1. Một số phương pháp giải phương trình mũ đơn giản.
* Một số kiến thức liên quan.
+) Một số tính chất của lũy thừa.
Với các số thực a  0, b  0,  và  tùy ý, ta có

a �
a   a   ;

a
 a   ;


a

(ab)  a �
b ;


�a � a

�� ;
�b � b

( a  )   a .  ;







�a � �b �
� �  � ��
�b � �a �

+) Định nghĩa lôgarit

Cho hai số dương a, b với a �1 . Số  thỏa mãn đẳng thức a  b được gọi là
lơgarit cơ số a của b và kí hiệu là log a b . Ta viết:   log a b � a  b.
+) Các tính chất của lôgarit: Cho a, b  0, a �1 , ta có
log a a  1

log a 1  0

a loga b  b

log a ( a )  

+) Quy tắc tính lơgarit
- Lơgarit của một tích:
Cho 3 số dương a, b1 , b2 với a �1 , ta có log a (b1.b2 )  log a b1  log a b2 .
- Lôgarit của một thương:
Cho 3 số dương a, b1 , b2 với a �1 , ta có
Đặc biệt: với a, b  0, a �1 ta có

log a

log a

b1
 log a b1  log a b2 .
b2

1
  log a b.
b


- Lôgarit của một lũy thừa: Cho a, b  0, a �1 ,   , ta có log a b   .log a b.

1

log a n b  log a b, n  �, n 2.
n
Đặc biệt:
+) Công thức đổi cơ số: Cho 3 số dương a, b, c với a �1, c �1, ta có
log c b
log a b 
.
log c a
Đặc biệt:

log a c 

1
1
log a b  log a b
log c a và

với  �0 .

+) Lôgarit thập phân và Lôgarit tự nhiên.
19


Lôgarit thập phân là lôgarit cơ số 10. Viết log10 b  log b  lg b.
Lôgarit tự nhiên là lôgarit cơ số e . Viết log e b  ln b.
+) Định nghĩa phương trình mũ: Phương trình mũ là phương trình có chứa ẩn số ở
số mũ của lũy thừa.
+) Phương trình mũ cơ bản.

x

Phương trình mũ cơ bản có dạng a  b  a  0, a �1 .

Định nghĩa:
Cách giải:
Nếu b �0 thì phương trình vơ nghiệm.

Nếu b  0 thì phương trình có nghiệm duy nhất x  log a b .
f ( x)
 b  a  0, a �1 .
Tổng quát: Cách giải phương trình mũ dạng a
Nếu b �0 thì phương trình vơ nghiệm.
Nếu b  0 thì ta có f ( x)  log a b , giải PT tìm x , kết luận nghiệm.
* Phương pháp chung: Quan sát các cơ số, số mũ, các biểu thức có trong PT rồi
dùng các công thức biến đổi hoặc đặt ẩn phụ để đưa PT về dạng quen thuộc giải
được.
2.4.1.1. Phương pháp đưa về cùng cơ số.

f  x
g x
 a  .
Phương pháp: Biến đổi phương trình đã cho về dạng phương trình a

Ví dụ 1. Giải các phương trình a) 2

4 x2

4.
x



b)



2 1

x2 2 x

 ( 2  1) 2 x 5 .

Phân tích:
+ u cầu bài tốn giải phương trình mũ.
+ Xem mối quan hệ chung của các cơ số hoặc số mũ, linh động trong sử dụng cơng
thức?.



a.
2
+ Với câu a ta có 4  2 , sau đó sử dụng cơng thức  a   a để đưa về cùng
cơ số hoặc suy nghĩ theo hướng giải khác.

+ Với câu b nhận thấy hai cơ số có mối quan hệ.
Giải.
Cách 1

Cách 2

4 x2
 4 x � 24 x 2  22 x � 4 x  2  2 x � x  1.

.2

.

24 x2  4 x � 24 x.4  4 x � 16 x.4  4 x � 4 x 

1
� 4 x  41 � x  1.
4

20



b) Nhận xét:





2 1

x2 2 x





2  1  1 � 2  1   2  1

2 1 .

 ( 2  1)

2 x 5

�





2 1

x2 2 x

1

. Khi đó ta có

 ( 2  1)2 x 5 � x 2  2 x  2 x  5

x  1
�
� x2  4 x  5  0 � �
.
x

5
�

Vậy phương trình đã cho có nghiệm x  1, x  5.
Ví dụ 2. Giải các phương trình
x2

a) 4  8

x 1

1
3.27 4 x 2  .3x.
9
b)

c)  x  3

2 x2  x 

1
2

 ( x  3)

2 x

1
2

.

Phân tích- hướng dẫn.

+ Câu a: Tư duy đưa về cơ số 2 .
+ Câu b: Tư duy đưa về cơ số 3.
+ Câu c: Cơ số chứa ẩn.

f  x
g x
a  
Tổng quát: Giải phương trình a

a
+) Nếu a ��, a  0, a �1 thì
số)
a

+) Nếu a chứa ẩn thì

f  x

a

g x

f  x

a

g x

� f  x   g  x  (là phương trình đại

a 1
�
��
.
f
x

g
x




�
Tìm x , thử lại và kết luận.

2.4.1.2. Phương pháp đặt ẩn phụ.
Để sử dụng phương pháp này học sinh cần quan sát và phân tích kỹ các
yếu tố của PT để tìm mối quan hệ của chúng, rồi chọn ẩn phụ thích hợp để đặt và
đưa về PT đại số hay hệ phương trình tương đương đơn giản giải được.
* Dấu hiệu: Cơ số có mối quan hệ, số mũ có dạng k . f ( x), h  kf ( x), k , h ��.

52 x  4.5 x  5  0
Ví dụ
3.
Giải
phương
trình
t  5 x , t  0.

(1) bằng cách đặt ẩn phụ

Giải.

t  1 ( L )
�
t 2  4t  5  0 � �
.
x  t  0
t

5
(
TM
)
�
t 5
, phương trình (1) trở thành
Đặt
x
Với t  5, ta có 5  5 � x  1. Vậy phương trình đã cho có nghiệm x  1.

Chú ý: Nếu khơng u cầu đặt ẩn phụ thì học sinh có thể trình bày theo cách đơn

21


�
5 x  1
5  4.5  5  0 � �x

� x  1.
5

5
�
giản như sau:
2x

x

x 1
1 x
Ví dụ 4. Giải phương trình 3  3  10  0.

Phân tích.
+ Quan sát cơ số và biểu thức ở số mũ của PT, HS linh động sử dụng công thức

a �
a   a   , a   

1
a đã học và biến đổi về dạng PT giải được.

+ Cho học sinh giải theo suy nghĩ.
Ví dụ 5. (Trích đề thi chọn HSG lớp 12 tỉnh Đồng Nai năm học 2018-2019).
x
x
2 x1
 0.
Giải phương trình 8.25  8.10  15.2

Phân tích- Hướng dẫn giải.
+ Biến đổi phương trình đã cho để thấy một mối quan hệ của các cơ số, số mũ?
8.25 x  8.10 x  15.2 2 x 1  0 � 8.52 x  8.(2.5) x  30.22 x  0.
+ Các cơ số có mối quan hệ, PT khơng có hệ số tự do.
x
2x
2x
2.5


5
2
Chia cả hai vế cho
hoặc
hoặc
rồi đặt ẩn phụ.
*Tổng quát: Một số dạng đặt ẩn phụ thường gặp của phương trình mũ:
2 f  x
f x
 B.a    C  0
Dạng 1. A.a
(Nhìn ra phương trình tương tự dạng phương trình bậc hai,...).
f  x
Đặt t  a , đặt điều kiện cho ẩn phụ t.
Dạng 2. A.a

f  x

 B.b

f  x

 C  0 , với a.b  1

(Số mũ giống nhau, cơ số có mối quan hệ).
Đặt t  a

f  x

b

f  x

1
 .
t

, đặt điều kiện cho ẩn phụ t. Khi đó
f  x
2 f  x
2f x
 B. ab 
 C.b    0 .
Dạng 3. A.a
f  x
2 f  x
2 f  x
ab



a
b
Chia hai vế cho
hoặc
hoặc
rồi đặt ẩn phụ.
Nhận xét: Thơng qua các ví dụ trên và những gợi ý hướng dẫn giải
phương trình mũ đơn giản, giáo viên nên khuyến khích học sinh tìm tịi nhiều
cách giải khác nhau từ bài toán đơn giản để tạo sự linh hoạt, khéo léo trong tư
duy. Dù học sinh giải cách nào ngắn hay dài thì giáo viên cũng ln động viên,
kích lệ các em. Như vậy việc giải phương trình mũ đơn giản ở trên đã góp phần
rèn luyện cho học sinh những thao tác phân tích và tởng hợp, so sánh và tương
tự, ...của tư duy, đồng thời rèn luyện tư duy thuật toán, tư duy trừu tượng....
22


Ví dụ 6. (Trích đề thi chọn HSG tỉnh lớp 12 tỉnh Bắc Ninh năm học 20182019).
41 x  41 x  2  22 x  22 x   8 (*)
Giải phương trình
Giải.
Cách 1: Ta có (*)
� 4.4 x  4.4 x  2  22.2 x  22.2  x   8 � 4 x  4  x  2(2 x  2  x )  2.
x
x
2
x
x
Đặt t  2  2 � t  4  4  2 .

PT (*) trở thành

t 0
�
t 2  2t � t 2  2t  0 � �
t2
�

x0
�
x0
�
�
��
2 x  1  2 (VN ) � �
.
�
�
2 x  2 x  0
2 x  2 x
� �x
�
x

log
(1

2)
�
�
2

�
2x  1  2
2  2 x  2
22 x  2.2 x  1  0
�
�
�
Vậy PT đã cho có nghiệm x  0, x  log 2 ( 2  1).
Hướng
dẫn cách 2.
41 x  41 x  2  22 x  22 x   8 � 41 x  41 x  4  21 x  21 x   8.
1 x
1 x
2
1 x
1 x
Đặt t  2  2 � t  4  4  8.
x
Chú ý: HS hay sai khi giải PT cơ bản 2  1  2.

Hướng dẫn cách 3. Phân tích thành nhân tử tương tự như các ví dụ ở mục
2.4.2.3.
Ví dụ 7.
(Trích đề thi thử Trường THPT Phan Chu Trinh Đà Nẵng- 2020-2021).

3

5   15  3  5   2 x3 có hai nghiệm x1 , x2 và
x

x

Biết phương trình
x1
 log a b  1
x2
, trong đó a, b nguyên tố cùng nhau, giá trị biểu thức 2a  b là:
A. 11.
B. 17.
C. 13.
D. 19.
Phân tích:
Biến đổi PT được về cùng số mũ x , vế phải của PT chưa phải một số và

�3  5 ��3  5 �
5  . 3  5   4, �
.�
�
� 1
� 2 �� 2 � , suy ra chia cả hai vế của phương
x
trình cho 2 .

3

23


Giải. Nhận xét:

Ta có

3

3

�3  5 ��3  5 �
5  . 3  5   4 � �
.�
�
� 1
� 2 �� 2 �

5   15  3  5 
x

x

x

x

x

x

�3  5 �
�3  5 �
 2 x3 � �
� 15 �

� 8  0
� 2 �
� 2 �
2x

x

�3  5 �
�3  5 �
�3  5 � �3  5 �
�
� 15 �
� 8 0 � �
�  8�
� 15  0 (*).
� 2 �
� 2 �
� 2 � � 2 �
x
�
�3  5 �
x  log 3 5 5
�
�
� 5 �
�
� 2 �
2
��
�

.
�
x
�
x

log
3
�3  5 �
3 5
�
�
3 �
2
�
�
�
� 2 �
�

x1
x1  log 3 5 5 x2  log 3 5 3
1
x
2
2
Do 2
nên
,
x1

 log 3 5 � a  3, b  5 � 2a  b  11.
x
� 2
Vậy chọn
A.
x 2 3 x  2
x 2  6 x 5
2 x 2 3 x  7
4
4
 1 (1).
Ví dụ 8. Giải phương trình 4

Phân tích:
2
2
2
2 x 2 3 x  7
x 2 3 x  2 x 2  6 x 5
(
x

3
x

2)

(
x


6
x

5)

2
x

3
x

7
�
4

4
.4
+ Ta có
x 2 3 x  2
x 2  6 x5
2 x 2 3 x  7
, v4
�4
 u.v
+ Nếu đặt u  4
thì PT đã cho trở thành PT
nào và có giải được không?.
Giải:
Cách 1.
2

2
2
2
2
2 x 2 3 x  7
 4 x 3 x 2.4 x 6 x 5
Ta có ( x 2 3 x  2)  ( x2  6 x  5)  2 x  3 x2  7 � 4
u  4 x 3 x 2 , v  4 x 6 x 5 , u, v  0 � 42 x 3 x7  u.v
Đặt

u 1
�
u  v  u.v  1 � u  1  v(1  u )  0 � (u  1)(1  v)  0 � � .
v 1
�
PT (1) trở thành
Với u  1 , ta có
Với v  1 , ta có

4x

2

3 x  2

4x

2

6 x5

x 1
�
 1 � x 2  3x  2  0 � � .
x2
�
x  1
�
 1 � x2  6x  5  0 � �
.
x


5
�

Vậy PT đã cho có nghiệm:

x  1, x  2, x  1, x  5
24


Cách 2. Phương pháp phân tích thành nhân tử được trình bày ở mục 2.4.2.3.
Ví dụ 9. (Trích đề thi chọn HSG lớp 12 tỉnh Nghệ An năm học 2010-2011).
2x
x
Giải phương trình 2010  2010  12  12.
Phân tích:

2

Nếu ta suy nghĩ: Đặt t  2020 , t  0. PT trở thành t  t  12  12 thì việc giải
PT này khơng đơn giản, vậy có phương pháp nào đơn giản hơn không?
x

Giải.
2
2x
2
x
x
x
Đặt u  2010 , v  2010  12 , u  0, v  0 � u  2010 , v  2010  12
�
u 2  v  12
�
�
u 2  v  12
u 2  v  12
�
��
��
�
�2
v

u

12
(
u


v
)(
u

v

1)

0
u

v

1

0
�
�
�
Khi đó theo bài ra ta có
� 3 5 1
u
�
�
2
��
2
�
u  u  11  0

3 5 1
3 5 1
3 5 1
�
x
�
v

2010

�
x

log
2010
�
v  u 1
�
2 . Do đó
�
2
2 .

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là:

x  log 2010

3 5 1
2 .

Chú ý: Như vậy, việc đặt ẩn phụ có thể chuyển PT mũ về PT hoặc hệ phương
trình đơn giản giải được. Từ ví dụ 9 ta có thể tổng qt dạng phương trình mũ
tương tự và nêu được cách giải nó.
2.4.1.3. Phương pháp lơgarit hóa.
a

* Dạng1. Phương trình

f  x

0  a �1, b  0
�
b� �
.
�f  x   log a b

Từ phương pháp giải dạng 1 ở trên, ta có thể đặt ra câu hỏi: Nếu lấy lơgarit
hai vế với một cơ số c bất kỳ (c  0, c �1) liệu có được khơng ? và câu trả lời là
hồn tồn
được.
Như vậy ta có thể giải quyết các phương trình phức tạp hơn,
f  x
g x 
a

b
(
a, b  0; a, b �1) bằng cách lấy lôgarit hai vế với cơ số nào
dạng
đó.

x 2  x x 1
x
x2
b
)
3
.4  1 (*).
2

3
.
Ví dụ 10. Giải các phương trình a)
Phân tích:
+ Quan sát PT thấy các cơ số khơng thể biểu thị qua cơ số chung và biểu thức ẩn
k . f ( x), h  kf ( x), k , h ��.
ở số mũ của lũy thừa không có quan hệ chung dạng
.
+ Lấy lơgarit hóa theo một cơ số nào đó cả hai vế.
Giải.
25