phu dao giai tich 11

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (629.44 KB, 87 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

CHƯƠNG I : HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ

PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

A. Kiến thức cần nhớ

1. Ơn tập

Công thức lượng giác cơ bản
sin2 α + cos2 α = 1

1 + tan2 α = cos2
1

α ≠
π

2+kπ , k∈Z

1 + cot2 α = 1

sin2α α ≠ kπ , k∈Z
tan α .cot α = 1 α ≠ kπ

2, k∈Z

 Cung đối nhau

cos(- α ) = cos α
sin(- α ) = -sin α
tan(- α ) = -tan α
cot(- α ) = - α

 Cung bù nhau

sin (π − α) = sin α
cos (π − α) = -cos α
tan (π − α) = -tan α
cot (π − α) = -cot α

 Cung hơn kém π

sin (π+α) = - sin α
cos (π+α) = -cos α
tan (π+α) = tan α
cot (π+α) = cot α

 Cung phụ nhau

sin (π

2 −α) = cos α

cos (π

2 −α) = sin α

tan (π

2 −α) = cot α

cot (π

2 −α) = tan α

 Công thức cộng

cos(a –b) = cosa cosb + sina sinb
cos(a +b) = cosa cosb – sina sinb
sin(a – b) = sina cosb – sinb cosa
sin(a + b) = sina cosb + sinbcosa
tan(a – b) = tan1 a −tanb

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

tan(a + b) = tan1−a+tantanatanb b
 Công thức nhân đôi
sin2a = 2sina cosa

cos2a = cos2a – sin2a
= 2cos2a – 1 
= 1 – 2sin2a

tan2a = 2 tana

1−tan2a

 Công thức hạ bậc

cos2a = 1+cos 2a

sin2a = 1−cos 2a

tan2a = 1−cos 2a

1+cos 2a

 Cơng thức biến đổi tích thành tổng
cosa cosb = 12

[

cos(a− b)+cos(a+b)

]

sina sinb = 1

[

cos(a− b)−cos(a+b)

]

sina cosb = 12

[

sin(a − b)+sin(a+b)

]

 Cơng thức biến đổi tổng thành tích
cosu + cosv = 2cos u+v

2 cos

u − v

cosu - cosv = -2sin u+v

2 sin

u − v

sinu + sinv = 2sin u+2v cos u − v2
sinu - sinv = 2cos u+v

2 sin

u − v

2. Hàm số sin

 Hàm số y = sinx có tập xác định là R
 và -1 sinx 1, ∀x∈R .
 Là hàm số lẻ.

 Tuần hồn với chu kì 2 π .

 Hàm số y = sinx nhận các giá trị đặc biệt:
+ sinx = 0 ⇔ x = k π , k Z
+ sinx = 1 ⇔ x = π

2+k2π , k Z

+ sinx = -1 ⇔ x = - π2+k2π , k Z
3. Hàm số côsin

 Hàm số y = cosx có tập xác định là R
 và -1 cosx 1, ∀x∈R .
 Là hàm số chẵn.

 Tuần hồn với chu kì 2 π .

 Hàm số y = cosx nhận các giá trị đặc biệt:
+ cosx = 0 ⇔ x = π2+kπ , k Z
+ cosx = 1 ⇔ x = k2 π , k Z
+ cosx = -1 ⇔ x =(2k + 1) π , k Z
4. Hàm số tang

 Hàm số y = tanx = sinx

cosx
 có tập xác định là D= R\

{

π2+kπ , k∈Z

}

 Là hàm số lẻ.

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

 Hàm số y = tanx nhận các giá trị đặc biệt:
+ tanx = 0 ⇔ x = k π , k Z
+ tanx = 1 ⇔ x = π

4+kπ , k Z

+ tanx = -1 ⇔ x = - π4+kπ , k Z
5. Hàm số côtang

 Hàm số y = cotx = cosx

sinx

 có tập xác định là D= R\ {kπ , k∈Z}

 Là hàm số lẻ.

 Tuần hồn với chu kì π .

 Hàm số y = cotx nhận các giá trị đặc biệt:
+ cotx = 0 ⇔ x = π2+kπ , k Z
+ cotx = 1 ⇔ x = π

4+kπ , k Z

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

§1 HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC



Tuần:

Tiết: 
Mục đích:

* Về kiến thức:

+ Củng cố các kiến thức về hàm số lượng giác .
 * Về kỹ năng:

+ HS biết tìm tập xác định của một số hàm số có chứa các hàm số lượng giác.
+ HS giải được các bài tốn đơn giản về GTLN –GTNN của các hàm số .

+Xác định tính chẵn lẻ của hàm số.
Phương pháp: Đàm thoại gợi mở.
Tiến trình lên lớp:

* Ổn định lớp.
 * Kiểm tra bài cũ:

+ Tập xác định của các hàm số ysin ,x y cos ,x ytan ,x ycotx ?
Bài tập áp dụng: Tìm tập xác định cua hàm số 

1
sin
y

x.

Ví dụ và bài tập

Vd1. Tìm tập xác định của các hàm số sau:

a. y = sin(2x + 1) b. y = cos 1
x
c. y = tan(x + π

2 ) d. y = cot(2x -

2π

3 )

Giải

a. Tập xác định của hàm số y = sin(2x + 1) là D = R.

b. Hàm số y = cos 1

x xác định khi x 0.
Vậy tập xác định của hàm số y = cos 1

x là D = R\ {0} .
c. Hàm số y = tan(x + π

2 ) xác định khi x +

π

2 + k π ⇔ x k π .

Vậy tập xác định của hàm số là D = R\ {kπ , k∈Z} .
d. Hàm số y = cot(2x - 2π

3 ) xác định khi 2x -
2π

3 k π ⇔ x

π

3 + k

π

2 .

Vậy tập xác định của hàm số là D = R\

{

π

3+k

π

2, k∈Z

}

Bài tập 1: Tìm tập xác định của các hàm số sau:
a. y = sin

√

x b. y = 1+cosx

sinx c. y =

tanx

3+cosx
d. y = cotsinx −x 1 e. y = cot( 3x+5π

3 ¿ f. y =

√

sincosxx++15

g. y =

√

cosx+3

sinx+1 h. y = tan(
2π

3 −3x ) i. y = sin

x2−1

k. y = tanx+3

sin 3x l. y = cos

2x

x −1 m. y =

√

1+cosx

n. y = 1

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

VD2. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau:
a. y = 3 + 2sinx b. y = 2+3 cos

2
x

4 c. y =

√

2sin 3x+5

Giải

a. Vì -1 sinx 1 nên -2 2sinx 2 do đó 1 3 + 2sinx 5.
Vậy giá trị lớn nhất của hàm số là 5, đạt được khi sinx = 1 ⇔ x = π

2+kπ , k Z.

Giá trị nhỏ nhất của hàm số là 1, đạt được khi sinx = -1 ⇔ x = - π2+kπ , k Z.

b. Vì 0 cos2x 1 nên 2 2 + 3cos2x 5 do đó 1

2 2

+3 cos2x

5
4 .

Vậy giá trị lớn nhất của hàm số là 5

4 , đạt được khi cosx = ± 1 ⇔ x = kπ , k

Giá trị nhỏ nhất của hàm số là 1

2 , đạt được khi cosx = 0 ⇔ x =

π

2+kπ , k Z.

c. Vì -1 sin3x 1 nên 3 2sin3x +5 7 do đó

√

√

2sin3x+5

√

7 .
Vậy giá trị lớn nhất của hàm số là

√

7 , đạt được khi sin3x = 1

⇔ 3x = π2+kπ , k Z. ⇔ x = π6+k π

3 , k Z.

Giá trị nhỏ nhất của hàm số là

√

3 , đạt được khi sin3x = -1

⇔ 3x = - π2+kπ , k Z. ⇔ x = - π6+kπ

3 , k Z.

Bài tập 2: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau:
a. y =

√

5−2 cosx b. y = 1- 2sin22x c. y = 4 - 3 |cosx|
d. y = 3

1+2 sin2x e. y =

2−5 cos2x

3 f. y =

2
2−|sinx|

g. y = 1 – sin2x h. y = 3sin(x- π4 ) -1 i. y = -2 +

√

1−cosx
k. y = 2cos

√

x −1 l. y = 3

√

sinx + 1 m. y = 2- 3cosx

Xét tính chẵn, lẻ của hàm số

Cho hàm số y = f(x) xác định trên D.
 f(x) là hàm số chẵn trên D

⇔

∀x∈Dthì− x∈D
f(− x)=f(x)

¿{

 f(x) là hàm số lẻ trên D

⇔

∀x∈Dthì− x∈D
f(− x)=− f(x)

¿{

Bài tập 3: Xét tính chẵn, lẻ của các hàm số sau:

a. y = sin2x b. y = -2 +3cosx c. y = cosx – sinx
d. y = tanx.sinx e. y = cos2x + sin |x| f. y = cotx. |sinx|
Bài 4:Tìm tập xác định của các hàm số sau

1.ysin 3x 2.y c os x 3. os2

x
y c

4. sin 2

x
y

x



</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

7.ytan 3x 8.

2
sin

y

x



 9.

3
2cos

y

x



10.ysin 3x21 11.y cot 2x 4



 

   

  12.y3cosx1

13.

1
sin

x
y

x




 14.

2
sin 1

y

x



 15.

cos
cos 2

x
y

x



Bài 5:Tìm GTNN –GTLN của hàm số

1.y 3 2cosx 2.y 6 sin 3x 3.y 2 cos x
4.y 1 sin 2 x 5.y 1 cos x 6.y2sin2x 5y

§2 PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN



Tuần:
Tiết:
Mục đích:

* Về kiến thức:

</div>
(7)<div class='page_container' data-page=7>

+Hs thuộc cơng thức và giải được các pt cơ bản đối với hàm số sin, cos.
Phương pháp: Đàm thoại gợi mở.

Tiến trình lên lớp:
 * Ổn định lớp.
 * Kiểm tra bài cũ:

+Công thức giải pt:sinusin ; cos u c os
A. Kiến thức cần nhớ

1. Phương trình sinu = a (1)

 Nếu |a| >1 thì phương trình (1) vơ nghiệm.

 Nếu |a| 1: gọi α là cung thoả mãn sin α = a. Khi đó
sinu = a ⇔ sinu = sin α ⇔

( )

u k

k Z

u k

 

  

 




   


Nếu α thoả mãn điều kiện - π

2 α

π

2 và sin α = a thì ta viết

α = arcsina.

Khi đó nghiệm của phương trình (1) là

arcsin 2

( )

arcsin 2

u a k

k Z

u a k



 

 





   



Phương trình sinu = sin

β0

0 0

0 0 0

360

( )

180 360

u k

k Z

u k




  

  

  



Chú ý: Trong một công thức nghiệm, không được dùng đồng thời hai đơn vị độ và radian.
VD và bài tập:

VD1:Giải các pt sau:
1.sinxsin 240





0 0 0 0

0 0 0 0 0

24 360 24 360

sin sin 24

180 24 360 156 360

x k x k

x k

x k x k

     

     

    

 

 



2.sinx sin 4







2 2

4 4

sin sin

3
4

2 2

4 4

x k x k

x k

x k x k

 



 

  

 

   

 

     

      

 

 



3.sin 3xsin 300





0 0 0 0

0 0 0 0 0

3 30 360 10 120

sin 3 sin 30

3 180 30 360 50 120

x k x k

x k

x k x k

     

     

    

 

 







0 0

sin x 20 sin 45









0 0 0 0 0

0 0

0 0 0 0 0 0

20 45 360 65 360

sin 20 sin 45

20 180 45 360 205 360

x k x k

x k

x k x k

      

      

     

 

 



Bài tập 1:Giải các pt sau:

1.sinxsin 600 2.sinx sin 3




3.sinxsin150





sinxsin 31

sin sin
4

x  

</div>
(8)<div class='page_container' data-page=8>

7.sin 2xsin 200 8.sin 3x sin 6








0 0

sin x10 sin 45

10.

sin sin

x  

 

 

 

  11.





0 0

sin 30  x sin 50

12.

sin sin 20
2

x



13.





0 0

sin 3x 20 sin 60

14.sin 3xsinx 15.

0 0

sin 20 sin 25
3
x
 
 
 
 
16.

sin 3 sin

3 3

x  

 

 

 

  17sin 4x sin 3




18.









0 0

sin 3x 20 sin x10
VD 2: Giải các pt sau:

1.
2
sin
2
x





0 0 0 0

0 0 0 0 0

45 360 45 360

sin sin 45

2 180 45 360 135 360

x k x k

x k

x k x k

     
      
    
 
 

2.
3
sin 3
2
x





3 2

3 3 9 3

sin 3 sin

2 2

2 3

3 2

3 9 3

k

x k x

x k

k

x k x

  


  
 
 

   
 
      
      
 
 






0 1

sin 60
2

x 









0 0 0 0 0

0 0

0 0 0 0 0 0

30 30 360 60 360

sin 30 sin 30

2 30 180 30 360 180 360

x k x k

x k

x k x k

      
       
     
 
 






sin x 20 2

Do: 1 sinu1 nên pt vô nghiệm

5.
1
sin
3
x





0
0 0
1
arcsin 360
1 3
sin
1
3

180 arcsin 360
3
x k
x k
x k

 

   
   







0 3

sin 10

x 









0 0 0 0

0 0 0 0 0

3 3

10 arcsin 360 arcsin 10 360

4 4

3
sin 10

4 3 3

10 180 arcsin 360 170 arcsin 360

4 4

x k x k

x k

x k x k

     
       
     
     
      
   
          
   
   
 
   
 


Bài tập 2:Giải các pt sau:
1.
1
sin
2
x
2.
2
sin
2
x
3.
1
sin
2

</div>
(9)<div class='page_container' data-page=9>

3
sin

x

5.sinx1 6.sinx2

2
sin 4

x

8.sin 3x1 9.





sin x30 0

10.
sin 1
4
x 

 
 
 

  11.





0 1

sin 30 3
3

x

 

12.sin 3x 2

13.





0 3

sin 10
5

x 

14.

3
sin 3

x

15.
0 4
sin 10
3 3
x
 
 
 
 
16.
3
sin
3 2
x 
 
 
 

  17.





0 1

sin 3 20
2

x 

18.

2
sin 4

x
2. Phương trình cosx = a (2)

 Nếu |a| >1 thì phương trình (2) vô nghiệm.

 Nếu |a| 1: gọi α là cung thoả mãn cos α = a. Khi đó
cosu = a ⇔ cosu= cos α ⇔

2
( )
2
u k
k Z
u k
 
 
 


  


Nếu α thoả mãn điều kiện 0 α π và cos α = a thì ta viết α =
arccosa.

Khi đó nghiệm của phương trình (2) là

arccos 2

( )

arccos 2

u a k

k Z

u a k



 


  


Phương trình cosu = cos

β0

0 0
0 0
360
( )
360
u k
k Z
u k


  
  
 

VD và bài tập:

VD1:Giải các pt sau:
1.c x cos  os320





0 0
0
0 0
32 360
os os32
32 360
x k

c x c k

x k
  
   
 


2.
3
os os
4

c x c 





3
2
3 4
os os
3
4
2
4
x k

c x c k

x k







 

   
  



3.cos5x c os300





0 0

0 0 0

5 30 360 5

os5 sin 30

5 30 360 30

72
5

x k

c x k

x k
x k

 

  

    

 
  








0 0

os 30 os45

c x c









0 0 0 0 0

0 0

0 0 0 0 0

30 45 360 75 360

os 30 os45

30 45 360 15 360

x k x k

c x c k

x k x k

</div>
(10)<div class='page_container' data-page=10>

Bài 1:Giải các pt sau:

1.c xos cos 400 2.cosx cos4




3.c xos cos 350





cosxcos 36

os os
7

c x c   

  6.c x cos  os750

7.cos3x c os200 8.cos3x cos6








0 0

os 10 os55

c x c

10.

os os

4 3

c x c 

  11.





0 0

os 30 os70

c  x c

12.

os3 os20
2

x
c c

13.





0 0

os 5 20 sin 70

c x 

14.cos3x c os2x 15.

0 0

os 15 os15

x

c   c

 

16.

os 3 os

3 6

c  x c 

  17cos5x cos5




18.









0 0

os 5 20 os 15

c x c x
VD 2: Giải các pt sau:

1.

3
os

c x





0 0
0
0 0
30 360
3

os os30

2 30 360

x k

c x c k

x k
  
    
 


2.
1
os7
2

c x





7 2

1 3 21 7

os7 os

2 3

7 2

3 21 7

k

x k x

c x c k

k

x k x

  


  

 
   
 
      

     

 
 


3.





0 1

os 50

c x 









0 0 0 0 0

0 0

0 0 0 0 0

50 120 360 70 360

os 50 os120

2 50 120 360 170 360

x k x k

c x c k

x k x k

      
       
    
 
 






os 3 20 3

c x 

Do: 1 c uos 1 nên pt vô nghiệm

2
os3

c x





0 0

2 1 2

3 arc os 360 arc os 120

2 3 3 3

os3

3 2 1 2

3 arc os 360 arc os 120

3 3 3

x c k x c k

c x k

x c k x c k

 
   

 
 
   
 
   
 
 


Bài 2::Giải các pt sau:
1.

1
os

c x

2
os

c x

1
os

c x

3
os

c x

</div>
(11)<div class='page_container' data-page=11>

2
os2

c x

8.cos3x1 9.





os 10 0

c x 

10.

os 1

c x  

  11.





0 1

os 40

c x 

12.cos5x 2

13.





0 3

os 10
2

c x 

14.

5
os3

c x

15.

os 10 5

x

c   

 

16.

3
os

3 2

c x  

  17.





0 1

os 20
2

c x 

18.

2
os4

c x

§2 PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN (TT)

 

Tuần:
Tiết:
Mục đích:

* Về kiến thức:

+Củng cố kiến thức về pt lượng giác cơ bản đối với hàm số sin, cos.
 * Về kỹ năng:

+Hs thuộc cơng thức và giải được các pt cơ bản đối với hàm số sin, cos, tan, cot.
Phương pháp: Đàm thoại gợi mở.

Tiến trình lên lớp:
 * Ổn định lớp.
 * Kiểm tra bài cũ:

+Công thức giải pt:sinusin ; cos u c os
tanutan ;cotucot
 + Áp dụng: Giải pt





sin 3x 20 sinx

A. Kiến thức cần nhớ

1. Phương trình tanx = a (3)
Điều kiện x ≠π

2+kπ , k∈Z

</div>
(12)<div class='page_container' data-page=12>

tanx = a ⇔tanx=tanα ⇔x=α+kπ ,(k∈Z)

Nếu α thoả mãn điều kiện - π2 < α < π2 và tan α = a thì ta viết α = arctana.
Lúc đó nghiệm của phương trình (3) là:

x = arctana + k π , ( k∈Z )

Phương trình tanx = tan β0 ⇔x=β0+k1800(k∈Z)
B.VD và bài tập:

VD1: Giải các pt sau:
1. tanxtan150





0 0 0

tanxtan15  x15 k180 k 

tan tan

5 3

x  

 

 

 

 





tan tan

5 3 5 3 15

x   x   k x  k k

 

         

 

  

3. tan 3xtan 450





0 0 0 0 0

tan 3xtan 45  3x45 k180  x15 k60 k 
Bài 1:Giải các pt sau:

1.tanxtan 200 2.tanx tan 4




3.tanxtan 650





tanxtan 37

tan tan
3

x   

  6.tanxtan 850

7.tan 3xtan 700 8.tan 3x tan 6



 

  

  9.





0 0

tan x10 tan 35

10.

tan tan

4 3

x  

 

 

 

  11.





0 0

tan 30  x tan 70

12.

tan tan 20
2

x



13.





0 0

tan x20 tan 70

14.tan 3xtanx 15.

0 0

tan 15 tan 45
4

x

 

 

 

 

16.

tan 2 tan

3 6

x  

 

 

 

  17tan 6x tan 5



 

  

  18.tan 5x 2 tan




 

 

 

 

VD2: Giải các pt sau:
1.

3
tan

x





0 0 0

tan tan 30 30 180

x   x k k 

tan 3

x 

 

 

 

 





2 2

tan 3 tan

3 3 3 3 3

x   x   k x  k k

 

          

 

  

</div>
(13)<div class='page_container' data-page=13>





0 0 0 0 0 0





tan 3x 26 tan 34 3x 26 34 k180  x20 k60 k 

tan 2

x 

 

 

 

 





tan 2 arctan 2 arctan 2

6 6 6

x  x  k x  k k

 

          

 

  

Bài 2:Giải các pt sau:

1.tanx1 2.tanx2 3.tanx 3

4.tanx 3 5.tanx1 6.tanx0

1
tan 2

x

8.tan 3x1 9.





tan x10 0

10.

tan 2 1

x 

 

 

 

  11.





tan 40 x 3

12.tan2 2

x



13.

3
tan

4 2

x 

 

 

 

  14.tan 4xx 5 15.tan 3 6 1

x 

 

 

 

 

16.

3
tan

3 3

x 

 

 

 

  17.tan x 3 1



 

 

 

  18.

2
tan 4

x
4. Phương trình cotx = a (4)

Điều kiện x ≠ kπ , k∈Z

Gọi α là cung thoả mãn cot α = a. Khi đó cotx = a ⇔cotx=cotα

⇔x=α+kπ ,(k∈Z)

Nếu α thoả mãn điều kiện 0< α < π và cot α = a thì ta viết α = arccota. Lúc
đó nghiệm của phương trình (4) là:

x = arccota + k π , ( k∈Z )
Phương trình cotx = cot β0 ⇔x=β0

+k1800(k∈Z)
VD và bài tập:

VD1: Giải các pt sau:





cotxcot 15





0 0





cotxcot 15  x15 k180 k 

cot cot

2 5 3

x  

 

 

 

 





cot cot 2

2 5 3 2 5 3 15

x x

k x k k

    

 

 

         

 

  

3. cot 4xcot 600





0 0 0 0 0

</div>
(14)<div class='page_container' data-page=14>

1.c xot cot 500 2.

2
cot cot

x 





ot cot 45

c x 





cotxcot 56

ot ot
6

c x c   

  6.





ot ot 35

c x c 

7.cot3x cot 5



3
cot ot

x c   

  9.





0 0

ot 10 ot75

c x c

10.

ot ot

4 3

c x c 

  11.

ot ot

6 4

c   xc 

  12.

ot ot10
2

x
c c

13.

ot 5 cot

3 4

c  x     

    14.cot 5x c ot2x 15.

0 0

ot 15 ot25

x

c   c

 

16.

ot ot

3 6

c x  c 

  17cot 5



x



cos5




 

18.





ot5 ot 15

c x c x
VD2: Giải các pt sau:

3
cot

x





0 0





cot cot 60 60 180

x    x k k 

cot 1

x 

 

  

 

 





cot 1 cot

3 4 3 4 12

x   x   k x  k k

 

            

 

  

3. cot 4x 3





0 0 0 15 0

cot 4 3 cot 30 4 30 180 45

x   x k  x k k 

cot 3

x 

 

 

 

 





5 5 5

cot 3 arc cot 3 arc cot 3

6 6 6

x  x  k x  k k

 

          

 

  

Bài 2:Giải các pt sau:

1.cotx1 2.c xot  3 3.c xot  3

3
ot3

c x

5.cot4x1 6.c xot 2

7.cot2x3 8.cot3x5 9.





ot 10 0

c x 

10.

ot 3 1

c  x  

  11.cot



x



1 12.cot 4x 2

13.





0 3

ot 10

c x 

14.cotx 5 15.

ot 10 5

x

c   

 

16.

ot 3

c x 

  17.





ot 20 2

c x 

</div>
(15)<div class='page_container' data-page=15>

§2 PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN (TT)

 

Tuần:
Tiết:
Mục ñích:

* Về kiến thức:

+Củng cố kiến thức về pt lượng giác cơ bản đối với hàm số sin, cos.
 * Veà kỹ năng:

+Hs thuộc cơng thức và giải được các pt cơ bản đối với một hàm số lượng giác.

Phương pháp: Đàm thoại gợi mở.

Tiến trình lên lớp:
 * Ổn định lớp.
 * Kiểm tra bài cũ:

+Công thức giải pt:sinusin ; cos u c os
tanutan ;cotucot

+ Áp dụng: Giải pt

0 0

tan 20 tan 30
2

x

 

 

 

 

Ví dụ và bài tập

VD1: Giải các phương trình sau:
a. sinx =

√

2 b. sin2x =

4 c. cos(2x +

π

4 )= −

1
2

d. tan(x – 600) = 1

√

3 e. cot(x -

π

3 )= 5 f. cos(x -750) = -1

*g. tan3x = tanx *h. tan5x – cotx = 0

Giải:

a. sinx =

√

</div>
(16)<div class='page_container' data-page=16>

sinx =

√

⇔sinx=sinπ
3





2
3
2
3
x k
k Z
x k



 

 

  
   






2
3

2
2
3
x k
k Z
x k





 

  
  


Vậy nghiệm của phương trình sinx =

√

3
2
là:





2
3
2
2
3
x k
k Z
x k






 



  


b. sin2x = 14

sin2x =
1
4





1
2 arcsin 2

4
1

2 arcsin 2

4
x k
k Z

x k

 

 

  
   






1 1
arcsin
2 4
1 1
arcsin

2 2 4

x k
k Z
x k




 

  
   



Vậy nghiệm của PT sin2x =

1
4
là:





1 1
arcsin
2 4
1 1
arcsin

2 2 4

x k
k Z
x k




 



   


c. cos(2x + π

4 )= −

1
2

cos(2x + π4 )= −1

2 ⇔ cos(2x +

π

4 )= cos
2π
3





2
2 2
4 3
2
2 2
4 3
x k
k Z
x k
 

 



  

  
   






5
24
11
24
x k
k Z
x k





 

  
  


</div>
(17)<div class='page_container' data-page=17>

d. tan(x – 600) = 1

√

tan(x – 600) = 1

√

3 ⇔tan(x −60

)=tan300

 x 600 300k1800



k Z



 x900k1800



k Z



Vậy nghiệm của Pt tan(x – 600) = 1

√

3 là:





0 0

90 180

x k k Z
e. cot(x - π3 )= 5

cot(x -
π

3 )= 5 x 3 arccot 5 k



k Z





    

x 3 arccot 5 k



k Z





    

Vậy nghiệm của Pt cot(x -
π

3 )= 5 là: x 3 arccot 5 k



k Z





   

f. cos(x -750) = -1

cot(x -750) = -1 ⇔x −750=−450

+k1800k∈Z
⇔x=300+k1800k∈Z

Vậy nghiệm của Pt cot(x -750) = -1 là: x300k1800



k Z



*g. tan3x = tanx

tan3x = tanx

Điều kiện





3
2
2

x k

k Z

x k








 







  





⇔ 6 3





x k

k Z

x k

 





 







  



Ta có

tan3x = tanx ⇔ 3x = x +l π ⇔ x = l π

2(l∈Z)

Kết hợp với điều kiện ta có nghiệm của phương trình là:
x = m π (m Z )

*h. tan5x – cotx = 0
tan5x – cotx = 0

Điều kiện

¿
5x ≠π

2+kπ

x ≠ kπ
(k∈Z)

¿{

⇔

x ≠ π

10+k

π

x ≠ kπ
(k∈Z)

¿{

Ta có

. tan5x = cotx ⇔ tan5x = tan( π2− x¿ ⇔ 5x = π2− x + l π (l Z)

⇔ x = π

12 + l

π

6 (l Z)

Kết hợp với điều kiện ta có nghiệm của phương trình là:

x = 12π + l π6 (l Z)

</div>
(18)<div class='page_container' data-page=18>

a. cos(3x - π6 )= -

√

2 b. cos(x -2) =
2

5 c. cos(2x + 500) =
1
2

d. (1+ 2sinx)(3- cosx)= 0 e. tan2x = tan 56π f. tan(3x -300) = -

√

g. cot(4x - π

6 )=

√

3 h. sin(3x- 450) =
1

2 i. sin(2x +100)= sinx

k. (cot x3 -1)(cot x2 +1)= 0 l. cos2x.cotx = 0 m. cot( 23x+π

5 )= -1

n. sin(2x -150) = -

√

2 p. sin4x =

π

3 q. cos(x + 3) =
2
3

r. cos2x cot(x - π

4 )= 0 s. cos3x =

π

4 t. tan(

x

2−

π

4¿=tan

π

u. cos3x – sin2x = 0 v. sin3x + sin5x = 0
Bài tập 2: Giải các phương trình sau:

a. sin(2x -1) = sin(x+3) b. sin3x= cos2x c. sin4x + cos5x = 0

d. 2sinx +

√

2 sin2x = 0 e. sin22x + cos23x = 1 f. sin3x + sin5x = 0 
g. sin(2x +500) = cos(x +1200) h. cos3x – sin4x = 0
*i. tan(x - π5 ) + cotx = 0 *j. tan5x = tan3x

§3 MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP



Tuần:
Tiết:
Mục đích:

* Về kiến thức:

+Củng cố kiến thức về pt lượng giác cơ bản và một số pt lượng giác thường gặp.
 * Về kỹ năng:

+Hs giải được các pt lượng giác cơ bản; nắm cách giải và vận dụng giải các pt lượng giác
thường gặp.

Phương pháp: Đàm thoại gợi mở.
Tiến trình lên lớp:

* Ổn định lớp.
 * Kiểm tra bài cũ:

+Công thức giải pt:sinusin ; cos u c os
+Giải pt:

os sin 3 0

c x  x

 

A. Kiến thức cần nhớ

1. Phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác.

Các phương trình dạng at + b = 0 (a 0), với t là một trong các hàm số lượng giác, là
những phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác.

Sử dụng các phép biến đổi lượng giác, có thể đưa nhiều phương trình lượng giác về phương
trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác.

2. Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác.

Các phương trình dạng at2 + bt + c = 0 (a 0), với t là một trong các hàm số lượng giác, là

những phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác.

Có nhiều phương trình lượng giác có thể đưa về phương trình bậc hai đối với một hàm số
lượng giác bằng các phép biến đổi lượng giác.

B. Ví dụ và bài tập

VD1: Giải các phương trình sau:

</div>
(19)<div class='page_container' data-page=19>

c. (

√

3 cotx – 3)(2cosx –1) = 0 d. 2sin2x – sin2x = 0

Giải:

a. 2sinx –

√

2 = 0 ⇔ 2sinx =

√

2 ⇔ sinx =

√

22 ⇔ sinx = sin 4


⇔

x=π

4+k2π
¿

x=π −π

4+k2π
¿

(k∈Z)

¿
¿

⇔

x=π

4+k2π
¿

x=3π

4 +k2π
¿

(k∈Z)

¿
¿

Vậy nghiệm của phương trình là:

x=π

4+k2π
¿

x=3π

4 +k2π
¿

(k∈Z)

¿
¿

b. 2tanx – 5 = 0

⇔ 2tanx = 5 ⇔ tanx = 52 ⇔ x = arctan 52 + k π (k Z)
Vậy nghiệm của phương trình là: x = arctan 52 + k π (k Z)

c. (

√

3 cotx – 3)(2cosx –1) = 0

⇔

√

3 cotx −3=0(1)

2 cosx −1=0(2)

¿
¿
¿
¿

(1) ⇔

√

3 cotx = 3 ⇔ cotx =

√

3 ⇔ cotx = cot π6 ⇔ x = π6 + k π (k Z)

(2) ⇔ 2cosx =1 ⇔ cosx = 1

2 ⇔ cosx = cos

π

3 ⇔

x=π

3+k2π
¿

x=−π

3+k2π
¿

(k∈Z)

</div>
(20)<div class='page_container' data-page=20>

Vậy nghiệm của phương trình là:

x=π

6+kπ
¿

x=π

3+k2π
¿

x=−π

3+k2π
¿

(k∈Z)

¿
¿

d. 2sin2x – sin2x = 0

⇔ 2sin2x – 2sinx.cosx = 0 ⇔ 2sinx(sinx – cosx) = 0

⇔

sinx=0
¿

sinx −cosx=0
¿

¿
¿
¿

⇔

x=kπ

¿
sinx=cosx

¿
¿
¿
¿

⇔

x=kπ

sinx=sin(π
2− x)

¿
¿
¿
¿

⇔

x=kπ

x=π

2− x+k2π
¿

(k∈Z)

¿
¿

⇔

x=kπ

x=π

4+kπ
¿

(k∈Z)

¿
¿

Vậy nghiệm của phương trình là:

x=kπ

x=π
4+kπ

(k∈Z)

¿
¿
Bài tập 1: Giải các phương trình sau:

a. 4sinx – 3 = 0 b. 3cotx +

√

3 = 0 c. 1 -

√

3 tan(5x + 200) =0
d. 2cos3x + 1 = 0 e. sin(3x + 1)= π4 f. cos(x + 25π )= π3
g. (2cosx +

√

2 )(tan(x +100) -

√

3 ) = 0 h. sin2x.cos3x.(tan4x +1)= 0
i. 8sinx.cosx.cos2x =

√

3 j. sin2x +2cox = 0 k. tan(x +1) – 2008=0
l. 3tan2x +

√

3 tanx = 0 m. 4sin2x – sin22x = 0 n.

√

3 - 2sin3x = 0
p. cot(x + π4 ) = 1 q. cos2(x – 300) = 3

4 r. 8cos3x – 1 = 0

Bài tập 2*: Giải các phương trình sau:

a. tan3x. tanx = 1 b. cot2x. cot(x + π4 ) = -1 c. sin 21 x

+cos 2x=0
VD2: Giải các phương trình sau:

a. 2sin2x – 5sinx – 3 = 0 b. cot22x – 4cot2x +3 = 0
c. 2cos2x +3sinx - 3 = 0 d. tan4x + 4tan2x - 5 = 0
Giải

</div>
(21)<div class='page_container' data-page=21>

Đặt t = sinx ( điều kiện -1 t 1) thay vào phương trình ta được:

2t2 – 5t -3 = 0

⇔

t=3(loai)

t=−1

2(nhân)
¿
¿
¿
¿
¿

Với t = - 1

2 ta được

sinx = - 12 ⇔ sinx = sin(- π6 ) ⇔

x=−π

6+k2π
¿

x=7π

6 +k2π
¿

(k∈Z)

¿
¿

Vậy nghiệm của phương trình là:

x=−π

6+k2π
¿

x=7π

6 +k2π
¿

(k∈Z)

¿
¿

b. cot22x – 4cot2x -3 = 0

⇔

cot 2x=1

cot 2x=3

¿
¿
¿
¿

⇔

2x=arccot 1+kπ

2x=arccot 3+kπ

(k∈Z)

¿
¿

⇔

x=1

2arc cot 1+k

π

2
¿

x=1

2arc cot3+k

π

2
¿

(k∈Z)

¿
¿

Vậy nghiệm của phương trình là:
x=1

2arc cot 1+k

π

2
¿

x=1

2arc cot3+k

π

2
¿

(k∈Z)

¿
¿

</div>
(22)<div class='page_container' data-page=22>

⇔ 2(1 – sin2x) + 3sinx – 3 = 0

⇔ 2 – 2sin2x + 3sinx – 3 = 0

⇔ 2sin2x – 3sinx + 1 = 0

⇔

sinx=1
¿
sinx=1

2
¿
¿
¿
¿

Với sinx = 1 ⇔ x = π

2+k2π(k∈Z)

Với sinx = 12 ⇔ sinx = sin π6 ⇔

x=π

6+k2π
¿

x=5π

6 +k2π
¿

(k∈Z)

¿
¿

Vậy nghiệm của pt là:

x=π

6+k2π
¿

x=5π

6 +k2π

x=π

2+k2π
¿

(k∈Z)

¿
¿

d. tan4x + 4tan2x - 5 = 0

⇔

tan2x=1
¿
tan2x=−5

(loai)

¿
¿
¿
¿

⇔ tanx=±1 ⇔ x=±π

4+kπ(k∈Z)

Vậy nghiệm của pt là: x=±π

4+kπ(k∈Z)

Bài tập 3: Giải các phương trình sau:

a. 3cos2x - 5cosx + 2 = 0 b. 4sin2x – 4sinx – 3 = 0
c. cot2x – 4cotx + 3 = 0 d. tan2x + (1 -

√

3 )tanx -

√

3 = 0
e. 5cos2x + 7sinx – 7 = 0 f. tan4x – 4tan2x + 3 = 0

g. sin3x + 3sin2x + 2sinx = 0 h. cos2x + 9cosx + 5 = 0
i. sin22x – 2cos2x + 3

</div>
(23)<div class='page_container' data-page=23>

§3 MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP (TT)



Tuần:
Tiết:
Mục đích:

* Về kiến thức:

+Củng cố kiến thức về pt lượng giác cơ bản và một số pt lượng giác thường gặp.
 * Về kỹ năng:

+Hs giải được các pt lượng giác cơ bản; nắm cách giải và vận dụng giải các pt lượng giác
thường gặp.

Phương pháp: Đàm thoại gợi mở.
Tiến trình lên lớp:

* Ổn định lớp.
 * Kiểm tra bài cũ:

+Công thức giải pt:sinusin ; cos u c os
 +Giải pt:cos 32 x4 os3c x 5 0

A. Kiến thức cần nhớ

3. Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx
Phương trình có dạng asinx + bcosx = c (1)
Cách giải:

Chia hai vế phương trình (1) cho

√

a2+b2 ta được

a

√

a2

+b2sinx

+ b

√

a2

+b2cosx

= c

√

a2

+b2 (2)

(vì
b

√

a2+b2

¿2=1
a

√

a2
+b2¿

2
+¿
¿

)

Đặt cosα= a

√

a2

+b2 ; sin α

= b

√

a2

+b2

Pt (2) trở thành: cos α .sinx + sin α .cosx = c

√

a2

+b2

⇔ sin(x + α ) = c

√

a2+b2 (3)

</div>
(24)<div class='page_container' data-page=24>

 Pt (1) có nghiệm ⇔ pt(3) có nghiệm ⇔

|

c

|

√

a2

+b2≤1

⇔ a2 + b2 c2

Vậy phương trình (1) có nghiệm khi và chỉ khi a2 + b2 c2 .

 sinx ± cosx =

√

2 sin(x ± π

4 )

VD3: Giải các phương trình sau:

√

3 sinx + cosx = 2 b. cos3x – sin3x = 1
c. 3sin2x + 4cos2x = 5 d.

√

2 sinx – cosx = 3

Giải:

√

3 sinx + cosx = 2

Chia hai vế pt trên cho

√

32

+12 = 2 ta được

√

2 sinx +
1

2 cosx = 1 ⇔ cos

π

6 .sinx + sin

π

6 .cosx = 1

⇔ sin(x + π6 ) = 1 ⇔ x + π6 = π2 + k2 π ⇔ x = π3 +
k2 π

Vậy ngiệm của phương trình trên là: x = π3 + k2 π
b. cos3x – sin3x = 1

Chia hai vế pt trên cho −1¿

12+¿
√¿

√

2 ta được
1

√

2 cos3x -
1

√

2 sin3x =
1

√

2 ⇔ cos

π

4 cos3x - sin

π

4 sin3x =
1

√

⇔ cos(3x + π4 ) = 1

√

2 ⇔ cos(3x +

π

4 ) = cos

π

⇔

3x+π

π

4+k2π
¿

3x+π

4=−

π

4+k2π
¿

¿
¿

⇔

x=k2π

3
¿

x=−π

6+k
2π

3
¿

(k∈Z)

¿
¿

Vậy ngiệm của phương trình trên là:

x=k 2π

3
¿

x=−π

6+k
2π

3
¿

(k∈Z)

¿
¿

c. 3sin2x + 4cos2x = 5

Chia hai vế pt cho

√

</div>
(25)<div class='page_container' data-page=25>

5 sin2x +
4

5 cos2x = 1

Kí hiệu α là cung mà sin α = 45 , cos α = 35 ta được
sin2x cos α + sin α cos2x = 1

⇔ sin(2x + α ) = 1

⇔ 2x + α = π2 + k2 π ⇔ x = π4 - α2 + k π

Vậy ngiệm của phương trình trên là: x = π

4 -

α

2 + k π (với sin α =
4

5 , cos α =
3

5 )

√

2 sinx – cosx = 3

Ta có

√

2 2 + (-1)2 = 3 <32 = 9 do đó phương trình trên vơ nghiệm.
Bài tập 4: Giải các phương trình sau:

a. sinx +

√

3 cosx =

√

2 b. 2sinx – 5cosx = 5
c. 2cosx – sinx = 2 d. sin5x + cos5x = -1
e. 3sinx – 4cosx = 1 f. 2sin2x +

√

3 sin2x = 3
g. sin5x + cos5x =

√

2 h. sinx =

√

2 sin3x – cosx
k.sin 3x 3 os3c x1 0 l.









0 0

3 sin x10  cos x10 2

sin 3 os 3

3 3

x  c x 

   

   

   

    n. 3 cosxsinx2

O.cos3x sin 3x1

Bài tập 5*:Giải các phương trình sau:

a.sin 2x 2cosx0 b.8 os2 .sin 2 . os4c x x c x 2 (HD: sin 2 2sin . os c  )
c.tan 2x 2 tanx0 d.2 osc 2x c os2x2

Hd: c. 2

2 tan
tan 2

1 tan






 chú ý: đk cos2x0 & cosx0
d.cos 2 cos2 sin2 2 osc 21 1 2sin  2
4. Phương trình asin2x + bsinx. cosx + ccos2x = d

Cách giải:

Cách 1: (áp dụng công thức hạ bậc)

asin2x + bsinx. cosx + ccos2x = d

⇔ a. 1−cos 2x

2 + b.

sin 2x

2 + c.

1+cos 2x

2 = d

⇔ bsin2x + (c – a)cos2x = 2d – a – c

Cách 2:

Nếu cosx = 0 khơng là nghiệm của phương trình thì ta chia hai vế của phương trình cho
cos2x 0 ta được phương trình bậc hai:

a.tan2x + btanx + c = d.(1 + tan2x)

⇔ (a – d).tan2x + btanx + c – d = 0
VD4: Giải các phương trình sau:

</div>
(26)<div class='page_container' data-page=26>

Giải

a. 2sin2x + 4sinx.cosx – 4cos2x = 1

Với cosx = 0 thì vế trái bằng 2 cịn vế phải bằng 1 nên cosx = 0 không thoả mãn phương
trình. Với cosx 0 chia hai vế phương trình trên cho cos2x ta được:

2tan2x + 4tanx – 4 = 1 + tan2x

⇔ tan2x + 4tanx – 5 = 0

⇔

tanx=1
¿
tanx=−5

¿
¿
¿

⇔

x=π

4+kπ
¿

x=arctan(−5)+kπ

(k∈Z)

¿
¿

Vậy nghiệm của phương trình là:

x=π

4+kπ
¿

x=arctan(−5)+kπ

(k∈Z)

¿
¿

b. 4cos2x + 3sinxcosx – sin2x = 3
Áp dụng công thức hạ bậc ta được
4. 1+cos 2x

2 + 3.

sin 2x

2 –

1−cos 2x

2 = 3

⇔ sin2x + cos2x = 1

⇔

√

2 sin(2x + π

4 ) = 1 ⇔ sin(2x +

π

4 ) =
1

√

⇔ sin(2x + π

4 ) = sin

π

4 ⇔

2x+π

π

4+k2π
¿

2x+π

4=
3π

4 +k2π
¿

(k∈Z)

¿
¿

⇔

x=kπ

x=π

4+kπ
¿

(k∈Z)

¿
¿

Vậy nghiệm của phương trình là:

x=kπ

x=π
4+kπ

(k∈Z)

¿
¿
Bài tập 6: Giải các phương trình sau:

a. 2sin2x – sinx cosx – cos2x = 2 b. 4sin2x – 4sinx cosx + 3cos2x = 1
c. 2cos2x -3sin2x + sin2x = 1 d. 2sin2x + sinx cosx – cos2x = 3
e. 4sin2x + 3

√

3 sin2x – 2cos2x = 4 f. sin3x + 2sin2x. cosx – 3cos3x = 0
g.

√

3 sinx.cosx – sin2x =

√

2−1

2 i. 3cos2x + 2sin2x – 5sinx.cosx = 0

</div>
(27)<div class='page_container' data-page=27>

a. cos3x – cos4x + cos5x = 0 b. sin7x – sin3x = cos5x
c. cos5x.cosx = cos4x d. sinx + 2sin3x = - sin5x
e. 2tanx – 3cotx – 2 = 0 f. sin2x – cos2x = cos4x
g. 2tanx + 3cotx = 4 h. cosx.tan3x = sin5x
i. 2sin2x + (3 +

√

3 )sinx cosx + (

√

3 - 1)cos2x = -1
j. tanx.tan5x = 1

§ ƠN TẬP CHƯƠNG I



Tuần:
Tiết:
Mục đích:

*Về kiến thức:

+Củng cố kiến thức về hàm số lượng giác: TXĐ, GTLN- GTNN

+Củng cố kiến thức về pt lượng giác cơ bản và một số pt lượng giác thường gặp.
 * Veà kỹ năng:

+Hs giải được các dạng bài tập cơ bản đã học ở chương I.
Phương pháp: Đàm thoại gợi mở.

Tiến trình lên lớp:
 * Ổn định lớp.
 * Kiểm tra bài cũ:

+Công thức giải pt:sinusin ; cos u c os
 +Giải pt:cos2x 4 osc x 3 0

A.Kiến thức cần nhớ:
1.Hàm số lượng giác:

T/ C TXĐ TGT C - L CK -TH ĐB - NB

y= sinx R [ -1; 1] Lẻ 2

ĐB [0 ;2


] NB[ 2


</div>
(28)<div class='page_container' data-page=28>

y= cosx R [ -1; 1] Ch 2 ĐB [-;0] NB[0; ]

y= tanx

R\{2 k k Z, }




  R Lẻ 

ĐB [0; 2


)

y= cotx R\{k k Z,  } R Lẻ  NB (0 ;  )

B.Các dạng tốn:
1.Tìm tập xác định:
a. y =

1 osx
sinx

c



b .y =

1 osx

1-cosx

c



c.y = Tan( 2x - 6

)
Giải:

a. ĐK: Sinx0  x k , k Z

Vậy D = R \ { k, k Z}

b. Vì 1 + cosx  0 nên điều kiện là 1- cosx > 0
Hay cosx 1  x  k2, k  Z

Vậy D = R \ {k2, k Z }.

c.Điều kiện: 2x - 6


2



+ k  x  3



+ k2



, k Z

Vậy D = R\{3


+ k 2


, k Z}

Bài tập: Tìm tập xác định của các hàm số sau
a.y = Cot x(3 12)




b.y= 2

sinx-cosx

2 sin x c.y =

2 osx
1+sinx

c


.
2.Tìm giá trị lớn nhất giá trị nhỏ nhất:

a.y = 3+ 2 cosx b.y = 2 cosx + 1 c.y = 2sin(2 5)

x 


.
Giải:

a. -1 cosx 1  -2  2cosx  2  1  3 + 2cosx5 GTNN : ymin = 1, ymax= 5.
b. Đk: cosx 0, => 0 cosx1  2 cosx 2  2 cosx + 1 3, ymin = 1, ymax= 3.
Bài tập:

Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất:

a. y = 3cos2x. b . y = 1 sinx .
Bài tập thêm:

Bài 1: Tìm tập xác định của các hàm số sau:

1 cos

1 sin

tan

)

; )

2cos 2

1 sin3

1 1 tan(

1)

sin 2

1 x

a y

b y

c y

d y

x









Bài 2: Xét tính chẳn lẻ của hàm số sau:

sin

3 )

cos ; )

sin 2 ; /

cos 2

2 cos

cot

3 )

tan

sin

; )

sin

x

a y x

x b y x

x c y

x

d y

x

x e y

x













Bài 3:Tìm GTLN và GTNN của các hàm số sau:

2 2sin

5 3 cos

2

)

; )

cos2

sin

; )

1 sin

cos

3

2 x

</div>
(29)<div class='page_container' data-page=29>

§ ƠN TẬP CHƯƠNG I (TT)



Tuần:
Tiết:
Mục đích:

*Về kiến thức:

+Củng cố kiến thức về hàm số lượng giác: TXĐ, GTLN- GTNN

+Củng cố kiến thức về pt lượng giác cơ bản và một số pt lượng giác thường gặp.
 * Veà kỹ năng:

+Hs giải được các dạng bài tập cơ bản đã học ở chương I.
Phương pháp: Đàm thoại gợi mở.

Tiến trình lên lớp:
 * Ổn định lớp.
 * Kiểm tra bài cũ:

+Công thức giải pt:sinusin ; cos u c os,tanutan ; cot ucot
 +Giải pt:sin 5x 3 os5c x2

A.Kiến thức cần nhớ:

2.Phương trình lượng giác cơ bản:

a > 1 a 1

Sin u = a PT VN a giá trị cung ĐB.sin = a

2
2

u k

 

  

 




  

 (k  Z)

</div>
(30)<div class='page_container' data-page=30>

arcsina + k2
= - arcsina + k2

u
u



 





 (k  Z)

Cos u = a PT VN

a giá trị cung ĐB.Cos = a

2
2

u k

 

 




 

 (k  Z)

a ko là gtr cung ĐB.

arccosa + k2
u = - arccosa + k2

u 







 (k  Z)

Tan u = a

a là giá trị cung ĐB. Tan =a
u =  + k ,(k  Z)
a ko là gtr cung ĐB.

u = arctana + k ,(k  Z)
Cot u = a

a là giá trị cung ĐB. Cot =a
u =  + k ,(k  Z)
a ko là gtr cung ĐB.

u = arccota + k ,(k  Z)
Bài tập: Giải các phương trình sau:

3
sin 3

4 2

x 

 

 

 

  . b.





1
os

c x  
.
c. tan2 3

x



. d.

1
cot 2

x
.
e.

2 3

sin

x 

f. tan 3x 3
i.

2 2
os3

c x

j. cot 6x 24

3. Pt bậc nhất và bậc 2 đối với 1 hs lượng giác:

Pt Dạng Cách giải

Bậc
I

aSinx + b = 0
aCosx + b = 0
atanx + b = 0
aCotx + b = 0

(a0)

Chuyển vế b rồi chia 2 vế pt cho a
Giải pt lg cơ bản

Bậc
II

at2 + bt + c = 0

(a0) t là một trong các hàm số

lượng giác)

Đặt ẩn phụ, ĐK

(Đv sin và cos t 1) giải pt bậc 2 theo ẩn phụ.
Rồi giải ptlg cơ bản.

Bài tập:
a .2Sin2 2

x

+ 2sin2

x

- 2 = 0 b. 3Tan2x + 3 = 0.
c . 3 Cosx – 2Sin2x = 0. d . 4SinxCosx.Cos2x =

1
2.
e . 5Cotx – 6 = 0. f . 3Tan2x + Tanx – 4 = 0.
g .3Cot2x - 2 3Cotx + 3 = 0 h . 3 anx - 6Cotx + 2 3 0T 
k .6Cos2 x – 5Sinx – 2 = 0.

</div>
(31)<div class='page_container' data-page=31>

Cách giải: chia hai vế pt cho Cos2x (nếu a  d pt khơng có nghiệm Cosx = 0, a = d, pt có nghiệm 
Cosx = 0).

C n n m công th c:

ầ

ắ

ứ

sinx

t anx
cosx 

2
2

1 tan

os x

c x 

Bài tâp:

a. 2Sin2x – 5SinxCosx – Cos2x = -2
b. 3Sin2x – 6SinxCosx – 2Cosx = 3
c. Cos2x + 2SinxCosx + Sin2x = 2
d. Sin2x – 6SinxCosx + Cos2x = -2
Phương trình dạng aSinx + bCosx = c
Cách giải: Xác định hệ số a, b, c.

Tính a2b2 .

Chia 2 vế pt cho a2b2

Nếu 2 2 2 2
&

a b

a b a b là giá trị cung đặc biệt thì thay tương ứng cos và sin vào. Cịn khơng là

giá trị đặc biệt thì đặt 2 2 2 2

os = a & b

C Sin

a b a b

  

 

 Sin(x+ ) = 2 2

c
a b .

Giải pt lg cơ bản trên tìm nghiệm.
Giải phương trình:

a. 3Sinx + Cosx = 1. b. 4Sin5x + 3Cos5x = 2.

c. 2 Sin3x + 2Cos3x = 2. d. Sinx + Cosx = 3.
Bài tập thêm:

Bài 1:Giải các phương trình sau

2

0 )sin 3

0,5

)sin

20

5

3

2 )sin(3 2 )

)sin5

sin

0

3 x

a

x

b

c

x

d

x



   

   

























Bài 2:Giải các phương trình sau

2

0 )cos 3

0,5

)cos

20 ;

5

3

2 )cos(3 2 )

)cos5

cos3

0

3

4 / sin 3

cos2

0 / 2(sin

cos

) 1

4 / 2(sin

cos

) 1

x

a

x

b

c

x

d

x

e

x

g

x

h

x



   

   





































Bài 3:Giải các phương trình sau





0 ) tan 3

1 )cot

20

3

2

1 ) tan(1 2 ) tan

)cot

7

3

5

3 x

a

x

b

x

c

x



d



 

 

 

 

 

 

















</div>
(32)<div class='page_container' data-page=32>

) cot

1 cot

1

0 )sin 2 cot

0

3

2

0 ) tan(

30 )cos(2

150 ) 0

)cot 2 cot 3

1 x

a

b

x

c

x

d

x

   

   





 











HD: Đặt ĐK,rồi kiểm tra đk
Bài 5:Giải các phương trình sau

/ sin 2

2cos

0 / 8sin 2 cos2 cos4

2 / tan 2

2 tan

0 / 2cos

cos2

2 a

x

b

x

c

x

d

x













HD a/ dùng Ct nhân đơi,đưa về dạng tích
b/ dùng nhân đơi ,đưa về cơ bản

c/đk,nhân đôi,đưa về cơ bản,kiểm tra đk
d/ nhân đơi ,đưa vể cơ bản

Bài 6:Giải các phương trình sau

/ cos5

cos3

cos 4

0 / sin 7

sin3

cos5

3

2 / cos4

sin3

cos

sin

/ cos2

cos

2sin

2 a

x

b

x

c

x

d

x



















HD a/ tổng thành tích,đưa về tích
b/ tổng thành tích,đưa về tích

c/ nhân đơi, tổng thành tích,đưa về tích
d/ nhân đơi, đưa về tích

Bài 7:Giải các phương trình sau

2 / 3sin

2cos 2

2 / cos 2

2cos

2sin

2

1

2

4 / 2 cos

sin

/ sin

cos

sin 2

2 x

a

x

b

x

c

x

d

x

















HD a/ hạ bậc,đưa về bậc hai theo cos2x
b/ nhân đôi,hạ bậc, đưa về bậc hai theo cosx

c/ thay cos2x = 1 – sin2x ,đưa về trùng phương theo sinx
d/ biến đồi a4 + b4 = (a2 + b2)2 – 2a2b2,đưa về bậc hai theo sin2x
Bài 8:Giải các phương trình sau

2 sin 2

2 / 3tan

3 cot

3 3 0

/ tan

2 sin 2

4cos

1 / 2sin 2

2tan

cot

sin 2

x

a

x

b

x

c

x

















HD:a/ đk,thay cotx = 1/tanx,bậc hai theo tanx

b/ đk,sin22x - 4cos2x = …= - 4cos4x, bỏ mẫu,nhân đôi,cơ bản

c/ đk,thay tan và cot theo sin và cos,nhân đơi,bỏ mẫu,hạ bậc,dạng tích
Bài 9:Giải các phương trình sau

2 / 4cos

3sin cos

sin

3 / 2sin

sin cos

cos

2 / 4sin

4sin cos

3cos

1 0

a

x

b

x

c

x















 

HD a/ thay 3 = 3sin2x + 3 cos2x,chia cho sin2x hoac cos2x
b/ thử trước khi chia

c/ như câu a

Bài 10:Giải các phương trình sau









/ sin

30 3 cos

30

2 / cos3

sin 3

1 / 4sin

3cos

4(1 tan )

cos

a

x

b

x

c

x













</div>
(33)<div class='page_container' data-page=33>

HD c/ đk,đưa về tích (4sinx + 3cosx – 1)(cosx – 1 ) = 0
Bài 11:Giải các phương trình sau

2 / sin

cos

cos4

2 / sin

sin 2

sin 3

0 / 2 tan

3cot

4 / 4sin 3

sin 5

sin cos 2

0

2 / 2 tan

3tan

2cot

3cot

3 0

a

x

b

x

c

x

d

x

e

x





























HD: a/ nhân đôi: sin2x – cos2x = - cos2x = cos( pi – 2x)
b/ hạ bậc,tổng thành tích,dạng tích

c/ đk,bậc hai theo tanx(VN)

d/ tích thành tổng,tổng thành tích,dạng tích
e/ ẩn phụ,t = cotx – tanx => cot2x + tan2x = t2 – 2
Bài 12:Giải các phương trình sau

4 / 8cos

4cos2

sin 4

4 0

1

6 / sin

cos

sin 4

0

2 /1 sin

cos

sin 2

2cos2

0

1 2

1 / sin

sin

2 sin

sin

/ cos tan 3

sin 5

a

x

b

x

c

x

d

x

x

e

x





























HD:

a/hạ bậc hai lần,đưa về cos4x + sin4x = 1

b/biến đổi a6 + b6 = (a2 + b2)3 – 3a2b2 (a2 + b2),nhân đôi,hạ bậc,3cos4x+4sin4x= - 5
c/1-sin2x = (sinx 2cos2x = - 2(sinx – cosx)(sinx + cosx)

đưa về tích : (sinx-cosx)(1 – sinx - 3cosx ) = 0
d/ đk:sinx khác 0;

2 3

1 1

(sin sin ) 0...(1 sin )(sin 1) 0
sin

sin

x x x x

x
x

 

       

 

</div>
(34)<div class='page_container' data-page=34>

CHƯƠNG II:TỔ HỢP VÀ XÁC SUẤT

§ QUI TẮC ĐẾM



Tuần:
Tiết:
Mục đích:

* Về kiến thức:

+Củng cố kiến thức về tắc cộng, qui tắc nhân.
 * Về kỹ năng:

+Hs vận dụng qui tắc cơng, qui tắc nhân để làm tốt các bài tập đơn giản.
Phương pháp: Đàm thoại gợi mở.

Tiến trình lên lớp:
 * Ổn định lớp.
 * Kiểm tra bài cũ:
A. Kiến thức cần nhớ
* Quy tắc cộng:

Thực hiện 1 công việc được thực hiện bởi k phương án.
Phương án 1 có n1 thực hiện.

“ 2 “ n2 “ .

……….

Phương án k có nk cách thực hiện

Thì ta có n1+ n2 + …..+ nk cách thực hiện.

Nếu A và B là các tập hợp hữu hạn không giao nhau
N(AB) = n(A)  n(B)

*Quy tắc nhân:

Một công việc được thực hiện bởi hai hai nhiều hành đơng: có m cách thực hiện hành động thứ 
nhất

Có n cách thực hiện hành động thứ hai
 ……….
 Có I cách thực hiện hành động thứ k
Thì ta có : m.n……I cách thực hiện.

Ví dụ và bài tập: 
Ví dụ:

1.Trong một cơng ty có 32 nam, 20 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách chọn
a.Một người làm chủ tịch cơng đồn?

b.Hai người một nữ và một nam ?
Giải:

a.Theo qui tắc cộng, ta có: 32+ 20=52 cách chọn

b.Muốn chọn hai người một nam ,một nữ ta phải thực hiện hai hành động

</div>
(35)<div class='page_container' data-page=35>

Bước 2:Chọn một nữ: có 20 cách

Theo qui tắc nhân: 32.20 = 640 cách chọn một nam, một nữ.

2.Trong một quán nước có 4 loại cafe ,6 loại nước ép , 4 loại trà. Hỏi có bao nhiêu cách chọn
a.Một loại nước uống?

b.Ba loại nước uống khác nhau?
c.Hai loại nước uống khác nhau?
Giải:

a.Theo qui tắc cộng, có 4 + 6 +4 =14 cách chọn một loại nước uống.
b.Theo qui tắc nhân, có: 4.6.4= 96 cách chọn ba loại nước uống khác nhau.
c.TH1: một loại café, một loại nước ép có 4.6=24 cách chọn.

TH2: một loại café, một loại trà có 4.4=16 cách chọn

TH3: một loại trà, một loại nước ép có 4.6=24 cách chọn

Theo qui tắc cộng có: 24 +16 +24 =64 cách chọn hai loại nước uống khác nhau.
Bài tập:

1.Từ các số 1, 2, 3 có thể lập đuọc bao nhiêu số tự nhiên bé hơn 100.

2.Từ nhà An đến nhà Bình có 5 con đường để đi, từ nhà Bình đến nhà Tồn có 3 con đường để đi. Hỏi
có bao cách đi tù nhà An đến nhà Tồn?

3.Có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên chẳn gồm 3 chữ số 1,3, 5, 6, 8.
a.Các số tự nhiên có chữ số giống nhau.

b.Các số tự nhien có chữ số khác nhau.

4.Trong một lớp có 18 bạn nam, 12 bạn nữ. Hỏi có bao nhiêu cách chọn
a.Một bạn phụ trách quỹ lớp?

b.Hai bạn, trong đó có một bạn nam và một nữ?

5.Một đội văn nghệ có 8 bạn nam, và 6 bạn nữ.Hỏi có bao nhiêu cách chọn một đơi song ca nam ,nữ?
6.Có 10 cặp vợ chồng đi dự tiệc.Tính số cách chọn một người đàn ông và một người đàn bà trong bữa
tiệc để phát biểu ý kiến ,sao cho:

a.Hai người đó là vợ, chồng.
b.Hai người đó khơng là vợ chồng.

7.Giả sử bạn muốn mua một áo sơ mi cỡ 39 hoặc 40.Áo cỡ 39 có 5 màu khác nhau, áo cỡ 40 có 4 màu
khác nhau.Hỏi bạn có bao nhiêu sự lựa chọn (về màu và cỡ áo )?

8.Có bao nhiêu số tự nhiên có hai chữ số mà hai chữ số đó đều chẵn?
9.Từ các số 1,5,6,7 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên

a.Có 4 chữ số ( khơng nhất thiết khác nhau)?
b.Có 4 chữ số khác nhau?

10.Trong một trường THPT, khối 11 có 280 học sinh nam và 325 học sinh nữ.

a.Nhà trường cần chọn một học sinh ở khối 11 đi dự dạ hội của học sinh thành phố. Hỏi nhà
trường có bao nhiêu cách chọn?

</div>
(36)<div class='page_container' data-page=36>

§ HỐN VỊ - TỔ HỢP - CHỈNH HỢP



Tuần:
Tiết:
Mục đích:

* Về kiến thức:

+Củng cố kiến thức về hoán vị ,tổ hợp, chỉnh hợp
 * Về kỹ năng:

+Hs vận dụng các cơng thức về hốn vị, tổ hợp,chỉnh hợp để làm các bài tập cơ bản.
Phương pháp: Đàm thoại gợi mở.

Tiến trình lên lớp:
 * Ổn định lớp.
 * Kiểm tra bài cũ:

Từ các số 1,3,5,7,8,9 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên
a.Gồm 4 chữ số đôi một khác nhau?

b.Gồm 4 chữ số?

c.Gồm 4 chữ số và phải chia hết cho 5?
A. Kiến thức cần nhớ

Hoán vị - chỉnh hợp – Tổ hợp:

Định nghĩa Công thức Khác

H V Cho tập A gồm N ptử. Mỗi kq
Sx n ptử là 1 HV

P(n) = n! Pn = 1.2.3…..n = n!
C H n(A)= n. Mỗi kq sx vị trí k ptử của

A đgl 1 c.hợp chập

K của n ptử. Akn =

!
( )!

n
n k

Pn = Ak

n
0! = 1
T H n(A)= n. Mỗi tập con gồm k ptử của

A đgl 1 t.hợp chập K của n ptử.

Ckn =
!
!( )!

n
k n k

Ckn =Cnn –k
1

1 1

k k k

n n n

C  C C

   

Ví dụ:

1.Có bao nhiêu cách sắp xếp bốn bạn A, B ,C, D vào bốn chiếc ghế kê thành hàng ngang?
Giải:

Mỗi cách sắp xếp cho ta một hoán vị của bốn bạn và ngược lại.Vì vậy số cách sắp xếp là:

4 4! 24

P   cách

2.Có bao nhiêu số nguyên dương gồm năm chữ số khác khơng và khác nhau (đơi một )?
Giải:

Mỗi số cần tìm có dạng: a a a a a1 2 3 4 5, trong đó ai a ij; j





1, 2,3, 4,5,6,7 ; 1,...,5
i

a  i

Như vậy, có thể coi mỗi số dạng trên là một chỉnh hợp chập 5 của 9 chữ số.Do đó ,số các số cần tìm là:

5
9

15120
4!

A  

</div>
(37)<div class='page_container' data-page=37>

3.Một tổ có 10 bạn.Hỏi có bao nhiêu cách chọn ba bạn để làm trực nhật?
Giải:

Kết quả của sự phân cơng là một nhóm gồm ba bạn, tức là một tổ hợp chập 3 của 10 bạn.Vậy số cách
phân công là:

3
10 120

C  (cách)

Bài tập:

1. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp 10 người vào 10 cái ghế xếp thành 1 hàng dọc.

2. Trong lớp học có 25 HS hỏi có bao nhiêu cách chon ra 5 bạn để đi dự hội trại của Đoàn Trường.
3. Lớp học co 42 Hs chon ra 3 ban, 1 bạn làm lớp trưởng, 1 bạn lớp phó và 1 bạn bí thư đồn. Hỏi

có bao nhiêu cách chọn.

4. Trong mp cho một tập hợp gồm 8 điểm phân biệt.Có bao nhiêu vectơ khác khơng có điểm đầu
và điểm cuối thuộc tập hợp điểm này?

5. Trong mp cho một tập hợp gồm 7 điểm, trong đó khơng có ba điểm nào thẳng hàng.Hỏi có bao
nhiêu tam giác có ba đỉnh đều thuộc tập hợp điểm này?

6. Trong một lớp học có 20 học sinh nam và 15 học sinh nữ.Thầy giáo chủ nhiệm cần chọn 4 học
sinh nam và 3 học sinh nữ đi tham gia chiến dịch “Mùa hè xanh” của Đoàn thanh niên Cộng sản
Hồ Chí Minh.Hỏi có bao nhiêu cách chọn?

7. Trong mp cho tập hợp K gồm 10 điểm phân biệt.Hỏi:
a.Có bao nhiêu đoạn thẳng mà hai đầu mút thuộc K?

b.Có bao nhiêu vectơ khác véctơ không mà điểm đầu và điểm cuối thuộc K?
8. Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 6 chữ số và chia hết cho 5?

9. Trong một Ban chấp hành đoàn gồm 7 người, cần chọn 3 người vào ban thường vụ:

a.Nếu không phân biệt về chức vụ của 3 người trong ban thường vụ thì có bao nhiêu cách chọn?
b.Nếu cần 3 người vào ban thường vụ với các chức danh:Bí thư, phó bí thư,uỷ viên thường vụ
thì có bao nhiêu cách chọn?

10.Một lớp có 32 học sinh ,20 nam, 12nữ .Hỏi giáo viên chủ nhiệm có bao nhiêu cách chọn
a. 5 học sinh tham gia đội cờ đỏ?

b.3 học sinh nam và 2 học sinh nữ tham gia đội cờ đỏ?

c.5 học sinh tham gia đội cờ đỏ, trong đó có không quá 2 học sinh nữ?

11.Một hộp chứa 15 viên bi xanh, 10 viên bi đỏ và 6 viên bi vàng.Hỏi có bao nhiêu cách
a.Chọn ra 6 viên bi bất kì?

b.Chọn ra 6 viên bi, gồm 3 bi đỏ, 2 bi xanh và 1 bi vàng?

12.Một bó hoa gồm 10 hoa hồng đỏ, 4 hoa cẩm chướng, 5 hoa lai ơn. Hỏi có bao nhiêu cách
Chọn ra 5 bông hoa gồm 2 hoa hồng,2 hoa cẩm chướng và một hoa lai ơn?

13.Một tổ có 8 em nam và 2 em nữ.Người ta cần chọn ra 5 em trong tổ tham gia cuộc thi học sinh
thanh lịch của trường.Yêu cầu trong các em được chọn có ít nhất một em là nữ.Hỏi có bao nhiêu cách
chọn?

14.Một nhóm học sinh có 7 em nam và 3 em nữ.Người ta cần chọn ra 5 em trong nhóm tham gia
đồng diễn thể dục.Trong 5 em được chọn, yêu cầu khơng có q một em nữ.Hỏi có bao nhiêu cách
chọn?

15.Cô giáo chia 4 quả táo,3 quả cam và 2 quả chuối cho 9 cháu (mỗi cháu một quả ).Hỏi có bao
nhiêu cách chia khác nhau?

HD:

Chọn 4 trong 9 cháu để phát táo:C94

Chọn 3 trong 5 cháu còn lại để phát cam:C53

Hai cháu còn lại sẽ phát chuối:1 cách
Theo qui tắc nhân:

</div>
(38)<div class='page_container' data-page=38>

§ NHỊ THỨC NIU -TƠN



Tuần:
Tiết:
Mục đích:

* Về kiến thức:

+Củng cố kiến thức về nhị thức Niu-tơn

* Về kỹ năng:

+Hs vận dụng các cơng thức làm tốt các dạng tốn cơ bản: khai triển nhị thức, tìm số hạng
hoặc hệ số của số hạng trong khai triển.

+Hs giải được các pt đơn giản chứaC A Pnk; nk; n

Phương pháp: Đàm thoại gợi mở.
Tiến trình lên lớp:

* Ổn định lớp.
 * Kiểm tra bài cũ:

Từ các số 1,2,3,4,5,6 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên
a.Gồm 3 chữ số đôi một khác nhau?

b.Gồm 3chữ số?

c.Gồm 3 chữ số và phải chia hết cho 2?
A.Các kiến thức cần nhớ:

Nhị thức Niu – Tơn:

D ng khai tri n:

ạ

ể

0 1 1

( )n n n ... k n k k ... n n

n n n n

a b C a C a b C a b C b

       (1)

Với a=b=1, 2n = Cn0Cn1...Cnn
Với a= 1, b = -1,

0 = Cn0 Cn1... ( 1)  kCnk ... ( 1)  nCnn
Số hạng thứ k+1 của khai triển: C a bnk k n k

Chú ý: Số các hạng tử trong (1) là n+1

Số mũ của a giảm dần , số mũ của b tăng dan dần từ trái sang phải. nhung tong các số mũ bắng
n

Các hệ số của mỗi hạng tử cách đều 2 hạng tử đầu và cuối thì bằng nhau.
Ví dụ và bài tập:

Ví dụ:

1.Viết cơng thức khai triển





x

2.Tính hệ số của x y12 13trong khai triển





x y

Giải:

Số hạng chứa y13 ứng với số hạng thứ 14.
Vậy hệ số của số hạng thứ 14 là: C13255200300

3.Tìm hệ số của x3 trong khai triển





3x 4

Giải:

Cách 1: Khai triển nhị thức, tìm hệ số của số hạng chứa x3

Cách 2: Số hạng thứ k +1 trong khai triển có dạng:



 







5 5

5 3 4 53 4

k k k

k k k k

C x   C   x

Vậy hệ số của x3 là:





2
3 3

53 4 4320

</div>
(39)<div class='page_container' data-page=39>

Bài tập:

1.Khai triển các biểu thức sau:

a.(2x – 3y)4 b.(y + 2x)5
2.Tìm hệ số khơng chứa x trong khai triển:

a.(2x + 2
2

x )6 b.(2x + 3

x )8

3.Tìm số hạng chứa x5 trong khai triển

 



 

 

6
3

1
2x

x .

4.Tìm số hạng khơng chứa x trong khai triển

 



 

 

2
x

x .

5.Tìm số hạng thứ năm trong khai triển

 



 

 

2
x

x mà trong khai triển đó số mũ của x giảm

dần.

6.Tính hệ số của x9trong khai triển



2 x



7.Tính hệ số của x7 trong khai triển





1x

8.Tính hệ số của x y5 8 trong khai triển





x y

9.Tính hệ số của x101 99y trong khai triển





200

2x 3y

10.Biết hệ số của x2 trong khai triển (1 3 ) x n là 90. Tìm n.
Giải: Xác định n.





C (1 ) 3k n k k 3 Ck k k

n  x  nx .

Tương ứng với k 2. 3 C2 2n.

2 2 5

3 C 90

n

n
n




  



 n5.
11.Tìm hệ số của x7trong khai triển



3 2 x



12.Trong khai triển (1ax)n ta có số hạng thứ hai là 24x, số hạng thứ ba là 252x2.
Tìm a và n ?

Giải: Xác định a và n.





C (1 )k n k k k k kC

n  ax a nx .

Số hạng thứ hai là a xC1n và số hạng thứ ba là a2 2 2Cnx .

2 2 2 2

C 24 8

C 252

n
n

a x x n

a

a x x

   





 



 



 .

</div>
(40)<div class='page_container' data-page=40>

§ PHÉP THỬ VÀ BIẾN CỐ



Tuần:
Tiết:
Mục đích:

* Về kiến thức:

+Củng cố kiến thức về phép thử và biến cố
 * Về kỹ năng:

+Hs mơ tả được khơng gian mẫu, xác định được biến cố của phép thử.
Phương pháp: Đàm thoại gợi mở.

Tiến trình lên lớp:
 * Ổn định lớp.
 * Kiểm tra bài cũ:

Gieo đồng tiền ba lần.Mô tả không gian mẫu. Xác định các biến cố sau:
a.Lần gieo đầu xuất hiện mặt ngửa?

b.Có đúng hai lần xuất hiện mặt sấp?
c.Có duy nhất một lần xuất hiện mặt sấp?
d.Có ít nhất một lần xuất hiện mặt sấp?
A.Các kiến thức cần nhớ:

Phép thử và biến cố:

* Phép thử ngẫu nhiên: là phép thử ta ko đoán trước được kết quả , mặc dù đã biết tập hợp các
kết quả có thể xảy ra.

* Không gian mâu: tập hợp các kết quả có thể xảy ra của phép thử đgl khơng gian mẫu. K/h: 
* Biến cố: biến cố là tập con của kgmẫu.

Tập  đgl biến cố không, Tập  đgl biến cố chắc chắn

Phép toán trên các biến cố: \A đgl biến cố đối của biến cố A. K/h : A
- AB đgl hợp của 2 biến cố.

- AB đgl giao của 2 biến cố.

- AB = , A và B đgl là 2 biến cố xung khắc
B.Ví dụ và bài tập:

1.Gieo một con súc sắc cân đối, đồng chất và quan sát số chấm xuất hiện.
a.Mô tả không gian mẫu?

b.Xác định các biến cố sau:

A:”Xuất hiện mặt có số chấm nhỏ hơn 5”.

B:” Xuất hiện mặt có số chấm là số lẻ không lớn hơn 3”.

2.Gieo đồng tiền liên tiếp 3 lần. Hãy mô tả không gian mẫu? Xác định các biến cố sau:
a.Mặt sấp xuât hiện ít nhất 1 lần

b.Lần đầu xuất hiện mặt ngửa.

3.Gieo con súc sắc 2 lần. Hãy mô tả không gian mẫu. Xác định các biến cố :
a. Tổng số chấm trong 2 lần gieo là 8

b.Lần đầu xuất hiện mặt 5 chấm
c.Cả 2 lần gieo là như nhau.

4.Gieo một đồng tiền 2 lần và quan sát sự xuất hiện mặt sấp, ngửa.Mô tả không gian mẫu .Xác định các
biến cố:

a.Lần gieo đầu xuất hiện mặt sấp?
b.Kết quả hai lần gieo khác nhau?
c.Lần gieo sau xuất hiện mặt ngửa?

5.Một con súc sắc được gieo ba lần.Quan sát số chấm xuất hiện.Mô tả không gian mẫu. Xác định các
biến cố sau:

a.Tổng số chấm hai lần gieo là 6?

</div>
(41)<div class='page_container' data-page=41>



Tuần:
Tiết:
Mục đích:

* Về kiến thức:

+Củng cố kiến thức về phép thử và biến cố, xác suất của biến cố.
 * Veà kỹ năng:

+Hs mơ tả được khơng gian mẫu, xác định được biến cố của phép thử, tính xác suất của biến
cố.

Phương pháp: Đàm thoại gợi mở.
Tiến trình lên lớp:

* Ổn định lớp.
 * Kiểm tra bài cũ:

Gieo đồng tiền ba lần.Mô tả không gian mẫu. Xác định biến cố sau:
a.A:”Lần gieo đầu xuất hiện mặt ngửa?”

b.Tính xác suất của biến cố A?
A.Các kiến thức cần nhớ:

Xác suất của biến cố:

P(A): xác suất của biến cố A.

( )

n  : là số phần tử của kgm.

n(A): số phần tử của biến cố A.
Tính chất của xác suất:

( ) 0, ( ) 1

P   P   .

0P(A) 1, với biến cố A.
Nếu A và B xung khắc thì
P(AB) = P(A) + P(B)

Hệ quả:

P (A) = 1 - P(A)

Biến cố độc lập công thức nhân xác suất:

- Nếu sự xảy ra của 1 biến cố không ảnh hưởng đến xác suất của 1 biến cố khác thì ta nói 2 biến cố
đó độc lập.

- A và B là 2 biến cố độc lập khi và chỉ khi:
P(A.B) = P(A).P(B)

Ví dụ và bài tập:
Ví dụ:

1.Một hộp chứa 3 bi trắng, 2 bi đỏ. Tính xác suất
a/biến cố A: “lấy ra 2 bi màu trắng”
b/biến cố B: “lấy ra 2 bi khác màu”.
Giải:

Không gian mẫu: lấy 2 viên bi trong 5 viên bi n( ) C  25 10.

a/A:” Lấy 2 bi màu trắng: n A( ) C 32 3.

( ) 3

P( )

( ) 10

n A
A

n

 



b/B:”Lấy 2 bi khác màu: 1 đỏ ,1 trắngn B( ) 2.3 6  Vậy

( ) 3
P( )

( ) 5
n B
B

n

 


P(A) =

( )
( )

</div>
(42)<div class='page_container' data-page=42>

2.Hai bạn lớp 10 và hai bạn lớp 12 được xếp vào 4 ghế ngồi thành hàng ngang.
i). Tính xác suất của biến cố A: “các bạn lớp 10 ngồi cạnh nhau”.

ii). Tính xác suất của biến cố B: “các bạn cùng lớp không ngồi cạnh nhau”.
Giải: Khơng gian mẫu:

xếp 4 bạn vào 4 ghế thành hàng ngang .n( ) P  4 24.

i/ n A( ) 2.2 2.2 2.2 12    Vậy:

( ) 1
P( )

( ) 2
n A
A

n

 



ii/ n B( ) 2.2 2.2 8   Vậy:

( ) 1
P( )

( ) 3
n B
B

n

 



3.Gieo một con súc sắc hai lần. Tính xác suất của biến cố A: “ít nhất một lần xuất hiện mặt sáu
chấm”.

Giải: Khơng gian mẫu: gieo một con xúc sắc hai lần. n( ) 36  .

Biến cố: Ít nhất một lần xuất hiện mặt sáu chấm: n A( ) 11 . Vậy:

11
P( )

A 

.
4.Gieo ba lần một con súc sắc. Tính xác suất để cả ba lần xuất hiện số chấm như nhau.
Gieo một con xúc sắc ba lần.

Giải:Không gian mẫu:  





i j k, ,



,1i j k, , 6



. n

 

 6.6.6 216
Biến cố: ba lần số chấm xuất hiện như nhau: n A( ) 6 . Vậy:

6
P( )

216

A 

.
5. Gieo một đồng tiền bốn lần. Tính xác suất bốn lần xuất hiện mặt sấp

Giải:Không gian mẫu:Gieo đồng tiền bốn lần: n( ) 4.4 16   .
Biến cố: Cả 4 lần đều xuất hiện mặt sấp. n A( ) 1 . Vậy:

1
P( )

A 

.
Bài tập:

1. Gieo ngẫu nhiên con súc sắc 2 lần. Mơ tả khơng gian mẫu. tính xác suất:
a.Mặt 6 chấm xuất hiện đúng 1 lần.

b.Tổng số châmư xuất hiện trong hai lần gieo là 7
c.Mặt 5 chấm xuất hiện ít nhất 1 lần.

2.Từ một hộp chứa 8 quả cầu đen và 4 quả cầu trắng, lấy ngẫu nhiên 3 quả. Tính xác suất sao cho
a.Bốn quả lấy ra cùng màu.

b.Có ít nhất một quả màu trắng.

3.Chọn ngẫu nhiên một số nguyên dương nhỏ hơn 9.Tính xác suất để:
a.Số được chọn là số chẵn?

b.Số được chọn là số chẵn?
c.Số được chọn là số nguyên tố?
d.Số được chọn chia hết cho 3?

4.Một tổ có 7 nam và 3 nữ.Chọn ngẫu nhiên hai người.Tính xác suất sao cho hai người đó:
a.Cả hai đều là nữ?

b.Khơng có nữ nào?
c.Ít nhất một người là nữ?
d.Có đúng một người là nữ?

5.Một hộp chứa 10 quả cầu đỏ được đánh số từ 1 đến 10; 20 quả cầu xanh được đánh số từ 1 đến
20.Lấy ngẫu nhiên một quả.Tìm xác suất sao cho quả chọn được :

a.Ghi số chẵn.
b.Màu đỏ.

c.Màu đỏ và ghi số chẵn.
d.Màu xanh hoặc ghi số lẻ.

</div>
(43)<div class='page_container' data-page=43>

a.Tổng số chấm hai lần gieo là 6.
b.Tổng số chấm hai lần gieo nhỏ hơn 6.
c.Số chấm lần gieo sau gấp đơi lần đầu.

d.Ít nhất một lần gieo xuất hiện mặt một chấm.
e.Cả hai lần gieo đều là chẵn chấm.

f.Số chấm hai lần gieo đều là số nguyên tố.
g.Tổng số chấm hai lần gieo nhỏ hơn 5.

7.Từ cỗ bài tú lơ khơ 52 lá, rút ngẫu nhiên cùng lúc bốn con.Tính xác suất sao cho:
a.Cả bốn con đều là con K.

b.Được ít nhất 3 con at.
c.Được 3 con át và 1 con K.
d.Khơng có con át nào.

8.Một nhóm học sinh có 7 em nam và 3 em nữ.Người ta cần chọn ra 5 em trong nhóm tham gia
đồng diễn thể dục.Tính xác suất sao cho trong 5 em được chọn có 3 em là nam?

9.Lấy ngẫu nhiên cùng lúc 6 viên bi, từ một hộp gồm 15 viên bi xanh, 10 viên bi đỏ và 6 viên bi
vàng.Tính xác suất sao

a.Cả 6 viên bi đều màu đỏ?

b.Chọn ra 6 viên bi, gồm 3 bi đỏ, 2 bi xanh và 1 bi vàng?

10.Từ một hộp chứa ba quả cầu trắng và hai quả cầu màu đen, lấy ngẫu nhiên hai quả.Tính xác suất để
lấy được cả hai quả đều màu trắng?

11.Gieo đồng thời hai con súc săc.Tính xác suất sao cho:
a.Hai con đều xuất hiện mặt chẵn chấm?

b.Tích các số chấm trên hai con bài là số lẻ?

12.Gieo một con súc sắc ba lần.Tính xác suất sao cho mặt sáu chấm xuất hiện hai lần.

13.Một hộp chứa 6 quả cầu trắng, và bốn quả cầu đen, lấy ngẫu nhiên đồng thời 4 quả. Tính xác suất
sao cho:

a.Bốn quả cùng màu.
b.Có 3 qủa trắng.
c.Có 2 quả trắng.

d.Có ít nhất một quả trắng.

14.Một túi đựng 4 quả cầu đỏ, 6 quả cầu xanh.chọn ngẫu nhiên đồng thời 4 quả.Tính xác suất sao để
trong 4 quả có cả màu xanh và màu đỏ?

15Gieo đồng thời hai con súc sắc cân đối.Tính xác suất để số chấm trên hai con súc sắc hơn kém nhau
hai?

16.Chọn ngẫu nhiên 5 người có tên trong danh sách 20 người được đánh dấu từ 1 đến 20.Tính xác suất
sao cho 5 người được chọn có số thứ tự không lớn hơn 10?

17.Gieo hai con súc sắc cân đối.
a.Mô tả không gian mẫu.
b.Tính xác suất của biến cố

-Biến cố A:”Tổng số chấmcủa hai con súc sắc nhỏ hơn hoặc bằng 7”.
-Biến cố B:”Có ít nhất một con súc sắc xuất hiện mặt 6 chấm ’’.
-Biến cố C:’’Có đúng một con súc sắc xuất hiện mặt 6 chấm”.

ÔN TẬP CHƯƠNG I- II



Tuần:
Tiết:
Mục đích:

* Về kiến thức:

</div>
(44)<div class='page_container' data-page=44>

+Hs mơ tả được khơng gian mẫu, xác định được biến cố của phép thử.
Phương pháp: Đàm thoại gợi mở.

Tiến trình lên lớp:
 * Ổn định lớp.
 * Kiểm tra bài cũ:

Gieo đồng tiền hai lần.Mô tả không gian mẫu. Xác định các biến cố sau:
a.Lần gieo đầu xuất hiện mặt sấp?

b.Cả hai lần xuất hiện mặt sấp?
Bài 1: Tìm tập xác định của các hàm số sau:
a. y =

1 cos
sin 2

x
x



b. y =

tan
3 cos

x
x

 c. y =

cot
2sin 1

x
x
d. y = cot( 3x+

5π

3 ¿ e. y =

tanx+3

sin 3x f. y = cos3 1

x
x

g. y =

cosx cos3x h. y = tanx + cotx k. y =

√

1−cosx

1+cosx

Bài 2: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau:
a. y = 5 3cos x b. y = 1+ 2sin22x c. y = 4 - 3 |cosx|
d. y = 2

2
1 sin x



 e. y = 1 – 2sin2x f. y = -2 +

√

1−cosx
g. y = 3cos

√

x −1 h. y = 3

√

sinx -2 k. y = 2- cosx

Bài 3:Giải các pt sau:
1.

2 os 2 1 0

c  x  

  2.





0 0

os 30 3 os60

c  x c

os 0

2 2

x

c  





0 0

os 3 20 sin 70

c x 

os 3 os2

c  x c x

  6.

0 1

os 15 0

3 2

x

c    

 

2sin 3 2 0

x 

 

  

 

  8.

sin 0

2 2

x

 









0 0

sin 30  x sin 2x10

10.





0 0

tan x 20 tan 50

11.tan 3x tanx0 12.

tan 15 3

x

 

 

 

 

13.

ot 2 1

c  x  

  14.3 otc



 x



 3 15.cot 4x 2

16.

ot 3

c x 

  17.





ot 20 2

c x 

18.cot 3x0

Bài 4: Giải các phương trình sau:

a. 3cos2 2x + 5cos2x + 2 = 0 b. sin23x – 4sin3x + 3 = 0
c. cot2x – 5cotx + 6 = 0 d. tan2x + (1 -

√

3 )tanx -

√

3 = 0
e. 5cos2(x+1) + 7sin(x+1) – 7 = 0 f. tan4x – 5tan2x + 4 = 0

g. sin3x + 3sin2x + 2sinx = 0 h. cos2x + 9cosx + 5 = 0
i. sin22x – 2cos2x + 3

4 = 0 j. 2cos42x – 5cos22x + 3 = 0

a. 2sin2x – 5sinx – 3 = 0 b. cot22x +4cot2x +3 = 0
c. 2cos2x +3sinx - 3 = 0 d. tan4x + 4tan2x - 5 = 0
Bài 5: Giải các phương trình sau:

</div>
(45)<div class='page_container' data-page=45>

g. =









0 0

sin x30  3 cos x30  2

h. sinx =

√

2 sin3x – cosx

k.sinx 3 osc x1 0 l.









0 0

3 sin x10  cos x10 2

sin 3 os 3

3 3

x  c x 

   

   

   

    n. 3 cosx sinx2

Bài 6:Giải các phương trình sau:

a.sin 4x 2cos 2x0 b.8 os3 .sin 3 . os6c x x c x 2 (HD: sin 2 2sin . os c  )
c.tan 2x 2 tanx0 d.2 osc 2x c os2x2

e. 2Sin2x – 5SinxCosx +3 Cos2x = 0
f. 3Sin2x – 6SinxCosx – 2Cosx = 3
g. Cos2x + 2SinxCosx + Sin2x = 2
h. Sin2x – 6SinxCosx + 5Cos2x = 0

Bài 7: Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số và chia hết cho 5?

Bài 8: 11.Một hộp chứa 5 viên bi xanh, 10 viên bi đỏ và 6 viên bi vàng.Hỏi có bao nhiêu cách 
a.Chọn ra 6 viên bi bất kì?

b.Chọn ra 6 viên bi, gồm 3 bi đỏ, 2 bi xanh và 1 bi vàng?

Bài 9:Một bó hoa gồm 8 hoa cúc, 5 hoa ly, 4 hoa lai ơn. Hỏi có bao nhiêu cách
Chọn ra 5 bông hoa gồm 2 hoa cúc,2 hoa ly và một hoa lai ơn?

Bài 10:Gieo đồng thời hai con súc săc.Tính xác suất sao cho:
a.Hai con đều xuất hiện mặt lẻ chấm?

b.Tích các số chấm trên hai con súc sắc nhỏ hơn 5?

Bài 11:Gieo một con súc sắc hailần.Tính xác suất sao cho mặt sáu chấm xuất hiện một lần.

Bài 12:Một hộp chứa 5 quả cầu trắng, và bốn quả cầu đen, lấy ngẫu nhiên đồng thời 4 quả. Tính xác 
suất sao cho:

a.Bốn quả cùng màu. b.Có 3 qủa đen.

c.Có 2 quả trắng. d.Có ít nhất một quả trắng.

Bài 13:Một túi đựng 4 quả cầu đỏ ,7 quả cầu xanh.chọn ngẫu nhiên đồng thời 4 quả.Tính xác suất sao 
để trong 4 quả lấy ra gồm 3 đỏ ,1xanh?

Bài 14:.Một tổ có 10 nam và 6 nữ.Chọn ngẫu nhiên ba người.Tính xác suất sao cho ba người đó:
a.Cả hai đều là nam? b.Khơng có bạn nào là nam?

c.Hai nam, một nữ? d.Có đúng một người là nam?

Bài 15.Tìm số hạng khơng chứa x trong khai triển

 



 

 

2
3x

x .

Bài 16:Tìm số hạng sáu trong khai triển

 



 

 

1
x

x mà trong khai triển đó số mũ của x giảm dần.

Bài 17.Tính hệ số của x6trong khai triển



2 3 x



Bài 18.Tính hệ số của x7 trong khai triển





2 3 x

CHƯƠNG III

DÃY SỐ .CẤP SỐ CỘNG VÀ CẤP SỐ NHÂN

§ PHƯƠNG PHÁP QUI NẠP TỐN HỌC



Tuần:

Tiết:
Mục đích:

* Về kiến thức:

</div>
(46)<div class='page_container' data-page=46>

+Hs vận dụng phương pháp qui nạp tốn học đểchứng minh một số bài tốn đơn giản.
Phương pháp: Đàm thoại gợi mở.

Tiến trình lên lớp:
 * Ổn định lớp.
 * Kiểm tra bài cũ:

Chứng minh:





1 2 3 ...

n n

n 

    

A. Kiến thức cần nhớ

1. Phương pháp quy nạp toàn học:

Vd1:Chứng minh (n33n25 ) 3n  (n).

Kiểm tra với n1 vì n .

Với n1 có (1 3.1 5.1) 33 2  là mệnh đề đúng.

Giả sử mệnh đề đúng với n k 1 tức là (k33k25 ) 3k  .
Cần chứng minh

3 2

(k 1) 3(k 1) 5(k 1) 3

      

 

Khai triển và thu gọn được

3 2 2

(k 3k 5 ) 3(k  k 3k3).

(k33k25 ) 3k  và 3(k23k3) 3 do đó

3 2 2

(k 3k 5 ) 3(k k 3k 3) 3

      

 

(n33n25 ) 3n  (n).

Vd 2:Chứng minh (4 1) 3n  (n).

 Kiểm tra với n1 vì n .

Với n1 có (4 1) 31  là mệnh đề đúng.

Giả sử mệnh đề đúng với n k 1 tức là (4 1) 3k  .
Cần chứng minh (4k1 1) 3 .

 (4k11) (4.4 1) (4 1) 3.4 k  k  k

 (4 1) 3k  và 3.4 3k do đó (4 1) 3.4 3

k k

   

 

 (4 1) 3n  (n).

Vd3:Chứng minh (4n15n1) 9 (n).

 Kiểm tra với n1 vì n .

</div>
(47)<div class='page_container' data-page=47>

 Giả sử mệnh đề đúng với n k 1 tức là (4k15 1) 9k  .

 Cần chứng minh

4k 15(k 1) 1 9

    

 

 Khai triển và thu gọn được

4k 15(k 1) 1 (4 15k k 1) 3(4k 5)

        .

 (4k 15 1) 9k  .
 (4k5) (4 1 6) k  .

Vì (4 1) 3k  (theo câu trên) nên (4 1) 3k  q với q .
Do đó

(4k5) (4 1 6) (3 k   q6) 3( q2) 3 .
 Vì (4k5) 3 neân 3(4k5) 9 .

 (4 15n n 1) 9 (n).

Bài tập:

1.Chứng minh đẳng thức sau (với n *)







3 1



2 5 8 ... 3 1

n n

n 

     





3 9 27 .... 3 3 3
2

n n

     

2.Chứng minh đẳng thức sau (với n *)

a.2n3 3n2n chia hết cho 6

b. n33n25n chia hết cho 3

c.4n15n1 chia hết cho 9

d.n311n chia hết cho 6.

§ DÃY SỐ

 

Tuần:
Tiết:
Mục đích:

* Về kiến thức:

+Củng cố kiến thức về dãy số tăng,giảm,bị chặn.
 * Về kỹ năng:

</div>
(48)<div class='page_container' data-page=48>

Phương pháp: Đàm thoại gợi mở.
Tiến trình lên lớp:

* Ổn định lớp.
 * Kiểm tra bài cũ:

Viết năm số hạng đầu của dãy số

 

un , biết un  1



n1 .2



n

A. Kiến thức cần nhớ:
1.Dãy số tăng, dãy số giảm:

Tăng: un1un   n *

Giảm:un1un   n *

2.Dãy số bị chặn:

-Dãy số

 

un đgl bị chặn trên nếu tồn tại số M sao cho: un M   n *.

-Dãy số

 

un đgl bị chặn dưới nếu tồn tại số m sao cho: un m   n *.

-Dãy số đgl bị chặn nếu nó vừa bị chặn dưới vừa bị chặn trên, tức tồn tại số m, M sao cho:

n

m u m   n

Chú ý: Các dấu bằng nêu trên khơng nhất thiết xảy ra.
B.Ví dụ và bài tập:

Vd1:Xét tính tăng, giảm của dãy số un  1 2n .
Giải:

1 11 2

n

u
n

  

 .

1 11 1

n n

u u

n n

   

 .

1 11 1 0

n n

u u n

n n


      

  .

1 2

n

u
n

 

là dãy số giảm.

Vd2:Xét tính bị chặn của dãy số un  1 2n .
Giải:



0 1

n

 



2 2 1

n

   

 Daõy số un  1 2n bị chặn.

Vd3:Xét tính bị chặn của dãy số un n21.
Giải:1n2.

 0n2 1.

 Dãy số un n21 bị chặn dưới.
Bài tập:

</div>
(49)<div class='page_container' data-page=49>

2 1
3

n
n
u

n




 b.un  2n21

2 3

n

n n

u
n




 d.

2 1
3

n

n
u

n






2 1
2 1

n
n n
u  

 f. n 3n

n
u 

2
1

1 ; 1

n

n n
u

u

u  u n






  



 h.

; 1
1

n
n

n
u

u

u n

u







 

 


Hãy viết năm số hạng đầu của mỗi dãy số trên?

2.Viết năm số hạng đầu và khảo sát tính tăng giảm của các dãy số

 

un sau :

a.un 101 2 n b.un 3n 7

c. 2

2 1

n
n
u

n




d.
3

n
n n

n
u 
3.Xét tính tăng ,giảm của các dãy số

 

un :

a.
1

n
u

n

 

1
1

n
n
u

n






2 1
5 2

n
n
u

n




 d.





1
3

n
u

n n




4.Trong các dãy số

 

un sau, dãy số nào bị chặn dưới, dãy số nào bị chặn trên?

a.un n2 3 b.

1
1

n n
u

n






c. 2

1
2

n
u

n



 d.un sinn c n os

§ CẤP SỐ CỘNG

 

Tuần:
Tiết:
Mục đích:

* Về kiến thức:

+Củng cố kiến thức về cấp số cộng.
 * Veà kỹ năng:

+Hs làm được các bài tập cơ bản :cm dãy số là cấp số cộng, xác định n, d, số hạng thứ n,
tổng của n số hạng đầu của cấp số cộng.

</div>
(50)<div class='page_container' data-page=50>

Tiến trình lên lớp:
 * Ổn định lớp.
 * Kiểm tra bài cũ:

Cho CSC có u1 2; u2055. Tính cơng sai d và tổng của 20 số hạng đầu?

A. Kiến thức cần nhớ

1.Đinh nghĩa:

 

un : csc un1 und ;n *

PP cm

 

un là csc:

 

un : csc un1 un d ; d là hằng số.

2.Số hạng tổng quát: un u1



n1



d



n2



3.Tính chất:





1 1 2

k k

k

u u

u     k

4.Tổng của n số hạng đầu tiên:



1 2



n

n u u

S   n 





2 1

n

n u n d

S     
Ví dụ và bài tập:

Vdụ 1:Cho dãy số

 

un với un  9 5n

a.Viết 5 số hạng đầu của dãy?

b.Chứng minh dãy số đã cho là cấp số cộng. Chỉ rõ u d1;

c.Tính tổng của 100 số hạng đầu tiên.
Giải:

a.4;-1;-6;-11;-16

b.Xét hiệu: un1 un 5

Vậy: dãy số đã cho là cấp số cộng, với u1 4 ;d 5

c.Áp dụng công thức:







 



100

2 1

100 2.4 100 1 5

24350
2

n

n u n d

S
S

 

 

 



  

 

 

 

Vd2:Tìm u1 và d biết

1 5

2 0

u u

S

 






 .

1 ( 1)

n

u u  n d.

 1

( 1)

n n n d

S nu  

 u5 u14d vaø S4 4u16d.



1
1

3 8 0

2 3 7

u d

 




 





1 8

3
u
d








Vd 3: Một hội trường có 10 dãy ghế, biết rằng mỗi dãy ghế sau nhiều hơn mỗi dãy ghế trước 20
ghế và dãy sau cùng có 280 ghế. Hỏi hội trường có bao nhiêu ghế ?

10 , 20 , 280

</div>
(51)<div class='page_container' data-page=51>

 Tính S10.

 u10 u19d u1u10 9d100.

 S10 10(100 280) 19002


 

.
Bài tập:

1.Tìm xtrong các cấp số cộng 1;6;11…và 1;4;7;…
a.1 6 11 16 ...     x 970



x1

 

 x4



...



x28



155

2.Trong các dãy số

 

un sau, dãy số nào là cấp số cộng?

a.un 3n1 b.un 2n1





2 2

1
n

u  n  n

1
1

3
1

n n

u

u  u





 


3.Tìm xtừ pt:

a.2 7 12 ...    x 245 biết 2;7;12;…;x là cấp số cộng.



2x1

 

 2x6

 

 2x11



...



2x96



1010biết 1;6;11…là cấp số cộng.
4.Tính số hạng đầu và cơng sai của cấp số cộng, biết:

1 5

2 0

u u
S

 






 b.

4
7

10
19

u
u









1 5 3

1 6

10
7

u u u
u u

  




 

 d.

7 3

2 7

8
. 75

u u
u u

 







5.Cho CSC có u1=3;

; 7

27 n

d  u 

.Xác định n và tính tổng Sn.

6.Cho CSC :4;7;10;13;16 …
a.Tìm số hạng thứ 12?

b.Tính tổng 15 số hạng đầu tiên?

§ CẤP SỐ NHÂN



Tuần:
Tiết:
Mục đích:

* Về kiến thức:

+Củng cố kiến thức về cấp số nhân.
 * Về kỹ năng:

+Hs làm được các bài tập cơ bản :cm dãy số là cấp số nhân xác định n, q, số hạng thứ n,
tổng của n số hạng đầu của cấp số nhân.

Phương pháp: Đàm thoại gợi mở.
Tiến trình lên lớp:

</div>
(52)<div class='page_container' data-page=52>

* Kiểm tra bài cũ:

Cho CSN có u12; q2. Tính cơng bội q và tổng của 12 số hạng đầu?

A. Kiến thức cần nhớ

1.Đinh nghĩa:

 

un : csn un1u q nn. ;  *

PP cm

 

un là csn:

 

: cs n
n

n
u

u n q

u



 

; q là hằng số.
2.Số hạng tổng quát: un u q1. n1



n2



3.Tính chất: u2k uk1.uk1



k2



4.Tổng của n số hạng đầu tiên:









1 1

n
n

u q

S q

q



 



Ví dụ và bài tập:
Vd1:Chứng minh

1 .3

2 n

n

u 



là cấp số nhân và tính S20.

1 1 .32 n

n

u  



1 .3

2 3

1 .3
2

n
n



(hằng số).


1 .3

2 n

n

u 



là cấp số nhân với u1 1 , 32 q .


20 20

20 u q( 11) 3 4 1

S

q

 

 

 .

Vd 2:Tìm u1 và q biết

5 1

4 2

15
6

u u

 




 

 .

1 n

n

u u q 

 .

 u2 u q u1 , 4 u q1 3 ,u5 u q1 4.



4
1

3
1

( 1) 15

( ) 6

u q

u q q

  




 






1 1

2
u
q







 hoặc

1 16

1
2
u
q











Vd 3:Tìm u1 và q bieát

2 4 5

3 5 6

10
20

u u u

u u u

  




  

 .

Chứng minh

1 .3

2 n

n

u 



là cấp số nhân và tính S20.

1 1 .32 n

n

</div>
(53)<div class='page_container' data-page=53>



1 .3

2 3

1 .3
2

n
n



(hằng số).


1 .3
2

n
n

u 



là cấp số nhân với u1 1 , 32 q .


20 20

20 u q( 11) 3 4 1

S

q

 

 

 .

Vd 4:Viết 3 số hạng xen giữa các số

2 và 8 để được một cấp số nhân có năm số hạng

1 1 ;2 5 8

u  u 

.


4 4 5

5 1

. u 16 2

u u q q q

u

     

 u11 ;2 u2 1 ;u3 2 ;u4 4 ;u5 8.
 u11 ;2 u2 1 ;u3 2 ;u4 4 ;u5 8.
Bài tập:

1.Trong các dãy số

 

un sau, dãy số nào là cấp số nhân?





2 1

3 n
n

u   

b.un 33 1n

1
2
1

n n
u

u  u









 d.

1
1

2
5

n n n
u

u  u u






 



2.Tìm các số hạng của cấp số nhân

 

un ,biết:

a.q2 ,un 96 , Sn 189

b. 1

1 31

2 , ,

8 8

n n

u  u  S 

3.Tìm số hạng đầu và công bội của cấp số nhân

 

un ,biết:

5 1

4 2

15
6

u u
u u

 




 

 b.

2 4 5

3 5 6

10
20

u u u
u u u

  




  



4.Viết bốn số xen giữa các số 5 và 160 để được một cấp số nhân.
5.Cho cấp số nhân

 

un có

1 5

2 6

51
102

u u
u u

 




 



a.Tìm số hạng đầu và công bội của cấp số nhân?

b.Hỏi tổng của bao nhiêu số hạng đầu tiên sẽ bằng 3069?
c.Số 12288 là số hạng thứ mấy?

6.Cho cấp số nhân

 

un có 1

1
3 ,

u  q
a.Tính u7

b.Hỏi
3

</div>
(54)<div class='page_container' data-page=54>

7.Cho cấp số nhân

 

un có u1 2 ,u318.Tính tổng của 12 số hạng đầu tiên?

8.Cho cấp số nhân

 

un có cơng bội q

a.Biết u1 2 ,u7 128.Tìm q?

b.Biết 4

1 1

;

2 2

q u 

. Tìm u1?

c.Biết u13 ,q2.Hỏi 192 là số hạng thứ mấy?

9.Tìm các số hạng của cấp số nhân

 

un có năm số hạng, biết:

a.u3 3 ;u5 48

4 2

3 1

12
6

u u
u u

 




 


10.Tìm cấp số nhân có sáu số hạng, biết rằng tổng của năm số hạng đầu là 93, tổng của năm số
hạng sau là 186?

11.Cho csn có u12 ;u6 64. Tính tổng 10 số hạng đầu của csc đó.

§ ƠN TẬP CHƯƠNG III



Tuần:
Tiết:
Mục đích:

* Về kiến thức:

+Củng cố kiến thức về dãy số, cấp số cộng ,cấp số nhân.
 * Về kỹ năng:

+Hs làm được các bài tập cơ bản :

- Cm dãy số là cấp số nhân xác định n, q, số hạng thứ n, tổng của n số hạng đầu của cấp số
nhân.

- Cm dãy số là cấp số nhân xác định n, d, số hạng thứ n, tổng của n số hạng đầu của cấp số
cộng.

</div>
(55)<div class='page_container' data-page=55>

Phương pháp: Đàm thoại gợi mở.
Tiến trình lên lớp:

* Ổn định lớp.
 * Kiểm tra bài cũ:

Cho CSN có u12; q3. Tính cơng bội q và tổng của 9 số hạng đầu?

Các dạng bài tập:

1.Xét tính tăng, giảm và bị chặn của các dãy số sau?
a.

1
2

n

u n

n

 

3 1
1

n
n
u

n




 c. n 2 1

n
u

n



2.Chứng minh rằng với mọi n *, ta có:

a.13n1chia hết cho 6.

b.3n315n chia hết cho 9.

3.Cho dãy số

 

un biết u12 ;un12un1



n1



Viết năm số hạng đầu của dãy?

4.Tìm số hạng đầu và công sai của cấp số cộng biết:
a.

1 5

6 2

2 3 25

u u
u u

 




 

 b.

1 5

5 0

u u

S

  






5.Tìm số hạng đầu và cơng bội của cấp số nhân biết:

9
8

128
64

u
u







 b.

5 2

1 3

2 11

u u

 




 



6.Cho dãy số

 

un biết un 3n.Tìm số hạng un1;u2n ;un1 ;u2 1n
7.Tìm x y, trong cấp số cộng 2; ;6;x y

8.Tìm y trong cấp số nhân 4; ; 9x 

9.Cho dãy số

 

un xác định bởi công thức 1 1





; 2 2

2 n n

u  u u   n n

.Hãy tính u15?

10.Cho dãy số

 

un xác định bởi cơng thức u11;un 2 .n un1



n2



.Hãy tính u11?

11.Cho csc

 

un có u2 2001;u5 1995.Tính u10?

12.Cho csn

 

un có u2 2 ;u5 54.Tính tổng của 16 số hạng đầu tiên?

ƠN TẬP HỌC KÌ I

Tuần: 17-18
Tiết:

Mục đích:

* Về kiến thức:

+ Củng cố lý thuyết về các cơng thức tính giới hạn dãy số. .
 * Về kỹ năng:

+ Biết áp dụng các cơng thức tính giới hạn dãy số., kỹ năng tính toán.
Chuẩn bị:

* Giáo viên: Thước kẻ, phấn màu.
 * Học sinh: Chuẩn bị các bài tập.
Phương pháp: Đàm thoại gợi mở.
Tiến trình lên lớp:

* Kiểm tra bài cũ: Bài tập :
Kiến thức:

A A

</div>
(56)<div class='page_container' data-page=56>

2.

A B A B

2.

A B A B (A > 0)

*Biểu thức liên hợp:



 



2 2

a  b  a b a b 



a b



là biểu thức liên hợp của



a b



và ngược lại.

VD:



 



2 2

A B A B  A  B

I.CẤP SỐ -DÃY SỐ

Bài 1 :Tìm 5 số hạng đầu của các dãy số
1. n 2n 1

n

u 

 2.

1
2
n

n
u

n






2
1
n

n
u

n





 4.





1
2
n

u

n n



Bài 2:Xét tính tăng giảm của dãy số

1.
1

2
n

u
n

 

1
n

n
u

n






Bài 3:Trong các dãy số sau dãy số nào bị chặn dưới, dãy số nào bị chặn trên, dãy nào bị chặn





1
2
n

u

n n




Bài 4:Cho csc có 15 số hạng :-1;3;7;…

Tìm cơng sai d, số hạng thứ 15 và tính tổng của 15 số hạng đầu.

Bài 5: Tìm số hạng đầu và công sai của các cấp số cộng sau:
1.

1 3 5

1 6

10
17

u u u
u u

  




 

 2.

7 3

2 7
8
. 75

u u
u u

 







2 5 7

1 6

1
16

u u u
u u

  




 

 4.

1 3 5

2 6

2
14

u u u
u u

  




 



2 4

3 7

3 14

2 17

u u

 




 

 6.

3 5

14
129

u u
S

 






Bài 6:

1.Cho csc:-2;1;4;7;… tìm số hạng thứ 17.

2.Cho csc có u12;u7 20 tìm d ,tổng 8 số hạng đầu.
Bài 7:CM: n311n chia hết cho 6 với mọi n.

II.TỔ HỢP – XÁC SUẤT:
Bài 1:Cho các số 1,2,3,4,5,6

1.Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 3 chữ số khác nhau (đơi một khác nhau)?
2.Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 3 chữ số?

3.Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau và chia hết cho 5?
4.Tính xác suất để lấy được số có 3 chữ số khác nhau và chia hết cho 5?
Bài 2:Giải pt

1.C39139 2. 3 3.

x
x

A  P 3.Ax2 2

Bài 3:CMR:

1.Cn0Cn1Cn2...Cnn 2n

2. 0 1 2 3 ... 1





... 0

k k n

n n n n n n

C  C C  C   C   C 

3. 1 1 1

k k k

n n n

C C  C

 

</div>
(57)<div class='page_container' data-page=57>

ĐỀ

C

ƯƠ

NG

ƠN

T

Ậ

P H

Ọ

C KÌ I- KH

Ố

I 11



A.

ĐẠ

I S

Ố

:

1.

Hàm số lượng giác

:

T/ C TXĐ TGT C L CKTH ĐB - NB

y= sinx R [ -1; 1] Lẻ 2

ĐB [0 ;2


] NB[2


;]

y= cosx R [ -1; 1] Ch 2 ĐB [-;0] NB[0; ]

y= tanx

R\{2 k k Z, }




  R Lẻ 

ĐB [0; 2


)
y= cotx R\{k k Z,  } R Lẻ  NB (0 ; )
1.1Tìm tập xác định:

a.y =

1 osx
sinx+2

c



. b.y =

1 osx
1-cosx

c

</div>
(58)<div class='page_container' data-page=58>

c.y = Tan( x - 6


) d.y = Cot x(3 12)




.
e.y=

sinx-cosx

2 2 os c x . f.y =

1 sin
sin 1

x
x


 .
g. ysin(2x2 x 3). h .






3
cos

2 1

x
y

x .

1.2.Tìm giá trị lớn nhất giá trị nhỏ nhất:

a.y = 3+ 2 cosx b.y = 2 cosx + 1.
c.y = 2sin(2 5)

x 


. d.y = 3cos2x.

e.y = 1 sinx .a). f .y3 sinx 2.
1.3. Xét tính chẵn lẻ của các hàm số sau :

a. f x( ) sin x x cosx. b. f x( ) 2tan x sin2x.
2. Phương trình lượng giác cơ bản:

a

> 1 a 1

Sinx = a PT VN a giá trị cung ĐB.sin = a
2

x k

 

  

 




  

 (k  Z)

a ko là gtr cung ĐB.
arcsina + k2
x = - arcsina + k2

x 

 





 (k  Z)

Cosx = a PT VN a giá trị cung ĐB.Cos = a
2

x k

 

 




 

 (k  Z)

a ko là gtr cung ĐB.
arccosa + k2
x = - arccosa + k2

x 







 (k  Z)

Tanx = a a là giá trị cung ĐB. Tan=a
x =  + k ,(k  Z)

a ko là gtr cung ĐB.
x = arctana + k ,(k  Z)
Cotx = a a là giá trị cung ĐB. Cot=a

x =  + k ,(k  Z)
a ko là gtr cung ĐB.
x = arccota + k ,(k  Z)
Bài tập: Giải các phương trình sau:





0 3

sin 30

x

 

b. 2 os3c x1 0 .

c. tan 2x 3 0 . d. Cot2x = 
1

3 .
e. Sinx =

2 3

2


3.tan 3 3 0

x 

 

  

 

</div>
(59)<div class='page_container' data-page=59>

i. Cos 3x =
2 2

5 j. 2Cot2x -1 = 2

3. Pt b c nh t và b c 2 đ i v i 1 hs l ng giác:

ậ

ấ

ậ

ố ớ

ượ

Pt Dạng Cách giải

Bậc I aSinx + b = 0
aCosx + b = 0
atanx + b = 0
aCotx + b = 0
(a0)

Chuyển vế b rồi chia 2 vế pt cho a

Giải pt lg cơ bản

Bậc II at2 + bt + c = 0

(a0) t là một trong các

hàm số lượng giác)

Đặt ẩn phụ, ĐK

(Đv sin và cos t 1) giải pt bậc 2 theo ẩn phụ. Rồi 
giải ptlg cơ bản.

Bài tập:
a. 2Sin2 2

x

+ 3sin2

x

+ 2 = 0. b. 3Tan2x- 3 = 0.
c. 5 Cosx – 2Sin2x = 0. d. 4SinxCosx.Cos2x =

-1
2.
e. 5Cotx +1 = 0. f. 3Tan23x + Tan3x – 4 = 0.
g. 3Cot25x - 2 3Cot5x + 3 = 0. h . 3 anx - 6Cotx + 2 3 0T 
k .6Cos2 x – 5Sinx – 2 = 0.

* Phương trình dạng aSin2 x + bSinxCosx + cCos2 x = d

Cách giải: chia hai vế pt cho Cos2x (nếu a  d pt khơng có nghiệm Cosx = 0, a = d, pt có nghiệm 
Cosx = 0).

C n n m công th c:

ầ

ắ

ứ

sinx

t anx
cosx 

2
2

1 tan

os x

c x 

Bài tâp:

a.sin2 x 3sin cosx x2 osc 2x0 b.sin 22 x5sin 2 cos 2x x6 os 2c 2 x0

c.3sin2 xsin 2x c os2x0 d.sin2 x 3sin cosx x4 osc 2x0

e.2Sin2x – 5SinxCosx – Cos2x = -2 f.3Sin2x – 6SinxCosx – 2Cosx = 3
g.Cos2x + 2SinxCosx + Sin2x = 2 h.Sin2x – 6SinxCosx + Cos2x = -2
Phương trình dạng aSinx + bCosx = c

Cách giải: Xác định hệ số a, b, c.
Tính a2b2 .

Chia 2 vế pt cho a2b2
Nếu 2 2 2 2

a b

a b a b là giá trị cung đặc biệt thì thay tương ứng cos và sin vào. Cịn khơng là

giá trị đặc biệt thì đặt 2 2 2 2

os = a & b

C Sin

a b a b

  

 

 Sin(x+ ) = 2 2

c
a b .

Giải pt lg cơ bản trên tìm nghiệm.
Giải phương trình:

a. 3 sin 3x c os3x1 b.









0 0

os 30 3 sin 30 1

</div>
(60)<div class='page_container' data-page=60>

c. 3 sinx cosx 3 d.2sin 5x 2 os5c x1

e. sin 4xcos 4x1 f. Sinx - Cosx = 3.

Các công thức cần nhớ:

Sin2x + Cos2x = 1 Tanx.Cotx = 1

Sin2x = 2SinxCosx Cos2x = Cos2x – Sin2x
= 2Cos2x – 1 = 1 – 2Sin2x
Cotx =

osx
Sinx

C

Sin(a + b) = SinaCosb + SinbCosa

Sin(a - b) = SinaCosb - SinbCosa
Cos(a + b) = CosaCosb – SinaSinb
Cos(a - b) = CosaCosb + SinaSinb
Tan(a + b) = 1

Tana Tanb
TanaTanb




Tan(a - b) = 1

Tana Tanb
TanaTanb




CosaCosb =
1

2[Cos(a + b) + Cos(a – b)]
SinaSinsb =

-1

2[Cos(a + b) - Cos(a – b)]
SinaCosb =

2[Sin(a + b) + Sin(a – b)]
Xem lại công thức tổng thành tích
Giải các phương trình sau

a. 2sinx 3 0 . b. 3cotx 3 0 .

c. sin(x 3) sin(3 x 1). d. sin(x 3) cos(3 x1).
e. 2sin2x 3sinx 1 0. f. sin2x cosx 1 0.



2sinx1 . os2



c x0 h.sin 2x cosx0

k.sin 3x cosx0 l.tan 4x cotx0

m.sin .cot 3x x0 n. cot2 1 . cot 3





x

 

  

 

 

o.cot 3 .cot 2x x1 p.









0 0

tan x120 . osc x30 0
q.sin 6x 2 os3c x0 r.2 osc 2x c os2x0

s.tan 2x tanx0 t.8.sin 2 . os2 . os4x c x c x1

CHƯƠNG II:
1. Quy tắc đếm

* Quy tắc cộng:Cơng việc có thể thực hiện theo nhiều trừơng hợp ( ứng với mỗi trường hợp, thì cơng
việc được hồn thành).

*Quy tắc nhân:Cơng việc có thể thực hiện theo nhiều bước ( ứng với mỗi bước, thì cơng việc chưa 
được hồn thành).

Bài tập:

1.Từ các số 1, 2, 3,4,5 có thể lập đuọc bao nhiêu số tự nhiên gồm 4 chữ số?

2.Từ nhà An đến nhà Bình có 3 con đường để đi, từ nhà Bình đến nhà Tồn có 4 con đường để
đi. Hỏi có bao cách đi tù nhà An đến nhà Toàn?

</div>
(61)<div class='page_container' data-page=61>

a.Các số tự nhiên có chữ số giống nhau?

b.Các số tự nhien có chữ số đơi một khác nhau?
2. Hốn vị - chỉnh hợp – Tổ hợp:

Định nghĩa Công thức Khác

H V Cho tập A gồm N ptử. Mỗi kq
Sx n ptử là 1 HV

P(n) = n! Pn = 1.2.3…..n = n!
C H n(A)= n. Mỗi kq sx vị trí k ptử của

A đgl 1 c.hợp chập K của n ptử.

Akn =
!
( )!

n
n k

Pn = Ak
n
0! = 1
T H n(A)= n. Mỗi tập con gồm k ptử của A

đgl 1 t.hợp chập K của n ptử.

Ckn =
!
!( )!

n
k n k

Ckn =Cnn –k
1

1 1

k k k

n n n

C  C C

   

Bài tập:

2.1.Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp 6 người vào 6 cái ghế xếp thành 1 hàng dọc.

2.2.Trong lớp học có 35 HS hỏi có bao nhiêu cách chon ra 10 bạn để đi dự hội trại của Đoàn
Trường.

2.3.Lớp học co 36 Hs chon ra 3 ban, 1 bạn làm lớp trưởng, 1 bạn lớp phó và 1 bạn bí thư đồn.
Hỏi có bao nhiêu cách chọn.

2.4.Trong một quán giải khác có 5 loại kem ,6 loại nước ép , 4 loại trà. Hỏi có bao nhiêu cách chọn
a.Một loại nước uống?

b.Ba loại nước uống khác nhau?
c.Hai loại nước uống khác nhau?

2.5.Một hộp chứa 10 viên bi xanh, 8 viên bi đỏ và 6 viên bi vàng.Hỏi có bao nhiêu cách

a.Chọn ra 8 viên bi bất kì?

b.Chọn ra 8 viên bi, gồm 5 bi đỏ, 2 bi xanh và 1 bi vàng?

2.6.Một bó hoa gồm 9 hoa cúc, 6 hoa đồng tiền, 5 hoa thược dược. Hỏi có bao nhiêu cách
Chọn ra 6 bơng hoa mỗi loại 2 bông?

2.7.Một tổ có 7 em nam và 8 em nữ.Người ta cần chọn ra 5 em trong tổ tham gia cuộc thi học sinh
thanh lịch của trường.Yêu cầu trong các em được chọn có ít nhất 3 em là nữ.Hỏi có bao nhiêu cách
chọn?

3. Nhị thức Niu – Tơn:

D ng khai tri n:

ạ

ể

0 1 1

( )n n n ... k n k k ... n n

n n n n

a b C a C a b C a b C b

       (1)

Với a=b=1, 2n = Cn0Cn1...Cnn
Với a= 1, b = -1,

0 = Cn0 Cn1... ( 1)  kCnk ... ( 1)  nCnn
Bài tập:

3.1.Khai triển các biểu thức sau:

a.(2x – y)4 b.(y -3x)5
3.2.Tìm hệ số không chứa x trong khai triển:

a.(2x + 2
2

x )6, c.(2x + 3

x )8

3.3.Tìm số hạng thứ bảy trong khai triển

 



 

 

1
2x

x mà trong khai triển đó số mũ của x

giảm dần.

3.4.Tính hệ số của x5trong khai triển

2
2

x

 



 

 

3.5.Tính hệ số của x7 trong khai triển





1 3 x

3.6.Tính hệ số của x y5 8 trong khai triển





x y

4. Phép thử và biến cố:

</div>
(62)<div class='page_container' data-page=62>

* Phép thử ngẫu nhiên: là phép thử ta ko đoán trước được kết quả , mặc dù đã biết tập hợp các
kết quả có thể xảy ra.

* Khơng gian mâu: tập hợp các kết quả có thể xảy ra của phép thử đgl không gian mẫu.
K/h: 

* Biến cố: biến cố là tập con của kgmẫu.
Bài tập:

4.1Gieo đông tiền liên tiếp 3 lần. Hãy mô tả không gian mẫu? Xác định các biến cố sau;
a.Mặt sấp xuât hiện ít nhất 1 lần

b.Lần đầu xuất hiện mặt ngửa.

4.2Gieo con súc sắc 2 lần. Hãy mô tả không gian mẫu. Xác định các biến cố :
a. Tổng số chấm trong 2 lần gieo là 8

b.Lần đầu xuất hiện mặt 5 chấm
c.Cả 2 lần gieo là như nhau

5. Xác su t c a bi n c :

ấ ủ

ế

ố

P(A) =
( )
( )

n A

n 
P(A): xác suất của biến cố A.

( )

n  : là số phần tử của kgm.
n(A): số phần tử của biến cố A.

Bài tập:

5.1. Gieo ngẫu nhiên con súc sắc 2 lần. Mô tả khơng gian mẫu. tính xác suất:
a.Mặt 6 chấm xuất hiện đúng 1 lần.

b.Tổng số chấm xuất hiện trong hai lần gieo là 7
c.Mặt 5 chấm xuất hiện ít nhất 1 lần.

5.2 Từ một hộp chứa 8 quả cầu đen và 4 quả cầu trắng, lấy ngẫu nhiên 3 quả. Tính xác suất sao cho
a.Bốn quả lấy ra cùng màu.

b.Có ít nhất một quả màu trắng.

5.3. Gieo ngẫu nhiên con súc sắc 2 lần. Mơ tả khơng gian mẫu. tính xác suất:
a.Mặt 6 chấm xuất hiện đúng 2 lần.

b.Tổng số chấm xuất hiện trong hai lần gieo không lớn hơn 4.
c.Mặt 5 chấm xuất hiện 1 lần.

5.4.Từ một hộp chứa 6 quả cầu đen và 5 quả cầu trắng, lấy ngẫu nhiên 3 quả. Tính xác suất sao cho
a.Ba quả đều màu đen..

b.Có ít nhất một quả màu đen.

5.5.Chọn ngẫu nhiên một số nguyên dương nhỏ hơn 9.Tính xác suất để:
a.Số được chọn là chính phương?

b.Số được chọn là số lẻ?

c.Số được chọn là số nguyên tố?
d.Số được chọn chia hết cho 2?

5.6.Một tổ có 7 nam và 6 nữ.Chọn ngẫu nhiên hai người.Tính xác suất sao cho ba người đó:
a.Cả ba đều là nam?

b.Một nam, hai nữ?

c.Có đúng một người là nữ?

5.7.Một hộp chứa 10 quả cầu đỏ được đánh số từ 1 đến 10; 15 quả cầu xanh được đánh số từ 1 đến
15.Lấy ngẫu nhiên một quả.Tìm xác suất sao cho quả chọn được :

a.Ghi số lẻ.
b.Màu xanh.

c.Màu đỏ và ghi số chẵn.
d.Màu xanh hoặc ghi số lẻ.

5.8.Một con súc sắc đồng chất cân đối được gieo hai lần.Tính xác suất sao cho
a.Tổng số chấm hai lần gieo lớn hơn 8.

b.Tổng số chấm hai lần gieo bằng 8.

c.Số chấm lần gieo sau gấp ba lần đầu.

</div>
(63)<div class='page_container' data-page=63>

b.Được ba con 2 và một con K.

5.10.Lấy ngẫu nhiên cùng lúc 5 viên bi, từ một hộp gồm 13 viên bi xanh, 10 viên bi đỏ và 6 viên bi
vàng.Tính xác suất sao

a.Cả 5 viên bi đều màu vàng?

b.Chọn ra 5 viên bi, gồm 2 bi đỏ, 2 bi xanh và 1 bi vàng?
CHƯƠNG III:

1. Phương pháp quy nạp tồn học:
Kiểm tra với n1 vì n .

Giả sử mệnh đề đúng với n k 1
Chứng minh mệnh đề đúng với n k 1

2.Dãy số:

2.1.Dãy số tăng, dãy số giảm:
Tăng: un1un   n *

Giảm:un1un   n *

2.2.Dãy số bị chặn:

-Dãy số

 

un đgl bị chặn trên nếu tồn tại số M sao cho: un M   n *.

-Dãy số

 

un đgl bị chặn dưới nếu tồn tại số m sao cho: un m   n *.

-Dãy số đgl bị chặn nếu nó vừa bị chặn dưới vừa bị chặn trên, tức tồn tại số m, M sao cho:

n

m u m   n

Chú ý: Các dấu bằng nêu trên không nhất thiết xảy ra.
3.Cấp số cộng:

3.1.Đinh nghĩa:

 

un : csc un1und ;n *

PP cm

 

un là csc:

 

un : csc un1 un d ; d là hằng số.

3.2.Số hạng tổng quát: un u1



n1



d



n2



3.3.Tính chất:





1 1 2

k k
k

u u

u     k

3.4.Tổng của n số hạng đầu tiên:









1 2 *

n

n u u

S   n  2 1





n

n u n d

S     
4.Cấp số nhân:

4.1.Đinh nghĩa:

 

un : csn un1 u q nn. ;  *

PP cm

 

un là csn:

 

: cs n
n

n
u

u n q

u



 

; q là hằng số.
4.2.Số hạng tổng quát: un u q1. n1



n2



4.3.Tính chất: u2k uk1.uk1



k2



4.4.Tổng của n số hạng đầu tiên:









1 1

n
n

u q

S q

q



 


Bài tập:

1.Viết năm số hạng đầu của các dãy số sau:
a.

1
2

n n
u 

3 1

2 3

n
n
u

n




</div>
(64)<div class='page_container' data-page=64>



1 2



n
n

u   n

d.
1
; :
1
;
n
n chan
n
u
n
n le
n






 


2.Cho





1 1 n

n
u

n

 


.Tìm u u u7; 12; 2n;u2 1n

3.Trong các dãy số sau dãy số nào bị chặn trên, bị chặn dưới, bị chặn

a.un 2n1 b.





1
1
n

u
n n



c.un 3.22 1n d.

1
3

n
n

u   

 

4.Trong các dãy số

 

un dưới đây, dãy số nào là cấp số cộng.Khi đó cho biết số hạng đầu và cơng

sai của nó?

a.un 3n 7 b.

3 2
5

n
n
u  
5.Xác định số hạng đầu và công sai của cấp số cộng, biết

a.
5
9
19
35
u
u




 b.
7 15
2 2
4 12
60
1170
u u
u u
 



 


c.
7 3
2 7

8
. 75
u u
u u
 



 d.

2 3 5

1 6

10
17

u u u
u u
  


 

6.Tính tổng 10 số hạng đầu của cấp số cộng dưới đây, biết:

a.
1
10
5

50
u
u




 b.
1
2
1
5
u
u





7.Trong các cấp số nhân dưới đây, hãy tính số hạng un đã chỉ ra

a. 8

1 1

1; ; ;... ?

3 9 u 

b.2; 4;8;... u11?

8.Tìm cơng bội q của một cấp số nhân hữu hạn, biết số hạng đầu u12, và số hạng cuối u1164

9.Trong các cấp số nhân dưới đây, tính số hạng đầu và cơng bội của nó
a.
4 2
5 3
72
144
u u
u u
 


 
 b.

1 3 5

1 7

65
325

u u u
u u
  


 


c.
5
9
96
192
u
u




 d.
3 5
2 6
90
240
u u
u u
 


 


10.Một cấp số nhân có 5số hạng , cơng bội bằng
1

4số hạng thứ nhất, tổng của hai số hạng đầu bằng
24.Tìm cấp số nhân đó.

</div>
(65)<div class='page_container' data-page=65>

a.Có 5 số hạng mà số hạng đầu là 3, số hạng
cuối là 243.

b.Có 6 số hạng mà số hạng đầu là 243, số hạng
cuối là 1.

12.Một cấp số nhân có 5 số hạng. Tìm số hạng cuối và tổng 5 số hạng đó , biết u12 ;q3.

13.Trong một cấp số nhân có 9 số hạng, biết u15 ;u9 1280.Tính cơng bội q và tổng các số

hạng?

14.CMR:  n *, ta có đẳng thức:



 



2 2 2 2 1 2 1

1 2 3 ...

n n n

n  

    

15.CMR: n ; un 13n1

chia hết cho 6.

16.CMR:  n *, ta có đẳng thức:







 



2 2 2 2 1 2 1

2 4 6 ... 2

n n n

n  

    

17.Tìm xtừ pt:

a.2 7 12 ...    x 245 biết 2;7;12;…;x là cấp số cộng.
b.



2x1

 

 2x6

 

 2x11



...



2x96



1010

biết 1;6;11…là cấp số cộng
TRẮC NGHIỆM:

1.Lấy ba con bài từ bộ bài 52 lá. Số cách lấy là

A. 52!. B. 3!. C. 22100. D. 132600.

2. Năm người được xếp thành hàng dọc. Số cách xếp là

A. 3125. B. 25. C. 120. D. Một kết quả

khác.

3. Có 4 đường thẳng song song cắt 6 đường thẳng song song khác. Số hình bình hành được tạo

ra là

A. 90. B. 15. C. 360. D. 4!6!.

4. Hàm số

cot
3
y x 

  có tập xác định là

\ ,

D  k k 

 

 

. B. x 3 k ,k




   

\ ,

D   k k 

 

 

. D.

5 ,

x  k k 

5. Tập xác định của hàm số 2

2 1

3 sin

2 3

x
y

x x

   

   

 

  laø

A. D   ( ; 3) (1 ;  ). B. D ( 3 ; 1).

</div>
(66)<div class='page_container' data-page=66>

6 ( )

5 2

x k

k

x k








 






  





. B.

6 ( )

7 2

x k

k

x k








 






  




.

6 ( )

7 2

x k

k

x k









 






  





. D.

arcsin 2

3 ( )

arcsin 2

x k

k

x k



 



 






   




.

7. Hàm số nào sau đây là hàm số lẻ

A. sin(3x2 2 )x . B. sin( 3 x22 )x . C. sin(3x3 2 )x . D. sin(3x3 2).
8. Phương trình 2 cos(x60 )  2 0 có nghiệm là

15 360

( )

75 360

x k

k

x k

  




 



 

  

. B.

15 2

( )

105 2

x k

k

x k




  




 





 

15 360

( )

105 360

x k

k

x k

  




 



 

  

. D.

15 2

( )

75 2

x k

k

x k




  




 





 

9. Số các số tự nhiên có sáu chữ số khác nhau được lập từ các số 1, 2, 3, . . . , 9 là

A. 60480. B. 720. C. 84. D. Moät kết quả

khác.

10. Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y2 cosx1 là
A. ymax 1 ; ymin 1. B. ymax 3 ; ymin 1.

C. ymax 3 ; ymin 1. D. ymax 1 ; ymin 1.

11. Hàm số nào sau đây là hàm số chẵn

A. cos(3x3 2). B. cos( 3 x22 )x . C. cos(3x3 2 )x . D. cos(3x2 2 )x .

12. Phương trình 2 cos3x 2 0 có nghiệm là

A. x 4 k2 ,3 k

 

   

. B.

3 360 ,

x  k  k

3 2 ,

x  k  k 

. D. x 4 120 ,k



   

CHƯƠNG IV: GIỚI HẠN

§1 GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ

 

Tuần:
Tiết:
Mục đích:

* Về kiến thức:

+ Củng cố lý thuyết về các cơng thức tính giới hạn dãy số.
 * Về kỹ năng:

</div>
(67)<div class='page_container' data-page=67>

Chuẩn bị:

* Giáo viên: Thước kẻ, phấn màu.
 * Học sinh: Chuẩn bị các bài tập.
Phương pháp: Đàm thoại gợi mở.
Tiến trình lên lớp:

* Kiểm tra bài cũ: 
Kiến thức:

A A

2.

A B A B

2.

A B A B (A > 0)

*Biểu thức liên hợp: a2 b2 



a b a b

 







a b



là biểu thức liên hợp của



a b



và ngược lại.

VD:



 



2 2

A B A B  A  B

Ví dụ:
1.

2
2

4 1

lim
3 2

n n
n

 


Giải:

2 2

1 1
4

4 1

lim lim 2

3 2 2

n n n n

n

 
 

 

 

2
2

3 1

lim

1 2

n n

n

 


Giải:

2 2 2

2 2

1 1 1 1

3 3

3 1

lim lim lim 0

1 2 1 2 2

n n

n n n n n n

n n

n

   

 

  

  





lim n 3n6

Giải:





2 2

3 6
lim n 3n 6 limn 1

n n

 

        

 

lim 3n  4n1

Giải:

2 4 1

lim 3n 4n 1 limn 3

n n

     

Hoạt động :Tính giới hạn các dãy số sau
1.

lim n  n 2

lim 2n  4n6

lim 6n  3





lim n 2n 3





5 3

lim 3n 4n 2n 6





3 2

lim 4 n 2n 2





lim n  n 3n





lim 3n  n 3





lim n  3 4 n

10.





lim n  n n

11.





lim 2n  4n 6 2

12.

</div>
(68)<div class='page_container' data-page=68>

13.

lim 7n  n 2

14.





lim n  n n

15.





lim 4n  3 2n

16.





lim 9n  n 3n

17.

lim n  4n1

18.





lim n  3 n

Bài tập tự luyện tập:
1.

lim n  5n1

lim n  4n9

2
lim n 4





lim n  6n 3





lim 3n 4n





3 2

lim 4 n n 7





lim n  n n





lim n 5n3





lim 4n  4 n

10.

lim 3n 2n1

11.





lim n 4n n

12.





lim n  1 n

 Củng cố :

+ Dạng hữu tỷ: chia tử và mẫu cho bậc cao nhất.

+ Dạng đa thức: lấy bậc cao nhất làm nhân tử chung.

 Dặn dò :
Bài tập về nhà:

a) lim(n36n2 n1). b)

2 1

lim( 2 )

n n

  





lim n  n 1





lim n 3n n

3
2

1
lim

2 5 8

n n

 

  f)





lim n  3 n

§1 GIỚI HẠN DÃY SỐ (TT)



Tuần: 
Tiết: 
Mục đích:

* Về kiến thức:

+ Củng cố lý thuyết về các cơng thức tính giới hạn dãy số.
 * Về kỹ năng:

+ Biết áp dụng các công thức tính giới hạn dãy số, rèn kỹ năng tính toán.
Chuẩn bị:

</div>
(69)<div class='page_container' data-page=69>

* Học sinh: Chuẩn bị các bài tập.
Phương pháp: Đàm thoại gợi mở.
Tiến trình lên lớp:

 Kiểm tra bài cũ:





lim n 3n n

Kiến thức:

 

1
lim n 0

q
q



 
Ví dụ:

3 1
lim

n n

n

  



Giải:

5 4 5

3 1

1
3 1

lim lim 1

3 1

n n n n

n

  

 

 

4 2 1

lim

3 2

n n

n

 



Giải:

2 2

2 1
4

4 2 1

lim lim 2

3 2 2

n n n n

n

 

 

 





3 2

lim 8 n 3n 1

Giải:





3 2 3

3 1
lim 8n 3n 1 limn 8

n n

 

        

 





lim 3n   n 2 3n

Giải:





2 2

1 2 1 2

lim 3n n 2 3n lim n 3 3n limn 3 3

n n n n

   

             

   

   

3 4 1

lim

2.4 2

n n

 



Giải:

3 1

3 4 1 4 4 1

lim lim

2.4 2 2 2

2
4

n n

n

n n

   

 

   

      

 

  

  
 

Hoạt động :Tính giới hạn các dãy số sau
1.

3
3

3 6 7

lim

n n

 

 2.





lim 3n 5n 6





lim 4n 3n2n





3 2

lim n 2n  3





lim 3n 2n 6





4 2

lim n 2n 2





lim 4n  n3n





lim n  n3n





lim n  3 4 n

10. 2

5 3
lim

3 1

n

n n



  11.

2 3
lim

4 2

n n



 12.

</div>
(70)<div class='page_container' data-page=70>

13.

2 2

lim
2

n n
n

 

14.





lim 4n  1 2n

15.





2
lim n 3n

Bài tập tự luyện tập:
1.

lim n  5n1

lim n  4n9

2
lim n 4





lim n  6n 3





lim 3n 4n





3 2

lim 4 n n 7





lim n  n n





lim n 5n3





lim 4n  4 n

10.

lim 3n 2n1

11.





lim n 4n n

12.





lim n  1 n

ĐỀ THAM KHẢO:

Câu 1:

lim 4n 6n1

4 2

lim

3 5

n n n

n

 

 3.





lim n  4 n





lim 5n  7n 3

5. 2

5 3
lim

4 5

n

n n



  6.

3 5
lim

6 2

n n



Câu2: Cho hình hộp ABCD A B C D. ' ' ' '.CM:



 



' ' '

/ /

BDA B D C

Câu 3: Cho tứ diện ABCD , gọi G, K lần lượt là trọng tâm ABC ACD,
a. CM:DA DB DC   3DG b.CM:BA BC BD  3BK

   

Câu 4:Tính tổng

1 1 1

1 ...

2 4 8

S    
 Củng cố :

+ Dạng hữu tỷ: chia tử và mẫu cho bậc cao nhất.
+ Dạng đa thức: lấy bậc cao nhất làm nhân tử chung.

 Dặn dò :

Bài tập về nhà:

a) lim(n35n2 4n1). b) lim(6n2 n1)





lim n  n3n





lim n  2 n









3 2

2 1

lim

2 5 2

n n n

n n n

  

 

f) 3 3 2

(2 1)(2 3 )
lim

7 5

n n

 

§1 GIỚI HẠN DÃY SỐ



Tuần: 
Tiết: 
Mục đích:

* Về kiến thức:

+ Củng cố lý thuyết về các cơng thức tính giới hạn dãy số.
 * Về kỹ năng:

+ Biết áp dụng các cơng thức tính giới hạn dãy số, rèn kỹ năng tính tốn.
Chuẩn bị:

* Giáo viên: Thước kẻ, phấn màu.
 * Học sinh: Chuẩn bị các bài tập.
Phương pháp: Đàm thoại gợi mở.
Tiến trình lên lớp:

 Kiểm tra bài cũ: 1.





lim 5n  n n

5.3 2.5
lim

3 2

n n

</div>
(71)<div class='page_container' data-page=71>

 Kiến thức:

+cơng thức tính tổng cấp số nhân lùi vô hạn

1
1

u
S

q




+

1
lim n 0

q
q



Ví dụ:

3
2

3 5 1

lim
3

n n

n

 



Giải:

3 2

3 1

3 5 1

lim lim

3 1
3

n n n

n

n
n

 

 

 

4 2 1

lim

3 2

n n

n

 



Giải:

2 4 2 12

4 2 1

lim lim 2

3 2 2

n n n n

n

 

 

 





3 2

lim 8 n 3n 1

Giải:





3 2 3

3 1
lim 8n 3n 1 limn 8

n n

 

        

 





lim 3n   n 2 3n

Giải:





2 2

1 2 1 2

lim 3n n 2 3n lim n 3 3n limn 3 3

n n n n

   

             

   

   

3 4 1

lim

2.4 2

n n

 



Giải:

3 1

3 4 1 4 4 1

lim lim

2.4 2 2 2

2
4

n n

n

n n

   

 

   

      

 

  

  
 

Bài tập1:Tính giới hạn các dãy số sau
1.

3
3

8 5
lim

n n

 

  2.





3 2

lim n 4n  6





lim 4n 3n2n





5 3

lim n 6n  3





lim 3 n  n 6





4 2

lim n 2n 2





lim n  n3





lim n  5n4n





lim 9n  3 4 n

10. 2

3
lim

n

n n n



  11.

4.2 3
lim

5.4 2

n n



 12.

</div>
(72)<div class='page_container' data-page=72>

13.

2
2

3 2
lim

2 3

n n n
n

 

 14.





lim n 2n n

15.

3 6

lim
4

n
n



Bài tập 2:

lim n 2n5





lim n  4n 9 2n

lim 9n 4n





lim n  6n 3





5 6

lim 5 3 n 4n





5 2

lim 4 n 3n 7





lim n  4 n





lim 4n 5n3n





lim 4n  4 n

10.

lim 3n  n4

11.





lim n 8n n

12.





lim n 2n n
ĐỀ THAM KHẢO:

Câu 1:
1.

lim 4n 6n1

2
2

5 6

lim

3 5

n n
n n

 

 3.





lim n  1 3n

4
3 4

3 5 7

lim
4

n n

  

 5. 2

3
lim

n

n n n



  6.

4 2.3
lim

5 3.2

n n




Câu2: Cho lăng trụ tam giác ABC A B C. ' ' '.Gọi h là trung điểm A B' ' .CM:





'/ / '

CB AHC

Câu 3: Cho tứ diện ABCD , gọi M lần lượt là trọng tâm ABC.
CM:          GD GA GD GB GD GC O     .                               .   . 

Câu 4:Tính tổng

1 1 1

1 ...

3 9 27

S    

 Củng cố :

+ Dạng hữu tỷ: chia tử và mẫu cho bậc cao nhất.
+ Dạng đa thức: lấy bậc cao nhất làm nhân tử chung.

 Dặn dò :
Bài tập về nhà:

a) lim(n32n2 n1). b) lim(n25n1)





lim n 3n n





lim n 3n n

3 2

2 1

lim

2 5 8

n n n

n n

  

  f) 3 3 2

(2 1)(1 3 )
lim

7 5

n n

 

§1 GIỚI HẠN DÃY SỐ



Tuần: 
Tiết: 
Mục đích:

* Về kiến thức:

+ Củng cố lý thuyết về các cơng thức tính giới hạn dãy số.
 * Về kỹ năng:

+ Biết áp dụng các công thức tính giới hạn dãy số,rèn kỹ năng tính toán.
Chuẩn bị:

* Giáo viên: Thước kẻ, phấn màu.
 * Học sinh: Chuẩn bị các bài tập.
Phương pháp: Đàm thoại gợi mở.
Tiến trình lên lớp:

 Kiểm tra bài cũ: 1.

4 6 3

lim

2 6

n n

n

 

 2.

3 5
lim

3 4.2

n n

</div>
(73)<div class='page_container' data-page=73>

 Kiến thức:

+cơng thức tính tổng cấp số nhân lùi vơ hạn

1
1
u
S
q


 + 
1
lim n 0

q
q


Ví dụ:
1.
2
2
3 5
lim
3 2
n n
n
 

Giải:

2 2 4

3 5 1

3 5

lim lim 0

3 2 2

n n n n n

n
n
 
 
 
 
2. 2
3 1
lim
3 2
n n
n n


Giải:
2

2 2 2

2 2

1 1

3 3

3 1 3

lim lim lim

2 3

3 2 3 2 3

n

n n n n

n n n n

n

 



  

  





2 2

lim n  n n 1

Giải:



2 2



2 2

1
1

1 1

lim 1 lim lim

1 1

1 x 1 1

n n

n n n

n n

 


     
     





lim n n n3n

Giải:





2 2 1 3

lim n n n 3n limn 1

n n
 
      
 
 
5.
2 2
lim
2
n
n
 


 

 
Giải:

3 2 3

2 3
2 2
1

2 2 2

lim lim lim

1 2

2 2

n n n n

n
n n
n n
 
 
 

   
 
 
  

Bài tập:Tính giới hạn các dãy số sau

3
3

3. 6 7

lim
3
n n
n n
 
 2.
2
2

5 4 6

lim
5
n n
n n
   

 


  3.

4 2

6 3

lim

n n n
n
   
 

 
4.
2
3
3 5
lim
3 2
n n
n n
   

 


  5.

3
2

6 3 2

lim
1
n n
n
   
 


  6.

6 3

5 7 2

lim
3
n n
n n

   
 

 
7.
3
2
8
lim
1
n
n
  
 


  8.

2
3
3 8
lim
12
n n
n
   
 


  9.

3
3

4 6 5

lim
3
n n
n n
   
 
 
 

10.





lim 3n  5n6

11.





lim n  3 n

12.





4 3

lim 5 n 5n 6

13.





lim 4n 3n2n

14.





3 4

lim 3n  n 2

15.





2
lim n 1 n

</div>
(74)<div class='page_container' data-page=74>





lim 3n 2n 8





lim 9n  3n2n





lim n  3 n

4.
2 3
lim
4 2
n n
n n
  
 


  5.

4
3

2 5 6

lim
3 5
n n
n
   
 



  6.

3
3

2 5 6

lim
5
n n
n n
   
 

 
7.
2

3 6 2

lim
2
n
n
   
 
 

  8. 2

3 5
lim
3 1
n
n n
  
 
 

  9.

4
2
4 4
lim
3 6
n
n n
  
 
   
 
10.
4 2.3
lim
5 3.2
n n
n n


 11.

2 5 6

lim
3 2
n n
n
   
 
  

  12.

3
4
4
3
4
lim
3
n
n
n n
 

 
 


 
 
 

13.





lim 4n 3n n





3 4

lim 3n  3n 2

15.





lim n  5 n

ĐỀ THAM KHẢO:
Câu 1:
1.
3
2
4 3
lim
2 4
n n

n
 

 2.





lim n  3n2





lim n  n n





lim n  4 n

5.
2 3
lim
2 7
n n
n
   
 
  

  6.

3 4
lim
5 3
n n
n n



Câu 2:Tính tổng

1 1

4 2 1 ...

2 4

S      
 Củng cố :

+ Dạng hữu tỷ: chia tử và mẫu cho bậc cao nhất.
+ Dạng đa thức: lấy bậc cao nhất làm nhân tử chung.

 Dặn dò :Bài tập về nhà





lim 3n 5n 6





2
lim 5n 3n 8





lim 8n 4n 2

4.
3
2
5 6
lim
3
n n
n n
   
 


  5.

3.5 6.2
lim

7 4
n n
n n
  
 


  6.

2
2

5 6 7

lim
3
n n
n n
   
 
  
 

§1 GIỚI HẠN DÃY SỐ



Tuần: 
Tiết: 
Mục đích:

* Về kiến thức:

+ Củng cố lý thuyết về các cơng thức tính giới hạn dãy số.
 * Về kỹ năng:

+ Biết áp dụng các công thức tính giới hạn dãy số,rèn kỹ năng tính tốn.
Chuẩn bị: * Giáo viên: Thước kẻ, phấn màu.

* Học sinh: Chuẩn bị các bài tập.
Phương pháp: Đàm thoại gợi mở.

*Kiểm tra bài cũ: 1.





lim 3n 6n 4





2
lim 3n n 3n

*Bài mới:
Ví dụ:
1.



 



2 3 1

</div>
(75)<div class='page_container' data-page=75>

Giải:



 











3 2

3 3 3

2 3 2 1

2 3 1 3 4 2 3

lim lim lim

3 4 3 4 3 4

n n n

n n n n n

n n n

  

     

  

  

2 3

lim

n n

n



  

   

 

  

 

Giải:

2 3 2 3

lim lim 0

4
4

n n n n

n

 

     

 
        

   

       

   





lim 3 n 2n 5

Giải:





2 3

2 5

lim 3n 2n 5 limn 1

n n

 

        

 













lim 4 2 lim 4 1
4

n
n

n n    

     

   

 

Giải:





2 2 1 3

lim n n n 3n limn 1

n n

 

      

 





2 2

lim n  2 3n 1

Giải:





2 2

2 1

lim n 2 3n 1 limn 1 3

n n

 

        

 

 

6.Tính tổng của cấp số nhân lùi vơ hạn:

1 1 1 1 1

1, , , , ,..., ,...

2 4 8 16 2

n

 

   

 

Giải:

1 1 2

1 1 3

u
S

q

  

 

7.Tính tổng

1 1

2 2 1 ...

2
2

S      

Giải: Dãy số vô hạn

1 1
2, 2,1, , ,...

2
2

 

là một cấp số nhân với công bội

2
2

q
Do q 1 nên dãy số là một cấp số mhân lùi vơ hạn

1 2 4

1 2 2 2

1
2

u
S

q

  

 



8.Tìm dạng khai triển của cấp số nhân lùi vô hạn

 

vn ,biết tổng của nó bằng 32, và v2 8.

Giải: Ta có:
1 32
1

u
S

q

 

 . (1)

Mặt khác: 2 1 1

8
. 8

v v q v

q

   

</div>
(76)<div class='page_container' data-page=76>

Thay (2) vào (1):





1
2
8
8
32

1 1 1

4 4 1 0

v q

S

q q q q

q q q

   

  

     

Cho nên:

2 2 5

1 1

. 8.

2 2

n

n n n

v v q 

 

  

Vậy dạng khai triển của dãy số là: 5

1 1

16,8, 4, 2,1, ,...,
2 2n
Bài tập1:Tính giới hạn các dãy số sau





2
lim n n 2n





2 3

lim 4 3 n  6n





2
lim 2n n5n





2
lim 4n 16n n

5.lim 3.5





n n



3 3 2 7
lim
3 4
n n
n
   
 
  
 
7.
2
2 2
3 5
lim
1
n n
n n
   
 
 

  8.

3 4
3
4
lim

2 5
n n
n
  
 


  9.

3 4

3 5 7

lim
4 3
n n
n n
   
 

 

10. 3 3

3 5
lim

2 5 4

n

n n

  

 

 

  11.

2
2
3
4 5
4
lim
1
n n
n
 
  
 
 

 

  12.

3 2 3 6
lim
3 2
n n
n
  
 
  
 

13.





lim 3n 5n 6

14.





2
lim 5n 3n 8

15.





2 3

lim 8n  4n 2

Bài tập 2:

1.
3
2
5 6
lim
3
n n
n n
   
 


  2.

3.5 6.2
lim
7 4
n n
n n
  
 


  3.

2
2

5 6 7

lim
3
n n
n n
   
 
  
 





lim n 3n 8 5 n





lim 3n n 8

6.
3 3
2
3
lim
5 1
n n
n
  

 
  
 
7.
2
3 2
lim
2 1
n n
n
   
 
  

  8. 2

5
lim
2 1
n
n n
  
 
 

  9.

4
2
4

lim
2 1
n n
n n
  
 
   
 
10.
4 6.3
lim
4 7.2
n n
n n

 11.
2
4 5
lim
1 2

n n n
n

   

 

  

  12.

3
4
5
3
4
lim
3
n
n
n n
 

 
 

 
 
 

ĐỀ THAM KHẢO:
Câu 1:1.
2
3
4 3
lim
4
n n
n n

 

 2.





4 5

lim 7n  3n 2





lim 2n  n 3





lim 4n  1 2n

2 3 5

lim

n n n

n

   

 

  

  6.

3 7.4
lim
5 3
n n
n n



Câu 2: Tính tổng

1 1 1

1 ...

2 4 8

S     

Câu 3:Cho hình hộp ABCD EFGH. .Chứng minh AB AD AE   AG

</div>
(77)<div class='page_container' data-page=77>

a)Chứng minh rằng (ADF)//(BCE)

b)Gọi I,J,K là trung điểm của các cạnh AB,CD,EF.Chứng minh rằng (DIK)//(JBE)
 Củng cố :

+ Dạng hữu tỷ: chia tử và mẫu cho bậc cao nhất.
+ Dạng đa thức: lấy bậc cao nhất làm nhân tử chung.

 Dặn dò :
Bài tập về nhà





2 3

lim 4 3 n  6n





2
lim 2n n 5n





2
lim 4n 16n n

5 2
lim

3.5 3

n n

  

 



  5.

3 3 2 7
lim

3 4

n n

n

   

 

  

  6.

2 2

3 5

lim

n n

n n

   

 

 

 

3 4

3
4

lim

2 5

n n
n

  

 



  8.

3 4

3 5 7

lim
4

n n

   

 



  9. 3 3

3 5
lim

2. 5 4

n

n n

  

 

 

 

10 .

2
3

4 5

4
lim

n
n

n

 

  

 



 

  11.

2
5.3 2
lim

4 3

n n



  

 



  12.

3 2 3 6
lim

3 2

n n

n

  

 

  

 

13.Tính tổng :









2 1

1 0,9 0,9 ... 0,9 n ...

S       

14.Tìm số hạng tổng quát của cấp số nhân lùi vơ hạn có tổng bằng 3 và cơng bội
2
3

q
.

§2 GIỚI HẠN HÀM SỐ



Tuần: 
Tiết: 
Mục đích:

* Về kiến thức:

+ Củng cố lý thuyết về các cơng thức tính giới hạn hàm số.
 * Về kỹ năng:

+ Biết áp dụng các cơng thức tính giới hạn hàm số,rèn kỹ năng tính tốn.
Chuẩn bị: * Giáo viên: Thước kẻ, phấn màu.

* Học sinh: Chuẩn bị các bài tập.
Phương pháp: Đàm thoại gợi mở.

Kiểm tra bài cũ:





2
1

lim 3 5

x x  x 2. 2

2
lim

3 2
x

x
x

 



 

 



 

Kiến thức:1.Cho hàm số

 

f x  x bx c

có hai nghiệm x x1, 2

 



 



f x a x x x x

</div>
(78)<div class='page_container' data-page=78>





2
2

lim 5 1

x  x  

Giải:









2
2

lim 5 1 2 5 1 2

x  x

      

2. 4





2
1
lim
4
x
x
x




Giải:lim 1x4



 x



 3 0









lim 4 0 & 4 0 4

x x  x   x
Nên : 4





1
lim
4
x
x
x


 


3. 2 2
2
lim
4
x
x
x




Giải: 2 2 2

2 1 1

lim lim
2 4
4
x x
x
x
x
 

 



Bài tập1:Tính giới hạn các dãy số sau
1. 2
3
lim
1
x
x
x


 
 


  2.

2
0
2 3
lim
x
x x
x


3.
2
5
4 5
lim
5
x
x x
x
 
 


4. 1 2
1
lim
4 3
x
x
x x



 
 
 

  5.

2
3
9
lim
3
x
x
x


 6.
2
3
9
lim
3
x
x
x




7. 2 2

2
lim
4
x
x
x


 
 


  8.

2
1
lim
1
x
x x
x


 9.
2
1
3 2
lim

1
x
x x
x

 


10. 3 2
3
lim
4 3
x
x
x x


 
 
 

  11.

2
0
2 3
lim
x
x x
x



12.
2
5
4 5
lim
5
x
x x
x
 
 

13. 2
3
lim
1
x
x
x


 
 


  14.

4
16
lim
4
x
x
x
 


 15. 2 2

2
lim
4
x
x
x



Bài tập 2:

Câu 1:





3 4

lim n  4n 3

2 4 7

lim
3
n n
n
   
 


  3.





lim n 3n4n

4.
4 4.5
lim
3 5
n n
n n
  
 


  5.

2 4 3

lim
2 3
n n
n
   
 
  

  6.

4
5

3 2 1

lim
6 2
n n
n n
   
 
 
 

7. 1 2

1
lim
1
x
x
x


 
 


  8.

2
2
2
lim
2
x
x x
x


 9.
2
1
4 3
lim

1
x
x x
x

 


10. 4 2
4
lim
5 4
x
x
x x


 
 
 

  11.

2
0
2 3
lim
5
x
x x

x


12.
2
5
6 7
lim
7
x
x x
x
 
 


Câu 2: Tính tổng

1 1

4 2 1 ...

2 4

S      
 Củng cố :

+ Giới hạn tổng, hiệu, tích, thương của các hàm số.
 Dặn dò :

</div>
(79)<div class='page_container' data-page=79>

Bài tập về nhà:

a). 2

4 5
lim

3 2

x
x

x

 


 b).

2
1

1
lim

x
x

x





c).

2
1

2 3

lim

x

x x
x



 

 d).

1
2

2 5 2
lim

2 1

x

x
x

 

 


e).

2
2
1

2 3
lim

2 1

x

x x



 

  f). 2

2
lim

7 3

x

x
x



 

g).

3
0

(1 ) 1
lim

x

x
x



 

h).

2
2

5 3
lim

x
x

x

 

 


i). 1

1
lim

3 2

x

x
x





  j).

2
2
1

3 2 5

lim

4 3 7

x

x x

 

 

  

§2 GIỚI HẠN HÀM SỐ (TT)



Tuần: 
Tiết: 
Mục đích:

* Về kiến thức:

+ Củng cố lý thuyết về các công thức tính giới hạn hàm số.
 * Về kỹ năng:

+ Biết áp dụng các cơng thức tính giới hạn hàm số, kỹ năng tính tốn.
Chuẩn bị: * Giáo viên: Thước kẻ, phấn màu.

* Học sinh: Chuẩn bị các bài tập.
Phương pháp: Đàm thoại gợi mở.

Kiểm tra bài cũ:





lim 4 6

x  x  x 2.

2 3 1

lim

1
x

x x

x



   

 



 

Kiến thức:

; : 0

A dk A
A A

A dk A




 

 



 

lim f x limg x

 

Dấu của g x

 

lim f x

g x

0 L Tuỳ ý 0

</div>
(80)<div class='page_container' data-page=80>

-L<0 0 +

-- +
Ví dụ:
1. 3
1
lim
2
x
x
x




Giải: 3

1 3 1

lim 4

2 3 2

x
x
x


 
 
 
2. 3
2 1
lim
3
x
x
x




Giải:













2 1 5

3 3 0

3 0
x
x x
x

 


   

 

Nên: 3
2 1
lim
3
x
x
x



 






lim 2 4

x  x x

 

Giải:





3 3

2 3

2 4

lim 2 4 lim 1

x  x x x x x x

 
      
 
4.
3
3
2 4
lim
3 5
x
x x
x

 
   
 
   
 
Giải:

3 2 3

2 4

2 4 1

lim lim

5 3

3 5 3

x x

x x x x

x

x
   
 
   
 
 
   
   

Bài tập1:Tính giới hạn các dãy số sau
1. 1
2 3
lim
1
x
x
x



 
 


  2. 1

2 3
lim
1
x

x
x

 


 3. 2

5
lim
2
x
x
x




4.
2 3
2
0
2
lim
x
x x
x

  
 

  5. 1

3 2
lim
1
x
x
x

   
 
  

  6. 1

8 3
lim
1
x
x
x

 

7.
2
1
3

3 4 1

lim
3 1
x
x x
x

   
 


  8.

4 2
4
4 3
lim
2 1
x
x x
x
 
  
 9.
3
3
4 7
lim
2 8

x
x x
x x
 
 

10.
3
3
2
lim
3
x
x
x


  
 


  11. 2

4
lim
2
x
x
x


 

 12.
3 2
3
4 3
lim
x
x x
x x
 
 

13.
3
3

2 5 6

lim
7
x
x x
x x
  
   
 


  14.





4 2

lim 2 3

x  x  x  15.





lim 2

x  x  x

16.
2
1
1
lim
1
x
x
x


  
 


  17.

2 3 1

lim
1
x
x
x
 
 
 18.
2
1
2
2 1
lim
4 1
x
x
x



19.
2 3
2
0

4
lim
3
x
x x
x

  
 

  20. 2

2 2
lim
2
x
x
x

   
 
  

  21. 1

</div>
(81)<div class='page_container' data-page=81>





lim 2

x   x  x x 2.





2
lim 9

x   x  x x 3.





lim 3 4

x  x  x x

4.
2 2
lim
5
x
x x
x
 
   
 
  

  5.

2
lim
3

x
x x
x
 
   
 
  

  6.

2 3 2

lim
3
x
x
x
  
   
 
  
 
7.
2

2 4 3

lim

2 1
x
x
x
  
   
 
  

  8. 1

3
lim
1
x
x
x

 


 9. 5 2

5
lim
6 5
x
x
x x



 

Câu 2: Tính tổng

1 1 1

5 1 ...

5 25 125

S      

 Củng cố :

+ Tính giới hạn trái ,phải tại một điểm cần xét dấu mẫu số.
 Dặn dò :

Bài tập về nhà:

a). 5

5
lim
5
x
x
x



 b). 0 2 2

1 1

lim 1

x x x

 

 

 
c).
2 5
7

( 1)(1 2 )
lim
3
x
x x
x x
  
 

  d).

2
2
1

2 15 12

lim
5 4
x
x x
x x


 
 

e).





2 2

lim 1

x  x  x x  f). 1 3

1 3

lim

1 1

x x x

 

 
 
 .
g).
2
2
1

2 15 12

lim
5 4
x
x x
x x


 

  h).

4 2

lim ( 2 3)

x   x x x

  

§2 GIỚI HẠN HÀM SỐ (TT)



Tuần: 
Tiết: 
Mục đích:

* Về kiến thức:

+ Củng cố lý thuyết về các cơng thức tính giới hạn hàm số.
 * Về kỹ năng:

+ Biết áp dụng các cơng thức tính giới hạn hàm số, rèn kỹ năng tính tốn.
Chuẩn bị: * Giáo viên: Thước kẻ, phấn màu.

* Học sinh: Chuẩn bị các bài tập.
Phương pháp: Đàm thoại gợi mở.

Kiểm tra bài cũ:





lim 4 6

x  x  x 2.

2 3 1

lim
1
x
x x
x

   
 

 
3. 5
3
lim
3
x
x
x



 4.

3
2
1
lim
1
x
x
x
 


Kiến thức:

; : 0

A dk A
A A

A dk A



 
 


 

lim f x limg x

 

Dấu của g x

 

lim f x

g x

0 L Tuỳ ý 0

L>0 0 + +

</div>
(82)<div class='page_container' data-page=82>

-L<0 0 +- +
-Ví dụ:
1.
2
2
1
2 3
lim
2 1
x
x x
x x

 
 
Giải:



 







1 1 1

1 3

2 3 3 4

lim lim lim

1 3

2 1 2 1

2
2

x x x

x x

x x x

x x x x x

  
 
  

  
 
    
 
 
2. 2
2
lim
7 3
x
x
x


 
Giải:













2 2 2

2 7 3

lim lim lim 7 3 6

2
7 3

x x x

x x
x
x
x
x
  
  

     

 
3.
3
3 2

2 3 4

lim
1
x
x x
x x
 
   
 
    
 
Giải:

3 2 3

3 2

3 4

2 3 4

lim lim 2

1 1

1 1

x x

x x x x

x x
x x
   
 
   
 
 

    
    
4.

2 4 2 1

lim

2 3

x

x x x

x
  
    
 
  
 
Giải:

2 2 2

2 2

1 1

1 4

4 1

lim lim

2 3 2 3

1 1 1 1

1 4 1 4

lim lim

2 3 2 2

x x

x x x x x

x x

x x x x

x
x
     
     
  
    
  
   
 
       
  


4. 1
1 1
lim 1
1

x x x

 



 



 

Giải: 0 0





1 1 1

lim 1 lim lim 1

1 1 1

x x x

x

x x x x x

  
  
 
 
   
 
  
 





lim 4 2

x   x x x
 
Giải:











2 2
2
2
2

4 2 4 2

lim 4 2 lim

4 2

lim lim lim

1 1

4 2 4 2 4 2 4

x x

x x x

x x x x x x

x x x

x x x x x x x

x x
     
        
   
  
 
  
  
      

</div>
(83)<div class='page_container' data-page=83>

1. 1
2 3
lim
1
x
x
x




 
 


  2. 1

2 3
lim
1
x
x
x

 


 3. 2

5
lim
2
x
x
x




4.
2 3

2
0
2
lim
x
x x
x

  
 

  5. 1

3 2
lim
1
x
x
x

   
 
  

  6. 1

8 3
lim
1
x

x
x

 

7.
2
1
3

3 4 1

lim
3 1
x
x x
x

   
 


  8.

4 2
4
4 3
lim
2 1
x

x x
x
 
  
 9.
3
3
4 7
lim
2 8
x
x x
x x
 
 

10.
3
3
2
lim
3
x
x
x


  
 


  11. 2

4
lim
2
x
x
x

 

 12.
3 2
3
4 3
lim
x
x x
x x
 
 

13.
3
3

2 5 6

lim

7
x
x x
x x
  
   
 


  14.





4 2

lim 2 3

x  x  x  15.





lim 2

x  x  x

Bài tập 2:





lim 2

x   x  x x 2.





2
lim 9

x   x  x x 3.





lim 3 4

x  x  x x

4.
2 2
lim
5
x
x x
x
 
   
 
  

  5.

2
lim

3
x
x x
x
 
   
 
  

  6.

2 3 2

lim
3
x
x
x
  
   
 
  
 
7.
2

2 4 3

lim
2 1
x
x
x
  
   
 
  

  8. 1

3
lim
1
x
x
x

 


 9. 5 2

5
lim
6 5
x
x
x x



 

Bài tập 3:Cho hàm số

1 3

( 1)

( ) 1 1

2 ( 1)

x

f x x x

mx x

 

  
  

 . Với giá trị nào của m thì f x( ) có giới hạn
khi x1 ? Tìm giới hạn này.

Câu 2: Tính tổng

1 1 1

5 1 ...

5 25 125

S      

 Củng cố :

+ Tính giới hạn trái ,phải tại một điểm cần xét dấu mẫu số.
 Dặn dò :

Bài tập về nhà:

a).





2 2

lim 1

x  x x x

  

b). 1 3

1 3

lim

1 1

x x x

 

 
 
 .
c).
2
2
1

2 15 12

lim
5 4
x
x x
x x


 

  d).

4 2

lim ( 2 3)

x   x  x  x

e).





2 2

lim 1

x  x x x

  

f). 1 3

1 3

lim

1 1

x x x

 

 
 

 .
g).
2
2
1

2 15 12

lim
5 4
x
x x
x x


 

  h).

3 2

4 5 1

lim

5 2 4 1

 

  

n n

n n n

k). 2

3
lim
1
x
x
x
 

 l).





0
1 1
lim
x
x
x

 
.

m).
2
2
1

2 15 12

lim
5 4
x
x x
x x


 

  n). 5

</div>
(84)<div class='page_container' data-page=84>

q). 1

1
lim

3 2

x

x
x





  r).

3
3

1 2 3
lim

x

x x
x

 

 



s). 0 2 2

1 1

lim 1

x x x

 



 



  t).









1 1 2
lim

9 3

x

x x

 

 

 

§3 HÀM SỐ LIÊN TỤC



Tuần: 
Tiết: 
Mục đích:

* Về kiến thức:

+ Củng cố lý thuyết về các cách chứng minh hàm số liên tục .
+ Ôn tập kiến thức chương.

* Về kỹ năng:

+ Biết áp dụng các cơng thức tính giới hạn hàm số, giới hạn dãy số ,xét tính liên tục của hàm
số,rèn luyện kỹ năng tính tốn.

Chuẩn bị: * Giáo viên: Thước kẻ, phấn màu.
 * Học sinh: Chuẩn bị các bài tập.
Phương pháp: Đàm thoại gợi mở.

Kiểm tra bài cũ:

Xét tính liên tục của hàm số

 

3 2 1

f x x  x

tại x1

Kiến thức: Hàm số yf x

 

liên tục tại x0

 

0
0

0
lim

lim
x x

x x

f x tinhduoc
f x
f x f x







 







Ví dụ:

1.Xét tính liên tục của hàm số:

, 1

2 , 1

x

khi x

y x

khi x







 

 

</div>
(85)<div class='page_container' data-page=85>

Giải: TXĐ D chứa x = -1

Ta có :









1 2 ; lim 1 1

x
x

f f

x

 


    



Vậy hàm số không liên tục tại x = -1

2.Xét tính liên tục của hàm số:

2 2 3

, 3

5 , 3

x x

khi x

y x

khi x

  




 

 

 tại điểm x = -3

Giải: TXĐ D chứa x = 3
Ta có :

 



 







 

3 3 3

1 3

2 3

3 5 ; lim lim lim 1 4 3

3 3

x x x

x x

f x f

x x

  

 

 

     

 

Vậy hàm số không liên tục tại x = 3

3.Xét tính liên tục của hàm số:

3 2 1

, 1

4 , 1

x x

khi x

y x

khi x

  




 

 

 trên tập xác định của nó?
Giải: TXĐ D

Nếu x1 thì

 

3 2 1

x x

f x

x

 



 là hàm hữu tỷ nên liên tục trên các khoảng



 ,1 & 1,

 





Nếu x1 ta có:

 









 

1 1 1

3 1

3 2 1 3

1 4 ;lim lim lim 3 1 4 1

1 1

x x x

x x

f x f

x x

  

 

   

   

     

 

Vậy hàm số liên tục tại x = 1

Kết luận: hàm số đã cho liên tục trên tập xác định.

4.Tìm giá trị của tham số m để hàm số:

2 2

, 2

x x

khi x

y x

m khi x

  




 

 

 liên tục tại x = 2?

Giải: TXĐ D 
Ta có:

 



 







2 2 2

1 2

2 ; lim lim lim 1 3

2 2

x x x

x x

f m x

x x

  

 

 

    

 

Để hàm số liên tục tại x = 2 f

 

2 limx2 f x

 

m 3

   

Kết luận:m = 3 thì hàm số đã cho liên tục tại x = 2

5.Chứng minh pt sau có ít nhất hai nghiệm: 2x310x 7 0

Giải: Xét hàm số f x

 

2x310x 7

Hàm số này là hàm đa thức nên liên tục trên .
Và: f



1



1;f

 

0 7 ; f

 

3 17

Ta có: f



1 .

  

f 0 0 hàm số có ít nhất một nghiệm thuộckhoảng



1,0



   

0 . 3 0

f f 

hàm số có ít nhất một nghiệm thuộckhoảng



0,3



.
Mà:



1,0

 

 0,3



nên pt đã cho có ít nhất hai nghiệm.

Bài tập 1: Xét tính liên tục của các hàm số sau:
1.

 

2 1

x
f x

x




</div>
(86)<div class='page_container' data-page=86>

 

2
; 0
2; 0
x x
x

f x x

x





 

 tại x0 4.

 

4 3
; 1
1
2; 1
x x
x

f x x

x
 



 
 

 tại x1

 

2 4
; 2
2
4; 2
x
x
f x x

x
 


 
 

 tại x2 6.

 

2 4
; 2
2
2; 2
x
x
f x x

x x
 
 

 
  

 tại x2

 

2 9

; 3
3
2; 3
x
x
f x x

x
 


 
 

 tại x3 8.

 

2 4 5

; 1

6; 1

x x

x

f x x

x
  


 
 

 tại x1

 

2
4
; 2
2
3 2; 2

x

x
f x x

x x
 


 
  

 tại x2 10.

 

2
9

; 3
3
3 3; 3

x
x
f x x

x x
 


 
  

 tại x3

11.

 

2

3 1;

9 1 1

;

3 1 3

x x
f x
x
x
x

 




 
 

 tại

1
3
x
12.

 

2
5 4
; 1
1

2 1; 1

x x

x

f x x

x x
  


 
  

 tại x1

Bài tập 2: Tính giới hạn các hàm số:
1. 3
4
lim
3
x
x

x



 
 


  2. 2 2

2
lim
2
x
x
x



 3. 3

3 2
lim
3
x
x
x





4.
2
9
2

2 9 9

lim
2 9
x
x x
x


   
 


  5.





2 1 1

lim
2
x

x
x

 
6.





1 2 1

lim
4
x
x
x

 
7.





0
4 2
lim
x
x
x


 
8.





0
2 4
lim
3
x
x
x

 
9.
3 2
3
4 7
lim
2
x
x x
x x
 
 

10.
2
3
1

lim
3
x
x
x


  
 


  11. 2

4
lim
2
x
x
x



 12.
3 2
3
4 3
lim
x
x x
x x

 
 

13.
2
3
2 1
lim
8
x
x x
x x
  
   
 


  14.





4 3

lim 3

x  x x  15.





lim 3 2 1

x  x  x

16.





lim 4 2

x   x  x x 17.





lim 8

x   x  x 18.





lim 5 9

x  x  x x

19.
2 2
lim
5
x
x x
x
 
   

 
  

  20.

2
lim
3
x
x x
x
 
   
 
  

  21.

2 3 2

lim
3
x
x
x
  
   
 

  
 
22.
2

2 9 3

lim
2 5
x
x
x
  
   
 
  

  23. 1

4 3
lim
1
x
x
x

 


 24. 1 2

1
lim
6 5
x
x
x x


 

Bài tập 3: Tính giới hạn các dãy số sau





5 2

lim 3n  n  8





lim 9n  n n





2
lim n  1 n

4.
2 5.3
lim
4 2
n n
n n
  
 


  5.

3 4

2 5 2

lim
3 5
n n
n
   
 


  6.

3
3

2 7 6

lim
5
n n
n n
   
 

 
7.
2

3 6 2

lim
4 2
n
n
   
 
  

  8. 2

2
lim
3 1
n

n n
  
 
 

  9.

</div>
(87)<div class='page_container' data-page=87>

10.

6.4 .3
lim

5 3.2

n n



 11.

2 3 6

lim

3 2

n n

n

   

 

  

  12.

4
4

3 3

lim
3

n n

n n

  

 



 

ĐỀ KIỂM TRA 1 TIẾT ( THAM KHẢO)
Câu 1: Tính các giới hạn sau

1. 3

3 4
lim

3
x

x
x



 



 

 



  2.





lim 5 2

x  x  x x 3.





4 3

lim 6 3

x  x  x 

4 5.3
lim

4 2

n n

  

 



  5.

3 4

2
lim

n n
n n

   

 



  6. 2

5 2

lim

3 1

n

n n

  

 

 

 

Câu 2: Tính tổng sau

1 1 1

1 ...

4 8 16

S     
Câu 3: Xét tính liên tục của các hàm số sau:

 

2 3 2

; 1
1

2 1; 1

x x

x

f x x

x x

  




 

  

 tại x1 2.

 

2 4

; 2

2; 2

x

f x x

x x

 

 


 

  

 tại x2

 Củng cố :

+ Tính giới hạn trái ,phải tại một điểm cần xét dấu mẫu số.
 Dặn dò :

Bài tập về nhà:Xét tính liên tục của

2 4 neáu 2

( ) 2

2 neáu 2

x x

f x x x

x

 




 

 

</div>

phu dao giai tich 11

<b>CHƯƠNG I : HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ</b>

<b>PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC</b>

[

]

[

]

[

]

{

}

<b>§1 HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC</b>



<b> Tuần:</b>

{

}

<sub>√</sub>

√

√

√

√

<sub>√</sub>

√

√

<sub>√</sub>

√

<sub>√</sub>

<sub>√</sub>

√

√

<b>§2 PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN</b>

































































































