bo de thi on thi HKII toan 11

<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>

<b>ĐỀ 1</b>

<i><b>( Thời gian làm bài 90 phút )</b></i>
<b>Câu I ( 1,0 điểm ) </b>

Một cấp số cộng có số hạng đầu là 16 , công sai là  4 và tổng là  72 . Hỏi cấp số cộng

có bao nhiêu số hạng .

<b> Câu II ( 3,0 điểm ) </b>

a. Tìm giới hạn của dãy số (un_{) với}un  n 7  3n 2
b. Tìm giới hạn sau :

2
2
x 1

x 3x 2
lim

2x 2x
 

 


<b>c.</b> Xét tính liên tục của hàm số

2

o
2x x 1

f (x) 1

n 1

   

_ 




nÕu x > 1 t¹i x

2x + 3 Õu x _.
<b>Câu III ( 3,0 điểm ) </b>

a. Tìm đạo hàm của hàm số

sin x
y

x 1



 _.

b. Cho hàm số f (x)x3 3x29x 2009 _{. Hãy giải bất phương trình}f '(x) 0 _.
c. Cho hàm số y 1 x 2 _{. Chứng minh rằng :}y.y '' (y ') 2 1

<b>Câu IV ( 3,0 điểm ) </b>

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vng cạnh bằng a và SA vng góc với mặt
phẳng (ABCD) .

a. Chứng minh rằng : mp(SAB)mp(SBC) .
b. Chứng minh rằng : BDmp(SAC) .

c. Biết SA=

a 6

3 _{. Tính góc giữa SC và mp(ABCD) .}

. . . .Hết . . . .
<b>HƯỚNG DẪN</b>

<b>Câu I ( 1,0 điểm ) </b>

Gọi n là số lượng số hạng , u1_{là số hạng đầu tiên , d là công sai của cấp số cộng .}
Áp dụng công thức : n 1

n

S [2u (n 1)d]
2

  

, ta có :

2 n 3

n

72 [2.16 (n 1)( 4)] 2n 18n 72 0

n 12
2




        _{  }




( lo¹i )
( nhËn )

Vậy cấp số cộng này có 12 số hạng .

<b>Câu II ( 3,0 điểm ) </b>

a. ( 1đ ) Ta có : n

7 2

lim u lim n[ 1 3 ]

n n

</div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2>

b. (1đ)

2
2

x 1 x 1 x 1

x 3x 2 (x 1)(x 2) x 2 1 2 1

lim lim lim

2x(x 1) 2x 2 2

2x 2x

     

      

   

 



c. (1đ) Tập xác định D = 
Ta có : f( 1) = 3+2( 1) = 1

2 2

x ( 1) x ( 1)

lim f (x) lim ( 2x x 1) 2( 1) 1 1 4

 

   

        

x ( 1) x ( 1)

lim f (x) lim (2x 3) 3 2( 1) 1

 

   

     

Vì x ( 1) x ( 1)

lim f (x) lim f (x)

 

   



nên không tồn tại xlim f (x) 1
Vậy hàm số đã cho không liên tục tại xo 1

<b>Câu III ( 3,0 điểm ) </b>

a. (1đ) Ta có : 2 2 2

(sin x) '.(x 1) sin x.(x 1) ' cos x.(x 1) sin x (x 1) cos x sin x
y '

(x 1) (x 1) (x 1)

      

  

  

b. (1đ) Ta có : f '(x)3x2 6x 9

Do đó : f '(x) 0  3x2 6x 9 0   x2 2x 3 0   x 3 x 1

c) (1đ) Ta có : y 1 x 2  y2  1 x2 2y.y ' 2x  y.y ' x  y '.y ' y.y '' 1 
Hay (y ')2y.y '' 1  y.y '' (y ') 2 1 (®pcm)

<b>Câu IV ( 3,0 điểm ) </b>

a. (1đ) Vì SA(ABCD) SABC_{(1) , do}BC(ABCD)_.
Mặt khác : BCAB_{(2) , do ABCD là hình vng .}

Từ (1) , (2) suy ra BC (SAB)  (SBC) (SAB) _{, Vì}BC(SBC)
b. (1đ) Ta có : ACBD_{(3) , do ABCD là hình vng}

Vì SA(ABCD) SABD_{(4) , do}BD(ABCD)_.
Từ (3),(4) suy ra : BD(SAC)

c. (1đ) Do SA(ABCD) A hc (ABCD)S AC hc (ABCD)SC
Suy ra góc giữa SC và mp(ABCD) là SCA

Tam giác SAC vng tại A , ta có :

 

a 6

SA ₃ 3

tan SCA SCA 30

AC a 2 3

</div>
<span class='text_page_counter'>(3)</span><div class='page_container' data-page=3>

<b>ĐỀ 2</b>

<i><b>( Thời gian làm bài 90 phút )</b></i>
<b>Câu I ( 1,0 điểm ) </b>

Một cấp số nhân có chín số hạng , biết số hạng đầu là 5 và số hạng cuối là 1280 . Tính
cơng bội q và tổng S9_{các số hạng .}

<b>Câu II ( 3,0 điểm ) </b>

d. Tìm giới hạn của dãy số (un_{) với} n 2

1 3 5 ... (2n 1)
u

n 1

    




e. Tìm giới hạn sau : x 1

3 6

lim ( )

1 x
1 x







<b>f.</b> Xét tính liên tục của hàm số

o
3x 1

f (x) _{x 2} 1

n 1




 

_ _ 

  



nÕu x 1

t¹i x

2 Õu x _.

<b>Câu III ( 3,0 điểm ) </b>

c. Tìm đạo hàm của hàm số y x 6 x  .

d. Cho hàm số f (x) x 2sin x cos x _{. Hãy tính :}f ''(1) , f ''( ) _.
e. Cho hàm số

x 3
f (x)

x 3




 _{. Hãy viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số , biết tiếp}
tuyến có hệ số góc là 1 .

<b> </b>

<b>Câu IV ( 3,0 điểm ) </b>

Cho tứ diện ABCD có BCD là tam giác đều cạnh bằng a và AB vng góc với mặt phẳng
(BCD) . Gọi I và E lần lượt là trung điểm của BC và CD . .

c. Chứng minh rằng : Mp(ABC)mp(ADI) .

d. Chứng minh rằng : CDmp(ABE) .

c. Tính khoảng cách từ D đến mp(ABC) .

. . . .Hết . . . .
<b>HƯỚNG DẪN</b>

<b>Câu I ( 1,0 điểm ) </b>

Ta có n = 9 là số lượng số hạng , u1_{=5 là số hạng đầu tiên ,}u9_{=1280 là số hạng đầu tiên ,}
q là công bội của cấp số nhân .

Áp dụng công thức u9 u .q1 81280 5.q 8  q8 256 q828  q2_{: , ta có :}
+ q = 2 

9 9

9 1 q 1 2 1

S u . 5. 2555

q 1 2 1

 

  

 

+ q =  2 

9 9

9 1 q 1 ( 2) 1

S u . 5. 855

q 1 ( 2) 1

  

  

</div>
<span class='text_page_counter'>(4)</span><div class='page_container' data-page=4>

cộng có u11, un 2n 1 _{, do đó :}

2

n n(n 2n 1)

S 1 3 5 ... (2n 1) n

2

 

       

Suy ra :

2

n ₂ ₂

2
1 3 5 ... (2n 1) n 1

lim u lim lim lim 1

1

n 1 n 1 ₁

n

    

   

  _

d. (1đ)

x 1 x 1 x 1 x 1 x 1

3 6 3 3 x 6 3( x 1) 3( x 1) 3 3

lim ( ) lim ( ) lim lim lim

1 x 1 x 1 x 2

1 x (1 x )(1 x ) 1 x

    

    

     

  

   

c. (1đ) Ta có : f(1) =  2

Vì x 1 x 1

3x 1 3.1 1

lim f (x) lim 2 f (1)
x 2 1 2

 

 

   

 

Vậy hàm số đã cho liên tục tại xo 1

<b>Câu III ( 3,0 điểm ) </b>

a. (1đ) Ta có :

x.( 1) 12 3x
y ' 6 x x.( 6 x ) ' 6 x

2 6 x 2 6 x

 

       

 

b. (1đ) Ta có : f '(x) 2x sin x cos x   , f ''(x) = 2 cosx sinx
Do đó : f ''(1) 2 sin1 cos1 0,983    ; f ''( ) = 2  cos  sin = 3
c) (1đ) Gọi xo_{là hồnh độ tiếp điểm . Vì} 2

6
f ' (x)

(x 3)



 _.

Theo giả thiết , ta có :

2

o ₂ o o

o

6

f ' (x ) 1 1 (x 3) 3 x 3 6

(x 3)

        


Áp dụng công thức : y y o f ' (x )(x x )o  o

o o

x 3 6 y 1 6

      _ <b>_{tiếp tuyến}</b>( ) : y x 4 2 6₁   
<b> </b> xo  3 6 yo  1 6  <b>_{tiếp tuyến}</b>(2) : y x 4 2 6  
<b>Câu IV ( 3,0 điểm ) </b>

d. (1đ) Vì AB (BCD)  AB DI _{(1) , do}DI(BCD)_.

Mặt khác : DIBC_{(2) , do DI là đường cao của tam giác BCD .}
Từ (1) , (2) suy ra DI (ABC)  (ADI) (ABC) _{, vì}DI(ADI)

e. (1đ) Ta có : BECD_{(3) , do BE là đường cao của tam giác BCD .}

Vì AB (BCD), B (BCD)   B hc (ABC)A BE hc (ABC)AE (4)
Từ (3),(4) suy ra : CDAE_{(5) , do định lí 3 đường vng góc .}
Từ (3),(5) suy ra : CD_{(ABE) .}

f. (1đ) Do DI (ABC), I (ABC)   d(D,(ABC)) DI ₌

</div>
<span class='text_page_counter'>(5)</span><div class='page_container' data-page=5>

<b>ĐỀ 3</b>

<i><b>( Thời gian làm bài 90 phút )</b></i>
<b>Câu I ( 1,0 điểm ) </b>

Xác định số hạng đầu và công sai của cấp số cộng . Biết
5
9
u 19
u 35



 _


<b> Câu II ( 3,0 điểm ) </b>

g. Tìm giới hạn của dãy số (un_{) với} n

2n sin n
u

n




h. Tìm giới hạn sau : x 2 2

x 2 x
lim

x 4x 4


 
  

<b>i.</b> Cho hàm số

3
2
x
f (x)

n 1

 _




 




nÕu x < 1

2x 3 Õu x _{. Chứng minh rằng hàm số f(x) liên tục trên}__.
<b>Câu III ( 3,0 điểm ) </b>

f. Tìm đạo hàm của hàm số y x cos3x .

g. Cho hàm số y sin 2x cos 2x  _{. Hãy giải bất phương trình}y '' 0 _.

c. Cho hàm số y 2x 1 có đồ thị (C) . Viết phương trình tiếp tuyến với (C) , biết rằng
tiếp tuyến đó song song với đường thẳng (d) :

1
y x 1

3

 

.

<b>Câu IV ( 3,0 điểm ) </b>

Cho tam giác đều ABC cạnh a . Trên đường vng góc với mặt phẳng (ABC) tại B , ta lấy

một điểm M sao cho MB = 2a . Gọi I là trung điểm của BC .

e. Chứng minh rằng : AImp(MBC) .

f. Tính góc hợp bởi đường thẳng IM với mặt phẳng (ABC) .
c. Tính khoảng cách từ đỉnh B đến mặt phẳng (MIA) .

. . . .Hết . . . .
<b>HƯỚNG DẪN</b>

<b>Câu I ( 1,0 điểm ) </b>

Gọi u1_{là số hạng đầu tiên , d là công sai của cấp số cộng .}
Áp dụng cơng thức : un u1(n 1)d _{, ta có :}

1 1

5

9 ₁

u 4d 19 u 3
u 19

u 35 _u _{8d 35} _{d 4}

  

 




 

 _  

  

  

Vậy cấp số cộng này có u13, d 4 _.

</div>
<span class='text_page_counter'>(6)</span><div class='page_container' data-page=6>

Vì

sin n 1 1 sin n

| | lim 0 n 0

n n , n  nª lim n  _nênlim un 2

f. (1đ) x 2 2 x 2 2

x 2 x x 2 x

lim lim

x 4x 4 (x 2)

 

   

  

    

Vì

2 2

x 2lim ( x 2 x) 4 x 2lim [ (x 2) ] 0 (x 2) 0

   ,    vµ   

c. (1đ) Tập xác định D = 

+ Nếu x 1 thì f (x) x 3 là hàm đa thức nên liên tục trên (  ; 1) (1)

+ Nếu x 1 thì f (x) 2x 2 3 là hàm đa thức nên liên tục trên ( 1; ) (2)

+ Tại x1

Ta có : f( 1) = 2(1)2  3 =  1

3

x ( 1) x ( 1)

lim f (x) lim x 1

 

   

 

2 2

x ( 1) x ( 1)

lim f (x) lim (2x 3) 2( 1) 3 1

 

   

     

Vì x ( 1) x ( 1)

lim f (x) lim f (x) 1

 

   

 

nên xlim f (x) 1 1 f ( 1)
  

Vậy hàm số đã cho không liên tục tại xo 1₍₃₎
Từ (1),(2),(3) suy ra hàm số liên tục trên  .

<b>Câu III ( 3,0 điểm ) </b>

a. (1đ) Ta có :

(cos 3x) ' 3sin 3x 2cos3x 3x sin 3x
y ' cos3x x. cos3x x.

2 cos3x 2 cos 3x 2 cos 3x

 

    

b. (1đ) Ta có : y ' 2cos 2x 2sin 2x   y ''4sin 2x 4cos 2x

Do đó : y '' 0 4sin 2x 4cos 2x 0 sin(2x 4) 0 2x 4 k x 8 k ; k2

   

                

c) (1đ) Gọi tiếp tuyến cần tìm là () . Vì () // (d) :

1
y x 1

3

 

nên () có hệ số góc k =

1
3_.

Gọi M(x ; y )o o _{là tiếp điểm của tiếp tuyến với (C)}
Ta có :

1
y '

2x 1



 _nên o o o o o

1 1

k y '(x ) 2x 1 3 x 4 (y 3)

3 2x 1

        



Suy ra phương trình tiếp tuyến :

1 1 5

y (x 4) 3 y x

3 3 3

     

<b>Câu IV ( 3,0 điểm ) </b>

g. (1đ) Ta có : MB (ABC) (gØa thiÕt) MB AI _{do AI}__{(ABC) (1) .}
Mặt khác : AIBC_{(2) , do ABC là tam giác đều có đường cao AI .}
Từ (1) , (2) suy ra AI (MBC)

b. (1đ) Ta có : MB (ABC), M (ABC)   B hc (ABC)M BI hc (ABC)MI (3)
Suy ra góc giữa IM và mp(ABC) là M I B .

Vì tam giác MBI vng góc nên

 MB 

tan MIB 4 MIB arctan 4

IB

</div>
<span class='text_page_counter'>(7)</span><div class='page_container' data-page=7>

g. (1đ) Do AI(MBC)_{, suy ra :}(MIA) (MBC) _.
Hai mặt phẳng này cắt nhau theo giao tuyến MI .
Từ B kẻ BHMI suy ra

BH (M IA), H (M IA)   d(B;(MIA)) BH _.

Tam giác MBI vng tại B có đường cao BH , ta có :

a

BI , MB 2a
2

 

nên :

2 2 2 2 2 2

2
2

1 1 1 4 1 17

BH BI MB a 4a 4a

2a 17
4a

BH BH

17 17

    

   

<b>ĐỀ 4</b>

<i><b>( Thời gian làm bài 90 phút )</b></i>
<b>Câu I ( 1,0 điểm ) </b>

Cho cấp số nhân (un_{) có}

4 6
3 5

u u 120
u u 60

 


 _ _

 _{.Xác định số hạng đầu và công bội của cấp số nhân .}

<b>Câu II ( 3,0 điểm ) </b>

j. Chứng minh rằng dãy số (un_{) với}

2
n n ₂1
u

2n




là một dãy số giảm và bị chặn .
k. Tìm giới hạn sau :

2
x 2

x 5 3
lim

x 2


 



c. Cho hàm số

2

ax 2

f (x)

n 2

 _



 



nÕu x

2x 1 Õu x _{.Tìm giá trị của a để hàm số f(x) liên tục trên}__.

<b>Câu III ( 3,0 điểm ) </b>

h. Tìm đạo hàm của hàm số y tan x3 .
i. Tính gần đúng giá trị sin 29 .

c. Chứng minh rằng phương trình cos x2  x_{= 0 có ít nhất một nghiệm .}

<b>Câu IV ( 3,0 điểm ) </b>

Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có ABC là tam giác đều cạnh a , AA’ vng góc với mặt
phẳng (ABC) và AA’ =

a 2

2 _{. Gọi O và O’ lần lượt là trung điểm của AB và A’B’ .}
g. Chứng minh rằng : AB_{mp(COO’) .}

b. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và CB’ .
. . . .Hết . . . .

<b>HƯỚNG DẪN</b>

<b>Câu I ( 1,0 điểm ) </b>

</div>
<span class='text_page_counter'>(8)</span><div class='page_container' data-page=8>

Lấy (1) chia (2) , ta được : q2_{. Thay}q2_{vào (2) :}u .q (1 4) 60₁ 2    u₁3
Vậy cấp số nhân này có u13, q2_.

<b>Câu II ( 3,0 điểm ) </b>

a. ( 1đ ) Ta có : n 2

1 1
u

2 2n

 

. Suy ra :

+ n 1 n 2 2 2 2

1 1 1 1 1 1

u u ( ) ( ) 0, n 1

2 _{2(n 1)} 2 _2n _{2(n 1)} _2n

          

  _{. Suy ra (}u_n_{) là dãy số giảm .}

+ Vì n

1

u 1

2  , n 1_{nên (}un_{) là một dãy số bị chặn .}

b. (1đ )

2 2 2

2 2 2

x 2 x 2 x 2 x 2

x 5 3 x 5 9 x 4 x 2 2

lim lim lim lim

x 2 _{(x 2)( x} _{5 3)} _{(x 2)( x} _{5 3)} _x _{5 3} 3

   

     

   



       

c. (1đ) Tập xác định D = 

+ Nếu x 2 thì f (x) ax 2 là hàm số liên tục trên ( ; 2) với a 
+ Nếu x 2 thì f (x) 2x 1  là hàm đa thức nên liên tục trên (2;)

Do đó : hàm số f(x) liên tục trên   hàm số f(x) liên tục tại điểm x = 2

2

x 2 x 2 x 2 x 2

3
lim f (x) lim f (x) f (2) lim (2x 1) lim ax 3 4a a

4

   

   

         

Vậy với
3
a

4


hàm số đã cho liên tục 

<b>Câu III ( 3,0 điểm ) </b>

a. (1đ) Ta có :

3 3 2

2 2 2

3 3

3. tan x

1 1 1 1 1

y tan x y ' .(tan x)' .3tan x. .3tan x.

2 tan x

cos x cos x 2cos x

2 tan x 2 tan x

     

b. (1,0đ) Áp dụng công thức : f '(xo x) f (x ) f '(x ). x o  o 
Phân tích : 29 30 1 6 (180)

  

   

  

. Chọn : xo 6 , x = 180
  
 

Đặt f(x) = sinx , ta có :

1 3

f '(x) cos x , f( ) sin , f '( ) cos

6 6 2 6 6 2

   

    

Suy ra :

1 3

sin 29 sin[ ( )] f[ ( )] f ( ) f '( ).( ) . 0,9954

6 180 6 180 6 6 180 2 2 180

           

        



Vậy : sin 29 0,9954

c) (1,0đ) Xét hàm số : f(x) = cos x2  x_{liên tục khi}x 0 _.
Ta có : f(0) = 1 , f(2



) = 2



< 0 nên đã cho có ít nhất một nghiệm .

<b>Câu IV ( 3,0 điểm ) </b>

h. (1đ) Ta có : ABC đều nân ABCO .

</div>
<span class='text_page_counter'>(9)</span><div class='page_container' data-page=9>

i. (2đ)
+ Xác định :

Ta có (CB’O’) chứa CB’ và song song với AB .

Do đó : Khoảng cách giữa AB và CB’ bằng khoảng cách giữa AB và (CB’C’) .
Vậy : d[AB;CB’] = d[AB,(CB’O’)] = d [O, (CB’C’)]

Ta có :

AB (COO') ( câu 1)

O'B' (COO') (CO'B') (COO')

O'B' (COO')




   






Do đó khi kẻ OH_{O’C thì OH}_{(CO’B’) ,}H (COO')
+ Tính khoảng cách :

Tam giác COO’ vng tại O . có đường cao là OH nên

2 2 2 2 2 2

2
2

1 1 1 4 2 10

OH OC OO ' 3a a 3a
a 30
3a

OH OH

10 10

    

   

Vậy : d(AB,CB’) = OH =
a 30

</div>

<!--links-->