Bài 2 bài 2 PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC cơ bản
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (131.46 KB, 16 trang )
BÀI 2. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN
Mục tiêu: Nắm vững 4 phương trình lượng giác cơ bản và cách giải.
Kiến thức
+ Biết cách áp dụng công thức nghiệm đối với từng phương trình lượng giác cơ bản.
+
Vận dụng để giải những trường hợp mở rộng của 4 phương trình lượng giác cơ bản.
I. LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM
1. Phương trình sin x = a
− Nếu a > 1 : Phương trình vơ nghiệm.
− Nếu a ≤ 1 . Đặt a = sin α hoặc a = sin β ° , phương trình tương đương với
x = α + k 2π
sin x = sin α ⇔
( k ∈¢) .
x = π − α + k 2π
x = β ° + k .360°
sin x = sin β ° ⇔
( k ∈¢) .
x = 180° − β ° + k .360°
x = arcsin a + k 2π
sin x = a ⇔
( k ∈¢) .
x = π − arcsin a + k 2π
Tổng quát:
f ( x ) = g ( x ) + k 2π
sin f ( x ) = sin g ( x ) ⇔
( k ∈¢) .
f ( x ) = π − g ( x ) + k 2π
Các trường hợp đặc biệt
π
+ k 2π
2
•
sin x = 1 ⇔ x =
•
sin x = −1 ⇔ x = −
•
sin x = 0 ⇔ x = kπ
( k ∈¢) .
π
+ k 2π
2
( k ∈¢) .
( k ∈¢) .
2. Phương trình cos x = a
− Nếu a > 1 : Phương trình vơ nghiệm.
− Nếu a ≤ 1 . Đặt a = cos α hoặc a = cos β ° , phương trình tương đương với
cos x = cos α ⇔ x = ±α + k 2π
( k ∈¢) .
cos x = cos β ° ⇔ x = ± β ° + k .360° ( k ∈ ¢ ) .
cos x = a ⇔ x = ± arccos a + k 2π
( k ∈¢) .
Tổng quát:
cos f ( x ) = cos g ( x ) ⇔ f ( x ) = ± g ( x ) + k 2π
( k ∈¢) .
Các trường hợp đặc biệt
Trang 1
( k Â) .
ã
cos x = 1 x = k 2π
•
cos x = −1 ⇔ x = π + k 2π
•
cos x = 0 ⇔ x =
π
+ kπ
2
( k ∈¢) .
( k ∈¢) .
3. Phương trình tan x = a
Điều kiện cos x ≠ 0 .
•
tan x = tan α ⇔ x = α + kπ ( k ∈ ¢ ) .
•
tan x = tan β ° ⇔ x = β ° + k .180° ( k ∈ ¢ ) .
•
tan x = a ⇔ x = arctan a + kπ ( k ∈ ¢ ) .
Tổng quát:
tan f ( x ) = tan g ( x ) ⇔ f ( x ) = g ( x ) + kπ ( k ∈ ¢ ) .
5. Phương trình cot x = a
Điều kiện sin x ≠ 0 .
•
cot x = cot α ⇔ x = α + kπ ( k  ) .
ã
cot x = cot ⇔ x = β ° + k .180° ( k  ) .
ã
cot x = a x = arc cot a + kπ ( k ∈ ¢ ) .
Tổng quát:
cot f ( x ) = cot g ( x ) ⇔ f ( x ) = g ( x ) + kπ ( k ∈ ¢ ) .
Trang 2
SƠ ĐỒ HỆ THỐNG HĨA
Điều kiện: ,.
Đặt .
đặc biệt .
khơng đặc biệt
.
a
x=
tan
Trường hợp 1: .
Trường hợp 1: .
Phương trình vơ nghiệm.
Phương trình vơ nghiệm.
Trường hợp 2: .
Trường hợp 2: .
Đặt .
đặc biệt
sin x = a
Phương
trình lượng
cos x = a
Đặt .
đặc biệt
giác cơ bản
không đặc biệt
không đặc biệt
.
cot
x
=
Điều kiện , .
a
Đặt .
đặc biệt .
không đặc biệt
.
II. CÁC DẠNG BÀI TẬP
Dạng 1: Phương trình sin x = a
Ví dụ mẫu
Trang 3
π
Ví dụ 1. Giải phương trình 2sin 3x + ÷ = 3 . ( 1)
4
Hướng dẫn giải
( 1) ⇔ sin 3x +
π
3
π
π
⇔ sin 3 x + ÷ = sin
ữ=
4 2
4
3
2
3
x
+
=
+
k
2
3
x
=
+
+
k
2
x
=
+
k
4 3
4 3
36
3
( k Â) .
3 x + π = π − π + k 2π
3x = π − π − π + k 2π
x = 5π + k 2π
4
3
3 4
36
3
π
2π
x = 36 + k 3
( k ∈¢) .
Vậy phương trình đã cho có nghiệm là
5
π
2
π
x =
+k
36
3
2π
Ví dụ 2. Giải phương trình sin 3x +
3
7π
÷+ sin x −
5
÷= 0 . ( 2)
Hướng dẫn giải
( 2 ) ⇔ sin 3x +
2π
3
2π
÷− sin x −
5
2π
÷ = 0 ⇔ sin 3 x +
3
2π
2π
8π
3
x
+
=
x
−
+ k 2π
x=−
+ kπ
3
5
15
⇔
⇔
3 x + 2π = π − x − 2π + k 2π
x = 11π + kπ
÷
3
5
60
2
2π
÷ = sin x
ữ
5
( k Â) .
8
x = 15 + kπ
( k ∈¢) .
Vậy phương trình đã cho có nghiệm là
x = 11π + kπ
60
2
)
(
π
2
Ví dụ 3. Tìm số nghiệm nguyên dương của phương trình sin 3 x − 9 x − 16 x − 80 = 0 .
4
Hướng dẫn giải
(
)
(
)
π
π
2
3 x − 9 x 2 − 16 x − 80 = kπ
Ta có sin 3 x − 9 x − 16 x − 80 = 0 ⇔
4
4
⇔ 3 x − 9 x 2 − 16 x − 80 = 4k ⇔ 9 x 2 − 16 x − 80 = 3 x − 4k
3x ≥ 4k
3 x ≥ 4k
⇔ 2
⇔
2k 2 + 10 .
2
2
9
x
−
16
x
−
80
=
9
x
−
24
kx
+
16
k
x
=
3k − 2
2
2
2 ( 9k 2 − 4 ) + 98
2
k
+
10
18
k
+
90
98 .
Xét x =
⇒ 9x =
=
= 2 ( 3k + 2 ) +
3k − 2
3k − 2
3k − 2
3k − 2
Trang 4
Vì x ∈ ¥ * nên 9 x ∈ ¥ * ⇒ 3k − 2 ∈ Ư ( 98 ) = { ±1; ±2; ±7; ±14; ±49; ±98} .
x ∈ ¥ *
⇒ 3k − 2 > 0 ⇒ 3k − 2 ∈ { 1; 2;7;14; 49;98} ⇔ k ∈ { 1;3;17} .
Lại có 2
2k + 10 > 0 ( k ∈ ¢ )
− Với k = 1 thì x = 12 (thỏa mãn 3 x ≥ 4k ).
− Với k = 3 thì x = 4 (thỏa mãn 3 x ≥ 4k ).
− Với k = 17 thì x = 12 (khơng thỏa mãn 3 x ≥ 4k ).
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm ngun dương là x ∈ { 4;12} .
Bài tập tự luyện dạng 1
Câu 1: Cho phương trình sin ( x + π ) =
m+2
, m là tham số. Với giá trị nào của m thì phương trình có
m −1
nghiệm?
1
A. m ≤ − .
4
1
B. m ≤ − .
2
C. ∀m ∈ ¡ .
D. Khơng tồn tại giá trị của m
Câu 2: Phương trình sin x =
1
−π
π
≤ x ≤ là
có nghiệm thỏa mãn
2
2
2
A. x =
5π
+ k 2π , k ∈ ¢ .
6
B. x =
π
.
6
C. x =
π
+ k 2π , k ∈ ¢ .
3
D. x =
π
.
3
Câu 3: Số nghiệm của phương trình
A. 8.
B. 7.
Câu 4: Cho phương trình sin
sin 2 x
= 0 trên đoạn [ 0;3π ] là
1 − cos x
C. 4.
D. 5.
x
= m 2 + 9 , m là tham số. Với giá trị nào của m thì phương trình vơ
3
nghiệm?
A. −3 < m < 3 .
B. m < 3 .
C. ∀m ∈ ¡ .
D. Không tồn tại giá trị của m .
ĐÁP ÁN
1-B
2-B
3-D
4-C
HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT
Câu 1.
Phương trình sin ( x + π ) =
m+2
có nghĩa ∀x ∈ ¡ ⇔ D = ¡ , m ≠ 1 .
m −1
Trang 5
m + 2 ( 1)
−1 ≤ m − 1
Ta có −1 ≤ sin ( x + π ) ≤ 1 ⇔
.
m
+
2
≤ 1 ( 2)
m − 1
m > 1
m+2
2m + 1
⇔
≥0⇔
Giải ( 1) . Ta có −1 ≤
.
m ≤ −1
m −1
m −1
2
Giải ( 2 ) . Ta có
m+2
3
≤1⇔
≤ 0 ⇔ m −1 < 0 ⇔ m < 1 .
m −1
m −1
1
Kết hợp nghiệm ta có m ≤ − .
2
Câu 2.
Phương trình sin x =
1
có nghĩa ∀x ∈ ¡ ⇔ D = ¡ .
2
π
π
x = + k 2π
x = + k 2π
1
π
π 1
6
6
⇔
( k ∈¢) .
Do sin = nên sin x = ⇔ sin x = sin ⇔
2
6
6 2
x = π − π + k 2π
x = 5π + k 2π
6
6
Vì −
π
π
π
≤ x ≤ nên x = .
2
2
6
Câu 3.
Phương trình
Ta có
sin 2 x
= 0 có nghĩa ⇔ 1 − cos x ≠ 0 ⇔ cos x ≠ 1 ⇔ x ≠ k 2π ⇔ D = ¡ \ { k 2π } .
1 − cos x
sin 2 x
kπ
= 0 ⇔ sin 2 x = 0 ⇔ x =
( k ∈¢) .
1 − cos x
2
x = ( 2k + 1) π
( k ∈¢) .
Kết hợp với điều kiện ta có
π
x = + kπ
2
Do x ∈ [ 0;3π ] ⇒ x =
π
3π
5π
, x =π , x =
, x=
, x = 3π .
2
2
2
Vậy phương trình có 5 nghiệm.
Câu 4.
Phương trình sin
Ta có −1 ≤ sin
x
= m 2 + 9 có nghĩa ∀x ∈ ¡ ⇔ D = ¡ .
3
x
≤ 1 ⇔ −1 ≤ m 2 + 9 ≤ 1 ⇔ −10 ≤ m 2 ≤ −8 (vơ lí).
3
Vậy phương trình vơ nghiệm với ∀m ∈ ¡ .
Dạng 2: Phương trình cos x = b
Trang 6
Ví dụ mẫu
π
Ví dụ 1. Giải phương trình 2 cos 2 x + ÷ = 2 .
6
( 1)
Hướng dẫn giải
( 1) ⇔ cos 2 x +
π
2
÷=
6 2
π
π
π
π
⇔ cos 2 x + ÷ = cos ⇔ 2 x + = ± + k 2π ( k ∈ ¢ ) .
6
4
6
4
π π
π
2 x + 6 = 4 + k 2π
2 x = 12 + k 2π
x =
⇔
⇔
⇔
2 x + π = − π + k 2π
2 x = −5π + k 2π
x =
6
4
12
x =
Vậy phương trình đã cho có nghiệm là
x =
π
+ kπ
24
( k ∈¢) .
−5π
+ kπ
24
π
+ kπ
24
( k ∈¢) .
−5π
+ kπ
24
π
Ví dụ 2. Giải phương trình cos 2 x + ÷− sin 5 x = 0 .
3
( 2)
Hướng dẫn giải
( 2 ) ⇔ cos 2 x +
π
π
π
÷ = sin 5 x ⇔ cos 2 x + ÷ = cos − 5 x ÷
3
3
2
π π
π k 2π
2 x + 3 = 2 − 5 x + k 2π
x = 42 + 7
⇔
⇔
2 x + π = − π + 5 x + k 2π
x = 5π − 2kπ
3
2
18
3
( k ∈¢) .
π k 2π
x = 42 + 7
( k ∈¢) .
Vậy nghiệm của phương trình là
x = 5π − 2kπ
18
3
Ví dụ 3. Cho phương trình cos ( x + π ) =
m+2
, m là tham số. Tìm m để phương trình đã cho có nghiệm.
m −1
Hướng dẫn giải
Phương trình cos ( x + π ) =
m+2
có nghĩa ∀x ∈ ¡ ⇔ D = ¡ , m ≠ 1 .
m −1
m + 2 ( 1)
−1 ≤ m − 1
Ta có −1 ≤ cos ( x + π ) ≤ 1 ⇔
.
m + 2 ≤1 2
( )
m − 1
Trang 7
m > 1
m+2
2m + 1
⇔
≥0⇔
Giải ( 1) . Ta có −1 ≤
.
m ≤ −1
m −1
m −1
2
Giải ( 2 ) . Ta có
m+2
3
≤1⇔
≤ 0 ⇔ m −1 < 0 ⇔ m < 1 .
m −1
m −1
1
Kết hợp nghiệm ta có m ≤ − .
2
Vậy với m ≤ −
1
thì phương trình đã cho có nghiệm.
2
Bài tập tự luyện dạng 2
Câu 1: Phương trình 2 cos x + 2 = 0 có nghiệm là
π
x = 4 + k 2π
A.
, k ∈¢ .
x = 3π + k 2π
4
3π
x = 4 + k 2π
B.
, k ∈¢ .
x = −3π + k 2π
4
5π
x = 4 + k 2π
C.
,k ∈¢ .
x = −5π + k 2π
4
π
x = 4 + k 2π
D.
,k ∈¢ .
x = −π + k 2π
4
x
Câu 2: Phương trình 2 cos + 3 = 0 có nghiệm là
2
A. x = ±
5π
+ k 2π , k ∈ ¢ .
3
B. x = ±
5π
+ k 2π , k ∈ ¢ .
6
C. x = ±
5π
+ k 4π , k ∈ ¢ .
6
D. x = ±
5π
+ k 4π , k ∈ ¢ .
3
π k 2π
+
,k ∈¢ .
45
3
Câu 3: Phương trình cos 3x = cos
π
có nghiệm là
15
A. x = ±
π
+ k 2π , k ∈ ¢ .
15
B. x = ±
C. x = −
π k 2π
+
,k ∈¢ .
45
3
D. x =
2
Câu 4: Phương trình cos x =
π k 2π
+
,k ∈¢ .
45
3
1
có nghiệm là
2
A. x =
π
π
+ k ,k ∈¢ .
4
2
B. x = −
π
+ kπ , k ∈ ¢ .
2
C. x =
π
+ k 2π , k ∈ ¢ .
2
D. x = ±
π
+ k 2π , k ∈ ¢ .
2
Câu 5: Phương trình cos 2 x = cos x có cùng tập nghiệm với phương trình
Trang 8
A. sin
3x
=0.
2
B. sin x = 1 .
D. sin 2 x = 1 .
π
2 cos x + ÷ = 1 với 0 ≤ x ≤ 2π là
3
Câu 6: Số nghiệm của phương trình
A. 1.
C. sin 4 x = 1 .
B. 0.
C. 2.
D. 3.
5π
1
cos π x ÷ = có bao nhiêu họ nghiệm?
Câu 7: Phương trình sin
3
2
A. 1 họ nghiệm.
B. 4 họ nghiệm.
C. 6 họ nghiệm.
D. 2 họ nghiệm.
ĐÁP ÁN
1-B
2-D
3-B
4-A
5-A
6-C
7-C
HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT
Câu 1.
Phương trình 2 cos x + 2 = 0 có nghĩa ∀x ∈ ¡ ⇔ D = ¡ .
Ta có 2 cos x + 2 = 0 ⇔ cos x =
− 2
.
2
3π
x=
+ k 2π
−
2
3
π
4
3π − 2
⇔ cos x = cos
⇔
( k ∈¢) .
Do cos
nên cos x =
=
2
4
4
2
x = −3π + k 2π
4
Câu 2.
x
Phương trình 2 cos + 3 = 0 có nghĩa ∀x ∈ ¡ ⇔ D = ¡ .
2
x
x − 3
Ta có 2 cos + 3 = 0 ⇔ cos =
.
2
2
2
Do cos
5π − 3
x − 3
x
5π
5π
nên cos =
=
⇔ cos = cos
⇔ x=±
+ k 4π ( k ∈ ¢ ) .
6
2
2
2
2
6
3
Câu 3.
Phương trình cos 3x = cos12° có nghĩa ∀x ∈ ¡ ⇔ D = ¡ .
Do cos12° = cos
π
π
nên cos 3x = cos12° ⇔ cos 3 x = cos
15
15
π
3 x = 15 + k 2π
x =
⇔
⇔
3 x = −π + k 2π
x =
15
π k 2π
+
45
3
( k ∈¢) .
−π k 2π
+
45
3
Câu 4.
2
Phương trình cos x =
1
có nghĩa ∀x ∈ ¡ ⇔ D = ¡ .
2
Trang 9
cos x =
1
2
Ta có cos x = ⇔
2
cos x =
2
π
π
⇔ cos x = cos ⇔ x = ± + k 2π ( k ∈ ¢ ) .
2
4
4
Xét cos x =
Xét cos x =
2
2
.
− 2
2
− 2
3π
3π
⇔ cos x = cos
⇔ x=±
+ k 2π ( k ∈ ¢ ) .
2
4
4
Kết hợp nghiệm ta được x =
π kπ
+
( k ∈¢) .
4 2
Câu 5.
Phương trình cos 2 x = cos x có nghĩa ∀x ∈ ¡ ⇔ D = ¡ .
2 x = x + k 2π ⇔ x = k 2π
k 2π
⇔x=
( k ∈¢) .
Ta có cos 2 x = cos x ⇔
k
2
π
2 x = − x + k 2π ⇔ x =
3
3
sin
3x
3x
2kπ
=0⇔
= kπ ⇔ x =
( k ∈¢) ;
2
2
3
sin x = 1 ⇔ x =
π
+ k 2π ( k ∈ ¢ ) ;
2
sin 4 x = 1 ⇔ 4 x =
π
π kπ
+ k 2π ⇔ x = +
( k ∈¢) ;
2
8 2
sin 2 x = 1 ⇔ 2 x =
π
π
+ k 2π ⇔ x = + kπ ( k ∈ ¢ ) .
2
4
Vậy phương trình sin
3x
= 0 có cùng tập nghiệm với phương trình cos 2 x = cos x .
2
Câu 6.
Phương trình
Ta có
π
2 cos x + ÷ = 1 có nghĩa ∀x ∈ ¡ ⇔ D = ¡ .
3
π
x = − + k 2π
π
π 1
π
π
12
2 cos x + ÷ = 1 ⇔ cos x + ÷ =
⇔ x + = ± + k 2π ⇔
.
3
3
3
4
2
x = − 7π + k 2π
12
Do 0 ≤ x ≤ 2π nên x =
23π
17π
; x=
.
12
12
Vậy phương trình có 2 nghiệm thỏa mãn 0 ≤ x ≤ 2π .
Câu 7.
5π
1
cos π x ÷ = có nghĩa ∀x ∈ ¡ ⇔ D = ¡ .
Phương trình sin
3
2
Trang 10
π
5π
cos π x = + k 2π
π
π 1
5π
1
5π
3
6
cos π x ÷ = ⇔ sin
cos π x ÷ = sin ⇔
Vì sin = nên sin
5
π
5
3
2
3
6
6 2
cos π x = π + k 2π
3
6
1
6
cos π x = 10 + k 5
⇔
cos π x = 1 + k 6
2
5
Ta có cos π x =
1
cos π x = 10
1
⇔ cos π x =
(vì −1 ≤ cos π x ≤ 1 ).
2
cos π x = −7
10
1
1
⇔ π x = ± arc cos + k 2π
10
10
cos π x =
1
π
π
= cos ⇔ π x = ± + k 2π
2
3
3
cos π x =
−7
−7
⇔ π x = ± arc cos
+ k 2π
10
10
( k ∈¢) ;
( k ∈¢)
1
⇒ x = ± + 2k ( k ∈ ¢ ) ;
3
( k ∈¢)
⇔x=±
1
−7
arc cos
+ 2k ( k ∈ ¢ ) .
π
10
Vậy phương trình có 6 họ nghiệm.
Dạng 3: Phương trình tan x = m
Ví dụ mẫu
π
Ví dụ 1. Giải phương trình 3 tan 5 x + ÷ = 3 .
4
( 1)
Hướng dẫn giải
π
π π
π kπ
+
Điều kiện cos 5 x + ÷ ≠ 0 ⇔ 5 x + ≠ + kπ ⇔ x ≠
, ( k ∈¢) .
4
4 2
20 5
( 1) ⇔ tan 5 x +
⇔ 5x +
π
3
π
π
⇔ tan 5 x + ÷ = tan
÷=
4 3
4
6
π π
π
π
π
= + kπ ⇔ 5 x = − + kπ ⇔ x = − + k , ( k ∈ ¢ ) .
4 6
12
60
5
Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x = −
π
π
+ k ,( k ∈¢) .
60
5
π
Ví dụ 2. Giải phương trình tan 2 x − ÷ = cot x .
4
( 2)
Hướng dẫn giải
π
3π kπ
π π
+
cos 2 x − ÷ ≠ 0
2 x − ≠ + kπ
x ≠
⇔
⇔
4
8
2
4 2
Điều kiện
sin x ≠ 0
x ≠ lπ
x ≠ lπ
( 2 ) ⇔ tan 2 x −
( k; l ∈ ¢ ) .
π
π π
π kπ
π
, ( k Â) .
ữ = tan x ữ 2 x − = − x + kπ ⇔ x = +
4
4 2
4 3
2
Trang 11
Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x =
π kπ
+
, (k ∈ ¢ ) .
4 3
Bài tập tự luyện dạng 3
Câu 1: Nghiệm của phương trình tan ( x + 15° ) = 1 với 90° < x < 270° là
A. x = 210° .
B. x = 135° .
C. x = 60° .
D. x = 120° .
3 tan x + 3 = 0 có nghiệm là
Câu 2: Phương trình
A. x =
π
+ kπ , k ∈ ¢ .
3
B. x = −
π
+ k 2π , k ∈ ¢ .
3
C. x =
π
+ kπ , k ∈ ¢ .
6
D. x = −
π
+ kπ , k ∈ ¢ .
3
B. x = ±
π
+ kπ , k ∈ ¢ .
3
Câu 3: Phương trình tan 2 x = 3 có nghiệm là
A. x = −
π
+ kπ , k ∈ ¢ .
3
D. x =
C. Vơ nghiệm.
Câu 4: Nghiệm của phương trình tan x = − tan
A.
4π
.
5
B.
π
+ kπ , k  .
3
trong khong ; ữ là
5
2
2π
.
3
C.
3π
.
5
D.
2π
.
5
π
3
Câu 5: Phương trình tan sin 4 x ÷ = có bao nhiêu họ nghiệm?
4
2
A. 2 họ nghiệm.
B. 6 họ nghiệm.
Câu 6: Phương trình lượng giác
A. x = k
C. Vô nghiệm.
D. 4 họ nghiệm.
π
2 tan − 2 x ÷− 2 = 0 có nghiệm là
4
π
, k ∈¢ .
2
B. x =
π
π
+ k , k ∈¢ .
2
2
D. x = −
C. x = kπ , k ∈ ¢ .
π
+ kπ , k ∈ ¢ .
3
ĐÁP ÁN
1-A
2-D
3-B
4-A
5-C
6-A
HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT
Câu 1.
Ta có tan 45° = 1 ⇔ tan ( x + 15° ) = tan 45° ⇔ x + 15° = 45° + k.180° ⇔ x = 30° + k.180° ( k ∈ ¢ ) .
Với 90° < x < 270° ⇔ 90° < 30° + k .180° < 270° ⇒ k = 1 ⇒ x = 210° .
Câu 2.
Phương trình
3.tan x + 3 = 0 có nghĩa ⇔ cos x ≠ 0 ⇔ x ≠
π
+ kπ ⇔ D = ¡
2
π
\ + kπ .
2
Trang 12
3 tan x + 3 = 0 ⇔ tan x = − 3 ⇔ tan x = tan
Ta có
−π
π
⇔ x = − + kπ ( k ∈ ¢ ) .
3
3
Câu 3.
Phương trình tan 2 x = 3 có nghĩa ⇔ cos x ≠ 0 ⇔ x ≠
π
π
+ kπ ⇔ D = ¡ \ + k π .
2
2
tan x = 3
2
Ta có tan x = 3 ⇔
.
tan x = − 3
Xét tan x = 3 ⇔ tan x = tan
π
π
⇔ x = + kπ ( k ∈ ¢ ) .
3
3
Xét tan x = − 3 ⇔ tan x = tan
Vậy x = ±
−π
−π
⇔x=
+ kπ ( k ∈ ¢ ) .
3
3
π
+ kπ ( k ∈ ¢ ) .
3
Câu 4.
Phương trình tan x = − tan
Ta có tan x = − tan
π
π
có nghĩa ⇔ cos x ≠ 0 ⇔ x ≠ + kπ ⇔ D = ¡
2
5
π
\ + kπ .
2
π
−π
−π
⇔ tan x = tan
⇔ x=
+ kπ ( k ∈ ¢ ) .
5
5
5
4π
π
Do x ∈ ; π ÷ nên x =
.
5
2
Câu 5.
Ta có
−π π
π
π
≤ sin 4 x ≤ ⇒ cos sin 4 x ÷ ≠ 0 , ∀x ∈ ¡ .
4 4
4
4
Phương trình xác định với ∀x ∈ ¡ ⇔ D = ¡ .
π
3
4
3
π
3
tan sin 4 x ÷ = ⇔ sin 4 x = arc tan + kπ ⇔ sin 4 x = arc tan + 4k .
4
2
π
2
4
2
Với k ≥ 0 thì
4
3
arc tan + 4k > 1 ⇒ sin 4 x > 1 (vơ lí).
π
2
Với k ≤ −1 thì
4
3
arc tan + 4k < −1 ⇒ sin 4 x < −1 (vơ lí).
π
2
Vậy đã cho phương trình vơ nghiệm.
Câu 6.
Phương trình
π
2 tan − 2 x ÷− 2 = 0 có nghĩa
4
π
π
−π kπ
π
⇔ cos − 2 x ÷ ≠ 0 ⇔ − 2 x ≠ + kπ ⇔ x ≠
+
⇔D=¡
4
2
8
2
4
Ta có
−π kπ
\
+
( k ∈¢) .
2
8
π
π
π
π
π
2 tan − 2 x ÷− 2 = 0 ⇔ tan − 2 x ÷ = 1 ⇔ − 2 x = − kπ ⇔ x = k ( k ∈ ¢ ) .
4
4
2
4
4
Trang 13
Dạng 4: Phương trình cot x = n
Ví dụ mẫu
π 1
Ví dụ 1. Giải phương trình cot 2 x − ÷ =
. ( 1)
6
3
Hướng dẫn giải
π
π
π kπ
Điều kiện sin 2 x − ÷ ≠ 0 ⇔ 2 x − ≠ kπ ⇔ x ≠ +
, ( k ∈¢) .
6
6
12 2
( 1) ⇔ cot 2 x −
⇔ 2x =
π
π
π π
÷ = cot ⇔ 2 x − = + kπ
6
3
6 3
π
π
π
+ kπ ⇔ x = + k , ( k ∈ ¢ ) .
2
4
2
Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x =
π
π
+ k ,( k ∈¢) .
4
2
4π
π
+ x ÷+ 2 cot − x ÷ = 3 . ( 2 )
Ví dụ 2. Giải phương trình tan
9
18
Hướng dẫn giải
Điều kiện
4π
π
π
4π
+ x ≠ + kπ
x ≠ + kπ
cos 9 + x ÷ ≠ 0
π
9
2
18
⇔
⇔
⇔ x ≠ + kπ , ( k ; m ∈ ¢ ) .
18
sin π − x ≠ 0
π − x ≠ kπ
x ≠ π − kπ
÷
18
18
18
4π
π
π
4π
π
+ x ÷+ − x ÷ = ⇒ tan
+ x ÷ = cot − x ÷ .
Ta có
9
18
2
9
18
π
π
π
− x ÷+ 2 cot − x ÷ = 3 ⇔ 3cot − x ÷ = 3
18
18
18
( 2 ) ⇔ cot
3
π
π
5π
π
⇔ cot − x ÷ =
⇔ − x = + kπ ⇔ x = −
− kπ , ( k ∈ ¢ ) .
18
3
18
18
3
Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x = −
5π
+ kπ , ( k ∈ ¢ ) .
18
Bài tập tự luyện dạng 4
Câu 1: Phương trình 3cot x − 3 = 0 có nghiệm là
A. x =
π
+ kπ , k ∈ ¢ .
6
B. x =
C. x =
π
+ k 2π , k ∈ ¢ .
3
D. Vơ nghiệm.
3π
Câu 2: Cho phương trình cot x +
4
trên vô nghiệm?
A. m ≠ ±2 .
π
+ kπ , k  .
3
2
ữ = m 4 , m là tham số. Với giá trị nào của m thì phương trình
B. −2 < m < 2 .
Trang 14
D. Không tồn tại giá trị của m .
C. ∀m ∈ ¡ .
Câu 3: Phương trình cot x.cot 2 x − 1 = 0 có nghiệm là
A. x =
π
+ kπ , k ∈ ¢ .
4
π
x = 6 + kπ
B.
, k ∈¢ .
x = 5π + kπ
6
C. x =
π
+ kπ , k ∈ ¢ .
6
D. x =
π
π
+ k ,k ∈¢ .
2
3
ĐÁP ÁN
1-B
2-D
3-B
HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT
Câu 1.
Phương trình 3cot x − 3 = 0 có nghĩa sin x ≠ 0 ⇔ x ≠ kπ ⇔ D = ¡ \ { kπ } ( k ∈ ¢ ) .
Ta có 3cot x − 3 = 0 ⇔ cot x =
3
π
π
⇔ cot x = cot ⇔ x = + kπ ( k ∈ ¢ ) .
3
3
3
Câu 2.
3π
Tập giá trị y = cot x +
÷ = ¡ nên với ∀m ∈ ¡ phương trình ln có nghiệm.
4
Vậy khơng tồn tại giá trị m để phương trình vơ nghiệm.
Câu 3.
sin x ≠ 0
x ≠ kπ
kπ
⇔
⇔x≠
Phương trình cot x.cot 2 x − 1 = 0 có nghĩa ⇔
.
2
sin 2 x ≠ 0
2 x ≠ kπ
kπ
Tập xác định D = ¡ \ x ≠
.
2
Ta có cot x.cot 2 x − 1 =
cos x cos 2 x
cos x 1 − 2sin 2 x
1 − 2sin 2 x
1
.
−1 =
.
−1 =
−1 =
−2.
2
sin x sin 2 x
sin x 2sin x cos x
2sin x
2sin 2 x
π
1
sin x = sin
sin x =
1
1
6
2 ⇔
cot x.cot 2 x − 1 = 0 ⇔
− 2 = 0 ⇔ sin 2 x = ⇔
.
2
2sin x
4
sin x = sin −π
sin x = −1
2
6
π
x = + k 2π
π
6
Nếu sin x = sin ⇔
.
6
x = 5π + k 2π
6
−π
x
=
+ k 2π
−π
6
⇔
Nếu sin x = sin
.
6
x = 7π + k 2π
6
Trang 15
π
x = 6 + kπ
( k ∈¢) .
Kết hợp nghiệm ta có
x = 5π + kπ
6
Trang 16
