Bài 2 NHỊ THỨC NIU tơn

BÀI 2. NHỊ THỨC NIU-TƠN
Mục tiêu
 Kiến thức
+ Biết công thức khai triển nhị thức Niu-tơn.
+ Biết tính chất các số hạng.
 Kĩ năng
+ Thành thạo khai triển nhị thức Niu-tơn, tìm số hạng, hệ số chứa xα trong khai triển.
+ Tính tổng dựa vào khai triển nhị thức Niu-tơn.

Trang 1


I. LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM
1. Cơng thức khai triển nhị thức Niu-tơn

Hệ quả:

Với mọi số thực a, b và mọi n ∈ ¥ ta có

n
0
1
n
Với a = b = 1 , ta có 2 = Cn + Cn + ... + Cn .

( a + b)

n

n

Với a = 1; b = −1 , ta có:

= ∑ Cnk a n − k b k
k =0

0 = Cn0 − Cn1 + ... + ( −1) Cnk + ... + ( −1) Cnn
k

= Cn0 a n + Cn1 a n −1b + ... + Cnk a n −k b k + ... + Cnn b n

Quy ước: a 0 = b 0 = 1 .

n

Các dạng khai triển nhị thức Niu-tơn thường
gặp

Tính chất
a) Số các số hạng của khai triển bằng n + 1 .

( x + 1)

n

= Cn0 x n + Cn1 x n −1 + ... + Cnn −1 x + Cnn .

b) Số các hạng tử có số mũ của a giảm dần từ n đến 0,

( 1+ x)

n

= Cn0 + Cn1 x + ... + Cnn −1 x n −1 + Cnn x n .

( x − 1)

n

= Cn0 − Cn1 x + ... + ( −1) Cnn x n .

số mũ của b tăng dần từ 0 đến n. Tổng các số mũ của a
và b trong mỗi số hạng bằng n.
c) Số hạng tổng quát thứ k + 1 có dạng:
Tk +1 = Cnk a n −k b k với k = 0,1, 2,..., n .

d) Các hệ số của các cặp số hạng cách đều số hạng đầu
và cuối thì bằng nhau: C = C
k
n

n

2 = ( 1 + 1) = ∑ Cnk = Cn0 + Cn1 + ... + Cnn −1 + Cnn .
n

n

k =0

n

0n = ( 1 − 1) = ∑ Cnk ( −1) = Cn0 − Cn1 + ... + ( −1) Cnn
n

k

n

k =0

n −k
n

k
e) Cn đạt giá trị lớn nhất khi k =

với n lẻ; k =

n

n −1
n +1
hay k =
2
2

n
với n chẵn.
2

0
n
k −1
k
k
f) Cn = Cn = 1 , Cn + Cn = Cn +1 .

Tam giác Pascal

Tam giác Pascal được thiết lập theo quy luật:
- Đỉnh được ghi số 1. Tiếp theo là hàng thứ nhất ghi
hai số 1.
- Nếu biết hàng thứ n ( n ≥ 1) thì hàng thứ n + 1 tiếp
theo được thiết lập bằng cách cộng hai số liên tiếp
của hàng thứ n rồi viết kết quả xuống hàng dưới ở vị
trị giữa hai số này. Sau đó viết số 1 ở đầu và cuối
hàng.
Trang 2


- Các số ở hàng thứ n trong tam giác Pascal là dãy
0
1
2
n −1
n
gồm ( n + 1) số Cn , Cn , Cn ,..., Cn , Cn .

II. CÁC DẠNG BÀI TẬP
Dạng 1: Xác định các hệ số, số hạng trong khai triển nhị thức Niu-tơn

Bài tốn 1: Tìm hệ số của số hạng chứa x m trong khai triển ( ax p + bx q )

n

Phương pháp giải
Ví dụ: Cho khai triển ( 2 x + 1) .

Xét khai triển:

( ax

p

+ bx q )

10

n

n

= ∑ Cnk ( ax p )

n−k

k =0

. ( bx q )

k

a) Tìm hệ số của x 5 trong khai triển trên.
Hướng dẫn giải

n

= ∑ Cnk a n −k .b k x np − pk + qk .
k =0
m

Số hạng chứa x ứng với giá trị k thỏa mãn

Ta có ( 2 x + 1)

10

10

10

= ∑ C10k . ( 2 x ) = ∑ 2k C10k .x k .
k

k =0

k =0

Số hạng chứa x 5 ứng với k = 5 .

m − np

np − pk + qk = m ⇒ k =
.
q− p

5
5
Hệ số cần tìm là C10 .2 = 8064 .

k n−k k
Vậy hệ số của số hạng chứa x m là Cn a .b

với giá trị k =

m − np
.
q− p

Nếu k không ngun hoặc k > n thì trong khai
triển khơng chứa x m , hệ số phải tìm bằng 0.
Lưu ý: Tìm số hạng khơng chứa x thì ta đi tìm b) Tìm hệ số của số hạng khơng chứa x trong khai
giá trị k thỏa np − pk + qk = 0 .

triển trên.
Hướng dẫn giải
Số hạng không chứa x ứng với k = 0 .
0
0
Hệ số cần tìm là C10 .2 = 1 .

Ví dụ mẫu

Ví dụ 1. Tìm số hạng không chứa x trong khai triển nhị thức Niu-tơn Chú ý:

(x )

m n

21

2

x− 2 ÷
x 


( x ≠ 0) .

x m .x n = x m + n ;

xm
= x m− n ;
xn

Hướng dẫn giải
Ta có số hạng tổng quát là
k

Tk +1 = C a
k
n

n −k

k 21− k
21

b =C x
k

= x m.n ;

k
 2
.  − 2 ÷ = ( −2 ) C21k x 21−3k .
 x 

m

n

xm = x n .

Số hạng không chứa x ứng với 21 − 3k = 0 ⇔ k = 7 .
Trang 3


Chú ý: Phân biệt giữa

7 7
Vậy hệ số cần tìm là −2 C21 .

Ví dụ 2. Tìm hệ số của số hạng chứa x 6 trong khai triển x3 ( 1 − x )

hệ số và số hạng.

8

n

Với P ( x ) = ∑ a x x

Hướng dẫn giải

g( k )

;

k =0

Số hạng tổng quát của khai triển là x 3 .C8k ( − x ) = C8k ( −1) x k +3 .

số hạng chứa xα tương

Số hạng chứa x 6 khi k + 3 = 6 ⇔ k = 3 .

ứng với g ( k ) = α ; giải

k

k

Vậy hệ số cần tìm là C ( −1) = −56 .
3

3
8

phương trình ta tìm
10

được k.

3 

Ví dụ 3. Tìm số hạng khơng chứa x trong khai triển  2 3 x −
÷ ,x > 0.
x


* Nếu k ∈ ¥ ; k ≤ n thì

Hướng dẫn giải

hệ số phải tìm là ak . số
10

10

1
− 
 13

3 
 3
2
Ta có  2 x −
÷ =  2.x − 3.x ÷ .
x




k
hạng phải tìm là ak .x .

* Nếu

Số hạng tổng quát trong khai triển là
10 − k



C10k  2 x ÷


1
3

hoặc

k > n thì trong khai

k



k
.  −3x ÷ = ( −1) .210 − k .3k .x


1
−
2

k ∉¥

10 − k
3

.x

k
−
2

= ( −1) C10k .210 −k .3k.x
k

20 − 5 k
6

triển không có số hạng

.

của xα , hệ số phải tìm

Số hạng không chứa x ứng với 20 − 5k = 0 ⇔ k = 4

bằng 0.

Vậy số hạng không chứa x trong khai triển là

( −1)

4

C104 .26.34 = 210.64.81 = 1088640 .

Bài tốn 2: Tìm hệ số của số hạng trong khai triển P ( x ) = ( ax t + bx p + cx q )

n

Phương pháp giải
Ta có khai triển: P ( x ) = ( ax + bx + cx
t

k

p

p

q
i
p
trong đó ( bx + cx ) = ∑ Ck ( bx )
k

i =0

n

k

k −i

n

) = ∑ C ( ax ) ( bx

q n

t n −k

k
n

k =0

k

( cx ) = ∑ C b

q i

i =0

i
k

n

p

+ cx q )

k

c x p( k −i ) + qi .

k −i i

k

t n − k + p k −i + qi
k n − k t ( n − k ) i k −i i p ( k −i ) + qi
Ck b c x
= ∑∑ Cnk C ki a n −k b k −i c i x ( ) ( ) .
Suy ra P ( x ) = ∑∑ Cn a x
k =0 i =0

k = 0 i =0

t n − k + p k −i + qi
Suy ra số hạng tổng quát của khai triển là Cnk Cki a n − k b k −i ci x ( ) ( ) .

Từ số hạng tổng quát của khai triển trên, ta tính được hệ số của x m .
Ví dụ mẫu
Ví dụ 1. Tìm hệ số của số hạng chứa x 2 trong khai triển P ( x ) = ( x 2 + x + 1) .
10

Hướng dẫn giải
Với 0 ≤ q ≤ p ≤ 10 thì số hạng tổng quát của khai triển P ( x ) = ( x 2 + x + 1)

10

là

Trang 4


Tp = C10p .C pq . ( x 2 )

10 − p

.x p −q .1q = C10p .C pq .x p − q + 20− 2 p .

Theo đề bài thì p − q + 20 − 2 p = 2 ⇔ p + q = 18 .
Do 0 ≤ q ≤ p ≤ 10 nên ( p; q ) ∈ { ( 9;9 ) ; ( 10;8 ) } .
Vậy hệ số của x 2 trong khai triển P ( x ) = ( x 2 + x + 1)

10

9
9
10
8
là C10 .C9 + C10 .C10 = 55 .

Ví dụ 2. Tìm hệ số của số hạng chứa x 3 trong khai triển

( 1 − 2 x + 2015 x

2016

− 2016 x 2017 + 2017 x 2018 ) .
60

Hướng dẫn giải
Ta có ( 1 − 2 x + 2015 x 2016 − 2016 x 2017 + 2017 x 2018 )

= ( 1 − 2 x ) + x 2016 ( 2015 − 2016 x + 2017 x 2 ) 
= C600 ( 1 − 2 x )

60

1
+ C60
( 1 − 2x)

59

60

60

 x 2016 ( 2015 − 2016 x + 2017 x 2 )  + ... + C6060  x 2016 ( 2015 − 2016 x + 2017 x 2 ) 





Ta thấy chỉ có số hạng C600 ( 1 − 2 x )

60

3
chứa x3 nên hệ số của số hạng chứa x3 là C600 .C60
( −2 ) = −8C603 .
3

Bài tốn 3: Tìm hệ số lớn nhất trong khai triển nhị thức Niu-tơn
Phương pháp giải
Ví dụ: Tìm hệ số lớn nhất trong khai triển đa thức
P ( x ) = ( x + 1) .
10

Hướng dẫn giải
Bước 1: Tính hệ số ak theo k và n. Giả sử sau
khi khai triển ta được đa thức:

P ( x ) = a0 + a1 x + a2 x 2 + ... + an x n .

Ta có ( x + 1)

10

10

= ∑ C10k .x k .
k =0

Ta có hệ số của số hạng tổng quát sau khi khai
triển nhị thức ( x + 1)

10

k
là ak = C10 .

k −1
Suy ra ak −1 = C10 , k = 1; 2;3;...;10.
Bước 2: Giả sử ak là hệ số lớn nhất trong các Giả sử ak là hệ số lớn nhất trong các hệ số

 ak ≥ ak +1
hệ số a0 , a1 ,..., an . Khi đó ta có 
 ak ≥ ak −1.
Giải hệ phương trình với ẩn số k.

 ak ≥ ak +1
a0 , a1 ,..., a10 . Khi đó ta có 
 ak ≥ ak −1
k

k +1

9
11
C10 ≥ C10
⇔  k −1
⇔ ≤k ≤ ⇒k =5.
k
2
2

C10 ≤ C10

Từ đây ta có hệ số lớn nhất trong khai triển nhị
5
thức là a5 = C10 = 252 .

Ví dụ mẫu
Trang 5

60


Ví dụ 1. Tìm hệ số lớn nhất trong khai triển đa thức
P ( x ) = ( 2 x + 1) = a0 x13 + a1 x12 + ... + a13
13

Hướng dẫn giải
Ta có hệ số của số hạng tổng quát sau khi khai triển nhị thức ( 2 x + 1)

13

là

ak = C13k .213− k với k = 1; 2;3;...;13

Giả sử ak là hệ số lớn nhất trong các hệ số a0 , a1 ,..., a13 .
11

k≥

C13k .213− k ≥ C13k +1.212− k
 ak ≥ ak +1

3
⇔  k −1 14−k
⇔
⇒ k = 4.
Khi đó ta có 
k
13− k
14
a
≥
a
C
.2
≤
C
.2


k −1
 k
k ≤
 13
13

3
Từ đây ta có hệ số có giá trị lớn nhất trong khai triển nhị thức là
a4 = C134 .29 = 366080 .

Ví dụ 2. Cho khai triển biểu thức

(

)

9

3 + 3 2 . Tìm số hạng nguyên có giá trị lớn nhất.

Hướng dẫn giải
Số hạng tổng quát trong khai triển là Tk = C9k

( 3) ( 2 )
9−k

3

k

.

Vì bậc của căn thức là 2 và 3 là hai số nguyên tố nên để Tk là một số ngun thì
k ∈ ¥
k = 3 ⇒ T = C 3
0 ≤ k ≤ 9
3
9


⇔

9
( 9 − k ) M2
 k = 9 ⇒ T9 = C9
k M3

( 3) ( 2 )
( 3) ( 2 )
6

0

3

3

3

= 4536

9

= 8.

Dễ thấy 4536 > 8 nên trong khai triển số hạng nguyên có giá trị lớn nhất là T3 = 4536 .
Bài tập tự luyện dạng 1
Câu 1: Hệ số của x 5 trong khai triển P ( x ) = ( x + 1) + ( x + 1) + ... + ( x + 1)
6

A. 1715.

B. 1711.

7

12

C. 1287.

là
D. 1716.

6

2 

3
Câu 2: Trong khai triển  x +

÷ , hệ số của x với x > 0 là
x

A. 60.

B. 80.

Câu 3: Hệ số của x 7 trong khai triển ( 3 − 2 x )
7
8 7
A. C15 .3 .2 .

7
7 8
B. −C15 .3 .2 .

15

C. 160.

D. 240.

7
8 7
C. −C15 .3 .2 .

7
7 8
D. C15 .3 .2 .

là

Câu 4: Hệ số của x 5 trong triển khai thành đa thức ( 2 x − 3) là
8

5 5 3
A. C8 .2 .3 .

3 5 3
B. −C8 .2 .3 .

3 3 5
C. −C8 .2 .3 .

5 2 6
D. C8 .2 .3 .

Câu 5: Trong khai triển biểu thức ( x − y ) , hệ số của số hạng chứa x12 y 8 là
20

Trang 6


A. 77520.

B. -125970.

C. 125970.

Câu 6: Hệ số của x 5 trong khai triển x ( 1 − 2 x ) + x 2 ( 1 + 3 x )

5

A. 61204.

B. 3160.

10

D. -77520.

là

C. 3320.

D. 61268.

Câu 7: Hệ số của số hạng chứa x 4 trong khai triển P ( x ) = ( 3 x 2 + x + 1)
A. 1695.

B. 1485.

Câu 8: Khai triển

(

5−47

A. 30.
1–A

)

124

là

C. 405.

D. 360.

. Có bao nhiêu số hạng hữu tỉ trong khai triển trên?

B. 31.
2–A

10

C. 32.

3–C

4–B

5–C

6–C

D. 33.
7 –A

8–C

HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT
Câu 1.
1
Xét khai triển ( x + 1) thấy ngay số hạng chứa x 5 có hệ số là C6 .
6

2
3
7
Tương tự các khai triển cịn lại ta lần lượt có hệ số của x 5 là C7 , C8 ,..., C12 .
1
2
7
Do đó hệ số cần tìm là C6 + C7 + ... + C12 = 1715 .

Câu 2.
k

Số hạng tổng quát của khai triển: Tk +1 = C x
k
6

6− k

3
6− k
 2 
k k

2
=
C
2
x
.
6

÷
 x

3
Số hạng chứa x3 ứng với 6 − k = 3 ⇔ k = 2 .
2
2 2
Vậy hệ số của x3 là C6 .2 = 60 .

Câu 3.
Công thức số hạng tổng quát của khai triển nhị thức Niu-tơn ( 3 − 2x )

15

là

Tk +1 = C15k .315−k . ( −2 x ) = ( −1) C15k 315−k 2k x k
k

k

Để số hạng chứa x 7 thì k = 7 .

7 8 7
Vậy hệ số của số hạng chứa x 7 là −C15 3 2 .

Câu 4.
8

k 8 − k 8− k
Ta có khai triển ( 2 x − 3) = ∑ C8 .2 .x . ( −3)
8

k

k =0

Số hạng chứa x 5 ứng với 8 − k = 5 ⇔ k = 3 .
Hệ số cần tìm là C83 .28−3. ( −3) = −C83 .25.33 .
3

Câu 5.
Ta có khai triển ( x − y )

20

20

= ∑ C20k x 20− k y k . ( −1) .
k

k =0

Trang 7


20 − k = 12
⇔ k = 8.
Ứng với số hạng chứa x12 y 8 thì 
k = 8
8
= 125970 .
Vậy hệ số của số hạng chứa x12 y 8 là ( −1) .C20
8

Câu 6.
Hệ số của x 5 trong khai triển x ( 1 − 2 x ) là ( −2 ) .C54 .
5

Hệ số của x 5 trong khai triển x 2 ( 1 + 3x )

4

10

3
3
là 3 .C10 .

Vậy hệ số của x 5 trong khai triển x ( 1 − 2 x ) + x 2 ( 1 + 3 x )
5

10

là ( −2 ) .C54 + 33.C103 = 3320 .
4

Câu 7.
Với 0 ≤ q ≤ p ≤ 10 thì số hạng tổng quát của khai triển P ( x ) = ( 3 x 2 + x + 1)
Tp = C10p .C pq . ( 3x 2 )

10 − p

10

là

.x p − q .1q = C10p .C pq .310− p.x p −q + 20− 2 p .

Theo đề bài ta có p − q + 20 − 2 p = 4 ⇔ p + q = 16 .
Do 0 ≤ q ≤ p ≤ 10 nên ( p; q ) ∈ { ( 8;8 ) ; ( 9;7 ) ; ( 10;6 ) } .
Vậy hệ số của x 4 trong khai triển P ( x ) = ( 3 x 2 + x + 1)

10

là

10
C108 .C88 .310−8 + C109 .C97 .310−9 + C10
.C106 .310−10 = 1695 .

Câu 8.
Ta có

(

5−47

)

124

124

124 − k
2

k
= ∑ C124
. ( −1) .5
k

k

.7 4

k =0

124 − k
 2 ∈ ¢
⇔ k ∈ { 0; 4;8;12;...;124} .
Số hạng hữu tỉ trong khai triển tương ứng với 
k ∈¢

 4
Vậy số các giá trị k là

124 − 0
+ 1 = 32 .
4

Dạng 2: Xác định điều kiện của số hạng thỏa mãn yêu cầu cho trước
Phương pháp giải
k n−k k
- Xác định số hạng tổng quát của khai triển Tk +1 = Cn a b (số hạng thứ k + 1 ).

- Kết hợp với yêu cầu bài toán, ta thiết lập một phương trình biến k.
- Giải phương trình để tìm kết quả.
Ví dụ mẫu
12

1

Ví dụ 1. Cho x là số thực dương. Khai triển Niu-tơn của biểu thức  x 2 + ÷ ta có hệ số của một số hạng
x


chứa x m bằng 495. Tìm tất cả các giá trị m.
Trang 8


Hướng dẫn giải
Số hạng thứ k + 1 trong khai triển là
C12k ( x 2 )

12 − k

k

1
.  ÷ = C12k .x 24−2 k .x − k = C12k .x 24−3k .
x

k
Hệ số của số hạng x m là 495 nên C12 = 495 ⇔

k = 4
12!
= 495 ⇔ 
k !( 12 − k ) !
 k = 8.

Khi đó m = 24 − 3k sẽ có 2 giá trị là m = 0 và m = 12 .
Ví dụ 2. Tìm số nguyên dương bé nhất n sao cho trong khai triển ( 1+ x ) có hai hệ số liên tiếp có tỉ số là
n

7
.
15

Hướng dẫn giải
Ta có ( 1 + x ) = Cn0 + Cn1 x + ... + Cnk x k + Cnk +1 x k +1 + ... + Cnn x n .
n

Cnk
( k + 1) !( n − k − 1) ! = 7 ⇔ k + 1 = 7 .
7
n!
= ⇔
.
k +1
Cn
15
k !( n − k ) !
n!
15
n − k 15

⇒ 15 ( k + 1) = 7 ( n − k ) ⇔ 7 n = 15 + 22 k ⇔ 7 n = 7 ( 3k + 2 ) + k + 1.
Vì k ; n ∈ ¥ nên ta có k + 1M7 ⇒ kmin = 6 ⇒ nmin = 21 .
Bài tập tự luyện dạng 2
Câu 1: Tìm tất cả các số a sao cho trong khai triển của ( 1 + ax ) ( 1 + x ) có chứa số hạng 22x 3 .
4

A. a = 5 .

B. a = −3 .

C. a = 3 .

D. a = 2 .

n

1

Câu 2: Biết rằng hệ số của x n − 2 trong khai triển  x − ÷ bằng 31. Tìm n.
4


A. n = 32 .

B. n = 30 .

C. n = 31 .

D. n = 33 .

Câu 3: Xét khai triển ( 1 + 3x ) = a0 + a1 x + a2 x 2 + ... + an x n với n ∈ ¥ * , n ≥ 3 . Giả sử a1 = 27 , khi đó a2
n

bằng
A. 1053.

B. 243.

C. 324.

D. 351.

n

1


2
2
Câu 4: Số hạng không chứa x trong khai triển  x 2 − ÷ biết An − Cn = 105 là
x


A. -3003.

B. -5005.

C. 5005.

D. 3003.

Câu 5: Cho n là số nguyên dương thỏa mãn A = C + C + 4n + 6 . Hệ số của số hạng chứa x 9 của khai
2
n

2
n

1
n

n

3

triển biểu thức P ( x ) =  x 2 + ÷ , x ≠ 0 bằng
x



A. 18564.

B. 64152.

C. 192456.

D. 194265.

Trang 9


n −1
3
Câu 6: Cho n là số nguyên dương thỏa mãn 5Cn = Cn . Số hạng chứa x 5 trong khai triển nhị thức Niun

 nx 2 1 
− ÷ với x ≠ 0 là
tơn P = 
 14 x 

A. −

35
.
16

B. −

16
.
35

C. −

35 5
x .
16

D. −

16 5
x .
35

n

1 

2
1
Câu 7: Số hạng không chứa x trong khai triển của  x x + 4 ÷ với x > 0 nếu biết rằng Cn − Cn = 44 là
x 


A. 165.
1–C

B. 238.

2–A

3–C

4–D

C. 485.
5–C

6–C

D. 525.
7–A

HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT
Câu 1.
Ta có ( 1 + ax ) ( 1 + x ) = ( 1 + x ) + ax. ( 1 + x ) .
4

4

4

Xét khai triển ( x + 1) = x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x + 1 .
4

Suy ra số hạng chứa x3 là 4x 3 .

(

)

4
3
2
5
4
3
2
Xét khai triển ax ( x + 1) = ax x + 4 x + 6 x + 4 x + 1 = ax + 4ax + 6ax + 4ax + ax .
4

Suy ra số hạng chứa x3 là 6ax3 .
3
Suy ra số hạng chứa x3 trong cả khai triển là ( 6a + 4 ) x .

Theo đề ra, ta có 6a + 4 = 22 ⇔ a = 3 .
Câu 2.
n

k

n
1

 1
Áp dụng cơng thức nhị thức Niu-tơn, ta có  x − ÷ = ∑ Cnk x n −k  − ÷ .
4  k =0

 4

Hệ số của x n − 2 nên ta có x n −2 = x n −k ⇔ k = 2 .
2

 1
Ta có Cn2  − ÷ = 31 ⇔ Cn2 = 492 ⇔ n = 32 .
 4

Vậy n = 32 .
Câu 3.
n

k
2
n
Ta có: ( 1 + 3x ) = ∑ Cn ( 3 x ) = a0 + a1 x + a2 x + ... + an x .
n

k

k =1

1 1
1
Theo giả thiết: a1 = 27 ⇔ Cn 3 = 27 ⇔ Cn = 9 ⇔ n = 9 .

2 2
Suy ra a2 = C9 3 = 324 .

Câu 4.

Trang 10


2
2
Ta có: An − Cn = 105 ⇔

⇔

n!
n!
−
= 105
( n − 2 ) ! 2!( n − 2 ) !

 n = 15
1
n ( n − 1) = 105 ⇔ n 2 − n − 210 = 0 ⇔ 
⇒ n = 15 .
2
 n = −14

Suy ra số hạng tổng quát trong khai triển là Tk +1 = C . ( x
k
15

)

2 15 − k

k

k
 1
.  − ÷ = C15k . ( −1) .x 30−3k .
 x

Số hạng không chứa x ứng với 30 − 3k = 0 ⇔ k = 10 .
Vậy hệ số của số hạng không chứa x trong khai triển là C1510 . ( −1) = 3003 .
10

Câu 5.
Với n ≥ 2 , ta có:
An2 = Cn2 + Cn1 + 4n + 6 ⇔ n ( n − 1) =

n ( n − 1)
+ n + 4n + 6
2

 n = −1
⇔ n 2 − 11n − 12 = 0 ⇔ 
⇒ n = 12 .
 n = 12
12

Với n = 12 ta có khai triển: P ( x ) = ∑ C . ( x
k =0

k

12

)

2 12 − k

k

12
3
.  ÷ = ∑ C12k .3k .x 24 −3k .
 x
k =0

Số hạng chứa x 9 ứng với 24 − 3k = 9 ⇔ k = 5 .
5 5
Vậy hệ số cần tìm là 3 C12 = 192456 .

Câu 6.
Điều kiện: n ∈ ¥ , n ≥ 3 .
n −1
3
Ta có 5Cn = Cn ⇔

5.n !
n!
5
1
=
⇔

=
1!. ( n − 1) ! 3!. ( n − 3) !
( n − 3) !( n − 2 ) ( n − 1) 6. ( n − 3) !

n = 7
⇔ n 2 − 3n − 28 = 0 ⇔ 
⇒ n=7.
 n = −4
7

 x2 1 
Với n = 7 , ta có P =  − ÷ .
 2 x

Số hạng thứ k + 1 trong khai triển là Tk +1 = (

−1)
.C7k .x14−3k .
7−k
2
k

Số hạng chứa x 5 ứng với 14 − 3k = 5 ⇔ k = 3 .
5

Vậy số hạng chứa x trong khai triển là

( −1)
2

4

3

C73 x5 = −

35 5 .
x
16

Câu 7.
2
1
Với n ≥ 2 ta có: Cn − Cn = 44 ⇔

n ( n − 1)
 n = 11
− n = 44 ⇔ 
⇒ n = 11 .
2
 n = −8
Trang 11


11

(

11
1 


Với n = 11 ta có khai triển:  x x + 4 ÷ = ∑ C11k . x x
x 

k =0

Số hạng không chứa x ứng với

)

11− k

k

33−11k
11
 1 
.  4 ÷ = ∑ C11k .x 2 ,
 x  k =0

33 − 11k
= 0 ⇔ k = 3.
2

3
Vậy số hạng không chứa x trong khai triển đã cho là C11 = 165 .

Dạng 3: Tính tổng dựa vào nhị thức Niu-tơn
Phương pháp giải
Các dạng khai triển nhị thức Niu-tơn thường gặp:

( x + 1)

n

= Cn0 x n + Cn1 x n −1 + Cn2 x n−2 + ... + Cnk x n − k + ... + Cnn−1 x + Cnn .

( 1+ x)

n

= Cn0 + Cn1 x + Cn2 x 2 + ... + Cnk x k + ... + Cnn −1 x n −1 + Cnn x n .

( x − 1)

n

= Cn0 x n − Cn1 x n −1 + Cn2 x n −2 − ... + ( −1) Cnk x n − k + ... + Cnn −1 x ( −1)
k

n −1

+ Cnn ( −1) .
n

n

2n = ( 1 + 1) = ∑ Cnk = Cn0 + Cn1 + ... + Cnn −1 + Cnn .
n

k =0

n

0n = ( 1 − 1) = ∑ Cnk ( −1) = Cn0 − Cn1 + Cn2 − ... + ( −1) Cnn
n

k

n

k =0

Một số kết quả thường sử dụng:
Cnk = Cnn − k ;

kCnk = nCnk−−11 ;

( k − 1) kCnk = ( n − 1) nCnk−−11 ;
Cn0 + Cn1 + ... + Cnn = 2n ;
n

∑C
k =0

2k
2n

n

= ∑ C22nk −1 =
k =0

Cnk + Cnk +1 = Cnk++11 , n > 1 ;
1
1
Cnk =
Cnk++11 ;
k +1
n +1
2 k
k Cn = ( n − 1) nCnk−−22 + nCnk−−11 ;
n

∑ ( −1)
n

1
C2kn ;
∑
2 k =0

k =0
n

∑C
k =0

k
n

k

Cnk = 0 ;

ak = ( 1 + a ) ;
n

Ví dụ mẫu
0
2
4
2020
Ví dụ 1. Tính tổng S = C2020 + C2020 + C2020 + ... + C2020 .

Hướng dẫn giải
Xét khai triển ( 1 + x ) = Cn0 + x.Cn1 + x 2 .Cn2 + ... + x n .Cnn (*)
n

2020
0
1
2
2020
= C2020
+ C2020
+ C2020
+ ... + C2020
Thay x = 1; n = 2020 vào (*), ta được: 2
(1).

0
1
2
2020
Thay x = −1; n = 2020 vào (*), ta được 0 = C2020 − C2020 + C2020 − ... + C2020 (2).

Cộng theo vế (1) và (2) ta được: 2 S = 22020 ⇒ S = 22019 .

Trang 12


Ví dụ 2. Cho khai triển nhị thức Niu-tơn của ( 2 − 3x ) , biết rằng n là số nguyên dương thỏa mãn
2n

C21n +1 + C23n +1 + C25n +1 + ... + C22nn++11 = 1024 . Tìm hệ số của x 7 trong khai triển trên.

Hướng dẫn giải
Ta có khai triển ( 1 + x )

2 n +1

= C20n +1 + C21n +1 x + C22n +1 x 2 + ... + C22nn++11 x 2 n+1 . (*)

2 n +1
= C20n +1 + C21n +1 + C22n +1 + ... + C22nn++11 . (1)
Thay x = 1 vào (*) ta được 2
0
1
2
2 n +1

Thay x = −1 vào (*) ta được 0 = C2 n +1 − C2 n +1 + C2 n +1 − ... − C2 n +1 . (2)

1
3
5
2 n +1
2n
Trừ vế theo vế (1) cho (2), ta được C2 n +1 + C2 n +1 + C2 n +1 + ... + C2 n +1 = 2 .

Từ giả thiết ta có: 1024 = 22 n ⇔ n = 5 .
Suy ra ( 2 − 3 x )

10

n

= ∑ C10k . ( −3 ) .210 −k .x k .
k

k =0

Hệ số của x 7 trong khai triển là C107 . ( −3) .23 = −8.37.C107 .
7

Bài tập tự luyện dạng 3
1
2
2017
Câu 1: Đặt S = C2017 + C2017 + ... + C2017 . Khi đó giá trị S là

A. 22018 .

C. 22017 − 1 .

B. 22017 .

D. 22016 .

0
1
2
2
10
10
Câu 2: Tính tổng S = C10 + 2.C10 + 2 .C10 + ... + 2 .C10 .

A. S = 210 .

B. S = 410 .

C. S = 310 .

D. S = 311 .

C. S = 213 .

D. S = 212 .

C. A = 6n .

D. A = 4n .

8
9
10
15
Câu 3: Cho S = C15 + C15 + C15 + ... + C15 . Tính S.

A. S = 215 .

B. S = 214 .

0
1
2 2
n n
Câu 4: Cho A = Cn + 5Cn + 5 Cn + ... + 5 Cn . Khi đó

A. A = 7 n .

B. A = 5n .

Câu 5: Cho khai triển ( 1 + x + x 2 )
A. 31009 .

1009

= a0 + a1 x + a2 x 2 + ... + a2018 x 2018 . Khi đó a0 + a1 + a2 + ... + a2018 bằng

B. 31008 .

C. 32018 .

D. 32016 .

1 1
1 2
1
0
2017
C2017
Câu 6: Giá trị của tổng S = C2017 + C2017 + C2017 + ... +
bằng
2
3
2018
A.

22017 − 1
.
2017

B.

22018 − 1
.
2018

C.

22018 − 1
.
2017

D.

22017 − 1
.
2018

Câu 7: Cho n là số nguyên dương thỏa mãn 3n Cn0 − 3n −1 Cn1 + 3n − 2 Cn2 − ... + ( −1) Cnn = 2048 . Hệ số của x10
n

trong khai triển ( x + 2 ) là
n

A. 11264.

B. 22.

Câu 8: Cho khai triển ( x − 2 )

80

C. 220.

D. 24.

= a0 + a1 x + a2 x 2 + ... + a80 x80 .

Tổng S = 1.a1 + 2.a2 + 3.a3 + ... + 80.a80 là
A. -70.

B. 80.

C. 70.

D. -80.
Trang 13


n

Câu 9: Hệ số của số hạng chứa x

 1

trong khai triển nhị thức Niu-tơn của  4 + x 7 ÷ , biết
x


26

C21n +1 + C22n +1 + ... + C2nn +1 = 220 − 1 là
A. 210.

B. 213.

C. 414.

D. 213.

0
1
2
3
2018
Câu 10: Đặt S = C2018 − C2018 + C2018 − C2018 + ... + C2018 . Khi đó:

A. S = 0 .
1–C

2–C

C. S = −1 .

B. S = 22018 − 1 .
3–B

4–C

5 –A

6–B

D. S = 22018 + 1 .
7–B

8–D

9 –A

10 – A

HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT
Câu 1.
Ta có khai triển ( 1 + x )

2017

0
1
2
k
2017 2017
= C2017
+ C2017
x + C2017
x 2 + ... + C2017
x k + ... + C2017
x .

2017
0
1
2
k
2017
= C2017
+ C2017

+ C2017
+ ... + C2017
+ ... + C2017
Thay x = 1 ta được 2
.

Suy ra 22017 = 1 + S ⇒ S = 2 2017 − 1 .
Ghi chú: Trong trắc nghiệm ta khai triển ( 1 + 1)

2017

thì được

0
1
2
k
2017
22017 = C2017
+ C2017
+ C2017
+ ... + C2017
+ ... + C2017
. Suy ra S = 22017 − 1 .

Câu 2.
Xét khai triển nhị thức ( x + 2 )

10

10

1 9
10
= ∑ C10k x10− k 2k = C100 x10 + 2C10
x + 22 C102 x8 + ... + 210 C10
.
k =0

Cho x = 1 , ta được 310 = ( 1 + 2 ) = C100 + 2C101 + 22 C102 x 8 + ... + 210 C1010 .
10

Câu 3.
k
n− k
Sử dụng đẳng thức Cn = Cn ta được:
15
S = C158 + C159 + C1510 + ... + C15
= C157 + C156 + C155 + ... + C150 .
15

⇒ 2 S = ( C158 + C159 + C1510 + ... + C1515 ) + ( C157 + C156 + C155 + ... + C150 ) = ∑ C15k = 215
k =0

⇒ S = 214 .
8
9
10
15
14

Vậy S = ( C15 + C15 + C15 + ... + C15 ) = 2 .

Câu 4.
Xét khai triển ( a + b ) = Cn0 .a 0 .b n + Cn1 .a1.b n −1 + ... + Cnn .a n .b 0 .
n

Với a = 5, b = 1 ta có: ( 5 + 1) = Cn0 .50.1n + Cn1 .51.1n −1 + ... + Cnn .5n.10 = Cn0 + 5Cn1 + ... + 5 n Cnn = A , hay
n

A = 6n .
Câu 5.
Trang 14


Xét khai triển ( 1 + x + x 2 )

1009

= a0 + a1 x + a2 x 2 + ... + a2018 x 2018 . (1)

Thay x = 1 vào (1) ta được: a0 + a1 + ... + a2018 = ( 1 + 1 + 1)

1009

= 31009 .

Câu 6.

1
k

C2017
, ta có:
k +1

Xét số hạng tổng quát

1
1
2017!
1
2018!
1
1
1
k
k +1
k
k +1
C2017
=
.
=
.
=
C2018
C2017
=
C2018
. Vậy
.

k +1
1 + k k !( 2017 − k ) ! 2018 ( k + 1) !( 2017 − k ) ! 2018
k +1
2018
0
C2018
1
1 2018
1
22018 − 1
0
1
2
2018


.
⇒S=
C2018 + C2018 + C2018 + ... + C2018  −
=
2 −
=
2018 
2018 2018
2018
2018

Câu 7.
Ta có ( 3 − 1) = 3n Cn0 − 3n −1 Cn1 + 3n −2 Cn2 − ... + ( −1) Cnn
n

n

⇔ 2n = 2048 ⇔ 2n = 211 ⇔ n = 11 .
11

k 11− k
k
Xét khai triển ( x + 2 ) = ∑ C11 x .2
11

k =0

Tìm hệ số của x10 tương ứng với tìm k ∈ ¥ ( k ≤ 11) thỏa mãn 11 − k = 10 ⇔ k = 1 .
Vậy hệ số của x10 trong khai triển ( x + 2 )

11

1
là C11.2 = 22 .

Câu 8.
Xét khai triển: ( x − 2 )

80

= a0 + a1 x + a2 x 2 + ... + a80 x80 . (1)

Lấy đạo hàm theo biến x hai vế của (1) ta được:
80 ( x − 2 )

79

= a1 + 2a2 x + 3a3 x 2 + ... + 80a80 x 79 . (2)

Thay x = 1 vào (2) ta được: S = 80 ( 1 − 2 )

79

= −80 .

Câu 9.
k
2 n +1− k
Do C2 n +1 = C2 n +1 ∀k = 0,1, 2,..., 2n + 1 nên

C20n +1 + C21n +1 + ... + C2nn +1 = C2nn++11 + C2nn++21 + ... + C22nn++11 .
1
2
2 n +1
2 n +1
Mặt khác: C2 n +1 + C2 n +1 + ... + C2 n +1 = 2 .
0
1
2
n
2 n +1
Suy ra 2 ( C2 n +1 + C2 n +1 + C2 n +1 + ... + C2 n +1 ) = 2

⇔ C21n +1 + C22n+1 + ... + C2nn +1 = 22n − C20n+1 = 22 n − 1

⇔ 22 n − 1 = 220 − 1 ⇔ n = 10
10

10
10
10
10 − k
 1

Khi đó:  4 + x 7 ÷ = ( x −4 + x 7 ) = ∑ C10k ( x −4 )
.x 7 k = ∑ C10k .x11k − 40 .
x

k =0
k =0

Hệ số chứa x 26 ứng với giá trị k: 11k − 40 = 26 ⇒ k = 6 .
Trang 15


6
Vậy hệ số chứa x 26 là C10 = 210 .

Câu 10.
Xét khai triển ( 1 + x ) = Cn0 + x.Cn1 + x 2 .Cn2 + ... + x n .Cnn (*).
n

0
1

2
2018
Thay x = −1; n = 2018 vào (*), ta được 0 = C2018 + C2018 + C2018 + ... + C2018 .

Vậy S = 0 .

Trang 16