Bài 1 PHƯƠNG PHÁP QUY nạp TOÁN học dãy số

CHƯƠNG 3: DÃY SỐ - CẤP SỐ CỘNG VÀ CẤP SỐ NHÂN
BÀI 1. PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC. DÃY SỐ
Mục tiêu
 Kiến thức
+ Biết được thứ tự các bước giải toán bằng phương pháp quy nạp.
+

Biết khái niệm dãy số, cách cho dãy số, tính chất đơn điệu và bị chặn của dãy số.

+ Nắm được phương pháp giải các dạng bài tập của dãy số như tìm số hạng tổng quát, xét tính
tăng, giảm và bị chặn.
 Kĩ năng
+

Chứng minh được các bài toán bằng phương pháp quy nạp tốn học.

+

Biết cách xác định dãy số.

+

Xét được tính tăng, giảm và bị chặn của dãy số.

+ Tính được tổng của một dãy số.
I. LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM
Phương pháp quy nạp toán học

Chú ý: Nếu phải chứng minh mệnh đề A(n)

Để chứng minh mệnh đề A(n) đúng với mọi giá trị nguyên đúng với mọi số nguyên dương n ≥ p thì:

dương n, ta thực hiện như sau:
•

Bước 1: Kiểm tra mệnh đề đúng với n = 1.

•

Bước 2: Giả thiết mệnh đề đúng với số nguyên dương

n = k tùy ý

( k ≥ 1) ,

+) Ở bước 1, ta phải kiểm tra mệnh đề đúng với
n = p.
+) Ở bước 2, ta giả thiết mệnh đề đúng với số
nguyên dương bất kì n = k ≥ p và phải chứng

chứng minh rằng mệnh đề đúng với minh mệnh đề đúng với n = k + 1

n = k + 1.
Dãy số
a) Mỗi hàm số u xác định trên tập số tự nhiên ¥ * được gọi là
một dãy số vơ hạn (gọi tắt là dãy số).
Kí hiệu:

u : ¥* → ¡
n a u ( n) .

Dạng khai triển: u1 ; u2 ; u3 ;...; un ;...

Trong đó ta gọi: u1 là số hạng đầu, un = u(n) là số hạng thứ n
hay số hạng tổng quát của dãy số.
b) Mỗi hàm số u xác định trên tập M = { 1; 2;3;...; m} với
m∈ ¥*
c) Các cách cho một dãy số:
Cách 1: Cho dãy số bởi công thức của số hạng tổng quát.

2
Ví dụ 1: Cho dãy (un) với un = 3n + n − 1

Ví dụ 2: Cho dãy số (un) xác định bởi

Cách 2: Cho dãy số bởi hệ thức truy hồi (hay quy nạp):
Trang 1


•

Cho số hạng thứ nhất u1 (hoặc một vài số hạng đầu).

•

Với n ≥ 2 , cho một cơng thức tính uk nếu biết uk-1 (hoặc

vài số hạng đứng ngay trước nó).
Cách 3: Diễn đạt bằng lời cách xác định mỗi số hạng của dãy
số.

u1 = 1
∀n ≥ 1


3
un +1 = un + 2n
Ví dụ 3: Cho đường trịn (O) bán kính R. Cho
dãy (un) với un là độ dài cung trịn có số đo là
2π
của đường trịn (O).
n

Dãy số tăng, dãy số giảm
a) Dãy số (un) được gọi là tăng nếu un +1 > un với mọi n ∈ ¥ *
⇔ un +1 − un > 0, ∀n ∈ ¥ * hay

un +1
> 1, ∀n ∈ ¥ * ( un > 0 )
un

b) Dãy số (un) được gọi là giảm nếu un +1 < un với mọi n ∈ ¥ *
⇔ un +1 − un < 0, ∀n ∈ ¥ * hay

un +1
< 1, ∀n ∈ ¥ * ( un > 0 )
un

Dãy số bị chặn
a) Dãy số (un) được gọi là bị chặn trên nếu tồn tại số M sao cho
un ≤ M , ∀n ∈ ¥ * .
b) Dãy số (un) được gọi bị chặn dưới nếu tồn tại số m sao cho
un ≥ m, ∀n ∈ ¥ *
c) Dãy số (un) được gọi bị chặn nếu nó vừa bị chặn trên vừa bị

chặn dưới, tức là tồn tại các số m, M sao cho
m ≤ un ≤ M , ∀n ∈ ¥ * .
II. CÁC DẠNG BÀI TẬP
Dạng 1:Quy nạp tốn học
Phương pháp giải

Ví dụ: Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n ≥ 2

Để chứng minh một mệnh đề P(n) phụ thuộc vào số , ta ln có 2n +1 > 2n + 3

(*)

tự nhiên n đúng với mọi n ≥ no ( no là só tự nhiên Hướng dẫn giải:
cho trước), ta thực hiện theo các bước sau
Bước 1: Kiểm tra P(n) đúng với n = no

Với n = 2 ta có 22+1 > 2.2 + 3 ⇔ 8 > 7 (đúng). Vậy
(*) đúng với n = 2.

Bước 2: Giả sử P(n) đúng khi n = k ( k ≥ no ) (xem Giả sử với n = k , k ≥ 2 thì (*) đúng, có nghĩa ta có
đây là giả thiết để chứng minh bước 3).
Bước 3:
n = k +1

2k +1 > 2k + 3 (1)

Ta cần chứng minh P(n) đúng khi Ta phải chứng minh (*) đúng với n = k + 1, có
nghĩa ta phải chứng minh 2k + 2 > 2(k + 1) + 3
Thật vậy, nhân hai vế của (1) với 2 ta được
Trang 2

2.2k +1 > 2(2k + 3) ⇔ 2k + 2 > 4k + 6 > 2(k + 1) + 3
Bước 4: Theo nguyên lý quy nạp toán học, ta kết
luận rằng P(n) đúng với mọi n ≥ no

k +2
Vậy 2 > 2 ( k + 1) + 3 (đúng).

Do đó theo nguyên lí quy nạp (*) đúng với mọi số
nguyên dương n ≥ 2.

Ví dụ mẫu
Ví dụ 1: Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n, ta có
1.4 + 2.7 + ... + n(3n + 1) = n ( n + 1)

2

(1)

Hướng dẫn giải
Với n = 1, ta có VT (1) = 1.4 = 4; VP (1) = 1. ( 1 + 1) = 4
2

Suy ra VT(1) = VP(1) với n = 1.
Vậy (1) đúng với n = 1.
Giả sử (1) đúng với n = k
Khi đó ta có 1.4 + 2.7 + ... + k ( 3k + 1) = k ( k + 1)

2

Ta phải chứng minh (1) đúng với n = k + 1 hay
1.4 + 2.7 + ... + k ( 3k + 1) + ( k + 1) ( 3k + 4 ) = ( k + 1) ( k + 2 )

2

1.4 + 2.7 + ... + k ( 3k + 1) + ( k + 1) ( 3k + 4 ) = k ( k + 1) + ( k + 1) ( 3k + 4 )
Thật vậy 1 4 4 44 2 4 4 4 43
2

= k ( k +1)

2

= ( k + 1) ( k + 2 ) (điều phải chứng minh).
2

Vậy (1) đúng khi n = k + 1
Do đó theo ngun lí quy nạp (1) đúng với mọi số nguyên dương n.
Ví dụ 2: Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n ≥ 2 , ta có
1.2 + 2.3 + 3.4 + ... + ( n − 1) n =
2

3

4

2

n ( n 2 − 1) ( 3n + 2 )

12

(1)

Hướng dẫn giải
2
Với n = 2, ta có VT (1) = 1.2 = 4; VP (1) =

2.3.8
=4
12

Suy ra VT(1) = VP(1) với n = 2.
Vậy (1) đúng với n = 2.
Giả sử (1) đúng với n = k. Khi đó ta có
1.2 + 2.3 + 3.4 + ... + ( k − 1) k =
2

3

4

2

k ( k 2 − 1) ( 3k + 2 )
12

Ta phải chứng minh (1) đúng với n = k + 1 . Có nghĩa ta phải chứng minh

Trang 3

1.22 + 2.33 + 3.44 + ... + ( k − 1) k 2 + k ( k + 1) =
2

( k + 1) ( ( k + 1)

⇔ 1.22 + 2.33 + 3.44 + ... + ( k − 1) k 2 + k ( k + 1) =
2

Thật vậy 1.22 + 2.33 + 3.44 + ... + ( k − 1) k 2 + k ( k + 1)
=

k ( k 2 − 1) ( 3k + 2 )
12

+ k ( k + 1) =
2

)

− 1 3 ( k + 1) + 2 
12
2
( k + 1) ( k + 2k ) ( 3k + 5 )
2

12
2

k ( k + 1) ( 3k 2 + 11k + 10 )
12

2
k ( k + 1) ( k + 2 ) ( 3k + 5 ) ( k + 1) ( k + 2k ) ( 3k + 5 )
(điều phải chứng minh)
=
=
12
12

Vậy (1) đúng khi n = k + 1 .
Do đó theo ngun lí quy nạp (1) đúng với mọi số nguyên dương n ≥ 2
Ví dụ 3: Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n, ta có
n ( n + 3)
1
1
1
+
+ ... +
=
1.2.3 2.3.4
n ( n + 1) ( n + 2 ) 4 ( n + 1) ( n + 2 )

(1)

Hướng dẫn giải
1
1.4
1

=
Với n = 1, ta có VT (1) = ;VP (1) =
6
4.2.3 6
Suy ra VT(1) = VP(1) khi n = 1.
Vậy (1) đúng với n = 1
Giả sử (1) đúng với n = k. Khi đó ta có
k ( k + 3)
1
1
1
+
+ ... +
=
1.2.3 2.3.4
k ( k + 1) ( k + 2 ) 4 ( k + 1) ( k + 2 )
Ta phải chứng minh (1) đúng với n = k + 1 . Có nghĩa ta phải chứng minh

( k + 1) ( k + 4 )
1
1
1
1
+
+ ... +
+
=
1.2.3 2.3.4
k ( k + 1) ( k + 2 ) ( k + 1) ( k + 2 ) ( k + 3) 4 ( k + 2 ) ( k + 3 )
1

1
1
1
+
+ ... +
+
1.2.3 2.3.4
k k +1 k + 2
k + 1) ( k + 2 ) ( k + 3)
Thật vậy 1 4 4 4 4 44 2 4 (4 4 4) ( 4 43) (
=

=

k ( k + 3)

4( k +1) ( k + 2 )

k ( k + 3)
1
1
+
=
4 ( k + 1) ( k + 2 ) ( k + 1) ( k + 2 ) ( k + 3) 4 ( k + 1) ( k + 2 )

4 

 k ( k + 3) + k + 3 

( k + 1) ( k + 4 )

k 3 + 6k 2 + 9k + 4
=
=
4 ( k + 1) ( k + 2 ) ( k + 3) 4 ( k + 1) ( k + 2 ) ( k + 3)
2

( k + 1) ( k + 4 )
4 ( k + 2 ) ( k + 3)

(điều phải chứng minh).

Vậy (1) đúng khi n = k + 1 .
Trang 4


Do đó theo ngun lí quy nạp (1) đúng với mọi số nguyên dương n.
Ví dụ 4: Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n ≥ 2, ta có
1
1
1
13
+
+ ... +
>
(1)
n +1 n + 2
n + n 24
Hướng dẫn giải
Đặt un =

1
1
1
1
+
+ ... +
+
n +1 n + 2
n + ( n − 1) n + n

Với n = 2 ta có u2 =

1
1
7 13
+
=
>
(đúng)
2 + 1 2 + 2 12 24

Giả sử với n = k thì (1) đúng, có nghĩa ta có

1
1
1
13
+
+ ... +
>

k +1 k + 2
k + k 24

Ta phải chứng minh (1) đúng với n = k + 1 , có nghĩa ta phải chứng minh
1
1
1
1
13
+
+ ... +
+
>
k +2 k +3
k + k ( k + 1) + ( k + 1) 24
Thật vậy, xét hiệu
1
1
1
1
1
1
1 
 1
+
+ ... +
+
+
−
+

+ ... +
÷
k +2 k +3
k + k 2k + 1 ( k + 1) + ( k + 1)  k + 1 k + 2
k +k 
=

1
1
1
1
1
1
1
1
+
−
=
+
−
=
−
>0
2k + 1 ( k + 1) + ( k + 1) k + 1 2k + 1 2 ( k + 1) k + 1 2k + 1 2k + 2

Suy ra
1
1
1
1

1
1
1
1
+
+ ... +
+
+
>
+
+ ... +
k +2 k +3
k + k 2k + 1 ( k + 1) + ( k + 1) k + 1 k + 2
k +k
Do đó uk +1 > uk >

13
. Vậy (1) đúng với n = k + 1 .
24

Suy ra (1) đúng với mọi số nguyên dương n ≥ 2
Ví dụ 5: Chứng minh rằng số đường chéo của một đa giác lồi n cạnh ( n ≥ 4 ) là

n ( n − 3)
.
2

Hướng dẫn giải

Đặt S ( n ) =

n ( n − 3)
2

Khi n = 4, ta có S(4) = 2. Suy ra mệnh đề đúng với n = 4.
Trang 5


Giả sử mệnh đề đúng khi n = k ≥ 4 , tức là S ( k ) =

k ( k − 3)
2

Ta cần chứng minh mệnh đề đúng khi n = k +1, tức là chứng minh
S ( k + 1) =

( k + 1) ( k − 2 )
2

Thật vậy, ta tách đa giác ( k + 1) cạnh thành đa giác k cạnh và tam giác A1 Ak Ak +1 bằng cách nối đoạn A1 Ak .
Khi đó trừ đi đỉnh Ak +1 và 2 đỉnh kề với nó là A1, Ak thì ta cịn lại ( k + 1) − 3 = k − 2 đỉnh, tương ứng với
(k – 2) đường chéo kẻ từ đỉnh Ak +1 cộng với đường chéo A1 Ak thì ta có số đường chéo của đa giác

( k + 1)

cạnh là S ( k + 1) =

k ( k − 3)
k ( k − 3)
k 2 − k − 2 ( k + 1) ( k + 2 )

+ ( k − 2) +1 =
+ k −1 =
=
2
2
2
2

⇒ mệnh đề đúng khi n = k + 1 .
*
Vậy theo nguyên lí quy nạp tốn học ta có mệnh đề đúng với mọi n ∈ ¥ , ( n ≥ 4 ) .

Ví dụ 6: Chứng minh rằng mọi n – giác lồi ( n ≥ 5 ) đều được chia thành hữu hạn ngũ giác lồi.
Hướng dẫn giải

Khi n = 5, ta có một ngũ giác lồi nên mệnh đề đúng với n = 5.
Giả sử mệnh đề đúng khi n = k ≥ 5 , tức là ta có k – giác lồi được chia thành hữu hạn ngũ giác lồi.
Ta cần chứng minh mệnh đề đúng khi n = k + 1 , tức là chứng minh mọi ( k + 1) − giác lồi đều được chia
thành hữu hạn các ngũ giác lồi.
Thật vậy, trên các cạnh A1 Ak +1 và A3 A4 ta lấy các điểm E, F khơng trùng với các đỉnh. Khi đó đoạn EF
chia ( k + 1) − giác lồi thành 2 đa giác lồi, đó là ngũ giác lồi A1 A2 A3 FE và k – giác lồi EFA4 A5 ... Ak +1 .
Theo giả thiết quy nạp thì k – giác lồi EFA4 A5 ... Ak +1 sẽ được chia thành hữu hạn ngũ giác lồi đồng thời ta
có thêm một ngũ giác lồi A1 A2 A3 FE nên ( k + 1) − giác lồi sẽ được chia thành hữu hạn các ngũ giác lồi ⇒
mệnh đề đúng khi n = k + 1 .
*
Vậy theo nguyên lí quy nạp tốn học ta có mệnh đề đúng với mọi n ∈ ¥ ( n ≥ 4 )
n
Ví dụ 7: Với mỗi số nguyên dương n, kí hiệu un = 9 − 1. Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n

thì un ln chia hết cho 8.

Trang 6


Hướng dẫn giải
1
Ta có u1 = 9 − 1 = 8 chia hết cho 8 (đúng)
k
Giả sử uk = 9 − 1 chia hết cho 8
k +1
Ta cần chứng minh uk +1 = 9 − 1 chia hết cho 8
k +1
k
k
Thật vậy, ta có uk +1 = 9 − 1 = 9.9 − 1 = 9 ( 9 − 1) + 8 = 9uk + 8

Vì 9uk và 8 chia hết cho 8 nên uk +1 chia hết cho 8.
Theo quy nạp với mọi số nguyên dương n, un chia hết cho 8.
*
Ví dụ 8: Chứng minh rằng với mọi n ∈ ¥ , n ( n + 1) ( n + 2 ) ( n + 3) ( n + 4 ) chia hết cho 120.

Hướng dẫn giải
Trước hết chứng minh bổ đề “Tích của hai số chẵn liên tiếp sẽ chia hết cho 8”.
Thật vậy, với n là số nguyên thì 2n và ( 2n + 2 ) là hai số chẵn liên tiếp.
Khi đó 2n ( 2n + 2 ) = 4n ( n + 1)
Mà n ( n + 1) là tích hai số nguyên liên tiếp nên n ( n + 1) M2
8
Suy ra 4n ( n + 1) M
Đặt P ( n ) = n ( n + 1) ( n + 2 ) ( n + 3) ( n + 4 )
120 . Suy ra mệnh đề đúng với n = 1.
Khi n = 1 , ta có P ( 1) = 120M

Giả sử mệnh đề đúng với n = k ≥ 1 , tức là
P ( k ) = k ( k + 1) ( k + 2 ) ( k + 3) ( k + 4 ) M
120
Ta cần chứng minh mệnh đề đúng với n = k + 1 , tức là chứng minh
P ( k + 1) = ( k + 1) ( k + 2 ) ( k + 3) ( k + 4 ) ( k + 5 ) M
120
Thật vậy, ta có
P ( k + 1) = ( k + 1) ( k + 2 ) ( k + 3) ( k + 4 ) ( k + 5 )

= k ( k + 1) ( k + 2 ) ( k + 3) ( k + 4 ) + 5 ( k + 1) ( k + 2 ) ( k + 3) ( k + 4 )
= P ( k ) + 5 ( k + 1) ( k + 2 ) ( k + 3) ( k + 4 )

Mà k + 1, k + 2, k + 3, K = 4 là số tự nhiên liên tiếp nên chắc chắn có 2 sỗ chẵn liên tiếp và một số chia hết
cho 3 trong bốn số đó.
Suy ra 5 ( k + 1) ( k + 2 ) ( k + 3) ( k + 4 ) M5.3.8 = 120
120 nên P ( k + 1) M
120 ⇒ mệnh đề đúng khi n = k + 1 .
Mặt khác P ( k ) M
Vậy theo nguyên lí quy nạp mệnh đề đúng với mọi n ∈ ¥ *
Bài tập tự luyện dạng 1

Trang 7


Câu 1: Dùng quy nạp chứng minh mệnh đề chứa biến A(n) đúng với mọi số tự nhiên n ≥ p (p là một số
tự nhiên). Ở bước 2 ta giả thiết mệnh đề A(n) đúng với n = k. Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. k > p.

B. k ≥ p.

C. k = p.

D. k < p.

3n −2
+ 33n −1
Câu 2: Với mỗi số nguyên dương, kí hiệu un = 5.2

Một học sinh chứng minh un luôn chia hết cho 19 như sau:
1
2
19
Bước 1: Khi n = 1, ta có u1 = 5.2 + 3 = 19 ⇒ u1 M
3k −2
+ 33k +1 chia hết cho 19 với k ≥ 1.
Bước 2: Giả sử uk = 5.2
3 k +1
3k +2
= 8 ( 5.23k − 2 + 33k −1 ) + 19.33k −1
Khi đó ta có uk +1 = 5.2 + 3

Bước 3: Vì 5.23k − 2 + 33k −1 và 19.33k −1 chia hết cho 19 nên uk +1 chia hết cho 19, ∀n ∈ ¥ *
Vậy un chia hết cho 19, ∀n ∈ ¥ *
Lập luận trên đúng hay sai? Nếu sai thì bắt đầu từ bước nào?
A. Sai từ bước 1.

B. Sai từ bước 3.

C. Sai từ bước 2.

D. Lập luận hoàn toàn đúng.

Câu 3: Giả sử A là tập con của tập hợp các số nguyên dương sao cho

( I)

( II ) n ∈ A ⇒ n + 1∈ A, ∀n ≥ k

k ∈ A;

Lúc đó ta có
A. Mọi số nguyên bé hơn k đều thuộc A.
B. Mọi số nguyên dương đều thuộc A.
C. Mọi số nguyên dương lớn hơn hoặc bằng k đều thuộc A.
D. Mọi số nguyên đều thuộc A.
Câu 4: Khi sử dụng phương pháp quy nạp để chứng minh mệnh đề chứa biến A(n) đúng với mọi giá trị
nguyên n ≥ p, với p là số nguyên dương ta sẽ tiến hành 2 bước
Bước 1 (bước cơ sở). Chứng minh rằng A(n) đúng khi n = 1
Bước 2 (bước quy nạp). Với số nguyên dương tùy ý k, ta giả sử A(n) đúng khi n = k (theo giả thiết quy
nạp). Ta sẽ chứng minh rằng A(n) đúng khi n = k + 1
Hãy chọn câu trả lời đúng tương ứng với lí luận trên.
A. Chỉ có bước 2 đúng.

B. Cả hai bước đều đúng.

C. Cả hai bước đều sai.

D. Chỉ có bước 1 đúng.

Câu 5: Với mọi n ∈ ¥ * , khẳng định nào sau đây sai?

A. 1 + 2 + ... + n =

n ( n + 1)
.
2

C. 12 + 22 + ... + n 2 =
Câu 6: Cho S n =
A. S n =

n −1
.
n

2
B. 1 + 3 + 5 + ... + ( 2n − 1) = n .

n ( n + 1) ( n + 2 )
.
6

D. 22 + 42 + 62 + ... + ( 2n ) =
2

2n ( n + 1) ( 2n + 1)
.
6

1
1

1
1
+
+
+ ... +
với n ∈ ¥ * . Mệnh đề nào sau đây đúng?
1.2 2.3 3.4
n ( n + 1)
B. S n =

n
.
n +1

C. S n =

n +1
.
n+2

D. S n =

n+2
.
n+3
Trang 8


u1 = 1
Câu 7: Cho dãy số ( un ) với 

2 n . Số hạng tổng quát un của dãy số là số hạng nào dưới
un +1 = un + ( −1)
đây?
A. un = 1 + n.

C. un = 1 + ( −1) .
2n

B. un = 1 − n.

D. un = n.

u1 = 3

.
Câu 8: Cho dãy xác định bởi công thức 
1
* Số hạng tổng quát của dãy un là
u
=
u
,
∀
n
∈
¥
n
+
1
n


2
A. un =

3
.
2n −1

B. un =

Câu 9: Cho hai dãy số ( un ) , ( vn )

3
.
2n

C. un =

3
.
2 +1

D. un =

n

3
.
2 −1
n

2
2
un +1 = un + 2vn
được xác định như sau u1 = 3, v1 = 2 và 
với n ≥ 2.
vn =1 = 2un .vn

Công thức tổng quát của hai dãy ( un ) và ( vn ) là

(

) (

)

u = 2 + 1 2 n + 2 − 1 2 n
 n
A. 
2n
1 
vn =
2 +1 − 2 −1
2 2 


(

(

1

un = 2 
C. 
vn = 1
3 2


) (

) +(

2 +1



(

2n

Câu 10: Cho dãy số ( un )

)

2 −1

) −(

2 +1

2n

)

2n

2n







)

2 −1

2n




(

) (

)

.

2n
2n
1


u
=
2
+
1
+
2
−
1
 n 2 

.
B. 
2n
2n
vn = 1  2 + 1 − 2 − 1 


2 2 

.

1


un = 4 
D. 
v = 1 
n
2 


(

(

(

) (

)

) +(

2 −1

) −(

)

2 +1
2 +1

2n

2n

)

2 −1

2n




2n




.

u1 = cos α ( 0 < α < π )

xác định bởi 
. Số hạng thứ 2020 của dãy số đã cho là
1 + un
, ∀n ≥ 1
un +1 =
2


 α 
A. u2020 = cos  2020 ÷.

2 

 α 
B. u2020 = cos  2019 ÷.
2 

 α 
C. u2020 = sin  2021 ÷.
2 

 α 
D. u2020 = sin  2020 ÷.
2 

Dạng 2: Tìm số hạng và xác định công thức số hạng tổng quát của dãy số
Phương pháp giải
Tìm số hạng của dãy số
Dãy số ( un ) : un = f ( n ) với f ( n ) là một biểu thức của n.

Ví dụ 1: Cho dãy số ( an )
n

Bài tốn yêu cầu tìm số hạng uk ta thay trực tiếp n = k vào

Đặt un = ∑ ak với ak =

un = f ( n )

a) Tính u1 ; u2 ; u3 ; u4 .

Dãy số ( un )

u1 = a
cho bởi 
với f ( un ) là một biểu
un +1 = f ( un )

k =1

1
k ( k + 1)

b) Tính u2020 .
Hướng dẫn giải

thức của un. Bài tốn u cầu tìm số hạng uk ta tính lần lượt
Trang 9


u2 ; u3 ;...; uk bằng cách thế u1 vào u2, thế u2 vào u3,… thế

a) Ta có u1 = a1 =

uk −1 vào uk +1 .
u2 = a1 + a2 =

u1 = a; u2 = b
Dãy số ( un ) cho bởi 
un + 2 = c.un +1 + d .un + e

1
1
2
+
= ;
2 2. ( 2 + 1) 3

u3 = a1 + a2 + a3 = u2 + a3 =

Bài tốn u cầu tìm số hạng uk. Ta tính lần lượt
u3 ; u4 ;...; uk bằng cách thế u1;u2 vào thế u3; thế u2, u3 vào
u4;…; thế uk − 2 , uk −1 vào uk.

hiệu của biểu thức un +1 tính theo un và n. Bài tốn u cầu
tìm số hạng uk ta tính lần lượt u2 ; u3 ;...; uk bằng cách thế
vào u2; thế ( 2;u2 ) vào u3; ...; thế ( k − 1; uk −1 ) vào uk.

3 1
4
+
= .
4 4.5 5

1
1
1
= −
.
k ( k + 1) k k + 1

n
 1 1 1
do đó un = ∑ ak = 1 − ÷+  − ÷+ ...
 2  2 3
k =1

1 1
1 
1
 1
+
− ÷+  −
÷= 1−
n +1
 n −1 n   n n +1 
Suy ra có thể quy nạp
u2020 = 1 −

Xác định công thức số hạng tổng quát của dãy số

2
1
3
+
= ;
3 3. ( 3 + 1) 4

u4 = a1 + a2 + a3 + a4 = u3 + a4 =
b) Ta có ak =

u1 = a
Dãy số ( un ) cho bởi 
với f ( n; un ) là kí
un +1 = f ( n; un )

( 1;u1 )

1 1
= ;
1.2 2

1
2020
=
2021 2021

n

Nếu ( un ) có dạng un = a1 + a2 + ... + an (kí hiệu un = ∑ ak

Ví dụ 2:Xác định cơng thức un =

) thì ta biến đổi ak thành hiệu của hai số hạng, dựa vào đó

số hạng tổng quát un của dãy số

thu gọn un.
Nếu dãy số ( un ) được cho bởi một hệ thức truy hồi, ta tính

u1 = 3


un +1 = un + 2

một số số hạng đầu của dãy số (chẳng hạn tính

Hướng dẫn giải

u1 ; u2 ; u3 ;...), từ đó dự đón cơng thức un theo n, rồi chứng

Ta có u2 = u1 + 2 = 3 + 2 = 5;

minh công thức này bằng phương pháp quy nạp.

u3 = u2 + 2 = 5 + 2 = 7;

Có thể tính hiệu un +1 − un dựa vào đó để tìm cơng thức un

u4 = u3 + 2 = 7 + 2 = 9;

k =1

theo n.

n
;n ≥1
n +1

u5 = u4 + 2 = 9 + 2 = 11.
Từ các số hạng trên, ta dự đốn số hạng tổng
qt có dạng un = 2n + 1, n ≥ 1 (*)

Ta dùng phương pháp chứng minh quy nạp
để chứng minh công thức (*) đúng.
Với n = 1; u1 = 2.1 + 1 = 3 (đúng).
Vậy (*) đúng với n = 1.
Giả sử (*) đúng với n = k.
Khi đó ta có uk = 2k + 1 (1)
Ta cần chứng minh (*) đúng với n = k + 1 .
Trang 10


Có nghĩa là ta phải chứng minh
uk +1 = 2 ( k + 1) + 1 = 2k + 3
Thật vậy từ hệ thức xác định dãy số và theo
(1) ta có uk +1 = uk + 2 = 2k + 1 + 2 = 2k + 3
Do đó (*) đúng khi n = k + 1 .
Vậy số hạng tổng quát của dãy số là
un = 2n + 1, ∀n ≥ 1.
Ví dụ mẫu
u1 = 1
Ví dụ 1: Cho dãy số ( un ) được xác định như sau 
. Tìm số hạng u50 .
un +1 = un + 2
Hướng dẫn giải
Từ giả thiết ta có
u1 = 1;
u2 = u1 + 2;
u3 = u2 + 2;
...
u50 = u49 + 2.
Cộng theo vế các đẳng thức trên, ta được u50 = 1 + 2.49 = 99

u1 = 1; u2 = 2
Ví dụ 2: Cho dãy số ( un ) được xác định như sau 
. Tìm số hạng u7.
un + 2 = 2un +1 + 3un + 5
Hướng dẫn giải
Ta có
u3 = 2u2 + u1 + 5 = 12;

u4 = 2u3 + 3u2 + 5 = 35;

u5 = 2u4 + 3u3 + 5 = 111;

u6 = 2u5 + 3u4 + 5 = 332;

Vậy u7 = 2u6 + 3u5 + 5 = 1002.
Ví dụ 3: Cho dãy số ( un )

u1 = 1

un + 2 . Tìm số hạng u8.
xác định bởi 
un +1 = u + 1
n


Hướng dẫn giải
u + 2 1+ 2 3
=
= ;
Ta có u2 = 1

u1 + 1 1+ 1 2
7
u3 + 2 5 + 2 17
u4 =
=
= ;
u3 + 1 7 + 1 12
5

3
u2 + 2 2 + 2 7
u3 =
=
= ;
u2 + 1 3 + 1 5
2
17
u4 + 2 12 + 2 41
u5 =
=
= ;
u4 + 1 17 + 1 29
12
Trang 11


41
+2
u5 + 2 29
99

u6 =
=
= ;
u5 + 1 41 + 1 70
29

99
u6 + 2 70 + 2 239
u7 =
=
=
;
u6 + 1 99 + 1 169
70

239
+2
u7 + 2 169
577
=
=
;
Vậy u8 =
u7 + 1 239 + 1 408
169

Ta có thể sử dụng máy tính bỏ túi
để tính số hạng u8 như sau
Quy trình bấm phím:
Nhập : 1 =

Nhập:

ANS + 2
ANS + 1

Lặp dấu = (ấn dấu “=” 7 lần)
ta được giá trị số hạng u8 =

Ví dụ 4: Cho dãy số ( un )

577
.
408

u1 = −1

với 
un
un+1 = 2

a) Tìm cơng thức của số hạng tổng quát.
b) Tính số hạng thứ 10 của dãy số.
Hướng dẫn giải
u1 = −1

u2 = u1

2
a) Ta có 
...


u
un = n−1

2
Nhân vế với vế của các đẳng thức trên, ta được
n−1

u .u .u ...u
1
 1
u1.u2.u3...un = ( −1) . 1 2 3 n−1 ⇔ un = ( −1) . n−1 = ( −1) . ÷
2.2.2...2
2
 2
14 2 43
n−1sè 2

n−

 1
Vậy un = ( −1) . ÷ .
 2
9

1
 1
b) Số hạng thức 10 của dãy là u10 = ( −1) . ÷ = −
.
512

 2
u1 = 1
n≥ 1
Ví dụ 5: Dãy số ( un ) được xác định bằng cơng thức 
3'
un+1 = un + n
a) Tìm cơng thức của số hạng tổng qt.
b) Tính số hạng thứ 30 của dãy số.
Hướng dẫn giải
3
3
a) Ta có un+1 = un + n ⇒ un+1 − un = n . Từ đó suy ra

Trang 12


u1 = 1;
u2 − u1 = 13;
u3 − u2 = 23;
...
un−1 − un−2 = ( n − 2) ;
3

un − un−1 = ( n − 1) .
3

Cộng từng vế các đẳng thức trên ta được
u1 + u2 − u1 + u1 − u2 + ... + un−1 − un−2 + un − un−1
= 1+ 13 + 23 + 33 + ... + ( n − 2) + ( n− 1)
3

3

⇔ un = 1+ 13 + 23 + 33 + ... + ( n − 2) + ( n− 1)
3

3

Bằng phương pháp quy nạp ta chứng minh được
1 + 2 + 3 + ... + ( n − 1)
3

3

3

Vậy un = 1+

n2 ( n − 1)

3

( n− 1)
=

2

.n2

4

2

4

b) Số hạng thứ 30 của dãy số là u30 = 1+

302.292
= 189226
4

Ví dụ 6: Cho dãy số ( un ) , biết u1 = 3;un+1 = 1+ un2 với n≥ 1
a) Viết năm số hạng đầu tiên của dãy số.
b) Dự đốn cơng thức số hạng tổng quát un và chứng minh bằng phương pháp quy nạp.
Hướng dẫn giải
a) Ta có
u2 = 1 + u12 = 10;

u3 = 1 + u22 = 11;

u4 = 1 + u32 = 12;

u5 = 1 + u42 = 13;

b) Ta có u1 = 1 + 8, u2 = 2 + 8, u3 = 3 + 8, u4 = 4 + 8, u5 = 5 + 8
Ta dự đoán un = n + 8 (1)
Với n = 1 , ta có u1 = 1 + 8 = 3 (đúng). Vậy (1) đúng với n = 1
Giả sử (1) đúng với n = k, có nghĩa ta có uk = k + 8

(2)

Ta cần chứng minh (1) đúng với n = k + 1
Thật vậy từ hệ thức xác định dãy số và theo (2) ta có
uk +1 = 1 + uk2 = 1 +

(

k +8

)

2

= k +9

Do đó (1) đúng với n = k + 1
Trang 13


Vậy công thức số hạng tổng quát của dãy số là un = n + 8, n ≥ 1.
Bài tập tự luyện dạng 2
Câu 1: Cho dãy số ( un ) có u1 = 7; un +1 = 2un + 3. Khi đó u3 bằng
A. 17.

B. 77.

C. 37.

D. 9.

2
Câu 2: Số 7922 là số hạng thứ bao nhiêu của dãy số un = n + 1?

A. 79.

B. 89.

C. 69.

D. 99.

Câu 3: Cho dãy số ( un ) có un = − n + n + 1 . Số -19 là số hạng thứ mấy của dãy?
2

A. 5.

B. 7.

Câu 4: Cho dãy số un =
A. u11 =

C. 6.

D. 4.

n + 2n − 1
. Giá trị u11 là
n +1

182

.
12

2

1142
.
12

B. u11 =

C. u11 =

1422
.
12

71
.
6

D. u11 =

u1 = 2
Câu 5: Cho dãy số ( un ) xác định bởi 
* . Giá trị u10 là
un +1 = un + 5, n ∈ ¥
A. 57.

B. 62.

C. 47.

D. 52.

Câu 6: Cho dãy số có các số hạng đầu là 8, 15, 22, 29, 36,… Số hạng tổng quát của dãy số này là
A. un = 7 n + 7.

B. un = 7.n.

C. un = 7.n + 1.

D. un = n + 7.

1 2 3 4
Câu 7: Cho dãy số có các số hạng đầu là 0; ; ; ; ;... Số hạng tổng quát của dãy số này là
2 3 4 5
A. un =

n +1
.
n

B. un =

n
.
n +1

C. un =

n −1
.
n

D. un =

n2 − n
.
n +1

Câu 8: Cho dãy số ( un ) với un = 2n + 1 . Số hạng thứ 2019 của dãy là
A. 4039.

B. 4390.

C. 4930.

Câu 9: Cho dãy số ( un ) có số hạng tổng quát un =
A. 300.

B. 212.

Câu 10: Cho dãy số ( un ) với un =
A. un+1 =

a.( n + 1)
n+ 2

2

.

B. un+1 =

D. 4093.

2n + 1
167
. Số
là số hạng thứ mấy của dãy?
n+2
84
C. 250.

D. 249.

2

an
(a là hằng số). Hỏi un+1 là số hạng nào sau đây?
n+ 1
a.( n + 1)
n+ 1

2

.

a.n2 + 1

C. un+1 =
.
n+ 1

a.n2
D. un+1 =
.
n+ 2

u1 = 5
Câu 11: Cho dãy số ( un ) với 
. Số hạng tổng quát un của dãy số là số hạng nào dưới đây?
un+1 = un + n
A. un =

( n − 1) n.
2

Câu 12: Cho dãy số ( un )

B. un = 5+

( n − 1) n.
2

C. un = 5+

( n + 1) n.
2

D. un = 5+

( n + 1) ( n+ 2) .
2

u1 = 0

. Số hạng u11 là
được xác định như sau 
n
u
=
u
+
1
(
)
n
+
1
n

n+ 1
Trang 14


A. u11 =

11
.

2

9
C. u11 = .
2

B. u11 = 4.

D. u11 = 5.

u1 = 1
.
Câu 13: Cho dãy số ( un ) với 
* Số hạng tổng quát un là
un+1 = un + 2n + 1, n∈ ¥
2
A. un = n .

2
B. un = 2n .

2
C. un = n + 1.

2
D. un = 3n − 1.

u1 = 1
Câu 14: Dãy số ( un ) được cho bởi 
. Hãy tìm khẳng định sai trong các khẳng định sau.

un+1 = un + 2
A. ∀n,un là số lẻ.

2
B. u1 + u2 + ... + un = n .

C. ∀n,un = 2n − 1.

D. un + un+1 = 4n.

Câu 15: Cho dãy số ( un )
n−1
A. un = −2 .

B. un =

Câu 16: Cho dãy số ( un )

A. un = −

1

u1 =
2 . Công thức số hạng tổng quát của dãy số là
với 
un+1 = 2un

n− 1
.
n

−1
.
2n−1

C. un =

−1
.
2n

n− 2
D. un = 2 .

un = −2

1 . Công thức số hạng tổng quát của dãy số là
với 
un+1 = −2 − u

n
B. un =

n+ 1
.
n

C. un = −

n+ 1

.
n

D. un = −

n
.
n+ 1

u1 = 1
Câu 17: Cho dãy số ( un ) với 
2 Số hạng tổng quát un của dãy số là số hạng nào dưới đây?
un+1 = un + n
A. un = 1+
C. un = 1+

n( n + 1) ( 2n + 1)
6
n( n − 1) ( 2n − 1)
6

.

B. un = 1+

.

D. un = 1+

Câu 18: Cho dãy số ( un ) với un =

A. Thứ năm.

6
n( n + 1) ( 2n − 2)
6

.
.

n −1
2
, biết uk = . Hỏi uk là số hạng thứ mấy của dãy số đã cho?
2
n +1
13

B. Thứ sáu.

Câu 19: Cho dãy ( un ) xác định bởi u1 =
A. 1274,5.

n( n − 1) ( 2n + 2)

C. Thứ ba.

D. Thứ tư.

1
và un = un −1 + 2n với mọi n ≥ 2 . Số hạng u50 bằng
2

B. 2548,5.

C. 5096,5.

D. 2550,5.

Câu 20: Cho dãy số có các số hạng đầu là 0,1; 0,001; 0,001; 0,0001;… Số hạng tổng quát của dãy số có
dạng
A.

un = 0,00...01.
14 2 43
nch÷sè 0

B.

un = 0,00...01.
14 2 43
n−1ch÷sè 0

C. un =

1
.
10n−1

4
Câu 21: Số hạng âm trong dãy số x1 ; x2 ; x3 ;...; xn với xn = Cn +5 −

A. x1 ; x2 .

B. x1 ; x2 ; x3 .

D. un =

1
.
10n+1

143Pn +5
là
96 Pn +3

C. x1 ; x2 ; x3 ...xn .

D. x1 ; x2 ; x3 ; x4 .
Trang 15


u1 = 2
Câu 22: Cho dãy số ( un ) được xác định bởi 
. Số hạng tổng quát un của dãy số là
un +1 − un = 2n − 1
2
A. un = n + 1.

C. un = 2 + ( n + 1) .

D. un = 2 − ( n − 1) .

2

2
B. un = 2 + n .

2

u1 = 1
Câu 23: Cho dãy số ( un ) với 
2 n +1 . Số hạng tổng quát un của dãy số là số hạng nào dưới
un +1 = un + ( −1)
đây?
A. un = 2 − n.

C. un = 1 − n.

B. không xác định.

D. un = − n với mọi n.

Câu 24: Cho dãy số ( un ) thỏa mãn u1 = 2 và un +1 = 2 + un với mọi n ≥ 1. Số hạng u2018 là
A. u2018 = 2 cos

π
2

2017

. B. u2018 = 2 cos

π
2

2019

.

C. u2018 = 2 cos

π
2

2018

.

D. u2018 = 2.

u1 = 1
Câu 25: Cho dãy số ( un ) xác định bởi 
3
* . Số nguyên dương n nhỏ nhất sao cho
un +1 = un + n , ∀n ∈ ¥
un − 1 ≥ 2039190 là
A. n = 2017.

B. n = 2019.

C. n = 2020.

D. n = 2018.

Dạng 3: Xét tính tăng, giảm và bị chặn của dãy số
Bài tốn 1: Xét tính tăng, giảm của dãy số
Phương pháp giải
Phương pháp xét tính tăng, giảm của dãy số
Cách 1: Xét hiệu un+1 − un
ã

Nu un+1 un > 0,n Ơ * thỡ ( un ) là dãy số tăng.

•

Nếu un+1 − un < 0,∀n∈ ¥ * thì ( un ) là dãy số giảm

*
Cách 2: Khi un > 0,∀n∈ ¥ ta xét tỉ số

un+1
un

•

Nếu

un+1
> 1 thì ( un ) là dãy số tăng.
un

•

Nếu

un+1
< 1 thì ( un ) là dãy số giảm.
un

Cách 3: Nếu dãy số ( un ) được cho bởi một hệ thức truy hồi thì ta có thể sử dụng phương pháp quy nạp
*
*
để chứng minh un+1 > un,∀n∈ ¥ (hoặc un+1 < un,∀n∈ ¥ ) .

Cơng thức giải nhanh một số dạng tốn về dãy số
•

Dãy số ( un ) có un = an + b tăng khi a > 0 và giảm khi a < 0.

•

Dãy số ( un ) có un = qn

-

Khơng tăng, khơng giảm khi q< 0 .
Trang 16


-

Giảm khi 0 < q < 1.

-

Tăng khi q > 1.

•

Dãy số ( un ) có un =

-

Tăng khi ad − bc > 0.

-

Giảm khi ad − bc < 0

•

Dãy số đan dấu là dãy số khơng tăng, khơng giảm.

•

n
Nếu dãy số ( un ) tăng hoặc giảm thì dãy số q .un (với q< 0) khơng tăng, khơng giảm.

•

a > 0

a > 0
; giảm nếu 
Dãy số ( un ) có un+1 = au + b tăng nếu 
và không tăng, không
u2 − u1 > 0
u2 − u1 < 0

an + b
với điều kiện cn + d > 0,∀n∈ ¥ *
cn + d

(

)

giảm nếu a < 0.
•

•

Dãy số ( un )

aun + b

un+1 = cu + d
có 
tăng nếu
n
c, d > 0, u > 0,∀n∈ ¥ *


n

Dãy số ( un )

aun + b

un+1 = cu + d
có 
khơng tăng, không giảm nếu ad − bc < 0
n
c, d > 0, u > 0,∀n∈ ¥ *

n

 ad − bc > 0
và giảm nếu

u2 − u1 > 0

 ad − bc > 0

u2 − u1 < 0

( un ) ↑
• Nếu 
thì dãy số ( un + vn ) ↑ .
( vn ) ↑

( un ) ↓
• Nếu 

thì dãy số ( un + vn ) ↓ .
( vn ) ↓

( un ) ;un 0,n Ơ *
ã Nu
thỡ dóy số ( un;vn ) ↑ .
*
v
↑
;
v
≥
0,
∀
n
∈
¥
(
)
 n
n

( un ) ↓;un 0,n Ơ *
ã Nu
thỡ dóy s ( un;vn ) .
*
v

;
v

0,

n

Ơ
(
)
n
n

ã Nu ( un ) v un ≥ 0,∀n∈ ¥ * thì dãy số
và dãy số

( ( un )

m

)

(

)

un

(

,m Ơ *

1
ã Nu ( un ) ↑ và un > 0,∀n∈ ¥ * thì dãy số  ÷ ↓ .
 un 
Ví dụ mẫu

un ↓ và dãy số

n+ 5
.
n+ 2

Hướng dẫn giải
n+ 5
3
3
= 1+
⇒ un+1 = 1+
n+ 2
n+ 2
n+ 3

Xét hiệu un+1 − un =

)

và un ≥ 0,∀n∈ ¥ *

thì dãy số

( ( u ) ) ,m Ơ .

m

*

n

1
ã Nu ( un ) và un > 0,∀n∈ ¥ * thì dãy số  ÷ ↑ .
 un 

Ví dụ 1: Xét tính tăng, giảm của dãy số ( un ) biết un =

Ta cú un =

( un )

ã Nu

3
3
3

=
< 0,n Ơ *
n + 3 n + 2 ( n + 2) ( n + 3)

Chú ý: Dãy số có dạng
un =

an + d

cn + d

Với cn + d > 0,∀n∈ ¥ *
- Nếu c;d > 0 và ad − bc > 0 thì

( un )

là dãy số tăng.

- Nếu ad − bc < 0 thì

( un )

là

dãy số giảm.

Trang 17


Vậy ( un ) là dãy số giảm.
u1 = 2

Ví dụ 2: Cho dãy số ( un ) : 
. Xét tính tăng, giảm của dãy số ( un ) .
3un−1 + 1
u
=
,
∀

n
≥
2
 n
4
Hướng dẫn giải
Dãy số này cho bởi cơng thức truy hồi.
Ta dự đốn dãy số giảm dựa trên việc thử giá trị ban đầu uk > 1
Ta có un − un−1 =

3un−1 + 1
1− un−1
− un−1 =
4
4

Để chứng minh dãy ( un ) giảm, ta chứng minh un > 1,∀n ≥ 1 bằng phương pháp quy nạp.
Thật vậy.
Với n = 1⇒ u1 = 2 > 1 (đúng).
Giả sử uk > 1⇒ uk+1 =

3uk + 1 3+ 1
>
=1
4
4

Theo ngun lí quy nạp ta có un > 1,∀n ≥ 1.
Suy ra un − un−1 < 0 ⇔ un < un−1,∀n ≥ 2 hay dãy ( un ) là dãy số giảm.
 a1 = 1

Ví dụ 3: Cho dãy ( an ) được xác định bởi 
. Xét tính tăng giảm của dãy số ( an ) .
2
 an+1an − an = 1
Hướng dẫn giải
2
Ta có an+1.an − an = 1⇒ an+1 − an =

1
Ta đi chứng minh an > 0 vi mi n Ơ *
an.

Tht vy.
ã

Vi n = 1 thì an = 1> 0 (đúng).

•

Với n = 2 thì a2 = a1 +

1
= 2 > 0 (đúng).
2

Giả sử an > 0 đúng với n = k ta chứng minh nó cũng đúng với n = k + 1
Ta có ak+1 = ak +

1
là tổng của hai số dương nên nó cũng dương.

ak

Do đó an > 0 đúng với n = k + 1.
Suy ra an > 0 với mọi n∈ ¥ * .
Vậy an+1 − an > 0 ⇔ an+1 > an. Do đó dãy ( an ) là một dãy tăng.
Ví dụ 4: Xét tính tăng, giảm của dãy số un =

n + ( −1)

n

n2

Hướng dẫn giải
Trang 18


1
2 u2 > u1
Ta có u1 = 0;u2 = ;u3 = ⇒ 
2
9 u3 < u2
⇒ Dãy số không tăng, khơng giảm.
Bài tốn 2. Xét tính bị chặn của dãy số
Phương pháp giải
Phương pháp 1: Chứng minh trực tiếp bằng các phương pháp chứng minh bất đẳng thức.
•

Dãy số ( un ) có un = f ( n) là hàm số có biểu thức.

*
*
Ta chứng minh trực tiếp bất đẳng thức un = f ( n) ≤ M,∀n∈ ¥ hoặc un = f ( n) m,n Ơ

ã

Dóy s ( un ) có un = v1 + v2 + ... + vk + ... + vn (tổng hữu hạn). Ta làm trội kiểu vk ≤ ak − ak+1

Lúc đó un ≤ ( a1 − a2 ) + ( a2 − a3 ) + ...( an − an+1 ) .
*
Suy ra un a1 an+1 M,n Ơ

ã

Dóy s ( un ) có un = v1.v2.v3....vn với vn > 0,∀n∈ ¥ * (tích hữu hạn). Ta làm trội kiểu vk ≤

Lúc đó un ≤

a2 a3 an+1
. ...
a1 a2 an

Suy ra un ≤

an+1
≤ M,∀n∈ ¥ * .
a1

ak+1
.

ak

Phương pháp 2: Dự đốn và chứng minh bằng phương pháp quy nạp.
Nếu dãy số ( un ) được cho bởi một hệ thức truy hồi thì ta có thể sử dụng phương pháp quy nạp để chứng
minh.
Chú ý: Nếu dãy số ( un ) giảm thì nó bị chặn trên, dãy số ( un ) tăng thì nó bị chặn dưới.
Cơng thức giải nhanh một số dạng tốn về dãy số bị chặn
•

n
Dãy số ( un ) có un = q ( q ≤ 1) bị chặn.

•

n
Dãy số ( un ) có un = q ( q < −1) khơng bị chặn.

•

Dãy số ( un ) có un = q với q > 1 bị chặn dưới.

•

Dãy số ( un ) có un = an + b bị chặn dưới nếu a > 0 và bị chặn trên nếu a < 0.

•

Dãy số ( un ) có un = an2 + bn + c bị chặn dưới nếu a > 0 và bị chặn trên nếu a < 0.

•

Dãy số ( un ) có un = amnm + am−1nm−1 + ... + a1n + ao bị chặn dưới nếu am > 0 và bị chặn trên nếu

am < 0 .
•

(

)

n
m
m−1
Dãy số ( un ) có q amn + am−1n + ... + a1n + ao với am ≠ 0 và q< −1 không bị chặn.

Trang 19


•

Dãy số ( un ) có un = amnm + am−1nm−1 + ... + a1n + ao bị chặn dưới với am > 0 .

•

Dãy số ( un ) có un = 3 amnm + am−1nm−1 + ... + a1n + ao bị chặn dưới với am > 0 và bị chặn trên nếu

am < 0.
Dãy số ( un ) có un =

•

P ( n)

trong đó P(n) và Q(n) là các đa thức, bị chặn nếu bậc của P(n) nhỏ

Q ( n)

hơn hoặc bằng bậc của Q(n).
Dãy số ( un ) có un =

•

P ( n)

trong đó P(n) và Q(n) là các đa thức, chỉ bị chặn dưới hoặc bị chặn

Q ( n)

trên nếu bậc của P(n) lớn hơn bậc của Q(n).
Ví dụ mẫu
Ví dụ 1: Cho dãy số ( un ) biết un =

−1
. Xét tính bị chặn dãy số ( un ) .
2n + 3

Hướng dẫn giải

Chú ý: Dãy số

( un ) có

bậc

của tử thấp hơn bậc của mẫu
thì bị chặn.

Ta có
1
1
1
−1
≤ ,∀n∈ ¥ * ⇒ − ≤
< 0,∀n∈ ¥ *
2n + 3 5
5 2n + 3

2n + 3 ≥ 5,∀n∈ ¥ * ⇒ 0 <
⇒−

1
≤ un < 0. Suy ra dãy số ( un ) bị chặn.
5
4n + 5
. Xét tính bị chặn dãy số ( un )
biết un =
n+ 1

Ví dụ 2: Cho dãy số ( un )
Hướng dẫn giải

Chú ý: Dãy số

( un ) có

bậc

của tử bằng bậc của mẫu thì
bị chặn.

4n + 5
> 0,∀n∈ ¥ *
n+ 1
4n + 5 4( n + 1) + 1
1
1 9
un =
=
= 4+
≤ 4+ = ,∀n∈ ¥ *
n+ 1
n+ 1
n+ 1
2 2

Ta có un =

9
*
Suy ra 0 < un ≤ ,∀n∈ ¥

2
Vậy dãy số ( un ) bị chặn.
Ví dụ 3: Cho dãy số ( un ) biết un =

1.3.5...( 2n − 1)
2.4.6.2n

. Xét tính bị chặn dãy số ( un ) .

Hướng dẫn giải
2k − 1
2k − 1
Xét
<
=
2k
4k2 − 1
⇒ un <

1
3

.

3
5

.

5

7

...

( 2k − 1)
( 2k − 1) ( 2k + 1)
2

2− 1
2n + 1

=

1
2n + 1

2k − 1

=

≤

2k + 1
1
3

,∀k ≥ 1.

,∀n∈ ¥ * ⇒ 0 < un <

1
3

,∀n∈ ¥ *
Trang 20


Vậy dãy số ( un ) bị chặn.
Ví dụ 4: Xét tính tăng, giảm và bị chặn của dãy số ( un ) , biết un =

n2 + 3n + 1
n+ 1

Hướng dẫn giải
Ta có un+1 − un

( n + 1)
=

2

+ 3( n + 1) + 1 n2 + 3n + 1 n2 + 5n + 5 n2 + 3n + 1
−
=
−
n+ 2
n+ 1
n+ 2
n1

( n + 5n+ 5) ( n+ 1) − ( n + 3n+ 1) ( n+ 2)
=
2

2

( n + 1) ( n + 2)

=

n2 + 3n + 3
> 0,∀n ≥ 1
( n + 1) ( n+ 2)

⇒ un+1 > un,∀n ≥ 1⇒ dãy ( un ) là dãy số tăng.
Lại có un >

n2 + 2n + 1
= n + 1≥ 2 ⇒ dãy ( un ) bị chặn dưới. Dãy Un không bị chặn trên nên nó khơng bị
n+ 1

chặn.
Bài tập tự luyện dạng 3
π
Câu 1: Cho dãy số ( un ) : un = sin . Chọn khẳng định sai trong các khẳng định sau đây.
n
π
.
n+ 1

A. Dãy số ( un ) tăng.

B. un+1 = sin

C. Dãy số ( un ) bị chặn.

D. Dãy số ( un ) không tăng, không giảm.

Câu 2: Trong các dãy số ( un ) cho bởi số hạng tổng quát un sau, dãy số nào tăng?
A. un =

n
.
2n

B. un =

Câu 3: Cho dãy số ( un ) biết un =

n
.
2
2n + 1

C. un =

n2 + 1
.
3n + 2

(

D. un = − 2

)

n

n2 − 1.

5n
. Mệnh đề nào sau đây đúng?
n2

A. Dãy số ( un ) tăng.

B. Dãy ( un ) giảm.

C. Dãy ( un ) không tăng, không giảm.

D. Dãy số ( un ) là dãy hữu hạn.

Câu 4: Trong các dãy số sau, dãy số nào là dãy số giảm?
n− 3
.
A. un =
n+ 1

n
B. un = .

2

2
C. un = 2 .
n

D. un

( −1)
=
3n

n

.

Câu 5: Trong các dãy ( un ) sau đây, dãy nào là dãy số bị chặn?
A. un =

n2 − n + 1
.
n2 + 2n + 2

B. un =

3n2 − 1
.
n− 5

2

C. un = −n − n + 1.

3
D. un = n .

Câu 6: Cho dãy số ( un ) biết un = 3n + 6. Mệnh đề nào sau đây đúng?
Trang 21


A. Dãy số ( un ) tăng.

B. Dãy số ( un ) giảm.

C. Dãy số ( un ) không tăng, không giảm.

D. Cả A, B, C đều sai.

Câu 7: Xet tính tăng, giảm của dãy số un =

3n − 1
ta được kết quả
2n,

A. Dãy số ( un ) tăng.

B. Dãy số ( un ) giảm.

C. Dãy số ( un ) không tăng, không giảm.

D. Dãy số ( un ) khi tăng khi giảm.

Câu 8: Cho dãy số ( un ) với un = ( −1)

n

n . Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. Dãy số ( un ) là dãy số bị chặn.

B. Dãy số ( un ) là dãy số giảm.

C. Dãy số ( un ) là dãy số tăng.

D. Dãy số ( un ) là dãy số không bị chặn.

 a1 = 1;a2 = 2
Câu 9: Cho dãy số ( an ) được xác định bởi 
. Phát biểu nào dưới đây về dãy số ( an )
 an+ 2 − an+1 − an = 0
là đúng?
A. Dãy số ( an ) không tăng, không giảm.

B. Dãy số ( an ) là một dãy giảm.

C. Dãy số ( an ) là một dãy tăng.

D. Dãy số ( an ) là một dãy không tăng.

u1 = 1
( un ) là dãy số tăng là

Câu 10: Cho dãy số ( un ) biết 
* . Tất cả các giá trị của a để
un+1 = aun + 1,∀n∈ ¥
A. a < 0.

B. a ≤ 0.

C. a > 0.

D. a > 1.

Câu 11: Trong các dãy số sau, dãy nào là dãy số tăng?
A. un = sinn.

B. vn =

n− 1
.
n+ 1

C. I n = ( −1) .n.
n

D. hn = n − n − 1.

Câu 12: Cho dãy số ( un ) , biết un = n.cosn . Trong các phát biểu sau, có bao nhiêu phát biểu đúng?
(1). ( un ) là dãy số tăng.
(2). ( un ) là dãy số bị chặn dưới.
*
(3) ∀n∈ ¥ : un ≤ n.

A. 0.

B. 1.

Câu 13: Cho dãy số ( un ) có u1 = 1 và un+1 = un =

C. 2.

D. 3.

1

( 1+ n)

2

,∀n∈ ¥ * . Trong các phát biểu sau, có bao

nhiêu phát biểu đúng?
(1). ( un ) là dãy số tăng.
(2). ( un ) là dãy số bị chặn dưới.
(3). ( un ) là dãy số bị chặn trên.
Trang 22


A. 0.

B. 1.

Câu 14: Cho dãy số ( un ) có un =
A. a < 0, b < 0.

C. 2.

D. 3.

an + b
và c > d > 0 . Dãy số ( un ) là dãy số tăng với điều kiện.
cn + d
C. a > 0, b < 0.

B. b > a > 0.

D. a < 0, b > 0.

n
Câu 15: Phát biểu nào dưới đây về dãy số ( an ) được cho bởi an = 2 + n là đúng?

A. Dãy số ( an ) là dãy số giảm.

B. Dãy số ( an ) là dãy số tăng.

C. Dãy số ( an ) là dãy không tăng.

D. Dãy số ( an ) là dãy không tăng và không giảm.

Câu 16: Trong các phát biẻu sau, có bao nhiêu phát biểu đúng?
(1) Dãy số được xác định bởi an = 1+

1
là một dãy bị chặn.
n

2
(2) Dãy số được xác định bởi an = n là một dãy giảm.
2
(3) Dãy số được xác định bởi an = 1− n là một dãy số giảm và không bị chặn dưới.

(4) Dãy số được xác định bởi an = ( −1) n2 là một dãy không tăng, không giảm.
n

A. 1.

B. 2.

C.3.

D. 4.

u1 = 1;u2 = 2
u
Câu 17: Cho dãy số ( un ) biết 
* . Các giá trị của a để dãy số ( n ) tăng là
un+ 2 = aun+1 + ( 1− a) un,∀n∈ ¥
A. a > 0.
Câu 18: Cho dãy số

B. 0 < a < 1.

( un )

có u1 =

C. a < 1.

D. a > 1.

n
uk 52018 − 1
1
n+ 1
u
=
u
,
∀
n
≥
1
S
=
<
và n+1
. Tất cả các giá trị n để
∑
n
5
5n
4.52018

k=1 k

là
A. n > 2019.

B. n< 2018.

C. n< 2020.

D. n > 2017.

Câu 19: Xét tính tăng giảm của dãy số un = n − n2 − 1 , ta thu được kết quả
A. Dãy số ( un ) tăng.

B. Dãy số ( un ) giảm.

C. Dãy số ( un ) không tăng, không giảm.

D. Dãy số ( un ) khi tăng, khi giảm.

Câu 20: Cho dãy số ( un )

u1 = 2

biết 
. Mệnh đề nào sau đây đúng?
un2 + 1
,∀n∈ ¥ *
un+1 =


4

A. ( un ) là dãy số tăng.

B. ( un ) là dãy số giảm.

C. ( un ) là dãy số không tăng, không giảm.

D. ( un ) là dãy số khơng đổi.

Câu 21: Xét tính bị chặn của dãy số un = 3n − 1, ta thu được kết quả
A. Dãy số bị chặn.

B. Dãy số không bị chặn.

C. Dãy số bị chặn trên.

D. Dãy số bị chặn dưới.

Trang 23


Câu 22: Xét tính tăng, giảm và bị chặn của dãy số ( un ) , biết un =

2n
, ta thu được kết quả
n!

A. Dãy số tăng, bị chặn trên.

B. Dãy số tăng, bị chặn dưới.

C. Dãy số giảm, bị chặn.

D. Cả A, B, C đều sai.

Câu 23: Xét tính tăng, giảm và bị chặn của dãy số ( un ) , biết un =

1
1+ n + n2

, ta thu được kết quả

A. Dãy số tăng, bị chặn trên.

B. Dãy số tăng, bị chặn dưới.

C. Dãy số giảm, bị chặn.

D. Cả A, B, C đều sai.

Câu 24: Xét tính bị chặn của dãy số un =

1
1
1
+
+ ... +
, ta thu được kết quả
1.3 2.4

n( n + 2)

A. Dãy số bị chặn.

B. Dãy số không bị chặn.

C. Dãy số bị chặn trên.

D. Dãy số bị chặn dưới.

u1 = 1
Câu 25: Xét tính tăng, giảm của dãy số 
, ta thu được kết quả
3
un+1 = 3 un + 1, n ≥ 1
A. Dãy số tăng.

B. Dãy số giảm.

C. Dãy số không tăng, không giảm.

D. Cả A, B, c đều sai.

Câu 26: Cho dãy số ( un )

u1 = 1

. Mệnh đề nào sau đây đúng?
biết 
1

un+1 = 2 un − 1

A. Dãy số ( un ) bị chặn.

B. Dãy số ( un ) bị chặn trên.

C. Dãy số ( un ) bị chặn dưới.

D. Dãy số ( un ) không bị chặn.

Câu 27: Trong các dãy số sau dãy số nào bị chặn?
A. Dãy ( an ) , với an = n3 + n,∀n∈ ¥ * .

1
2
*
B. Dãy ( bn ) , với bn = n + n,∀n∈ ¥ .
2

C. Dãy ( cn ) , với cn = ( −2) + 3,∀n∈ ¥ * .

D. Dãy ( dn ) , với dn =

n

Câu 28: Cho dãy số ( un ) biết un =

3n
,∀n∈ ¥ * .
n +2

3

1 1 1
1
+ 2 + 2 + ... + 2 . Mệnh đề nào sau đây đúng?
2 2 3
n

A. Dãy số ( un ) bị chặn dưới.

B. Dãy số ( un ) bị chặn trên.

C. Dãy số ( un ) bị chặn.

D. Dãy số ( un ) không bị chặn.

Câu 29: Cho dãy số ( un ) biết un = asinn + bcosn . Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. Dãy số ( un ) không bị chặn.

B. Dãy số ( un ) bị chặn.

C. Dãy số ( un ) bị chặn dưới.

D. Dãy số ( un ) bị chặn trên.

Trang 24


u = 2
Câu 30: Cho dãy số ( un ) , biết 

. Khẳng định nào sau đây đúng về dãy số ( un ) ?
*
u
=
2
+
u
,
n
∈
¥
 n+1
n
A. Dãy số ( un ) giảm và bị chặn.

B. Dãy số ( un ) giảm và không bị chặn.

C. Dãy số ( un ) tăng và bị chặn.

D. Dãy số ( un ) tăng và khơng bị chặn.

Dạng 4. Tính tổng của dãy số
Phương pháp giải
Tính tổng của dãy số cách đều

Ví dụ 1: Tính tổng S= 1+ 3+ 5+ ... + 2021

Giả sử cần tính tổng S = a1 + a2 + ... + an

Hướng dẫn giải

Trong đó an = an−1 + d

Ta có 2S= ( 1+ 2021) + ( 3+ 2019) + ( 5+ 2017) + ...

Ta có 2S = ( a1 + an ) + ... + ( an + a1 ) = n( a1 + an )
Từ đó suy ra S =

n.( a1 + an )
2

+ ( 2021+ 1) = 2022.2021
Vậy S=

2022.2021
= 2043231.
2

Cơng thức tính:
+ Số hạng tổng qt của dãy số cách đều là
un = u1 + ( n − 1) d với d là khoảng cách giữa 2 số
hạng liên tiếp.
+ Số số hạng = (số hạng cuối – số hạng đầu) :
(khoảng cách) + 1.
+ Tổng = (số hạng đầu + số hạng cuối) x (số số
hạng) : 2.
Tính tổng của dãy số bằng phương pháp khử
liên tiếp
Bước 1: Ta tìm cách tách
a1 = b1 − b2;a2 = b2 − b3;...

Bước 2: Rút gọn
S = b1 − b2 + b2 − b3 + ... + bn − bn+1 = b1 − bn+1
+ Một số công thức tách thường sử dụng

Ví dụ 2: Tính tổng S=

2
2
2
2
+
+
+ ... +
1.3 3.5 5.7
97.99

Hướng dẫn giải
Ta có

2 1 1 2 1 1
= − ;
= − ;...
1.3 1 3 3.5 3 5

1 1 1 1
1 1
1 98
= 1−
=
Do đó S= − + − + ... + −

1 3 3 5
97 99
99 99

a
1
1
= −
;
n( n + a) n n + a
2a
1
1
=
−
;
n( n + a) ( n + 2a) n( n + a) ( n + a) ( n + 2a)
2na + a2
n ( n + a)
2

2

=

1
1
−
;
2

n ( n + a) 2

nn
. ! = ( n + 1) !− n!
Trang 25