Bài 3 cấp số NHÂN toán 11

CHUYÊN ĐỀ
BÀI 3. CẤP SỐ NHÂN
Mục tiêu
 Kiến thức
+ Nắm vững khái niệm cấp số nhân
+

Nắm được tính chất 3 số hạng liên tiếp của một cấp số nhân

+ Nắm được cơng thức tổng qt, cơng thức tính tổng n số hạng đầu của một cấp số nhân
 Kĩ năng
+

Nhận biết được một cấp số nhân dựa vào định nghĩa

+

Tìm được yếu tố còn lại khi biết 3 trong 5 yếu tố: số hạng đầu, số hạng thứ k, tổng n số hạng
đầu tiên, công bội, số số hạng của cấp số nhân

+

Áp dụng tính chất cấp số nhân vào các bài tốn giải phương trình, chứng minh đẳng thức, bất
đẳng thức

+ ứng dụng vào các bài toán thực tế

Trang 1


I. LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM

Định nghĩa
Cấp số nhân là một dãy sơ (hữu hạn hoặc vơ hạn), trong đó kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều là tích
của số hạng đứng ngay trước nó với một số không đổi q
Số q được gọi là công bội của cấp số nhân
Nếu  un  là cấp số nhân với cơng bội q, ta có cơng thức truy hồi un 1  un .q với n ��*
Đặc biệt:


Khi q  0 , cấp số nhân có dạng u1 , 0, 0,..., 0,...



Khi q  1 , cấp số nhân có dạng u1 , u1 , u1 ,..., u1 ,...



Khi u1  0 thì với mọi q, cấp số nhân có dạng 0, 0, 0,..., 0,...
Số hạng tổng qt

Định lí 1. Nếu cấp số nhân có số hạng đầu u1 và cơng bội q thì số hạng tổng qt un được xác định bởi
công thức
un  u1.q n 1 với n �2
Tính chất
Định lí 2. Trong một cấp số nhân, bình phương của mỗi số hạng (trừ số hạng đầu và cuối) đều là tích của
hai số hạng đứng kề với nó, nghĩa là
uk2  uk 1.uk 1 với k �2
Tổng n số hạng đầu tiên của cấp số nhân
Định lí 3. Cho cấp số nhân  un  với công bội q �1
Đặt S n  u1  u2  ...  un . Khi đó S n 

u1  1  q n 
1 q

Chú ý: Nếu q  1 thì cấp số nhân là u1 , u1 , u1 ,..., u1 ,... khi đó S n  nu1
SƠ ĐỒ HỆ THỐNG HÓA

Trang 2


Số hạng thứ k
Số
hạ
ng

CẤP

tổ

NHÂN

SỐ

ng
qu
át

Tổng n số hạng đầu tiên
khi
khi

II. CÁC DẠNG BÀI TẬP
Dạng 1: Chứng minh một dãy  un  là cấp số nhân
Phương pháp giải
Chứng minh un 1  un .q, n �1 trong đó q là một số khơng đổi
*
Nếu un �0, n �� thì ta lập tỉ số

un 1
k
un

* k là hằng số thì  un  là cấp số nhân có cơng bội q  k
* k phụ thuộc vào n thì  un  không là cấp số nhân
Để chứng minh dãy  un  không phải là cấp số nhân, ta chỉ cần chỉ ra ba số hạng liên tiếp không
tạo thành cấp số nhân, chẳng hạn

u3 u2
�
u2 u1

Để chứng minh a, b, c theo thứ tự đó lập thành cấp số nhân, ta chứng minh ac  b 2 hoặc b  ac
Ví dụ mẫu
Ví dụ 1. Xét trong các dãy số sau, dãy số nào là cấp số nhân? Tìm cơng bội của cấp số nhân đó
a) un   4 

2 n 1

b) un   7  .53n 1
n

Hướng dẫn giải
Trang 3


u
 4   4 2  16
 
a) Ta có n 1 
là số khơng đổi nên  un  là cấp số nhân với công bội q = 16
2 n 1
un
 4 
2 n 3

3 n 1 1
un 1  7  .5

 7.53  875 không đổi nên  un  là cấp số nhân với công bội
b) Ta có
n
3 n 1
un
 7  .5
n 1

q  875
Ví dụ 2. Xét trong các dãy số sau, dãy số nào là cấp số nhân? Tìm cơng bội của cấp số nhân đó
� u1  3
�
9

a) �
u

n

1
�
un
�

�u1  2
b) �
un 1  un2
�

Hướng dẫn giải
9
u
u
u
Ta có n 1  n  n 1 � un 1  un 1 , n �2
9
un
un
un 1

 1
 2

�u1  u3  u5  ...  u2 n 1...

Do đó có �
u2  u4  u6  ...  u2 n  ...
�
Theo đề bài ta có u1  3 � u2 

9
3
u1

(3)

Từ (1), (2), (3) suy ra u1  u2  u3  u4  u5  ...  u2 n  u2 n 1 ...
Do đó  un  là cấp số nhân với cơng bội q = 1
2
2
2
b) Ta có u2  u1  4, u3  u2  16, u4  u3  256

suy ra

u2 4
u
256
  2 và
 4 
16
u1 2
u3 16

u2

u1

u4
u3

Do đó  un  khơng là cấp số nhân
Ví dụ 3. Cho  un  là cấp số nhân có cơng bội q �0; u1 �0 . Chứng minh rằng dãy số

 vn  với

vn  un .u2 n cũng là một cấp số nhân
Hướng dẫn giải
vn
un .u2 n
u1.q n 1.u1.q 2 n 1


 q 3 nên  vn  là cấp số nhân với công bội là q 3
Ta có
vn 1 un 1.u2 n 1 u1.q n  2 .u1.q 2 n 3
� u1  2
, n �1 . Chứng minh rằng dãy số  vn  xác
Ví dụ 4. Cho dãy số  un  được xác định bởi �
un 1  4un  9
�
định bởi vn  un  3, n �1 là một cấp số nhân. Hãy xác định số hạng đầu và cơng bội của cấp số nhân
đó
Trang 4

Hướng dẫn giải
Ta có vn  un  3 (1) � vn 1  un 1  3

(2)

Theo đề ra un 1  4un  9 � un 1  3  4  un  3 (3)
Thay (1) và (2) vào (3) ta được vn 1  4vn , n �1 �

vn 1
 4 (không đổi)
vn

Suy ra  vn  là cấp số nhân với công bội q = 4 và số hạng đầu v1  u1  3  5
Bài tập tự luyện dạng 1
Câu 1: Trong các dãy số sau, dãy số nào là cấp số nhân?
� 1
u1 
�
A. � 2 .
�
un 1  un2
�

B. un 1  nun .

u1  2
�
C. �
.
un 1  5un

�

D. un 1  un1  3 .

Câu 2: Trong các dãy số sau, dãy số nào là cấp số nhân?
A. un 

1
1 .
3n

B. un 

1
n2

3

.

1
C. un  n  .
3

1
2
D. un  n  .
3

Câu 3: Trong các dãy số sau, dãy số nào là cấp số nhân?

u1  3
�
A. �
.
un 1  un3
�

B. un 1  un .

u1  1
�
C. �
.
un 1  6un
�

D. un 1  2un  3 .

2n
C. un  3 .

2
D. un  n  1 .

Câu 4: Dãy số nào sau đây là cấp số nhân?
1
A. un  n  2 .
3

2

B. un  n  2 .

Câu 5: Trong các dãy số sau, dãy nào là cấp số nhân?
A. un 

1
 4.
3n

B. un 

1
5

n2

.

1
C. un  2n  .
3

1
2
D. un  n  .
3

Câu 6: Dãy số nào trong các dãy số sau vừa là một cấp số cộng, vừa là một cấp số nhân?
A. 1; 1; 1; 1; 1;...

B. 1;0;0;0;0;...

C. 3; 2;1;0; 1;...

D. 1;1;1;1;1;...

Câu 7: Cho cấp số nhân có u1  0 và công bội q  0 . Trong các nhận xét sau, nhận xét nào đúng?
A. un  0 với mọi n.

B. un  0 với mọi n lẻ và un  0 với mọi n chẵn.

C. un  0 với mọi n.

D. un  0 với mọi n chẵn và un  0 với mọi n lẻ.

Câu 8: Hỏi
A. un 

1 1 1 1
, , ,
là bốn số hạng đầu của dãy số nào sau đây?
2 4 8 32

1
.
2n

B. un 

1

.
2n  1

C. un 

1
.
2n

D. un 

1
.
n2

Câu 9: Dãy số nào dưới đây không là cấp số nhân?
1
1
1
A. 1;  ;  ; 
.
5 25 125
C.

4

2; 2 4 2; 4 4 2;8 4 2 .

1 1 1
B.  ;  ;  ;1 .

8 4 2
1 1 1
D. 1; ; ; .
3 9 27
Trang 5


Câu 10: Trong các dãy số sau, dãy nào là cấp số nhân?
A. un  2  1 .
n

u1  2
�
�
B. �
1 .
u

un
n

1
�
3
�

C. un 

2n  3
.

5

D. un 

n 1
.
n 1

Câu 11: Trong các dãy số sau, dãy nào là cấp số nhân?
1
�
u1 
�
2 .
A. �
�
un 1  un2
�

1
�
u1 
�
2
B. �
.
�
un 1   2.un
�

�
u  1; u2  2
�
D. �1
.
un 1  un 1.un
�

2
C. un  n  1 .

Câu 12: Trong các dãy số sau, dãy nào là cấp số nhân?
1
.
3 1

A. un 

n

B. un  

1
3

n2

1
C. un   2n .
3

.

3
D. un  n  1 .


Câu 13: Cho dãy số  un  là một cấp số nhân với un �0, n �� . Dãy số nào sau đây không phải là cấp số

nhân?
A. u1 ; u3 ; u5 ;...

B. 3u1 ;3u2 ;3u3 ;...

C.

1 1 1
; ; ;...
u1 u2 u3

D. u1  1; u2  1; u3  1;...

Câu 14: Cho dãy số  un  được xác định bởi u1  2; un  2un 1  3n  1 . Công thức số hạng tổng quát của
dãy số đã cho là biểu thức có dạng a.2n  bn  c , với a, b, c là các số nguyên với n �2; n ��. Khi đó
tổng a + b + c có giá trị bằng
A. – 4 .

B. 4.

C. – 3 .

D. 3.

Câu 15: Cho dãy số  un  có các số hạng đầu là 5, 10, 15, 20, 25,… Số hạng tổng quát của dãy là
A. un  5(n  1) .

B. un  5n .

C. un  5  n .

D. un  5n  1 .

ĐÁP ÁN VÀ LỜI GIẢI BẢI TẬP TỰ LUYỆN DẠNG 1
1-C
11-B

2-B
12-B

3-C
13-D

4-C
14-C

5-B
15-B

6-D

7-B

8-C

9-B

10-B

Câu 1:
� u1  2
u
� n 1  5 �  un  là cấp số nhân có số hạng đầu u1  2 và cơng bội q  5
Ta có �
un 1  5un
un
�
Câu 2:
Xét un 
Ta có

1
n2

3

� un 1 

1
3n 1

un 1
1
1
1
 n 1 : n  2  ,  ��*
un
3
3
3

Vậy  un  là cấp số nhân có cơng bội q 

1
3

Câu 3:
Trang 6


Xét

un 1
 6 nên  un  là cấp số nhân có cơng bội q  6
un

Câu 4:
Vì

un
32 n

 2 n  2  32  9 nên un  32 n là cấp số nhân có cơng bội q  9
un 1 3

Câu 5:
1
Vì

un
1
1
1
 5  nên un  n  2 là cấp số nhân có cơng bội q 
1
un 1
5
5
5
n 3
5
n2

Câu 6:
Dãy số 1; 1; 1; 1; 1;… vừa là cấp số cộng công sai là 0, số hạng đầu là 1 vừa là cấp số nhân số hạng đầu
là 1, cơng bội là 1
Câu 7:
2
Vì u1  0; q  0 � u2  u1.q  0; u3  u1.q  0
2 n 1
 0; u2 n 1  u1 .q 2 n  0
Hay u2 n  u1.q

Câu 8:
1
1
Xét cấp số nhân  un  với u1  , q 
2
2
n 1

1 �1 �
1
Ta có un  u1.q n 1  . � �  n
2 �2 � 2
Câu 9:
2

1 1 1
1
� 1�
Dãy  ;  ;  ;1 có �
 �� .1 nên khơng là cấp số nhân
8 4 2
4
� 2�
Câu 10:
� u1  2
un 1 1
1
�
 là cấp số nhân với u1  2, q 

Dãy số �
1 �
un
3
un 1  un
3
�
3
�
Câu 11:
1
�
u
� u1 
2 có n 1   2 nên là một cấp số nhân với công bội là q   2
Dãy số �
un
�
un 1   2.un
�
Câu 12:
Ta có un  

1
n 2

3

�

un � 1 �� 1 � 1
�

: 
��
�
un 1 � 3n  2 �� 3n 3 � 3

Trang 7


Suy ra un  

1
n 2

3

là một cấp số nhân với công bội là q 

1
3

Câu 13:
Dãy u1 ; u3 ; u5 ;... là cấp số nhân công bội q 2
Dãy 3u1 ;3u2 ;3u3 ;... là cấp số nhân công bội 3q
Dãy

1 1 1
1

; ; ;... là cấp số nhân công bội
u1 u2 u3
q

Dãy u1  1; u2  1; u3  1;... không phải là cấp số nhân
Câu 14:
un 1  3  n  1  5 �
Ta có un  2un 1  3n  1 � un  3n  5  2 �
�
�với n �2; n ��
Đặt vn  un  3n  5 , ta có vn  2vn 1 với n �2; n ��
Như vậy  vn  là cấp số nhân với công bội q = 2 và v1  10
n 1
n
Do đó vn  10.2  5.2
n
n
Suy ra un  3n  5  5.2 hay un  5.2  3n  5 với n �2; n ��

Vậy a  5, b  3, c  5 nên a  b  c  5   3   5  3
Câu 15:
Ta có u1  5; u2  10  5.2; u3  15  5.3;... � un  5.n
Dạng 2: Xác định số hạng đầu, số hạng thứ k, công bội, tổng n số hạng đầu tiên của cấp số nhân
Phương pháp giải
Dựa vào giả thuyết, ta lập một hệ phương trình chứa cơng bội q và số hạng đầu u1 . Giải hệ phương
trình này tìm được q và u1
Nếu cấp số nhân  un  có số hạng đầu u1 và cơng bội q thì số hạng tổng quát un được xác định bởi
n 1
công thức un  u1.q  n �2 

Tổng của n số hạng đầu tiên
� S n  nu1
�
n
� u1  1  q 
Sn 
�
1 q
�

khi q  1
khi q �1

Ví dụ mẫu
Ví dụ 1. Tìm số hạng đầu và cơng bội của cấp số nhân, biết
�u1  u5  51
a) �
u2  u6  102
�

�u2  6
b) �
�S3  43

Hướng dẫn giải
Trang 8


�u1  1  q 4   51  *
�u1  u1.q 4  51

�u1  u5  51
�
��
��
a) Ta có �
5
u2  u6  102
u1q  u1q  102
u1q  1  q 4   102  **
�
�
�
�
Chia từng vế của (**) cho (*) ta được

u1q  1  q 4 
u1  1  q 4 

Sử dụng công thức
uk  u1.q k 1
Đưa hệ phương trình

102

51

51
51
� q  2 � u1 


3
4
1  q 17

về hệ phương trình
hai ẩn q và u1

Vậy u1  3 và q = 2
� u1q  6
u1q  6
�
�u2  6
 *
�
�
� � 1  q3
��
b) �
2
u1  1  q  q   43  **
u1
 43 �
�S3  43 �
� 1 q
u1q
6

chia từng vế của (*) cho (**) ta được
2
u1  1  q  q  43

� 43q  6  1  q  q

2



q6
�
�
� 6q  37 q  6  0 �
1
�
q
� 6



Với q  6 � u1  1



Với q 

2

Sử dụng công thức
uk  u1.q k 1
Và
S n  u1.

1  qn
, q �1
1 q

Đưa hệ phương trình
về hệ phương trình
hai ẩn q và u1

1
� u1  36
6

� 1
�q  6
�q 
Vậy �
hoặc � 6
u1  1
�
�
u1  36
�
Ví dụ 2. Cho cấp số nhân  un  có cơng bội nguyên và các số hạng thỏa

Sử dụng công thức
uk  u1.q k 1

� u2  u4  10
mãn �
u1  u3  u5  21

�

Đưa hệ phương trình

a) Tìm số hạng đầu và công bội của cấp số nhân

về hệ phương trình

b) Tổng của bao nhiêu số hạng đầu tiện bằng 1365?

hai ẩn q và u1

c) Số 4096 là số hạng thứ mấy của cấp số nhân?
a) Ta có
� u1  q  q 3   51
� u1.q  u1.q 3  10
1  q 2  q 4 21
�
�
�

�
�
3
2
4
2
4
q


q
10
u

u
q

u
.
q


21
u
1

q

q


21
�1 1
1

�
�1 
�2 1 � � 1 �
� 10q 4  21q 3  10q 2  21q  10  0 � 10 �
q  2 � 21�

q  � 10  0
� q � � q�
Trang 9


Đặt q 

1
1
 t � t 2  2  q 2  2 . Ta có phương trình
q
q

� 5
t
�
2
2
2
10  t  2   21t  10  0 � 10t  21t  10  0 � �
�t  2
� 5


�q  2
5
1
5
2
Với t   � q    � 2q  5q  2  0 � �

1
�
2
q
2
q
�
2

Mà q nguyên nên q  2


Với t 

2
1 2
� q   � 5q 2  2q  5  0 (vơ nghiệm)
5
q 5

Ta có q  2 � u1 

10
 1
q  q3

Vậy q  2; u1  1
b) Ta có S n  1365 � u1.

1  qn

 1365
1 q

1   2 
 1365 � 2 n  4096 � n  12
 1 .
1 2
n

Vậy tổng của 12 số hạng đầu tiên bằng 1365
c) Ta có uk  4096 � u1 .q k 1  4096 �  1  2 

k 1

 4096

� 2k 1  4096 � 2k 1  212 � k  1  12 � k  13
Vậy số 4096 là số hạng thứ 13 của cấp số nhân
Ví dụ 3. Tính các tổng sau
a) S n 

1 1 1
1
 2  3  ...  n
2 2 2
2
2

2

2

� 1� � 1�
�n 1 �
b) S n  �
3  � �
9  � ...  �
3  n�
� 3� � 9�
� 3 �
Hướng dẫn giải
a) Ta có dãy số

1 1 1
1
1
; 2 ; 3 ;...; n là một cấp số nhân với n số hạng, số hạng đầu u1  và công bội
2 2 2
2
2

1
2
1
q 2 
1 2
2

Trang 10

n

�1 �
1 � �
n
1 q
1
1
2
Do đó S n  u1.
 . � �1 n
1 q 2 1 1
2
2
2

2

2

� 1� � 1�
�n 1 �
b) S n  �
3  � �
9  � ...  �
3  n�
� 3� � 9�
� 3 �
 32  2 

1
1
1
 34  2  4  ...  32 n  2  2 n
2
3
3
3

1 �
�1 1
  32  34  ...  32 n   � 2  4  ...  2 n � 2142422 4...43
2
3 �
�3 3
n so�
2
2
Dãy số 32 ;34 ;...;32 n là cấp số nhân với n số hạng, có số hạng đầu u1  3 và cơng bội q 

Do đó S1  u1 .
Dãy số

34
9
32

1  qn
1  9n 9 n

 9.
  9  1
1 q
1 9 8

1 1
1
1
1
 4  ...  2 n là cấp số nhân với n số hạng, số hạng đầu u1  2 và công bội q 
2
3 3
3
3
9

1
1 n
1  qn 1
1 � 1 � 9n  1
9
S

u
.

.

1  �
Do đó 2

1
�
1  q 9 1  1 8 � 9n � 8.9n
9
n
 9n  1  9n1  1  2n
Vậy S n  9  9n  1  9 n1  2n 
8
8.9
8.9 n

Ví dụ 4. Tính tổng sau
123
a) S n  1  11  111  ...  111...1
n so�
1

123
b) S n  6  66  666  ...  666...6
n so�
6

Hướng dẫn giải
�
1�
9  99  999  ...  999...9
a) Ta có S n  1  11  111  ...  111...1
12 3  9 �
123 �
n so�

1
n so�
9 �
�


1
�
 ...   10 n  1
 10  1   102  1   103  1 �
�
�
9



�
�
�
1�
10  102  103  ...  10n   �
11412
 ...

1

�
�
43 �
9�

� n so�1 �
�

� 10n 1  9n  10
10  1  10n 
1�
 �
 n �
9 � 1  10
81
�
�
�
10n 1  9  n  1  1
Vậy S n 
81

Trang 11


�
6�

9

99

999

...


999...9
b) S n  6  66  666  ...  666...6
�
123 9
123 �
n so�
6
n so�
9 �
�


2
n
�
 10  1   100  1   1000  1 �
� ...   10  1
3�



2
2 � 10n  1 � 20
2n
2
3
n
�
�

10

10

10

...

10

n

10.
 n �  10 n  1 
�
�
�
3
3 � 10  1
3
� 27

Vậy S n 

20
2n
10n  1 

27
3

Bài tập tự luyện dạng 2
Câu 1: Cho các cấp số nhân với u1 
1
A. � .
2

1
; u7  32 .Công bội của cấp số nhân là
2

B. �4 .

C. �2 .

D. �.
1

3 n
Câu 2: Cấp số nhân  un  có un  .2 . Số hạng đầu tiên và công bội của cấp số nhân là
5
6
A. u1  , q  3 .
5

6
B. u1  , q  2 .
5

Câu 3: Cho cấp số nhân có u1  1; q 

A. Số hạng thứ 103.

6
C. u1  , q  2 .
5

6
D. u1  , q  5 .
5

1
1
. Số 103 là số hạng thứ bao nhiêu của cấp số nhân?
10
10

B. Số hạng thứ 104.

C. Số hạng thứ 105.

D. Số hạng thứ 106.

Câu 4. Cho các khẳng định sau
1. Tồn tại một cấp số nhân  un  có u5  0 và u75  0
2. Nếu các số thực a, b, c theo thứ tự đó lập thành một cấp số cộng có cơng sai khác 0 thì các số
a 2 , b 2 , c 2 theo thứ tự đó cũng lập thành một cấp số cộng
3. Nếu các số thực a, b, c theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân thì các số a 2 , b 2 , c 2 theo thứ tự đó
cũng lập thành một cấp số nhân
Số khẳng địn đúng là
A. 1

B. 2

C. 3

D. 0

Câu 5: Cho cấp số nhân có u1  1, u6  0, 00001 . Khi đó cơng bội q và số hạng tổng quát un là
A. q 

1
1
, un  n 1
10
10

B. q 

1
, un  10n 1
10

C. q 

1
1
, un  n 1
10
10

1
D. q  1 , un   n  1
10
10

n

Câu 6: Cho cấp số nhân 2; 4; 8;... Tổng n số hạng đầu tiên của cấp số nhân là
n
2 �
1   2  �
�
�
A.
1   2 

n
2 �
1   2 �
�
�
B.
1 2

2n
2 �
1   2  �
�
�
C.

1   2 

2n
2 �
1   2 �
�
�
D.
1 2

Câu 7: Cho cấp số nhân biết u1  1; q  2 . Số hạng thứ 11 là
A. 20

B. 1024

C. 22

D. 2008
Trang 12


Câu 8: Nếu cấp số nhân  un  có u1  3 và cơng bội q  3 thì giá trị u7 là
A. 36

B. 37

D. 38

C. 21

3 n
Câu 9: Cấp số nhân  un  có un  .2 . Số hạng đầu tiên và công bội q là
5
6
A. u1  , q  3
5

6
B. u1  , q  2
5

6
C. u1  , q  2
5

6
D. u1  , q  5
5

1
Câu 10: Cho cấp số nhân có u2  , u5  16 . Công bội và số hạng đầu tiên của cấp số nhân là
4
1
1
A. q  ; u1  ,
2
2

1
1

B. q   ; u1   ,
2
2

C. q  4; u1 

1
,
16

D. q  4; u1  

1
,
16

Câu 11: Cho cấp số nhân với u1  3, q  2 . Số 192 là số hạng thứ mấy của cấp số nhân?
A. u7

B. u6

C. u8

D. Không thuộc cấp số trên

Câu 12: Tổng 10 số hạng đầu của một cấp số nhân có u1  4, u10  2048 là
A. S10  8184

B. S10  4092

C. S10  12276

D. S10  6138

Câu 13: Cho cấp số nhân với u1  4, q  4 . Ba số tiếp theo của cấp số nhân là
A. 16;64; 256

B. 16; 64; 256

C. 16;64; 256

D. 16;64; 256

1�
n 1 �
2un  2
; n ��* . Khi đó u2018 bằng
Câu 14: Cho dãy số xác định bởi u1  1, un 1  �
�
3�
n  3n  2 �
A. u2018 

22016
1
22018
1
B.

u



2018
2017
2017
3
2019
3
2019

C. u2018 

22017
1

2018
3
2019

D. u2018 

22017
1

2018
3
2019

Câu 15: Cho S  3  3.2  3.2 2  ...  3.2 n . Khẳng định nào sau đây đúng với mọi n nguyên dương?
n

A. S  3  2  1

n 1
B. S  3  2  1

n 1
C. S  3  2  1

n 1
D. S  3  2  1

Câu 16: Cho một cấp số nhân biết u1  3, q  2 . Tổng của 10 số hạng đầu tiên của cấp số nhân là
9
A. 3.  1  2 

10
B. 3.  1  2 

9
C. 3.  2  1

10
D. 3.  2  1

Câu 17: Cho cấp số nhân  un  , biết u2017  1, u2020  1000 . Tổng 10 số hạng đầu tiên của cấp số nhân
bằng
A.

1010  1
9.102016

B.

910  1
8.92016

C.

1  1010
9.102016

D.

1010  1
9.102019

Câu 18: Tổng 1  2  22  23  ...  2100 bằng
A. 1  2100

B. 2100  1

C. 1  2101

D. 2101  1

Câu 19: Cấp số nhân 5; 10; …; 1280 có bao nhiêu số hạng?
A. 9

B. 7

C. 8

D. 10

C. 81

D. 162

Câu 20: Số hạng thứ 5 của cấp số nhân 2; 6; … là
A. 48

B. 486

Câu 21: Cho cấp số nhân có u1  1, q  3 . Số hạng thứ 9 của cấp số nhân là
A. 6561

B. 19683

C. 2187

D. 729
Trang 13


2n

�1 �
Câu 22: Dãy số có số hạng tổng quát un  � � là một cấp số nhân có công bội q bằng
�3�
1

3

A.

B.

3

C.

1
9

D.

1
3

C.

1
3

D.

2
3

n

Câu 23: Tổng
A.

1 1
�1 �
  ...  � � ... bằng
4 16
�4 �

1
2

B.

2
9

n 1

�1�
Câu 24: Cho cấp số nhân lùi vô hạn  un  với un  �
 � . Tổng của cấp số nhân đó là
� 3�
A.

1
6

B. 

1
4

C. 

1
12

D.

1
12

1 1 1
Câu 25: Tổng S  1     ... có giá trị
2 4 8
A. 1

B. 2

D. �

C. 4

u1  u2  u3  31
�
Câu 26: Cho cấp số nhân  un  biết �
. Giá trị u1 và q là
� u1  u3  26
A. u1  2; q  5 hoặc u1  25; q 

1
5

B. u1  5; q  1 hoặc u1  25; q 

1
5

C. u1  25; q  5 hoặc u1  1; q 

1
5

D. u1  1; q  5 hoặc u1  25; q 

1
5

6 n
Câu 27: Cấp số nhân  un  có un  .2 . Số hạng đầu tiên và công bội q là
5
6
A. u1  , q  2
5

6
B. u1  , q  2
5

C. u1 

12
,q  2
5

D. u1 

12
,q  5
5

Câu 28: Cho cấp số nhân  un  có u2  2 và u5  54 . Khi đó tổng 1000 số hạng đầu tiên của cấp số nhân
đó bằng
A.

1  31000
4

B.

31000  1
2

C.

31000  1
6

D.

31000  1
3

u5  u2  36
�
Câu 29: Số hạng đầu và công bội của cấp số nhân thỏa mãn �
là
u6  u4  48
�
A. u1  4, q  4

B. u1  2, q  4

C. u1  2, q  2

D. u1  4, q  2

Câu 30: Tổng S  1  2  2 2  23  2 4 là một số chia hết cho
A. 21

B. 41

C. 51

D. 31

Câu 31: Cho cấp số nhân  un  có u3  24 và u4  48 . Tổng năm số hạng đầu tiên của cấp số nhân đó bằng
A. 168

B. 186

C. – 186

D. 196

1
Câu 32: Cho cấp số nhân với u1  3, q   . Số 222 là số hạng thứ mấy của cấp số nhân?
2
Trang 14


A. Số hạng thứ 11

B. Số hạng thứ 9

C. Số hạng thứ 12

D. Không thuộc cấp số nhân

�u4  u2  54
Câu 33: Cho cấp số nhân có �
. Số hạng đầu tiên u1 và công bội q của cấp số nhân là
u5  u3  108
�
A. u1  9 và q  2

B. u1  9 và q  2

C. u1  9 và q  2

D. u1  9 và q  2

�u4  u2  54
Câu 34: Cho cấp số nhân có �
. Giá trị u1 và q của cấp số nhân là
u5  u3  108
�
A. u1  9 và q  2

B. u1  9 và q  2

C. u1  9 và q  2

D. u1  9 và q  2

Câu 35: Cho cấp số nhân có u1  3; q  2 . Số 192 là số hạng thứ bao nhiêu của cấp số nhân?
A. Số hạng thứ 5

B. Số hạng thứ 6

C. Số hạng thứ 7

D. Số hạng thứ 8

�u1  u3  3
Câu 36: Cho cấp số nhân  un  có cơng bội q  1 và � 2
. Tổng 10 số hạng đầu tien của cấp số
u1  u32  5
�

nhân là
A. S 
10



31 2  2



16



B. S10  31 1  2



C. S10  31



Câu 37: Cho cấp số nhân  un  có tổng n số hạng đầu tiên là S n 
A. u5 

2
34

B. u5 

1
35



2 1

D. S10  31





2 1

3n  1
. Số hạng thứ 5 của cấp số nhân là
3n 1

5
C. u5  3

D. u5 

5
35

Câu 38: Cho cấp số nhân có u1  1; u6  0.00001 . Khi đó cơng bội q và số hạng tổng quát là
A. q 

1
1
, un  n 1
10
10

B. q  

1
, un  10n 1
10

C. q  

1
1
, un  n 1
10
10

1
D. q   1 , un   n  1
10
10

n

u
1
n 1

u u
.un . Giá trị tổng S  u1  2  3  ...  10 là
Câu 39: Cho dãy số  un  xác định bởi u1  và un 1 
3
3n
2 3
10
A.

3280
6561

B.

29524
59049

Câu 40: Cho cấp số nhân  un  có un  24;
A.

3
67108864

B.

C.

25942
59049

D.

1
243

u4
16384 . Số hạn thứ 17 của cấp số nhân là
u11

3
268435456

C.

3
536870912

D.

3
214783648

ĐÁP ÁN VÀ LỜI GIẢI BẢI TẬP TỰ LUYỆN DẠNG 2
1-C
11-A
21-A
31-B

2-C
12-B

22-D
32-D

3-B
13-A
23-C
33-A

4-A
14-A
24-D
34-A

5-D
15-C
25-B
35-C

6-A
16-D
26-D
36-C

7-B
17-A
27-C
37-A

8-B
18-D

28-D
38-D

9-C
19-A
29-C
39-B

10-C
20-D
30-D
40-C

Trang 15


Câu 1:
1 6
6
Ta có u7  u1q � 32   q � q  �2
2
Câu 2:
3 n
.2
un
6
5

2
n


1
�
u

Ta có
và
1
un 1 3 .2n 1
5
5
Câu 3:
Giả sử

1
 un
10103
n 1

ta có un  u1.q

n 1

103

n 1

1
� 1�
� 1� � 1�

� 103  1. �
 � ��
 � �
 � � n  1  103 � n  104
10
� 10 �
� 10 � � 10 �

Câu 4:
1. Sai
4
74
Ta có u5  u1.q , u75  u1q . Do đó u5 và u75 cùng dấu

2. Sai
Vì a, b, c theo thứ tự đó lập thành một cấp số cộng có cơng sai d khác 0 nên b = a + d, c = a + 2d
Suy ra b 2  a 2  2ad  d 2 , c 2  a 2  4ad  4d 2 � a 2  c 2 �2b 2
Vậy a 2 , b 2 , c 2 theo thứ tự khơng lập thành cấp số cộng
3. Đúng
Vì a, b, c theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân có cơng bội d khác 0 nên b  a.d , c  a.d 2
Suy ra b 2  a 2 d 2 , c 2  a 2 d 4 � a 2 c 2   b 2 

2

Vậy a 2 , b 2 , c 2 theo thứ tự lập thành cấp số nhân
Câu 5:
5
Ta có u1  1, u6  0, 00001 � q 

0,00001

1
1
 5 �q
1
10
10

1 �  1
Vậy số hạng tổng quát un  1. �
� �  n 1
10 � 10
�
n 1

n

Câu 6:
Ta có u1  2 và q  2
Tổng n số hạng đầu tiên của cấp số nhân là

 2   1   2 
Sn 
1   2 

n

   2 �1   2
3�

n

�
�

Câu 7:
10
10
Ta có u11  u1.q  1.2  1024

Trang 16


Câu 8:
6
6
7
Ta có u7  u1.q  3.3  3

Câu 9:
u3
3 1 6
3 2 6
3 3 6 2
u2
Ta có u1  .2  , u2  .2  .2, u3  .2  .2 �  2,  2
5
5
5
5
5

5
u1
u2
6
Vậy cấp số nhân cần tìm có u1  , q  2
5
Câu 10:
1
u
u
Ta có q 3  5  64 � q  4 � u  2  4  1
1
u2
q 4 16
Câu 11:
Số hạng tổng quát của cấp số nhân là un  3.  2 
Ta cần tìm n sao cho un  192 � 3.  2 

n 1

n 1

 192 � n  7

Câu 12:
q10  1
 4092
Ta có u10  u1.q � q  2 . Do đó S10  u1.
q 1
9

Câu 13:
Ta có u2  u1 .q  16; u3  u2 .q  64; u4  u3 .q  256 .
Câu 14:
1�
n 1 � 1 �
3
2 �
1
2�
1 �
2un  2
2un 

 �
un 
Ta có un 1  �
� �
�� un 1 
�(1)
3�
n  3n  2 � 3 �
n  2 n 1 �
n  2 3 � n 1 �
Đặt vn  un 

1
2
, từ (1) ta suy ra vn 1  vn
n 1

3

Do đó  vn  là cấp số nhân với v1  u1 

1 1
1
 , công bội q 
2 2
2

n 1

n 1

n 1

1 �2 �
1
1 �2 �
1 �2 �
1
Suy ra vn  v1q n 1  . � � � un 
 . � � � un  . � � 
2 �3 �
n  1 2 �3 �
2 �3 � n  1
2017

1 �2 �
1

22016
1
Vậy u2018  . � � 
 2017 
2 �3 �
2019 3
2019
Câu 15:
u1  1
�
1  2n 1
Ta có 1, 2, 22 ,..., 2 n là cấp số nhân với �
nên 1  2  22  ...  2n 
 2n 1  1
q

2
1 2
�
S  3  1  2  22  ...  2 n   3  2n 1  1
Câu 16:
Trang 17


Ta có S10  u1.

1  q10
1  210
 3.
 3.  210  1

1 q
1 2

Câu 17:
3
3
Ta có u2020  u2017 .q � q  1000 � q  10 � u1 

� S10  u1.

u2017
1
 2016
u2016 10

q10  1
1 1010  1 1010  1
 2016 .

q  1 10
9
9.102016

Câu 18:
Xét cấp số nhân  un  với u1  2, q  2
Ta có 1  2  22  23  ...  2100  1  S100  1 

2.  1  2100 
1 2

 2101  1

Câu 19:
Xét cấp số nhân  un  với u1  5, q  2
n 1
n 1
n 1
8
Ta có un  u1.q � 1280  5.2 � 2  2 � n  9

Vậy cấp số nhân đã cho có 9 số hạng
Câu 20:
4
4
Xét cấp số nhân  un  với u1  2, q  3 . Suy ra u5  u1.q  2.3  162

Câu 21:
8
8
Ta có u9  u1.q  1.3  6561

Câu 22:
1
1
1
Ta có u1  , u2  � q 
3
9
3
Câu 23:

1
u
1
1
1
Xét cấp số nhân với u1  , q  có q  1 nên S  1  4 
1 q 1 1 3
4
4
4
Câu 24:
1
1
u1

Ta có u1  , q   � S 
9
3
1 q

1
1
9

� 1 � 12
1 �
 �
� 3�

Câu 25:

Ta có

u1  1, q 

1
u
1
�S  1 
2
2
1 q 1 1
2

Câu 26:
Trang 18


31
� 26

2
�
u1  1  q  q   31 �
1 q
1  q  q2
u1  u2  u3  31 �
�
�
��
��

� 26  1  q  q 2   31 1  q 2 
Ta có �
2
26
u

u

26
� 1 3
� u1  1  q   26
� u1 
�
�
 1 q2 
�
2

q5
�
�u  1
�
� 5q  26q  5  0 �
� �1
1
�
u1  25
q
�
� 5

2

Câu 27:
Ta có u1 

12
24
, u2 
�q2
5
5

Câu 28:
�
q  3
�
u2  2
�u1q  2
�
�
�� 4
�� 2
Ta có �
u

54
u
q

54

u1 
5
�
1
�
�
� 3
�
2 1  31000 31000  1
Vậy S1000  .

3 2
3
Câu 29:
4
�
�
u5  u2  36
�
�u1  q  q   36
��
� 48  q 4  q   36  q 5  q 3 
Ta có �
5
3
u6  u4  48 �
u1  q  q   48
�
�
�

� 4q 4  4q  3q5  3q3 � 3q 5  4q 4  3q 3  4q  0 � q  q  1  q  2   3q 2  q  2   0
� q0
� q  1
36
�
2
� q  2 (do q �0; q �1) � u1  4
� q2
q q
� 2
3q  q  2  0
�
Câu 30:
Ta có 1; 21 ; 2 2 ; 23 ; 2 4 là một cấp số nhân với u1  1; q  2 có 5 số hạng
� S  u1

qn 1
25  1
 1.
 25  1  31M31
q 1
2 1

Câu 31:
Từ giả thiết u3  24 và u4  48 suy ra q  2
Lại có u1 

u3 24


6
q2
4

Vậy S5  u1

1  q5
31
 6.
 186
1 q
1

Câu 32:
Trang 19


Giả sử số 222 là số hạng thứ n
n 1

Ta có un  u1q

n 1

n 1

�1�
� 1�
� 222  3. �
 � ��

 �  74 (không tồn tại n �� thỏa mãn)
� 2�
� 2�

Vậy 222 không là số hạng của cấp số nhân
Câu 33:
�u1q  q 2  1  54
q2
�
�u1q 3  u1q  54
�u4  u2  54
�q  2
�
�
�� 4
��
��
��
�
2
2
u5  u3  108
u1q  q  1  54
u1  9
u1q  u1q  108
u1q 2  q 2  1  108
�
�
�
�

�
�
Câu 34:
�u1q 3  u1q  54  1
�u4  u2  54
�
�
� 4
u5  u3  108
u1q  u1q 2  108  2 
�
�
3
Ta thấy u1q  u1q �0 nên chia phương trình (2) cho phương trình (1) ta được q = 2

Thay q = 2 vào phương trình (1) ta tìm được u1  9
Câu 35:
n 1
n 1
Có un  u1.q � q 

un
192
n 1
�  2  
 64 � n  7
u1
3

Câu 36:

�
u1  2
�
�
�
u1  u3  3
�
u u  3 �
�u1  u3  3
�
�
�u3  1
��
� �1 3
�
Ta có � 2
2
2
u1  u3  5 �
 u1  u3   2u1.u3  5 �u1.u3  2 �
�u1  1
�
�
�
u3  2
�
�
�


�u1  1
u
� q 2  3  2 � q  2 (do q  1 )
Trường hợp 1. �
u3  2
u1
�

Với q  2 thì S10 



u1  1  q10 
1 q



1.  1  25 
1 2

 31





2 1

1
�

q
�
u1  2
�
u
1
2
� q2  3  � �
Trường hợp 2. �
(loại do q  1 )
1
u1 2
�
�u3  1
q
�
2
�

Câu 37:
n
n
� �1 �
� � �1 �
�
3 �
1  � �� 2. �
1  � ��
� �3 �� � �3 ��
3n  1

� �
�
S n  n 1  �
1
1
3
3n.
1
3
3
n

Vậy u1  2; q 

1
2
� u5  u1 .q 4  4
3
3
Trang 20


Câu 38:
5
5
Ta có u6  0.00001 � u1.q  0.00001 � 1.q  0.00001 � q  

� 1 �  1
 1. �
 �  n 1

� 10 � 10
n 1

Mặt khác un  u1.q

n 1

1
10

n

Câu 39:
Theo đề ta có un 1 

u
n 1
1 un
.un � n 1 
3n
n 1 3 n
2

Mà u1 

2

3

10

1
u
1 1 �1 � u 1 �1 � �1 � u
�1 �
nên 2  .  � �; 3  . � � � �;...; 10  � �
3
2 3 3 �3 � 3 3 �3 � �3 � 10 �3 �

1
1
�u �
Do đó dãy � n �là một cấp số nhân có số hạng đầu u1  , cơng bội q 
3
3
�n �
Khi đó S  u1 

u
u2 u3
310  1 59048 29524
  ...  10 


2 3
10 2.310
2.310
59049

Câu 40:

7

u
1
1
�1 �
Từ 4  16384 � 7  16384 � q 7  � �� q 
u11
q
4
�4 �
Ta có un  24 tương ứng khi n = 1
16

3
�1 �
Số hạng thứ 17 của cấp số nhân là u17  24. � � 
�4 � 536870912
Dạng 3: Dựa vào tính chất của cấp số nhân, chứng minh đẳng thức, giải phương trình và ứng dụng
bài tốn thực tế
Phương pháp giải
Áp dụng tính chất : Ba số a, b, c theo thứ tự đó lập thành cấp số nhân thì ac  b 2 hoặc b  ac
Nếu cấp số nhân  un  có số hạng đầu u1 và cơng bội q thì số hạng tổng quát un được xác định bởi công
n 1
thức un  u1.q  n �2 

Tổng của n số hạng đầu tiên
� S n  nu1
�
n

� u1  1  q 
Sn 
�
1 q
�

khi q  1
khi q �1

Ví dụ mẫu
Ví dụ 1.

 y  1

2

Tìm x, y biết 5 x  y; 2 x  3 y; x  2 y theo thứ tự lập thành cấp số cộng và các số

; xy  1;  x  1 theo thứ tự lập thành cấp số nhân
2

Hướng dẫn giải
Trang 21


Ba số 5 x  y; 2 x  3 y; x  2 y theo thứ tự lập thành cấp số cộng nên
2  2 x  3 y    5x  y    x  2 y  � y 

2
x

5

(*)

Ba số  y  1 ; xy  1;  x  1 theo thứ tự lập thành cấp số nhân nên
2

 xy  1

2

2

  y  1

2

 x  1

2

�  xy  1   xy  x  y  1
2

Trường hợp 1. xy  1  xy  x  y  1 � x  y  2
Từ (*) và (**) suy ra x 

2

(**)

10
4
;y
3
3

Trường hợp 2. xy  1   xy  x  y  1 � 2 xy  x  y  0

(***)

� x  0; y  0
4 2 3
Từ (*) và (***) suy ra x  x  0 � �
3
3
�
5
5
x ;y
4
10
�
�
3�
10 4 �
�
�3
�
 ; �

;  0;0  ; � ; �
Vậy các cặp số  x; y  cần tìm là  x; y  ��
�
�
� 4 10 �
�3 3 �
�
Ví dụ 2. Cho a, b, c là ba số hạng liên tiếp của một cấp số nhân. Chứng minh
a)  ab  bc  ca   abc  a  b  c 
3

2
2
2
2
b)  a  b   b  c    ab  bc 

3

2

2
2
2
c)  a  b  c   a  b  c   a  b  c

Hướng dẫn giải
Vì a, b, c là ba số hạng liên tiếp của một cấp số nhân nên b 2  ac
a) Ta có abc  a  b  c   b 3  a  b  c    ab  b 2  bc    ab  bc  ca  (điều phải chứng minh)
3

3

3

3

2
2
2
2
2 2
2 2
4
2 2
2 2
4
2 2
b) Ta có  a  b   b  c   a b  a c  b  b c  a b  2b  b c

 a 2b 2  2ab.bc  b 2c 2   ab  bc  (điều phải chứng minh)
2

2
c) Ta có  a  b  c   a  b  c   �
 a  c   b�
 a  c   b�
�
��
�

�  a  c   b
2

 a 2  2ac  c 2  b 2  a 2  2b 2  c 2  b2  a 2  b 2  c 2 (điều phải chứng minh)
Ví dụ 3. Số đo bốn góc của một tứ giác lập thành cấp số nhân và góc cuối gấp 9 lần góc thứ hai. Tìm số
đo của góc thứ nhất
Hướng dẫn giải
Gọi A, B, C, D theo thứ tự đó là bốn đỉnh của tứ giác thỏa mãn đề bài
��
��
��
Theo bài ra ta có B
Aq; C
Aq 2 ; D
Aq 3
�  9B
�� �
Mặt khác D
Aq 3  9 �
Aq � q 2  9 � q  �3
Trang 22


Với q  3 � B  3 A  0 (loại)
�C
�D
�  3600 � �
Với q = 3 ta có �
A B
A  3�

A  9�
A  27 �
A  3600 � �
A  90
Ví dụ 4. Cho a, b, c là các số nguyên dương thỏa mãn

thành một cấp số nhân và

b
là một số nguyên. Các số a, b, c theo thứ tự lập
a

abc
 b  2 . Tìm a
3

Hướng dẫn giải
Vì a, b, c theo thứ tự lập thành một cấp số nhân nên b  a.q; c  a.q 2
Vì

b
là một số nguyên mà a, b là số nguyên dương nên q là số nguyên dương
a

Ta có

abc
2
 b  2 � a  aq  aq 2  3aq  6 � a  q  1  6
3

Vì a, q ngun dương nên ta có bảng sau
a

 q  1

2

q
Kết luận

1

2

3

6

6

3

2

1

6 1
Loại

3 1
Loại

2 1
Loại

2
Thỏa mãn

Vậy a = 6
3
2
Ví dụ 5. Tìm m để phương trình x   3m  1 x   5m  4  x  8  0 (1) có 3 nghiệm lập thành một cấp số

nhân
Hướng dẫn giải
Giả sử x1 ; x2 ; x3 là ba nghiệm của phương trình (1)

 x  x1   x  x2   x  x3   0
x3   x1  x2  x3  x 2   x1 x2  x2 x3  x3 x1  x  x1 x2 x3  0
Suy ra x1 x2 x3  8
Lại có ba nghiệm x1 ; x2 ; x3 lập thành một cấp số nhân nên
x22  x1 x3 � x23  x1 x2 x3  8 � x2  2
Mà x2 là nghiệm của phương trình (1) nên
23   3m  1 .22   5m  4  .2  8  0 � m  2
Thử lại với m = 2 thì phương trình (1) trở thành
Trang 23


�x  1

x 3  7 x 2  14 x  8  0 � �
x  2 (thỏa mãn)
�
�
x4
�
Vậy m = 2 là giá trị cần tìm
Ví dụ 6. Cho 3 số dương có tổng là 65 lập thành một cấp số nhân tăng. Nếu bớt một đơn vị ở số hạng thứ
nhất và 19 đơn vị ở số hạng thứ ba ta được một cấp số cộng. Tìm 3 số đó
Hướng dẫn giải
Gọi u1 , u2 , u3 theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân
Theo đề bài u1  1, u2 , u3  19 theo thứ tự đó lập thành một cấp số cộng
� u1  u2  u3  65
�u  u  u  65
� �1 2 3
Ta có �
u1  1  u3  19  2u2
u1  2u2  u3  20
�
�
�u1  1  q  q 2   65  1
�u1  u1.q  u1.q 2  65
�
��
��
2
u1  2u1.q  u1q  20
u1  1  2q  q 2   20  2 
�
�

�
Chia vế với vế của (1) cho (2), ta được
� 41 q  q

2

  13  1  2q  q 
2

1  q  q2
65 13


2
1  2q  q
20 4

q3
�
�
� 9 q  30 q  9  0 �
1
�
q
� 3
2

Vì u1 , u2 , u3 theo thứ tự lập thành một cấp số nhân tăng dần nên q  3 � u1  5
Vậy 3 số cần tìm là 5; 15; 45
Ví dụ 7. Cho tam giác ABC vng tại A có ba cạnh CA, AB, BC theo thứ tự lập thành một cấp số nhân có

cơng bội là q. Tìm q
Hướng dẫn giải
Vì tam giác ABC vuông tại A nên BC 2  AB 2  AC 2
Theo giả thiết ta có ba cạnh CA, AB, BC theo thứ tự lập thành một cấp số nhân có cơng bội là q nên
BC  q 2 . AC và AB  q. AC
Do đó BC 2  AB 2  AC 2 � q 4 . AC 2  q 2 . AC 2  AC 2 � q 4  q 2  1  0
�2 1  5
q 
�
2 � q2  1  5
��
(do q 2 �0) � q  � 2  2 5
2
�2 1  5
2
q 
�
�
2
Vì q  0 nên q  2  2 5
2

Trang 24


Ví dụ 8. Cho hình vng C1 có cạnh bằng 1, C2 là hình vng có các đỉnh là các trung điểm của cạnh
hình vng C1 . Tương tự, gọi C3 là hình vng có các đỉnh là trung điểm của các cạnh hình vng C2 .
Tiếp tục như vậy ta được một dãy các hình vng C1 , C2 , C3 ,..., Cn ,... Tính tổng diện tích của 10 hình
vng đầu tiên của dãy
Hướng dẫn giải

Diện tích của hình vng C1 là 1
Độ dài đường chéo hình vng C1 là
Hình vng C2 có cạnh bằng

2

1
đường chéo hình vng C1
2
2

�2�
� Diện tích của hình vng C2 là � �
�2 �
� �
Hình vng C3 có cạnh bằng

1
đường chéo hình vng C2
2
4

�2�
� Diện tích của hình vng C3 là � �
�2 �
� �
Hình vng Cn có cạnh bằng

1

đường chéo hình vng Cn 1
2
2 n1

�2�
� Diện tích của hình vng Cn là � �
�2 �
� �

Do đó, dãy diện tích các hình vuông C1 , C2 , C3 ,..., Cn ,... lập thành cấp số nhân với số hạng đầu
2

�2� 1
q10  1 1023
u1  1, q  �
�2 �
� � S10  u1. q  1  512
� � 2
Ví dụ 9. Để tiết kiệm năng lượng, một công ty điện lực đề xuất bán điện sinh hoạt cho người dân theo
hình thức lũy tiến (bậc thang) như sau: Mỗi bậc gồm 10 số; bậc 1 từ số thứ 1 đến số thứ 10, bậc 2 từ số 11
Trang 25