Bài 3 VI PHÂN – đạo hàm cấp CAO

CHƯƠNG 5. ĐẠO HÀM
BÀI 3. VI PHÂN – ĐẠO HÀM CẤP CAO
Mục tiêu
 Kiến thức
+ Trình bày được định nghĩa vi phân.
+ Trình bày được phương pháp tính gần đúng nhờ vi phân.
+ Trình bày được phương pháp tính đạo hàm cấp 2, cấp 3,…, cấp n.
 Kĩ năng
+ Tính được vi phân của hàm số f  x  tại x0 cho trước.
+

Tìm vi phân của hàm số f  x  .

+

Biết cách tính gần đúng một số dựa vào vi phân.

+ Biết tính đạo hàm cấp 2, cấp 3,…., cấp n.
+ Biết chứng minh được đẳng thức, bất đẳng thức, giải phương trình, bất phương trình liên quan
đến đạo hàm cấp 2,3.

Trang 1


I.

LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM
Vi phân

Cho hàm số y  f  x  xác định trên  a; b  và có đạo hàm tại x � a; b 

Nếu chọn hàm số y  x thì ta
có dy  dx  1.x  x .

. Gọi x là số gia của x .

 x  .x là vi phân của hàm số y  f  x  tại x ứng với số Do vậy ta thường kí hiệu
Ta gọi tích f �
 x  dx .
x  dx và dy  f �

gia x . Kí hiệu df  x  hoặc dy , tức là
dy  df  x   f �
 x  .x .
Ứng dụng của vi phân vào phép tính gần đúng
Cơng thức tính gần đúng nhờ vi phân là

f  x0  x  �f  x0   f �
 x0  .x.
Đạo hàm cấp cao
+ Đạo hàm cấp hai: Cho hàm số f có đạo hàm f �
. Nếu f �cũng có
đạo hàm thì đạo hàm của nó được gọi là đạo hàm cấp hai của f và được
�
kí hiệu là f �
, tức là f �
�
 f�
 �.
+ Đạo hàm cấp n : Cho hàm số f có đạo hàm cấp n  1
( với n  �, n

2 ) là f  n 1 . Nếu f  n 1 cũng có đạo hàm thì đạo hàm

của nó được gọi là đạo hàm cấp n của f và được kí hiệu là



f  n  , tức là



�
f  n  f  n 1 .
+ Ý nghĩa cơ học của đạo hàm cấp hai
Đạo hàm cấp hai

�
s�
 t  là gia tốc tức thời của chuyển động s  s  t 

tại thời điểm t .
II. CÁC DẠNG BÀI TẬP
Dạng 1: Tính vi phân
Bài tốn 1. Tìm vi phân của hàm số
Phương pháp giải

Trang 2


Ví dụ. Cho hàm số y  x3  3x 2  2x  7

a)Tính vi phân của hàm số tại điểm x0  1 ,ứng với
số gia x  0, 02 .
b) Tìm vi phân của hàm số.
a) Tính vi phân của hàm số f  x  tại x0 cho trước:
- Tính đạo hàm của hàm số tại x0 .

Hướng dẫn giải
 f�
 x   3x 2  6 x  2 .
a) Ta có y �
Do đó vi phân của hàm số tại điểm x0  1 ,ứng với

- Vi phân của hàm số tại x0 ứng với số gia x là
df  x0   f �
 x0  .x .

số gia x  0, 02 là
df  1  f �
 1 .x   3.12  6.1  2  .0, 02  0,14 .

b) Tìm vi phân của hàm số f  x  .

 x  .x   3x 2  6 x  2  dx .
b) dy  f �

- Tính đạo hàm của hàm số.

 x  .x .
- Vi phân của hàm số dy  df  x   f �
Ví dụ mẫu

Ví dụ 1. Cho hàm số y  x3  4 x 2  5 . Tính vi phân của hàm số tại điểm x0  1 , ứng với số gia
x  0, 02 .
Hướng dẫn giải
 f�
 x   3x 2  4 x . Do đó vi phân của hàm số tại điểm x0  1 ,ứng với số gia x  0, 02 là
Ta có y �
df  1  f �
 1 .x   3.12  4.1 .0, 02  0, 02 .
Ví dụ 2. Tìm vi phân của hàm số y 

x
x 1
2

Hướng dẫn giải
� x2  1  2 x2
 x2  1
 x2  1
� x �
�
�
y



�
dy

y
dx


dx .
Ta có
�2 �
2
2
2
2
2
�x  1 �  x 2  1
x

1
x

1




Bài tốn 2. Tính gần đúng giá trị của hàm số
Phương pháp giải
Để tính gần đúng giá trị của hàm số f  x 

Ví dụ. Tính gần đúng giá trị của

49, 25 (lấy 5

chữ số thập phân trong kết quả).
tại điểm x   x0  x  cho trước, ta áp dụng

Hướng dẫn giải
 x0  .x . Ta có 49, 25  49  0, 25 .
công thức f  x0  x  �f  x0   f �

 x 
Xét hàm số f  x   x � f �

1
2 x

.

Trang 3


Chọn x0  49 và x  0, 25 , ta có
f  x0  x  �f  x0   f �
 x0  .x
� 49  0, 25 � 49 

1
.0, 25  7  0, 01786
2 49
 7, 01786

Vậy

49  0, 25 �7, 01786 .

Ví dụ mẫu

Ví dụ 1. Tính gần đúng

1
.
0,9995

Hướng dẫn giải
a) Ta có

1
1

.
0,9995 1  0, 0005

Xét hàm số f  x  

1
1
� f�
 x   2 .
x
x

 x0  .x
Chọn x0  1 và x  0, 0005 , ta có f  x0  x  �f  x0   f �
1
�
1 1.  0,0005 
1  0, 0005

1, 0005

Ví dụ 2. Tính gần đúng sin 46�.
Hướng dẫn giải

  �
  sin �
Ta có sin 46� sin  45� 1�
� 
�.
�4 180 �

 x   cos x .
Xét hàm số f  x   sin x � f �
Chọn x0 



 x0  .x
và x 
, ta có f  x0  x  �f  x0   f �
4
180

 �

 
2
2

�
� sin � 


.
��sin  cos .
4
4 180
2
360
�4 180 �
Bài tập tự luyện dạng 1
2
Câu 1: Vi phân của hàm số f  x   3x  x tại điểm x  2 , ứng với x  0,1 là

A. -0,07.

B. 10.

C. 1,1.

D. -0,4.

Câu 2: Vi phân của hàm số y  x 2  5 x bằng biểu thức nào sau đây?
A. dy 

1
2 x  5x

C. dy  

2

dx .

2x  5
2 x  5x
2

dx .

B. dy 
D. dy 

2x  5
x2  5x

dx .

2x  5
2 x2  5x

dx .

Câu 3: Vi phân của hàm số y  x sin x  cos x là
Trang 4


A. dy   2sin x  x cos x  dx .

B. dy  x cos xdx

C. dy  x cos x

D. dy   sin x  cos x  dx

� 3 �
Câu 4: Dùng công thức vi phân làm tròn đến số thập phân thứ tư của tan � 
�được kết quả
�3 80 �
A. 1,2608.

B. 1,2611.

C. 1,3391

D. 1,3392.

Câu 5: Khẳng định nào sau đây đúng?
A.

d  sin x 
  cot x .
d  cos x 

B.

d  sin x 
  tan x .
d  cos x 

C.

d  sin x 
 cot x .
d  cos x 

D.

d  sin x 
 tan x .
d  cos x 

Câu 6: Cho hàm số y  f  x    x  1 . Biểu thức nào sau đây là vi phân của hàm số f  x  ?
2

A. dy  2  x  1 dx .

B. dy   x  1 dx .
2

C. dy  2  x  1 .

D. dy   x  1 dx .

Câu 7: Vi phân của hàm số y  x 3  9 x 2  12 x  5 là
2
A. dy   3 x  18 x  12  dx .

2

B. dy   3x  18 x  12  dx .

2
C. dy    3x  18 x  12  dx .

2
D. dy   3 x  18 x  12  dx

Câu 8: Vi phân của hàm số là y  1  x 2 là
A. dy 
C. dy 

1
1  x2
2x
1  x2

x

B. dy 

dx .

D. dy 

dx .

1  x2
1  x2
1  x2

dx .
dx .

Câu 9: Vi phân của hàm số là y  3 x  2 là
A. dy 

3
dx .
3x  2

B. dy 

C. dy 

1
dx .
3x  2

D. dy 

Câu 10: Vi phân của hàm số y 
A. dy  
C. dy  

8

 2 x  1

3

dx .
2 3x  2

2x  3
là
2x 1
4

2

dx .

B. dy 

2

dx .

D. dy  

4

 2 x  1

1
dx .
2 3x  2

 2 x  1

2

dx .

7

 2 x  1

2

dx .

Câu 11: Hàm số y  x sin x  cos x có vi phân là
A. dy   x cos x  sin x  dx .

B. dy   x cos x  dx .

C. dy   cos x  sin x  dx .

D. dy   x sin x  dx .
Trang 5


Câu 12: Xét hàm số y  f  x   1  cos 2 2 x . Khẳng định nào sau đây đúng?
A. df  x  
C. df  x  

 sin 4 x
2 1  cos 2 2 x
cos 2 x

1  cos 2 x
2

C. dy 

D. df  x  

dx .

Câu 13: Vi phân của hàm số y 
A. dy 

B. df  x  

dx .



4 x x cos 2 x

Câu 14: Cho hàm số y 

dx .

1  cos 2 2 x
 sin 2 x
1  cos 2 2 x

dx .

tan x
là
x

2 x
dx .
4 x x cos 2 x
2 x  sin 2 x

 sin 4 x

B. dy 

 dx .

D. dy 



sin 2 x



4 x x cos 2 x

dx .



2 x  sin 2 x

4 x x cos 2 x

 dx .

1
. Vi phân của hàm số là
3x3

1
A. dy  dx .
4

B. dy 

1
dx .
x4

C. dy  

1
dx .
x4

D. dy  x 4 dx .

Dạng 2: Đạo hàm cấp cao
Bài tốn 1. Tính đạo hàm đến cấp n của hàm số
Phương pháp giải
+ Áp dụng trực tiếp công thức để tính đạo hàm cấp Ví dụ. Tìm đạo hàm cấp 3 của hàm số y  cos 2 x .

�
�
  y�
 . Tính y�
 x0  .
hai y �

Hướng dẫn giải

+ Cấp 3,4… ta tính tương tự.

2
Ta có y  cos x 

1
 1  cos 2 x  � y�  sin 2 x
2

�
�
�
� y�
 2cos 2 x � y�
 4sin 2 x .
Ví dụ mẫu
Ví dụ 1. Tìm đạo hàm cấp 4 của hàm số y 

3x  1
.
x2

Hướng dẫn giải
Ta có y �


7

 x  2

2

2 �
7 �
 x  2 �
�
� 14
�
� y�

4
3
 x  2
 x  2

3 �
4 �
�
�
14 �


42
x

2
�x  2  �


42
 4
�
�
� 168 .
�
�
� y�

�
y

6
4
8
5
 x  2
 x  2
 x  2
 x  2

Ví dụ 2. Tìm đạo hàm cấp 5 của hàm số y  sin 2 2 x .
Hướng dẫn giải

Trang 6


2
Ta có y  sin 2 x 

1
 1  cos 4 x 
2

�
�
�
� y�
 2sin 4 x � y�
 8cos 4 x � y�
 32sin 4 x
� y  4  128cos 4 x � y  5  512sin 4 x
Bài tốn 2. Tính đạo hàm cấp cao của hàm số
Phương pháp giải
Ví dụ. Tìm đạo hàm cấp của hàm số
y  sin x  n ��*  .
Hướng dẫn giải

�
�
 cos x  sin �x  1. �
;
�
�

�
, y�
, y�
Bước 1: Tính y �
. Dựa vào các đạo hàm Ta có: y �
2�
�
vừa tính, dự đốn cơng thức tính y  n  .

�
�
�
y�
  sin x  sin �x  2. �;
2�
�

�
�
 n
, n ��* .  1
Dự đoán: y  sin �x  n �
2�
�
Bước 2: Chứng minh cơng thức vừa dự đốn là Chứng minh  1 bằng quy nạp:
đúng bằng phương pháp quy nạp.



n  1 :  1 Hiển nhiên đúng.



Giả sử  1 đúng với n  k �1 nghĩa là

�
�
y k  sin �x  k �
2�
�
Ta phải chứng minh  1 đúng với n  k  1 nghĩa là
ta phải chứng minh

�
�
y  k 1  sin �x   k  1 �
.  2
2�
�
Thật vậy, xét  2  ta có
VT  y

k 1

�
� �
�
�
�
�

k '
�
�
�
y � �
sin �x  k �
 cos �x  k �
�
2�
2�
�
� �
�

�
�
 sin �x   k  1 � VP .
2�
�
Suy ra  2  đúng,nghĩa là  1 đúng với n  k  1 .
Theo nguyên lí quy nạp ta có cơng thức

�
�
y n  sin �x  n �
, n ��*
2�
�
Trang 7

�
�
�
, y�
, y�
Chú ý: Cần phân tích kĩ các kết quả của đạo hàm y �
, tìm ra quy luật để dự đốn cơng thức
y  n  chính xác
Ví dụ mẫu
Ví dụ 1. Tìm đạo hàm cấp n của hàm số y 

3x  1
.
x2

Hướng dẫn giải

Ta có: y �

7

 x  2

2

�
, y�


7.2

 x  2

Bằng quy nạp ta chứng minh y

3

 n

�
�
, y�


7.2.3

 x  2

4

.

 1 .7.n ! 2

n 1 .  
 x  2
n



Với n  1 ta thấy  2  đúng.



Giả sử  2  đúng với n  k , tức là y

 k

 1 .7.k !

k 1 .
 x  2
k

�
k
k 1
�1 k .7.k �
1 .7.k !.  k  1  1 .7.  k  1 !
Ta có: y  k 1  �  k 1 �   
.

k 2
k 2
� x  2  �
 x  2
 x  2
�
�

Do đó  2  đúng với mọi số tự nhiên n .
Vậy theo nguyên lí quy nạp ta có cơng thức đạo hàm cấp cao của hàm số

 1 .7.n !
3x  1
 n
y
là y 
n 1 .
x2
 x  2
n

Bài toán 3. Chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức, giải phương trình, bất phương trình
Phương pháp giải
Áp dụng quy tắc tính đạo hàm để Ví dụ. Cho hàm số y  x sin x
chứng minh bất đẳng thức, giải Chứng minh x. y�
�
 2  y�
 sin x   xy  0 .
phương trình, bất phương trình.
Hướng dẫn giải
Ta có
y�
  x sin x  �� y '  x�
.sin x  x.  sin x  �
� y�
 sin x  x cos x
�
y�

  sin x  x cos x  '   sin x  �
  x cos x  �
 cos x  x '.cos x  x.  cos x  � 2 cos x  x sin x .
�
 2  y�
 sin x   xy  0
Ta có x. y�

Trang 8


� x  2cos x  x sin x   2  sin x  x cos x  sin x   x 2 sin x  0
� 2 x cos x  x 2 sin x  2 x cos x  x 2 sin x  0
�00
(điều phải chứng minh).
Ví dụ mẫu
�
1  0 .
Ví dụ 1. Cho hàm số y  2 x  x 2 . Chứng minh y 3 . y�
Hướng dẫn giải

Ta có: y �

�
y�




 1  x  �. 2 x  x 2  



 2x  x2 




 �� y '  2

2x  x2



2 x  x2

2 x  x2



  2x  x2    1  x 

2 x  x2

. 2 x  x2  �




2x  x2

2 x  x2

.





2

. 1  x 

2

2



1

 

1
�
y . y�
 1  0 �  2x  x  .
Ta có
 2x  x 
2x  x2 .

1 x

�
2 x  x2 . 1  x 

2x  x2

1 x

1

2

3

2x  x2
2

.

3

3

2

3

 1  0 � 1  1  0

(điều phải chứng minh).
Ví dụ 2. Cho hàm số y 

sin 3 x  cos3 x
�
 y  0.
. Chứng minh y �
1  sin x.cos x

Hướng dẫn giải

Ta có: y 



 sin x  cos x   sin 2 x  cos 2 x  sin x cos x 
1  sin x cos x

 sin x cos x   1  sin x cos x 
1  sin x cos x

 sin x  cos x

�
� y�
 cos x  sin x � y�
  sin x  cos x .

Trang 9

�
 y  0 �  sin x  cos x  sin x  cos x  0 � 0  0 (điều phải chứng minh).
Ta có y �
Ví dụ 3. Cho hàm số y 

2x  4
�
0.
. Giải phương trình y �
x  4x  3
2

Hướng dẫn giải
Ta có y 

2  x  2
2x  4

x  4x  3  x  2 2 1
2

�
2
2
�2  x  2 �
2  x  2   2  2  x  2  .2  x  2  2  x  2   2
� y�
�



�
2
2
2
2
� x  2  2  1 �
�
�
x  2   1�
�
�
�x  2   1�

�
�
�
�
�
�
2

2
x

2

2



�
�
�
� y�
�
2 �
2
��
�
 x  2   1�
��
��
2

2
2
2
4  x  2  �
�
2  x  2   2 �
.2 �
2 x  2
 x  2   1�
 x  2   1�
�
�
�
�
�

�

4
2
�
�x  2   1�
�

2
2
2
�
4  x  2 �
  x  2 1  2  x  2  2�
 x  2   1�
�
�
�
�

4
2
�
 x  2   1�
�
�

2
2
�

4  x  2 �
x  2   3�
�x  2   1�

��
�

.
4
2
�
�x  2   1�
�

2
2
�
4  x  2 �
x  2   3�
�x  2   1�

��
� 0
�
0�
Ta có y �
.
4
2
�

�
x

2

1

 �
�

Điều kiện:  x  2   1 �0 .
2

�
 0 � x  2  0 � x  2 .
Khi đó y�
Bài tập tự luyện dạng 2
3
2
Câu 1: Đạo hàm cấp hai của hàm số f  x   x  x  4 tại điểm x  1 là

A. 1.

B. 10.

C. 4.

D. 16.
Trang 10

Câu 2: Đạo hàm cấp hai của hàm số y 
�

A. y �

10

 x  2

�

B. y �

.

2

3x  1
là
x2

5

 x  2

4

.

5

�

C. y �

 x  2

3

.

�

D. y �

10

 x  2

3

.

� �
�
Câu 3: Cho f  x   sin 3 x . Giá trị của f �
� �bằng
� 2�
A. -9.

B. 0.

C. 9.

D. -3.

Câu 4: Đạo hàm cấp hai của hàm số y  cos 2 x là
�
 2 cos 2 x .
A. y �

�
 2sin 2 x .
B. y �

�
 2 cos 2 x .
C. y �

�
 2sin 2 x .
D. y �

Câu 5: Đạo hàm cấp hai của hàm số y  f  x   x sin x  3 là
�
 x    x sin x .
A. f �

�

 x   2 cos x  x sin x .
B. f �

�
 x   sin x  x cos x .
C. f �

�
 x   1  cos x .
D. f �

Câu 6: Cho hàm số y  f  x   sin x . Khẳng định nào sau đây sai?
� �
 sin �x  �.
A. y �
� 2�

�
 sin  x    .
B. y �

� 3 �
�
�
 sin �x 
C. y �
�.
� 2 �

 4

D. y  sin  2  x 

Câu 7: Đạo hàm cấp hai của hàm số y  sin 5 x cos 2 x là
 49sin 7 x  9sin 3 x .
A. y �

C. y �

49
9
sin 7 x  sin 3 x .
2
2

 49sin 7 x  9sin 3x .
B. y �

D. y �

49
9
sin 7 x  sin 3x .
2
2

Câu 8: Cho hàm số y  sin 2 x . Khẳng định nào sau đây đúng?
�
 0.
A. 4 y  y�

�
0.
B. 4 y  y �

Câu 9: Cho hàm số y 
�
 2
A. y �
�

C. y �

1

 1 x

2

1 x

3

2

tan 2 x .
C. y  y�

D. y 2   y �
  4.
2

2 x 2  3 x
. Đạo hàm cấp hai của f là
1 x
�

B. y �

.

�

D. y �

.

2

1 x

3

.

4

.

2

1 x

�
 0 có nghiệm là
Câu 10: Cho hàm số y  x 3  3x 2  x  1 . Phương trình y �
A. x  2 .

B. x  4 .

C. x  1 .

D. x  3 .

4
4
Câu 11: Cho f  x   x  cos 2 x . Tìm f  x  .
4
A. f  x   24 x  16 cos 2 x .

4
B. f  x   16 cos 2 x .

4
C. f  x   24 x  8sin 2 x .

4
D. f  x   24  16cos 2 x .

Trang 11

Câu 12: Cho hàm số y  x 2  1 khẳng định nào đúng?

 I  y. y� 2 x ;

�
 y�
 II  y 2 . y�
.

A. Chỉ  I  .

B. Chỉ  II  .

C. Cả hai đều đúng.

D. Cả hai đều sai.

Câu 13: Cho hàm số y  1  3 x  x 2 . Khẳng định nào dưới đây đúng?
�
 1 .
A.  y �
  y. y�

�
1
B.  y �
  2 y. y�

�

  y�
C. y. y �
 1

�
1
D.  y �
  y. y�

2

2

2

2

�
�
 1 bằng
Câu 14: Cho hàm số f  x   2 x  1 .Giá trị của f �
A. 3.

B. -3.

C.

3
.
2

D. 0.

�
  .
Câu 15: Cho hàm số f  x   cos 2 x . Tính P  f �
B. P  0 .

A. P  4 .

C. P  4 .

D. P  1 .

� �
��
2 x  �. Nghiệm x ��
0; �của phương trình f  4  x   8 là
Câu 16: Xét hàm số y  cos �
3
� 2�
�
�
A. x 


.
2

B. x  0, x 

Câu 17: Cho hàm số y 


.
6

C. x  0, x 


.
3

D. x  0, x 


.
2

1
. Khẳng định nào dưới đây đúng?
x

�
y3  2  0 .
A. y �

�
y  2  y�
C. y �

 0.

�
y  2  y�
D. y �


2

�
y3  2 .
B. y �

2

�
Câu 18: Cho hàm số y  sin 2 2 x . Giá trị của biểu thức y  3  y �
 16 y�
 16 y  8 là
A. -8.

B. 0.

D. 16sin 4x .

C. 8.

Câu 19: Đạo hàm cấp n của hàm số y  cos 2 x là

�

n
�
 n
2 x  n �.
A. y   1 cos �
2�
�

� �
 n
n
2 x  �.
B. y  2 cos �
2�
�

�
�
 n
n 1
2 x  n �.
C. y  2 cos �
2�
�

�
�
 n
n
2 x  n �.

D. y  2 cos �
2�
�

Câu 20: Đạo hàm cấp n của hàm số y  2 x  1 là
A. y

n

C. y

n

 1


n 1

 1


.3.5...  3n  1

 2 x  1
n 1

2 n 1

.3.5...  2n  1

 2 x  1

2 n 1

.

.

Câu 21: Đạo hàm cấp n của hàm số y 
 n
A. y 

5.  1 .n ! 3.  1 .n !

n 1
n 1 .
 x  2
 x  1
n

n

B. y

n

D. y

n

 1


n 1

 1


n 1

.3.5...  2n  1

 2 x  1

.

2 n 1

.3.5...  2n  3 

 2 x  1

2 n 1

.

2x 1
là
x  3x  2
2

 n
B. y 

5.  1 .n ! 3.  1 .n !

n 1
n 1 .
 x  2
 x  1
n

n

Trang 12


C. y

 n

5.  1 .n ! 3.  1 .n !

:
n 1
n 1 .
 x  2
 x  1
n

n

Câu 22: Đạo hàm cấp n của hàm số y 
A. y

 n

C. y

 n

D. y

n

n

x
là
x  5x  6

n

B. y

 1 .3.n !   1 .2.n !

n 1
n 1 .
 x  3

 x  2
n

5.  1 .n ! 3.  1 .n !


n 1
n 1 .
 x  2
 x  1

2

 1 .3.n !   1 .2.n!

n 1
n 1 .
 x  3
 x  2
n

 n

 n

n

D. y

 n

 1 .3.n !   1 .2.n!

n
n .
 x  3
 x  2
n

n

 1 .3.n !   1 .2.n!

n 1
n 1 .
 x  3
 x  2
n

n

Câu 23: Đạo hàm cấp 2021 của hàm số f  x   cos  x  a  là

�
 2021
 x    cos �
A. f
�x  a  �.
2�
�

�
 2021
 x    sin �
B. f
.
�x  a  �
2�
�

�
 2021
 x   cos �
C. f
�x  a  �.
2�
�

�
 2021
 x   sin �
D. f
�x  a  �.
2�
�

Câu 24: Đạo hàm cấp n của hàm số y  sin 2 x là

�
�

 n
n 1
2 x  n �.
A. y  2 sin �
2�
�

�
�
 n
n 1
2 x  n �.
B. y  2 sin �
2�
�

� �
 n
n
2 x  �.
C. y  2 sin �
2�
�

�
�
 n
n
2 x  n �.
D. y  2 sin �

2�
�

�
 10  �
Câu 25: Cho hàm số y  sin 3 x.cos x  sin 2 x . Giá trị của y � �gần nhất với số nào dưới đây?
�3 �
A. 454492.

B. 2454493.

C. 454491.

D. 454490.

x
Câu 26: Cho hàm số y  sin . Đạo hàm y  n  là
2
A.

1
�
�x
sin �  n �.
n
2
2�
�2

�

�x
B. sin �  n �.
2�
�2

�
�x
n
C. 2 sin �  n �.
2�
�2

D.

1
�x
�
sin �  n �.
n
2
�2
�

Câu 27: Cho hàm số f  x    3x 2  2 x  1 . Tính đạo hàm cấp 6 của hàm số tại điểm x  0 .
9

 6
A. f  0   60480

 6

B. f  0   34560

 6
C. f  0   60480

 6
D. f  0   34560

THAM KHẢO ĐỀ KIỂM TRA 15 PHÚT SỐ 9 VÀ SỐ 10
THAM KHẢO ĐỀ KIỂM TRA HỌC KÌ SỐ 2 VÀ SỐ 3 VÀ SỐ 4

Trang 13


ĐÁP ÁN
BÀI 3. ĐẠO HÀM CẤP CAO – VI PHÂN
Dạng 1. Tính vi phân
1-C
11 - B

2-D
12 - B

3-B
13 - C

4-A
14 - C

5-A

6 -A

7-A

8-B

9-D

10 - A

HƯỚNG DẪN CHI TIẾT
Câu 1.

 x   6x  1 � f �
 2   11 � df  2   f �
 2  x  11.0,1  1,1 .
Ta có: f �
Câu 2.
dx 
Ta có dy  y�

2x  5
2 x2  5x

dx .

Câu 3.
dy   x sin x  cos x  �
dx   1.sin x  x.cos x  sin x  dx  x cos xdx .

Câu 4.

 x   1  tan 2 x .
Xét hàm số f  x   tan x � f �
Chọn x0 


3
 x0  .x
và x  
, ta có f  x0  x  �f  x0   f �
3
80

 �
 �� 3 �
� 3 �
� tan � 
1  tan 2 �
.�
 ��1, 2608 .
��tan  �
3 �
3 �� 80 �
�3 80 �
Câu 5.
d  sin x   sin x  �
dx
cos x



  cot x .
Ta có
d  cos x   cos x  �
sin
x
dx
Câu 6.
2 �
Ta có dy  �
dx  2  x  1 dx .
 x  1 �
�
�

Câu 7.
Ta có dy   x3  9 x 2  12 x  5  �
dx   3x 2  18 x  12  dx .
Câu 8.
Ta có dy 



1  x2  �

�
x
1  x dx 

dx .

2
2
2 1 x
1 x



�
3x  2 dx 

2



Câu 9.
Ta có dy 



3
dx .
2 3x  2
Trang 14


Câu 10.
�
8
�2 x  3 �
dx .

Ta có dy  �
�dx 
2
�2 x  1 �
 2 x  1
Câu 11.
Ta có dy   x sin x  cos x  �
dx   sin x  x cos x  sin x  dx   x cos x  dx .
Câu 12.
Ta có

 1  cos
y�


2 x  � 2.2.cos 2 x.sin 2 x
 sin 4 x
 sin 4 x


� df  x  
dx .
2 1  cos 2 2 x
2 1  cos 2 2 x
1  cos 2 2 x
1  cos 2 2 x
2

Câu 13.
1

1
1
.
. x  tan x .
�
2
�
�
2 x dx
Ta có dy  tan x dx  2 x cos x
�
� x �
�
x
�
�
�1
1
sin x 1 �1
�
.

�2 cos 2 x cos x . 2 x �
�x dx
�
�
x  sin x cos x
.dx
2 x x .cos 2 x







2 x  sin 2 x
4 x .cos

2

x

 .dx

Câu 14.
� 1 3x2
1
�1 �
Ta có dy  � 3 �dx  . 3 2   4 dx .
3 x 
x
�3x �
Dạng 2. Đạo hàm cấp cao
1-C
11 – D
21 - D

2-D
12 - D

22 – D

3 –A
13 – A
23 - C

4-A
14 – A
24 – D

5–B
15 – C
25 - D

6-D
16 – A
26 – A

7-D
17 – D
27 – A

8–B
18 - B

9-B
19 – D

10 – C
20 - D

HƯỚNG DẪN CHI TIẾT
Câu 1.

 x   3x 2  2 x .
Ta có f �
�
�
 x   6 x  2 . Suy ra f �
 1  4 .
Suy ra: f �
Câu 2.
5

Ta có y  3  x  2 � y�

5

 x  2

2

�
� y�


10

 x  2

3

.

Câu 3.
Trang 15


�
 x   3sin 3x , suy ra f �
 x   9sin 3 x .
Ta có f �
� �
� 3
�

Do đó f �
� � 9sin �
� 2�
� 2

�
� 9 .
�

Câu 4.
�
y�
 2 cos x.   sin x    sin 2 x � y�
 2 cos 2 x .

Câu 5.
Ta có y �
 f�
 x    x sin x  3 � sin x  x cos x
Vậy y �
�
�
 f�
 x    sin x  x cos x  � 2 cos x  x sin x .
Câu 6.
Ta có

�
� �
�  �
�
� 3 �
�
�
�
y�
 cos x  sin �x  �� y �
 sin �x   � sin  x    � y�
 sin �x    � sin �x 
�
2�
� 2�
� 2 2�
�
� 2 �

� 3  �
� y  4  sin �x 
 � sin  x  2   sin x .
� 2 2�
 4
Ta có sin  2  x    sin x �y .

Câu 7.
Ta có: y  sin 5 x cos 2 x 

Do đó y �

1
 sin 7 x  sin 3x  .
2

1
1
�
  49sin 7 x  9sin 3 x  .
 7 cos 7 x  3cos 3x  � y�
2
2

Câu 8.
�
 2cos 2 x � y�
 4sin 2 x .
Ta có: y�
�

 4sin 2 x  4sin 2 x .
Xét đáp án A, 4 y  y�
�
 4sin 2 x  4sin 2 x  0 .
Xét đáp án B, 4 y  y �
tan 2 x  2 cos 2 x.
Xét đáp án C, y �

sin 2 x
 2sin 2 x �y .
cos 2 x

Xét đáp án D, y 2   y�
  sin 2 2 x  4 cos 2 2 x �4 .
2

Câu 9.
y  f  x 

2 x 2  3 x
1
1
2
�
�
 2x 1 
� y�
 f�
� y�
 f�


 x  2 
2
3 .
1 x
1 x
 1 x
 1 x

Câu 10.
Trang 16


Tập xác định: D  �.
�
�
 3 x 2  6 x  1 � y�
 6 x  6 � y�
 0 � x 1.
Ta có y �
Câu 11.
�
�
�
 x   4 x3  2sin 2 x , suy ra f �
 x   12 x 2  4cos 2 x � f �
 x   24 x  8sin 2 x .
Ta có: f �
Do đó: f  4  x    f �
�

�
 x   � 24  16 cos 2 x .
Câu 12.

Ta có: y �

x
x 1
2

�
� y�


 x 2  1.
Xét y. y �
2
�
  x 2  1 .
Xét y . y �

x
x2  1

x

1

2

 1 x 2  1

.

 x , do đó khẳng định (I) sai.
1



 x 2  1 x 2  1

1
x2  1

�y�
, do đó khẳng định (II) sai.

Câu 13.
Ta có
�
�
y  1  3 x  x 2 � y 2  1  3 x  x 2 � 2 y. y�
 3  2 x � 2.  y�
 2 �  y �
 1 .
  2 y. y�
  y. y�
2

2

Câu 14.
Ta có:
f  x   2x 1 � f �
 x 

 2 x  1 �

2 2x 1





�
 2x 1
1
1
�
� f�


 x 
2x 1
2x 1
 2 x  1 2 x  1

1

 2 x  1

.


�
�
� f�
 x 

 2 x  1
 2 x  1

3

3

 �

3  2 x  1

2

 2 x  1  2 x  1
3

3



3

 2 x  1

.
5

�
�
 1  3 .
Vậy f �
Câu 15.
�
 x   2sin 2 x � f �
 x   4 cos 2 x .
Ta có: f �
�
    4 .
Do đó: f �
Câu 16.

�
2x  �
 x   2sin �
Ta có: f �
�
3�
�

�
�

� f�
2x  �
 x   4 cos �
�
3�
�
Trang 17

3


�
�
�
� f�
2x  �
 x   8sin �
�
3�
�
� �
� f  4  x   16 cos �2 x  �.
3�
�
Xét phương trình
�  2
� � 
2x  
 k 2 � �
x   k

�
� � 1
3
3
2
 4
.
f  x   8 � cos �
2 x  �  � �
�� �


2

3� 2
�
�
2x   
 k 2 � �
x    k
� 3
� �
6
3
�
�


��
0; �nên chỉ có giá trị x  thỏa mãn.

Mà x ��
2
� 2�
Câu 17.

Ta có y �

1
2
�
� y�
 3.
2
x
x
3

�
Xét đáp án A, y �
y3  2  0 �

2 �1 �
2
.
 2  0 � 6  2  0 (vô lí).
3 � �
x �x �
x

�

Xét đáp án B, y �
y  2  y�
 0�
2

2

2 1
4
� 1 �
.  2�
 2 � 0 � 4  0 (vơ lí).
3
x x
x
�x �
3

�
Xét đáp án C, y �
y3  2 �

2 �1 �
2
.
 2 � 6  2 (vơ lí).
3 � �
x �x �
x

�
Xét đáp án D, y �
y  2  y�
 �
2

2

2 1
2
2
� 1 �
.  2�
 2 �� 4  4 (đúng).
3
x x
x
�x � x

Câu 18.
2
Ta có: y  sin 2 x � y 

1  cos 4 x
�
� y�
 2sin 4 x � y�
 8cos 4 x � y  3  32sin 4 x .
2

 3
�
 16 y�
 16 y  8  32 sin 4 x  8cos 4 x  32sin 4 x  8  1  cos 4 x   8  0 .
Khi đó y  y�

Câu 19.

�
�
� ��
�
�
�
�
 2 cos �
2x  �
;y�
 22 cos �
2x  2 �
; y�
 23 cos �
2x  3 �
Ta có y�
.
2�
2�
2�
�
�

�
�
�
 n
n
2 x  n �.
Bằng quy nạp ta chứng minh được y  2 cos �
2�
�
Câu 20.
1
�

, y�

Ta có y �
2x 1

1

 2 x  1

3

�
�
, y�


3

 2 x  1

5

.

Trang 18


Bằng quy nạp ta chứng minh được y

 n

 1


n 1

.3.5...  2n  3 

 2 x  1

2 n 1

.

Câu 21.
Ta có: y 

5
3

.
x  2 x 1

Bằng quy nạp ta chứng minh được y

 n

5.  1 .n ! 3.  1 .n !


n 1
n 1 .
 x  2
 x  1
n

n

Câu 22.
2
Ta có: x  3  x  2   2  x  3 ; x  5 x  6   x  2   x  3 .

Suy ra y 

3
2


.
x3 x2

 
 
n
� 1 �  1 .1 .n !  1 .n ! � 1 �  1 .n !


,
Mà �
�
� 
n 1
n 1 �
n 1
�x  2 �
 x  2
 x  2  �x  3 �  x  3
n

n

nên ta có y

 n

n

n

n

 1 .3.n !   1 .2.n!

n 1
n 1 .
 x  3
 x  2
n

n

Câu 23.

�
;
 x    sin  x  a   cos �
Ta có f �
�x  a  �
2�
�
�
2
�
�
f�
 x    sin �
�x  a  � cos �x  a 
2�

2
�
�

�
;
�
�

…
2021 �
�
�
�
f  2021  x   cos �x  a 
� cos �x  a  �.
2 �
2�
�
�
Câu 24.

�
�
� ��
�
�
�
�
 2sin �

2x  �
,y�
 2 2 sin �
2x  2 �
, y�
 23 sin �
2x  3 �
;...
Ta có: y�
2�
2�
2�
�
�
�
�
�
 n
n
Bằng phương pháp quy nạp ta chứng minh được y  2 sin �2 x  n �.
2�
�
Câu 25.
Ta có y  sin 3x.cos x  sin 2 x 

1
1
 sin 4 x  sin 2 x   sin 2 x   sin 4 x  sin 2 x  .
2
2

Mặt khác theo quy nạp ta chứng minh được  sin ax 
 10 
Do đó y  x  



 n

  1

n 1

�n
�
a n sin �  ax �.
�2
�



1
1
9
9
 1 410.sin  5  4 x    1 .210.sin  5  2 x    410.sin 4 x  210 sin 2 x 
2
2
Trang 19

� �
 y  10 � � 454490,13
�3 �
Câu 26.
 n
Chứng minh bằng quy nạp y 

1
�x n �
sin � 
�.  1
n
2
�2 2 �

1
x 1
�x  �
 cos  sin �  �.
Với n  1 ta có y �
2
2 2 �2 2 �
 k
Giả sử  1 đúng với n  k , k ��* tức là ta có y 

1
�x k
sin � 
k

2
�2 2

 k 1

Chứng minh  1 đúng với n  k  1 tức là cần chứng minh y

�
�.
�
�x  k  1  �
1
sin � 
�.
k 1
2
2
�2
�

Thật vậy,ta có
� 1
�
� �1
�x k �
�x k
 k �
�
y


sin


cos
�
�
�
�
k
�
k

1
� � �
2
�2 2 �
�2 2
� 2

�x  k  1 
� 1
� k 1 sin � 
2
� 2
�2

�
�.
�

Câu 27.
2
18
Giả sử f  x   a0  a1 x  a2 x  ...  a18 x .

 6
 6
2
12
Khi đó f  x   6!.a6  b7 x  b8 x  ...  b18 x � f  0   720a6 .
9

2
2
k
2
Ta có  3 x  2 x  1    1  2 x  3x    �C9  2 x  3x 
9

9

k

k 0

9

k

k 0

i0

 �C9k �Cki  2 x 

k i

 3x 

2 i

9

k

 ��C9k Cki 2k i  3 x k i
i

k 0 i  0

0 �i �k �9
�
�  k ; i  �  6;0  ,  5;1 ,  4; 2  ,  3;3 
Số hạng chứa x 6 ứng với k , i thỏa mãn �
k i  6
�



0

2
3
� a6   �
C96C60 26  3  C95C51 24  3  C94C42 22  3  C93C33 20  3 � 84
�
�

� f  6  0   720.  64   60480.

Trang 20