HÌNH 11 PHẦN 1 PHÉP BIẾN HÌNH – PHÉP DỜI HÌNH

CHƯƠNG 1: PHÉP DỜI HÌNH VÀ PHÉP ĐỒNG DẠNG TRONG MẶT PHẲNG
BÀI 1: PHÉP BIẾN HÌNH – PHÉP TỊNH TIẾN
Mục tiêu
 Kiến thức
+ Nắm được định nghĩa phép biến hình, một số thuật ngữ và kí hiệu liên quan.
+ Nắm được định nghĩa phép tịnh tiến.
+ Biết vẽ ảnh và xác định được ảnh của một hình qua phép tịnh tiến.
+ Nắm được tính chất của phép tịnh tiến.
 Kĩ năng
+ Biết vận dụng định nghĩa và tính chất của phép biến hình và phép tịnh tiến để xác định ảnh của
một điểm, một đường thẳng,… cho trước.
+ Biết vận dụng phép tịnh tiến để giải một số bài toán về quỹ tích.

Trang 1


I. LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM
1. Phép biến hình
Định nghĩa
Quy tắc đặt tương ứng mỗi điểm M của mặt phẳng với một
điểm xác định duy nhất M’ của mặt phẳng đó gọi là phép
biến hình trong mặt phẳng.
Kí hiệu
Phép biến hình là F và viết F  M   M ' hay M '  F  M  .

Ví dụ. Hình chiếu của điểm A lên đường

Khi đó M’ gọi là ảnh của M qua phép biến hình F.

hình biến điểm A thành H.

thẳng d là điểm H. Khi đó ta có phép biến

Nếu � là một hình nào đó trong mặt phẳng thì ta kí hiệu
�'  F  � là tập hợp các điểm ảnh của M thuộc �. Khi đó
ta nói F biến hình � thành hình �' hay �' từ ảnh của hình
� qua phép biến hình F.
Phép biến hình biến mỗi điểm M của mặt phẳng thành chính

F  A  H được gọi là phép chiếu vng

nó được gọi là phép đồng nhất.

góc lên đường thẳng d.

2. Phép tịnh tiến
Định nghĩa
r
Trong mặt phẳng cho vectơ u . Phép biến hình biến
uuuuu
r r
mỗi điểm M thành điểm M’ sao cho MM '  u gọi là
r
phép tịnh tiến theo vectơ u , kí hiệu Tur
uuuuu
r r
Như vậy Tur  M   M ' � MM '  u .
Nhận xét.
Tính chất
 Phép tịnh tiến theo vectơ-khơng chính là
uuuuuu

r uuuur
r
r
T
M

M
';
T
N

N
'


a) Nếu u  
thì
M
'
N
'

MN
u
phép đồng nhất.
Từ đó suy ra M 'N '  MN .
 Phép tịnh tiến được xác định khi có
b) Phép tịnh tiến biến:
vectơ tịnh tiến, tức là biết điểm đầu,
 Đường thẳng thành đường thẳng song song

điểm cuối của vectơ hoặc biết hướng và
hoặc trùng với nó.
độ dài của vectơ.
 Đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó.
 Phép tịnh tiến bảo toàn khoảng cách giữa
 Tam giác thành tam giác bằng nó.
hai điểm bất kì.
 Góc thành góc bằng nó.


Đường trịn thành đường trịn cùng bán kính.
Biểu thức tọa độ

Trang 2


Trong mặt phẳng Oxy cho điểm M  x; y và vectơ Chú ý. Nếu quên công thức này ta chỉ cần cho
uuuuu
r r
r
MM '  u, từ đó suy ra các tọa độ tương ứng
u a;b .
bằng nhau.
Gọi điểm M ' x'; y' là ảnh của điểm M  x; y qua
r
phép tịnh tiến theo vectơ u .
�x'  x  a
Khi đó �
�y'  y  b
HỆ THỐNG HÓA KIẾN THỨC:

PHÉP TỊNH TIẾN
1. Định nghĩa

uuuuu
r r
Tur  M   M ' � MM '  u

2. Biểu thức tọa độ
u
M  x; y ��
� M ' x'; y'

Tr

�x'  x  a
�
�y'  y b
3. Tính chất
�
Tur  M   M ';Tur  N   N '�
uuuuuu
r uuuu
r
�� M 'N '  MN
� M 'N '  MN
�
Phép tịnh tiến biến:


Đường thẳng thành đường thẳng song song hoặc trùng với nó.



Đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó.



Tam giác thành tam giác bằng nó.



Góc thành góc bằng nó.



Đường trịn thành đường trịn cùng bán kính.

II. CÁC DẠNG BÀI TẬP
Dạng 1: Phép biến hình
Ví dụ mẫu
Ví dụ 1. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, chứng tỏ quy tắc đặt tương ứng điểm M  x; y với điểm M ' y; x
là một phép biến hình.
Hướng dẫn giải
Với mỗi điểm M  x; y , theo quy tắc trên thì ln tồn tại điểm M’ sao cho F  M   M ' y; x .
Như vậy, với mọi điểm M thì ln tồn tại ảnh là M’. (1)
Giả sử qua quy tắc trên, điểm M  x; y có hai ảnh là M ' x'; y' và M '' x''; y''
Trang 3


�x'  y

�x''  y
Ta có �
và �
�y'   x
�y''   x
Suy ra x' x''; y' y''

M ' M ''

 2

Từ (1) và (2), suy ra: quy tắc trên là một phép biến hình.
�x'   x
Ví dụ 2. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, xét phép biến hình sau: F  M  x; y   M ' x'; y' với �
�y'  y  1
a) Xác định ảnh của điểm M  1;2 qua phép biến hình F.
b) Xác định phương trình đường thẳng  ' là ảnh của đường thẳng  : x  y  1 0 qua phép biến
hình F.
c) Xác định phương trình đường trịn  C ' là ảnh của đường trịn  C  qua phép biến hình F:

 C  : x2  y2  2x  4y  1 0
Hướng dẫn giải
�x'   x  1
� M ' 1;3
a) M ' x'; y'  F  M  � �
�y'  y  1  2 1  3
b) M  x; y � thì F  M   M ' x' y' � '
�x'   x
�x   x'
��

Suy ra �
�y'  y  1 �y  y' 1
Lúc đó M   x'; y' 1 � nên   x'   y' 1  1 0 �  x' y' 2  0 � x' y' 2  0
Vậy  ': x' y' 2  0 là ảnh của đường thẳng  qua phép biến hình F.
c) Gọi M  x; y � C  � F  M   M ' x'; y' � C '
�x'   x
�x   x'
��
Suy ra �
�y'  y  1 �y  y' 1
Mà M � C  nên   x'   y' 1  2 x'  4 y' 1  1 0 �  x'   y'  2x' 6y' 6  0
2

2

2

2

2
2
Vậy  C ' : x  y  2x  6y  6  0 là ảnh của đường tròn  C  .

Bài tập tự luyện dạng 1
Câu 1: Quy tắc nào dưới đây là phép biến hình?
A. Điểm O cho trước đặt tương ứng với O, còn nếu M khác O thì M ứng với M’ sao cho
uuuu
r uuuur r
OM  OM '  0 .
B. Điểm O cho trước ứng với điểm O, cịn M khác O thì M ứng với M’ sao cho tam giác OMM’ là tam

giác vuông cân đỉnh O.
C. Điểm O cho trước ứng với điểm O, cịn M khác O thì M ứng với M’ sao cho tam giác MM’ là tam
giác đều.
D. Điểm O cho trước đặt tương ứng với O, còn M khác O thì M ứng với M’ sao cho OM '  2OM .
Trang 4


Câu 2: Cho phép biến hình F đặt tương ứng điểm M  xM ; yM  , điểm M ' x'; y' theo công thức
�x'  xM  1
F :�
. Ảnh của điểm A 1;2 qua phép biến hình F là:
�y'  yM  2
A. A' 1;4

B. A' 2;0

C. A' 1;2

D. A' 0;4

Câu 3: Cho phép biến hình F đặt tương ứng điểm M  xM ; yM  với điểm M ' x'; y' theo công thức
�x'  xM
. Tính độ dài đoạn thẳng PQ với P, Q tương ứng là ảnh của điểm A 1;2 và B 1;2 qua
�
�y'  yM  1
phép biến hình F.
A. PQ  2

B. PQ  2 5

C. PQ  3 2

D. PQ  4 2

Câu 4: Cho phép biến hình F đặt tương ứng điểm M  xM ; yM  với điểm M ' x'; y' theo công thức
�x'  xM  1
x2 y2
F :�
. Viết phương trình elip  E ' là ảnh của elip  E  : 
 1 qua phép biến hình F.
9 4
�y'  yM  1
A.  E ' :
C.  E '

 x  1

2

9

 x  1
:

 y 1


2

4

2

9

1

y2
 1
4

B.  E ' :
D.  E '

 x  1

2

9

 x  1
:
9

 y 1


2

4

2



1

y2
1
4

Dạng 2: Biểu thức tọa độ của phép tịnh tiến
Phương pháp giải

r
Trong mặt phẳng Oxy cho điểm M  x; y và vectơ Ví dụ. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho v   2;3 .
r
u a;b . Gọi điểm M ' x'; y' là ảnh của điểm Hãy tìm ảnh của các điểm A 1;1 , B 4;3 qua phép
r
r
tịnh tiến theo vectơ v.
M  x; y qua phép tịnh tiến theo vectơ u .
Hướng dẫn giải
�x'  x  a
Khi đó: �
�x'  x  2
�y'  y  b
Biểu thức tọa độ của phép tịnh tiến Tvr là �
�y'  y  3
Ta có điểm A 1;1 .

�x'  1  2
A' x'; y'  Tvr  A � �
�y'  1 3
�x'  1
��
� A' 1;2
�y'  2
Tương tự ta có ảnh của B là điểm B' 2;6
Ví dụ mẫu

Trang 5


r
Ví dụ 1. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho v   1; 3 và đường thẳng d có phương trình 2x  3y 5  0.
Viết phương trình đường thẳng d’ là ảnh của d qua phép tịnh tiến Tvr .
Hướng dẫn giải
Cách 1: Sử dụng biểu thức tọa độ của phép tịnh tiến.
Lấy điểm M  x; y tùy ý thuộc d, ta có: 2x  3y  5  0  * 
�x'  x  1 �x  x' 1
��
Gọi M ' x'; y'  Tvr  M  � �
�y'  y  3 �y  y' 3
Thay vào (*) ta được phương trình: 2 x' 1  3 y' 3  5  0 � 2x' 3y' 6  0
Vậy ảnh của d là đường thẳng d': 2x  3y  6  0 .
Cách 2: Sử dụng tính chất của phép tịnh tiến
Do d'  Tvr  d nên d’ song song hoặc trùng với d, vì vậy phương trình đường thẳng d’ có dạng
2x  3y  c  0  ** 
Lấy điểm M  1;1 �d . Khi đó M '  Tvr  M    1 1;1 3   0; 2
Do M '�d' nên 2.0 3. 2  c  0 � c  6

Vậy ảnh của d là đường thẳng d': 2x  3y  6  0
Cách 3: Để viết phương trình d’ ta lấy hai điểm phân biệt M, N thuộc d, tìm tọa độ các ảnh M’, N’ tương
ứng của chúng qua Tvr .
Khi đó d’ đi qua hai điểm M’ và N’.
Ví dụ 2. Trong mặt phẳng Oxy, cho đường trịn  C  có phương trình x2  y2  2x  4y  4  0. Tìm ảnh
r
của  C  qua phép tịnh tiến theo vectơ v   2; 3 .
Hướng dẫn giải
Cách 1: Sử dụng biểu thức tọa độ.
2
2
Lấy điểm M  x; y tùy ý thuộc đường trịn  C  , ta có: x  y  2x  4y  4  0  * 

�x'  x  2 �x  x' 2
��
Gọi M ' x'; y'  Tvr  M  � �
�y'  y 3 �y  y' 3
Thay vào phương trình (*), ta được:

 x' 2

2

  y' 3  2 x' 2  4 y' 3  4  0
2

� x'2  y'2  2x' 2y' 7  0

2
2

Vậy ảnh của  C  là đường tròn  C ' : x  y  2x  2y  7  0

Cách 2: Sử dụng tính chất của phép tịnh tiến.
Dễ thấy  C  có tâm I  1;2 và bán kính R  3 .

Trang 6


Gọi C '  Tvr   C   và I ' x'; y' ; R' là tâm và bán kính của  C ' .
�x  1 2  1
Ta có �
�y  2 3  1
Suy ra I ' 1;1 và R'  R  3 .
Vậy phương trình của đường trịn  C ' là  x  1   y  1  9 .
2

2

Ví dụ 3. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng d :3x  y 9  0 . Tìm phép tịnh tiến theo vectơ
r
v có giá song song với Oy biến d thành d’ đi qua điểm A 1;1 .
Hướng dẫn giải
r
r
v
  0;k  k �0
có
giá
song
song

với
Oy
nên
v
Lấy M  x; y �d � 3x  y  9  0  * 
�x'  x
�x  x'
��
Gọi M ' x'; y'  Tvr  M  � �
�y'  y k �y  y' k
Thay vào (*), ta có 3x' y' k  9  0 hay Tvr  d  d':3x  y  k  9  0
Mà d’ đi qua A 1;1 nên k  5
r
Vậy v   0;5
Ví dụ 4. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai đường thẳng d : 2x  3y 3  0 và d': 2x  3y 5  0. Tìm
r
tọa độ v có phương vng góc với d để Tvr  d  d ' .
Hướng dẫn giải
r
Đặt v   a;b , lấy điểm M  0;1 �d .
Giả sử M ' x'; y'  Tvr  M  .
�x'  a
Ta có �
thay vào d’ ta được phương trình 2a  3b  8.
�y'  1 b
r
Vectơ pháp tuyến của đường thẳng d là n  2;3
r
Suy ra vectơ chỉ phương của d là u   3;2
rr

r r
Do v  u nên vu
.  0 � 3a  2b  0
� 16
a
2a  3b  8 �
�
� 13
��
Ta có hệ phương trình �
3a  2b  0 �
24
�
b 
�
13
r �
16 24 �
Vậy v  � ; �
13 13 �
�
Trang 7


Bài tập tự luyện dạng 2
Câu 1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm A 3;3 . Ảnh của điểm A qua phép tịnh tiến theo vectơ
r
v   1;3 là:
A. A' 2;6

B. A' 2;0

C. A' 4;0

D. A' 2;0
uuur
Câu 2: Cho ba điểm M  2;3 ;N  4;1 ; P  6;5 . Ảnh của N qua phép tịnh tiến theo vectơ MP là:
A. N ' 0;3

B. N ' 3;7

C. N ' 3;7

D. N ' 3;0

Câu 3: Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho điểm M  10;1 và M ' 3;8 . Phép tịnh tiến theo
r
r
vectơ v biến điểm M thành điểm M’, khi đó tọa độ của vectơ v là:
A.  13;7

B.  13; 7

C.  13;7

D.  13;7
r
Câu 4: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai điểm M  0;2 ,N  2;1 và vectơ v 1;2 . Phép tịnh tiến theo
r
vectơ v biến M, N thành hai điểm M’, N’ tương ứng. Tính độ dài M’N’.

A. M 'N '  5

B. M 'N '  7

C. M 'N '  1

D. M 'N '  3

Câu 5: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho ABC biết A 2;4 , B 5;1 ,C  1;2 . Phép tịnh tiến theo
uuur
vectơ BC biến ABC thành A' B'C ' tương ứng các điểm. Trọng tâm G’ của A' B'C ' là:
A. G ' 4;2

B. G ' 4;2

C. G ' 4;2

D. G ' 4;4

Câu 6: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tìm phương trình đường thẳng  ' là ảnh của đường thẳng
r
 : x  2y 1 0 qua phép tịnh tiến theo vectơ v 1;1
A.  ': x  2y  0

B.  ': x  2y  3  0

C.  ': x  2y  1 0

D.  ': x  2y  2  0

Câu 7: Trong mặt phẳng Oxy, cho hai đường thẳng song song d và d’ lần lượt có phương trình là
3x  2y  0 và 3x  2y  1 0 . Phép tịnh tiến theo vectơ nào sau đây biến đường thẳng d thành d’?
r
r
r
r
A. v   1; 2
B. v   1; 2
C. v   1; 1
D. v   1; 1
Câu 8: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, phương trình đường trịn
r
 C  : x2  y2  2x  4y 1 0 qua Tvr với v   1;2 là:

 C '

là ảnh của đường tròn

A.  x  2  y2  6 B.  x  2  y2  6
C. x2  y2  2x  5  0
D. 2x2  2y2  8x  4  0
r
Câu 9: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho v   2;1 và đường thẳng d : 2x  3y  3  0; d1 : 2x  3y 5  0
ur
. Biết vectơ w   a;b có phương vng góc với đường thẳng d để d1 là ảnh của d qua phép tịnh tiến Tuwr .
2

2

Khi đó a  b bằng:

A.

6
13

B.

16
13

C.

8
13

D.

5
13

Câu 10: Cho hình vng ABCD trong đó A 1;1 ,C  3;5 . Phương trình ảnh của đường trịn nội tiếp
r 1 uuur
hình vuông ABCD qua phép tịnh tiến theo vectơ v  AC là:
2

Trang 8


A.  x  3   y  5  4

B.  x  1   y 1  16

C.  x  2   y  1  8

D.  x  3   y 5  16

2

2

2

2

2

2

2

2

ĐÁP ÁN
Dạng 1: Phép biến hình
1 –A
Câu 1:
uuuu
r uuuur r
Ta có OM OM
�

' 0

2–D

3–B

uuuuu
r r
MM ' 0

4 –A

M ' M . Quy tắc đặt này là phép đồng nhất. Do đó chọn A.

Các quy tắc cịn lại khơng là phép biến hình.
+ Đáp án B, C do khơng nói góc vng là góc lượng giác nên ln tồn tại hai ảnh của M.
+ Yếu tố thẳng hàng hay không thẳng hàng đủ để thấy rõ ảnh của M không duy nhất.
Câu 2:
�x'  xM  1 1 1 0
� A' 0;4
Theo cơng thức, ta có: �
�y'  yM  2  2 2  4
Câu 3:
uuur
�x'  xM
Theo cơng thức �
, ta có: P  1;1 ,Q  1;3 � PQ   2;4 � PQ  2 5 .
�y'  yM  1
Câu 4:
Gọi M  xM ; yM  � E  :

xM2 yM2

 1  1
9
4

�x'  xM  1 �xM  x' 1
��
Với F  M   M ' x'; y' � E ' , theo công thức �
�y'  yM  1 �yM  y' 1
Thay vào (1) ta có

 x' 1

2

9

Phương trình của  E ' là

 y' 1


2

4

 x' 1
9

2

1

 y' 1


2

1

4

Dạng 2: Biểu thức tọa độ của phép tịnh tiến
1–B

2 –A

3–C

4 –A

5 –A

6 –A

7–C

8–B

9–C

10 - A

Câu 1:
uuur r
�
�x  3 1 2
�xA'  xA  xvr
r
T
A

A
'
x
;
y
�
AA
'

v
�
� � A'
� A' 2;0 .
 A A
Ta có v  
�

y


3

3

0
�yA'  yA  yvr
�A'
Câu 2:
uuur
Ta có MP   4;2
uuur
Gọi N ' x'; y' là ảnh của N  4;1 qua phép tịnh tiến theo vectơ MP .
�x'  x  a
Áp dụng biểu thức tọa độ của phép tịnh tiến �
, ta có:
�y'  y  b

�x'  4 4 �x  0
��
�
�y'  1 2
�y  3
Trang 9


Vậy N ' 0;3
Câu 3:

uuuuu
r
Ta có MM '   13;7 .
uuuuu
r r
r
Tvr  M   M ' � MM '  v � v   13;7
Câu 4:
�
�Tvr  M   M '
� MN  M 'N ' 
Ta có �
�Tvr  N   N '

 2 0

2

  1 2  5
2

Câu 5:

uuu
r
Ta có tọa độ trọng tâm ABC là G  2;1 ; BC   6;3 .
uur
uur
ur
�

�xG'  2 6  4
�xG'  xG  xuBC
uur  G  G ' x ; y  � GG '  BC �
TuBC
�
� G' 4;2
�
�
G'
G'
uuur
�yG'  1 3  2
�yG'  yG  yBC

Câu 6:
Cách 1:
Chọn A 1;0 � � Tvr  A  A' 2;1 � '
Chọn B 1;1 � � Tvr  B  B' 0;0 � '
Đường thẳng  ' chính là đường thẳng A’B’.
Đường thẳng  ' qua A' 2;1

r
và có một vec tơ pháp tuyến n   1;2

có phương trình là

 ':1 x  2  2 y  1  0 � x  2y  0 .
Cách 2:
Vì Tvr      ' nên  ',  là hai đường thẳng cùng phương. Do đó  ' có dạng x  2y  m 0 .
Chọn A 1;0 � � Tvr  A  A' 2; 1 � ' � m 0

Vậy phương trình đường thẳng  ': x  2y  0
Cách 3:
Sử dụng quỹ tích
Lấy M  xM ; yM  � � xM  2yM  1 0  1
�x'  xM  1 �xM  x' 1
��
Ta có Tvr  M   M ' x'; y' � ' � �
�y'  yM  1 �yM  y' 1
Thay vào (1) ta được  x' 1  2 y' 1  1 0 � x' 2y'  0
Vậy  ': x  2y  0
Nhận xét: Sử dụng cách 3 có tính tư duy cao hơn, nhanh hơn và áp dụng cho nhiều loại hình khác nhau.
Câu 7:
r
Gọi v   a;b là vectơ tịnh tiến biến d thành d’. Khi đó M  x; y �d biến thành điểm M ' x'; y' �d'

Trang 10


�x'  x  a �x  x' a
��
Áp dụng công thức �
�y'  y  b �y  y' b
Thay vào phương trình d ta có 3 x' a  2 y' b  0 � 3x' 2y' 3a  2b  0
Để biến d thành d’ thì 3a  2b  1
r
Chọn a  1; b  1 hay v   1;1 thỏa mãn.
Câu 8:
Cách 1: Theo tính chất của phép tịnh tiến biến đường trịn thành đường trịn có cùng bán kính.
Ta có đường trịn  C  có tâm I  1;2 , bán kính R  6
r

�x'  x  1
Với phép tịnh tiến theo v   1;2 thì ta có �
�y'  y  2
Suy ra Tvr  I   I ' 2;0
Vậy đường trịn  C ' có tâm I ' 2;0 , bán kính R'  R  6 có phương trình  x  2  y2  6 .
2

Cách 2: Sử dụng quỹ tích.
�x'  x  1 �x  x' 1
��
Gọi M  x; y � C  � Tvr  M   M ' x'; y' � �
�y'  y 2 �y  y' 2
Thay x, y vào phương trình đường trịn  C  , ta có:

 x' 1

2

  y' 2  2 x' 1  4 y' 2  1 0 �  x'   y'  4x' 2  0
2

2

2

Vậy  C ' :  x  2  y2  6
2

Câu 9:

r
ur
Đường thẳng d có vec tơ pháp tuyến là n   2;3 � w   2m;3m .
Tuwr  M   M ' 2m;1 3m với M �d .
Twur  d  d ' � d ' có dạng 2x  3y    0
Vì d’ qua M’ nên 4m 3 9m   0 �   3 13m
Vậy d': 2x  3y 3 13m 0 . Để d1 �d' thì 3 13m 5 � m

8
13

ur �
16 24 �
8
w
Suy ra  � ; �� a  b  
13
�23 13 �
Câu 10:
Bán kính của đường tròn  C  là R  2
r 1 uuur
Ta có v  AC   2;2
2
Tâm I của đường tròn là trung điểm của đoạn AC nên I  1;3
�x'  1 2  3
� I ' 3;5
Xét Tvr  I   I ' x'; y' . Ta có �
�y'  3 2  5
Trang 11

r
Qua phép tịnh tiến theo vectơ v ảnh của  C  là đường trịn  C ' có tâm I’ và bán kính R  2.
Vậy ảnh của đường trịn  C  có phương trình là:  C ' :  x  3   y  5  4.
2

2

BÀI 2: PHÉP QUAY
Mục tiêu
 Kiến thức
+ Nắm được định nghĩa phép quay, một số thuật ngữ và kí hiệu liên quan.
+ Nắm vững tính chất phép quay.
+ Nắm được biểu thức tọa độ của phép quay với góc quay đặc biệt.
 Kĩ năng
+

Biết vận dụng định nghĩa và tính chất của phép quay để xác định ảnh của một điểm, một
đường thẳng,… cho trước.

+

Biết vận dụng phép quay để giải một số bài tốn về quỹ tích, chứng minh hai hình bằng nhau.

Trang 12


I. LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM
Định nghĩa phép quay
Cho điểm O và góc lượng giác  . Phép biến hình

biến điểm O thành chính nó, biến mỗi điểm M khác
O thành điểm M’ sao cho OM '  OM và góc lượng
giác  OM;OM ' bằng  được gọi là phép quay
tâm O góc  .
Điểm O được gọi là tâm quay, còn  được gọi là + Chiều dương của phép quay là chiều dương của
góc quay của phép quay đó.
đường trịn lượng giác nghĩa là chiều ngược với
Phép quay tâm O góc  thường được kí hiệu là chiều quay của kim đồng hồ.
+ Khi    2k  1  , k�� thì Q O;  là phép đối

Q O;  .

xứng tâm O.
OM  OM '
�
�
Q O;   M   M ' � ��
OM,OM '   '
+ Khi   2k , k�� thì Q O;  là phép đồng nhất.
�
�
Biểu thức tọa độ của phép quay
Đặc biệt:
Trong mặt phẳng Oxy cho M  x; y , M ' x'; y' và
�x'   y

Nếu   thì �
2
�y'  x
Q O;   M   M '





Nếu   

�x'  x cos  ysin
Khi đó ta có: �
�y'  xsin  ycos
Trong

mặt

phẳng

Oxy,

M  x; y , M ' x'; y' , I  a;b và Q I ;   M   M '

�x'  y

thì �
2
�y'   x

�x'   x
cho Nếu   �
 thì �
�y'   y

�
�x' a   x  a cos   y  b sin
Khi đó ta có: �
�y' b   x  a sin   y  b cos
Tính chất của phép quay

Trang 13


Tính chất 1: Phép quay bảo tồn khoảng cách giữa Nếu Q O;  A  A'
 
hai điểm bất kỳ (hay phép quay là một phép dời
A' B'  AB
hình).
Tính chất 2: Phép quay biến đường thẳng thành
đường thẳng, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng

và

Q O;   B  B'

thì

Nhận xét: Cho đường thẳng d và Q O;   d  d' .

bằng nó, biến tam giác thành tam giác bằng nó, Khi đó:
biến đường trịn thành đường trịn cùng bán kính.
Tính chất 3: Q O;   M   M ' � Q O;   M '  M
(sử dụng cho các bài toán ngược: tìm tạo ảnh).

Nếu  


 k thì d'  d
2

Nếu   k2 ,O tùy ý hoặc   k ,O �d thì
d' �d .
Nếu     k2 ,O �d thì d'/ /d


�
 khi 0   �
�
2
�, d'  �
Nếu 0     thì d
�

�
  a khi �  
�
2





SƠ ĐỒ HỆ THỐNG HĨA

PHÉP QUAY
1. Phép quay tâm O, góc quay 
Kí hiệu Q O;  .
OM  OM '
�
�
Q O;   M   M ' � ��
OM,OM '   '
�
�



Q O;   M  x; y   M ' x'; y'



�x'  xcos  ysin
��
�y'  xsin  ycos
+ Nếu  

�x'   y

thì �
2
�y'  x

+ Nếu   

�x'  y

thì �
2
�y'   x

�x'   x
 thì �
+ Nếu   �
�y'   y
2. Phép quay tâm I  a;b , góc quay 
Q I ;   M  x; y   M ' x'; y'
�
�x' a   x  a cos   y b sin
��
�y' b   x  a sin   y b cos
Trang 14


II. CÁC DẠNG BÀI TẬP
Dạng 1: Khai thác định nghĩa, tính chất và ứng dụng phép quay
Phương pháp giải
+ Sử dụng định nghĩa hoặc tính chất của phép quay.
+ Xác định ảnh của một điểm, một hình qua phép quay.
+ Tìm quỹ tích điểm thơng qua phép quay.
+ Các yếu tố liên quan đến phép quay là tam giác đều, tam giác cân, tam giác vng. Từ đó ứng dụng
phép quay để giải bài tốn hình học khác.
Ví dụ mẫu
Ví dụ 1. Có bao nhiêu điểm biến thành chính nó qua phép quay tâm O, góc quay     k2 , k ��?
A. Khơng có.

B. Một.

C. Hai.

D. Vơ số.

Hướng dẫn giải
Q O;   M   M khi M �O tâm quay.
Chọn B.
Ví dụ 2. Cho hình chữ nhật ABCD có tâm O. Hỏi bao nhiêu phép quay tâm O, góc quay  ,0 � �2 ,
biến hình chữ nhật thành chính nó?
A. Khơng có.

B. Một.

C. Hai.

D. Vơ số.

Hướng dẫn giải
Khi góc quay   0 hoặc   2 thì phép quay biến hình chữ nhật
thành chính nó.
Chọn C.
Ví dụ 3. Cho tam giác đều ABC có tâm O. Phép quay tâm O góc quay  biến tam giác đều thành chính
nó thì góc quay  là góc nào sau đây?
A.


3

B.

2
3

C.

3
2

D.


2

Hướng dẫn giải
OA  OB
�
�
Q O;   A  B � ��
2
OA,OB   ' 
�
�
3





Chọn B.

Ví dụ 4. Chọn 12 giờ làm mốc, kim giờ chỉ một giờ đúng thì kim phút đã quay được một góc bao nhiêu
độ?
A. 360�

B. 360�

C. 180�

D. 720�

Trang 15


Hướng dẫn giải
Khi kim giờ chỉ đến một giờ đúng thì kim phút quay được đúng một vịng theo
chiều âm và được một góc là 360�.
Chọn B.
Chú ý: Chiều “dương” của góc quay là chiều ngược chiều quay của kim đồng hồ, chiều “âm” của góc
quay là chiều cùng chiều quay của kim đồng hồ.
Bài tập tự luyện dạng 1
Câu 1: Cho hai điểm phân biệt A, B và Q A;30�  B  C . Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. �
ABC  30�

B. �
ABC  90�

C. �
ABC  45�

D. �
ABC  75�

Câu 2: Cho hình vng tâm O. Hỏi có bao nhiêu phép quay tâm O góc quay   0 � �2  biến hình
vng thành chính nó?
A. 1.

B. 2.

C. 3.

D. 4.

Câu 3: Cho tam giác đều ABC. Hãy xác định góc quay của phép quay tâm A biến B thành C?
A.   30�

B.   90�

C.   120�

D.   60�hoặc   60�

Câu 4: Cho ABC đều (thứ tự các đỉnh theo chiều dương lượng giác). Kết luận nào sau đây sai?
A.

Q�  � B  C
�A; �

� 3�

B.

Q�

 C  B

�
�A; �
� 3�

C.

Q�

 C  B

7 �
�A;
�
3�
�

D.

Q�

 A  C

7 �
�A;
�
3�
�

Câu 5: Cho hai đường trịn cùng bán kính  O và  O' tiếp xúc ngồi nhau. Có bao nhiêu phép quay góc
biến hình trịn  O thành  O' ?
A. 0.

B. 1.

C. 2.

D. Vơ số.

Câu 6: Cho hình lục giác đều ABCDEF tâm O. Ảnh của AOF qua phép quay tâm O góc quay 120�là:
A. OAB

B. BOC

C. DOC

D. EOD

Câu 7: Chọn 12 giờ làm mốc, khi kim đồng hồ chỉ 5 giờ đúng thì kim giờ đã quay được một góc bao
nhiêu độ?
A. 270�

B. 360�

C. 150�

D. 135�

Câu 8: Cho hai điểm phân biệt I, M và Q I ;32   M   N . Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. M là trung điểm của đoạn IN.

B. N là trung điểm của đoạn IM.

C. I là trung điểm của đoạn MN.

D. M �N .

Câu 9: Cho hình thoi ABCD có góc �
ABC  60�(các đỉnh của hình thoi ghi theo chiều kim đồng hồ). Ảnh
của cạnh CD qua phép quay Q O;60� là:
A. AB.

B. BC.

C. CD.

D. DA.

Dạng 2: Xác định ảnh của điểm, đường thẳng qua phép quay
Phương pháp giải
1. Xác định ảnh của một điểm qua phép quay: Sử Ví dụ 1. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, phép quay
Trang 16

tâm O góc quay 90�biến điểm M  1;2 thành

dụng biểu thức tọa độ của phép quay.

điểm nào?
Hướng dẫn giải
Biểu thức tọa độ của phép quay
�x'   y
Q O;90� : M  x; y � M ' x'; y' � �
�y'  x
�x'   y  2
Với M  1;2 , ta có: �
�y'  x  1
Vậy M ' 2;1
2. Xác định ảnh  ' của đường thẳng  qua phép Ví dụ 2. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường
thẳng d': 5x  3y  15  0 . Tìm ảnh d’ của d qua

quay.

phép quay Q O;90� với O là gốc tọa độ?
Hướng dẫn giải
Cách 1: Chọn hai điểm A, B phân biệt trên  . Xác Cách 1: Chọn A 0;5 �d, B 3;0 �d
định ảnh A’, B’ tương ứng. Đường thẳng  ' cần tìm
Q O;90�  A  A' 5;0 �d';
là đường thẳng qua hai điểm A’, B’.
Q O;90�  B  B' 0;3 �d'
Đường thẳng d’ là đường thẳng có phương trình
Cách 2: Áp dụng tính chất phép quay Q O; 

là: A' B':3x  5y  15  0
biến Cách 2: Vì góc quay là 90�nên d  d' . Khi đó

3x  5y  c  0
đường thẳng  thành đường thẳng  ' có góc d’ có phương trình là

 , '  

Chọn A 0;5 �d

hoặc   a (đơn vị rađian).

Khi đó Q O;90�  A  A' 5;0 �d ' � c  15

Cách 3: Sử dụng quỹ tích:

Vậy d':3x  5y  15  0
Cách 3: Sử dụng quỹ tích:

+ Với mọi điểm M  x; y � : Q O;   M   M ' x'; y'

Với mọi điểm M  x; y �d thì
Q O;90�  M   M ' x'; y' �d' .

thì M '� '
+ Từ biểu thức tọa độ rút x, y thế vào phương trình
đường thẳng  ta được phương trình đường thẳng

�x'   y �x  y'
��

Ta có biểu thức tọa độ: �
�y'  x
�y   x'
Thay x, y vào phương trình đường thẳng d ta

được: d':3x  5y  15  0.
3. Xác định ảnh của một hình H (đường trịn, elip, Ví dụ 3. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường
parabol,…)
+

Sử

dụng

tròn  C  :  x  1   y  2  4 .
2

quỹ

tích:

Với

mọi

điểm:

2

Tìm ảnh  C ' của đường tròn  C  qua Q O;90�

Trang 17


M  x; y �H : Q O;   M   M ' x'; y' thì M '�H '

Hướng dẫn giải

M x; y � C  thì
+ Với đường trịn áp dụng tính chất của phép quay Với mọi 
biến đường trịn thành đường trịn có cùng bán kính
hoặc sử dụng quỹ tích.

Q O;90�  M   M ' x'; y' � C '
�x'   y �y   x'
��
Biểu thức tọa độ �
�y'  x
�x  y'

 C ,

Thay tọa độ vào đường tròn

 y' 1

2

ta có:

   x' 2  4 �  x' 2   y' 1  4

2

2

2

Vậy  C  :  x  2   y  1  4
2

2

Ví dụ mẫu
Ví dụ 1. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, phép quay tâm O góc quay 90�biến điểm M  3;5 thành điểm
nào?
A.  3;4

B.  5;3

C.  5;3

D.  3;5

Hướng dẫn giải
�x'   y  5
Biểu thức tọa độ của phép quay Q O;90� : M  x; y � M ' x'; y' � �
�y'  x  3
�x'  5
Suy ra M ': �
. Vậy M ' 5;3 .
�y'  3

Chọn B.
Cách 2: Biểu diễn tọa độ của điểm M trên hệ trục tọa độ Oxy, ta tìm được ảnh của M qua phép quay là
M ' 5;3 .
Cách 3: Gọi M ' x'; y' .
�
OM  OM '
�x'  5
�
� 34  x'2  y'2
r uuuur
Q O;   M   M ' � �uuuu
��
��
OM.OM '  0 �
3x' 5y'  0
�y'  3
�
Ví dụ 2. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm M  1;1 . Hỏi điểm nào sau đây là ảnh của điểm M qua
phép quay tâm O 0;0 , góc quay 45�?



A. M '



2;0



B. M ' 0; 2



C. M ' 0;1

D. M ' 1;1

Hướng dẫn giải
Xét Q O;90� : M  x; y � M ' x'; y'

Trang 18


�
�x'  xcos  ysin 
�
Biểu thức tọa độ: �
�y'  xsin  ycos 
�
�

2
x
2
2
x
2

2

y
2
2
y
2

�x'  0
� M ' 0; 2 .
Với M  1;1 , ta có: �
�y'  2





Chọn B.
Bài tập tự luyện dạng 2
Câu 1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm A x; y . Biểu thức tọa độ của điểm A'  Q O;90�  A là:
�x'  y
A. �
�y'   x

�x'   y
B. �
�y'  x

�x'   y
C. �
�y'   x

�x'  y
D. �
�y'  x

Câu 2: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm A x; y . Biểu thức tọa độ của điểm A'  Q O;90�  A là:
�x'  y
A. �
�y'   x

�x'   y
B. �
�y'  x

�x'   y
C. �
�y'   x

�x'  y
D. �
�y'  x

Câu 3: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm A 4;1 . Tọa độ của điểm A'  Q O;90�  A là:
A. A' 1;4

B. A' 1;4

C. A' 4; 1

D. A' 4;1

Câu 4: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình vng ABCD tâm I  1;2 , biết điểm A 4;5 . Khi đó với
B xB; yB  , C  xC ; yC  , D  xD ; yD  thì xB.xC .xD bằng:
A. 12.

B. 8.

C. 16.

D. 32.

Câu 5: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng d : x  y  1 0 , điểm I  1;2 , phép quay
Q O;90�  d  d ' . Phương trình đường thẳng d’ là:
A.  x  y  2  0

B. x  y 1 0

C. x  y  3  0

D. x  y  3  0

Câu 6: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm A 0;3 . Ảnh của A qua phép quay A'  Q O;45� là:
�1 3 �
A. A'� ;
�
� 2 2�

�3 1 �
B. A'� ; �
�4 4 �

�3 1 �
C. A'� ;
�
� 2 2�

�3 2 �
D. A'� ;
�
� 2 2�

Câu 7: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho I  2;1 và đường thẳng d : 2x  3y  4  0. Ảnh của d qua
Q I ;45� là:
A.  x  5y  2  3 2  0

B.  x  5y 3 10 2  0

C. x  5y 3 2  0

D.  x  5y 3 11 2  0

2
2
Câu 8: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn  C  : x  y  6x  5  0. Ảnh đường tròn  C ' của

 C

qua Q O;90� là:

A. x2   y  3  4
2

B. x2  y2  6y  6  0

C. x2   y  3  4
2

D. x2  y2  6y 5  0
Trang 19


Câu 9: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho phép quay tâm O góc quay 45�. Ảnh của đường trịn

 C  :  x  1

2

 y2  4 là:
2

2

2

2

2

�
2� �
2�

x


y

A. �
�
�
� 2 � � 2 �
� 4
�
� �
�

2

�
2� �
2�
x


y

B. �
�
�
� 2 � � 2 �
� 4
�

� �
�

�
2� �
2�
x


y

C. �
�
�
� 2 � � 2 �
� 4
�
� �
�

D. x2  y2  2x  2y 2  0

Câu 10: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, viết phương trình các cạnh AC, BC của ABC biết A 1;2 , B 3;4
và cos A 

2
5

,cos B 

3
10

A. AC : x  y 1 0; BC  x  y  5  0

B. AC :3x  y  2  0; BC  x  2y 3  0

C. AC :3x  y 1 0; BC  x  2y  5  0

D. AC :3x  y 4  0; BC  x  2y 2  0
ĐÁP ÁN

1–D

2–D

3–D

4–D

5–B

6–D

7–C

8–D

9–B

Câu 1:
180� 30�
ABC 
 75�
Ta có ABC cân tại A nên �
2
Câu 2:


Có 4 phép quay biến hình vng thành chính nó với các góc quay lần lượt là 0; ; ;2
2
Câu 3:

  60�
�
�  60�nên có hai phép quay Q A;   B  C là �
Vì BAC
  60�
�
Câu 4:
Ta có

Q�

 A  CA do đó D sai.

7 �
�A;
�
3 �

�

Câu 5:
Xét OIO' vng cân tại I. Khi đó Q I ;90�   O    O' .
Vậy có một phép quay thỏa mãn.
Câu 6:
�
Q O;120�  A  E
�
� Q O;120�  AOF   EOD .
Ta có �
Q
F

D


�
�  O;120�
Câu 7:
Mỗi giờ trên mặt đồng hồ ứng với góc  

360�
 30�.
12
Trang 20


  150�
Khi kim đồng hồ chỉ 5 giờ đúng thì kim giờ đã quay theo chiều dương được một góc: 5. 30�

Câu 8:
Vì Q I ;32   M   Q I ;16.2   M   M nên M �N .
Câu 9:
Dễ thấy ACD và ABC đều nên
�
Q O;60�  C   B
�
� Q O;60�  DC   BC .
�
Q O;60�  D   C
�
�
Dạng 2. Xác định ảnh của điểm, đường thẳng qua phép quay
1–B

2 –A

3–B

4–C

5–B

6–D

7–D

8–C

9–A

10 - C

Câu 1:
�x'   y
Ta có Q O;90�  A x; y   A' x'; y' � �
�y'  x
Câu 2:
�x'  y
Ta có Q O;90�  M  x; y   M ' x'; y' � �
�y'   x
Câu 3:
�x'  y  1
Ta có Q O;90�  M  x; y   M ' x'; y' � �
�y'   x  4
Câu 4:
Dựa vào hình vẽ, ta có:
�
Q
 A  B  2;5
�  I ;90�
�
Q I ;180�  A  C  2; 1 � xB .xC .xD   2 . 2 .4  16
�
�
Q
A  D  4; 1
�
�  I ;90�  
Câu 5:

Với mọi điểm I  1;2 �d : Q O;90�  I   I ' 2;1 �d'
Phép quay Q O;90�  d  d' � d  d' .
Do đó d : x  y c  0 . Mà I ' 2;1 �d' nên c  1
Vậy d': x  y 1 0
Câu 6:
Ta có Q O;45�  A x; y   A' x'; y' .

Trang 21


3

�
�x' 
�
x
'

0.cos

45
�

3sin

45
�





�
�
��
Suy ra �
  3cos 45� �y' 
�y'  0.sin 45�
�
�

�3 3 �
2
� A'� ;
�
3
� 2 2�
2

Câu 7:
Với mọi điểm M  x; y �d ta có Q I ;45�  M   M ' x'; y' �d' .
�
�x' 2   x  2 .cos45�  y  1 sin45�  x  2
�
Với I  2;1 , ta có biểu thức tọa độ �
�y' 1 x  2 .sin45� y 1 cos45� x  2


 



�
�
�
�x  2
�
�x  y  1 2 2  2x' �
��
��
�x  1
�x  y  3 2  2y'
�
�

3



1

x'

2
  y  1
2
2
  y  1
2

2
2

2
2

1

y'
2
2
2
1
1
1

x'
y'
2
2
2

Thay x và y vào phương trình đường thẳng d ta được d':  x  5y 3 11 2  0.
Câu 8:
Đường trịn  C  có tâm I  3;0 và bán kính R  2.
�x'  0
Q O;90�  I  x; y   I ' x'; y' � �
� I ' 0;3 .
�y'  3
Đường tròn  C ' có tâm I ' 0;3 và bán kính R'  R  2 nên có phương trình x2   y  3  4
2

Câu 9:

Đường tròn  C  có tâm I  1;0 và bán kính R  2
�
x' 
�x'  1.cos45� 0sin45� �
�
��
Ta có: Q O;45�  I  x; y   I ' x'; y' � �
�y'  1.sin45� 0cos45� �
y' 
�
�
Đường tròn
2

 C '

có tâm

� 2 2�
I '�
�2 ; 2 �
� và bán kính
�
�

2
2 � I '� 2 ; 2 �
�
�
�

�
2
�2 2 �
2

R'  R  2 nên có phương trình là:

2

�
2� �
2�
x


y

�
�
�
� 2 � � 2 �
� 4 .
�
� �
�
Câu 10:
�   . Khi đó sin  1 cos2  
Đặt BAC

1

5

.

Xét phép quay Q A;   B  B' x'; y' �AC .

Trang 22


�
x' 1 2.cos  2.sin  2.
�
�
Ta có biểu thức tọa độ �
�y' 2  2.sin  2cos  2.
�
�
�
x'  1
�
�
Suy ra �
�y'  2 
�
�

2

 2.

1

5
5
2
1
 2.
5
5

2
6 �
� 2
5
� B'�
1
;2 
�
6
5�
� 5
5

Đường thẳng AC qua A và B’ có phương trình là 3x  y  1 0
1
2
Tương tự. Đặt �
.
ABC   . Khi đó sin   1 cos  
10

Xét phép quay Q B;   A  A' x'; y' �BC
�
x' 3  2.cos  2.sin   2.
�
�
Ta có biểu thức tọa độ �
�y' 4  2.sin   2cos  2.
�
�

3

 2.

1

10
10
1
3
 2.
10
10

4

�
x'  3
�
�

Suy ra �
�y'  4 
�
�

8 �
� 4
10
� B'�
3
;4
�.
8
10 �
� 10
10

Đường thẳng BC qua B và A’ có phương trình là x  2y  5  0 .

BÀI 3: KHÁI NIỆM PHÉP DỜI HÌNH – HAI HÌNH BẰNG NHAU
Mục tiêu
 Kiến thức
+ Nắm được định nghĩa phép dời hình.
+ Nắm được định nghĩa hai hình bằng nhau.
+ Nắm được tính chất của phép dời hình.
 Kĩ năng
+

Phân biệt phép biến hình, phép dời hình.

+

Biết vận dụng định nghĩa và tính chất của phép dời hình để vẽ và xác định ảnh của một điểm,
một đường thẳng, một hình cho trước.

Trang 23


I. LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM
Định nghĩa
Nhận xét.
Phép dời hình là phép biến hình bảo tồn khoảng cách giữa hai
Các phép đồng nhất, tịnh tiến, đối
điểm bất kì.
xứng trục, đối xứng tâm và phép quay
đều là những phép dời hình.
Phép biến hình có được bằng cách
thực hiện liên tiếp hai phép dời hình
cũng là một phép dời hình.
Chú ý.

Tính chất
Phép dời hình




a) Nếu một phép dời hình biến ABC

Biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và

thành A' B'C ' thì nó cũng biến

bảo tồn thứ tự giữa các điểm.

trọng tâm, trực tâm, tâm đường tròn

Biến đường thẳng thành đường thẳng, biến tia thành tia, ngoại tiếp, nội tiếp ABC tương ứng
biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó.
thành trọng tâm, trực tâm, tâm đường
Biến tam giác thành tam giác bằng nó, biến góc thành trịn ngoại tiếp, nội tiếp A' B'C ' .
góc bằng nó.

b) Phép biến hình biến đa giác n cạnh



Biến đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính.
thành đa giác n cạnh, biến đỉnh thành
Khái niệm hai hình bằng nhau
đỉnh, cạnh thành cạnh.
Hai hình được gọi là bằng nhau nếu có một phép dời hình biến
hình này thành hình kia.
II. CÁC DẠNG BÀI TẬP
Dạng 1: Phân biệt phép biến hình, phép dời hình
Phương pháp giải
Để chứng minh một phép biến hình là phép dời hình thì cần nắm chắc tính chất “bảo tồn khoảng cách
�
�F  M   M '
� M 'N '  MN .

giữa hai điểm bất kỳ”, tức là phải chỉ rõ M,N : �
�F  N   N '
Ví dụ mẫu
Ví dụ 1. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, phép biến hình nào sau đây là phép dời hình?
a) Phép biến hình F1 biến mỗi điểm M  x; y thành điểm M ' y; x .
b) Phép biến hình F2 biến mỗi điểm M  x; y thành điểm M ' 2x; y
c) Phép biến hình F3 biến mỗi điểm M  x; y thành điểm M ' 3x  1; y  1
Hướng dẫn giải
Lấy hai điểm M  x1; y1  ,N  x2; y2  , ta có MN 

 x2  x1 

2

  y2  y1  .
2

a) Ảnh của M, N qua phép biến hình F1 lần lượt được M ' y1;  x1  , N ' y2;  x2  .

Trang 24


Ta có M 'N ' 

 y2  y1 

2

  x1  x2   MN .
2

Vậy phép biến hình F1 là phép dời hình.
b) Xét ảnh của M, N qua phép biến hình F2 lần lượt là M ' 2x1; y1  , N ' 2x2; y2  .
Ta có M 'N '  4 x2  x1    y2  y1  .
2

2

Để ý rằng, nếu x1 �x2 thì M 'N ' �MN .
Vậy phép biến hình F2 khơng là phép dời hình (vì có một số điểm khơng bảo tồn khoảng cách).
c) Xét ảnh của M, N qua phép biến hình F3 lần lượt được M ' 3x1  1; y1  1 ,N ' 3x2  1; y2  1
Ta có M 'N '  9 x2  x1    y1  y2 
2

2

Nếu x1 �x2 thì M 'N ' �MN .
Vậy phép biến hình F3 khơng là phép dời hình (vì có một số điểm khơng bảo tồn khoảng cách).
Ví dụ 2. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, xét phép biến hình F biến mỗi điểm M  x; y thành điểm
�x'  xcos  ysin  a
M ' x'; y' , trong đó �
, với  , a, b là những số cho trước. Chứng minh F là phép
�y'  xsin  ycos  b
dời hình.
Hướng dẫn giải
�x1 '  x1 cos  y1 sin  a
'
'
Phép biến hình F biến M  x1; y1  tương ứng thành M ' x1; y1 , với �
�y1 '  x1 sin  y1 cos  b





�x2 '  x2 cos  y2 sin  a
'
'
Phép biến hình F biến N  x2; y2  tương ứng thành N ' x2; y2 , với �
�y2 '  x2 sin  y2 cos  b



Ta có: MN 
M 'N ' 

 x2  x1 

 x2 ' x1 '

2

2



  y2  y1  .
2

  y2 ' y1 '

2

 �
 x2  x1  cos   y2  y1  sin �
 x2  x1  sin   y2  y1  cos �
�
� �
�
�
2

2



 x2  x1 



 x2  x1   cos2   sin2     y2  y1   cos2   sin2  



 x2  x1 

2

cos2    y2  y1  sin2    x2  x1  sin2    y2  y1  cos2 
2

2

2

2

2

2

  y2  y1   MN
2

Vậy phép biến hình F là phép dời hình.
Bài tập tự luyện dạng 1
Câu 1: Phép biến hình F là phép dời hình thì:
A. F biến đường thẳng thành đường thẳng song song với nó.
Trang 25