Bài giảng Đại số tuyến tính: Chương 2.4 - TS. Nguyễn Hải Sơn

BÀI 4

1




§4: Hạng ma trận

4.1. Định nghĩa.
- Cho A là một ma trận cỡ mxn và một số k ≤ min{m,n}. Ma
trận con cấp k của A là ma trận có được từ ma trận A bằng cách bỏ
đi (m-k) hàng và (n-k) cột. Định thức của ma trận con cấp k của A
gọi là định thức con cấp k của A.

Ví dụ:

1 2 3 4 


A 2 4 6 8


 3 5 7 9 
234
123

A

 2 3 4
4 6 8



 5 7 9 

12
12

A 
24
12

A

2 4 


4
8



2




§4: Hạng ma trận

-Đ/n: Hạng của ma trận A là cấp cao nhất của các
định thức con khác 0 có trong A.

Kí hiệu: rank(A) hoặc r(A)

3




§4: Hạng ma trận

0 0 0 0


O  0 0 0 0
 0 0 0 0 

A12   0
0 0
A 

0 0
24
13

4




§4: Hạng ma trận

a b c d 
A

x y z t 
5


§4: Hạng ma trận



Ví dụ:

a b c 


A  x y z 
u v w

A có duy nhất 1 định
thức con cấp 3 và đó
là định thức con có
cấp lớn nhất
6




§4: Hạng ma trận

7




§4: Hạng ma trận

8




§4: Hạng ma trận

4.2. Tính hạng của ma trận bằng biến đổi sơ cấp
a. Ma trận bậc thang (ma trận hình thang) là ma trận thỏa mãn
hai tính chất:
(i) Các hàng khác khơng nằm trên các hàng khơng (hàng có tất
cả các phần tử là 0)
(ii) Với 2 hàng khác không, phần tử khác 0 đầu tiên của hàng
trên đứng trước phần tử khác 0 đầu tiên của hàng dưới.
Ví dụ

0
0

A  0

0
 0

1

... ...

0
0
0
0

0
0
0
0

2
0
0
0

...

...
... ...
 3 ...

0 0
0 0 

9



§4: Hạng ma trận

b. Định lí: Nếu A là ma trận bậc thang thì hạng của A
bằng số hàng khác khơng của nó.
Ví dụ:

0
0

rank  0

0
 0

1
0
0
0
0

... ...
0 2
0 0
0 0
0 0

1
0
rank 
0

0

2
1
0

3 4
5 6

1 2 

0 1

0

... ...
... ...
 3 ... 

0 0
0 0 

3

4

10




§4: Hạng ma trận

Chứng minh định lí:
 a11 a12
0 a
22

 ..
..

A0
0
0
0

 ... ...
0
0


... a1r
... a2 r
...

..

... ar r
... 0
... ...
...

0

... a1n 
 a11 a12 .. a1r 
... a2 n  12..r  0 a22 .. a2 r 

A12..r  
... .. 
 ..
.. .. .. 



a
0 .. arr 
... r n 
0
... 0  Các MT con cấp > r

... ...  chứa ít nhất 1 hàng =
... 0 

0
11



§4: Hạng ma trận

Chú ý:

“Sử dụng các phép biến
đổi sơ cấp trên ma trận”

A
Vấn đề:

B

(ma trận bậc thang)

?
r(A) = r(B)
12




§4: Hạng ma trận

Chú ý:

Định lý: Các phép biến đổi sơ cấp không làm
thay đổi hạng của ma trận.

13




§4: Hạng ma trận

A

“biến đổi
sơ cấp

B (ma trận bậc thang)

r(A) = r(B)
14




§4: Hạng ma trận

15




§4: Hạng ma trận
Ví dụ: Tìm hạng ma trận:

1
0

A  0

0
0

3 2 0 1
3 3 4 0
0
0
0

5
0
0

4

1
8 9 1

0 0 0
0 0 0 

 r ( A)  3

16




§4: Hạng ma trận
Ví dụ: Tìm hạng của ma trận:
1
2
A
 4

 1

1

2

0
1 1 3 
5 2 1

7 3 2

17


§4: Hạng ma trận





Lời giải.

1
2
A
 4

 1

1

2

0
1
1 1 3  h2 ( 2) h1 0


h

4
h
0
5 2 1 h  1h


7 3 2
0

3

4

1

1

1 2 0
-1 -5 3
9 10 -1

8 5 2

18


§4: Hạng ma trận


1
2

 4

 1

1 2 0
1 1 2 0 
1 1 3  h2 ( 2) h1 0 1 5 3 



h3  4 h1
0 9 10 1
5 2 1
h4 1h1



7 3 2
0 8 5 2 

1 1 2 0 
2
0
1 1
0 1 5 3 
h3  9h2  0 1 5 3 
h  ( 1) h
 




0 0 35 26 
0 -35 26
h4  8h2  0





0
0
0 0
0 0 -35 26
4

3

 r(A)  3

19





§4: Hạng ma trận
Ví dụ: Biện luận theo m hạng của ma trận
sau:

1 5 6 


A  0 4 7 
0 0 m
0 

m  0  r(A) = 2
m0

 r(A) = 3

20





§4: Hạng ma trận
Ví dụ: Biện luận theo m hạng của ma trận
sau: 1 9
0
7 
0 2

4
8

B
 0 0 ( m20 1) ( m0 1) 


0
0 
0 0

m  1  r ( A)  2
m  1  r ( A)  3
m  1  r ( A)  3

21





§4: Hạng ma trận
Bài tập: Biện luận theo m hạng của ma trận
sau:

 1 2 2  h  h  1 2 2 


c c


A   2 m 1  
  1 5 4 
 2 1 m 
 1 4 5 
2
2

3
3

22




§4: Hạng ma trận
2
1 2



 ...  0 3
6

0 0 3m  42 

3m  42  0  m  14
3m  42  0  m  14

 r(A) = 2
 r(A) = 3
23





§4: Hạng ma trận
Bài tập: Biện luận theo a, b hạng của ma
trận sau:

1
2
A

0

3

2 0 1

1 3 0
3 a b

3 3 1
24