Bài giảng Đại số tuyến tính: Chương 2.5 - TS. Nguyễn Hải Sơn

BÀI 5

1




§5: Hệ phương trình tuyến tính

5.1 Dạng tổng qt và dạng ma trận của hệ
phương trình tuyến tính.
5.1.1. Định nghĩa: Hệ phương trình tuyến tính m phương trình, n
ẩn số có dạng:

a11x1  a12 x2  ...  a1n xn  b1

a21x1  a22 x2  ...  a2 n xn  b2
(*)

...
am1x1  am 2 x2  ...  amn xn  bm
trong đó aij là hệ số của pt thứ i của ẩn xj , bi là hệ số tự do của
phương trình thứ i, xj là các ẩn số (i=1,..,m, j=1,..,n).
2




§5: Hệ phương trình tuyến
tính

- Nếu bi = 0 với mọi i=1,2,…,m thì hệ được gọi là hệ
tuyến tính thuần nhất.
Ví dụ 2 x1  3x2  5 x3  x4  2

 x  2 x  3x  4 x  0
 1
2
3
4

3x1  8 x2  5 x3  3x4  2
  4 x2  2 x3  7 x4  9

Hệ 4 phương trình 4 ẩn
Là hệ không thuần nhất

3




§5: Hệ phương trình tuyến
tính

+ Ma trận A  [aij ]mn gọi là ma trận hệ số của phương trình (*).

 b1 
b 
+ Ma trận b   2  gọi là ma trận hệ số tự do của phương trình (*).
 ... 

 
 bm 

 x1 
x 
2
+ Ma trận x    gọi là ma trận ẩn số của phương trình (*).
 ... 
 
 xn 
4





§5: Hệ phương trình tuyến tính

Ví dụ: Cho hệ phương trình
 2 x1  3 x2  5 x3  x4  2
 x  2 x  3x  4 x  0
 1
2
3
4

 3 x1  8 x2  5 x3  3 x4   2
  4 x2  2 x3  7 x4  9
 2 3 5 1
 1 2 3

4
 ,b 
 A
8 5 3 
3


0

4
2

7



2 
0 
 ,x 
 2 
 
9 

 x1 
x 
 2
 x3 
 
 x4 
5



§5: Hệ phương trình tuyến tính

Ma trận bổ sung của hệ (*):

A


bs

 A 

A

|b

Ví dụ: Cho hệ phương trình
2
2x1  3x2  5x3  x4  2

x  2x  3x  4x  0
1
 1
2
3
4
bs


 A  A  [A|b] 

3
3x1  8x2  5x3  3x4  2

  4x2  2x3  7x4  9
 0

3 5

1 2 

2 3 4 0 
8 5 3  2

4 2 7 9 

Nhận xét: Các hệ số của phương trình thứ i là các phần tử ở hàng thứ
i của Abs và ngược lại.

6




§5: Hệ phương trình tuyến tính

Với các kí hiệu đó, hệ (*) được đưa về dạng

Ax  b (**)
gọi là dạng ma trận của hệ (*).


Ví dụ:
2 x  7 y  z  9
2


3
x

y

4
z

0
 3

5 x  9 y  2 z  5
 5


7
1
9

1   x  9 






4   y   0
2   z   5 
7




§5: Hệ phương trình tuyến tính

5.2. Hệ Cramer
Định nghĩa: Hệ phương trình tuyến tính n pt, n
ẩn số mà ma trận hệ số khơng suy biến được
gọi là hệ Cramer
Ví dụ: Giải hệ phương trình tuyến tính sau:

8




5.2 Hệ Crame

Định lý: Mọi hệ Cramer n pt đều có nghiệm duy
nhất (x1, x2, …,xn) được xác định bởi công
thức
Dj

xj 
D

9




5.2 Hệ Crame

10




5.2 Hệ Crame

Ví dụ: Giải hệ phương trình tuyến tính sau:

11




5.2 Hệ Crame

12




5.2 Hệ Crame

13




5.2 Hệ Crame

14





5.2 Hệ Crame

Bài tập: Giải hệ phương trình sau:
1 1
 x1  x2  2 x3  1
D1  5 1

2 x1  x2  3 x3  5
1 2
3x  2 x  x  1
1 1
2
3
 1

1 1
D 2

2

3 = -8
3 2 1
1

2
3

= -19

1

2

D2  2 5 3 = -29
3 1 1
1 1 1
D3  2 1 5 = -9
3 2 1

15




5.2 Hệ Crame

x1 

D1

x2 

D2

x3 

D3

D
D
D

 19

8

 29
 9

8

8

16



§5: Hệ phương trình tuyến tính
5.3. Giải hệ phương trình bằng PP Gauss

5.3.1. Các phép biến đổi tương đương hệ phương trình

Nhân một số (   0 ) vào 2 vế của 1 PT của hệ.
Đổi chỗ hai PT của hệ.
Nhân một số (
  0 ) vào một PT rồi cộng vào
PT khác của hệ.


 x  y  z  1 pt 32  x  y  z  1


 2 x  y  3 z  2  2 x  y  3 z  2
 x  2y  z  5
2 x  4 y  2 z  10


17





5. Giải hệ PT bằng PP Gauss

Như vậy các phép biến đổi tương đương hệ
PT chính là các phép BĐSC trên dòng của
ma trận bổ sung tương ứng.

VD  x  y  z 1

 x  y  z 1
 x  y  z 1

pt 2(2) pt1 

pt 3pt 2

3
y

5
z

0

2x  y 3z  2 


3y
4
pt 3(1) pt1

 3y  4

 x  2y  z  5

3y  5z  0




1 1 1 1
1 1 1 1
1 1 1 1 


h3 h2

 h2  ( 2) h1 

0 3 0 4
A  2 1 3 2 
  0 3 5 0  
h3  ( 1) h1
0 3 5 0
1 2 1 5
 0 3 0 4 
18




5.3. Giải hệ PT bằng PP Gauss

5.3.2. Định lí Kronecker-Capelli
a. ĐL: Cho hệ phương trình Ax=b
Hệ có nghiệm  r( A)  r( A)
Cụ thể hơn, ta có kết quả sau: Nếu Ax=b là hệ n ẩn số, ta có
+ r( A)  r( A)  hệ vô nghiệm
+ r( A)  r( A)  n  hệ có nghiệm duy nhất
+ r( A)  r( A)  r  n  hệ có vơ số nghiệm phụ thuộc (n-r)
tham số
19




5.3. Giải hệ PT bằng PP Gauss

Chứng minh.

Xét hệ phương trình tổng qt sau:

Giả sử A có hạng là r
20




5.3. Giải hệ PT bằng PP Gauss

Ta có ma trận bổ sung tương ứng

21



5.3. Giải hệ PT bằng PP Gauss

Bằng các phép B ĐSC chuyển ma trận bổ sung
về dạng:
 a '11
 0

 ...

A'   0
 0

 ..
 0


a '12
a '22
...
0
0
..
0

... a '1r
... a '2 r

... ...
... a 'r r
... 0
..
..
... 0

... a '1n b '1 
... a '2 n b '2 
... 
... ...

... a 'r n b 'r 
... 0 br 1 

.. 
..
..
bn 
... 0
22




5.3. Giải hệ PT bằng PP Gauss

Khi đó ta có:
 Nếu r( A)  r( A)
thì tồn tại ít nhất một trong các

br+1, br+2 ,… ,bn khác 0 nên hệ pt vô nghiệm.
 Nếu r( A)  r( A)  n thì hệ là hệ Cramer, nên có
nghiệm duy nhất.
 Nếu r( A)  r( A)  r  n thì chuyển các ẩn xr+1, xr+2,
…, xn sang vế phải ta được hệ:
a '11 x1  a '12 x2  ...  a '1n xr  b1  a '1,r 1 xr 1  ...  a '1,n xn

a '21 x1  a '22 x2  ...  a '2 n xr  b2  a '2,r 1 xr 1  ...  a '2,n xn

...
a 'r 1 x1  a 'r 2 x2  ...  a 'rr xr  br  a 'r ,r 1 xr 1  ...  a 'r ,n xn


23




5.3. Giải hệ PT bằng PP Gauss

 a '11 x1  a '12 x2  ...  a '1n xr  b1  a '1,r 1 xr 1  ...  a '1,n xn

 a '21 x1  a '22 x2  ...  a '2 n xr  b2  a '2,r 1 xr 1  ...  a '2,n xn

...
 a 'r 1 x1  a 'r 2 x2  ...  a 'rr xr  br  a 'r ,r 1 xr 1  ...  a 'r ,n xn

Ta gán cho các ẩn xr+1, xr+2, …, xn các giá trị cụ thể ta sẽ được một hệ
Cramer với r ẩn x1,…,xr. Do đó, trong trường hợp này hệ có vơ số
nghiệm phụ thuộc (n-r) tham số.

Các ẩn x1,…,xr gọi là các ẩn cơ sở (cơ bản), còn xr+1, xr+2, …, xn
gọi là các ẩn tự do hay ẩn phụ (tham số).
24




5.3. Giải hệ PT bằng PP Gauss

5.3.3. Phương pháp Gauss
Hệ Ax=b 

Abs=[A|b]

Bđsc
Bbs=[B|c] (bậc thang)
theo hàng

Khi đó:
+ r(A)=r(B), r(Abs)=r(Bbs)
+ Ax  b  Bx  c
25