De thi hoc sinh gioi toan 9

<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>

Phũng giỏo dc o to

Chi lăng <b>lớp 9 THcs năm học 2008-2009Kỳ thi chọn Học sinh Giỏi </b>

<b>Môn : Toán </b>

Thi gian:

150 phỳt (Khụng k thi gian giao )

( thi gm 01 trang)

<b>Câu 1</b>

(4 điểm).

Giải phơng trình:

x 10

x 3

3

2

x 3

_.

<b>Câu 2 (4 điểm). </b>

<b> </b>

Trên đờng thẳng y =

2

3

_{x + 1, hãy tìm các điểm có tọa độ ngun nằm giữa hai}

đ-ờng thẳng x = -5 và x = 10. (Tọa độ ngun là tọa độ có hồnh độ và tung u l s

nguyờn).

<b>Câu 3</b>

(6 điểm).

Trờn cỏc cạnh AB, BC, CA của tam giác đều ABC lấy theo thứ tự các điểm M, N,

P (khác các đỉnh của tam giác) sao cho AM = BN = CP.

1. Gọi G là trọng tâm tam giác ABC chứng minh GM = GN = GP.

2. Xác định vị trí các điểm M, N, P để chu vi tam giác MNP nhỏ nhất.

<b>Câu 4</b>

(3 điểm).

Cho M là một điểm bất kì nằm trong tam giác đều ABC. Chứng minh rằng từ ba

đoạn MA, MB, MC ta có thể dng c mt tam giỏc.

<b>Câu 5</b>

(3 điểm).

Tỡm tt cả các số nguyên dơng n để: P = n

2012

_{+ n + 1 l s nguyờn t.}

Họ và tên thÝ sinh:... Sè báo danh:...

.. hết .

Phũng giỏo dc o to

Chi lăng <b>Kỳ thi chọn HsG lớp 9 THcsnăm học 2008-2009</b>
<b>Hớng dẫn chấm: To¸n - Líp 9</b>

<b>Chú ý: Các cách giải khác đáp án , mà đúng thì cho điểm theo thang im ó nh.</b>

<b>Cách giải</b> <b>Điểm</b>

</div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2>

<b> Câu 1 </b><i><b>(4 điểm). </b></i> Pt x 3 2 x 3 x 10 6 3 x 3       
 x 3 1 

 x = 4. VËy nghiÖm pt x = 4

2
1
1

<b>Câu 2 </b><i><b>(4 điểm). </b></i>Gọi M(x; y) với x, y đều là số nguyên là điểm phải tìm

<b> </b>y =

2

3_{x + 1 để x, y đều là số nguyên thì x = 3k, k}_Z
x phải thỏa mãn -5  x  10 suy ra -1 k  3, kZ

<b> </b>Vậy các điểm cần tìm là (-3; -1), (0; 1), (3; 3), (6; 5), (9; 7).

1
1
1
1

<b>C©u 3 </b><i><b>(6 điểm).</b></i>

Vẽ hình 0,5

1. Ta cã AM = BN (gt),

Do G là trọng tâm _{ABC đều nên:}
GA = GB và GAM GBN 30   0
Do đó _{GMA =}_{GNB  GM = GN.}
Tơng tự GM = GP. Vậy: GM = GN = GP

1
1
1
2. Từ AMP = BNM = CPN  _{MNP đều}

Suy ra các tam giác cân GMN và GKH đồng dạng
Do đó:

MN GN

KH GH _.

Do GH _{BC  GN}_GH,

V× vËy MN _{KH, dÊu b»ng  N}_H

Hay: M, N, P là trung điểm các cạnh tơng ứng.

Vy chu vi tam giỏc MNP nh nht khi M, N, P là
trung điểm các cạnh tơng ứng ó cho.

1
0,5
0,5
0,5

<b>Câu 4 </b><i><b>(3 điểm).</b></i> _{Không giảm tổng quát giả sư MA}_{MB vµ MA}_MC
Ta chøng minh MA < MB + MC.

Gọi N là giao điểm của AM và BC, ta có AM < AN
Mặt khác N nằm trên đoạn BC nên:

AN < max{AB, AC} = BC AM < BC

Từ _{MBC ta có BC < MB + MC  MA < MB + MC}
Vậy MA, MB, MC là độ dài ba cạnh một tam giác.

<b>1</b>
<b>1</b>
<b>1</b>

<b>C©u 5 </b><i><b>(3 ®iĨm).</b></i>

Víi n = 1 ta cã P = 3 là số nguyên tố

Với n nguyên và n > 1 ta cã: P = n2_(n2010_{- 1) + n}2_{+ n + 1.}

Do: n2010_{- 1 = (n}3₎670_{- 1 chia hÕt cho (n}3_{- 1), vµ n}3_{- 1 = (n}_{- 1)(n}2_{+ n +1)}

Suy ra: P chia hÕt cho n2_{+ n + 1 hay P lµ hỵp sè khi n > 1, n}_N

VËy n = 1.

</div>

<!--links-->