SANG KIEN KINH NGHIEM HOT

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (147.95 KB, 13 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

Céng hoµ x· héi chđ nghÜa ViƯt Nam
Độc lập - Tự do - Hạnh phúc



-S¸ng kiÕn kinh nghiƯm

LÀM THẾ NÀO ĐỂ NẮM VỮNG CÁCH GIẢI CÁC BÀI

TẬP VỀ TỈ LỆ THỨC – DÃY TỈ SỐ BẰNG NHAU

* * *

Giáo viên:

Lấ VN THC

N

ăm học 2011-2012

A . Phần mở đầu:
1- lý do chọn đề tài:

Tốn học khơng những là mơn khoa học có mặt hầu hết trong mọi lĩnh vực của đời
sống xã hội mà nó cịn góp phần quan trọng trong phát triển chủ thể xã hội đó là con ng 
-ời.

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

Là một giáo viên dạy tốn 7 nhiều năm cả chơng trình trình cũ và chơng trình đổi mới
thay sách. Tơi nhận tháy đa phần học sinh lớp 7 (kể cả học sinh có năng lực) từ việ tiếp
thu kiến thức về lý thuyết định nghĩa, tính chất của tỉ lệ thức, tính chất dãy tỉ số bằng
nhau. để vận dụng kiến thức đã học vào việc giải bài tập và tỉ lệ thức học sinh cịn lúng
túng nhiều. Từ việc tìm ra hớng giải quyết đến việc thực hiện các bớc giải, kể cả những
bài tơng đối bình thờng đến những bài tốn khó.

Hơn nữa bản thân tơi nhận thấy kiến thức về tỉ lệ thức, tính chất dãy tỉ số bàng

nhau khá quan trọng trong việc tìm độ dài đoạn thẳng, cạnh của một tam giác, trong các
tam giác đồng dạng (ở lớp 8-9)..vv.

Chính vì vậy sau khi học xong kiến thức về tỉ lệ thức, tính chất của dãy tỉ số bằng
nhau, tôi đã trực tiếp khảo sát học sinh lớp 7/5 ,7/4(lớp tội trực tiếp giảng dạy) ra đề bài
một số dạng toán về kiến thức liên quan đến tỷ lệ thức, tính chất dãy tỷ số bàng nhau và
thấy kết quả nh sau:

Lớp Số HS đợc

khảo sát Số học sinhgiải đợc Số HS biết hớngnhngkhônggiải đợc Số HS không thểgiải đợc

SL % SL % SL %

7/5

7/4 3031 45 13,316,1 67 20.022,6 2019 66,761,3
Đây là một két quả mà tôi không thể không suy nghĩ, trăn trở và băn khoăn. chính vì thế
nên tơi đã đi sâu vào nghiên cứu đề tài này nhằm tìm ra một số ph ơng pháp giải để
giúp học sinh biết vận dụng lý thuyết vào việc thực hành giảI bài tập về tỷ lệ thức.

2 - Giới hạn đề tài:

Đề tài bao gồm các dạng toán liên quan đến tỷ lệ thức, tính chất của dãy tỷ số
bằng nhau trong chơng trình tốn học ở lớp 7 THCS.

Vì điều kiện về thời gian cũng nh trình độ kiến thức cịn hạn chế nên tơi chỉ đi vào
một số vấn đề sau:

2.1- Lý thuyÕt:

+ §Þnh nghÜa vỊ tû lƯ thøc.
 + TÝnh chÊt cđa tû lƯ thøc.

+ TÝnh chÊt cña d·y tû sè b»ng nhau.
 + Các kiến thức liên quan.

2.2- Các dạng toán:

a, liệt kê các tỷ lệ thức từ các phân tử (Nếu có thể).
b, Cho một tỷ lệ thøc, hay suy ra c¸c tû lƯ thøc kh¸c.

c, Tìm các số cha biết khi cho biết tỷ lệ thức hoặc các đẳng thức.

d, Các bài toán thực tế trong đời sống con ngời liên quan đến tỷ lệ thức.
3. Phng phỏp nghiờn cu:

- Đọc các tài liệu tham khảo.

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

4. Thêi gian nghiªn cøu:

Từ tháng11 năm 2010 đến hết tháng 2 năm 2011.

B. Nội dung:

1. Lý thuyết:

1.1- §Þnh nghÜa vỊ tû lƯ thøc:

Tỷ lệ thức là một đẳng thức của hai tỷ số

a c

b d hc a : b = c : d.

1.2- TÝnh chÊt cđa tû lƯ thøc.

+ TÝnh chÊt 1: NÕu

a c

b d th× a.d = b.c

+ TÝnh chÊt 2: NÕu cã: a.d = b.c (a,c,d ≠ 0) th× cã:

a c
b d ;

b d

a c ; 
a b
c d vµ

c d
a b

1.3- TÝnh chÊt cña d·y tû sè b»ng nhau:

a,

a c
b d =

a c a c
b d b d

 


  (b ≠ d)

b,

a c
b d =

m a c m a c m
n b d n b d n

   

 

    (C¸c mÉu số khác 0).

1.4- Các kiến thức có liên quan.

a,Tính chất cơ bản của phân số

.
.
a a m

b b m ( b ≠ 0, m ≠ 0).

:
:
a a m

b b m ( b ≠ 0, n ≠0)

b, Tæng 3 gãc trong mét tam gi¸c b»ng 1800: A


+ B + C


= 1800

c, Quãng đờng đi đợc của chuyển động bằng tích của vận tốc v với thời gian t i ht
quóng ng ú: S =v.t

2 - Các dạng toán, cách giải và bài tập áp dụng.

2.1 - Dng 1: Cho tập hợp các phần tử, hãy liệt kê tất cả các tỷ lệ thức có các số hng
khỏc nhau l cỏc phn t ó cho:

a, Cách giải: sư dơng tÝnh chÊt tû lƯ thøc: NÕu

a c

b d thì a.d = b.c

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

Giải:

Một tû lƯ thøc

a c

b d cã c¸c sè hạng khác nhau nếu: a b, a ≠ c, d ≠ ab, b ≠ c,

b ≠ d, c ≠ d, vµ a.d ≠ b.c . Xét các nhóm 4 phần tử của A, xếp theo thø tù:
Hng dÉn häc sinh xÐt tÝch 2 sè nµy b»ng tÝch 2 sè kia ta cã:

+ Víi nhãm:



4,8,16,32



thì 4 x 32 = 8 x 16 và ta cã 4 tØ lÖ thøc nh sau:

4 16
832 ;

8 32
4 16 ;

4 8
1632 ;

16 32
4  8 .

+ Víi nhãm:



4,8,32,64



th× ta cã: 4 x 64 = 8 x 32, ta cã 4 tØ lÖ thøc sau:

4 32
864 ;

8 64
432 ;

4 16
32 64 ;

32 64
4  8 .

+ Víi nhãm:



8,16,32,64



th× ta cã: 8 x 64 = 16 x 32, ta cã 4 tØ lÖ thøc sau:

8 32
1664 ;

16 64
8 32 ;

8 16
32 64 ;

32 64
8 16 .

Nh vËy ta có 12 tỉ lệ thức có các số hạng khác nhau thc tËp hỵp A.

Giáo viên có thể hớng dẫn thêm: Nếu trong bài tốn này ta khơng địi hỏi các số hạng

khác nhau thì ngồi 12 tỉ lệ thức trên ta cịn có 8 tỉ lệ thức khác nữa:

VÝ dô:

4 8
8 16 ;

8 16
48 ;

4 16
1664 ;

16 64
4 16 ;

8 16
1632 ;

16 32
8 16 ;

16 32
32 64 ;

32 64
16 32

c, bµi tËp vËn dơng:

* Bµi 1: Cho tập hợp A=

2,8,32,128,512

. HÃy liệt kê mọi tỉ lệ thức có các số hạng là các
phần tử cđa tËp hỵp A.

Với bài tập này số lợng học sinh hiểu và nắm bắt đợc cách giải từ việc vận dụng ví dụ mà
giáo viên đã ra có tăng từ 10 em  15 em trong thời gian 15 phút đã làm xong và có
kết quả (có sự giúp đỡ của máy tính bỏ túi). Số học sinh cịn li cng lp c mt s t l
thc.

Giải: từ các phần tử của tập hợp A ta có các hệ thøc:(4 nhóm)
+ 2 x 3 = 8 x 8 tõ hệ thức này có các tỷ lệ thức :

2 8
8 32 vµ

8 32
28

+ 8 x 128 = 32 x 32. Suy ra c¸c tØ lƯ thøc sau:

8 32
32 128 vµ

32 128
8 32 .

+ 32 x 512 = 128 x 128 ta cã hÖ thøc sau:

32 128
128 512 vµ

128 512
32 128.

+ 2 x 512 = 32 x 32 ta cã c¸c tØ lƯ thøc sau:

2 32
32512 vµ

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

Các số hạng khác nhau: có 3 nhóm
Với



2;32;8;128



thi :

+ 2 x 128 = 8 x 32 ta cã c¸c tØ lƯ thøc sau:

8 128 2

32 32 128

;

2 

32 8 128 2



8

vµ

2 8
32 128 .

Với



8;32;128;512



thì:

+ 8 x 512 = 32 x 128 ta cã c¸c tØ lƯ thøc sau:

8 128 512 32 512
;

32 512 32  8 128 vµ

32 8
512 128 .

Với



2;8;128;512



thi:

+ 2 x 512 = 8 x 128 ta cã c¸c tØ lƯ thøc sau:

2 128 8 512 2 8

; ;

8512 2 128 128 512 vµ

128 512
2  8 .

Nh vậy từ các phần tử tập hợp A có thể lập đợc 20 tỷ lệ thức khác nhau.
* Bài 2: Tìm x biết:

a,

60
15
x

x




 b,

2
8

x
x

 


Víi bµi tËp này học sinh muốn tìm giá trị của x phải sư dơng tÝnh chÊt 1 cđa tû lƯ thøc.

60
15
x

x




  x.x = (-15).(-60)  x2 = 900  x= 30

Tơng tự b, Học sinh tìm đợc : x2 = 16  x = 4

d, Bài tập tự giải:

* cú th lp c tye l thức các số sau đây không? nếu lập đợc hãy viết tỉ lệ thức đó:

2,2 ; 4,6 ; 3,3 và 6,7.

* lập tất cả các tỉ lệ thức có thể đợc từ các đẳng thức sau:
a, 7.(-28) = (-49).4

b, 0,36 x 4,25 = 0,9x 1,7

2.2 - D¹ng 2: cho tØ lƯ thøc, h·y suy ra tØ lƯ thøc kh¸c:

a, VÝ dơ: Cho tØ lƯ thøc:

a c
b d ;

h·y chøng minh ta cã tØ lÖ thøc sau:

a c

a b c d ( gi¶ sư a ≠ b; c ≠ d; a,b,c,d ≠ 0 )

b, C¸c cách giải:

* Cách 1: Để chứng minh

a c

a b c d ta xÐt têng tÝch a.(c-d) vµ c.(a-b).

Ta cã: a.(c-d) = ac - ad (1)
 c.(a-b) = ac - cb (2)

Ta l¹i cã:

a c

</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

Tõ (1), (2), (3)  a(c-d) = c(a-b)

Do đó:

a c

a b c d (đpcm)

* Cách 2: Dùng phơng pháp đặt

a c

b d = K th× a = bK ; c = dK

Ta tính giá trị cđa c¸c tû sè:

a c

a b c d theo K ta cã:

( 1) 1

a bK bK K

a b bK b b K K (1)

( 1) 1

c dK dK K

c d dK d d K K (2)

Tõ (1) vµ (2) 

a c

a b c d . (đpcm)

* C¸ch 3: Hoán vị các trung tỷ của tỷ lệ thức:

a c

b d ta đợc 
a b
c d

áp dụng tính chất của dãy tỷ số bằng nhau ta đợc:

a b a b

c d c d

Hoán vị các trung tỷ cña

a a b
c c d




 ta đợc

a c

a b c d . (đpcm)

* C¸ch 4: tõ

a c
b d 

b d

a c  1 1

b d a b c d a c

a c a c a b c d

 

      

  . (đpcm)

Từ 4 cách trên ta đi đến nhận xét. Để chứng minh tỷ lệ thức

a c

b d thờng ta dùng 2 phơng

pháp chính :

Phơng pháp 1: chứng tỏ rằng ad=bc.

Phơng pháp 2: Chứng tỏ 2 tỷ sè

a
b vµ

c

</div>
(7)<div class='page_container' data-page=7>

Nếu trong đề tài đã cho trớc một tỷ lệ thức khác thì ta đặt các giá trị của mội tỷ số ở
tỷ lệ thức đã cho bằng K, rồi tính giá trị của mỗi tỷ số ở tỷ lệ thức phải chứng minh theo K
(cách 2). Cũng có thể ta dùng các tính chất của tỷ lệ thức nhng hốn vị các số hạng tính
chất dãy tỷ số bằng nhau. Tính chất của đẳng thức để biến đổi tỷ lệ thức đã cho đến tỷ lệ
thức phải chứng minh (cách 3 và 4).

c, Bµi tËp vËn dơng:

Bµi 1: cho tû lÖ thøc sau

a c
b d

Hãy chứng minh rằng các tỷ lệ thức sau đây (giả thiết các tỷ lệ thức đều có nghĩa).

a,

2 3 2 3
2 3 2 3

a b c d

 


 

b,

2 2
2 2

ab a b
cd c d







c,

2 2 2
2 2

a b a b

c d c d

 

 

   

  .

Từ 4 cách giải ở ví dụ mà giáo viên đã ra, Học sinh có thể giải theo một cách, Giáo viên
nhấn mạnh giải theo cách 2 và hỡng dẫn học sinh cùng thực hin.

Giải:

Đặt

a c

b d = K thì a = bK vµ c = dK

a,

2 3 2 3 (2 3) 2 3
2 3 2 3 (2 3) 2 3

a b bK b b K K

   

  

    (1).

2 3 2 3 (2 3) 2 3
2 3 2 3 (2 3) 2 3

c d dK d d K K

   

  

    (2).

Tõ (1) vµ (2) 

2 3 2 3
2 3 2 3

a b c d

 



  (đpcm)

Cách giải khác:

Từ

a c a b

b d  c d

Mặc khác

2 3 2 3 2 3
2 3 2 3 2 3

a b a b a b a b

c d c d c d c d

 
    

  (đpcm)

</div>
(8)<div class='page_container' data-page=8>

* Bµi 1: cho a, b, c, d ≠ 0 Tõ tû lÖ thøc

a c

b d h·y suy ra tØ lÖ thøc

a b c d

a c

 




a a c
b b d








2 2
2 2

ab a b
cd c d






* bµi 2: Chøng minh r»ng tû lÖ thøc:

2 2
2 2

a b ab a c

c d cd b d



  

 .

* Bµi 3: Chøng minh r»ng tû lƯ thøc:

a b c a
a b c a

 


   HÖ thức a2 = bc.

2.3 - Dạng III: Tìm các số cha biết khi biết các tỷ lệ thức
a, Cách giải:

* ¸p dông tÝnh chÊt d·y tû sè b»ng nhau.

...

a c a c a c

b d b d b d

 


* Vận dụng tính chất cơ bản cđa ph©n sè.

:
:
a c am cK a n
b d bm dK b n

* Đặt tỷ lệ thức đã cho bằng K. tìm mối quan hệ của ẩn số qua K.
b, Ví dụ:

+ VÝ dơ 1:

T×m 2 sè x, y biÕt: 5 2

x y



vµ x + y = 21
BiÕt: 7x = 3y và x y = 16

Giải:

Từ 5 2

x y



</div>
(9)<div class='page_container' data-page=9>

21
3
5 2 5 2 7
x y x y

   

 Do đó: x = 5.3 = 15 ; y = 2.3 = 6.

Tõ 7x = 3y 

7 3 3 7 4 1
16 4
y x x y

  
   



 x = 
3.4

12
1 

 ; y = 
7.4

28
1 
 .

VÝ dô 2:

Tìm các số x, y, z biết rằng

;
3 4 5 7
x y y z

 

vµ 2x + 3y z = 186

Với bài này giáo viên cho học sinh nhận thấy 4

y

và 5

y

phải đa về các phân số
( hoặc tỉ số) có cùng chung mẫu sè lµ 20.

VËy: 3.5 4.5

x y



hay 15 20

x y



(1)

T¬ng tù: 5 7 20 28

y z y z

  

(2)
Gi¶i:

Tõ gi¶i thiÕt: 15 20

x y



; 20 28

y z



Theo tÝnh chÊt b»ng nhau cđa tØ lƯ thøc:

2 3 2 3 186

3 45; 60; 84
15 20 28 30 60 30 60 28 62

x y z x y x y z

x y z

 

        

c, Bài tập vận dụng:

Tìm các số x, y, z biÕt r»ng:

2 1 3 1

x z y z x y

y x z x y z

   

Giải:

áp dụng tính chất của dÃy tû sè b»ng nhau ta cã:

2 1 3 1 ( 2) ( 1) ( 3)

x z y z x y x z y z x y

y x z x y z x y z

             

   

</div>
(10)<div class='page_container' data-page=10>

=

2( )
2
x y z
x y z

 


  v× ( x + y + z ≠ 0 ). Suy ra: 
1

x y z  = 2  x y z  = 0,5

Do đó: x + y + z = 0,5  x + y = 0,5 – z. Tơng tự tìm x + z và y + z; thay kết quả này vào
đề bài ta đợc:

0,5 1 0,5 2 0,5 3
2

x y z

     

  

.

Tøc lµ:

1,5 0,5 2,5

y z

x y z

  

  

VËy:

1 5 5
; ;
2 6 6

x y z

.
d, Bµi tËp tự giải:

Bài 1: Tìm các số a, b, c biết r»ng:

a, 2 3 4

a b c

 

vµ a + 2b - 3c = -20.

b,

;
2 3 5 4
a b b c

 

vµ a – b + c = -49.

c, 2 3 4

a b c

 

vµ a2 b22c2 108.
Bài 2: Tìm các số x, y, z biết r»ng:

a, 10 6 21

x y z

 

vµ 5x + y - 2z = 28.
b, 3x = 2y ; 7y = 5z vµ x – y + z = 32.

c,

;
3 4 3 5
x y y z

 

vµ 2x – 3y + z = 6.

d,

2 3 4
3 4 5

x y z

 

vµ x + y +z = 49.

e,

1 2 3

2 3 4

x y z
 

vµ 2x + 3y – z = 50.

g, 2 3 5

x y z

 

</div>
(11)<div class='page_container' data-page=11>

Bài tập vận dụng tỷ lệ thức vào thực tiễn, đời sống con ngời, vào hình học .

a, VÝ dơ 1: T×m sè ®o c¸c gãc cđa tam gi¸c ABC biÕt r»ng sè đo các góc này tỷ lệ với 2, 3,
4.

Giải:

Số đo các góc của ABC là A

; B ; C

. Giả sử theo thứ tự này, các góc đó tỉ lệ với 2, 3 và
4 nghĩa là A



: B



: C


= 2 : 3 : 4 hay

0
0

180
20
2 3 4 2 3 4 9
A B C A B C 

    
 

     

Do đó: A400


; B600



; C 800


b, VÝ dô 2:

Một ngời đi A  B đã tính rằng nếu đi với vận tốc là 6km/h thì đến B lúc 11h45’. Vì rằng
ngời đó chỉ đi đợc

5 quãng đờng với vận tốc định trớc và quãng đờng còn lại chỉ đi với

vận tốc 4,5km/h nên đến B lúc 12h. Hỏi ngời đi bộ khởi hành lúc mấy giờ và quãng đờng
AB dài bao nhiêu km ?

Gi¶i:

Gọi AC là quãng đờng đi với vận tốc 6km/h. CB là quãng đờng đi với vận tốc 4,5km/h.
theo đề bài ta có:

A B

CB =

5 AB, Giải sử để đi quãng đờng CB với vận tốc 6km/h cần thời gianlà t1 (h). Còn đi

víi vËn tèc 4,5km/h víi thêi gian t2( h). Ta cã:

t - t2 = 12h – 11h45 = 0,25h = 
1

4(h) vµ 6t1 = 4,5t2



2 1 2 1

1
1
4
6 4,5 6 4,5 1,5 6

h

t t t t

h



   

 Từ đó  t2 = 1h; t1 =

3
4h

Quãng đờng AB là : 4,5 . 5 = 22,5km

Quãng đờng CB là :

3
.6

4 = 4,5km

</div>
(12)<div class='page_container' data-page=12>

Thời gian khởi hành để đi bộ là 12 - 4 = 8h.
c, Bài tập tự giải:

* Bài 1: Có 16 tờ giấy bạc loại 2 000đ ; 5 000đ và 10 000đ. Trị giá mỗi loại tiền trờn u

nh nhau. Hỏi mỗi loại có mấy tờ ?

* Bài 2: Trên một cơng trờng xây dựng có 3 đội coong nhân làm việc. Biết rằng

3 sè c«ng

nhân đội I bằng

11 số công nhân đội II bằng 
4

5 số công nhân đội III. Biết rằng số công

nhân đội I ít hơn tổng số cơng nhân của đội I và đội II là 18 ngời. Tính số cơng nhân của
mỗi đôi.

B. KÕt luËn

Với sự nỗ lực không ngừng của cả giáo viên và học sinh. Lớp tôi đã thu đợc những kết
quả đáng mừng.

Điều trớc tiên tôi thấy đợc là học sinh hăng say học tập trong các giờ lên lớp cũng nh các
giờ ôn luyện học sinh khá, giỏi. Với học sinh lớp 7B mà tôi giảng dạy. các dạng bài toán
liên quan đến tỷ lệ thức khơng cịn là vấn đề đáng ngại nữa.

Với đề tài này trớc hết tôi đã ra phần lý thuyết ở mỗi phần có kèm theo ví dụ mà tơI cho
là điển hình. Cơ bản nhằm giúp các em cũng cố và nắm vững hơn về lý thuyết. Sau khi
các em đã nắm vững lý thuyết thì tơi đã ra phần bài tập vận dụng lý thuyết và những
hiểu biết đã học để làm.

Mặc dù trong quá trình làm bài tập một số em còn vớng mắc nhng với sự gợi ý của tơi
hầu hết các em đều tìm ra hớng giải quyết và làm đợc hết bài tập mà tơi đã ra. Trong

đó một số em có tiến bộ rõ rệt. Ngồi bài tốn trên các em cịn có su tầm thêm các bài
tốn liên quan đến tỷ lệ thức ở các sách nâng cao để làm.

Để một làn nữa khẳng định lại kết quả đã đạt đợc và khép lại phần tỷ lệ thức. cũng là
lúc kết thúc của đề tài. Tôi đã tiến hành khảo sát lại và kết quả thật đáng mừng nh sau:

Lớp Số HS đợc

khảo sát Số học sinhgiải đợc Số HS biết hớng nhngkhông giải đợc Số HS khôngthể giải đợc

SL % SL % SL %

7/5

7/4 3031 2224 73,477,4 44 13,312,9 43 13,39,7

Kết quả trên là sự cố gắng mà các em đã thu đợc sau mọt thời gian nghiờn cứu và thực
hiện, hy vọng rằng khả năng học toán nắm vứng kien thức sau mỗi bài học gúp phần sự
ham thich học toán của các em ngày một tăng lên.

Với những suy nghĩ nghiờn cứu của bản thõn, trình độ có hạn nên đề tài khơng thể
tránh khỏi những thiếu sót,rất mong các đồng nghiệp và hội đồng thẩm định góp ý kiến
chân tình để đề tài đợc hồn thiện hơn. Tôi chân thành xin cảm ơn .

Ngày 29 tháng 4 năm 2012
 Ngêi thùc hiÖn

</div>
(13)<div class='page_container' data-page=13></div>