Dạy thêm toán 11 1H2 4 HAI mặt PHẲNG SONG SONG

TOÁN 11

HAI MẶT PHẲNG SONG SONG

1H2-4

MỤC LỤC
PHẦN A. CÂU HỎI.............................................................................................................................................................1
DẠNG 1. CÂU HỎI LÝ THUYẾT.....................................................................................................................................1
DẠNG 2. HAI MẶT PHẲNG SONG SONG.....................................................................................................................3
DẠNG 3. XÁC ĐỊNH THIẾT DIỆN...................................................................................................................................5
PHẦN B. LỜI GIẢI THAM KHẢO....................................................................................................................................7
DẠNG 1. CÂU HỎI LÝ THUYẾT.....................................................................................................................................7
DẠNG 2. HAI MẶT PHẲNG SONG SONG.....................................................................................................................9
DẠNG 3. XÁC ĐỊNH THIẾT DIỆN................................................................................................................................15

PHẦN A. CÂU HỎI
DẠNG 1. CÂU HỎI LÝ THUYẾT
Câu 1.

(DHSP HÀ NỘI HKI 2017-2018) Tìm mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau:
A. Nếu hai mặt phẳng ( ) và (  ) song song với nhau thì mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng

( ) đều song song với mặt phẳng (  ) .
B. Nếu hai mặt phẳng ( ) và (  ) song song với nhau thì mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng

đều song song với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng (  ) .
C. Nếu hai đường thẳng song song với nhau lần lượt nằm trong hai mặt phẳng phân biệt mặt
phẳng ( ) và (  ) thì ( ) và (  ) song song với nhau.
D. Qua một điểm nằm ngoài mặt phẳng cho trước ta vẽ được một và chỉ một đường thẳng song
song với mặt phẳng cho trước đó.

Câu 2.

Tìm mệnh đề sai trong các mệnh đề sau.
 .
A. Cho điểm M nằm ngồi mặt phẳng   Khi đó tồn tại duy nhất một đường thẳng a chứa M
 .
và song song với  

B. Cho hai đường thẳng a và b chéo nhau. Khi đó tồn tại duy nhất mặt phẳng   chứa a và
song song với b.

 .

C. Cho điểm M nằm ngoài mặt phẳng   Khi đó tồn tại duy nhất một mặt phẳng   chứa
 .
điểm M và song song với  

D. Cho đường thẳng a và mặt phẳng   song song với nhau. Khi đó tồn tại duy nhất một mặt

 .
phẳng   chứa a và song song với  
Câu 3.

Cho hai mặt phẳng

 P

và

 Q

song song với nhau. Mệnh đề nào sau đây sai?
1


d � P 

d�
� Q

thì d//d�
.
A � P 
 Q đều nằm trong  P  .
B. Mọi đường thẳng đi qua điểm
và song song với
 P  thì  cũng cắt  Q .
C. Nếu đường thẳng  cắt
a � Q
a//  P 
D. Nếu đường thẳng
thì
.
A. Đường thẳng

Câu 4.

và

Cho hai mặt phẳng phân biệt

sai trong các mệnh đề sau.

 P / /  Q
P // Q
B. Nếu    
P // Q
C. Nếu    
P // Q
D. Nếu    
A. Nếu

 P

và

 Q  ; đường thẳng a � P  ; b � Q  . Tìm khẳng định

thì a / / b .
thì

b / /  P .

thì a và b hoặc song song hoặc chéo nhau.
thì

a / /  Q

Câu 5.

Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau:

A. Nếu hai mặt phẳng cùng song song với một mặt phẳng khác thì chúng song song với nhau.
B. Nếu ba mặt phẳng phân biệt đôi một cắt nhau theo ba giao tuyến thì ba giao tuyến đó đồng quy.
 P  thì a song song với một đường thẳng nào
C. Nếu đường thẳng a song song với mặt phẳng
 P .
đó nằm trong
 P  và hai đường thẳng a�, b�nằm trong
D. Cho hai đường thẳng a , b nằm trong mặt phẳng
 Q  . Khi đó, nếu a // a�; b // b�thì  P  //  Q  .
mặt phẳng

Câu 6.

Trong không gian, cho đường thẳng a và hai mặt phẳng phân biệt (P) và (Q). Mệnh đề nào dưới
đây đúng?
A. Nếu (P) và (Q) cùng cắt a thì (P) song song với (Q).
B. Nếu (P) và (Q) cùng song song với a thì (P) song song với (Q).
C. Nếu (P) song song với (Q ) và a nằm trong mp (P) thì a song song với (Q).
D. Nếu (P) song song với (Q ) và a cắt (P) thì a song song với (Q).

Câu 7.

(HKI-Nguyễn Gia Thiều 2018-2019) Có bao nhiêu mặt phẳng song song với cả hai đường
thẳng chéo nhau?
A. Vô số.
B. 3 .
C. 2 .
D. 1 .

Câu 8.

(THPT Yên Dũng 3 - Bắc Giang lần 1- 18-19) Cho hình lăng trụ ABCD. A ' B ' C ' D ' . Tìm
mệnh đề sai trong các mệnh đề sau

mp  AA ' B ' B 

mp  CC ' D ' D 

A.
song song với
B. Diện tích hai mặt bên bất ki bằng nhau.
C. AA ' song song với CC ' .
D. Hai mặt phẳng đáy song song với nhau.
Câu 9.

.

(THPT CHUYÊN LƯƠNG VĂN CHÁNH - PHÚ YÊN - 2018) Trong các mệnh đề sau, mệnh
đề nào đúng?
a �mp  P 
mp  P  // mp  Q 
a // mp  Q   I 
- Nếu
và
thì
.
a �mp  P  b �mp  Q 
mp  P  // mp  Q 
 II 
- Nếu

,
và
thì a // b .
2


a // mp  P  a // mp  Q 
mp  P  �mp  Q   c
 III 
,
và
thì c // a .
 I .
 I  và  III  .
A. Chỉ
B.
 I  và  II  .
 I  ,  II  và  III  .
C.
D. Cả
- Nếu

Câu 10.

(THPT LÝ THÁI TỔ - BẮC NINH - 2018) Trong các mệnh đề sau. Mệnh đề sai là
A. Hai mặt phẳng song song thì khơng có điểm chung.
B. Hai mặt phẳng cùng song song với một mặt phẳng thì song song với nhau.
C. Hai mặt phẳng song song với nhau thì mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng này đều song
song với mặt phẳng kia.
D. Một mặt phẳng cắt hai mặt phẳng song song cho trước theo hai giao tuyến thì hai giao tuyến

song song với nhau.

Câu 11.

(SỞ GD&ĐT YÊN BÁI - 2018) Trong không gian cho 2 mặt phẳng (P) và (Q) song song với
nhau. Khẳng định nào sau đây sai?
A. d �( P) và d ' �(Q) thì d // d’.
B. Mọi đường thẳng đi qua điểm A �( P) và song song với (Q) đều nằm trong (Q).
C. Nếu đường thẳng a nằm trong (Q) thì a // (P).
D. Nếu đường thẳng  cắt (P) thì  cắt (Q).

Câu 12.

(Cụm Liên Trường - Nghệ An - Lần 1 - 2017 - 2018 - BTN) Cho đường thẳng
b �  
đường thẳng
. Mệnh đề nào sau đây đúng?
a / /b �    / /    .
   / /    � a / /    và b / /    .
B.
A.
 / /  � a / / b.
C. a và b chéo nhau.
D.    

a �  

và

DẠNG 2. HAI MẶT PHẲNG SONG SONG

B C D . Mệnh đề nào sau đây sai?
Câu 13. (Sở GD và ĐT Cần Thơ - 2017-2018) Cho hình hộp ABCD. A����
C B
A�
C
 ACD�
 //  A��
 ABB�
 //  CDD��
A.
. B.
.
B C
D  //  ADC 
 BDA�
 //  D��
 BA��
C.
. D.
.
D
B C D . Mặt phẳng  AB��
Câu 14. Cho hình hộp ABCD. A����
song song với mặt phẳng nào trong các mặt
phẳng sau đây?
D
C C
 BCA�
.

 BC �
 A��
 BDA�

A.
B.
.
C.
. D.
.
D
B C D . Mặt phẳng  AB��
Câu 15. (THPT YÊN LẠC - LẦN 4 - 2018) Cho hình hộp ABCD. A����
song
song với mặt phẳng nào sau đây?
C
BD 
 BA��
 C�
 BDA�
.
 ACD�
.
A.
.
B.
.
C.
D.

, BB�
, CC �
, DD�
B C D có các cạnh bên AA�
Câu 16. Cho hình hộp ABCD. A����
. Khẳng định nào sai?
D
 BA��
 ADC �

DC là một tứ giác đều.
A. BB�
B.
và
cắt nhau.

3


B CD là hình bình hành.
C. A��

D.

B B  //  DD��
C C
 AA��

.
Câu 17.

(ĐỀ THI THỬ ĐỒNG ĐẬU-VĨNH PHÚC LẦN 01 - 2018 – 2019) Cho hình lăng trụ

ABC. A���
B C . Gọi I , J , K lần lượt là trọng tâm tam giác ABC , ACC �
C . Mặt phẳng nào
, AB��

sau đây song song với
A
 BC �
A.
.

 IJK  ?
B
 AA�
B.
.

C.

C
 BB�
.

D.

A
 CC �

.

Câu 18.

(THPT Yên Định - Thanh Hóa - Lần 1 - 2017 - 2018 - BTN) Cho hình chóp S . ABCD có đáy
ABCD là hình bình hành tâm O . Gọi M , N , P theo thứ tự là trung điểm của SA , SD và AB .
Khẳng định nào sau đây đúng?
 NMP  //  SBD  . B.  NOM  cắt  OPM  .
A.
 MON  //  SBC  . D.  PON  � MNP   NP .
C.

Câu 19.

(THPT HAI BÀ TRƯNG - HUẾ - 2018) Cho hình chóp S . ABCD , có đáy ABCD là hình bình
 OMN  song song với mặt
hành tâm O . Gọi M , N lần lượt là trung điểm SA, SD . Mặt phẳng
phẳng nào sau đây?
ABCD 
 SBC  .
 SCD  .
 SAB  .
A.
B.
C. 
.
D.

 song song
B C . Gọi H là trung điểm của A��

B . Mặt phẳng  AHC �
Câu 20. Cho hình lăng trụ ABC. A���
với đường thẳng nào sau đây?
A. BA�
.
B. BB�
.
C. BC .
D. CB�
.
Câu 21. (TOÁN HỌC TUỔI TRẺ SỐ 5) Cho hình bình hành ABCD . Qua A , B , C , D lần lượt vẽ các
 ABCD  , song song với nhau
nửa đường thẳng Ax , By , Cz , Dt ở cùng phía so với mặt phẳng

 ABCD  . Một mặt phẳng  P  cắt Ax , By , Cz , Dt tương ứng tại A�
và không nằm trong
, B�
,
�
�
�
C�
AA

3
BB

5
CC


4
�
�
D
DD
,
sao cho
,
,
. Tính
.
6
A. 4 .
B. .
C. 2 .
D. 12 .

Câu 22.

(THPT HỒNG HOA THÁM - HƯNG N - 2018) Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD
là hình thang đáy AD và BC . Gọi M là trọng tâm tam giác SAD , N là điểm thuộc đoạn AC
NC
PC
NA 
PD 
.
CD
2 , P là điểm thuộc đoạn
2 Khi đó, mệnh đề nào sau đây
sao cho

sao cho
đúng?
 SBC  và  MNP  là một đường thẳng song song với BC .
A. Giao tuyến của hai mặt phẳng
 SBC  .
B. MN cắt
 MNP  //  SAD  .
C.
MN //  SBC 
 MNP  //  SBC 
D.
và

Câu 23.

(CHUYÊN VĨNH PHÚC - LẦN 1 - 2018)Cho hai hình bình hành ABCD và ABEF có tâm lần
lượt là O và O�
, không cùng nằm trong một mặt phẳng. Gọi M là trung điểm AB , xét các
khẳng định
 I  : ADF  //  BCE  ;  II  : MOO�
 //  ADF  ;  III  : MOO�
 //  BCE  ;  IV  : ACE  //  BDF  .
4


Những khẳng định nào đúng?
( I) .
( I ) ,( II ) .
A.
B.

C.

( I ) , ( II ) , ( III ) .

D.

( I ) , ( II ) , ( III ) ,( IV ) .

Câu 24. Cho hình vng ABCD và tam giác đều SAB nằm trong hai mặt phẳng khác nhau. Gọi M là
   song song với  SBC  . Gọi N , P , Q
điểm di động trên đoạn AB . Qua M vẽ mặt phẳng
   với các đường thẳng CD , SD , SA . Tập hợp các giao điểm I
lần lượt là giao của mặt phẳng
của hai đường thẳng MQ và NP là
A. Đoạn thẳng song song với AB .
B. Tập hợp rỗng.
C. Đường thẳng song song với AB .
D. Nửa đường thẳng.
Câu 25.

Cho hình chóp S . ABCD có đáy là hình thang, AB // CD và AB  2CD . Gọi O là giao điểm của
SE SF 2


AC và BD . Lấy E thuộc cạnh SA , F thuộc cạnh SC sao cho SA SC 3 (tham khảo hình
vẽ dưới đây).



BEF 

là mặt phẳng qua O và song song với mặt phẳng 
. Gọi P là giao điểm của SD với   .
SP
Tính tỉ số SD .
SP 3
SP 7
SP 7
SP 6




A. SD 7 .
B. SD 3 .
C. SD 6 .
D. SD 7 .

Gọi

DẠNG 3. XÁC ĐỊNH THIẾT DIỆN
Câu 26.

B C D . Mặt phẳng
Cho hình lập phương ABCD. A����
D
 AB��
cắt hình lập phương theo thiết diện là.
A. Một tam giác đều.

B. Một tam giác thường.
C. Một hình chữ nhật. D. Một hình bình hành.

 P

chứa BD và song song với mặt phẳng

5


Câu 27.

B C D cạnh a . Mặt phẳng    qua AC và song song với BB�
Cho hình lập phương ABCD. A����
.

B C D khi cắt bởi mặt phẳng    .
Tính chu vi thiết diện của hình lập phương ABCD. A����
2 1 2 a
1 2 a
3
2
A.
.
B. a .
C. a 2 .
D.



Câu 28.







(SỞ GD&ĐT BÌNH PHƯỚC - LẦN 1 - 2018) Cho tứ diện đều SABC . Gọi I là trung điểm

   song song với
của đoạn AB , M là điểm di động trên đoạn AI . Qua M vẽ mặt phẳng
 SIC  . Thiết diện tạo bởi    với tứ diện SABC là.
A. hình bình hành.
B. tam giác cân tại M . C. tam giác đều.
D. hình thoi.

Câu 29. Cho hình vuông ABCD và tam giác đều SAB nằm trong hai mặt phẳng khác nhau. Gọi M là
   song song với  SBC  . Thiết diện tạo bởi
điểm di động trên đoạn AB. Qua M vẽ mặt phẳng
   và hình chóp S . ABCD là hình gì?
A. Hình tam giác.
B. Hình bình hành.
C. Hình thang.
D. Hình vuông.
Câu 30. Cho tứ diện đều SABC cạnh bằng a. Gọi I là trung điểm của đoạn AB , M là điểm di động
   song song với  SIC  . Tính chu vi của thiết diện tạo bởi
trên đoạn AI . Qua M vẽ mặt phẳng



với tứ diện SABC , biết AM  x .
2x 1 3
3x 1  3
A.
.
B.
.









C. Khơng tính được.

D.



x 1 3

.

B C có 2 đáy là 2 tam giác vuông tại A và A�và có
Câu 31. Cho hình chóp cụt tam giác ABC. A���
S ABC

AB 1

A��
B 2 . Khi đó tỉ số diện tích S A���
B C bằng
1
1
A. 4 .
B. 2 .
C. 4 .
D. 2 .

�
Câu 32. Cho hình chóp S . ABC có đáy là tam giác ABC thỏa mãn AB  AC  4, BAC  30�. Mặt phẳng
 P  song song với  ABC  cắt đoạn SA tại M sao cho SM  2MA . Diện tích thiết diện của  P 
và hình chóp S . ABC bằng bao nhiêu?
14
25
16
A. 1 .
B. 9 .
C. 9 .
D. 9 .
Câu 33. Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình bình hành và M , N lần lượt là trung điểm của
AB, CD . Xác định thiết diện của hình chóp cắt bởi    đi qua MN và song song với mặt phẳng

 SAD  .Thiết diện là hình gì?

A. Hình thang

B. Hình bình hành

C. Tứ giác

D. Tam giác

Câu 34. Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O có AC  a, BD  b . Tam giác
SBD là tam giác đều. Một mặt phẳng    di động song song với mặt phẳng  SBD  và đi qua
AI  x  0  x  a 
   là hình gì?
điểm I trên đoạn AC và
. Thiết diện của hình chóp cắt bởi
A. Hình bình hành
B. Tam giác
C. Tứ giác
D. Hình thanG
6


C
B C D . Gọi M là trung điểm của AB . Mặt phẳng  MA��
Câu 35. Cho hình hộp ABCD. A����
cắt hình hộp
ABCD. A����
B C D theo thiết diện là hình gì?
A. Hình thang.
B. Hình ngũ giác.
C. Hình lục giác.
D. Hình tam giác.
Câu 36. Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình thang cân với cạnh bên BC  2 , hai đáy AB  6 ,

CD  4 . Mặt phẳng  P  song song với  ABCD  và cắt cạnh SA tại M sao cho SA  3 SM .
 P  và hình chóp S . ABCD bằng bao nhiêu?
Diện tích thiết diện của
5 3
2 3
7 3
A. 9 .
B. 3 .
C. 2 .
D. 9 .
Câu 37.

Cho hình lập phương ABCD. A ' B ' C ' D ' cạnh a . Xét tứ diện AB ' CD ' . Cắt tứ diện đó bằng mặt
 ABC  . Tính diện tích của
phẳng đi qua tâm của hình lập phương và song song với mặt phẳng
thiết diện thu được.

a2
A. 3 .

Câu 38.

2a 2
B. 3 .

a2
C. 2 .

3a 2
D. 4 .

(THPT YÊN LẠC - LẦN 3 - 2018) Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình bình hành,
mặt bên SAB là tam giác vuông tại A , SA  a 3 , SB  2a . Điểm M nằm trên đoạn AD sao

 P  là mặt phẳng qua M và song song với  SAB  . Tính diện tích thiết
cho AM  2 MD . Gọi
 P .
diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng
5a 2 3
5a 2 3
4a 2 3
4a 2 3
6 .
9 .
3 .
A. 18 .
B.
C.
D.
Câu 39.

(Chuyên Lào Cai Lần 3 2017-2018) Cho hình hộp chữ nhật ABCDA'B 'C ' D ' có
AB  a, BC  b,CC '  c . Gọi O,O ' lần lượt là tâm của ABCD và A' B 'C ' D ' . Gọi    là mặt
phẳng đi qua O ' và song song với hai đường thẳng A' D và D 'O . Dựng thiết diện của hình hộp
   . Tìm điều kiện của a,b,c sao cho thiết diện
chữ nhật ABCDA' B 'C 'D ' khi cắt bởi mặt phẳng
0
là hình thoi có một góc bằng 60 .
1
1

1
ac b
a b  c
bc a
3 .
3 .
3 .
A. a  b  c .
B.
C.
D.

7


Câu 40.

(Chun Lê Thánh Tơng-Quảng Nam-2018-2019) Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là
hình thang cân ( AD || BC ), BC  2a , AB  AD  DC  a , với a  0 . Mặt bên SBC là tam giác
đều. Gọi O là giao điểm của AC và BD . Biết hai đường thẳng SD và AC vng góc nhau,

M là điểm thuộc đoạn OD ( M khác O và D ), MD  x , x  0 . Mặt phẳng    qua M và

song song với hai đường thẳng SD và AC , cắt khối chóp S . ABCD theo một thiết diện. Tìm
để diện tích thiết diện đó là lớn nhất?
A.

x

a 3

4 .

B.

xa 3.

C.

x

a 3
2 .

D.

x

x a.

PHẦN B. LỜI GIẢI THAM KHẢO
Câu 1.
Câu 2.

DẠNG 1. CÂU HỎI LÝ THUYẾT
Chọn A
Lý thuyết.
Chọn A

Câu 4.

 .
Cho điểm M nằm ngoài mặt phẳng   Khi đó có vơ số đường thẳng chứa M và song song với
   . Các đường thẳng này cùng nằm trong mặt phẳng đi qua M và song song với    . Do đó
đáp án A là sai.
Chọn A
 P  và  Q song song với nhau và đường thẳng d � P  , d�� Q thì d,d�có thể chéo
Nếu
nhau. Nên khẳng định A là sai.
Chọn A

Câu 5.

Đáp án A sai vì khi cho hai mặt phẳng phân biệt
thì a và b có thể chéo nhau
Chọn C

Câu 3.

 P

và

 Q  ; đường thẳng a � P  ; b � Q 

Đáp án A sai vì hai mặt phẳng đó có thể trùng nhau.
Đáp án B sai vì ba mặt phẳng phân biệt đôi một cắt nhau theo ba giao tuyến thì ba giao tuyến đó
hoặc đồng quy hoặc đơi một song song hoặc trùng nhau (lý thuyết).
   chứa a và cắt mặt phẳng  P  theo giao tuyến d thì
Đáp án C đúng. Ta chọn mặt phẳng
d � P 

và a // d (Hình 1).

8


 P  và  Q  thỏa a , b nằm trong mặt phẳng  P  ; a�
Đáp án D sai vì ta có thể lấy hai mặt phẳng
 Q  với a // b // a�
// b�mà hai mặt phẳng  P  và  Q  cắt nhau (Hình
, b�nằm trong mặt phẳng
Câu 6.
Câu 7.

2).
Chọn C.
Chọn A

Gọi hai đường thẳng chéo nhau là a và b , c là đường thẳng song song với a và cắt b .
 � b, c 
a //c � a //   
Gọi mặt phẳng   
. Do
   //    mà b �   � b //   
Giải sử mặt phẳng
 // 
a //    � a //   
. Có vơ số mặt phẳng    
Mặt khác
Câu 8.

Câu 9.
Câu 10.
Câu 11.
Câu 12.

nên có vơ số mặt phẳng song song với cả hai đường thẳng chéo nhau.
Chọn B

Câu hỏi lý thuyết.
Hai mặt phẳng cùng song song với một mặt phẳng thì song song với nhau có thể trùng nhau.
Đáp án A sai vì d và d’ có thể chéo nhau.
Chọn A
   / /    và a �   nên a / /    .
- Do
   / /    và b �   nên b / /    .
- Tương tự, do

DẠNG 2. HAI MẶT PHẲNG SONG SONG
Câu 13. Chọn D

9


D  � BCA��
D
 BA��
 ADC  � ABCD  .
Ta có
và
D  � ABCD   BC

D  //  ADC 
 BCA��
 BA��
Mà
, suy ra
sai.
Câu 14.
Lời giải
Chọn B

B�là hình bình hành nên AB�
//DC �
D là hình bình hành nên AD�
//BC �nên
Do ADC �
, và ABC ��
D
 ABD�
 //  BC �
.

Câu 15.

D  //  C �
BD 
D //BD ; AD�
//C �
B �  AB��
Ta có B��
.

Câu 16. Chọn A

10


Câu A, C đúng do tính chất của hình hộp.
D  � BA��
D C  ;  ADC �
B�
 BA��
 � ADC �


D  � ADC �
 BA��
  ON . Câu B đúng.
B�
� BDC 
DC không phải là tứ giác.
Do
nên BB�
Câu 17.

Chọn C

AI
AJ 2


Do I , J , K lần lượt là trọng tâm tam giác ABC , ACC �nên AM AN 3 nên IJ //MN .

� IJ //  BCC �
B�


IK //  BCC �
B�

Tương tự
�  IJK  //  BCC �
B�


C
 IJK  //  BB�
Hay
.
Câu 18. Chọn C

11


 MON  và  SBC  .
Xét hai mặt phẳng
Ta có: OM // SC và ON // SB .
Mà BS �SC  C và OM �ON  O .
 MON  //  SBC  .
Do đó

Câu 19.
Vì ABCD là hình bình hành nên O là trung điểm AC , BD .

MO / / SC � MO / /  SBC 
Do đó:
NO / / SB � NO / /  SBC 
Và
 OMN  / /  SBC  .
Suy ra:
Câu 20. Chọn D

12


MB�
P AH � MB�
P  AHC �
 .  1
Gọi M là trung điểm của AB suy ra
A�suy ra MH song song và bằng BB�nên
Vì MH là đường trung bình của hình bình hành ABB�
� MC P  AHC �
 .  2
� MHC �
C là hình hình hành � MC P HC �
MH song song và bằng CC �
MC  P  AHC �
C P  AHC �
 1 và  2  , suy ra  B�
 � B�
.
Từ

 Ax, By  theo giao tuyến A��
B ; cắt mặt phẳng  Cz, Dt 
C ��
D , mà hai mặt phẳng  Ax, By  và  Cz , Dt  song song nên A��
B //C ��
D.

Do

 P

Câu 21.

cắt mặt phẳng

theo giao tuyến

D //B��
C nên A����
B C D là hình bình hành.
Tương tự có A��
B C D . Dễ dàng có OO�là đường trung bình của hai
Gọi O , O�lần lượt là tâm ABCD và A����
AA�
 CC � BB�
 DD�
OO�


C C và BB��

2
2
D D nên
hình thang AA��
.
 2.
Từ đó ta có DD�

Câu 22.

13


NC
�
NA 
�
�
2 � NP // AD // BC
�
PC
�PD 
 1 .
2
Ta có �

M � SAD  � MNP 

. Do đó giao tuyến của hai mặt phẳng
qua M song song với BC và MN .

Gọi R là giao điểm của d với SD .
DR DP 1

 � PR // SC  2 
Dễ thấy: DS DC 3
.
Từ

 1

và

 2

suy ra:

 MNP  //  SBC 

và

MN //  SBC 

 SAD 

và

 MNP 

là đường thẳng d

.

Câu 23.
�AD //BC
 ADF  và  BCE  có : �
�AF //BE nên  I  : ADF  //  BCE  là đúng.
Xét hai mặt phẳng
�AD //MO
 ADF  và  MOO�
 có : �
 //  ADF  là đúng.
�AF //MO�nên  II  :  MOO�
Xét hai mặt phẳng
I : ADF  //  BCE 
II : MOO�
 //  ADF  đúng nên theo tính chất bắc cầu ta có
Vì   
đúng và   
 III  : MOO�
 //  BCE  đúng.
 ABCD  có AC �BD  O nên hai mặt phẳng  ACE  và  BDF  có điểm O
Xét mặt phẳng
IV : ACE  //  BDF 
chung vì vậy không song song nên   
sai.
Câu 24. Chọn A

14

Lần lượt lấy các điểm N , P , Q thuộc các cạnh CD , SD , SA thỏa MN P BC , NP P SC ,
PQ P AD . Suy ra    � MNPQ  và    P  SBC  .
�
�I , S � SCD 
I  MQ �NP � �
�
I , S � SAB 
�
I nằm trên đường thẳng là giao tuyến của hai mặt phẳng
Vì
B I S
�M �
�
 SAB  và  SCD  . Khi �M �A I T với T là điểm thỏa mãn tứ giác ABST là hình bình
hành.
Vậy quỹ tích cần tìm là đoạn thẳng song song với AB .
Câu 25.

Chọn D

SE SF 2


EF � BEF  AC � BEF 
Vì SA SC 3 nên đường thẳng EF // AC . Mà
,
nên AC song
 BEF  .
song với mặt phẳng
 BEF  nên AC �   .

Vì AC qua O và song song với mặt phẳng

I  SO �EF , trong  SBD  , gọi N  BI �SD . Suy ra N là giao điểm của
 BEF  .
đường thẳng SD với mặt phẳng
Trong

 SAC  , gọi

15


BEF 

 SCD  theo hai giao
Hai mặt phẳng song song 
và   bị cắt bởi mặt phẳng thứ ba là
tuyến lần lượt là FN và Ct nên hai giao tuyến đó song song nhau, tức là Ct // FN .
 SCD  , Ct cắt SD tại P . Khi đó P là giao điểm của SD với    .
Trong
BO AB
BO 2

2�

BD 3 .
Trong hình thang ABCD , do AB // CD và AB  2CD nên OD CD
SE SI 2
IS


 �
2
IO
Trong tam giác SAC , có EF // AC nên SA SO 3
.
NS BD IO
NS BO IS 2
4
.
.
1�

.
 .2 
ND BD IO 3
3.
Xét tam giác SOD với cát tuyến NIB , ta có: ND BO IS
SN 4

Suy ra: SD 7 (1).
SN SF 2


Lại có: SP SC 3 (Do CP // FN ) (2).
SP 6

Từ (1) và (2) suy ra SD 7 .

Câu 26.

DẠNG 3. XÁC ĐỊNH THIẾT DIỆN
Chọn A

Do BC �
song song với AD�
, DC �
song song với AB ' nên thiết diện cần tìm là tam giác đều
�
BDC
Câu 27. Chọn A

16


A�
A�là hình chữ nhật có chiều dài là
Ta dễ dàng dựng được thiết diện là tứ ACC �
. Tứ giác ACC �
AC  a 2 và chiều rộng AA�
a.
B C D khi cắt bởi mặt phẳng    là
Khi đó chu vi thiết diện của hình lập phương ABCD. A����
P  2.  AC  AA�
  2 1 2 a
.





Câu 28.
MP
//
IC
Qua M vẽ
, P �AC , MN //SI , N �SA .
MN MP

IC và SI  IC nên suy ra MN  MP thiết diện là tam giác cân tại M .
Ta có SI
Câu 29. Chọn C

Lần lượt lấy các điểm N , P , Q thuộc các cạnh CD , SD , SA thỏa MN P BC , NP P SC ,
PQ P AD . Suy ra    � MNPQ  và    P  SBC  .
Câu 30.

Theo cách dựng trên thì thiết diện là hình thang.
Chọn A

17


AM 2 x

a
Để ý hai tam giác MNP và SIC đồng dạng với tỉ số AI
�
C
2x
2x

2 x �a 3 a 3
� MNP 
� CMNP 


a
 SI  IC  SC   �
�
� 2 x
CSIC
a
a
a �
2
�2
�
Câu 31. Chọn C





3 1

.

B C có hai mặt đáy là hai mặt phẳng song song nên tam giác ABC đồng
Hình chóp cụt ABC. A���
1
. AB. AC

S ABC
AB AC 1
2


.

1
SA���
A��
B A��
C 4
BC
. A����
B .A C
B C suy ra
2
dạng tam giác A���
.
Câu 32.

Chọn D

18


1
�  1 .4.4.sin 30� 4
S ABC  . AB. AC.sin BAC
2

2
Diện tích tam giác ABC là
.
 P  và các cạnh SB, SC .
Gọi N , P lần lượt là giao điểm của mặt phẳng
SM

SN

SP

2

 P  //  ABC  nên theoo định lí Talet, ta có SA  SB  SC  3 .
Vì
 P  cắt hình chóp S . ABC theo thiết diện là tam giác MNP đồng dạng với tam giác
Khi đó
2

16
�2 �
2
S MNP  k 2 .S ABC  � �.4 
k
9 .
�3 �
ABC theo tỉ số
3 . Vậy

Câu 33.

Chọn A

�
�M � SAB  �  
�
 SAB  � SAD   SA �  SAB  �    MK PSA, K �SB .
Ta có �
�N � SCD  �  
�
   P SAD 
�
�
 SCD  � SAD   SD �  SCD  �    NH PSD, H �SC .
Tương tự �
HK     � SBC 
Dễ thấy
. Thiết diện là tứ giác MNHK
 ABCD  ,  SBC  và    đôi một cắt nhau theo các giao tuyến là MN , HK , BC ,
Ba mặt phẳng
mà MN PBC � MN PHK . Vậy thiết diện là một hình thang.
Câu 34.

Chọn B

Trường hợp 1. Xét I thuộc đoạn OA
19


�I �   � ABD 

�
   P SBD 
�
�
 ABD  � SBD   BD
Ta có �
�    � ABD   MN P BD, I �MN

.

�N �   � SAD 
�
   P SBD 
�
�
 SAD  � SBD   SD �  SAD  �    NP PSD, P �SN .
Tương tự �
Thiết diện là tam giác MNP .

�
   P SBD 
�
 SAB  � SBD   SB � MP PSB
�
�
 SAB  �    MP
�

Do
. Hai tam giác MNP và BDS có các cặp cạnh tương ứng

song song nên chúng đồng dạng, mà BDS đều nên tam giác MNP đều.
Trường hợp 2. Điểm I thuộc đoạn OC , tương tự trường hợp 1 ta được thiết diện là tam giác đều
HKL như  hv  .

Câu 35.

Chọn A

Trong mặt phẳng

A�
 ABB�
,

AM cắt BB�tại I

1
A��
B
2
I và M là trung điểm của IA�
Do
nên B là trung điểm B�
.
�
N
BC
C
I
Gọi

là giao điểm của
và
.
�
BN
//
B
C
I.
I nên N là trung điểm của C �
Do
và B là trung điểm B�
C có MN là đường trung bình.
Suy ra: tam giác IA��
MB //A��
B ; MB 

C
 MA��
B C D theo thiết diện là tứ giác A�
MNC �có
Ta có mặt phẳng
cắt hình hộp ABCD. A����
MN //A��
C
MNC �
Vậy thiết diện là hình thang A�
.
20

Cách khác:
BCD 
�
 ABCD  //  A����
�
C M  � A����
B C D   A��
C
 A��
�
� ��
 A C M  � ABCD   Mx
� Mx //A��
C , M là trung điểm của AB nên Mx cắt BC
Ta có: �
C NM .
tại trung điểm N .Thiết diện là tứ giác A��
Câu 36. Chọn A

Gọi H , K lần lượt là hình chiếu vng góc của D, C trên AB
�AH  BK ; CD  HK
��
� BK  1
ABCD là hình thang cân
�AH  HK  BK  AB
.
2
2
2

2
Tam giác BCK vng tại K , có CK  BC  BK  2  1  3 .
AB  CD
46
S ABCD  CK .
 3.
5 3
2
2
Suy ra diện tích hình thang ABCD là
.
 P  và các cạnh SB, SC , SD .
Gọi N , P, Q lần lượt là giao điểm của

 P  //  ABCD 
Vì
 P
Khi đó
Câu 37.

MN NP PQ QM 1




nên theo định lí Talet, ta có AB BC CD AD 3 .

cắt hình chóp theo thiết diện MNPQ có diện tích

S MNPQ  k 2 .S ABCD 

5 3
9 .

Chọn C

21


Cách xác định mặt phẳng thiết diện tạo bởi mặt phẳng đi qua tâm của hình lập phương và
 ABC  với tứ diện AB ' CD ' :
song song với mặt phẳng
 ACC ' A ' kẻ đường thẳng qua O và song song với AC , cắt AA ' tại trung điểm I
Trong
 ABB ' A ' kẻ đường thẳng quan I song song với AB , cắt AB ' tại trung điểm J .
Trong
 B ' AC  kẻ đường thẳng qua J song song với AC , cắt B ' C tại trung điểm K .
Trong
 B ' CD ' kẻ đường thẳng qua K song song với B ' D ' , cắt D ' C tại trung điểm L .
Trong
 D ' AC  kẻ đường thẳng qua L song song với AC , cắt AD ' tại trung điểm M .
Trong
 ABC  và tạo với tứ diện AB ' CD ' thiết diện là hình bình
Mặt phẳng vừa tạo thành song song với
hành MJKL .
Ta có
�JM / / B ' D '
�
�
ML

/
/
A
'
C
'
�
Tứ giác MJKL là hình chữ nhật.
2
1
1
1
a2
S MJKL  JM .ML  B ' D '. A ' C '  . a 2 
2
2
4
2 .



Câu 38.



S

Q

A

B

M

P

N

D

C

Ta có:
�
�
 P  //  SAB 
 P  � ABCD   MN
�
�
��
�
M �AD, M � P 
 P  � SCD   PQ và MN // PQ // AB (1)
�
�
�
�
 P  //  SAB 
 P  � SAD   MQ

�
�
�
�
�
M �AD, M � P 
 P  � SBC   NP và
�
�


�MQ // SA
�
�NP // SB

Mà tam giác SAB vuông tại A nên SA  AB � MN  MQ (2)
Từ (1) và (2) suy ra

 P

cắt hình chóp theo thiết diện là hình thang vng tại M và Q .

Mặt khác
22


 MQ // SA
 PQ // CD

�

MQ DM DQ
1
DQ 1


� MQ  SA

SA
DA DS
3
DS
3.
và

�

PQ SQ
2

� PQ  AB
2
2
CD SD
3
, với AB  SB  SA  a

S MNPQ 

Khi đó

Câu 39. Chọn D

2
1 SA �2 AB
�
1
.�
 AB �� S MNPQ  5a 3
MQ.  PQ  MN  � S MNPQ 
2 3 �3
�
2
18 .

D , F là trung điểm OC .
Gọi E là tâm hình chữ nhật DCC ��

 ABCD  , gọi G  BF �CD .
C
 CDD��
D.
Trên
, gọi H  GE �C ��
BCD 
 A����
Trên
, gọi G  BF �CD .
�
O //  BKHG 
�D�

�
A�
D //  BKHG 
Khi đó, �
nên thiết diện tạo thành là tứ giác
Trên

BKHG .

0
Theo đề BKHG là hình thoi có một góc 60 nên ta có:

B C D  CDD��
C �b c
�
�
�HK  HG
�A����
�
��
�
0
�  1200
�BKH  120
�BKH
.
2

a
2

a

b

CG 
9 .
3 � BG 2  BC 2  CG 2
Dễ thấy:
2
2
2
.cos1200
Trong BKO�có: BO� KB  KO� 2 KB.KO�
1
1
7 �2 a 2 �
� 1�
b 
 BG 2  BG 2  2 BG. BG. � � 7 BG 2  �
�
4�
9 �
4
2
� 2� 4
.
7 �2 a 2 � 1 2
� �
b  �  a  b 2   c 2
2

2
2
4�
9 � 4
Trong BOO�có: BO� BO  OO�
23


7 �2 a 2 � 1 2
bc
a
a  0, b  0
���
� �
b  �  a  b 2   b2 ����
�b 
4�
9 � 4
3.
bc 

Vậy
Câu 40.

a
3.

Chọn A

Trong

mp  SBD 

kẻ đường thẳng qua M song song với SD , cắt cạnh SB tại H .

mp  ABCD 

Trong
lượt tại E và F .
Trong
Trong

mp  SDA 

mp  SDC 

kẻ đường thẳng qua M song song với AC , cắt các cạnh DA và DC lần

kẻ đường thẳng qua E song song với SD , cắt cạnh SA tại I .
kẻ đường thẳng qua F song song với SD , cắt cạnh SC tại G .

   là ngũ giác EFGHI .
Khi đó thiết diện của khối chóp S . ABCD cắt bởi mặt phẳng
Dễ thấy ABCD là nửa lục giác đều có tâm là trung điểm K của BC . Do đó ADCK và ABND
AC   SKD  � AC  SK
là hình thoi nên AC  KD . Mặt khác AC  SD nên
.
SK   ABCD  � SK  KD
Lại có SK  BC (vì VSBC đều), suy ra
.

   với  SAC  , mà AC ||    , suy ra IG || AC .
Ta có IG là giao tuyến của
Mặt khác HM || SD và SD  AC , suy ra HM  IG và HM  EF và IGFE là hình chữ nhật.
sS

EFGI
Diện tích thiết diện EFGHI bằng
Ta có AK  KD  AD  a nên VAKD đều.

 S HGI  IG.NM 

1
IG.HN
2
.

2 a 3 a 3
OD  .

3 2
3 .
Mà BD  AK , AC  KD nên O là trọng tâm tam giác ADK . Suy ra
AC  BD  a 3 ( VBAC vuông tại A , do KA  KB  KC ).

SD  SK 2  KD 2  2a .
DM EF
DM
x


� EF 
. AC 
.a 3  3x
DO AC
DO
a 3
3
Ta có
.
24


a 3
x
GF CF OM
OM


� GF 
.SD  3
.2a  2a  2 3x
SD CD OD
OD
a 3
3
.
HM BM
BM
a 3x
6a  2 x 3


� HM 
.SD 
.2a 
SD
BD
BD
3
a 3
.

6a  2 x 3
4x 3
 2a  2 3 x 
3
3 .
Suy ra
2
� a 3 � 3a 2 3
1 4x 3
2
s .
.3 x  2a  2 3 x .3 x  4 3 x  6ax   3 �
2x 
�
�
� 4
2 3
2
�

�
Vậy
.
2
3a 3
a 3
a 3
s�
2x 
� x
4 . Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi
2
4 .
Suy ra
HN  HM  NM  HN  GF 









25