chuan kien thuc HH10

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (201.28 KB, 14 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

Chương I: VEC TƠ
I.CÁC ĐỊNH NGHĨA
A. CÁC KIẾN THỨC CẦN NHỚ.

1. Vec tơ là đoạn thẳng có hướng.

2. Để xác định một vec tơ cần biết một trong hai điều kiện
* Điểm đầu và điểm cuối của vec tơ.

* Độ dài và hướng.

3. Hai vec tơ →avà→b được gọi là cùng phương nếu giá của chúng song song hoặc trùng nhau. Nếu hai
vec tơ cùng phương thì chúng có thể cùng hướng hoặc ngược hướng.

4. Độ dài của một vec tơ là khoảng cách giữa điểm đầu và điểm cuối của vec tơ đó.
5. →a=b→⇔∨→a∨¿∨b→∨vàa→, b→ cùng hướng

6. Với mỗi điểm A ta gọi ⃗AA là vec tơ – không. Vec tơ – khơng được kí hiệu : →0 và quy ước rằng

| →0∨¿0 , vec tơ – không cùng phương và cùng hướng với mọi vec tơ.
B. BÀI TẬP.

1/ Hãy tính số các vec tơ ( →0¿ mà các điểm đầu và điểm cuối được lấy từ các điểm phân biệt đã cho
trong các trường hợp sau :

a) Hai điểm. b) Ba điểm. c) Bốn điểm.

2/ Cho hình vng ABCD tâm O. Liệt kê tất cả các vec tơ bằng nhau nhận đỉnh và tâm của hình vng
làm điểm đầu và điểm cuối.

3/ Cho tứ giác ABCD. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, DA. Chứng

minh ⃗NP=⃗MQ và⃗PQ=⃗MN .

4/ Cho tam giác ABC. Gọi M, N là trung điểm các cạnh AB và AC. So sánh độ dài của hai vec tơ
⃗NM và⃗BC . Vì sao có thể nói hai vec tơ này cùng phương?

5/ Cho tứ giác ABCD, chứng minh rằng nếu ⃗AB=⃗DC thì⃗AD=⃗BC

6/ Xác định vị trí tương đối của ba điểm phân biệt A, B, C trong các trường hợp sau:
a) ⃗AB và⃗AC cùng hướng, ¿⃗AB∨¿∨⃗AC∨¿

b) ⃗AB và⃗AC ngược hướng.

c) ⃗AB và⃗AC cùng phương

7/ Cho hình bình hành ABCD. Dựng ⃗AM=⃗BA,⃗MN=⃗DA,⃗NP=⃗DC,⃗PQ=⃗BC . Chứng minh
⃗AQ=→0

8/ Cho hình bình hành ABCD, tâm O. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AD, BC.

a) Có bao nhiêu vec tơ khác vec tơ – khơng có điểm đầu và điểm cuối là một trong các điểm A, B, C,
D, O, M, N.

b) Chỉ ra hai vec tơ có điểm đầu và điểm cuối lấy trong các điểm A, B, C, D, O, M, N mà
- Cùng phương với ⃗AB

- Cùng hướng với ⃗AB

- Ngược hướng với ⃗AB

c) Chỉ ra các vec tơ bằng vec tơ ⃗MO,⃗OB .

II. TỔNG VÀ HIỆU CỦA HAI VEC TƠ
A. CÁC KIẾN THỨC CẦN NHỚ.

1. Định nghĩa tổng của hai vec tơ và quy tắc tìm tổng.

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

* Với ba điểm M, N, P tùy ý ta ln có: ⃗MN+⃗NP=⃗MP ( quy tắc ba điểm)

* Tứ giác ABCD là hình bình hành, ta có: ⃗AB+⃗AD=⃗AC ( quy tắc hình bình hành )

2. Định nghĩa vec tơ đối.

* Vec tơ b→ là vec tơ đối của vec tơ →a nếu | b→∨¿∨→a∨và→a, b→ là hai vec tơ ngược hướng. Kí
hiệu: b→=− a→

* Nếu →a là vec tơ đối của vec tơ b→ thì b→ là vec tơ đối của vec tơ →ahay−(− a→)=→a
* Mỗi vec tơ đều có vec tơ đối. Vec tơ đối của ⃗AB là⃗BA . Vec tơ đối của vec tơ →0là 0→ .

3. Định nghĩa hiệu của hai vec tơ và quy tắc tìm hiệu. 
* →a− b→=→a+(− b→)

* Ta có: ⃗OB−⃗OA=⃗AB với ba điểm O, A, B bất kì (quy tắc trừ).
4. Tính chất của phép cộng các vec tơ.

Với ba vec tơ bất kì ta có:

* →a+→b=→b+→a (tính chất giao hốn)
* (→a+→b)+→c=→a+(→b+→c) (tính chất kết hợp)
* →a+→0=→0+→a=→a ( tính chất của vec tơ – không)
* →a+(− a→)=− a→+a→=0→

B BÀI TẬP.

1/ Cho hình bình hành ABCD. Hai điểm M và N lần lượt là trung điểm của BC và AD.
a) Tính tổng của hai vec tơ ⃗NC và⃗MC;⃗AM và⃗CD;⃗AD và⃗NC

b) Chứng minh ⃗AM+⃗AN=⃗AB+⃗AD

2/ Cho tam gác ABC. Các điểm M, N, P lần lượt là trung điểm của AB, AC, BC.
a) Tìm hiệu ⃗AM−⃗AN,⃗MN−⃗NC,⃗MN−⃗PN,⃗PB−⃗CB .

b) Phân tích ⃗AM theo hai vec tơ ⃗MN và⃗MP .

3/ Cho hình thoi ABCD có góc BAD = 600 và cạnh là a. Gọi O là giao điểm hai đường chéo. Tính |
BC∨¿,∨⃗OB−⃗DC∨¿

⃗AB+⃗AD∨,∨⃗BA−⃗¿

4/ Cho hình vng ABCD cạnh a có O là giao điểm hai đường chéo . Hãy tính |
⃗OA−⃗CB∨,∨⃗AB+⃗DC∨,∨⃗CD−⃗DA∨¿ .

5/ Cho sáu điểm A, B, C, D, E và F. Chứng minh rằng: ⃗AD+⃗BE+⃗CF=⃗AE+⃗BF+⃗CD

6/ Cho năm điểm A, B, C, D và E. Chứng minh rằng: ⃗AC+⃗DE−⃗DC−⃗CE+⃗CB=⃗AB .

7/ Cho tam giác ABC. Các điểm M, N và P lần lượt là trung điểm các cạnh AB, AC và BC. Chứng minh
rằng với điểm O bất kì ta có: ⃗OA+⃗OB+⃗OC=⃗OM+⃗ON+⃗OP .

8/ Cho tam giác ABC có trực tâm H, tâm đường tròn ngoại tiếp O. Gọi D là điểm đối xứng với A qua O.
Chứng minh rằng:

a) Tứ giác BDCH là hình bình hành.

b) ⃗OB+⃗OC=⃗AH . Từ đó chứng minh ⃗OA+⃗OB+⃗OC=⃗OH .
c) ⃗HA+⃗HB+⃗HC=2⃗HO

III. TÍCH CỦA VEC TƠ VỚI MỘT SỐ.
A. CÁC KIẾN THỨC CẦN NHỚ.

1. Định nghĩa tích của một vec tơ với một số.

Cho số thực k 0 và →a≠0→ . Tích của →a với số thực k là một vec tơ, kí hiệu: k a→ .
- Cùng hướng với →a nếu k > 0.

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

- Có đơ dài bằng |k|.| →a∨¿

2. Các tính chất của phép nhân vec tơ với một số: Với hai vec tơ →a, b→ tùy ý và với mọi số k, h R .
* k(→a+→b)=k a→+k b→

* (h+k).→a=h a→+k a→
* h(k a→)=(hk)→a

* 1.→a=→a;(−1)→a=− a→;0.→a=→0;k. 0→=→0

3. Hai vec tơ →a, b→ với b→≠0→ cùng phương khi và chỉ khi có số k để →a=k b→ , số k tìm được là
duy nhất.

4. Áp dụng:

k a→=0

→

⇔

k=0
¿

a
→

→

¿
¿
¿
¿
¿

* Ba điểm phân biệt A, B, C thẳng hàng ⇔⃗AB=k⃗AC , với k xác định.

* M là trung điểm đoạn thẳng AB

⇔
⃗MA+⃗MB=→0

⃗OA+⃗OB=2⃗OM
¿

⃗AM=⃗MB
¿
¿
¿
¿
¿

( với O bất kì )

* G là trọng tâm của tam giác ABC ⇔⃗GA+⃗GB+⃗GC=→0⇔⃗OA+⃗OB+⃗OC=3⃗OG (với O bất kì)

5. Cho hai vec tơ →avà→b không cùng phương và →x là một vec tơ tùy ý. Bao giờ cũng tìm được cặp
số thực m, n duy nhất sao cho →x=m a→+n b→ .

B.BÀI TẬP

1/ Cho tam giác ABC có trọng tam G. Cho các điểm D, E, F lần lượt là trung điểm của các cạnh BC,
CA, AB và I là giao điểm của AD và EF. Đặt u→=⃗AE, v→=⃗⃗AF . Hãy phân tích các vec tơ

⃗

AI,⃗AG,⃗DE,⃗DC theo hai vec tơ u→, v→.

2/ Cho tam giác ABC. Điểm M trên cạnh BC sao cho MB = 2MC. Hãy phân tích ⃗AM theo hai vec tơ

u
→

=⃗AB, v

→

=⃗AC .

3/ Cho tam giác ABC có trung tuyến AM. Gọi I là trung điểm của AM và K là điểm trên cạnh AC sao
cho AK = 1/3AC. Chứng minh ba điểm B, I, K thẳng hàng.

4/ Cho tam giác ABC. Hai điểm M, N được xác đinh bởi các hệ thức:

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

5/ Gọi M, N lần lượt là trung điểm của hai đoạn thẳng AB và CD. Chứng minh rằng:
2⃗MN=⃗AC+⃗BD

6/ Cho hình bình ha2nhABCD. Chứng minh rằng: ⃗AB+2⃗AC+⃗AD=3⃗AC

7/ Chứng minh rằng nếu G và G’ lần lượt là trọng tâm của hai tam giác ABC và A’B’C’ thì
3⃗GG'=⃗AA'+⃗BB'+⃗CC'.

8/ Cho tứ giác ABCD. Xác định vị trí điểm G sao cho ⃗GA+⃗GB+⃗GC+⃗GD=0→

IV. HỆ TRỤC TỌA ĐỘ
A. CÁC KIẾN THỨC CẦN NHỚ

1. Trục tọa độ (trục) là một đường thẳng trên đó đã xác định một điểm O gọi là điểm gốc và vec tơ đơn
vị →e . Kí hiệu: (O; →e¿ hoặc Ox,

2. Cho M là một điểm tùy ý trên trục Ox. Khi đó có duy nhất một số m sao cho ⃗OM=m.→e . Ta gọi số

m là tọa độ của điểm M đối với hệ trục đã cho.

3. Cho hai điểm A và B trên trục Ox. Khi đó có duy nhất số k sao cho ⃗AB=k e→ . Ta gọi số k đó là độ

dài đại số của ⃗AB đối với hệ trục đã cho, kí hiệu: k = AB

4. Nếu A và B trên trục Ox có tọa độ lần lượt là a và b thì AB=b − a.

5. Hệ thức Sa- lơ: Hệ thức ⃗AB+⃗BC=⃗AC⇔AB+BC=AC

6. Tọa độ của một vec tơ, của một điểm trên mặt phẳng tọa độ Oxy.
* →a=(a

1; a2)⇔a

→

=a1i

→

+a2 j

→

* M có tọa độ (x ; y) ⇔⃗OM=(x ; y) với O là gốc tọa độ.

* Nếu A có tọa độ là (xA ; yA ), B có tọa độ ( xS ; yB) thì: ⃗AB=(x

B− xA; yB− yA) .
7. Cho →a=(a

1; a2), b

→

=(b1;b2), k∈R ta có:

* →a+→b=(a

1+b1;a2+b2)

* →a− b→=(a

1−b1;a2−b2)

* k a→=(ka

1;ka2)

* →avà→b(→a≠0→) cùng phương

⇔∃k:→b=k a

→

⇔

b1=ka1

b2=ka2
⇔b1

a1=
b2
a2

¿{

8. * Nếu I là trung điểm của đoạn thẳng AB thì: xI=xA+xB

2 ; yI=

yA+yB

2
* Nếu G là trọng tâm của tam giác ABC thì : xG=xA+xB+xC

3 ; yG=

yA+yB+yC

3
B. BÀI TẬP.

1/ Trên trục (O ; →e¿ cho các điểm A, B, M, N lần lượt có tọa độ là -4 , 3, 5, -2 .
a) Bểu diễn các điểm đã cho trên trục.

b) Tính độ dài đại số của các vec tơ ⃗AB,⃗AM,⃗MN .

2/ Cho hình vng ABCD có cạnh a = 5. Chọn hệ trục tọa độ (A ; →i; j→¿ trong đó →i và⃗AD cùng

hướng, →jvà⃗AB cùng hướng. Tìm tọa độ các đỉnh của hình vng, giao điểm I của hai đường chéo,

trung điểm N của BC và trung điểm M của CD.

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

4/ Cho hình bình hành ABCD có A(-1 ; 3), B(2 ; 4), C(0 ; 1). Tìm tọa độ đỉnh D.

5/ Cho u→=(3;−2), v→=(7;4) . Tính tọa độ của các vec tơ u→+→v, u→− v→,2→u,3→u−4→v,−(3→u−4→v)
6/ Cho A(3 ; 4), B(2 ; 5). Tìm x để điểm C(-7 ; x) thuộc đường thẳng AB.

7/ Cho bồn điểm A(0 ; 1), B(1 ; 3), C(2 ; 7), D(0 ; 3). Chứng minh hai đường thẳng AB// CD.

8/ Cho tam giác ABC có A(1 ; -1), B(5 ; -3), đỉnh C trên Oy và trọng tâm G trên Ox. Tìm tọa độ của C.
9/ Cho A(-2 ; 1), B(4 ; 5). Tìm tọa độ trung điểm I của đoạn thẳng AB và tìm tọa độ điểm C sao cho tứ
giác OACB là hình bình hành (O là gốc tọa độ).

10/ Cho tam giác ABC, trong đó A(1 ; 2), B(5 ; 2), C(1 ; -3).
a) Tìm tọa độ điểm D sao cho ABCD là hình bình hành.

b) Xác định tọa độ điểm E là điểm đối xứng của điểm A qua điểm B.
c) Tìm tọa độ trọng tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

Chương II. TICH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VEC TƠ VÀ ỨNG DỤNG
I. GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT GÓC BẤT KÌ TỪ 00 ĐỀN 1800.
A. CÁC KIẾN THỨC CẦN NHỚ.

1. Định nghĩa: Với mỗi góc α(00≤ α ≤1800) ta xác định được một điểm M trên nữa đường tròn đơn vị

sao cho góc xOM = α . Giả sử M(x0 ; y0 ). Khi đó:

* Tung độ y0 của M gọi là sin của góc α . Kí hiệu : sin α=y0 .
* Hồnh độ x0 của M gọi là cosin của góc α . Kí hiệu : cos α=x0.

* Tỉ số y0
x0

với x0 0 gọi là tang của góc α . Kí hiệu : tanα=y0
x0

.
* Tỉ số x0

y0

với y0≠0 gọi là cotang của góc α. Kí hiệu : cotα=x0

y0

.
2. Các hệ thức lượng giác.

a) Gí trị lượng giác của hai góc bù nhau.

sinα=sin(1800− α)

cosα=−cos(1800− α)

tanα=−tan(1800− α)

cotα=−cot(1800−α)

c) Các hệ thức lượng giác cơ bản.

Từ định nghĩa giá trị lượng giác của góc α ta suy ra các hệ thức :
 sin2α+cos2α=1

 sincosαα =tanα(α ≠900);cosα

sinα =cotα(α ≠0;α ≠180

)

 cotα= 1

tanα ;tanα=
1
cotα
 1+tan2α= 1

cos2α ;1+cot

α= 1

sin2α
3. Góc giữa hai vec tơ.

Cho hai vec tơ →a, b→ đều khác →0 . Từ một điểm O bất kì ta vẽ ⃗OA=→avà⃗OB=b→ . Khi đó góc

AOB với số đo từ 00 đến 1800 được gọi là góc giữa hai vec tơ 
a
→

và→b. Kí hiệu :

(

→a, b→

)

4. Bảng giá trị lượng giác của các góc đặc biệt.
α

Gtlg

</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

sinα 0 1

√

3
2

1 0

cosα 1

√

√

1
2

0 -1

tanα 0 1

√

√

3 || 0

cot α ||

√

3 1 1

√

0 ||

B. BÀI TẬP.

1/ Với giá trị nào của góc α ( 00≤ α ≤1800¿ .

a) sinαvà cosα cùng dấu. b) sinαvà cosα khác dấu.
c) sinαvà tanα cùng dấu d) sinαvà tanα khác dấu.
2/ Tính giá trị lượng giác của các góc: a) 1200 ; b) 1500 ; c) 1350.
3/ Rút gọn biểu thức:

a) A = 4a2cos2600+2 ab cos21800+4

3b

cos2300
b) B = (asin900 + btạn450)(acos00 + bcos1800)
4/ Cho sinα=1

4 với 900 < α<1800 . Tính cos αvà tanα.
5/ Cho cosα=−

√

4 . Tính sinαvà tanα

6/ Cho tanα=2

√

2,(00<α<900). Tính sinαvà cosα .

7/ Biết tanα=

√2

. Tính giá trị của biểu thức A = sin3 sinαα −cosα
+cosα .

8/ Biết sinα=2

3. Tính giá trị của biểu thức . B =

cotα −tanα
cotα+tanα .

9/ Chứng minh rằng với 00≤ x ≤1800 ta có:

a) (sinx + cosx)2 = 1 + 2sinxcosx.
b) (sinx – cosx)2 = 1 – 2sinxcosx.
c) Sin4x + cos4x = 1 – 2sin2xcos2x.

10/ Chứng minh rằng biểu thức sau đây không phụ thuộc vào x.
a) A = (sinx + cosx)2 + (sinx – cosx)2.

b) B = sin4x – cos4x – 2sin2x + 1

II. TICH VÔ HƯỜNG CỦA HAI VEC TƠ.
A.CÁC KIẾN THỨC CẦN NHỚ.

1. Định nghĩa. Cho hai vec tơ →avà→b≠→0 . Tích vơ hướng của hai vec tơ →avà→b là một số , kí hiệu:
a

→

.b→ được xác định bởi công thức sau: →a.b→=¿a

→

∨¿b

→

∨cos

(a

→
, b→

)

Lưu ý: * Với →a, b→≠0→ , ta có : →a.b→=0⇔→a⊥b→

* →a2

=¿a

→

∨¿a

→

∨cos 00=¿a

→

</div>
(7)<div class='page_container' data-page=7>

2. Các tính chất của tích vơ hướng. Với ba vec tơ →a, b→, c→ bất kì và mọi số k ta có :
→a.b→=→b.→a (tính chất giao hốn)

→a.(→b+→c)=→a.→b+→a.→c (tính chất phân phối)
(k a→).→b=k(→a.b→)=→a(k b→)

→a2

≥0
→a2

=0⇔a

→

→a+b

→

¿2=a

→

+2a

→
.b→+b

→

→a− b→¿2=a
→

−2→a.b→+b
→

(→a+→b)(→a− b→)=→a2− b→2

3. Biểu thức tọa độ của tích vơ hướng.

Trong mặt phẳng tọa độ (O ; →i, j→¿ cho hai vec tơ →a=(a

1; a2), b

→

=(b1;b2) .

Khi đó tích vơ hướng →a.b→=a

1.b1+a2.b2

4. Ứng dụng của tích vơ hướng.

a) Tính độ dài của vec tơ . Cho →a=(a

1; a2) , khi đó : ¿a

→

∨¿

√

a12+a22 .

b) Tính góc của hai vec tơ. Cho →a=(a

1; a2), b

→

=(b1;b2) , khi đó :
¿a

→

∨¿b

→

∨¿= a1b1+a2b2

√

a1
2

+a2
2

√

b1
2

+b2
2

cos(a

→

, b→)=a

→
.→b

B.BÀI TÂP.

1/ Tam giác ABC vng tại C có AC = 9, CB = 5. Tính ⃗AB .⃗AC .
2/ Tam giác ABC có góc A = 900, góc B = 600 và AB = a. Tính :

a) ⃗AB .⃗AC b) ⃗CA .⃗CB c) ⃗AC .⃗CB

3/ Tam giác ABC vuông cân tại A có AB = AC = a. Tính

a) ⃗AB .⃗AC b) ⃗BA .⃗BC c) ⃗AB .⃗BC
4/ Cho tam giác ABC có AB = 5 cm, BC = 7 cm, CA = 8 cm.

a) Tính ⃗AB .⃗AC rồi suy ra giá trị của góc A.

b) Tính ⃗CA .⃗CB

5/ Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng với điểm M tùy ý ta có: ⃗MA .⃗BC+⃗MB.⃗CA+⃗MC.⃗AB=0

6/ Cho hình chữ nhật ABCD có AB = a, AD = a

√

2 . Gọi K là trung điểm của cạnh AD. Chứng minh
rằng ⃗BK⊥⃗AC .

7/ Trong mặt phẳng Oxy cho A(4 ; 6), B(1 ; 4), C(7 ; 3/2).
a) Chứng minh rằng tam giác ABC vng tại A.
b) Tính chu vi của tam giác ABC.

8/ Trong mặt phẳng Oxy cho hai điểm A(2 ; 4), B(1 ; 1). Tìm tọa độ điểm C sao cho tam giác ABC là
tam giác vuông cân tại B.

9/ Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC với A(2 ; 4), B(-3 ; 1), C(3 ; -1). Tính:
a) Tọa độ điểm D để ABCD là hình bình hành.

b) Tọa độ chân A’ của đường cao vẽ từ đỉnh A.

10/ Trong mặt phẳng Oxy cho bốn điểm A(-1 ; 1), B(0 ; 2), C(3 ; 1), D(0 ; -2). Chứng minh rằng tứ giác
ABCD là hình thang cân.

</div>
(8)<div class='page_container' data-page=8>

Cho tam giác ABC có AB = c, BC = a, CA = b, đường cao AH = ha và các đường trung tuyến AM = ma,
BN = mb, CP = mc.

1. Định lí cosin.

a2 = b2 + c2 – 2bccosA
b2 = a2 + c2 – 2accosB
c2 = a2 + b2 – 2abcosC

 Hệ quả:

cosA=b

+c2− a2

2 bc
cosB=a

+c2−b2

2 ac
cosC=a

+b2− c2

2 ab
2. Định lí sin.

R
a

sinA =
b
sinB=

c

sinC=2R¿

: bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC)
3. Độ dài đường trung tuyến của tam giác.

ma2=b

+c2

2 −
a2

4
mb2=

a2

+c2

2 −
b2

4
mc

=a

+b2

2 −
c2

4
4. Các cơng thức tính diện tích tam giác.

Diện tích S của tam giác được tính theo các cơng thức:
* S=1

2ab sinC=
1

2ac sinB=
1

2bc sinA
* S=abc

4R ( R : bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC)
* S=pr với p=1

2(a+b+c) và r là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC.
* S=

√

p(p − a)(p − b)(p − c) với p=1

2(a+b+c) (công thức Hê- rơng)

B. BÀI TẬP.

1/ Cho tam giác ABC có b = 7cm, c = 5cm và cosA = 3/5.
a) Tính a, sinA và diện tích S của tam giác ABC.

b) Tính đường cao ha xuất phát từ đỉnh A và bán kính R của đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC.
2/ Cho tam giác ABC biết A = 600, b = 8cm, c = 5cm. Tính đường cao ha và bán kính R.

3/ Cho tam giác ABC có AB = 5cm, BC = 7cm, CA = 8cm. Tính:
a) ⃗AB .⃗AC b) góc A

4/ Cho tam giác ABC biết a = 21cm, b = 17cm, c = 10cm.
a) Tính diện tích S và ha.

b) Tính bán kính đường trịn nội tiếp r của tam giác ABC.

c) Tính độ dài đường trung tuyến ma phát xuất từ đỉnh A của tam giác ABC.

5/ Cho tam giác ABC biết a =

√6 cm

,b=2 cm, c=(1+

√3

)cm . Tính góc A, B chiều cao ha và R.

</div>
(9)<div class='page_container' data-page=9>

GA2 + GB2 + GC2 = 1
3(a

+b2+c2) .

7/ Tam giác ABC có BC = a, CA = b, AB = c. Chứng minh rằng: a = bcosC + ccosB

8/ Tam giác ABC có BC = a, CA = b, AB = c và đường trung tuyến AM = c = AB. Chứng minh rằng:

a) a2 = 2(b2 – c2)

b) sin2A = 2(sin2B – sin2C)

9/ Tam giác ABC vng tại A có các cạnh góc vng là b và c. Lấy một điểm M trên cạnh BC và cho
góc BAM = α . Chứng minh rằng: AM = bcbcosα

+csinα .

10/ Giải tam giác biết:

a) b = 14, c = 10, A = 1450 b) a = 4, b = 5, c = 7.
Chương III. PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG

I. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG
A. CÁC KIẾN THỨC CẦN NHỚ.

1. Phương rình tham số.

* Phương trình tham số của đường thẳng Δ đi qua điểm M0(x0 ; y0), có vec tơ chỉ phương

u
→

=(u1;u2) là

x=x0+tu1

y=y0+tu2

(u1
2

+u2
2

≠0)
¿{

* Phương trình đường thẳng Δ đi qua M0(x0 ; y0) và có hệ số góc k là: y – y0 = k(x – x0).
* Nếu Δ có VTCP u→=(u

1;u2) với u1≠0 thì hệ số góc của Δlàk=

u2
u1

.
* Nếu Δ có hệ số góc là k thì nó có một VTCP là u→=(1;k) .

2. Phương trình tổng quát.

* Phương trình của đường thẳng Δ đi qua điểm M0(x0 ; y0) và có vec tơ pháp tuyến →n=(a; b) là:
a(x – x0) + b(y – y0) = 0 ( a2 + b2 0¿

* Phương trình ax + by + c = 0 với a2 + b2 0 là phương trình tổng quát của đường thẳng nhận

n

→

=(a; b) làm VTPT.

* Đường thẳng Δ cắt Ox và Oy lần lượt tại A(a ; 0) và B(0 ; b) có phương trình theo đoạn chắn là :
x

a+
y

b=1(a , b≠0)

3. Vị trí tương đối của hai đường thẳng.n
Cho hai đường thẳng ΔΔ1:a1x+b1y+c1=0

2:a2x+b2y+c2=0

Để xét vị trí tương đối của hai đường thẳng Δ1vàΔ2 ta xét số nghiệm của hệ phương trình

a1x+b1y+c1=0

a2x+b2y+c2=0

¿
{
¿

(I)

 Hệ (I) có một nghiệm: Δ1 cắt Δ2

 Hệ (I) vô nghiệm : Δ1//Δ2

</div>
(10)<div class='page_container' data-page=10>

Chú ý: Nếu a2b2c2 0 thì :

Δ1∩ Δ2⇔a1

a2

≠b1

b2

Δ1//Δ2⇔a1

a2=
b1

b2≠
c1

c2
Δ1≡ Δ2⇔a1

a2=
b1

b2=

c1
c2
4. Góc giữa hai đường thẳng.

Góc giữa hai đường thẳng Δ1vàΔ2 có VTPT →n

1vàn

→

2 được tính theo cơng thức:

¿a1a2+b1b2∨ ¿

√

a12

+a22.

√

b12+b22
¿n

→

1∨¿n

→

2∨¿=¿

¿n

→

1.n

→

2∨¿¿

cos(Δ1, Δ2)=cos(n

→

1, n

→

2)=¿

5. Khoảnh cách từ một điểm đến một đường thẳng.

Khoảng cách từ một điểm M0(x0 ; y0) đến đường thẳng Δ : ax + by + c = 0 cho bởi công thức:
d(M0, Δ ) = ¿ax0+by0+c∨

√

a2+b2
¿

B. BÀI TẬP.

1/ Lập phương trình tổng quát và phương trình tham số của đường thẳng (d) trong mỗi trường hơp sau:
a) (d) đi qua điểm M(1 ; 1) và có VTPT →n=(3;−2)

b) (d) đi qua điểm A(2 ; -1) và có hệ số góc k = - 1/2
c) (d) đi qua hai điểm A(2 ; 0) và B(0 ; -3).

d) (d) đi qua điểm A(1 ; -2) và song song với đường thẳng 2x – 3y – 3 = 0.
e) (d) đi qua điểm A(2 ; 1) và vng góc với đường thẳng x – y + 5 = 0.
2/ Cho đường thẳng

Δ:
x=2+2t

y=3+t
¿{

a) Tìm điểm M nằm trên Δ và cách điểm A(0 ; 1) một khoảng bằng 5.
b) Tìm tọa độ giao điểm của đường thẳng Δ với đường thẳng x + y + 1 = 0.
c) Tìm điểm M trên Δ sao cho AM ngắn nhất.

3/ Cho điểm M(1 ; 2). Hãy lập phương trình của đường thẳng qua M và chắn trên hai trục tọa độ hai
đoạn có độ dài bằng nhau.

4/ Cho hai đường thẳng (d1): x + 2y + 4 = 0, (d2): 2x – y + 6 = 0.
a) Tính góc giữa hai đường thẳng.

b) Lập phương trình các đường phân giác của các góc giữa hai đường thẳng .

5/ Lập phương trình ba đường trung trực của tam giác có trung điểm các cạnh lần lượt là M(-1 ; 0),

N(4 ; 1), P(2 ; 4).

6/ Cho tam giác ABC, biết phương trình đường thẳng AB: x – 3y + 11 = 0, đường cao

AH: 3x + 7y – 15 = 0, đường cao BH: 3x – 5y + 13 = 0. Tìm phương trình hai đường thẳng chứa hai
cạnh còn lại của tam giác.

7/ Cho tam giác ABC có A(-2 ; 3) và hai đường trung tuyến : 2x – y + 1 = 0 và x + y – 4 = 0. Hãy viết
phương trình ba đường thẳng chứa ba cạnh của tam giác.

</div>
(11)<div class='page_container' data-page=11>

10/ Cho đường thẳng Δ : x – y + 2 = 0 và hai điểm O(0 ; 0), A(2 ; 0)

a) Chứng tỏ rằng hai điểm O và A nằm cùng một phía đối với đường thẳng Δ .
b) Tìm tọa độ điểm O’ là điểm đối xứng của O qua Δ .

c) Tìm trên Δ điểm B sao cho độ dài đường gấp khúc OBA ngắn nhất.

II. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRỊN
A. CÁC KIẾN THỨC CẦN NHỚ.

1. phương trình đường trịn.

* Phương trình đường trịn tâm I(a ; b), bán kính R là : (x – a)2 + (y – b)2 = R2.

* Nếu a2 + b2 – c > 0 thì phương trình x2 + y2 – 2ax – 2by + c = 0 là phương trình của đường trịn tâm 
I(a ; b), bán kính R =

√

a2

+b2−c

* Nếu a2 + b2 – c = 0 thì chỉ có một điểm I(a ; b) thỏa mãn phương trình: x2 + y2 – 2ax – 2by + c = 0

* Nếu a2 + b2 – c < 0 thì khơng có điểm M(x ; y) nào thỏa mãn phương trình: x2 + y2 – 2ax – 2by + c = 0
2. Phương trình tiếp tuyến của đường trịn.

Tiếp tuyến tại điểm M0(x0 ; y0) của đường tròn tâm I(a ; b) có phương trình
(x0 – a)(x – x0) + (y0 – b)(y – y0) = 0
B. BÀI TẬP.

1/ Trong các phương trình sau, phương trình nào biểu diễn đường trịn? Tìm tâm và bán kính nếu có.
a) x2 + y2 - 6x + 8y + 100 = 0

b) x2 + y2 + 4x – 6y – 12 = 0
c) 2x2 + 2y2 – 4x + 8y – 2 = 0

2/ Trong mặt phẳng Oxy,lập phương trinh của đường tròn (C) có tâm I(2 ; 3) và thỏa mãn điều kiện sau :
a) (C) có bán kính là 5 b) (C) đi qua gốc tọa độ

c) (C) tiếp xúc với trục Ox. d) (C) tiếp xúc với đường thẳng Δ : 4x + 3y – 12 = 0
3/ Cho ba điểm A(1 ; 4), B(-7 ; 4), C(2 ; -5).

a) Lập phương trình đường trịn (C) ngoại tiếp tam giác ABC.
b) Tìm tâm và bán kính của (C).

4/ Cho đường tròn (C) đi qua hai điểm A(-1 ; 2), B(-2 ; 3) và có tâm ở trên đường thẳng
Δ : 3x – y + 10 = 0

a) Tìm tọa độ tâm của (C)
b) Tính bán kính R của (C)
c) Viết phương trình của (C).

5/ Lập phương trình của đường tròn (C) đi qua hai điểm A(1 ; 2), B(3 ; 4) và tiếp xúc với đường thẳng

Δ : 3x + y – 3 = 0.

6/ Lập phương trình đường tròn (C) tiếp xúc với các trục tọa độ và đi qua điểm M(4 ; 2).
7/ Cho đường tròn (C): x2 + y2 – x - 7y = 0 và đường thẳng (d) : 3x + 4y – 3 = 0.

a) Tìm tọa độ giao điểm của (C) và (d).

b) Lập phương trình tiếp tuyến với (C) tại các giao điểm đó.
c) Tìm tọa độ giao điểm của hai tiếp tuyến.

8/ Cho đường tròn (C) : x2 + y2 – 6x + 2y + 6 = 0 và điểm A(1 ; 3)
a) Chứng tỏ điểm A nằm ngoài đường trịn (C).

b) Lập phương trình tiếp tuyến với (C) xuất phát từ điểm A.

9/ Lập phương trình tiếp tuyến với (C) : x2 + y2 - 6x + 2y = 0 biết tiếp tuyến :
a) Song song với đường thẳng (d) : x – 2y + 3 = 0

b) Vng góc với đường thẳng (d’) : 3x – y + 4 = 0

10/ Cho đường tròn (C) : (x + 1)2 + (y – 2 )2 = 9 và điểm M(2 ; -1).

a) Chứng tỏ rằng qua M ta vẽ được hai tiếp tuyến (d1) và (d2) với (C).Hãy viết phương trình của (d1)
và (d2).

b) Gọi M1 và M2 lần lượt là hai tiếp điểm của (d1) và (d2) với (C), hãy viết phương trình của đường
thẳng (d) đi qua M1 và M2.

</div>
(12)<div class='page_container' data-page=12>

A. CÁC KIẾN THỨC CẦN NHỚ.

I.ELIP II. HYPEBOL

1) Định nghĩa:

(E) =

{

M∨MF1+MF2=2a

}

F1F2 = 2c, a > c

2) Phương trình chính tắc:
x2

a2+
y2

b2 = 1 với b

2 = a2 – c2
3) Hình dạng và các yếu tố:

Cho elip (E): x

a2+

y2
b2 = 1

a) Hình dạng:

b) Các yếu tố:

 A1A2 = 2a: trục lớn
 B1B2 = 2b : trục nhỏ
 Cácđỉnh:A1(-a;0),A2(a;0),

B1(0;-b),B2(0;b)

 Các tiêu điểm: F1(-C;0), F2(C;0)
 Tiêu cự: F1F2 = 2c

 Bán kính qua tiêu của điểm M (E) :

{

MF1=a+c

axM
MF2=a−c

axM

 Tâm sai: e = c

a<1

 Phương trình đường chuẩn:

(D1): x = - a

e=−
a2

c ; (D2): x =
a
e=

a2

c

1) Định nghĩa:

(H) =

{

M∨

|

MF1−MF2

|

=2a

}

F1F2 = 2c, c > a

2) Phương trình chính tắc:
x2

a2−

y2

b2 = 1 với b2 = c2 – a2

3) Hình dạng và các yếu tố
Cho Hypebol (H): x

a2−
y2

b2 = 1
a) Hình dạng:

b) Các yếu tố

 A1A2 = 2a: trục thực
 B1B2 = 2b : trục ảo

 Các đỉnh:A1(-a;0), A2(a;0)
 Các tiêu điểm: F1(-C;0), F2(C;0)
 Tiêu cự: F1F2 = 2c

Bán kính qua tiêu của điểm M (H)

{

MF1=

|

a+

c
axM

|

MF2=

|

a −c

axM

|

 Tâm sai: e = c

a>1

</div>
(13)<div class='page_container' data-page=13>

III.PARABOL
1. Định nghĩa:

(P)=

{

M/MF=d(M , Δ)

}

F: tiêu điểm, Δ : đường chuẩn

P = d(F, Δ ) > 0: tham số tiêu của (P)
2. Phương trình chính tắc của (P).

y2 = 2px ( p > 0 )

3. Các yếu tố.

 O(0;0) là đỉnh của parabol
 Ox là trục đối xứng của parabol
 Bán kính qua tiêu của điểm M Ỵ

(P): MF = p
2 + xM

 Tiêu điểm F( p

2 ;0¿

 Đường chuẩn Δ:x=− p

(D1): x = - a

e=−
a2

c ; (D2): x =
a
e=

a2
c

 Phương trình tiệm cận:

(d1): y = - bax ; (d2): y = bax

B. BÀI TÂP

1/ Xác định độ dài hai trục, tiêu cự, tâm sai, tọa độ các tiêu điểm và các đỉnh của elip sau:
a) x

25+
y2

16=1 b) 4x

2 + 16y2 – 1 = 0 c) x2 + 4y2 = 1 d) x2 + 3y2 = 2
( Vẽ elip câu a)

2/ Lập phương trình chính tắc của elip (E) biết.

a) A(0 ; - 2) là một đỉnh và F(1 ; 0) là một tiêu điểm của (E).
b) F1(-7 ; 0) là một tiêu điểm và (E) đi qua M(-2 ; 12)

c) Tiêu cự bằng 6, tâm sai bằng 3/5.

d) Phương trình các cạnh của hình chữ nhật cơ sở là x = ±4, y=±3

</div>
(14)<div class='page_container' data-page=14>

3/ Tìm những điểm trên elip (E) : x2
9+y

=1 thỏa mãn :

a) Có bán kính qua tiêu điểm bên trái bằng hai lần bán kính qua tiêu điểm bên phải.
b) Nhìn hai tiêu điểm dưới một góc vng.

c) Nhìn hai tiêu điểm dưới góc 600.
4/ Cho elip (E) : x2

9+
y2

4 =1 .

a) Tìm tọa độ các tiêu điểm, các đỉnh ; tính tâm sai và vẽ (E).
b) Xác định m để đường thẳng d : y = x + m và (E) có điểm chung.

c) Viết phương trình đường thẳng Δ đi qua M(1 ; 1) và cắt (E) tại hai điểm A, B sao cho M là
trung điểm của AB.

5/ Xác định độ dài trục thực, trục ảo ; tiêu cự ; tâm sai ; tọa độ các tiêu điểm, các đỉnh và phương trình
các đường tiệm cận của mỗi hyperbol (H) sau :( Vẽ (H) có phương trình ở câu a), b) và d))

a) x

16 −
y2

4 =1 b) 4x

2 – y2 = 1 c) 16x2 – 25y2 = 400 d) x2 – y2 = 1
6/ Lập phương trình chính tắc của hyperbol (H) biết :

a) Một tiêu điểm là (5 ; 0), một đỉnh là (- 4 ; 0).
b) Độ dài trục ảo là 12, tâm sai bằng 5/4.
c) Một đỉnh là (2 ; 0), tâm sai bằng 3/2.

d) Tâm sai bằng

√

2 , (H) đi qua điểm A(-5 ; 3).
e) (H) đi qua hai điểm A(6 ; -1), B(-8 ; 2

√

2¿ .

7/ Tìm các điểm trên hyperbol (H) : 4x2 – y2 – 4 = 0 thỏa mãn :
a) Nhìn hai tiêu điểm dưới một góc vng.

b) Nhìn hai tiêu điểm dưới một góc 1200.
c) Có tọa độ nguyên.

8/ Xác định tham số tiêu, tọa độ đỉnh, tiêu điểm và phương trình đường chuẩn của các parabol (P) sau :
a) y2 = 4x b) 2y2 – x = 0 c) 5y2 = 12x ( Vẽ (P) có phương trình ở câu a))

9/ Lập phương trình chính tắc của parabol (P) biết :
a) (P) có tiêu điểm F(1 ; 0)

b) (P) có tham số tiêu p = 5

c) (P) nhận đường thẳng d : x = -2 là đường chuẩn.

d) Một dây cung của (P) vng góc với trục Ox có độ dài bằng 8 và khoảng cách từ đỉnh O đến dây
cung này bằng 1.

10/ : Cho parabol (P): y2 = 8x

a) Tìm tọa độ tiêu điểm và viết phương trình đường chuẩn của (P)

</div>

chuan kien thuc HH10

(

)

√

√

<sub>√</sub>

√

√

<sub>√</sub>

<sub>√</sub>

√

√

√

√2

(a

)

√

√

<sub>√</sub>

<sub>√</sub>

<sub>√</sub>

√6 cm

√3

√

√

√

<sub>√</sub>

{

<sub>}</sub>

{

<sub>{</sub>

<sub>|</sub>

<sub>|</sub>

<sub>}</sub>

{

|

|

|

|

{

}

√

<sub>√</sub>

Tài liệu liên quan

Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về