D3 1 PHƯƠNG PHÁP QUY nạp TOÁN học

TOÁN 11

PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC

1D3-1
PHẦN A. CÂU HỎI
Câu 1.

Câu 2.

A( n)
Khi sử dụng phương pháp quy nạp để chứng minh mệnh đề chứa biến
đúng với mọi số tự
n≥ p p
nhiên
( là một số tự nhiên), ta tiến hành hai bước:
A( n)
n = p.
•
Bước 1, kiểm tra mệnh đề
đúng với
A( n)
n=k≥ p
•
Bước 2, giả thiết mệnh đề
đúng với số tự nhiên bất kỳ
và phải chứng minh
n = k + 1.
rằng nó cũng đúng với
Trogn hai bước trên:
A. Chỉ có bước 1 đúng.

B. Chỉ có bước 2 đúng.
C. Cả hai bước đều đúng.
D. Cả hai bước đều sai.

Một học sinh chứng minh mệnh đề
chia hết cho
như sau:
k
( *)
8 +1
n=k
7.
•
Giả sử
đúng với
, tức là
chia hết cho
8k +1 + 1 = 8 8k + 1 − 7
8k + 1
7
•
Ta có:
, kết hợp với giả thiết
chia hết cho
nên suy ra được
k +1
*
( *)
8 +1
n∈¥ .

7.
chia hết cho Vậy đẳng thức
đúng với mọi
Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. Học sinh trên chứng minh đúng.
B. Học sinh chứng minh sai vì khơng có giả thiết qui nạp.
C. Học sinh chứng minh sai vì khơng dùng giả thiết qui nạp.
D. Học sinh không kiểm tra bước 1 (bước cơ sở) của phương pháp qui nạp.

(

Sn =

Câu 3.

Cho

S3 =
A.

Cho
A.

Câu 5.

B.

B.

với

n ∈ N* .

Mệnh đề nào sau đây đúng?
2
1
S2 = .
S3 = .
3
4
C.
D.

1
S2 = .
6

1
1
1
1
+
+
+ ... +
1 ×2 2 ×3 3 ×4
n. ( n + 1)

n −1
Sn =
.

n

Cho

)

1
1
1
1
+
+
+ ... +
1 ×2 2 ×3 3 ×4
n. ( n + 1)

1
.
12

Sn =

Câu 4.

7, ∀n ∈ ¥ * '' ( *)

''8n + 1

với

n ∈ N* .

n
Sn =
.
n +1

1 
1 
1 

Pn = 1 − 2 ÷ 1 − 2 ÷... 1 − 2 ÷
 2  3   n 

với

n≥2

Mệnh đề nào sau đây đúng?
n +1
n+2
Sn =
.
Sn =
.
n+2
n+3
C.
D.

và

n ∈ ¥.

Mệnh đề nào sau đây đúng?
1


P=
A.
Câu 6.

n +1
.
n+2

Với mọi

A.
B.

C.

P=
B.

n −1
.
2n

P=
C.

P=
D.

n +1
.
2n

n ∈ ¥*

, hệ thức nào sau đây là sai?
n ( n + 1)
1 + 2 + ... + n =
2

1 + 3 + 5 + ... + ( 2 n − 1) = n2

.
n ( n + 1) ( 2n + 1)
12 + 22 + ... + n 2 =
6
2 2 + 42 + 62 + L + ( 2n ) =
2

D.

2n ( n + 1) ( 2n + 1)
6

2

.

S = 1 + 2 + ... + n 2

n

2

Câu 7.

Với mối số nguyên dương , đặt
n(n + 1)( n + 2)
n(n + 1)(2n + 1)
S=
S=
6
3
A.
. B.
.
n(n + 1)(2n + 1)
n(n + 1)(2n + 1)
S=
S=
6
2
C.
. D.

.

Câu 8.

Đặt

Câu 9.

n +1
.
n

Tn = 2 + 2 + 2 + ... + 2

(có

. Mệnh đề nào dưới đây là đúng?

n

dấu căn). Mệnh đề nào dưới đây là mệnh đề đúng?
π
π
Tn = 2 cos n +1
Tn = cos n +1
Tn = 3
Tn = 5
2
2
A.

.
B.
.
C.
.
D.
.
1
1
1
Sn =
+
+ ... +
1.3 3.5
(2n − 1)(2n + 1)
n∈¥*
Đặt
,với
.Mệnh đề nào dưới đây đúng?
n +1
3n − 1
n
n+2
Sn =
Sn =
Sn =
Sn =
2(2n + 1)
4n + 2
2n + 1

6n + 3
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.

n

2n +1 > n2 + 3n.

Câu 10. Tìm tất cả các số nguyên dương sao cho
n≥6
n≥3
n≥5
A.
.
B.
.
C.
.
S
n
n≥3
Câu 11. Tổng các góc trong của một đa giác lồi cạnh,
, là:
S = ( n − 2 ) .180°

S = n.180°
A.
.
B.
.
S = ( n − 1) .180°
S = ( n − 3) .180°
C.
.
D.
.
Câu 12. Với

n∈¥*

, hãy rút gọn biểu thức

S = 1.4 + 2.7 + 3.10 + ... + n ( 3n + 1)

D.

n≥4

.

.
2


A.

S = n ( n + 1)

.
B.
k ! = k ( k − 1) ...2.1, ∀k ∈ ¥ *

Câu 13. Kí hiệu
đây là đúng?
S n = 2.n !
A.
.
n∈¥*

Câu 14. Với
, đặt
đây là đúng?
Tn
4n + 1
=
M n 2n + 2
A.
.

S = 2n ( n + 1)
.
D.
.
Sn = 1.1!+ 2.2!+ ... + n.n !
n∈¥*

. Với
, đặt
. Mệnh đề nào dưới

S = n ( n + 2)

2

B.

2

.

Sn = ( n + 1) !− 1

C.

.

Tn = 12 + 2 2 + 32 + ... + ( 2n )

B.

Tn
4n + 1
=
M n 2n + 1

C.

2

và

S = n ( n + 1)

S n = ( n + 1) !

.

D.

Sn = ( n + 1) !+ 1

M n = 22 + 42 + 62 + ... + ( 2n )
Tn
8n + 1
=
Mn
n +1

.

2

. Mệnh đề nào dưới
Tn
2n + 1
=

Mn
n +1

.
C.
.
D.
.
p
n≥ p
2 > 2n + 1
Câu 15. Tìm số nguyên dương
nhỏ nhất để
với mọi số nguyên
.
p=5
p=3
p=4
p=2
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
n∈¥*
2n > n 2
Câu 16. Tìm tất cả các giá trị của

sao cho
.
n≥5
n =1
n≥6
n≥7
n =1
n≥5
A.
.
B.
hoặc
.C
.
D.
hoặc
.
1
1
1
an + b
+
+ ... +
=
(
)
(
)
a , b, c
2.5 5.8

3n − 1 3n + 2
cn + 4
n
Câu 17. Với mọi số nguyên dương , ta có:
, trong đó
là
2
2
2
T = ab + bc + ca
các số nguyên. Tính các giá trị của biểu thức
.
T =3
T =6
T = 43
T = 42
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
1  an + 2
 1  1  
 1 − ÷ 1 − ÷... 1 − 2 ÷ =
a, b
 4   9   n  bn + 4
n≥2

Câu 18. Với mọi số nguyên dương
, ta có:
, trong đó
là các số
T = a 2 + b2
ngun. Tính các giá trị của biểu thức
.
P=5
P=9
P = 20
P = 36
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
3
3
3
4
3
2
*
1 + 2 + ... + n = an + bn + cn + dn + e, ∀n ∈ ¥
Câu 19. Biết rằng
. Tính giá trị biểu thức
M = a +b+c +d +e

.
1
1
M=
M=
4
2
M =4
M =1
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
3
1.2 + 2.3 + ... + n ( n + 1) = a1n + b1n 2 + c1n + d1
n
Câu 20. Biết rằng mọi số nguyên dương , ta có
và
3
2
(
)
1.2 + 2.5 + 3.8 + ... + n 3n − 1 = a2 n + b2n + c2n + d 2
.
Tính
giá

trị
biểu
thức
T = a1a2 + b1b2 + c1c2 + d1d 2
.
n

3


A.

T =2

.

B.
1 + 2 + ... + n
k

Câu 21. Biết rằng

k

n ( n + 1)
S1 =
2

T =1

M =

.

k

, trong đó

n ( n + 1) ( 2n + 1)
S2 =
6

C.
n, k

T=

.

D.

2
3

.

là số nguyên dương. Xét các mệnh đề sau:

2
n 2 ( n − 1)

S3 =
4

,
,
và
Số các mệnh đề đúng trong các mệnh đề nói trên là:
4
1
2
A. .
B. .
C. .

n∈¥*

4
3

P :"7 n + 5

n ( n + 1) ( 2n + 1) ( 3n 2 + 3n − 1)
S4 =
30

.

3
D. .

n
3"
2" Q :"7 + 5
chia hết cho
;
chia hết cho
và

Câu 22. Với
, ta xét các mệnh đề
n
Q :"7 + 5
6"
chia hết cho
. Số mệnh đề đúng trong các mệnh đề trên là :
3
0
1
2
A. .
B. .
C. .
D. .
n
n ≥ 2n −1
Câu 23. Xét bài toán: “Kiểm nghiệm với số nguyên dương
bất đẳng thức
”. Một học sinh đã
trình bày lời giải bài tốn này bằng các bước như sau:
n =1

n ! = 1! = 1
n ! ≥ 2n −1
2n−1 = 21−1 = 20 = 1
Bước 1: Với
, ta có:
và
. Vậy
đúng.
k −1
n = k ≥1
k!≥ 2
Bước 2 : Giả sử bất đẳng thức đúng với
, tức là ta có
.
( k + 1) ! ≥ 2k
n = k +1
Ta cần chứng minh bất đẳng thức đúng với
, nghĩa là phải chứng minh
.

( k + 1) ! = ( k + 1) .k ! ≥ 2.2 k −1 = 2k

n! ≥ 2n−1

Bước 3 : Ta có
. Vậy
Chứng minh trên đúng hay sai, nếu sai thì sai từ bước nào ?
A. Đúng.
B. Sai từ bước 2.
C. Sai từ bước 1.

1
1
1
an + bn
+
+ ... +
= 2
1.2.3 2.3.4
n ( n + 1) ( n + 2 ) cn + dn + 16

với mọi số nguyên dương

n

.

D. Sai từ bước 3.

2

Câu 24. Biết rằng

nguyên dương. Tính giá trị của biểu thức
là :
T = 75
T = 364
A.
.
B.
.

T = ( a + c) ( b + d )

C.

T = 300

, trong đó

a, b, c, d

và

n

là các số

.
.

D.

T = 256

.

PHẦN B. LỜI GIẢI THAM KHẢO
Câu 1.
Câu 2.

Câu 3.

Chọn

C.
n =1

81 + 1 = 9

Chọn D. Thiếu bước 1 là kiểm tra với
, khi đó ta có
khơng chi hết cho
1
1
1

→
=
.
n. ( n + 1)
2.
2
+
1
2
×
3
Sn
(
)

n=2
Nhìn vào đi của
là
cho
, ta được
1
1
2
S2 =
+
= .
n=2
1×2 2 ×3 3
Do đó với
, ta có
Chọn C.

7.

4


Câu 4.

Câu 5.
Câu 6.
Câu 7.
Đáp án

1

2
3
S1 = , S2 = , S3 =
2
3
4

Cách trắc nghiệm: Ta tính được
. Từ đó ta thấy quy luật là từ nhỏ hơn
mẫu đúng 1 đơn vị. Chọn B.
1
2
3
n
S1 = , S 2 = , S3 = 
→
Sn =
.
2
3
4
n +1
Cách tự luận. Ta có
dự đốn
1
1
S1 =
=
n =1
1.2 1 + 1

•
Với
, ta được
: đúng.
1
1
1
k
+
+ ... +
=
1.2 2.3
k ( k + 1) k + 1
n = k ( k ≥ 1)
•
Giả sử mệnh đề đúng khi
, tức là
.
1
1
1
k
+
+ ... +
=
1.2 2.3
k ( k + 1) k + 1
•
Ta có
1

1
1
1
k
1
⇔
+
+ ... +
+
=
+
1.2 2.3
k ( k + 1) ( k + 1) ( k + 2 ) k + 1 ( k + 1) ( k + 2 )
⇔

1
1
1
1
k 2 + 2k + 1
+
+ ... +
+
=
1.2 2.3
k ( k + 1) ( k + 1) ( k + 2 ) ( k + 1) ( k + 2 )

⇔

1

1
1
1
k +1
+
+ ... +
+
=
.
1.2 2.3
k ( k + 1) ( k + 1) ( k + 2 ) k + 2

Suy ra mệnh đề đúng với

n = k +1

.


1  3

→ P2 = 1 − 2 ÷ =
 n = 2 

 2  4
.

1
1
2





 n = 3 
→ P3 = 1 − 2 ÷. 1 − 2 ÷ =

 2  3  3

n≥2
Vì
nên ta cho
Kiểm tra các đáp án chỉ cho D thỏa. Chọn D.
n =1 n = 2 n = 3
Bẳng cách thử với
,
,
là ta kết luận được. Chọn

D.

n∈ ¥*

C. Cách 1: Chúng ta chứng minh bằng phương pháp quy nạp tốn học rằng mọi
, ta có
n(n + 1)(2n + 1)
12 + 22 + 32 + ... + n 2 =
.
6
đẳng thức

1(1 + 1)(2.1 + 1)
=1
2
n =1
6
1 =1
- Bước 1: Với
thì vế trái bằng
, vế phải bằng
.
n =1
Vậy đẳng thức đúng với
.
n = k ≥1
-Bước 2: Giả sử đẳng thức đúng với
, tức là chứng minh
(k + 1) [ (k + 1) + 1] [ 2(k + 1) + 1] (k + 1)(k + 2)(2k + 3)
12 + 22 + 32 + ... + k 2 + ( k + 1) 2 =
=
.
6
6

5


n = k +1
Ta phải chứng minh đẳng thức cũng đúng với
, tức là chứng minh
(k + 1) [ (k + 1) + 1] [ 2(k + 1) + 1] (k + 1)(k + 2)(2k + 3)

12 + 22 + 32 + ... + k 2 + ( k + 1) 2 =
=
.
6
6

Thật vậy, theo giả thiết quy nạp ta có
(k + 1)(k + 1)(2k + 1)
12 + 22 + 32 + ... + k 2 + (k + 1) 2 =
+ ( k + 1) 2 .
6

Mà

(k + 1)( k + 1)(2k + 1)
k ( k + 1)(2k + 1) + 6( k + 1) 2 ( k + 1)( k + 2)(2 k + 3)
2
+ (k + 1) =
=
.
6
6
6

12 + 22 + 32 + ... + k 2 + (k + 1) 2 =
Suy ra

(k + 1)( k + 2)(2k + 3)
.
6

n = k +1
Do đó đẳng thức đúng với
. Suy ra có điều phải chứng minh.
Vậy phương án đúng là C.
Cách 2: Kiểm tra tính đúng-sai của từng phương án đến khi tìm được phương án đúng thông qua
một số giá trị cụ thể của n.
S = 12 = 1
n =1
+ Với
thì
(loại được các phương án B và D);
2
2
S =1 + 2 = 5
n=2
+ Với
thì
(loại được phương án A).
Vậy phương án đúng là C.

Câu 8.
Tn = 2 cos

Đáp án

B. Ta chứng minh

π
2n +1

bằng phương pháp quy nạp toán học. Thật vậy:
π
π
2 cos 1+1 = 2 cos = 2
n =1
2
2
4
Bước 1: Với
thì vế trái bằng
, cịn vế phải bằng
.
n =1
Vậy đẳng thức đúng với
.
π
Tk = 2 cos k +1
n = k ≥1
2
Bước 2: Giả sử đẳng thức đúng với
, nghĩa là
.
Ta phải chứng minh đẳng thức cũng đúng với

Thật vậy, vì

n = k +1

Tk +1 = 2 cos

, tức là chứng minh
Tk +1 = 2 + Tk = 2 + 2 cos

Tk +1 = 2 + Tk

π
2k +2

.

π
2k +1

nên theo giả thiết quy nạp ta có
.
π
π
 π 
π
π
1 + cos k +1 = 1 + cos  2. k + 2 ÷ = 2 cos 2 k + 2
Tk +1 = 2.2 cos 2 k + 2 = 2 cos k + 2
2
2
2
2
 2 
Mặt khác,
nên

.
Vậy phương án đúng là B.
Câu 9.
Đáp án

C. Cách 1: Rút gọn biểu thức

Sn

dựa vào việc phân tích phần tử đại diện.
6


1
1 1
1 
= 
−
÷
(2k − 1)(2k + 1) 2  2k − 1 2k + 1 

k
Với mọi số nguyên dương , ta có
.
1 1 1 1
1
1  1
1 
n
S n =  1 − + − + ... +

−
÷ = 1 −
÷=
2 3 3 5
2 n − 1 2n + 1  2  2n + 1  2n + 1
Do đó:
.
Vậy phương án đúng là phương án
C.
Cách 2: Kiểm tra tính đúng – sai của phương án dựa vào một số giá trị cụ thể của n.
1 1
S1 =
=
n =1
1.3 3
Với
thì
(chưa loại được phương án nào);
1
1 2
S2 =
+
=
n=2
1.3 3.5 5
Với
thì
(loại ngay được các phương án A,B và D.
Vậy phương án đúng là phương án
C.

Câu 10.

n = 1, 2,3, 4,
D. Kiểm tra tính đúng – sai của bất đẳng thức với các trường hợp
ta dự đoán được
n +1
2
2 > n + 3n,
n ≥ 4.
với
Ta chứng minh bất đẳng thức này bằng phương pháp quy nạp toán học.
Thật vây:
24+1 = 25 = 32,
42 + 3.4 = 28.
n=4
-Bước 1: Với
thì vế trái bằng
còn vế phải bằng
32 > 28
n = 4.
Do
nên bất đẳng thức đúng với
n = k ≥ 4,
2k +1 > k 2 + 3k .
-Bước 2: Giả sử đẳng thức đúng với
nghĩa là
n = k + 1,
Ta phải chứng minh bất đẳng thức cũng đúng với
tức là phải chứng minh

2
( k +1) +1
2
> ( k + 1) + 3 ( k + 1)
2k + 2 > k 2 + 5k + 4.
hay
2k +1 > k 2 + 3k .
Thật vậy, theo giả thiết quy nạp ta có
2.2k +1 > 2 ( k 2 + 3k )
2 k + 2 > 2k 2 + 6k
Suy ra
hay
2
2
2k + 6k − ( k + 5k + 4 ) = k 2 + k − 4 ≥ 4 2 + 4 − 4 = 16
k ≥ 4.
Mặt khác
với mọi
2k + 2 > 2 ( k 2 + 3k ) > k 2 + 5k + 4
n = k + 1.
Do đó
hay bất đẳng thức đúng với
Suy ra bất đẳng thức được chứng minh.
Vậy phương án đúng là D.
Câu 11. Đáp án
B.
180°
360°
Cách 1: Từ tổng các góc trong tam giác bằng
và tổng các góc trong từ giác bằng

,
S = ( n − 2 ) .180°
chúng ta dự đoán được
.
Đáp án

7


Câu 12.

Câu 13.

Câu 14.

Câu 15.

Cách 2: Thử với những trường hợp đã biết để kiểm nghiệm tính đúng –sai từ các cơng thức. Cụ
n=3
S = 180°
n=4
S = 360°
thể là với
thì
(loại ln được các phương án A, C và D); với
thì
(kiểm nghiệm phương án B lần nữa).
Đáp án
A.
S

Để chọn được đúng, chúng ta có thể dựa vào một trong ba cách sau đây:
n
Cách 1: Kiểm tra tính đúng –sai của từng phương án với những giá trị của .
n =1
S = 1.4 = 4
n=2
S = 1.4 + 2.7 = 18
Với
thì
(loại ngay được phương án B và C); với
thì
(loại được phương án D).
n = 1, S = 4; n = 2, S = 18; n = 3, S = 48
S
Cách 2: Bằng cách tính trong các trường hợp
ta dự
2
S = n ( n + 1)
đốn được cơng thức
.
n ( n + 1)
1 + 2 + ... + n =
S
2
Cách 3: Ta tính dựa vào các tổng đã biết kết quả như
và
n ( n + 1) ( 2n + 1)
12 + 22 + ... + n 2 =
2
S = 3 ( 12 + 2 2 + ... + n 2 ) + ( 1 + 2 + ... + n ) = n ( n + 1)

6
. Ta có:
.
Đáp án
B.
Chúng ta có thể chọn phương án đúng dựa vào một trong hai cách sau đây:
n
Cách 1: Kiểm nghiệm từng phương án đúng đối với những giá trị cụ thể của .
S1 = 1.1! = 1
n =1
Với
thì
(Loại ngay được các phương án A, C, D).
Sn
Cách 2: Rút gọn
dựa vào việc phân tích phần tử đại diện
k .k ! = ( k + 1 − 1) .k ! = ( k + 1) .k !− k ! = ( k + 1) !− k !
. Suy ra:
Sn = ( 2!− 1!) + ( 3!− 2!) + ... + ( ( n + 1) !− n!) = ( n + 1) !− 1
.
Đáp án
A.
Chúng ta có thể chọn phương án đúng dựa vào một trong hai cách sau đây:
n
Cách 1: Kiểm nghiệm từng phương án đúng đối với những giá trị cụ thể của .
T1 5
=
2
2
2

T1 = 1 + 2 = 5; M 1 = 2 = 4
M1 4
n =1
Với
thì
nên
(loại ngay được các phương án B, C, D).
Tn , M n
Cách 2: Chúng ta tính
dựa vào những tổng đã biết kết quả. Cụ thể dựa vào ví dụ 1:
Tn
4n + 1
2n ( 2n + 1) ( 4n + 1)
2n ( n + 1) ( 2n + 1)
=
Tn =
;Mn =
M n 2n + 2
6
3
. Suy ra
.
Đáp án
B.
p=2
2 p > 2 p +1
Dễ thấy
thì bất đẳng thức
là sai nên loại ngay phương án
D.

8


Xét với

p=3

ta thấy

2 p > 2 p +1

là bất đửng thức đúng. Bằng phương pháp quy nạp toán học
p=3
2 > 2n + 1
n≥3
chúng ta chứng minh được rằng
với mọi
. Vậy
là số nguyên dương nhỏ
nhất cần tìm.
Câu 16. Đáp án
D.
n =1
Kiểm tra với
ta thấy bất đẳng thức đúng nên loại ngay phương án A và C.
n =1
Kiểm tra với
ta thấy bất đẳng thức đúng. Bằng phương pháp quy nạp toán học chúng ta
2 n > n 2 , ∀n ≥ 5
chứng minh được rằng

.
Câu 17. Đáp án
B.
1
1 1
1 
= 
−
( 3k − 1) ( 3k + 2 ) 3  3k − 1 3k + 2 ÷

Cách 1: Với chú ý
, chúng ta có:
1
1
1
11 1 1 1
1
1 
+
+ ... +
=  − + − + ... +
−
÷
( 3n − 1) ( 3n + 2 ) 3  2 5 5 8
2.5 5.8
3n − 1 3n + 2 
n

=

1
3n
n
.
=
(
)
3 2 3n + 2
6n + 4

.

Đối chiếu với đẳng thức đã cho, ta có:
T = ab 2 + bc 2 + ca 2 = 6
Suy ra
.

Cách 2: Cho

n = 1, n = 2, n = 3

a = 1, b = 0, c = 6

.

a + b 1 2a + b 1 3 x + b 3
= ;
= ;
=
c = 4 10 2c + 4 8 3c + 4 22

ta được:
.
2
2
a = 1, b = 0, c = 6
T = ab + bc + ca 2 = 6
Giải hệ phương trình trên ta được
. Suy ra
Câu 18. Đáp án
C.
1 k −1 k +1
1− 2 =
.
k
k
k
Cách 1: Bằng cách phân tích số hạng đại diện, ta có:
. Suy ra
1
1
1


 
 1 3 2 4 n − 1 n + 1 n + 1 2n + 2
.
=
=
 1 − ÷ 1 − ÷... 1 − 2 ÷ = . . . ...

 4  9   n  2 2 3 3
n
2n
2n
4n
.
2
a = 2, b = 4
P = a + b 2 = 20
Đối chiếu với đẳng thức đã cho ta có:
. Suy ra
.
a + 1 3 3a + 2 2
= ;
=
n = 2, n = 3
b
4 3b
3
Cách 2: Cho
ta được
. Giải hệ phương trình trren ta được
2
2
a = 2; b = 4
P = a + b = 20
. Suy ra
.
Câu 19. Đáp án
B.

9


13 + 23 + ... + n3 =

2
n 2 ( n + 1)
n 4 + 2n 3 + n 2
=
4
4

Cách 1: Sử dụng kết quả đã biết:
. So sánh cách hệ số,
1
1
1
a = ;b = ;c = ; d = e = 0
4
2
4
ta được
.
n = 1, n = 2, n = 3, n = 4, n = 5
a , b , c, d , e
Cách 2: Cho
, ta được hệ 5 phương trình 5 ẩn
. Giải hệ
1

1
1
a = ;b = ;c = ; d = e = 0
M = a +b+c + d + e =1
4
2
4
phương trình đó, ta tìm được
. Suy ra
.
Câu 20. Đáp án
C.
Cách 1: Sử dụng các tổng lũy thừa bậc 1 và bậc 2 ta có:
1
2
1.2 + 2.3 + ... + n ( n + 1) = ( 12 + 22 + ... + n 2 ) + ( 1 + 2 + ... + n ) = n3 + n 2 + n
3
3
+)
.
1
2
a1 = ; b1 = 1; c1 = ; d1 = 0
3
3
Suy ra
.
1.2 + 2.5 + 3.8 + ... + n ( 3n − 1) = 3 ( 12 + 2 2 + ... + n 2 ) − ( 1 + 2 + ... + n ) = n3 + n 2 .
+)
a2 = b2 = 1; c2 = d 2 = 0

Suy ra
.
4
T = a1a2 + b1b2 + c1c2 + d1d 2 =
3
Do đó
.
n = 1, n = 2, n = 3, n = 4
Cách 2: Cho
và sử dụng phương pháp hệ số bất đinh ta cũng tìm được
1
2
a1 = ; b1 = 1; c1 = ; d1 = 0
a2 = b2 = 1; c2 = d 2 = 0
3
3
;
.
4
T = a1a2 + b1b2 + c1c2 + d1d 2 =
3
Do đó
.
Câu 21. Đáp án
D.
2
n 2 ( n − 1)
S3 =
4
chúng ta thấy ngay được chỉ có

là sai.
Câu 22. Đáp án
A.
7n + 5
Bằng phương pháp quy nạp toán học, chúng ta chứng minh được rằng
chia hết cho 6.
1
n =1
7 + 5 = 12M6
Thật vậy: Với
thì
.
n = k ≥1
7k + 5
Giả sử mệnh đề đúng với
, nghĩa là
chia hết ccho 6.
n = k +1
7 k +1 + 5
Ta chứng minh mệnh đề đúng với
, nghĩa là phỉa chứng minh
chia hết cho 6.
k +1
k
7 + 5 = 7 ( 7 + 5 ) − 30
Ta có:
.
k
7 k +1 + 5 = 7 ( 7 k + 5 ) − 30
7 +5

Theo giả thiết quy nạp thì
chia hết cho 6 nên
cũng chia hết cho 6.
10


7n + 5

Câu 23.
Câu 24.

Vậy
Đáp án
Đáp án

chia hết cho 6 với mọi
A.
C.

n ≥1

. Do đó các mệnh đề

P

và

Q

cũng đúng.

1
1 1
1

= 
−
k ( k + 1) ( k + 2 ) 2  k ( k + 1) ( k + 1) ( k + 2 ) 

Phân tích phần tử đại diện, ta có:
1
1
1
+
+ ... +
1.2.3 2.3.4
n ( n + 1) ( n + 2 )
Suy ra:
1 1
1
1
1
1
1

= 
−
+
−.
+ ... +

−
2 1.2 2.3 2.3 3.4
n ( n + 1) ( n + 1) ( n + 2 ) 
=

1 1
1

−

(
)
(
)
2  2 n + 1 n + 2 

n 2 + 3n
2n 2 + 6n
=
4n 2 + 12n + 8 8n 2 + 24n + 16

=
a = 2; b = 6; c = 8; d = 24

Đối chiếu với hệ số, ta được:
T = ( a + c ) ( b + d ) = 300
Suy ra:
.

.

.

.

11