Dạy thêm toán 11 1H3 2 HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG góc

TỐN 11

HAI ĐƯỜNG THẲNG VNG GĨC

1H3-2

Contents

A. CÂU HỎI
DẠNG 1. GĨC CỦA HAI VÉCTƠ

Câu 1.

Câu 2.

BC = a 2
S . ABC
(SỞ GD&ĐT PHÚ THỌ - u
2018)
Cho
hình
chóp
có
, các cạnh cịn lại đều
ur
uuur
a
SB
AC
bằng . Góc giữa hai vectơ
và

bằng
60°
120°
30°
90°
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.

Cho tứ diện

Gọi

Câu 3.

ϕ

ABCD

là góc giữa

·
·
CAB
= DAB

= 60O AB = AD = AC
có
,
(tham khảo như hình vẽ bên).

AB

và

CD

. Chọm mệnh đề đúng?
1
cos ϕ =
O
ϕ = 60
ϕ = 90O
4
A.
.
B.
.
C.
.
uuur uuuur
c
os
BD, A′C ′
ABCD. A′B′C ′D′
Cho hình lập phương

. Tính
uuur uuuur
uuur uuuur
cos BD, A′C ′ = 0
cos BD, A′C ′ = 1
A.
. B.
.
uuur uuuur 1
uuur uuuur
2
cos BD, A′C ′ =
cos BD, A′C ′ =
2
2
C.
. D.
.

(

(

)

(

)

(

)

(

)

cos ϕ =
D.

3
4

.

)

1


Câu 4.

Câu 5.

O. ABC
OA OB OC
OA = OB = OC = a
Cho hình chóp
có ba cạnh
,

,
đơi
một
vng
góc
và
. Gọi
uuur
uuuur
BC
OM
M
AB
là trung điểm cạnh
. Góc tạo bởi hai vectơ
và
bằng
135°
150°
120°
60°
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
(Trường THPT Hồng Hoa Thám - Hưng Yên, năm 2019) Cho hình hộp chữ nhật

ABCD. A ' B ' C ' D ',
ABCD
A'C
BD.
biết đáy
là hình vng. Tính góc giữa
và

A.
Câu 6.

Câu 7.

Câu 8.

Câu 9.

900.

B.

300.

C.

600.

D.

450.

ABCD
ABC
ABD
(Chun - Vĩnh Phúc - lần 3 - 2019) Cho tứ diện
có hai mặt
và
là các tam
CD
AB
giác đều. Tính góc giữa hai đường thẳng
và
.
90°
30°
120°
60°
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
ABCD
a
(THPT Trần Phú - Lần 1 - 2018-2019) Cho tứ diện đều
có cạnh bằng . Giá trị tích vơ
uuu

r uuu
r uuu
r
AB ( AB - CA)
hướng
bằng
2
a
3a 2
a2 2
a2 3
2
2
2
2
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.

ABC. A′B′C ′
a
Cho hình lăng trụ tam giác đều
có tất cả các cạnh đều bằng , cosin góc giữa hai
BC ′
AB′

đường thẳng
và
bằng
1
1
3
2
4
4
2
4
A. .
B.
.
C. .
D. .
O. ABC
OA, OB, OC
OA = OB = OC = a
Cho hình chóp
có ba cạnh
đơi u
một
vng
góc
và
. Gọi
uur
uuuur
BC

OM
M
AB
là trung điểm cạnh
. Góc hợp bởi hai véc tơ
và
bằng
120º
150º
135º
60º
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.

2


ABC. A′B′C ′

ABC
A′BC
a
có đáy
là tam giác đều cạnh , tam giác

đều nằm
( ABC ) M
CC ′
α
trong mặt phẳng vng góc với
.
là trung điểm cạnh
. Tính cosin góc giữa hai
AA′
BM
đường thẳng
và
.

Câu 10. Cho hình lăng trụ

cosα =

A.

2 22
11

cosα =

.

B.

33

11

cosα =

.

C.

11
11

cosα =

.

D.

22
11

.

BC AD
AB = 2a CD = 2a 2
M N
Câu 11. Cho tứ diện ABCD. Gọi
, lần lượt là trung điểm của
,
. Biết
,

MN = a 5.
CD
AB
và
Sớ đo góc giữa hai đường thẳng
và
là
o
o
o
60
30
90
45o
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.

Câu 12.

Câu 13.

Câu 14.

S . ABC

SA = SB = SC = AB = AC = a
(THPT THUẬN THÀNH 1) Cho hình chóp
có
và góc
¼
SC
CAB = 30°.
AB
Cơsin góc tạo bởi hai đường thẳng
và
gần nhất với giá trị nào sau đây?
0,83.
0, 37.
0, 45.
0, 71.
A.
B.
C.
D.
S . ABCD
(THPT Xn Hịa-Vĩnh Phúc-năm 2017-2018) Cho hình chóp
có tất cả các cạnh
bên
uuur u
uu
r
a
MS .CB
ABCD
CD.

M
và cạnh đáy đều bằng và
là hình vng. Gọi
là trung điểm của
Giá trị
bằng
a2
a2
a2
2a 2
−
2
2
3
2
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
S . ABC
AB = AC
(THPT Sơn Tây-Hà Nội-lần 1-năm 2017-2018) Cho hình chóp
có
,
·SAC = SAB
·

SA
BC.
. Tính sớ đo của góc giữa hai đường thẳng
và
45°
60°
30°
90°
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.

DẠNG 2. GÓC CỦA HAI ĐƯỜNG THẲNG

Câu 15. (Chuyên Thái Bình lần 2 - 2018-2019) Cho hình lập phương
AC
A ' B.
hai đường thẳng
và
60°
45°
75°
A.
B.
C.

Câu 16.

ABCD. A ' B ' C ' D '.

D.

Tính góc giữa

90°

(THPT CHUN HÙNG VƯƠNG - PHÚ THỌ - LẦN 1 - 2018) Cho hình lập phương
ABCD. A′B′C ′D′
CD
BA′
. Góc giữa hai đường thẳng
và
bằng:
45°
60°
30°
90°
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
3

Câu 17.

Câu 18.

Câu 19.

Câu 20.

Câu 21.

S . ABCD
ABCD
(THPT Chuyên ĐH Vinh-GK1-năm 2017-2018) Cho hình chóp
có đáy
là
a 2
AB = 2a BC = a
hình chữ nhật với
,
. Các cạnh bên của hình chóp cùng bằng
. Tính góc giữa
SC
AB
hai đường thẳng
và
.
45°
30°

60°
arctan 2
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.

(THPT CHUN NGỮ - HÀ NỘI - 2018) Cho hình lập phương
A′C ′
BD
hai đường thẳng
và
bằng.
60°
30°
45°
A.
.
B.
.
C.
.

ABCD. A′B′C ′D′

D.

90°

. Góc giữa

.

(THPT THANH MIỆN I - HẢI DƯƠNG - LẦN 1 - 2018) Cho hình lập phương
ABCD. A′B′C ′D′
B′C
A′B
, góc giữa hai đường thẳng
và
là
90°
60°
30°
45°
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
ABC. A′B′C ′
(THTP LÊ QUÝ ĐÔN - HÀ NỘI - LẦN 1 - 2018) Cho hình lăng trụ đều
có cạnh
C1

CC ′
1
2
đáy bằng , cạnh bên bằng . Gọi
là trung điểm của
. Tính cơsin của góc giữa hai đường
BC1
A′B′
thẳng
và
.
2
2
2
2
6
4
3
8
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.

(THPT HÀ HUY TẬP - LẦN 2 - 2018) Cho tứ diện đều
CD

AB
thẳng
và
là
45°
90°
60°
A.
.
B.
.
C.
.

ABCD

. Số đo góc giữa hai đường

D.

(THPT QUỲNH LƯU - NGHỆ AN - 2018) Cho hình chóp

30°

.

S . ABCD

Câu 22.

có tất cả các cạnh đều
( IJ , CD )
 a
J
SC
BC
I
bằng . Gọi và lần lượt là trung điểm của
và
. Sớ đo của góc
bằng:
30°
60°
45°
90°
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.

Câu 23.

(CHUN VINH - LẦN 2 - 2018) Cho hình lập phương
AC
A′D
Góc giữa hai đường thẳng

và
bằng

ABCD. A′B′C ′D′

(hình vẽ bên dưới).

4


A.
Câu 24.

45°

.

B.

30°

.

C.

60°

.

90°

D.

.

a
ABCD. A′B′C ′D′
M
(SGD Nam Định) Cho hình lập phương
cạnh . Gọi
là trung điểm của
CD
N
C ′N
A′D′
B′M
và
là trung điểm của
. Góc giữa hai đường thẳng
và
bằng
30°
45°
60°
90°
A.
.
B.
.
C.

.
D.
.

OA = OB = OC = a; OA, OB, OC
OABC
Câu 25. Cho tứ diện
có
vng góc với nhau từng đơi một. Gọi
BC
OI
I
AB
là trung điểm
. Tính góc giữa hai đường thẳng
và
.
45°
30°
90°
60°
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
ABCD. A¢B ¢C ¢D ¢

Câu 26. Cho hình hình lăng trụ
AC
B ¢D ¢
hai đường thẳng
và
là
0
0
40
20
A.
.
B.
.

có đáy là hình chữ nhật và

C.

500

·
CAD
= 400

.

800

D.

. Sớ đo góc giữa

.

Câu 27.

(Chun Đại học Vinh - Lần 1 - Năm học 2018 - 2019) Cho hình lập phương
I, J
ABCD. A ' B ' C ' D '
BC
BB '
có
lần lượt là trung điểm của
và
. Góc giữa hai đường thẳng
AC
IJ
và
bằng
0
45
600
300
1200
A.
.
B.
.

C.
.
D.
.

Câu 28.

(Thi thử cụm Vũng Tàu - 2019) Cho hình lập phương
AC
DA′
thẳng
và
bằng
60°
45°
90°
A.
.
B.
.
C.
.

Câu 29. Cho hình lập phương
60°
A.
.
Câu 30. Cho hình lập phương
60°
A.

.

ABCD. A′B′C ′D′

B.

45°

.

ABCD. A′B′C ′D′
B.

45°

.

ABCD. A ' B ' C ' D '

D.

. Góc giữa hai đường
120°

.

A′C ′
AB′
. Tính góc giữa hai đường thẳng
và

.
30°
90°
C.
.
D.
.
. Góc giữa hai đường thẳng
30°
C.
.

AB′

và
D.

CD′
90°

bằng

.
5


S . ABCD
a SA = a 3
SA ⊥ BC
Câu 31. Cho hình chóp

có đáy là hình thoi cạnh ,
và
. Góc giữa hai
SD
BC
đường thẳng
và
bằng
90°
60°
45°
30°
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
Câu 32. Cho hình lập phương
A′D
bằng

A.

30°

ABCD. A′B′C ′D′

.

B.

Câu 33. Cho hình lăng trụ đều
BC '
B'D'
và
bằng
0
30
A.
.
Câu 34. Cho tứ diện
MN = 3a
A.
Câu 35.

Câu 36.

45°

.

ABCD

có

60°

(hình vẽ bên dưới). Góc giữa hai đường thẳng

.

C.

ABCD. A ' B ' C ' D '

B.

450

, góc giữa hai đường thẳng
90°
B.
.

.

có tất cả các cạnh bằng

.

AB = CD = 2a

90°

C.
. Gọi

AB

M,N

và

600

.

D.

a

45°

AC

và

.

. Góc giữa hai đường thẳng

D.

900

lần lượt là trung điểm của

.

AD

và

BC

. Biết

CD

bằng
60°
C.
.

D.

30°

.

S . ABCD
(Thi giữa kì II - 1819 Chuyên Lê Hồng Phong Nam Định) Cho hình chóp tứ giác
có
2a
SA = a
CD
M

có đáy là hình vng cạnh
; cạnh
và vng góc với đáy. Gọi
là trung điểm
.
cos α
α
SB
AM
Tính
với
là góc tạo bởi
và
.
2
1
2
4
−
5
2
5
5
A.
.
B. .
C. .
D. .
(THPT Ngơ Quyền - Ba Vì - Hải Phịng, lần 1) Cho hình lăng trụ tam giác đều
AB = a

BC ′
AA′ = a 2
AB′
và
. Góc giữa hai đường thẳng
và
bằng
90°
30°
60°
45°
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.

ABC. A′B′C ′

có

6


Câu 37.

OABC

(Tham khảo 2018) Cho tứ diện
có
đơi một vng góc với nhau và
OA = OB = OC
BC
M
. Gọi
là trung điểm của
( tham khảo hình vẽ bên dưới). Góc giữa hai
OM
AB
đường thẳng
và
bằng

900
A.

.

B.

Câu 38. Cho hình lập phương

AM

thẳng
A.
Câu 39.

OA, OB, OC

45°

và

BC ′

.

300

.

ABCD. A′B′C ′D′

bằng
B.

90°

.

C.
; gọi

M

600

.

D.

B′C ′

là trung điểm của

C.

30°

.

. Góc giữa hai đường

D.

[THPT NINH BÌNH-BẠC LIÊU-2019] Cho hình lập phương

450

60°

.

ABCD. A′B′C ′D′

M

. Gọi
là
B′C
DD′
trung điểm của
(Tham khảo hình vẽ). Tính cơ-sin của góc giữa hai đường thẳng
và
C ′M

A.

1
10

.

Câu 40. Cho tứ diện

B.

ABCD

AB = CD = a
0

A.

90 .

và

1
3

.

P Q

. Gọi ,
a 3
PQ =
2

C.

1
3

.

D.

lần lượt là trung điểm của các cạnh

. Sớ đo góc giữa hai đường thẳng
450.
30.
B.
C.

AB

2 2
9

.

BC AD
,
. Giả sử

và

CD
D.

là
60 0.
7


Câu 41.

Câu 42.

Câu 43.

Câu 44.

Câu 45.

Câu 46.

S . ABC
(THPT CHUYÊN QUANG TRUNG - BP - LẦN 1 - 2018) Cho hình chóp
có
SA = SB = SC = AB = AC = a BC = a 2
SC
AB
,
. Tính sớ đo của góc giữa hai đường thẳng
và
ta được kết quả:
90°
30°
60°
45°
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.

ABCD
AB = CD = 2a
(THPT HOÀNG HOA THÁM - HƯNG YÊN - 2018) Cho tứ diện

có
.
MN = a 3
BC
CD
M N
AD
AB
Gọi
,
lần lượt là trung điểm của
và
. Biết
. Tính góc giữa
và
.
45°
30°
90°
60°
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
ABCD. A′B′C ′D′
M

(THPT NGUYỄN HUỆ - NINH BÌNH - 2018) Cho hình lập phương
. Gọi
CD cosin
AC
C ′M
trung điểm các cạnh
.
của góc giữa
và
là
2
1
10
0
2
2
10
A. .
B.
.
C. .
D.
.
S . ABC
a = 4 2cm
(CHUN ĐHSPHN - 2018) Cho hình chóp
có đáy là tam giác đều cạnh
,
SC
SC = 2cm

BC
M N
AB
cạnh bên
vuông góc với đáy và
. Gọi
,
là trung điểm của
và
. Góc
SN
CM
giữa hai đường thẳng
và
là
30°
60°
45°
90°
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
ABC.MNP
(SGD - HÀ TĨNH - HK 2 - 2018) Cho lăng trụ tam giác đều
có tất cả các cạnh bằng

AC
NC
I
IB
nhau. Gọi là trung điểm cạnh
. Cosin của góc giữa hai đường thẳng
và
bằng
6
10
6
15
2
4
4
5
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
ABCD
AB = CD = a
(ĐẶNG THÚC HỨA - NGHỆ AN - LẦN 1 - 2018) Cho tứ diện
có
. Gọi
N

BC
MN
M
AD
và
lần lượt là trung điểm của
và
. Xác định độ dài đoạn thẳng
để góc giữa
MN
30°
AB
hai đường thẳng
và
bằng
.

8


MN =
A.
Câu 47.

a
2

MN =
.

B.

a 3
2

A.

Câu 49.

.

C.

a 3
3

MN =
.

D.

a
4

.

(THPT CHUYÊN NGUYỄN THỊ MINH KHAI - SĨC TRĂNG - 2018) Cho hình lập phương
ABCD. A¢B ¢C ¢D ¢
DD′
M

trình
. Gọi
là trung điểm của
(tham khảo hình vẽ dưới đây). Tính
cơsin của góc giữa hai đường thẳng

Câu 48.

MN =

2 2
9

.

B.

1
10

.

B′C

và

C ′M

.

C.

1
3

.

(THPT NGUYỄN HUỆ - TT HUẾ - 2018) Cho lăng trụ đều
BC ′
AB′
Tính góc giữa
và
300
450
1200
A.
.
B.
.
C.
.

D.
ABC. A′B′C ′

D.

1
3

.

AB = 1, AA′ = 2

có

600

.

.

S . ABC
SA SB SC
(SỞ GD&ĐT BẠC LIÊU - 2018) Cho hình chóp
có
,
,
vng góc với nhau
SA = SB = SC
AC
SM
M
AB
đôi một và
. Gọi
là trung điểm của
. Góc giữa
và
bằng:

0
0
0
0
60
30
90
45
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.

9


Câu 50.

Câu 51.

Câu 52.

Câu 53.

Câu 54.

S . ABC
(THPT CHUYÊN HẠ LONG - LẦN 2 - 2018) Cho hình chóp
có độ dài các cạnh
SA = SB = SC = AB = AC = a
BC = a 2
SC
AB
và
. Góc giữa hai đường thẳng
và
là?
45°
90°
60°
30°
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
S . ABC
SA = SB = SC = AB = AC = 1
(TỐN HỌC TUỔI TRẺ SỐ 5) Cho hình chóp
có
,
BC = 2
AB SC

. Tính góc giữa hai đường thẳng
,
.
45°
120°
30°
60°
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.

(XN TRƯỜNG - NAM ĐỊNH - LẦN 1 - 2018) Cho tứ diện đều
CI
AB
I
AD
góc giữa hai đường thẳng
và
, với là trung điểm của
.
3
1
3
6
2

4
A.
.
B. .
C.
.

D.

cạnh

3
2

a

. Tính cosin

.

S . ABCD
SA = a
(HỒNG QUANG - HẢI DƯƠNG - LẦN 1 - 2018) Cho hình chóp
có
,
·
·
·
SB = 2a SC = 3a ASB = BSC = 60° CSA = 90°
SA

α
,
,
,
. Gọi là góc giữa hai đường thẳng
và
BC
cos α
. Tính
.
7
7
2
cos α =
cos α = −
cos α =
cos α = 0
7
7
3
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.

(THPT CHUYÊN ĐH VINH - LẦN 3 - 2018) Cho hình lăng trụ tam giác đều

AA′ = 2 a
AB = a
BC ′
AB′
và
. Góc giữa hai đường thẳng
và
bằng

A.
Câu 55.

ABCD

60°

.

B.

45°

.

C.

90°

.

D.

30°

ABC. A′B′C ′

có

.

ABCD
DA = DB = DC = AC = AB = a
(KIM LIÊN - HÀ NỘI - LẦN 1 - 2018) Cho tứ diện
có
,
·ABC = 45°
DC
AB
. Tính góc giữa hai đường thẳng
và
.
60°
120°
90°
30°
A.
.
B.
.
C.

.
D.
.
10


Câu 56.

Câu 57.

Câu 58.

Câu 59.

Câu 60.

(CHUYÊN TRẦN PHÚ - HẢI PHỊNG - LẦN 1 - 2018) Cho hình lập phương
ABCD. A′B′C ′D′
MN
M N
AD BB′.
. Gọi
,
lần lượt là trung điểm của
,
Cosin của góc hợp bởi
AC '
và
bằng
3

2
5
2
3
3
3
4
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
S . ABCD
(CỤM 5 TRƯỜNG CHUYÊN - ĐBSH - LẦN 1 - 2018) Cho hình chóp
có đáy là
AB = 2a BC = a
S
H
hình chữ nhật,
,
. Hình chiếu vng góc
của đỉnh trên mặt phẳng đáy là
SC
600
AB
trung điểm của cạnh
, góc giữa đường thẳng

và mặt phẳng đáy bằng
. Tính cosin góc
SB
AC
giữa hai đường thẳng
và
2
2
2
2
7
35
5
7
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
ABCD
AB = AC = AD = 1
(THTP LÊ QUÝ ĐÔN - HÀ NỘI - LẦN 1 - 2018) Cho tứ diện
có
;
·BAC = 60° BAD
·
·

= 90° DAC = 120°
AG
CD
;
;
. Tính cơsin của góc tạo bởi hai đường thẳng
và
,
G
BCD
trong đó
là trọng tâm tam giác
.
1
1
1
1
6
3
3
6
A.
.
B. .
C. .
D.
.

H, K
ABCD

4a
(THPT NGUYỄN TRÃI - ĐÀ NẴNG - 2018) Cho hình vng
cạnh
, lấy
lần
AB, AD
BH = 3HA, AK = 3KD
lượt trên các cạnh
sao cho
. Trên đường thẳng vng góc với
·
( ABCD )
S
CH
SBH
= 30°
H
E
mặt phẳng
tại
lấy điểm sao cho
. Gọi
là giao điểm của
và
cosin
SE
BC
BK
. Tính
của góc giữa hai đường thẳng

và
.
28
18
36
9
5 39
5 39
5 39
5 39
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
S . ABCD
(THPT CHUN THÁI BÌNH - LẦN 3 - 2018) Cho hình chóp đều
có tất cả các
N
SD
a
M
AD
cạnh đều bằng . Gọi
,
lần lượt là trung điểm của
và

. Sớ đo của góc giữa hai
MN
SC
đường thẳng
và
là
45°
60°
30°
90°
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.

11


Câu 61.

Câu 62.

Câu 63.

ABCD. A′B′C ′D′
(THPT PHAN CHU TRINH - ĐẮC LẮC - 2018) Cho hình lập phương

. Gọi
′
′
N
BC
C
D
M
P
AB
, ,
lần lượt là trung điểm các cạnh
,
,
. Xác định góc giữa hai đường thẳng
MN
AP
và
.
60°
90°
30°
45°
A.
.
B.
C.
.
D.
.

S . ABCD
(THPT CHU VĂN AN - HÀ NỘI - 2018) Cho hình chóp
có đáy là hình vng cạnh
a
SA
SA = a
SB
M
AM
BD
, cạnh bên
vng góc với đáy,
. Gọi
là trung điểm
. Góc giữa
và
là
o
o
o
o
60
30
90
45
A.
.
B.
.

C.
.
D.
.

ABCD M
BC
(SỞ GD&ĐT YÊN BÁI - 2018) Cho tứ diện đều
,
là trung điểm của cạnh
. Tính
cos ( AB, DM )
giá trị của
.
1
3
3
2
2
2
6
2
A.
.
B.
.
C. .
D.
.

M , N, P
AB, BC , C ′D′
ABCD. A′B′C ′D′
Câu 64. Cho hình lập phương
. Gọi
lần lượt là trung điểm của
.
MN
AP
Xác định góc giữa
và
.
60°
30°
90°
45°
A.
.
B.
.
C.
.
D.
SA
a SA = a 3
là hình vng cạnh ,
và
vng góc với mặt
SB
AC

phẳng đáy. Cosin của góc giữa hai đường thẳng
và
là
3
2
5
5
4
4
4
5
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.

Câu 65. Cho khới chóp

Câu 66.

S . ABCD

có

ABCD

AC = 3a, BD = 4a

ABCD

(Chuyên ĐBSH lần 1-2018-2019) Cho tứ diện
có
BC
AC
MN
AD
BD
lượt là trung điểm
và
. Biết
vng góc
. Tính
.
5a
7a
a 7
MN =
MN =
MN =
2
2
2
A.
.
B.
.

C.
.

ABCD. A′B′C ′D′

Câu 67. Cho hình lăng trụ
AC , B′D′
đường thẳng
là
40°
20°
A.
B.
.
Câu 68. Cho hình lập phương
A 'C '
bằng.

có đáy là hình chữ nhật và

ABCD. A ' B ' C ' D '

C.

50°

có cạnh bằng

.

a.

. Gọi

MN =

D.

·
CAD
= 40°

M,N

a 5
2

lần

.

. Sớ đo góc giữa hai

D.

80°

.

Góc giữa hai đường thẳng

CD '

và

12


A.

300.

B.

Câu 69. Cho hình chóp
; SA ⊥ ( ABCD )
3
4

A.

S . ABCD

90

C.
ABCD

có đáy

600.

.

5

B.

.

.

B.

60

và

C.

45

450.

AB = a ; AD = a 2 ; SA = 2a

AC

.

1
.

D.

. Tính góc giữa hai đường thẳng

0

.

SB

15

C.

ABCD. A′B′C′D′

0

D.

là hình chữ nhật với

. Tính cơsin góc giữa hai đường thẳng
2
1

Câu 70. Cho hình lập phương

A.

900.

A′B

0

.

5

D.

30

.
và

AD′

.

0

S . ABC
SA = 9a AB = 6a
SC
M
Câu 71. Cho hình chóp đều

có
,
. Gọi
là điểm thuộc cạnh
sao cho
1
SM = MC
SB
2
AM
. Cơsin của góc giữa hai đường thẳng
và
bằng
A.

7
2 48

.

B.

1
2

.

C.

19

7

.

D.

14
3 48

.

SA ⊥ ( ABCD) SA = a, AB = a
S . ABCD
ABCD
Câu 72. Cho hình chóp
có đáy
là hình chữ nhật,
,
,
BC = a 3
cosin
SC
BD
. Tính
của góc tạo bởi hai đường thẳng
và
.
3
5
3

3
.
.
.
.
10
5
5
10
A.
B.
C.
D.

Câu 73.

ABCD
AB = CD = 2a
M N
(Chuyên Tự Nhiên Lần 1 - 2018-2019) Cho tứ diện
có
. Gọi ,
lần
MN = a 3
BC
CD
AD
AB
lượt là trung điểm
và

. Biết
, góc giữa hai đường thẳng
và
bằng.
0
0
0
0
45
90
60
30
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.

Câu 74. Cho hình chóp

S . ABC

SA ^ ( ABC )
có

SA = a, AB = a, BC = a 2

và tam giác
.Gọi

I

là trung điểm

ABC

BC

vng tại

B

,

. Cơsin của góc giữa đường thẳng

AI

và

SC

A.

là?
2
3

B.

2
3

C.

2
3

D.

2
8

13


Câu 75.

ABCD
M N
(Bình Minh - Ninh Bình - Lần 4 - 2018) Cho tứ diện
gọi
,
lần lượt là trung điểm
a 3
MN =
BC

AB = CD = a
CD
2
AD
AB
của
và
. Biết
,
. Tính góc giữa hai đường thẳng
và
.
0
0
0
0
30
90
60
120
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.

Câu 76. Cho tứ diện

a 3
MN =
2
A.

30°

.

ABCD

. Gọi

BC AD
AB = CD = a
M N
,
lần lượt là trung điểm của
,
. Biết
và

. Góc giữa hai đường thẳng
90°
B.
.

AB

và

CD

bằng
120°
C.
.

D.

3
·
·
AD, CAB
= DAB
= 60°; CD = AD.
2

AC =

Câu 77. Cho tứ diện ABCD với
ϕ
CD
AB
thẳng
và
. Chọn khẳng định đúng về góc .

cos ϕ =

A.

3
4

Câu 78. Cho tứ diện
SC
và
bằng
0°
A. .
Câu 79.

.

B.

S . ABC

Cho lăng trụ đều
hai đường thẳng
5
10
A.

có

ϕ = 30°

C.

ϕ = 60°

120°

ABC.DEF

và

BF

B.

.

có cạnh đáy bằng

C.

a

60°

ϕ

.

là góc giữa hai đường

cos ϕ =

.

SA = SB = SC = AB = AC = a; BC = a 2

B.

AC

.

Gọi

60°

D.

1
4

.

. Góc giữa hai đường thẳng

.

, chiều cao bằng

D.
2a

90°

. Tính

AB

.

cosin

của góc tạo bởi

.
3
5

C.

5
5

D.

3
10

14

a
BC
ABCD
M
Câu 80. Cho tứ diện đều
cạnh . Gọi
là trung điểm của
. Tính cơ-sin của góc giữa hai
AB
DM
đường thẳng
và
?
3
3
3
1
2
6
3
2
A.
.
B.
.
C.
.
D. .
Câu 81.

Câu 82.

ABCD
AB AC AD
(THPT Xn Hịa-Vĩnh Phúc-năm 2017-2018) Cho tứ diện
có
,
,
đơi một
AB = AC = AD = 1
CD
AB
vng góc với nhau, biết
. Sớ đo góc giữa hai đường thẳng
và
bằng
45°
60°
30°
90°
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.

ABCD M

(THPT n Lạc-Vĩnh Phúc-lần 1-năm 2017-2018) Cho tứ diện đều
,
là trung điểm
cos ( AB, DM )
BC
của cạnh
. Khi đó
bằng:
3
2
3
1
6
2
2
2
A.
.
B.
.
C.
.
D. .
DẠNG 3. HAI ĐƯỜNG THẲNG VNG GĨC

Câu 83.

(THPT Đồn Thượng-Hải Dương-HKI 18-19) Trong khơng gian, cho đường thẳng
O
O

d
. Qua có bao nhiêu đường thẳng vng góc với đường thẳng ?
A. 3.
B. vơ sớ.
C. 1.
D. 2.

d

và điểm

M
∆
M
Câu 84. Trong không gian cho trước điểm
và đường thẳng . Các đường thẳng đi qua
và vng
∆
góc với thì:
A. vng góc với nhau. B. song song với nhau.
C. cùng vng góc với một mặt phẳng.
D. cùng thuộc một mặt phẳng.
Câu 85.

(CHUYÊN BẮC NINH - LẦN 1 - 2018) Trong không gian, cho các mệnh đề sau, mệnh đề nào
là mệnh đề đúng?
A. Một đường thẳng vng góc với một trong hai đường thẳng vng góc thì vng góc với
đường thẳng còn lại.
B. Hai đường thẳng cùng song song với đường thẳng thứ ba thì song song với nhau
C. Một đường thẳng vng góc với một trong hai đường thẳng song song thì vng góc với

đường thẳng cịn lại.
D. Hai đường thẳng cùng vng góc với đường thẳng thứ ba thì vng góc với nhau.
3

Câu 86. Trong khơng gian, cho đường thẳng
đúng?
a // ( P )
( P) ⊥ c
a⊥c
A. Nếu
và
thì
.
a
//
b
a⊥c
b⊥c
B. Nếu
và
thì
.

a, b, c

phân biệt và mặt phẳng

( P)

. Mệnh đề nào sau đây

15


C. Nếu
D. Nếu

a⊥b
a⊥b

và
thì

a⊥c

b⊥c
a

thì
.
b
và cắt nhau hoặc chéo nhau.

Câu 87. Chỉ ra mệnh đề sai trong các mệnh đề sau:
O
A. Qua một điểm
cho trước có một và chỉ một đường thẳng vng góc với một mặt phẳng cho
trước.
O
∆

B. Qua một điểm
cho trước có một mặt phẳng duy nhất vng góc với một đường thẳng cho
trước.
C. Hai đường thẳng chéo nhau và vng góc với nhau. Khi đó có một và chỉ một mặt phẳng chứa
đường thẳng này và vng góc với đường thẳng kia.
O
D. Qua một điểm
cho trước có một và chỉ một đường thẳng vng góc với một đường thẳng
cho trước.
Câu 88.

(THPT Tứ Kỳ-Hải Dương năm 2017-2018) Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai
A. Hai đường thẳng cùng vng góc với một mặt phẳng thì song song.
B. Hai mặt phẳng phân biệt cùng vng góc với một đường thẳng thì song song.
C. Hai đường thẳng phân biệt cùng vng góc với một đường thẳng thì song song.
D. Hai mặt phẳng phân biệt cùng vng góc với một mặt phẳng thì song song.

Câu 89.

(THPT Hậu Lộc 2-Thanh Hóa năm 2017-2018) Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định
sau:
A. Trong khơng gian hai đường thẳng phân biệt cùng vng góc với một đường thẳng thì song
song với nhau.
B. Trong khơng gian hai đường thẳng vng góc với nhau có thể cắt nhau hoặc chéo nhau.
C. Trong không gian hai mặt phẳng cùng vng góc với một đường thẳng thì song song với nhau.
D. Trong không gian hai đường thẳng không có điểm chung thì song song với nhau.

Câu 90.

ABCD. A′B′C ′D′

(THPT Chuyên Vĩnh Phúc - lần 3 năm 2017-2018) Trong hình hộp
có tất cả
các cạnh đều bằng nhau. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?
A′C ′ ⊥ BD
BC ′ ⊥ A′D
A′B ⊥ DC ′
BB′ ⊥ BD
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.

Câu 91. Cho hình lập phương
?
A′D
A.
.

ABCD. A′B ′C ′D′

B.

AC

.

. Đường thẳng nào sau đây vng góc với đường thẳng
C.

BB′

.

D.

AD′

BC ′

.

S . ABCD
O
SA = SC SB = SD
Câu 92. Cho hình chóp
có đáy là hình thoi tâm
và
,
. Trong các mệnh đề
sau mệnh đề nào sai?
BD ⊥ AC
BD ⊥ SA
AC ⊥ SA
AC ⊥ SD
A.

.
B.
.
C.
.
D.
.

16


B. LỜI GIẢI
DẠNG 1. GÓC CỦA HAI VÉCTƠ

Câu 1.
uur uuur
2
uur uuur uuur uur uuur uuu
uur uuur
r uuur − a + 0
SB. AC
SA + AB . AC SA. AC + AB. AC
cos SB, AC = uur uuur
1
= 22
=−
=
SB . AC =
2
2

a
a
2
a
Ta có
.
uur
uuur
120°
SB
AC
Vậy góc giữa hai vectơ
và
bằng
.
Chọn C
uuuruuur uuu
r uuur uuur
uu
ruuur uuu
r uuur
AB.CD = AB AD − AC = u
·
·
AB AD − AB. AC = AB. AD cos DAB
− AB. AC.cos CAB
=0
.

(

Câu 2.

(

⇒ ϕ = 90O
Câu 3.

(

)

)

)

.

Chọn A

17


uuur uuuur
BD ⊥ AC || A′C ′ ⇒ BD ⊥ A′C ′ ⇒ cos BD, A′C ′ = 0

(

Câu 4.

)

.

Chọn C

r uuur
 uuuur 1 uuu
uuuu
r uuur
1
a2
OM = OA + OB
2
⇒ OM .BC = − OB 2 = −
 uuur uu
ur uuur
2
2
 BC = OC − OB


(

Ta có

)

BC = OB + OC = a 2
2

OM =

2

và

.

1
1
a 2
AB =
OA2 + OB 2 =
2
2
2

.

2

a
uuuu
r uuur
−
uuuu
r uuur OM .BC
uuuu
r uuur

1
2
cos OM , BC =
=
= − ⇒ OM .BC = 120°
OM .BC a 2
2
.a 2
2

(

Câu 5.

Câu 6.

)

(

)

Do đó:
Chọn
uuuA
uu
r r uuuuur r uuuur r
A ' B ' = a, A ' D ' = b, A ' A = c, AB = x.
Đặt
uuuur uuuuu

r uuuuur uuuur r r r
A 'C = A ' B ' + A ' D ' + A ' A = a + b + c
.
uuur uuur uuu
r r r
BD = AD − AB = b − a
uuuur uuur r r r r. r
rr r
r
rr rr rr
A ' C.BD = (a + b + c).(b − a ) = a.b − ( a) 2 + (b) 2 − b.a + c.b − c.a
= 0 − x2 + x2 − 0 + 0 − 0 = 0
ABCD
.
(Vì
là hình vng nên
uuuu
r uuur
A 'C ⊥ BD
A'C
900.
BD
Vậy
hay góc giữa
và
bằng
Chọn A

.

.
r r
a =b =x
).

18


AB
là trung điểm của
.
CM ⊥ AB, DM ⊥ AB
ABC
ABD
Vì hai mặt
các
giác
.
uuu
r uuur và
uuu
r uuuu
r làuu
uu
r tam
uuu
r uuuu
rđềuunên
uur uuuu
r

AB.CD = AB.(CM + MD) = AB.CM + AB.MD = 0
Khi đó
.
CD 90°
AB
Vậy góc giữa hai đường thẳng
và
là
.
Chọn D
uuur uuu
r uuu
r
uuur uuu
r uuur uuur uuur2 uuur uuur
uuu
r uuur
AB AB - CA = AB. AB + AB. AC = AB + AB . AC .cos AB, AC
Ta có:
a 2 3a 2
·
= AB 2 + AB. AC.cos BAC
= a 2 + a.a.cos 600 = a 2 + =
2
2
.
Chọn A
Gọi

Câu 7.

M

(

)

(

(

Câu 8.

)

)

r r r
r r rr
rr 1
a = b = c = a, ab = ac = 0, bc = a 2
2
Đặt
theo giả thiết ta có:
.
uuur uuuu
r
AB′ = BC ′ = a 2
BCC ′B′
ABB′A′

Có uuur r vàr
các
.
uuuu
r là u
uuu
r hình
uuurvng
r rnênr
AB′ = a + b
BC ′ = AC ′ − AB = a + c − b
Mà
và
suy ra
1 2
uuur uuuu
r
2
a
+
a − a2
′
′
AB .BC
uuur uuuu
r
1
2
cos ( AB′, BC ′ ) = cos AB′, BC ′ = uuur uuuu
=

r =
4
a 2.a 2
AB′ BC ′
uuur r uuu
r r uuur r
AA′ = a, AB = b, AC = c

(

)

.
Câu 9.

Chọn A

19


óc hợp bởi hai véc tơ
Gọi I là trung điểmuucủa
uu
r AC ta có g
uuu
r
MO
MI
hai véc tơ
và

BC a 2
BC = a 2 Þ MI =
=
2
2
Ta có:
a 2
OM =
2
Tam giác OAB vng cân tại O nên:
.
a 2
OI =
2
Tam giác OAC vuông cân tại O nên: uuuu
.
r
uuu
r
MO
60°
MI
Suy ra góc tạo bởi hai véc tơ uuurvà uuuu
bằng
r
120°
BC
OM
Suy ra góc hợp bởi hai véc tơ
và

bằng
Câu 10.

Chọn

uuur
BC

và

uuuu
r
OM

bằng

180°

trừ đi góc tạo bởi

B.

AH = A′H =

Ta có:

a 3
2

AH ⊥ BC , A′H ⊥ BC ⇒ BC ⊥ ( AA′H ) ⇒ BC ⊥ AA′

và
BC ⊥ BB′
BCC ′B′
. Do đó:
là hình chữ nhật.

hay

20


CC ′ = AA′ =

Khi đó:

Xét:

a 2 .6
22
a 3
a 6
2
⇒
BM
=
a
+
=a
. 2=

16
4
2
2

uuur uuuu
r uuur uuur uuuu
r
3a 2
AA′.BM = AA′. BC + CM = 0 + AA′.CM =
4

(

)

cos ( AA′, BM ) =
Suy ra
Câu 11.

.

.

3a 2
4
33
a 6 a 22
=
.

11
2
4

.

Chọn D

uuuu
r uuur uuu
r uuur
uuuu
r uuuu
r uuur uuur
MN = MB + BA + AN
MN = MC + CD + DN
Ta có:
và
. Suy ra
uuuu
r uuur uuuu
r
uuu
r uuur
uuur uuur uuu
r uuur
2MN = MB + MC + BA + CD + AN + DN = BA + CD
BC
N
M

(Vì
là trung điểm
và
là
AD
trung điểm
).
uuu
r uuur
uuuu
r 2 uuu
r 2 uuur 2
uuuu
r 2 uuu
r 2 uuur 2 uuu
r uuur ⇔ BA.CD = 1 4 MN − BA − CD = 4a 2
4MN = BA + CD + 2 BA.CD
2
Khi đó:
.
uuu
r uuur
BA.CD
2
cos ( AB, CD ) = uuu
r uuur =
2
BA . CD

(

) (

) (

)

(

Do vậy ta có:
Vậy, sớ đo góc giữa hai đường thẳng
Câu 12. Chọn B

và

là

45o.

uuu
r uuu
r uuu
r uur uuur uuu
r uur uuu
r uuur
a2 a2 3
AB.SC = AB SA + AC = AB.SA + AB. AC = a.a.cos120° + a.a.cos 30° = − +
2
2

(

+) Ta có:

AB

.
CD

)

)

21


uuu
r uuu
r
cos AB, SC =

(

)

+) Do đó:
Câu 13. Chọn A

uuur uuu
r

AB.SC
AB.SC

=

−

a2 a2 3
+
2
2 = −1 + 3 ≈ 0.37.
2
a
2

Chọn

B.

S . ABCD
Do tất cả các cạnh của hình chóp bằng nhau nên hình chóp
là hình chóp đều
 SO ⊥ ( ABCD)
⇒
 AC ⊥ BD
.
Do M là trung điểm của CD nên ta có:
uuur uuu
r uuuu
r

r
1 uuur 1 uuur uuu
r uuu
r uuur
uuur uuur
MS = OS − OM = − OC − OD + OS uuu
CB = OB − OC = −OD − OC
2
2
,
.
uuur uuu
r uuur
OC ; OS ; OD
Do
đơi một vng góc với nhau nên ta có:
uuur uuu
r 1
1
a2
MS .CB = OC 2 + OD 2 = OC 2 =
2
2
2

Câu 14.

Chọn D

S

C

A
H
B

Cách 1:
uuu
r uuur uuu
r uuur uuur uuu
r uuur uuu
r uuur
·
·
AS .BC = AS . AC − AB = AS . AC − AS . AB = AS . AC.cos SAC
− AS . AB.cos SAB
= 0.
Ta có
SA
BC
90°.
Do đó sớ đo của góc giữa hai đường thẳng
và
bằng

(

)

22


DẠNG 2. GÓC CỦA HAI ĐƯỜNG THẲNG
Câu 15. Chọn A

A′B //D′C
AC
A′B
là hình bình hành nên
. Suy ra góc giữa hai đường thẳng
và
·ACD′ = 60°
AC
D′C
∆ ACD '
bằng góc giữa hai đường thẳng
và
và đó chính là góc
(do
đều).
′
A
D′
Do

A′BCD′

B′

C′

A

D

B
Câu 16.
CD //AB ⇒ ( BA′, CD ) = ( BA′, BA) = ·ABA′ = 45°

Có
Câu 17. Chọn A

AB //CD

C

(do

ABB′A′

là hình vng).

· ; SC = SCD
( ·AB; SC ) = ( CD
) ·

Ta có
nên
.

SC = a 2 CM = a
CD
SCM
M
M
Gọi
là trung điểm của
. Tam giác
vuông tại
và có
,
nên là
·AB; SC = 45°
·
SCD
= 45°
M
tam giác vng cân tại
nên
. Vậy
.

(

)

23


Ta có:

(

Câu 18.
·A′C ′; BD = ·AC ; BD = 90°

) (

)

Câu 19.
·
·
· ′B
B′C // A′D ⇒ ( A′B; B′C ) = ( A′B; A′D ) = DA

Ta có
.
∆DA′B
A′D = A′B = BD
∆DA′B
Xét
có
nên
là tam giác đều.
·DA′B = 60°
Vậy
.

24

Ta có

Câu 20.
·
·
·
A′B′ // AB ⇒ BC1 , A′B′ = BC1 , AB = ABC1

Tam giác

(

ABC1

) (

)

AB = 1 AC1 = BC1 = 2
có
;
và

.

cos B =

AB 2 + BC12 − AC12

2
⇔ cos B =
2 AB.BC1
4

.

Câu 21.
a2 a2
uuur uuur uuu
r uuu
r uuur
u
u
u
r
u
u
u
r
u
u
u
r
u
u
u
r
=
− =0

AB = a AB.CD = AB CB + BD = BA.BC − BA.BD 2 2
⇒ AB ⊥ CD
Đặt
,
.

(

)

25