Dạy thêm toán 11 1D5 1 đạo hàm BẰNG ĐỊNH NGHĨA

TOÁN 11

ĐẠO HÀM BẰNG ĐỊNH NGHĨA

1D5-1
PHẦN A. CÂU HỎI
Câu 1.

(THPT Chuyên Hùng Vương-Phú Thọ-lần 1-NH2017-2018) Phát biểu nào trong các phát biểu
sau là đúng?
y = f ( x)
x0
A. Nếu hàm số
có đạo hàm trái tại
thì nó liên tục tại điểm đó.
y = f ( x)
x0
B. Nếu hàm số
có đạo hàm phải tại
thì nó liên tục tại điểm đó.
y = f ( x)
x0
− x0
C. Nếu hàm số
có đạo hàm tại
thì nó liên tục tại điểm
.
y = f ( x)
x0
D. Nếu hàm số
có đạo hàm tại

thì nó liên tục tại điểm đó.

y=
Câu 2.

Câu 3.

Câu 4.

Câu 5.

Câu 6.

∆y
∆x

1
x

x0

∆x

∆y

x0

∆x

Cho hàm số

. Tính tỉ số
theo
và
(trong đó
là số gia của đối số tại
và
là số gia tương ứng của hàm số) được kết quả là
∆y
1
∆y
1
∆y
1
∆y
1
=
=−
=−
=
∆x x0 ( x0 + ∆x )
∆x
x0 ( x0 + ∆x )
∆x
x0 + ∆x
∆x x0 + ∆x
A.
.
B.
.
C.

. D.
.
Cho hàm số

y = f ( x)

có đạo hàm tại
f ( x + x0 ) − f ( x0 )
f ′( x0 ) = lim
x → x0
x − x0
A.
.
f ( x) − f ( x0 )
f ′( x0 ) = lim
x → x0
x − x0
C.
.
Số gia
2
A. .

∆y

của hàm số

f ( x) = x 4

tại

x0

là

x0 = −1

1
B. .
∆y

y=

1
x

∆x

f ′( x0 )

. Khẳng định nào sau đây là sai?
f ( x0 + ∆ x) − f ( x0 )
f ′( x0 ) = lim
∆x → 0
∆x
B.
.
f (h + x0 ) − f ( x0 )
f ′( x0 ) = lim
h→0

h
D.
.

∆x = 1
ứng với số gia của biến số
là
0
−1
C. .
D. .

x0 = 2

Tính số gia
của hàm số
theo
tại
.
1
4 + ∆x
∆x
∆y =
∆y =
∆y =
2
2 ( 2 + ∆x )
2 ( 2 + ∆x )
( ∆x )
A.

.
B.
.
C.
.
(THPT Yên Lạc 2-Vĩnh Phúc-lần 1-năm 2017-2018) Cho hàm số
f ( x ) − f ( 3)
lim
=2
x →3
x−3
thỏa mãn
. Kết quả đúng là
f ′ ( 2) = 3
f ′( x) = 2
f ′( x) = 3
A.
.
B.
.
C.
.

∆y = −

D.
y = f ( x)

D.

∆x
2 ( 2 + ∆x )

.

xác định trên

f ′ ( 3) = 2

¡

.
1


Câu 7.

Câu 8.

(THPT Chuyên Vĩnh Phúc-MĐ 903 lần 1-năm 2017-2018) Cho hàm số
∆y
∆
y
x
∆x
số gia của đối số tại và
là số gia tương ứng của hàm số, tính
.
3
2

2
2
3 x − 3x.∆x + ( ∆x )
3 x + 3 x.∆x + ( ∆x )
A.
. B.
.
2
3
2
2
3 x + 3x.∆x − ( ∆x )
3x + 3x.∆x + ( ∆x )
C.
. D.
.

y = f ( x)

(THPT Chuyên ĐHSP – Hà Nội - Lần 1 năm 2017 – 2018) Cho hàm số
f ( x ) − f ( 6)
lim
f ′ ( 6 ) = 2.
x →6
x−6
thỏa mãn
Giá trị của biểu thức
bằng
1
1

.
.
12.
3
2
2
A.
B. .
C.
D.
f ( x) =

Câu 9.

f ′ ( 0) = 0

Cho hàm số

. Tính
.

B.

Cho hàm số

f ′ ( 0) = 1

B.

gọi

∆x

là

có đạo hàm

.

f ′ ( 0) =
.

C.

. Tính

f ' ( 1)

−

0

C.

7
50

1
3

.

D.

f ′ ( 0) = 3

.

−
.

.

D.

9
64

.

 x 2 − 7 x + 12
khi x ≠ 3

y=
x −3
 −1
khi x = 3


. Mệnh đề nào sau đây là đúng?

x0 = 3
A. Hàm số liên tục nhưng không có đạo hàm tại
.
x0 = 3
B. Hàm số có đạo hàm nhưng không liên tục tại
.
x0 = 3
C. Hàm số gián đoạn và khơng có đạo hàm tại
.
x0 = 3
D. Hàm số liên tục và có đạo hàm tại
.

lim

∆x → 0

Câu 12.

f ′ ( 0)

 3x + 1 − 2x
khi x ≠ 1

x
−
1
f ( x) = 
 −5
khi x = 1

 4

A. Không tồn tại.

Câu 11.

3x
1+ x

Cho hàm số
A.

Câu 10.

y = x3 + 1

∆y
∆x

của hàm số

f ( x ) = 3x + 1

theo

x

là:
2

A.

Câu 13.

Cho
A.

Câu 14.

3
3x + 1

.

f ( x) = x

1009

.

B.
2018

3
2 3x + 1

.

C.

lim

− 1009 x + 2019 x
2

∆x → 0

. Giá trị của
B.

1008

.

3x
2 3x + 1

C.

.

D.

f ( ∆x + 1) − f ( 1)
∆x

2018

.

1
2 3x + 1

.

bằng:
D.

2019

.

(THPT CHUYÊN QUANG TRUNG - BP - LẦN 1 - 2018) Cho hàm số
 x 2 + 1, x ≥ 1
y = f ( x) = 
x < 1.
 2 x,
Mệnh đề sai là
′
f ( 1) = 2
x0 = 1.
f
A.
.
B.
khơng có đạo hàm tại
f ′ ( 0 ) = 2.
f ′ ( 2 ) = 4.
C.

D.
 3 − x2

f ( x) =  2
1
 x

khi x < 1
khi x ≥ 1

Câu 15.

(TOÁN HỌC VÀ TUỔI TRẺ SỐ 1 - 2018) Cho hàm số
định nào dưới đây là sai?
f ( x)
x =1
A. Hàm số
liên tục tại
.
f ( x)
x =1
B. Hàm số
có đạo hàm tại
.
f ( x)
f ( x)
x =1
x =1
C. Hàm số
liên tục tại

và hàm số
cũng có đạo hàm tại
.
f ( x)
x =1
D. Hàm số
khơng có đạo hàm tại
.

. Khẳng

Câu 16.

(THPT HOÀNG HOA THÁM - HƯNG YÊN - 2018) Cho hàm
ax 2 + bx khi x ≥ 1
f (x) = 
2 x − 1 khi x < 1
x =1
2a + b
. Để hàm số đã cho có đạo hàm tại
thì
bằng:
5
−5
2
−2
A. .
B. .
C.
.

D.
.

số

f ( x ) = x −1
Câu 17. (CHUYÊN BẮC NINH - LẦN 2 - 2018) Cho hàm số
. Khẳng định nào sau đây là
khẳng định sai?
f ( 1) = 0
f ( x)
x =1
A.
.
B.
có đạo hàm tại
.
f ( x)
f ( x)
x =1
x =1
C.
liên tục tại
.
D.
đạt giá trị nhỏ nhất tại
.

3

Câu 18.

 ax 2 + bx + 1, x ≥ 0
f ( x) = 
 ax − b − 1, x < 0

(ĐẶNG THÚC HỨA - NGHỆ AN - LẦN 1 - 2018) Cho hàm số
f ( x)
x0 = 0
T = a + 2b
Khi hàm số
có đạo hàm tại
. Hãy tính
.
T =0
T = −6
T = −4
T =4
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.

( x 2 + 2012) 7 1 − 2 x − 2012 a
=

x →0
x
b

lim
Câu 19.

(THPT HÀ HUY TẬP - LẦN 2 - 2018)
a
a +b
tối giản, là số nguyên âm. Tổng
bằng
−4017
−4018
A.
.
B.
.

C.

−4015

.

D.

Câu 20. (THPT Xuân Hòa-Vĩnh Phúc-năm 2017-2018) Cho hàm số
f ′ ( 0)
Khi đó

là kết quả nào sau đây?
1
1
1
4
16
32
A. .
B.
.
C.
.
Câu 21.

Câu 22.

Câu 23.

, với

−4016

a
b

.

là phân số

.

3 − 4 − x

4
f ( x) = 
1

 4

khi x ≠ 0
khi x = 0

.

D. Không tồn tại.

(THPT Chuyên Vĩnh Phúc-lần 1 MĐ 904 năm 2017-2018) Hàm số nào sau đây khơng có đạo
¡
hàm trên ?
y = x −1
y = x2 − 4 x + 5
y = sin x
y = 2 − cos x
A.
.
B.
. C.
.
D.
.

y = f ( x)

(THTT Số 4-487 tháng 1 năm 2017-2018) Cho hàm số
có đạo hàm tại điểm
2 f ( x ) − xf ( 2 )
lim
x →2
x−2
Tìm
.
f ′ ( 2)
2 f ′ ( 2) − f ( 2)
f ( 2) − 2 f ′ ( 2)
0
A. .
B.
.
C.
.
D.
.

(THPT Đô Lương 4-Nghệ An năm 2017-2018) Cho hàm số
x0 = 0
hàm tại điểm
là?
f ′ ( 0) = 0
f ′ ( 0) = 1
f ′ ( 0 ) = −2
A.

.
B.
.
C.
.

( x − 1) 2 khi x ≥ 0
f ( x) = 
2
khi x < 0
− x

x0 = 2

.

có đạo

D. Không tồn tại.

4


Câu 24.

(THPT Chuyên Hùng Vương-Bình Phước-lần 2-năm 2017-2018) Cho hàm số
trên đoạn

[ a; b ]

và có đạo hàm trên khoảng

( I)

liên tục

( a; b ) . Trong các khẳng định

f ′( c) =

c ∈ ( a; b )

f ( x)

f ( b) − f ( a)
b−a

: Tồn tại một số
sao cho
.
f ( a) = f ( b)
c ∈ ( a; b )
f ′( c) = 0
( II )
: Nếu
thì ln tồn tại
sao cho
.
f ( x)
( III )

( a; b )
: Nếu
có hai nghiệm phân biệt thuộc khoảng
thì giữa hai nghiệm đó ln tồn tại
f ′( x)
một nghiệm của
.
Số khẳng định đúng trong ba khẳng định trên là
3
0
2
1
A. .
B. .
C. .
D. .

Câu 25.

a x
khi 0 < x < x0

f ( x) =  2

 x + 12 khi x ≥ x0

(THTT số 6-489 tháng 3 năm 2018) Cho hàm số
. Biết rằng
x0
f

a
ta ln tìm được một số dương
và một số thực
để hàm số
có đạo hàm liên tục trên
( 0; +∞ )
S = x0 + a
khoảng
. Tính giá trị
.
S = 2 3− 2 2
S = 2 1+ 4 2
S = 2 3− 4 2
S = 2 3+ 2 2
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.

(

)

(

)

(

)

(

)

Câu 26. (THPT Chuyên Lương Thế Vinh - Hà Nội – Lần 2 năm 2017 – 2018) Cho hàm số
2
khi x ≥ 2
 x + ax + b
y= 3
2
 x − x − 8 x + 10 khi x < 2
a 2 + b2
x=2
. Biết hàm số có đạo hàm tại điểm
. Giá trị của
bằng
20
17
18
25
A.
.
B.
.
C. .

D.
.
PHẦN B. LỜI GIẢI
Câu 1.

Chọn D
Ta có định lí sau:
y = f ( x)
x0
Nếu hàm số
có đạo hàm tại
thì nó liên tục tại điểm đó.

Câu 2.

Chọn D
1
1
∆x
∆y =
− =−
x0 + ∆x x0
x0 ( x0 + ∆x )

Suy ra

∆y
1
=−
∆x

x0 ( x0 + ∆x )

.

.
5


Câu 3.
Câu 4.

Câu 5.

Câu 6.

Câu 7.

Chọn A
Theo định nghĩa đạo hàm của hàm số tại một điểm
Chọn C
∆y = f ( x0 + ∆ ) − f ( x0 ) = (−1 + 1)4 − 14 = −1
.
Chọn D
1
1
∆x
∆y =
−
=−
2 + ∆x ∆x

∆x ( 2 + ∆x )
Ta có
.
Chọn D
Theo định nghĩa đạo hàm của hàm số tại một điểm ta có
f ( x ) − f ( 3)
lim
= 2 = f ′ ( 3)
x →3
x −3
.
Chọn B
Ta có :
3
∆y = f ( x + ∆x ) − f ( x ) = ( x + ∆x ) + 1 − ( x3 + 1) = 3x 2 .∆x + 3 x.∆ 2 x + ∆ 3 x = ∆x ( 3x 2 + 3 x.∆x + ∆ 2 x )
⇒

Câu 8.

∆y
2
= 3 x 2 + 3 x.∆x + ∆ 2 x = 3 x 2 + 3 x.∆x + ( ∆x )
∆x

Chọn B

y = f ( x)

D

.

x0 ∈ D

Hàm số
có tập xác định là
và
. Nếu tồn tại giới hạn (hữu hạn)
f ( x ) − f ( x0 )
lim
x → x0
x0
x − x0
thì giới hạn gọi là đạo hàm của hàm số tại
f ( x ) − f ( 6)
lim
= f ′ ( 6 ) = 2.
x →6
x−6
Vậy kết quả của biểu thức
Câu 9.

Chọn D

f ′ ( 0 ) = lim
x →0

f ( x ) − f ( 0)
3
= lim

.
x
→
0
x
1+ x

Ta có:

lim+

x →0

3
3
3
3
3
3
= lim+
= 3; lim−
= lim−
= 3 ⇒ lim+
= lim−
=3
x →0 1 + x
x→ 0 1 − x
x →0 1 + x
x→0 1 + x
1 + x x →0 1 + x

Mà

⇒ f ′ ( 0 ) = lim
x →0

Câu 10.

Kết luận:
Chọn D
Ta có:

3
= 3.
1+ x

f ′ ( 0 ) = 3.

6


lim f ( x ) = lim
x →1

⇒

x →1

3x + 1 − 2x
3x + 1− 4x 2

= lim
= lim
x →1
x −1
( x − 1) 3x + 1 + 2x x→1

(

Hàm số liên tục lại

x →1

Câu 11.

4( x − 1)

)

(4

2

)

3x + 1 + 3x + 5

= lim

x →1

−9

(

)

4 4 3x + 1 + 3x + 5

=−

9
64

Chọn D
D=¡
TXĐ:
.
 x 2 − 7 x + 12
khi x ≠ 3

y = f ( x) = 
x −3
−1
khi x = 3

lim f ( x ) = lim
x →3

x →3

x 2 − 7 x + 12
= lim ( x − 4 )
x →3
x−3
= −1 = f ( 3)

Đạo hàm của hàm số tại
Câu 12.

3x + 1 + 2x

−5
= f ( 1)
4

3x + 1 − 2x 5
+
x −1
4 = lim 4 3x + 1 − 3x − 5
2
x →1
x −1
4( x − 1)

16( 3x + 1) − ( 3x + 5)
2

(

=

x=1
.

f ( x ) − f ( 1)
f ' ( 1) = lim
= lim
x →1
x →1
x −1
= lim

)

−4x − 1

.
f ( x ) − f ( 3)
x 2 − 7 x + 12 − 0
lim
=
lim
= −1 = f (3)
x0 = 3 x→3
x→3
x −3
x −3

Suy ra: Hàm số liên tục và có đạo hàm tại
Chọn B

x0 = 3

.

3
3 ( x + ∆x ) + 1 − 3x + 1 = lim
3
∆y
=
= lim
∆x →0
3 ( x + ∆x ) + 1 + 3 x + 1 2 3 x + 1
∆x → 0 ∆x
∆x →0
∆x

lim

Ta có:
Câu 13. Chọn

D.
lim

∆x →0

Câu 14.

f ( ∆x + 1) − f ( 1)

= f ' ( 1)
∆x

Theo định nghĩa đạo hàm ta có
f ' ( x ) = 2018 x 2017 − 2018 x + 2019 ⇒ f ' ( 1) = 2019
Mà
.
f ( ∆x + 1) − f ( 1)
lim
= 2019
∆x → 0
∆x
Vậy giá trị của
.
f ( x ) − f ( 1)
2x − 2
lim−
= lim−
= 2;
x →1
x
→
1
x −1
x −1
f ( x ) − f ( 1)
x2 + 1 − 2
lim+
= lim+
= lim+ ( x + 1) = 2.

x →1
x →1
x →1
x −1
x −1

.

.

Ta có
f ′ 1− = f ′ 1+ = f ′ ( 1) = 2.
x0 = 1.
Vậy
Suy ra hàm số có đạo hàm tại
Vậy B sai.

( )

( )

7


lim− f ( x ) = lim−

Câu 15.

x →1

x →1

lim+ f ( x ) = lim+

x →1

x →1

1
=1
x

và
f ( x ) − f ( 1)
1 − x2
1+ x
lim−
= lim−
= lim−
= −1
x →1
x →1 2 ( x − 1)
x →1 −2
x −1

lim+

x →1

f ( x ) − f ( 1)

1− x
−1
= lim+
= lim+
= −1
x →1 x ( x − 1)
x →1 x
x −1

lim−

Câu 16.

3 − x2
=1
2

x →1

f ( x ) − f ( 1)
2x −1 −1
=2
= lim−
x →1
x −1
x −1

;

. Do đó, hàm số

liên tục tại

x =1

.

và

. Do đó, hàm số

(

f ( x)

f ( x)

có đạo hàm tại

x =1

.

)

a x 2 − 1 + b ( x − 1)
( x − 1) a ( x + 1) + b 
f ( x ) − f ( 1)
ax + bx − a − b
= lim+

lim+
= lim+
= lim+
x →1
x →1
x →1
x →1
x −1
x −1
x −1
x −1
2

= lim+  a ( x + 1) + b 
x →1

= 2a + b
lim−
x →1

f ( x ) − f ( 1)
f ( x ) − f ( 1)
= lim+
x →1
⇔ 2a + b = 2
x −1
x −1

Theo yêu cầu bài toán:
f ( 1) = 0

Câu 17. Ta có
.
f ( x ) − f ( 1)
1− x − 0
lim−
= lim−
= −1
x →1
x →1
x −1
x −1

lim+

Do đó hàm số khơng có đại hàm tại
f ( 0) = 1
Câu 18. Ta có
.
lim f ( x ) = lim+ ( ax 2 + bx + 1)
x →0+
x→0
=1
.
lim− f ( x ) = lim− ( ax − b − 1)
= −b − 1
x →0
x →0
x0 = 0

Để hàm số có đạo hàm tại

f ( 0 ) = lim+ f ( x ) = lim− f ( x )

x →1

và
x =1

.

f ( x ) − f ( 1)
x −1− 0
= lim+
=1
x →1
x −1
x −1

.

.

.

thì hàm số phải liên tục tại

x0 = 0

nên

−b − 1 = 1 ⇔ b = −2

. Suy ra
.
2
ax − 2 x + 1, x ≥ 0
f ( x) = 
ax + 1, x < 0
Khi đó
.
Xét:
f ( x ) − f ( 0)
ax 2 − 2 x + 1 − 1
lim
= lim+
= lim+ ( ax − 2 )
x →0+
x →0
x
x
x →0
= −2
+)
.
f ( x ) − f ( 0)
ax + 1 − 1
= lim−
lim
= lim− ( a )
x
→
0

x →0−
=a
x
x
x →0
+)
.
x→0

x→0

8


x0 = 0
a = −2
Hàm số có đạo hàm tại
thì
.
x0 = 0
a = −2 b = −2
T = −6
Vậy với
,
thì hàm số có đạo hàm tại
khi đó
.
Câu 19. * Ta có:
7
( x 2 + 2012) 7 1 − 2 x − 2012

( 7 1 − 2 x − 1)
1 − 2x −1
lim
= lim x 7 1 − 2 x + 2012.lim
= 2012.lim
x →0
x →0
x →0
x →0
x
x
x

(

)

y = f ( x) = 7 1− 2x

f ( 0) = 1
* Xét hàm số
ta có
. Theo định nghĩa đạo hàm ta có:
7
f ( x ) − f ( 0)
1 − 2x −1
f ′ ( 0 ) = lim
= lim
x →0
x

→
0
x−0
x

f ′( x) = −

7

(

2
7

)

1− 2x

⇒ f ′ ( 0) = −

6

2
7
1 − 2x − 1
2
7 ⇒ lim
=−
x →0
x

7

( x 2 + 2012) 7 1 − 2 x − 2012
4024 ⇒ a = −4024

=−
x →0
b = 7
⇒ a + b = −4017
x
7

⇒ lim
Câu 20.

f ( x ) − f ( 0)
lim
= lim
x →0
x →0
x−0

= lim
x →0

Câu 21.

.

Chọn B

x≠0
Với
xét:

(

1

4 2+ 4− x

)

=

3− 4− x 1
4 − ( 4 − x)
−
lim
2
−
4
−
x
4
4 = lim
= x →0 4 x 2 + 4 − x
x →0
x
4x

(

(

1

4 2+ 4−0

)

=

1
1
16 ⇒ f ′ ( 0 ) =
16

)

.

Chọn A

y = x −1
Ta có:

x ≥1
x <1

1,

y′ = 
 −1,

khi đó:
f ( x ) − f ( 1)
x −1
y′ ( 1+ ) = lim+
= lim+
=1
x →1
x →1 x − 1
x =1
x −1
Tại
:
.
f ( x ) − f ( 1)
1− x
y′ ( 1− ) = lim−
= lim−
= −1
x →1
x →1 x − 1
x −1
.
+
+
y′ ( 1 ) ≠ y′ ( 1 )
1
Do

nên hàm số không có đạo hàm tại .
¡
¡
Các hàm số cịn lại xác định trên
và có đạo hàm trên .
Câu 22. Chọn C

Do hàm số

, do đó:

 x − 1,
y=
1 − x,

y = f ( x)

có đạo hàm tại điểm

x0 = 2

lim
x →2

suy ra

x >1
x <1

f ( x ) − f ( 2)

= f ′ ( 2)
x−2

.
9


2 f ( x ) − xf ( 2 )
2 f ( x ) − 2 f ( 2 ) + 2 f ( 2 ) − xf ( 2 )
⇔ I = lim
x→2
x →2
x−2
x−2

I = lim
Ta có

⇔ I = lim
x→2

Câu 23.

2 ( f ( x ) − f ( 2) )
x−2

− lim
x→2

f ( 2) ( x − 2)

x−2

⇔ I = 2 f ′ ( 2) − f ( 2)

Chọn D

(

.

)

f ( x ) = lim+ ( x − 1) = 1 lim− f ( x ) = lim− − x 2 = 0
f ( 0 ) = 1 xlim
→ 0+
x→0
x →0
x →0
Ta có:
;
;
.
f ( 0 ) = lim+ f ( x ) ≠ lim− f ( x )
x0 = 0
x→0
x →0
Ta thấy
nên hàm số không liên tục tại
.
x0 = 0

Vậy hàm số khơng có đạo hàm tại
.
Câu 24. Chọn C
( I)
đúng (theo định lý Lagrange).
f ( a) = f ( b)
( II )
đúng vì với
,
f ( b) − f ( a )
′
f
c
=
=0
(
)
c ∈ ( a; b )
( I)
b−a
theo
suy ra tồn tại
sao cho
.
f (α) = f ( β ) = 0
( III )
α β ∈ ( a; b )
đúng vì với ,
sao cho
.

f ( x)
f ( x)
( a; b )
[ a; b]
Ta có
liên tục trên đoạn
và có đạo hàm trên khoảng
nên
liên tục trên
α
;
β
α
;
β
(
)
[ ]
đoạn
và có đạo hàm trên khoảng
.
c ∈( α; β )
f ′( c) = 0
( II )
Theo
suy ra luôn tồn tại một số
sao cho
.
Câu 25. Chọn B
a

⇒ f ′( x) =
f ′( x)
( 0; x0 )
0 < x < x0 f ( x ) = a x
2 x
+ Khi
:
. Ta có
xác định trên
nên liên tục
( 0; x0 )
trên khoảng
.
2
f ′( x)
( x0 ; +∞ )
x > x0 f ( x ) = x + 12 ⇒ f ′ ( x ) = 2 x
+ Khi
:
. Ta có
xác định trên
nên liên tục
( x0 ; +∞ )
trên khoảng
.
x = x0
+ Tại
:
2

lim−

x → x0

a
f ( x ) − f ( x0 )
a x − a x0
= lim−
= lim−
x → x0
x → x0
x − x0
x − x0

(

x − x0
x − x0

) = lim

x → x0−

a
a
=
x + x0 2 x0

.

10


x 2 + 12 − ( x02 + 12 )
f ( x ) − f ( x0 )
x 2 − x02
lim
= lim+
= lim+
= lim+ ( x + x0 ) = 2x
x → x0+
x → x0
x → x0 x − x
x − x0
x − x0
x → x0
0
0

( 0; +∞ )

f

.

Hàm số
có đạo hàm trên khoảng
khi và chỉ khi
a
f ( x ) − f ( x0 )

f ( x ) − f ( x0 )
⇔
= 2 x0
lim−
= lim+
x → x0
x → x0
2 x0
x − x0
x − x0
.
 a
khi 0 < x < x0

a
f ′( x) = 2 x
f ′ ( x0 ) =
= 2 x0
2 x
khi x ≥ x0
2 x0
f

Khi đó
và
nên hàm số
có đạo hàm liên
( 0; +∞ )
tục trên khoảng
.

a
= 2 x0 ⇔ a = 4 x0 x0
2 x0
( 1)
Ta có
x02 + 12 = a x0 ( 2 )
x0
f
Mặt khác: Hàm số
liên tục tại
nên
( 1) ( 2 )
x0 = 2
a =8 2
Từ
và
suy ra
và
S = a + x0 = 2 1 + 4 2
Vậy
.
Câu 26. Chọn A
 x 2 + ax + b
khi x ≥ 2
y= 3
2
 x − x − 8 x + 10 khi x < 2
Ta có
khi x ≥ 2
2 x + a

⇒ y′ =  2
3 x − 2 x − 8 khi x < 2

(

)

Hàm số có đạo hàm tại điểm

x = 2 ⇒ 4 + a = 0 ⇒ a = −4

Mặt khác hàm số có đạo hàm tại điểm
lim+ f ( x ) = lim− f ( x ) = f ( 2 )
x →2

Vậy

thì hàm số liên tục tại điểm

x=2

.

x →2

Suy ra
⇒ 4 + 2a + b = −2 ⇒ b = 2

a + b = 20
2

x=2

.

.

2

.

11