DE THI HSG TOAN 8

<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>

<b>Trường THCS Tuyên Quang Đề thi học sinh giỏi vòng trường (2009-2010)</b>
<b> Mơn : Tốn :8 Thời gian : 120 Phút</b>

<b>Bµi 1 : a) (1đ) Cho x, y thỏa x + y =1 . Tính giá trị biểu thức </b>
A = x<b>3_{+ y}3_{+ 3xy}</b>

b) (1đ) Rút gọn biểu thức sau.
(a +b+c )<b>2_{+ (a+b-c)}2_2(a+b)2</b>

<b>Bài 2:(3 ) a) Phân tÝch biĨu thøc sau ra nh©n tư: </b>
A = x2_{+ 4x + 3}

B = 4x4 _{+ 4x}2_y2 _{- 8y}4
C = x3 _{( x}2_{– 7)}2_{– 36x}

b) Dựa vào kết quả C h·y chøng minh biÓu thøc: n3_{– (n}2_{– 7) – 36n}

lu«n lu«n chia hÕt cho 7 víi mọi số nguyên n.
<b>Bài 3: (1đ) Chøng minh r»ng nÕu: </b> <i>x</i>

2

<i>−</i>yz

<i>x</i>(1<i>−</i>yz)=

<i>y</i>2<i>−</i>xz

<i>y</i>(1<i>−</i>xz)

víi x y ; xyz 0 ; yz 1 ; xz 1. th× : xy + xz + yz = xyz ( x + y +

z)

<b>Bài 4: (2đ) a) Tìm x để biểu thức sau có giá trị nhỏ nhất: x</b>2 _{+ x + 1}

b) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: P(x)= 2 + x - x2

<b>Bài 5: (2đ) Cho hình chữ nhật ABCD. Kẻ BH vuông góc với AC. M, K và N lần lợt là</b>
trung điểm của AH, CD và BH.

a. Chứng minh tứ giác MNCK là hình bình hành.
b. Chứng minh BM MK

---Hết đề

<b>thi---Đáp án đề Toán 8 </b>
<b>Bài 1 : a) A = (x+y)(x</b>2_{- xy + y}2_{) +3xy}

=x2_{–xy +y}2 + 3xy 0,5đ

= x2_{+2xy +y}2

=(x+y)2

</div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2>

=(a+b)2_{+2(a+b)c +c}2_+(a+b)2_{- 2(a+b)c +c}2_{– 2(a+b)}2_{= 2c}2_0,5đ
<b>Bµi 2: (3</b>đ) a) Ph©n tÝch biĨu thøc sau ra nh©n tö:

A= (x2_{+x) +( 3x+3) = x(x+1) + 3(x+1) = (x+1)(x+3) 0,5đ}
B =(4x4_{+ 4x}2_y2_{+ y}4_{) – 9y}4

=(2x2_+y2₎2_{- ( 3y}2₎2 _0,5đ

=(2x2_{+ 4y}2_{) (2x}2_{– 2y}2₎

= 2 ( x2_+2y2_{) 2 (x}2_{– y}2₎

=4 ( x2_+2y2_{) (x- y) ( x+y) 0,5đ}
<b> C= x</b>3_(x2_{– 7)}2_{– 36x = x[x}2_(x4_-14x2_{+ 49) – 36}]

= x(x6_-14x4_{+ 49x}2_{– 36}) _{= x}[_(x6_{- 9x}4_{) – (5x}4_{- 45x}2_{) + (4x}2_{- 36})

= x[ x4(x2_{- 9) – 5x}2_(x2_{- 9) + 4(x}2_{- 9})] _0,5®

= x(x2_{- 9)( x}4_{– 5x}2_{+ 4}) _{= x(x}2_{- 9)( x}4_{– 4x}2 _{- x}2_{+ 4}) _{= x(x}2_{- 9)( x}4_{– 4x}2 _{- x}2₊

4)

= x(x2_{- 9)[x}2_{( x}2_{– 4)}_{- (x}2_{- 4})] _{= x(x}2_{- 9)(x}2_{– 4)(x}2_-1)

= x(x+3) (x-3) (x+2) (x-2) (x+1) (x-1) 0,5đ
b) Theo kết quả C ta có: n3_(n2_{– 7)}2_{– 36n}

= n(n+3) (n-3) (n+2) (n-2) (n+1) (n-1)
hay xếp theo thứ tự tăng dần các nhân tử nh sau:

(n-3)(n-2)(n-1)n(n+1)(n+2)(n+3)

Đây là tích của 7 số nguyên liên tiÕp, trong 7 sè nguyªn liªn tiÕp bao giê cịng cã mét sè
chia hÕt cho 7, nªn tÝch chia hÕt cho 7, tøc lµ biĨu thøc n3_(n2_{– 7)}2_{– 36n chia hÕt cho}

7 (®pcm) 0,5đ
<b>Bài 3: (1đ) </b> <i>x</i>

2<i>₋</i>_yz

<i>x</i>(1<i>−</i>yz)=

<i>y</i>2<i>₋</i>_xz

<i>y</i>(1<i>−</i>xz)

Ta biến đổi từ bài ra:

<i>⇒</i> (x2_{-yz)y(1-xz) = x(1- yz)(y}2_{- xz) 0,5®}
<i>⇔</i> x2_{y- x}3_yz-y2_z+xy2_z2_{= xy}2_-x2_{z - xy}3_{z +x}2_yz2

<i>⇔</i> x2_{y- x}3_{yz - y}2_{z+ xy}2_z2_{- xy}2_+x2_{z + xy}3_{z - x}2_yz2_{= 0}

<i>⇔</i> xy(x-y) +xyz(yz +y2_{- xz - x}2_)+z(x2_{- y}2_{) = 0}
<i>⇔</i> xy(x-y) - xyz(x -y)(x + y +z)+z(x - y)(x+y) = 0

<i>⇔</i> (x -y) [xy<i>−</i>xyz(<i>x</i>+<i>y</i>+<i>z)+</i>xz+yz] = 0

Do x - y 0 nªn xy + xz + yz - xyz ( x + y + z) = 0

Hay xy + xz + yz = xyz ( x + y + z) (đpcm) 0,5đ
<b>Bài 4: (2đ) </b>

a) Tìm x để biểu thức sau có giá trị nhỏ nhất: x2 _{+ x + 1}

Biến đổi biểu thức trên thành:
x2 _{+2 x} 1

2 + (
1

2 )2 +
3

</div>
<span class='text_page_counter'>(3)</span><div class='page_container' data-page=3>

= (x + 1

2 )2 +
3

4 Do (x +
1

2 )2 không âm nên nhỏ nhất khi (x +
1

2 )2 = 0

tøc lµ x= - 1

2 thì biểu thức có giá trị nhỏ nhất là
3

4 0,5đ

b) Tìm giá trị lín nhÊt cđa biĨu thøc: P(x)= 2+x-x2

Biến đổi: P(x)= 2+x-x2 = - (x2 –x -2) P(x)= - (x2 –x + 1

4 -

1
4 -2)

P(x)= - [(x2 –x + 1
4 ) -

1
4 -2]

P(x)= - [(x – 1
2 )2 -

9

4 ] 0,5®

Vì biểu thức biến đổi trên mang dấu (-) nên P(x) lớn nhất khi [(x – 1
2 )2 -

9

4 ] nhá

nhÊt tøc lµ x= 1

2 , lúc đó P(x)=
9

4 0,5đ

<b>Bài 5: (2đ) Vẽ hình 0.5 đ </b>

a. Chứng minh tứ giác MNCK là hình bình hành. 0,75đ
Xét tam giác AHB cã:

NH = NB (gt)

MH = MA (gt) Suy ra MN là đờng trung bình nên
MN//AB

MN =AB/2
mµ AB = CD

AB //CD nªn MN//CK
CK=CD MN =CK
Suy ra tứ giác MNCK là hình bình hành.

b. Chng minh BM MK 0,75đ
Kéo dài MN cắt BC tại E ta thấy MN//CD và CD BC nên ME BC
Xét tam giác MBC có BH và ME là đờng cao, nên N là trực tâm, do đó
CN BM mà CN//KM nên BM MK (đpcm).

<b>---Hết đáp </b>

¸n---B C

A M

D
N

K
H

</div>

<!--links-->