Bài giảng Tín hiệu và hệ thống: Biến đổi z - TS. Đặng Quang Hiếu

ET 2060 - Tín hiệu và hệ thống
Biến đổi z
TS. Đặng Quang Hiếu

th

an

co

ng

2013-2014

.c

Trường Đại học Bách Khoa Hà Nội
Viện Điện tử - Viễn thông

om



cu

u

du

on

g

Giới thiệu về biến đổi z

◮

Do Ragazzini và Zadeh giới thiệu vào năm 1952.

◮

Tương đương với biến đổi Laplace trong hệ thống liên tục.

◮

Chập trên miền n ≡ tích trên miền z.

◮

Phân tích, tổng hợp, đánh giá hệ thống LTI.

CuuDuongThanCong.com

/>

Định nghĩa biến đổi z
z
n

z
z −1

z

x[n] ←−
−→ X (z)
∞

X (z) =

x[n]z −n

.c

n=−∞

om

trong đó z là biến số phức z = re jω , và

ng

Miền hội tụ:

co

ROC{X (z)} = {z ∈ C : |X (z)| < ∞}

th

an

Ví dụ: Tìm biến đổi z của x1 [n] = δ[n] và x2 [n] = u[n].

Biến đổi Fourier là biến đổi z xét trên vòng tròn đơn vị
z = e jω .
X (e jω ) = X (z)|z=e jω

cu

u

◮

du

on

g

Liên hệ với biến đổi Fourier

◮

Biến đổi z là biến đổi Fourier của x[n]r −n
X (z) =

∞
n=−∞

◮

x[n](re jω )−n = FT{x[n]r −n }

Điều kiện hội tụ:
∞
n=−∞

CuuDuongThanCong.com

|x[n]r −n |dt < ∞

/>

Ví dụ

Tìm biến đổi z và vẽ miền hội tụ cho các trường hợp sau:
(a) x[n] = 2δ[n − 2] + δ[n] − 3δ[n + 1]

(b) x[n] = an u[n]

(c) x[n] = −an u[−n − 1]

(d) x[n] = 2n u[n] − (3j)n u[−n − 1]

om

(e) x[n] = (−3)n u[n] + 2n u[−n − 1]

th

an

co

ng

.c

(f) x[n] = cos(ω0 n)u[n]

du

on

g

Các điểm cực và không

cu

u

b0 + b1 z + · · · + bM z M
N(z)
=
X (z) =
D(z)
a0 + a1 z + · · · + aN z N

◮
◮

Các điểm không (zeros) z0r : X (z0r ) = 0 → nghiệm của N(z)
Các điểm cực (poles) zpk : X (zpk ) = ∞ → nghiệm của D(z)

Ví dụ: Cho dãy x[n] = an rectN [n].

(a) Tìm biến đổi z và miền hội tụ.
(b) Tìm các điểm cực, điểm khơng và vẽ trên mặt phẳng phức.

CuuDuongThanCong.com

/>

Các tính chất của ROC

(i) ROC có dạng tổng qt là hình vành khuyên: r1 < |z| < r2 .

(ii) ROC khơng chứa các điểm cực

(iii) Nếu x[n] có chiều dài hữu hạn thì ROC sẽ là cả mặt phẳng
phức (có thể bỏ đi 0 hoặc ∞).
(v) Nếu x[n] là dãy hai phía thì ROC ntn?

g

du

on

Biến đổi z ngược

th

an

co

ng

.c

(vi) Nếu X (z) hữu tỷ với các điểm cực zpk ?

om

(iv) Nếu x[n] là dãy một phía (trái hoặc phải) thì ROC ntn?

cu

u

Áp dụng biến đổi Fourier ngược:
x[n]r −n =

Ta có:
x[n] =

1
2π
1

2πj

X (re jω )e jωn dω
2π

X (z)z n−1 dz
C

trong đó, C là đường cong khép kín nằm trong ROC{X (z)}.

CuuDuongThanCong.com

/>

Các tính chất
◮

Tuyến tính

◮

Dịch thời gian: x[n − n0 ] ←−
−→ z −n0 X (z)

◮
◮
◮
◮

z

Đảo trục thời gian: x[−n] ←−
−→ X (1/z)
z

Liên hợp phức: x ∗ [n] ←−
−→ X ∗ (z ∗ )
z

Chập: x1 [n] ∗ x2 [n] ←−
−→ X1 (z)X2 (z)
z

Đạo hàm trên miền z: nx[n] ←−
−→ −z dXdz(z)

Định lý giá trị đầu: Nếu tín hiệu nhân quả (x[n] = 0, ∀n < 0)
thì
x[0] = lim X (z)

ng

z→∞

Tương quan, tích?

th

an

co

◮

om

◮

z

Co dãn trên miền z: an x[n] ←−
−→ X (z/a)

.c

◮

z

on

g

Biến đổi z ngược: Khai triển thành chuỗi lũy thừa

cu

u

du

Cho trước X (z) và ROC, khai triển X (z) thành chuỗi lũy thừa có
dạng
∞

X (z) =

cn z −n

n=−∞

hội tụ trong ROC đã cho. Khi đó, x[n] = cn , ∀n.
Nếu X (z) là hàm hữu tỷ, thực hiện phép chia đa thức.
Ví dụ: Tìm biến đổi z ngược của

khi

1 + 2z −1
X (z) =
1 − 2z −1 + z −2

(a) x[n] là dãy nhân quả
(b) x[n] là dãy phản nhân quả

CuuDuongThanCong.com

/>

Khai triển thành các phân thức tối giản (1)
b0 + b1 z + · · · + bM z M

N(z)
=
X (z) =
D(z)
a0 + a1 z + · · · + aN z N
Xét M < N, khai triển X (z) về dạng
N

X (z) =
k=1

Ak
z − zpk

Ak = (z − zpk )X (z)

z=zpk

N ′ (z)
D(z)

với M ′ < N.

.c

Nếu M ≥ N thì chia đa thức: X (z) = G (z) +

om

trong đó zpk là các cực đơn của X (z) và

1

co

X (z) =

ng

Ví dụ: Cho biến đổi z

1 − 1.5z −1 + 0.5z −2

th

an

Tìm x[n]?

on

g

Khai triển thành các phân thức tối giản (2)

cu

u

du

Trường hợp điểm cực bội zpk bậc ℓ, khai triển của X (z) phải chứa
các phân thức tối giản sau:
A1k
A2k
Aℓk
+
+
·
·
·
+
z − zpk
(z − zpk )2
(z − zpk )ℓ

◮

Phương pháp tính Aik ?

◮

Biến đổi ngược của

1
(z−zpk )m ?

Ví dụ: Tìm biến đổi z ngược của
X (z) =

z
(z −

1 2
2 ) (z

− 1)

Trường hợp nghiệm phức? Tự đọc!

CuuDuongThanCong.com

/>

Hàm truyền đạt H(z) của hệ thống LTI rời rạc

x[n]

h[n]

y [n]

y [n] = x[n] ∗ h[n]

.c

om

Biến đổi z cả hai vế, áp dụng tính chất chập, ta có hàm truyền đạt
của hệ thống:

Y (z)
H(z) =
X (z)

Y (z)

ng

H(z)

on

g

Hàm truyền đạt (2)

th

an

co

X (z)

cu

u

du

Hệ thống LTI được biểu diễn bởi phương trình sai phân tuyến tính
hệ số hằng
M

N

y [n] = −

k=1

ak y [n − k] +

r =0

br x[n − r ]

Biến đổi z cả hai vế, rút gọn
H(z) =

1+

M
−r
r =0 br z
N
−k
k=1 ak z

→ Hệ thống cực - không (pole-zero system).
◮

Nếu ak = 0, 1 ≤ k ≤ N → hệ thống FIR gồm tồn điểm
khơng và một điểm cực bội bậc M tầm thường tại gốc.

◮

Nếu br = 0, 1 ≤ r ≤ M → hệ thống IIR gồm toàn điểm cực
và một điểm không bội bậc N tầm thường tại gốc.

CuuDuongThanCong.com

/>

Hệ thống LTI nhân quả và ổn định

◮

Nhân quả: ROC{H(z)} nằm ngồi vịng trịn và có chứa ∞.
Ổn định: ROC{H(z)} chứa vòng tròn đơn vị (z = e jω ).

◮

Nhân quả, ổn định, H(z) hữu tỷ: Tất cả các điểm cực của
H(z) nằm bên trong vòng tròn đơn vị.

◮

Tiêu chuẩn ổn định Jury, Schur-Cohn: Kiểm tra xem liệu tất
cả các nghiệm của một đa thức có nằm trong vịng trịn đơn
vị khơng. Thường được thực hiện trên máy tính.

th

an

co

ng

.c

om

◮

du

on

g

Hàm truyền đạt và sơ đồ khối của hệ thống

cu

u

Hãy viết phương trình sai phân của hệ thống LTI được biểu diễn
bởi sơ đồ dưới đây
−1

X (z)

z −1
2

0.5

z −1
3

−1

z −1
−2

CuuDuongThanCong.com

/>
Y (z)


Biến đổi z một phía
+

+

X (z) = ZT {x[n]} =

∞

x[n]z −n

n=0

Các tính chất tương tự như biến đổi z hai phía, ngoại trừ:
◮

Trễ
k

[X (z) +
n=1
k−1

ZT+ {x[n + k]} = z −k [X + (z) −
Định lý giá trị cuối

x[n]z −n ],
n=0

k >0

k >0

ng

◮

x[−n]z n ],

+

om

−k

.c

ZT {x[n − k]} = z
+

co

lim x[n] = lim (z − 1)X + (z)

n→∞

th

an

z→1

u

du

on

g

Giải phương trình sai phân tuyến tính hệ số hằng

cu

Ví dụ: Giải phương trình sai phân (tìm y [n], n ≥ 0):
y [n] − 3y [n − 1] + 2y [n − 2] = x[n]

với đầu vào x[n] = 3n−2 và các điều kiện đầu:
4
y [−2] = − ,
9

CuuDuongThanCong.com

y [−1] = −

1
3

/>

Bài tập Matlab

1. Sử dụng hàm zplane để vẽ cực và không của một hệ thống
LTI rời rạc.
2. Dùng hàm residuez để thực hiện biến đổi z ngược trong
trường hợp X (z) là một hàm hữu tỷ.

cu

u

du

on

g

th

an

co

ng

.c

om

3. Viết chương trình kiểm tra tính ổn định của hệ thống theo
tiêu chuẩn Jury, Schur-Cohn

CuuDuongThanCong.com

/>