Toán 10 Bài 3 hàm số bậc HAI

CHƯƠNG 2
BÀI 3: HÀM SỐ BẬC HAI
Mục tiêu
 Kiến thức
+ Nhận dạng được hàm số y  ax 2  bx  c . Nắm được các nội dung về tập xác định, sự đồng
biến, nghịch biến và đồ thị của hàm số.
+ Phát hiện được vấn đề toán học và về hàm số được nghiên cứu từ những bài toán thực tế.
+ Phát biểu và vận dụng được điều kiện về điểm M  x0 ; y0  thuộc đồ thị hàm số y  ax 2  bx  c ,
điều kiện để hàm số đồng biến (nghịch biến) trên tập X, điều kiện để hàm số là hàm chẵn (hàm
lẻ) trên D.
 Kĩ năng
+ Xét được tính đồng biến, nghịch biến của hàm số y  ax 2  bx  c và lập được bảng biến thiên
của hàm số khi a  0, a  0 .
+ Xác định được tọa độ đỉnh, phương trình trục đối xứng của parabol y  ax 2  bx  c , tìm giao
điểm của đồ thị hàm số với các trục tọa độ và xét sự tương giao giữa hai đồ thị hàm số.
+ Xác định được hàm số y  ax 2  bx  c , khi biết đồ thị của nó thỏa mãn một số điều kiện cho
trước.
2

2
2
+ Vẽ được đồ thị hàm số y  ax  bx  c, y  ax  bx  c , y  a x  b x  c .

Trang 1


I. LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM
Hàm số ﾵ ﾵ là một trường hợp đặc biệt của hàm số

Định nghĩa
Hàm số bậc hai được cho bởi công thức

bậc hai khi ﾵ ﾵ.

y  ax 2  bx  c  a �0  .
Ví dụ: Đồ thị hàm số ﾵ ﾵ là một parabol có đỉnh ﾵ ﾵ,

Tập xác định của hàm số là D  �.

nhận đường thẳng ﾵ ﾵ làm trục đối xứng và có bề

Đồ thị của hàm số bậc hai
2
Đồ thị hàm số y  ax  bx  c  a �0 

là một lõm hướng lên trên do ﾵ ﾵ.
Đồ thị hàm số ﾵ ﾵ cắt trục tung tại ﾵ ﾵ, không cắt

� b
b 2  4ac �
trục hồnh.
 ;
parabol có đỉnh I �
�, nhận đường
4a �
� 2a
Điểm đối xứng với điểm ﾵ ﾵ qua đường thẳng ﾵ ﾵ là

 2; 4  .
điểm A�
b

làm trục đối xứng và hướng bề lõm
2a
 3;7 
Đồ thị hàm số đi qua hai điểm B  1;7  và B�
lên trên khi a  0 , hướng bề lõm xuống dưới khi
đối xứng với nhau qua đường thẳng x  1 .
a0.
Đồ thị hàm số như hình vẽ.
Cách vẽ đồ thị hàm số bậc hai
thẳng x  

Bước 1: Xác định tọa độ đỉnh
� b
b 2  4ac �
I � ; 
�.
4a �
� 2a
Bước 2: Vẽ trục đối xứng x  

b
.
2a

Bước 3: Xác định một số điểm cụ thể của parabol
(chẳng hạn, giao điểm của parabol với các trục tọa
độ và các điểm đối xứng của chúng qua trục đối
xứng).
Bước 4: Căn cứ vào tính đối xứng, bề lõm và hfinh
dáng parabol để vẽ parabol.

Ví dụ:
- Hàm số y  x 2  4 x  1 có a  1  0 và 

b
2
2a

nên hàm số nghịch biến trên khoảng  �; 2  , đồng
biến trên khoảng  2; � và có giá trị nhỏ nhất là
5 khi x  2 .

Bảng biến thiên của hàm số như sau:

Trang 2


- Hàm số


y   x 2  2 x  2 có a  1  0 và

b
 1 nên hàm số đồng biến trên khoảng
2a

 �; 1 , nghịch biến trên khoảng  1; �

và có

giá trị lớn nhất là 1 khi x  1 .

Bảng biến thiên của hàm số như sau:

Sự biến thiên của hàm số bậc hai
- Khi a  0 , hàm số nghịch biến trên khoảng
b �
�
� b
�
��;  �, đồng biến trên khoảng � ; ��
2a �
� 2a
�
�
và có giá trị nhỏ nhất là

b
4ac  b 2
khi x  
.
2a
4a

Bảng biến thiên của hàm số khi a  0 như sau:

- Khi a  0 , hàm số đồng biến trên khoảng
b �
�
� b
�
��;  �, nghịch biến trên khoảng � ; ��

2a �
� 2a
�
�
và có giá trị lớn nhất là

b
4ac  b 2
khi x  
.
2a
4a

Bảng biến thiên của hàm số khi a  0 như sau:
Sự biến thiên
b �
�
Hàm số nghịch biến trên khoảng ��;  �.
SƠ ĐỒ HỆ THỐNG�
HÓA 2a �
� b
�
Hàm số đồng biến trên khoảng � ; ��.
� 2a
�
2
b
4ac  b
Hàm số đạt giá trị nhỏ nhất bằng
tại x  

.
2a
4a

Trang 3


Đồ thị hàm số
Bảng biến thiên
Với a  0

Hàm số bậc hai
Tập xác định

Đồ thị hàm số
Bảng biến thiên
Với a  0

Sự biến thiên
b �
�
Hàm số đồng biến trên khoảng ��;  �.
2a �
�
� b
�
Hàm số nghịch biến trên khoảng � ; ��.
� 2a
�
2

b
4ac  b
Hàm số đạt giá trị lớn nhất bằng
tại x  
.
2a
4a

Trang 4


II. CÁC DẠNG BÀI TẬP
Dạng 1: Xét sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số
Phương pháp giải
Xác định các khoảng đồng biến, nghịch biến
của hàm số bậc hai
Xét hàm số y  ax 2  bx  c , với a, b, c là hằng số, Ví dụ 1: Hàm số y  x 2  3x  2 có a  1  0 ,
a �0 . Để xác định các khoảng đồng biến, nghịch

biến của hàm số, ta thường thực hiện như sau:
- Xác định các hệ số a, b, c.
- Tính 

b  3, c  2, 

b 3
 .
2a 2

Hàm số có bảng biến thiên như sau:

b
.
2a

- Nếu a  0 thì hàm số nghịch biến trên khoảng
b �
�
��;  �và đồng biến trên khoảng
2a �
�
� b
�
� ; ��.
� 2a
�
Bảng biến thiên của hàm số như sau:

� 3�
Hàm số nghịch biến trên khoảng ��; �và đồng
� 2�
�3
�
biến trên khoảng � ; ��.
�2
�

2
- Nếu a  0 thì hàm số đồng biến trên khoảng Ví dụ 2: Hàm số y  2 x  4 x có a  2  0 ,

b �
�
��;  �và nghịch biến trên khoảng
2a �
�

b  4, c  0, 

b
 1 . Hàm số có bảng biến thiên
2a

như sau:

� b
�
� ; ��.
� 2a
�
Bảng biến thiên của hàm số như sau:
Hàm số đồng biến trên khoảng  �; 1 và nghịch
biến trên khoảng  1; � .

Trang 5


Vẽ đồ thị hàm số bậc hai
Để vẽ đồ thị hàm số y  ax 2  bx  c , với a, b, c là Ví dụ 3: Cho hàm số y  2 x 2  4 x có a  2  0 ,
hằng số, a �0 , ta thực hiện như sau:
- Xác định các hệ số a, b, c.

- Xác định trục đối xứng x  

b  4, c  0, 

b
 1 có đồ thị là parabol  P  .
2a

- Trục đối xứng của  P  là x  1 .
b
và tọa độ đỉnh
2a
- Đỉnh của  P  là I  1; 2  .

� b 4ac  b 2 �
 ;
�
�.
4a �
� 2a
- Xác định thêm một số điểm.

- Bảng giá trị của một số điểm:
3
x
2
1
6
y
0

2
- Đồ thị  P  như hình vẽ sau:

0
0

1
6

- Vẽ đường cong đi qua các điểm vừa xác định.
Lưu ý đến sự biến thiên của hàm số.

Ví dụ mẫu
Ví dụ 1: Lập bảng biến thiên, xác định các khoảng đồng biến, nghịch
biến và vẽ đồ thị của các hàm số bậc hai sau đây.
a) y  x 2 .
b) y  x 2  2 x  1 .
c) y   x 2  3x  3 .
Hướng dẫn giải
b
 0.
a) Hàm số y  x 2 có a  1, b  c  0, 
2a
Bảng biến thiên của hàm số như sau:

Chú ý: Đường thẳng x  x0
vng góc với trục Ox tại điểm
có hồnh độ bằng x0 .
Đường thẳng y  y0 vng góc
với trục Oy tại điểm có tung độ

Trang 6


bằng y0 .
Điểm M  x0 ; y0  là giao điểm
của hai đường thẳng vng góc
Hàm số nghịch biến trên khoảng  �;0  và đồng biến trên khoảng

x  x0 và y  y0 .

 0; � .
Đồ thị của hàm số y  x 2 là parabol  P  có trục đối xứng là đường
thẳng x  0 (trục tung) và đỉnh là điểm O  0;0  (gốc tọa độ).
Để vẽ đồ thị  P  ta lấy một số điểm theo bảng giá trị sau:
x
2
y
4
Đồ thị  P  như hình vẽ.

1
1

0
0

1
1

b) Hàm số y  x 2  2 x  1 có a  1, b  2, c  1, 

2
4

b
1.
2a

Bảng biến thiên của hàm số như sau:

Hàm số nghịch biến trên khoảng  �;1 và đồng biến trên khoảng

 1; � .
Đồ thị của hàm số y  x 2  2 x  1 là parabol  P  có trục đối xứng là
đường thẳng x  1 và đỉnh là điểm I  1; 2  .
Để vẽ đồ thị  P  ta lấy một số điểm theo bảng giá trị sau:
Trang 7


x
1
0
y
2
1
Ta có đồ thị  P  như hình vẽ.

1
2

2
1

c) Hàm số y   x 2  3x  3 có a  1, b  3, c  3, 

3
2

b 3
 .
2a 2

Bảng biến thiên của hàm số như sau:

�3
�
Hàm số nghịch biến trên khoảng � ; ��và đồng biến trên khoảng
�2
�
� 3�
��; �.
� 2�
Đồ thị của hàm số y   x 2  3 x  3 là parabol  P  có trục đối xứng là
đường thẳng x 

3
và đỉnh là điểm
2

�3 3 �

I � ;  �.
�2 4 �

Để vẽ đồ thị  P  ta lấy một số điểm theo bảng giá trị sau:
x

0

1

y

3

1

Đồ thị  P  như hình vẽ.

3
2
3

4

2

3

1

3

Trang 8


Ví dụ 2: Cho đồ thị hàm số y  ax 2  bx  c như hình vẽ.

A. a  0, b  0, c  0

B. a  0, b  0, c  0

C. a  0, b  0, c  0

D. a  0, b  0, c  0

Hướng dẫn giải
Do đồ thị quay bề lõm xuống dưới nên a  0 .
Đồ thị cắt trục tung tại điểm  0;c  nằm phía dưới gốc tọa độ nên c  0
.
Hoành độ đỉnh của đồ thị nhận giá trị âm nên 

b
 0 , dẫn tới b  0 .
2a

Vậy a, b, c đều âm.
Chọn D.
2
Ví dụ 3: Vẽ đồ thị hàm số y  x  2 x .

Chú ý: Ta có thể vẽ đồ thị các
hàm

số

y  x2  2x

và

y   x 2  2 x trên cùng một hệ

Hướng dẫn giải

trục tọa độ rồi xóa đi tồn bộ

x �2
�
2
Ta thấy x  2 x �0 � �
hoặc x �0 và x 2  2 x  0 � 0  x  2 .
x �0
�

những phần đồ thị nằm phía

2
Viết lại hàm số y  x  2 x ở dạng
2
�
�x  2 x khi x � �;0 � 2; �

y� 2
.
 x  2 x khi x � 0; 2 
�

bên dưới trục hồnh, khi đó sẽ
thu được đồ thị hàm số
y  x2  2x .

Để vẽ đồ thị hàm số ta thực hiện các bước như sau:
Trang 9


- Bước 1: Ta vẽ đồ thị hàm số y  x 2  2 x (hình 1), cách vẽ tương tự
như ví dụ 1.
- Bước 2: Lấy đối xứng qua trục hoành phần đồ thị y  x 2  2 x nằm
phía dưới trục hồnh (hình 2).
- Bước 3: Xóa đi tồn bộ phần đồ thị y  x 2  2 x nằm phía dưới trục
2
hồnh thu được đồ thị hàm số y  x  2 x như hình 3 dưới đây.

2
Ví dụ 4: Cho hàm số y   x   3m  1 x  m (với m là tham số) có đồ

thị  P  .
a) Tìm m để  P  đi qua điểm A  1;0  .
b) Tìm điểm cố định mà  P  luôn đi qua với mọi m.
c) Tìm quỹ tích đỉnh của  P  khi m thay đổi.
d) Tìm m để hàm số là hàm chẵn trên �.
Hướng dẫn giải

2
a) Thay x  1, y  0 vào y   x   3m  1 x  m ta được

0  12   3m  1 .1  m � 2m  2  0 � m  1 .
2
Vậy với m  1 thì parabol  P  : y   x   3m  1 x  m đi qua điểm

A  1;0  .
b) Gọi M  x0 ; y0  là điểm cố định mà

 P  : y   x 2   3m  1 x  m

luôn đi qua với mọi m. Khi đó:
y0   x02   3m  1 x0  m, m ��
�  3 x0  1 m    x02  x0  y0   0, m ��
3x0  1  0
�
�� 2
 x0  x0  y0  0
�

Trang 10


� 1
x 
�
�0 3
��
.

4
�y  
�0
9
Vậy với mọi m thì parabol  P  : y   x   3m  1 x  m luôn đi qua
2

Chú ý: Để tìm phương trình
của (P1) ta có thể thực hiện như
sau:

�1 4 �
điểm M � ;  �.
�3 9 �

- Hoành độ đỉnh của parabol

�3m  1 9m 2  10m  1 �
P
I
;
c) Đỉnh của   là điểm �
�.
4
� 2
�
� 2 xI  1
� 3m  1
m
x


�
I
�
3
�
�
2
��
Ta thấy �
2
2
�y  9m  10m  1
�y  9 �2 xI  1 � 10 �2 xI  1 � 1
I
�
�
�
�
�I
�
4� 3 � 4 � 3 � 4
4
�
� 2 xI  1
m
�
�
3
��

.
�y  x 2  2 x  1
I
I
�I
3
3
2
1
Vì yI  x  xI  với mọi m và khi m chạy khắp tập � thì xI cũng
3
3
2
I

�3m  1 9m 2  10m  1 �
;
chạy khắp tập � nên quỹ tích điểm I �
� là
4
� 2
�

(P) là

m

x

3m  1

, ta rút ra
2

2x 1
3

- Thay m 

2x 1
vào phương
3

trình của (P) ta được
y   x 2   (2 x  1)  1 x 

2x 1
3

2
1
� y  x2  x 
3
3
Vậy phương trình của (P1) là
y  x2 

2
1
x
3

3

2
1
2
parabol  P1  : y  x  x  .
3
3
2
2
d) Đặt f  x    x   3m  1 x  m thì f   x    x   3m  1 x  m .

Hàm số đã cho là hàm chẵn trên � khi và chỉ khi
f   x   f  x  , x ��
�  x 2   3m  1 x  m   x 2   3m  1 x  m, x ��
� 2  3m  1 x  0, x ��
� 3m  1  0 � m 
Vậy với m 

1
.
3

1
2
thì hàm số y   x   3m  1 x  m là hàm chẵn trên �
3

.
2

Ví dụ 5: Cho hàm số y  x  4 x  2 x  1 . Khẳng định nào sau đây

Trang 11


đúng?
A. Hàm số nghịch biến trên khoảng

 �; 2 

và đồng biến trên

 �;3

và đồng biến trên

khoảng  2; � .
B. Hàm số nghịch biến trên khoảng
khoảng  3; � .
C. Hàm số đồng biến trên khoảng  �;1 và nghịch biến trên khoảng

 1; � .
D. Hàm số nghịch biến trên các khoảng  �;0  ,  1; 4  và đồng biến
trên các khoảng  0;1 ,  4; � .
Hướng dẫn giải
2
Ta viết lại hàm số y  x  4 x  2 x  1 như sau:
2
�
�x  6 x  1 khi x � �;0 � 4; �

y� 2
.
 x  2 x  1 khi x � 0; 4 
�

Chú ý: Nếu một hàm số đồng
biến (hoặc nghịch biến) trên

2
Hàm bậc hai f  x   x  6 x  1 nghịch biến trên  �;3 , đồng biến tập D và X là tập con khác
rỗng bất kì của D thì hàm số đó
trên  3; � , do đó nó nghịch biến trên  �;0  và đồng biến trên
đồng biến (tương ứng nghịch
 4; � .
biến) trên X.
2
Hàm bậc hai g  x    x  2 x  1 đồng biến trên  �;1 , nghịch biến

trên  1; � , do đó nó đồng biến trên  0;1 và nghịch biến trên  1; 4  .
Vậy hàm số đã cho nghịch biến trên các khoảng  �;0  ,  1; 4  và đồng
biến trên các khoảng  0;1 ,  4; � .
Chọn D.
Bài tập tự luyện dạng 1
Bài tập cơ bản
Câu 1: Trong các điểm sau, điểm nào không thuộc đồ thị hàm số y 
�7�
1; �
A. M �
� 2�

9�
�
1;  �
B. N �
2�
�

1 2
x  4x  1 ?
2

C. P  2;9 

D. Q  2;7 

Câu 2: Trong các hàm số sau, hàm số nào có đồ thị đi qua điểm A  2;6  ?
A. y  x 2  3x  1

B. y  7  3x  x 2

C. y  4 x 2  9

D. y  2 x 2  x

Câu 3: Trục đối xứng của parabol y  2 x 2  12 x  11 là
A. x  3

B. x  3

C. x  6

D. x  6

Trang 12


Câu 4: Đồ thị hàm số y  x 2  4 x  3 cắt trục tung tại điểm A và cắt trục hoành tại hai điểm B, C phân
biệt. Diện tích tam giác ABC là
A. 3 (đvdt)

B. 6 (đvdt)

C. 2 (đvdt)

D.

9
(đvdt)
2

Câu 5: Hình bên là đồ thị của một trong bốn hàm số cho ở các
đáp án A, B, C, D sau đây. Hỏi đó là hàm số nào?
A. y   x 2  2 x  3
B. y   x 2  2 x  3
C. y  x 2  2 x  3
D. y   x 2  2 x  3

Câu 6: Bảng ở hình bên là bảng biến thiên của hàm số
nào sau đây?
A. y   x 2  2 x  1

B. y  2 x 2  4 x

C. y  2 x 2  4 x  1

D. y  x 2  2 x

Câu 7: Cho hàm số y   x 2  4 x  1 . Khẳng định nào sau đây sai?
A. Hàm số đồng biến trên  �;1 và nghịch biến trên  3; � .
B. Hàm số đồng biến trên  �; 2  và nghịch biến trên  2; � .
C. Hàm số đồng biến trên  �;0  và nghịch biến trên  4; � .
D. Hàm số đồng biến trên  �;3 và nghịch biến trên  3; � .
2
Câu 8: Để trục đối xứng của đồ thị hàm số y  x   m  2  x  3m  2 đi qua điểm M  4;3 thì

A. m  2

B. m  3

C. m  4

D. m  6

2
2
Câu 9: Để hàm số y  4 x   2m  1 x  19m là hàm chẵn trên � thì

A. m  0

B. m  1

C. m 

1
2

D. m  

1
2

2 x  1 khi x �1
�
Câu 10: Hình vẽ nào trong bốn hình vẽ sau đây là đồ thị của hàm số y  � 2
?
�x  2 khi x  1

A.

B.
Trang 13


C.

D.

Bài tập nâng cao
2
Câu 11: Đồ thị hàm số y  mx   2  3m  x  2m  1 luôn đi qua hai điểm cố định A, B với mọi m. Độ dài

đoạn thẳng AB là
A. 13

B.

5

C.

D.

3

7

2
Câu 12: Cho họ parabol  P  : y  x   2m  1 x  1 với m là tham số. Khi m thay đổi, quỹ tích đỉnh của

 P

là đường có phương trình nào sau đây?

A. y   x 2  1

B. y  2 x 2  1

C. y  x 2  2 x  1

D. y   x 2

Câu 13: Cho điểm F  1; 4  và đường thẳng  : y  1 . Tập hợp tất cả các điểm M trong mặt phẳng sao
cho M cách đều điểm F và đường thẳng  là
A.  P  : y  

1 2 8
1
x  x
10
5
5

2
B.  P  : y   x 

2
8
x
5
5

C.  P  : y  

1 2 1
8
x  x
10
5
5

1 2 1
2
D.  P  : y   x  x 
2
5
5

Câu 14: Gọi m0 là giá trị của tham số m để giá trị lớn nhất của hàm số y  x 2  2mx  1 trên đoạn  1;3
đạt nhỏ nhất. Khẳng định nào sau đây đúng?
A. m0 � 1; 4 

B. m0 � 1;5

C. m0 � 3;1

D. m0 � �;0 

Câu 15: Cho các số thực x, y, z thỏa mãn 0  x  y �z �1 và 12 x  20 y  28 z �39 . Giá trị lớn nhất của
biểu thức S  2 x 2  5 y 2  7 z 2 là
A. 12

B.

87
8

C.

23
2

D.

76
7

Dạng 2: Bài toán tương giao giữa các đồ thị hàm số
Phương pháp giải
+) Xét các hàm số

y  a1 x 2  b1 x  c1 , y  a2 x  b2

( Ví dụ 1: Xét hàm số y  3x  1 có đồ thị là

a1 , a2 , b1 , b2 , c1 là các hằng số, a1 �0 ) có đồ thị lần lượt là

 d

 P  ,  d  . Phương trình hồnh độ điểm chung của  P 

 P .

 d

2
là a1 x  b1 x  c1  a2 x  b2

� a1 x 2   b1  a2  x   c1  b2   0 (1).

và

và hàm số y  x 2  x  2 có đồ thị là

Phương trình hồnh độ điểm chung là
x 2  x  2  3x  1 � x 2  4 x  3  0 .
Trang 14


- Nếu (1) vơ nghiệm thì  P  ,  d  khơng có điểm chung.

 P , d 

- Nếu (1) có nghiệm kép x  x0 thì

Phương trình này có hai nghiệm phân biệt

có điểm

chung duy nhất M 0  x0 ; a2 x0  b2  . Lúc này  P  và  d 
tiếp xúc với nhau tại M 0 . Ta gọi đường thẳng  d  là tiếp
tuyến của parabol  P  , điểm M 0 được gọi là tiếp điểm.
- Nếu (1) có hai nghiệm phân biệt x  x1 , x  x2 thì

 P , d 

x  1 , x  3 . Thay các giá trị của x vào

phương trình của  d  (cũng có thể thay vào
phương trình của  P  ), ta được các giá trị
tương ứng y  2, y  8 . Vậy  d  cắt  P  tại

hai điểm phân biệt M 1  1; 2  , M 2  3;8  .

cắt nhau tại hai điểm phân biệt

M 1  x1 ; a2 x1  b2  , M 2  x2 ; a2 x2  b2  .
Ví dụ 2: Xét hàm số y  2 x 2  3 x  6 có đồ

2
+) Xét các hàm số y  a1 x  b1 x  c ,

y  a2 x 2  b2 x  c2 ( a1 , a2 , b1 , b2 , c1 , c2 là các hằng số, thị là  P1  và hàm số y  x 2  x  2 có đồ thị
a1 �0, a2 �0 ) có đồ thị lần lượt là

 P1  ,  P2  .

Phương là  P2  . Phương trình hồnh độ giao điểm

trình hồnh độ điểm chung của

 P1 

 P2 

và

là

a1 x 2  b1 x  c1  a2 x 2  b2 x  c2
�  a1  a2  x   b1  b2  x   c1  c2   0 (2).
2

- Nếu (2) vơ nghiệm thì  P1  ,  P2  khơng có điểm chung.
- Nếu (2) là phương trình bậc nhất và có nghiệm duy nhất
x  x0 thì

 P1  ,  P2 

cắt nhau tại điểm duy nhất

M 0  x0 ; a1 x02  b1 x0  c1  (cắt nhau nhưng không tiếp xúc).

2 x 2  3x  6  x 2  x  2 � x 2  4 x  4  0 .
Phương trình này có nghiệm kép x  2 .
Thay giá trị này của x vào phương trình của

 P1 

(cũng có thể thay vào phương trình của

 P2  ), ta được

y 8.

Vậy  P1  và  P2  tiếp xúc với nhau tại điểm
M 0  2;8  .

- Nếu (2) là phương trình bậc hai có nghiệm kép x  x0 thì

 P1  ,  P2 

2
tiếp xúc với nhau tại M 0  x0 ; a1 x0  b1 x0  c1  .

Điểm M 0 được gọi là tiếp điểm.
- Nếu (2) có hai nghiệm phân biệt x  x1 , x  x2 thì

 P1  ,  P2 

cắt nhau tại hai điểm phân biệt

M 1  x1 ; a1 x12  b1 x1  c1  , M 2  x2 ; a1 x22  b1 x2  c1  .
Ví dụ mẫu
Ví dụ 1: Đường thẳng nào sau đây cắt parabol y  x 2 tại hai điểm phân
biệt?
Trang 15


A. y  3 x  2

B. y  1  x

C. y  2 x  1

D. y  5 x  8

Hướng dẫn giải
Phương trình x 2  3x  2 � x 2  3 x  2  0 (có hai nghiệm phân biệt).
Vậy đường thẳng y  3x  2 cắt parabol y  x 2 tại hai điểm phân biệt.
Phương trình x 2   x  1 � x 2  x  1  0 (vô nghiệm).
Vậy đường thẳng y  1  x và parabol y  x 2 khơng có điểm chung.

Phương trình x 2  2 x  1 � x 2  2 x  1  0 (có nghiệm kép).
Vậy đường thẳng y  2 x  1 tiếp xúc với parabol.
Phương trình x 2  5 x  8 � x 2  5 x  8  0 (vô nghiệm).
Vậy đường thẳng y  5 x  8 và parabol y  x 2 không có điểm chung.
Chọn A.
Ví dụ 2: Cho hai parabol có phương trình y  x 2  2 x  2, y  4 x 2 .
Khẳng định nào sau đây đúng?
A. Hai parabol khơng có điểm chung.
B. Hai parabol cắt nhau tại một điểm duy nhất (không tiếp xúc).
C. Hai parabol tiếp xúc với nhau tại một điểm duy nhất.
D. Hai parabol cắt nhau tại hai điểm phân biệt.
Hướng dẫn giải
Phương trình hồnh độ giao điểm của hai parabol là
x 2  2 x  2  4 x 2 � 5 x 2  2 x  2  0 (vơ nghiệm).
Vậy hai parabol khơng có điểm chung.
Chọn A.
Ví dụ 3: Cho hai parabol có phương trình y  3x 2  2 x, y  3x 2  x  7 .
Khẳng định nào sau đây đúng?
A. Hai parabol khơng có điểm chung.
B. Hai parabol cắt nhau tại một điểm duy nhất (không tiếp xúc).
C. Hai parabol tiếp xúc với nhau tại một điểm duy nhất.
D. Hai parabol cắt nhau tại hai điểm phân biệt.
Hướng dẫn giải
Phương trình hồnh độ giao điểm của hai parabol là
3 x 2  2 x  3x 2  x  7 � 3x  7  0 (là phương trình bậc nhất và có
đúng một nghiệm).
Vậy hai parabol cắt nhau tại một điểm duy nhất (không tiếp xúc).
Chọn B.

Trang 16

2
Ví dụ 4: Cho parabol  P  : y  x   m  2  x  1 và đường thẳng

 d  : y   m  1 x  2m  1 . Để  d 
A. m  1

B. m  4

là tiếp tuyến của  P  thì
C. m  

9
8

D. m 

8
9

Hướng dẫn giải
Xét phương trình hồnh độ giao điểm của  P  và  d 
x 2   m  2  x  1   m  1 x  2m  1 � x 2  x  2m  2  0 (1).
Đường thẳng  d  là tiếp tuyến của  P  khi và chỉ khi phương trình (1)
9
có nghiệm kép �   8m  9  0 � m   .
8
Chọn C.
Ví dụ 5: Biện luận theo m số nghiệm phân biệt của các phương trình sau:

a) x 2  6 x  7  m
2
b) x  6 x  7  1  m
2
c) x  6 x  2m

Hướng dẫn giải
a) Hàm số y  x 2  6 x  7 có đồ thị là đường parabol  P  như hình vẽ.
Hàm hằng y  m có đồ thị là đường thẳng d vng góc với trục Oy tại
điểm có tung độ bằng m (d cùng phương với Ox). Số nghiệm phân biệt
của phương trình x 2  6 x  7  m là số điểm chung phân biệt của  P  và
d.

Từ đồ thị ta nhận thấy:
- Nếu m  2 thì  P  và d khơng có điểm chung, nên phương trình đã
cho vơ nghiệm.
- Nếu m  2 thì  P  và d có một điểm chung, nên phương trình đã cho
có một nghiệm.
Trang 17


- Nếu m  2 thì  P  và d có hai điểm chung phân biệt, nên phương
trình đã cho có hai nghiệm phân biệt.
b) Từ đồ thị hàm số y  x 2  6 x  7 ta suy ra đồ thị của hàm số
y  x 2  6 x  7 là đường cong  P1  như hình vẽ. Hàm số y  1  m có
đồ thị là đường thẳng d1 vng góc với trục Oy tại điểm có tung độ bằng
1  m ( d1 cùng phương với Ox). Số nghiệm phân biệt của phương trình

x 2  6 x  7  1  m là số điểm chung phân biệt của  P1  và d1 .

Từ đồ thị ta nhận thấy:
- Nếu 1  m  0 � m  1 thì

 P1 

và d1 khơng có điểm chung, nên

phương trình đã cho vơ nghiệm.
- Nếu 1  m  0 � m  1 thì  P1  và d1 có hai điểm chung phân biệt, nên
phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt.
- Nếu 0  1  m  2 � 1  m  1 thì  P1  và d1 có bốn điểm chung phân
biệt, nên phương trình đã cho có bốn nghiệm phân biệt.
- Nếu 1  m  2 � m  1 thì  P1  và d1 có ba điểm chung phân biệt,
nên phương trình đã cho có ba nghiệm phân biệt.
- Nếu 1  m  2 � m  1 thì  P1  và d1 có hai điểm chung phân biệt,
nên phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt.
2
2
c) Biến đổi x  6 x  2m � x  6 x  7  2m  7 .
2
Đồ thị hàm số y  x  6 x  7 là đường cong  P2  như hình vẽ. Hàm số

y  2m  7 có đồ thị là đường thẳng d 2 vng góc với trục Oy tại điểm
có tung độ bằng 1  m ( d 2 cùng phương với Ox). Số nghiệm phân biệt
2
của phương trình x  6 x  2m là số điểm chung phân biệt của  P2  và

Trang 18

d2 .
Để vẽ đồ thị  P2  ta thực hiện như sau:

- Vẽ phần parabol y  x 2  6 x  7 ứng với x �0 .
- Lấy đối xứng phần đồ thị vừa vẽ qua trục Oy.
2
- Hợp của hai phần đó là đồ thị  P2  của hàm số y  x  6 x  7 .
2
Dễ thấy y  x  6 x  7 là hàm chẵn trên � và  P2  nhận Oy làm trục

đối xứng.
Từ đồ thị ta nhận thấy:
- Nếu 2m  7  7 � m  0 thì  P2  và d 2 khơng có điểm chung, do đó
phương trình đã cho vơ nghiệm.
- Nếu 2m  7  7 � m  0 thì  P2  và d 2 có một điểm chung, do đó
phương trình đã cho có đúng một nghiệm.
- Nếu 2m  7  7 � m  0 thì

 P2 

và d 2 có hai điểm chung, do đó

phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt.
Chú ý:
1) Cách vẽ đồ thị hàm số y  f  x  .
Cách 1: Vẽ đồ thị hàm số y  f  x  . Lấy đối xứng qua Ox phần đồ thị
y  f  x  nằm phía dưới trục. Sau đó xóa đi phần đồ thị nằm phía dưới
Ox. Tồn bộ phần cịn lại chính là đồ thị hàm số y  f  x  .
Cách 2: Vẽ đồ thị hàm số y  f  x  và đồ thị hàm số y   f  x  trên
cùng một hệ trục tọa độ. Xóa tồn bộ phần đồ thị nằm phía dưới trục

hồnh của hai hàm số nói trên. Phần cịn lại thu được chính là đồ thị hàm
số y  f  x  . Đồ thị hàm số y  f  x  khơng có điểm nào nằm phía
dưới trục hoành.
Trang 19


2) Cách vẽ đồ thị hàm số y  f  x  .
Vẽ phần đồ thị của hàm số y  f  x  ứng với x �0 . Lấy đối xứng phần
đồ thị vừa vẽ qua trục tung. Tồn bộ phần thu được chính là đồ thị hàm
số y  f  x  .
Hàm số y  f  x  là hàm chẵn và đồ thị nhận trục tung làm trục đối
xứng.
3) Gọi  C1  ,  C2  lần lượt là đồ thị của hai hàm số y  f  x  , y  g  x  .
Ta gọi phương trình f  x   g  x  là phương trình hồnh độ điểm chung
của  C1  ,  C2  . Phương trình đó có k nghiệm phân biệt khi và chỉ khi

 C1  ,  C2 

có k điểm chung phân biệt.

Bài tập tự luyện dạng 2
Bài tập cơ bản
Câu 1: Đường thẳng y  3  2 x cắt parabol y  x 2 tại hai điểm phân biệt A  x1 ; y1  , B  x2 ; y2  , biết
y1  y2 . Giá trị của 2x1  x2 là
A. 6

B. 17

C. 5

D. 7

Câu 2: Parabol y  3x 2 và đường thẳng nào sau đây khơng có điểm chung?
1
A. y   x  3
3

1
B. y  x  2
3

C. y  3x  5

D. y  3 x 

1
2

Câu 3: Parabol y   x 2  4mx  4 tiếp xúc với trục hoành khi
A. m  � 3

B. m  �1

C. m  �2

1
D. m  �
4

2

 : y  x 2  3 x . Điểm nào sau đây
Câu 4: Gọi d là tiếp tuyến chung của hai parabol  P  : y  x  2 x,  P�

thuộc đường thẳng d?
� 41 �
A. M �2; �
� 16 �

� 17 �
B. M �1; �
� 16 �

� 33 �
1;  �
C. M �
� 16 �

7�
�
4;  �
D. M �
16 �
�

Câu 5: Đường thẳng y  3 x  5 và parabol nào sau đây khơng có điểm chung?
A. y  2 x 2  6 x  1

B. y   x 2  7 x  1

C. y  x 2  4 x  8

D. y   x 2  3x  6

Câu 6: Hai parabol nào sau đây cắt nhau tại hai điểm phân biệt?
A. y  2 x 2 , y  x 2  x  1

B. y  9  2 x 2 , y  3 x 2  6 x

C. y  2 x 2  2 x  3, y  x 2  x  2

D. y  2 x 2  7 x  2, y  x 2  x  1

2
Câu 7: Để phương trình x  6 x  8  m có bốn nghiệm phân biệt thì điều kiện của m là

A. 0  m  3

B. 1  m  3

C. 0  m  1

D. 2  m  4
Trang 20


2
Câu 8: Cho  P  : y   x  mx,  d  : y  2 x  m . Trong trường hợp  P  cắt  d  tại hai điểm phân biệt A,

B thì trung điểm của đoạn thẳng AB chạy trên đường thẳng nào sau đây?
A. y  4 x  1

B. y  2 x  1

C. y  2 x  4

D. y  4 x  2

2
Câu 9: Cho hàm số y  f  x   ax  bx  c (với a, b, c là các hằng số, a �0 ) có đồ thị  P  tiếp xúc với

đường thẳng d : y  x  2 tại điểm có hồnh độ bằng 2. Giá trị của f  1  f  3  là
B. 2

A. 2

C. 0

D. 1

Bài tập nâng cao
Câu 10: Cho hai phương trình x 2  3x  2m  1  0 (1),  x 2  x  m  0 (2). Để mỗi phương trình trên đều
có hai nghiệm phân biệt và các nghiệm của (1) nằm xen kẽ với các nghiệm của (2) thì điều kiện của m là
A. 2  5  m  2  5

B. 2  3  m  2  3

C. 3  5  m  3  5

D. 3  2  m  3  2

2
Câu 11: Cho hàm số y  f  x   ax  bx  c (với a, b, c là các hằng số, a �0 ). Khẳng định nào sau đây

sai?
uv
�
�
A. Với mọi u , v �� ta có f  u   f  v  �
.
b
�
u   v
a
�
� b �
� b �
u �
v  � 0 thì f  u   f  v  � u  v .
B. Với mọi u , v �� thỏa mãn �
�
� 2a �
� 2a �
C. Nếu a  0 và u , v �� thì

f  u  f  v
�u  v �
�f �
�.
2
�2 �

D. Nếu d : y  kx  m là một tiếp tuyến của đồ thị hàm số đã cho thì f  x  �kx  m, x ��.
Câu 12: Cho hàm số y  ax 2  bx  c (với a, b, c là các hằng số, a �0 ) có đồ thị  P  tiếp xúc với

 P1  : y  2 x 2  5

2
tại điểm có hồnh độ bằng 2 , tiếp xúc với  P2  : y   x  8 x  17 tại điểm có hồnh

độ bằng 3. Giá trị của a  b  c là
B. 4

A. 1

C. 2

D. 1

Dạng 3: Sự xác định hàm số bậc hai
Phương pháp giải
Hàm số bậc hai có dạng y  ax 2  bx  c với a, b, c Ví dụ: Xác định hàm số y  x 2  3x  c biết rằng
là các hằng số, a �0 . Hàm số bậc hai xác định khi đồ thị của nó là parabol cắt trục tung tại điểm có
biết các hệ số a, b, c.

tung độ bằng 2.
Thay x  0, y  2 vào hàm số, ta được c  2 .
Vậy hàm số đã cho là y  x 2  3x  2 .

Ví dụ mẫu

Trang 21


2
Ví dụ 1: Cho các số a, b, c (với a �0 ) thỏa mãn parabol  P1  : y   x  x  c đi qua

điểm M 1  1;1 , parabol

 P3  : y  ax 2  x  2
A. abc  10

 P2  : y  2 x 2  bx  1

đi qua điểm M 2  1; 4  , parabol

đi qua điểm M 3  2; 8  . Giá trị của abc là

B. abc  5

C. abc  36

D. abc  2

Hướng dẫn giải
2
Ta có M 1  1;1 � P1  � 1  1  1  c � c  1 ,

M 2  1; 4  � P2  � 4  2  1  b  1  1 � b  5 ,
2

M 3  2; 8  � P3  � 8  a.22  2  2 � a  2 .
Vậy abc  10 .
Chọn A.
Ví dụ 2: Xác định các hệ số b, c để đồ thị hàm số y  x 2  bx  c đi qua điểm
A  2; 3 , B  1;1 .
A. b  7; c  7 B. b  7; c  7 C. b  7; c  7 D. b  7; c  7
Hướng dẫn giải
Parabol y  x 2  bx  c đi qua điểm A  2; 3 nên 2b  c  7 .
Parabol y  x 2  bx  c đi qua điểm B  1;1 nên b  c  0 .
2b  c  7
b  7
�
�
��
Ta có hệ phương trình �
.
bc  0
c7
�
�
Chọn B.
2
Ví dụ 3: Cho hàm số bậc hai y   x   m  1 x  2m  1 với m là tham số, có đồ thị

 P  . Hãy xác định hàm số bậc hai đã cho, biết rằng  P 

tiếp xúc với trục hoành.

Hướng dẫn giải
�m  1 m 2  10m  3 �

;
Parabol  P  : y   x   m  1 x  2m  1 có đỉnh là I �
�.
4
�2
�
2

�m  1 m 2  10m  3 �
;
Ta thấy  P  tiếp xúc với trục hoành khi và chỉ khi điểm I �
�thuộc
4
�2
�
trục hoành, tức là

m 2  10m  3
 0 � m  5 �2 7 .
4

Ví dụ 4: Xác định các hệ số a, b, c để đồ thị hàm số y  ax 2  bx  c là parabol  P  có
đỉnh I  3; 8  và cắt đường thẳng  d  : y  3x  1 tại hai điểm phân biệt A, B thỏa mãn
Trang 22


AB  10 .
Hướng dẫn giải
2
Vì parabol  P  : y  ax  bx  c có đỉnh I  3; 8  nên

� b
b  6a, a �0

3
�
�
��
.
� 2a
c  9a  8
�
�
8  9a  3b  c
�
Ta viết lại phương trình của  P  như sau y  ax 2  6ax  9a  8 .
Lúc này, phương trình hồnh độ điểm chung của  P  và  d  là
ax 2  6ax  9a  8  3 x  1 � ax 2   3  6a  x  9a  7  0 .
Với a �0 , phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 khi   9  8a  0 � a 
Với điều kiện a �0 , a 

9
.
8

9
thì  P  cắt  d  tại hai điểm phân biệt A  x1 ; 3x1  1 ,
8

B  x2 ; 3 x2  1 , trong đó x1  x2 

9  8x
.
a

Do đó AB  10 �  x1  x2    3x1  3x2   10
2

�  x1  x2   1 �
2

2

9  8a
 1 � a  1 hoặc a  9 .
a2

9
Cả hai giá trị trên của a đều thỏa mãn điều kiện a �0 , a  .
8
Với a  1 thì b  6, c  1 .
Với a  9 thì b  54, c  89 .
Vậy a  1, b  6, c  1 hoặc a  9, b  54, c  89 .
Bài tập tự luyện dạng 3
Bài tập nâng cao
Câu 1: Để đồ thị hàm số y  ax 2  bx  c là một parabol có đỉnh I  3;8  và đi qua điểm M  1; 4  thì
1
6
13
A. a  , b  , c 

5
5
5

1
6
13
B. a   , b   , c  
5
5
5

C. a  1, b  6, c  1

D. a  1, b  6, c  1

2
Câu 2: Biết parabol  P  : y  ax  bx  c đi qua ba điểm A  1;1 , B  2;16  , C  3;11 . Khẳng định nào sau

đây đúng?
A. a  1, b  16, c  11 B. a  2, b  2, c  3

C. a  2, b  3, c  2

D. a  1, b  2, c  3

Câu 3: Tìm b,c để parabol y   x 2  bx  c đi qua hai điểm A  1; 2  , B  2;1 .

Trang 23

A. b  c  1

B. b  1, c  2

C. b  2, c  1

D. b  c  2

Câu 4: Hàm số y  x 2  ax  b có đồ thị đi qua hai điểm A  1; 2  , B  1;1 . Khẳng định nào sau đây
đúng?
A. a 2  b 2  1

2
2
B. a  b 

5
2

2
2
C. a  b 

1
4

2
2
D. a  b 

1
2

Câu 5: Cho hàm số y  ax 2  bx  c (với a, b, c là các hằng số, a �0 ). Biết rằng hàm số nhận giá trị 1
khi x  0, x  1 và nhận giá trị 1 khi x  1 . Giá trị của abc là
A. 1

B. 1

D. 2

C. 0

2
Câu 6: Cho  P  : y  ax  bx  c với a, b, c là các hằng số, a �0 . Biết rằng  P  có đỉnh là điểm I  1;8 

và cắt trục hoành tại hai điểm M, N thỏa mãn MN  4 . Giá trị của a 3  b3  c3 là
A. 8

B. 56

C. 512

D. 272

2
Câu 7: Cho  P  : y  ax  bx  c với a, b, c là các hằng số, a �0 . Biết rằng  P  có trục đối xứng là

đường thẳng x  1 và đồng thời tiếp xúc với cả hai đồ thị

 P1  : y  x 2 ,  P2  : y  x 2  2 x .

Giá trị của

1 1 1
  là
a b c
A. 1

B. 

1
2

C.

1
4

D. 5

Bài tập nâng cao
Câu 8: Khi một quả bóng được đá lên, nó sẽ bay theo quỹ đạo của
một cung parabol trong mặt phẳng tọa độ Oth, trong đó t là thời
gian kể từ khi quả bóng được đá lên (tính bằng giây), h là độ cao
(tính bằng mét) của quả bóng. Giả sử quả bóng được đá lên từ độ
cao 1,1m. Sau 1 giây nó đạt độ cao 8,6m. Sau 2 giây, nó đạt độ cao
6m. Hỏi độ cao lớn nhất mà quả bóng đạt dược gần với giá trị nào
sau đây nhất?

A. 8,888m

B. 8,897m

C. 9,1m

D. 9,291m

Trang 24


ĐÁP ÁN
Dạng 1: Xét sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số
1-D

2-D

3 -A

4 -A

5 -A

11 - B

12 - A

13 - C

14 - A

15 - B

6-C

7-D

8-D

9-C

10 - D

HƯỚNG DẪN GIẢI TRẮC NGHIỆM
Câu 11. Chọn B.
Gọi  x0 ; y0  là điểm cố định mà đồ thị hàm số luôn đi qua.
2
Khi đó phương trình y0  mx0   2  3m  x0  2m  1 nghiệm đúng với mọi m

�  x02  3 x0  2  m  2 x0  1  y0  0 nghiệm đúng với mọi m
2
�x0  1, y0  1
�x  3x0  2  0
� �0
��
.
2 x0  1  y0  0
�x0  2, y0  3
�

Suy ra A  1;1 , B  2;3 . Suy ra AB  5 .
Câu 12. Chọn A.
2
�2m  1 �2m  1 �
�
P
I
;

 1�.
Đỉnh của   là điểm �
�
�
� 2
� 2 � �
�
�
2
Từ đó suy ra y1   x1  1 .

 : y   x2  1 .
Khi m thay đổi, quỹ tích các điểm I là parabol  P�
Câu 13. Chọn C.
Gọi M  x; y  . Khi đó:
MF  d  M ,   �

 x  1

2

  y  4   y  1 � x 2  2 x  1  y 2  8 y  16  y 2  2 y  1

� x 2  2 x  10 y  16  0 � y  

2

1 2 1
8
x  x .
10
5
5

Vậy tập hợp (quỹ tích) tất cả các điểm M trong mặt phẳng sao cho M cách đều điểm F  1; 4  và đường
thẳng  : y  1 là parabol  P  : y  

1 2 1
8
x  x .
10
5
5

2
Nhận xét: Parabol  P  : y  ax  bx  c (với a, b, c là các hằng số, a �0 ) là tập hợp tất cả các điểm

� b 4ac  b 2  1 �
4ac  b 2  1
 ;
trong mặt phẳng cách đều điểm F �

và
đường
thẳng
.

:
y

�
4a
4a
� 2a
�
� b 4ac  b 2  1 �
4ac  b 2  1
 ;
 Điểm F �
được
gọi
là
tiêu
điểm
và
được gọi là đường thẳng

:
y

�
4a

4a
� 2a
�
2
chuẩn của parabol  P  : y  ax  bx  c . Trục đối xứng d : x  

b
của  P  đi qua tiêu điểm F, đi qua
2a

Trang 25