Bài giảng Giải tích mạch - Chương 8: Biến đổi Fourier

Chương8: Biến đổi Fourier









8.1. Phân tích chuổi Fourier
8.2. Các hệ số khai triển Fourier
8.3. Biến đổi dạng lượng lượng giác 3 thành phần
8.4.Áp dụng chuổi Fourier để phân tích mạch
8.5.Trị hiệu dụng hàm tuần hồn
8.6.Cơng suất trung bình P
8.7.Chuổi Fourier dạng hàm mũ
8.8.Phổ biên độ và phổ pha rời rạc

CuuDuongThanCong.com

/>

8.1.Phân tích chuổi Fourier
f(t): Hàm tuần hồn có chu kỳ T có thể được biểu diễn bởi chuỗi
Fourier dạng lượng giác 3 thành phần (dạng chuẩn):


f (t )  a v 



a n cos n  0 t  b n sin n  0 t

( 9 .1)

n 1

*Với n là các số nguyên 1,2,3, …
*av , an , bn gọi là các hệ số khai triển Fourier.
*ω0 = 2л/T: gọi là tần số cơ bản ; các tần số là bội của ω gọi là
sóng hài như 2ω là sóng hài bậc 2; 3ω là sóng hài bậc 3..v.v..
*Ta có thể phân tích nguồn kích thích tuần hồn thành chuổi
Fourier gồm thành phần một chiều av + tổng các thành phần điều
hòa (an và bn ) và dùng nguyên lý xếp chồng để tìm đáp ứng xác
lập.
Ta xác định các hệ số khai triển Fourier như sau:
CuuDuongThanCong.com

/>

8.2. Các hệ số khai triển Fourier
av 
ak 
bk 

1
T
2
T
2

T

t0  T



f ( t ) dt

(9 .2 )

t0



t0  T

t0



t0  T

t0

f ( t ) cos k  0 t dt

( 9 .3 )

f ( t ) sin k  0 t dt

(9 .4 )

Ta lưu ý các trị giá của các tích phân sau:

CuuDuongThanCong.com

/>



t0  T

t0



t0  T

t0



t0  T

t0



t0  T

t0

sin m  0 t dt  0
cos m  0 t dt  0
cos m  0 t sin n  0 t dt  0
sin m  0 t sin n  0 t dt  0 ;


T

m  n

;

m  n

cos m  0 t cos n  0 t dt  0 ;

m  n

2



t0  T

t0



T

;

m  n

2
CuuDuongThanCong.com

/>

Ví dụ tìm chuổi Fourier của dạng sóng cho trước
Vm



v(t)

0
T 2T
T
Để tính các av; ak; bk ta phải chọn to .Trong trường hợp này ta
nên chọn t0 = 0. Biểu thức v(t) trong khoảng 0 và T:v(t) = (Vm /T)t

av 

ak 

1
T

2
T

T



(

0



T

0

Vm
T

)tdt 

1
2

Vm


2V m  1
t


(
) t cos k  0 t dt 
cos k  0 t 
sin k  0 t 
2 
2
2

T
T
k

k

0
0


Vm


2V m  1

 2 2  cos 2  k  1    0
2
T
k 0

CuuDuongThanCong.com

/>
T
0


bk 

2



T

(

Vm

0

T

T

2V m 
1


2
 2

T
 k 

2

)t sin k  0 t dt
sin k  0 t 

0

2V m 
T
0 

2

T
k


0

t
k

0


cos k  0 t 




T
0


Vm
cos 2  k   

k


Chuổi Fourier của v(t) là:
v (t ) 

Vm
2



Vm
2



Vm





Vm






n 1

1
n

sin  0 t 
CuuDuongThanCong.com

sin n  0 t
Vm
2

sin 2  0 t 

Vm
3

sin 3  0 t  ...

/>

Ví dụ tìm chuổi Fourier của dạng sóng cho trước

Vm
Vm /3

T/3 2T/3 T




Tính các hệ số khai triển Fourier av; ak; bk của hàm điện áp khi
Vm = 9 л V
Trả lời: av= 21,99 V; ak = (6/k)sin4kл/3 V;
bk = (6/k)(1- cos4kл/3) V

CuuDuongThanCong.com

/>

Các hàm đối xứng
*Hàm chẳn: Nếu f(t) = f(-t ). Các hệ số Fourier rút gọn:

av 
ak 

2
T
4
T



T /2

f ( t ) dt

0



T /2

f ( t ) cos k  0 t dt

0

bk  0

CuuDuongThanCong.com

/>

Các hàm đối xứng
*Hàm lẻ: Nếu f(t) = -f(-t ). Các hệ số Fourier rút gọn:

av  0
ak  0
bk 

4
T

CuuDuongThanCong.com



T /2

0

f ( t ) sin k  0 t dt

/>

Các hàm đối xứng
A

0

A

T

H.a



0

A
T

0

H.b

T

H.c

Tùy thuộc vào điểm t = 0 nằm ở vị trí nào mà hàm tuần hồn có
thể khơng đối xứng như hình a; hoặc đối xứng chẳn (hàm
chẳn) như hình b hay đối xứng lẻ (hàm lẻ) như hình c

CuuDuongThanCong.com

/>

Các hàm đối xứng
*Hàm đối xứng bán sóng: Nếu f(t) = -f(t - T/2 ). Khi dịch hàm nữa
chu kỳ và đổi dấu hàm sẽ giống như hàm gốc. Các hệ số Fourier
rút gọn:
av = 0
ak = 0 với k chẳn
ak 

4
T



T /2

0

f ( t ) cos k  0 tdt

for k odd

bk = 0 với k chẳn

bk 

4
T



T /2

0

f ( t ) sin k  0 tdt

CuuDuongThanCong.com

for k odd

/>

Các hàm đối xứng

T/2

T/4 T/2

T

H.b

H.a




T

T/4

*Hàm đối xứng ¼ sóng : Là hàm đối xứng bán sóng cộng thêm
mỗi bán kỳ âm và dương đối xứng qua điểm giữa của nó.
Hình a cho ta hàm đối xứng ¼ sóng
Hình b khơng phải hàm đối xứng ¼ sóng mặc dù nó là hàm đối
xứng bán sóng

CuuDuongThanCong.com

/>

Hàm đối xứng ¼ sóng
*Hàm đối xứng 1/4 sóng: Trong trường hợp này phụ thuộc vào
việc ta chọn điểm t = 0 mà hàm có thể là hàm chẳn hoặc lẻ. Trong

ví dụ này ta chọn điểm t = 0 để có hàm chẳn. Các hệ số Fourier
rút gọn có được trong ví dụ này là:
av = 0 (do cũng đối xứng bán sóng)
ak = 0 với k chẳn (do cũng đối xứng bán sóng)
ak 

8
T



T /4

0

f ( t ) cos k  0 tdt

for k odd

bk = 0 (vì là hàm chẳn trong ví dụ này)

CuuDuongThanCong.com

/>

Ví dụ tìm chuổi Fourier của hàm lẻ và đối xứng
i(t)

Im
T/2

0

T

-Im


Việc chọn điểm t = 0 theo hình trên , ta có đây là hàm lẻ lại là
hàm đối xứng bán sóng và ¼ sóng nên : av = 0 ; ak = 0 (do
hàm lẻ). Vì đối xứng bán sóng nên bk = 0 với k chẳn. Vì đối
xứng ¼ sóng nên biểu thức bk với k lẻ là:
bk 

8
T



T /4

0

i ( t ) sin k  0 tdt

CuuDuongThanCong.com

for k odd

/>

Trong khoảng: 0 ≤ t ≤ T/4; Biểu thức dòng i(t) là:
i(t) = (4Im/T)t. Nên:
8

bk 



T /4

0

T

4Im
T

t sin k  0 tdt

for k odd

32 I m  sin k  0 t
t cos k  0 t


2
2
2


T
k 0
 k 0


8Im

 k
2

i(t ) 

2

sin

0






k
2

8Im



T /4

2



1


n  1 , 3 , 5 ...

n

2

sin

n
2

sin n  0 t

8Im 
1
1
1


sin 3  0 t 
sin  0 t 

sin 7  0 t  ... 
 sin  0 t 
2
 
9
25
49

CuuDuongThanCong.com

/>

Ví dụ tìm chuổi Fourier của dạng sóng cho trước
Vm

vg(t)
T/3

0 T/6

T/2

T

-Vm



Trả lời:
v g (t ) 

12 V m



2

CuuDuongThanCong.com




n  1 , 3 , 5 ...

sin( n  / 3 )
n

2

sin n  0 t

/>

8.3.Dạng sóng hài
Trong phân tích mạch ứng dụng chuổi Fourier , chúng ta gom
các thành sine và cosine lại thành 1 thành phần duy nhất là
cosine. Việc làm như thế cho phép ta biểu diển mỗi sóng hài của
v(t) hoặc i(t) bởi 1 ảnh phức duy nhất trong việc tìm đáp ứng xác
lập. Như vây chuổi Fourier dạng lương giác trở nên như sau
(dạng sóng hài):



f (t )  a v 



A n cos( n  0 t   n )

(9 .6 )

n 1

Với An và θn được xác định như sau:
a n  jb n 

CuuDuongThanCong.com

a n  bn   
2

2

n

 An   n

/>

Ví dụ về dạng sóng hài của chuổi Fourier
v(t)

Vm

0 T/4

T/2 3T/4

T

A) Tính ak ; bk của hàm tuần hồn cho như hình?
 B) Viết 4 thành phần đàu tiên của chuồi Fourier của v(t) dưới
dạng chỉ có thành phần cosine?
 Giải:
 A)Hàm này không phải hàm chẳn cũng không phải hàm lẻ; nó
cũng khơng đối xứng bán sóng và ¼ sóng. Ta tính các hệ số ak
và bk


CuuDuongThanCong.com

/>

ak 



Vm
k

bk 



Vm
k

2
T



T /4

V m cos k  0 t dt 

0

2 V m sin k  0 t
T

k

0

T /4

0

k

sin

2
2
T



T /4

0

V m sin k  0 t dt 

(1  cos

k

2 V m (  cos k  0 t )
T

k

0

T /4

0

)

2

B)Ta tính trị trung bình: av = Vm (T/4)/T = Vm /4
CuuDuongThanCong.com

/>

*a1 -jb1 = Vm /л - jVm /л = √2Vm /л /-450 ;
*a2 -jb2 = 0- jVm /л = Vm /л /-900 ;
*a3 -jb3 = -Vm /3л - jVm /3л = √2Vm /3л /-1350 ;
Vậy 4 số hạng đầu của chuổi Fourier của v(t):

v (t ) 

Vm
4



2V m
3



2V m



cos(  o t  45 ) 

cos( 3  0 t  135

CuuDuongThanCong.com

0

0

Vm



cos( 2  0 t  90 )

)  ...

/>
0


Ví dụ về biến đổi dạng lượng giác chuổi Fourier
Vm

v(t)

Vm /3
T/3







2T/3

T

5T/3

A)Tính: A1 đến A5 và θ1 đến θ5 ? Biết Vm = 9л V
B) Viết chuổi Fourier của v(t) (dạng chỉ có thành phần cosine)
đến sóng hài bậc 5. Biết T = 125,66ms
Trả lời: A) 10,4; 5,2; 0; 2,6; 2,1; V và -1200 ; -600 ; không xác
định; -1200 ; -600 ;
B) v(t) = 21,99 + 10,4cos(50t – 1200 ) + 5,2cos(100t – 600 )
+2,6cos(200t – 1200 ) + 2,1cos(250t – 600 ) V

CuuDuongThanCong.com

/>

8.4.Áp dụng chuổi Fourier để phân tích mạch
R
vg



+
v0
-

C

Vm

vg

-Vm

T

2T

*Ta đi tìm đáp ứng xác lập do nguồn kích thích tuần hồn được
phân tích Fourier. Hàm kích thích là hàm lẻ, đối xứng bán sóng
và ¼ sóng, như vậy chỉ có thành phần bk với k là số lẻ
bk 

8



T /4

0

T

 vg 

V m sin k  0 tdt 

4V m



CuuDuongThanCong.com




n  1 , 3 , 5 ..

1
n

4V m

k

sin n  0 t
/>

Đáp ứng ngõ ra ứng với sóng hài bậc k trong miền ảnh phức:
V0 k = V gk /(1+jkω0RC)
Đáp ứng ngõ ra tương ứng với thành phần tần số cơ bản:
V01 

( 4V m )    1



 v 01 

1 

2
0

2

R C

 1  tg

;
2

4V m



1 

2
0

2

R C

2

1

 0 RC

sin(  0 t   1 )

Đáp ứng ngõ ra tương ứng với thành phần họa tần bậc 3:
V03 

( 4V m )
3

 v 03 

1  9

2
0

2

R C

2

   3;

4V m
3

1  9

CuuDuongThanCong.com

2
0

2

R C

2

 3  tg

sin( 3  0 t   3 )
/>
1

3  0 RC


Đáp ứng ngõ ra tương ứng với thành phần bậc k:

V0 k 

( 4V m )

k

 v0k 

1 k 0R C
2

2

2

2

  k;

4V m
k

1 k 0R C
2

2

2

2

 k  tg

1

k  0 RC

sin( k  0 t   k )

*Đáp ứng ngõ ra tương ứng với hàm kích thích vg:

v 0 (t ) 

4V m

CuuDuongThanCong.com






n  1 , 3 , 5 ..

sin( n  0 t   n )
n 1  ( n  0 RC )
/>
2


Ví dụ áp dụng chuổi Fourier để phân tích mạch
Vm

-Vm






vg

+
vg

10kΩ
20nF

T/2 T

-

20mH

+
v0
-

*Sóng vng được cung cấp cho mạch như hình. Hãy viết 4
thành phần đầu tiên của chuổi Fourier đáp ứng ngõ ra v0 xác
lập? Biết Vm = 210л V; T = 0,2л ms
Trả lời: 17,5cos(10000t+ 88,810 ) + 26,14cos(30000-95,360 )
+ 168cos(50000t) + 17,32cos(70000t + 98,300 ) + …V

CuuDuongThanCong.com

/>