Toán 10 Bài 3 TÍCH của VECTƠ với một số

CHUYÊN ĐỀ
BÀI 3. TÍCH CỦA VECTƠ VỚI MỘT SỐ
Mục tiêu
 Kiến thức
+ Hiểu được định nghĩa tích một vectơ với một số.
+ Nắm được các tính chất của tích vectơ với một số, tính chất trung điểm, tính chất trọng tâm.
+ Nắm được điều kiện vectơ cùng phương, ba điểm thẳng hàng.
 Kĩ năng
+

Xác định được vectơ tích một vectơ với một số.

+

Chứng minh được các vectơ cùng phương, ba điểm thẳng hàng.

+

Phân tích được một vectơ qua hai vectơ không cùng phương.

Trang 1


I. LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM
Định nghĩa

r r
r
Cho số k �0 và vectơ a �0 . Tích của vectơ a với số k là một
r
vectơ, kí hiệu k .a .

r
r
 Nếu k  0 thì k .a cùng hướng với a .
r
r
 Nếu k  0 thì k .a ngược hướng với a .
r
r
r
Độ dài của k .a là: k a  k . a .
Tính chất

r
r
Với hai vectơ a và b bất kì, với mọi số h và k, ta có
r r
r
r
k a  b  k a  kb ;





r

r

r

 h  k  a  ha  ka ;
r
r
h ka   hk  a ;

 

r r
r
r
1.a  a;  1 a  a .
Điều kiện để hai vectơ cùng phương
r r
r
 b cùng phương a a �0 khi và chỉ khi có số k thỏa mãn
r
r
Mở rộng: Điều kiện cần và đủ để A, B,
b  ka .





C

uuur
uuur
thẳng hàng là có số k sao cho AB  k AC

Phân tích một vectơ theo hai vectơ khơng cùng phương
r
r
r
r
r
r
Cho a không cùng phương với b . Khi đó mọi vectơ x ln biểu diễn được dạng x  ma  nb và biểu
diễn đó là duy nhất (có đúng một hệ số m, n )
Sơ đồ lí thuyết

Trang 2


r
và
k acùng hướng

Cho
k  0 vectơ
và số
thực

r
và
k a ngược hướng

k 0

Độ

dài

A, B, C thẳng hàng



Phân
phối

Tích của một
vectơ với
một số
cùng phương

r r
r
r
k a  b  k a  kb
r
r
r
 h  k  a  ha  k a

Điều
r
r
kiện
b  ka
cùng
uuur

uuur phương



Các
r
r
tính
h k a   hk  a
chất Kết hợp

 

Nhân đơn
vị

r r
r
r
1.a  a;  1 a   a

AB  k AC

r

Biểu
x ln được biểu diễn
diễn
Phân tích
một

r r
vectơ
a
; b không cùng phương
qua hai
m,
n duy nhất
Chú
ý
vectơ

II. CÁC DẠNG BÀI TẬP
Dạng 1: Chứng minh đẳng thức vectơ
Phương pháp giải
Bài tốn chứng minh một đẳng thức vectơ, ngồi việc sử dụng các quy tắc cộng, trừ hai vectơ, thì trong
bài này cịn sử dụng tính chất của phép nhân vectơ với một số. Ta lưu ý một số vấn đề sau
r r
r
 k �0 và a �0 . Tích k .a là một vectơ có
r
+ Phương: Cùng phương với vectơ a .
r
+ Hướng: k  0 : cùng hướng với vectơ a .
r
k  0 : ngược hướng với vectơ a .
r
r
+ Độ dài: k .a  k . a .
r r
r r

Quy ước: 0a  0 và k 0  0 .
uuur uuur
uuu
r
 Nếu I là trung điểm của đoạn thẳng AB thì với mọi điểm M ta có MA  MB  2MI .
uuur uuur uuuu
r
uuuu
r
 Nếu G là trọng tâm của tam giác ABC thì với mọi điểm M thì ta có MA  MB  MC  3MG .
Ví dụ: Cho lục giác đều ABCDEF có tâm O. Chứng minh rằng
uuur uuur uuu
r uuu
r
a) AB  EC  2OA  CA
uuur uuur uuur uuur uuur
uuur
b) DE  DF  DA  DB  DC  3DA
Hướng dẫn giải
Trang 3


uuu
r uuur uuu
r uuur uuur
uuu
r
a) Ta có AB  EC  2OA  ED  EC  2OA
uuur uuur uuu
r

 CD  DA  CA (điều phải chứng minh).





b) Ta có
uuur uuur uuur uuur uuur
DE  DF  DA  DB  DC
uuur uuur uuur uuur uuur
 DE  DC  DF  DA  DB





uuur uuur uuur uuur uuur uuur
 DO  DE  DO  DA  DO  DC









uuur uuur uuur uuur
 3DO  DE  DC  DA





uuur uuur
uuur uuur
 4 DO  DA  2 DA  DA
uuur
 3DA (điều phải chứng minh)
Ví dụ mẫu
Ví dụ 1. Cho hình bình hành ABCD tâm O. Chứng minh rằng
uuu
r uuur uuu
r
a) CB  CD  CA  0
uuur uuur uuur uuur
b) OD  OC  DA  DB
uuu
r uuur uuur
uuur
c) AB  3 AC  AD  4 AC
uuu
r uuur uuur
uuur
d) AB  AD  AC  4OC
uuu
r uuur uuur uuur
e) AB  CD  AC  DB
uuur uuur uuur uuur
f) AD  BC  AC  BD

uuur uuur
uuur
g) AC  BD  2BC
uuur uuur uuur uuu
r uuur
h) OD  OC  AO  OB  AC
Hướng dẫn giải

Trang 4


uuu
r uuur uuu
r uuu
r uuu
r r
a) Theo quy tắc hình bình hành ta có CB  CD  CA  CA  CA  0 (điều phải chứng minh)





uuur uuur uuur
�
OD  OC  CD
�
r
b) Theo quy tắc trừ hai vectơ chung điểm đầu ta có �uuur uuur uuu
�DA  DB  BA
uuur uuu

r uuur uuur uuur uuur
Mà ABCD là hình bình hành nên CD  BA � OD  OC  DA  DB (điều phải chứng minh)
c) Theo quy tắc hình bình hành ta có
uuu
r uuur uuur uuu
r uuur
uuur uuur uuur
uuur
AB  3 AC  AD  AB  AD  3 AC  AC  3 AC  4 AC (điều phải chứng minh)



d)


uuu
r uuur uuur uuu
r uuur uuur uuur uuur
uuur
uuur
Ta có AB  AD  AC   AB  AD   AC  AC  AC  2 AC  4OC (điều phải chứng minh)

uuu
r uuur uuur uuur
uuu
r uuur uuur uuur
uuu
r uuu
r
e) Ta có AB  CD  AC  DB � AB  AC  CD  DB � CB  CB (hiển nhiên)

Ta suy ra điều phải chứng minh.
uuur uuur uuur uuur
uuur uuur uuur uuur
uuur uuur
f) Ta có AD  BC  AC  BD � AD  AC  BD  BC � CD  CD (hiển nhiên)
Ta suy ra điều phải chứng minh.
uuur uuur uuu
r uuur
uuur uuur
uuur uuu
r uuur
g) Ta có AC  BD  AB  BC  BC  CD  2 BC  AB  CD



 







uuur uuu
r uuu
r
uuur
 2 BC  AB  AB  2BC (điều phải chứng minh).





uuur uuur uuur uuu
r uuur uuu
r
uuur uuur r uuur uuur
h) Ta có OD  OC  AO  OB  OD  OB  AO  OC  0  AC  AC (điều phải chứng minh).



 



Ví dụ 2. Cho hình chữ nhật PQRS tâm O.
uuur uuu
r uur uuu
r
a) Chứng minh PQ  RP  SR  SQ
uuur uuur uuur uuu
r uur uuur
uuur
b) Chứng minh RQ  OP  QO  OS  SP  RO  4OP
uuur uuur uuuu
r uuur
c) Chứng minh MP  MR  MQ  MS với mọi điểm M.
Hướng dẫn giải

uuur uuu
r uur uur uuu
r uuur uuu
r
a) Ta có PQ  RP  SR  SR  RP  PQ  SQ (điều phải chứng minh)
uuur uuu
r uuur uuu
r uur uuur uuur uuur
uuu
r uur
uuur uuu
r
b) Ta có RQ  OP  QO  OS  SP  RO  RQ  QO  OS  SP  RO  OP
uuur uuur uuu
r uuu
r uuu
r
 RO  OP  RP  RP  RP
uuu
r
uuu
r
uuu
r
 2 RP  2.2.OP  4OP (điều phải chứng minh).



 

 



Trang 5


c) Cách 1. Với mọi điểm M ta có
uuur uuur uuuu
r uuur
uuur uur
uuuu
r uuur
uuur uur
MP  MR  MQ  QP  MS  SR  MQ  MS  QP  SR



 
 
uuuu
r uuur
uuu
r uuu
r uuuu
r uuur
  MQ  MS    QP  QP   MQ  MS

 



Suy ra điều phải chứng minh.
Cách 2. Vì O là trung điểm của PR và QS nên với mọi điểm M ta có
uuur uuur
uuuu
r
uuur uuur uuuu
r uuur
�MP  MR  2MO
�
�
MP

MR

MQ
 MS (điều phải chứng minh).
u
u
u
u
r
u
u
u
r
u
u
u

u
r
�
�MQ  MS  2MO
Ví dụ 3. Cho tam giác ABC có trọng tâm G. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm cua BC, CA, AB và gọi I
là trung điểm AM. Chứng minh
uuu
r uuur
uuur
a) AB  AC  3 AG
uur uur uu
r r
b) IB  IC  2 IA  0
uuuu
r uuur uuu
r r
c) GM  GN  GP  0
uuur uuur uuur
uuur
d) HA  HB  HC  3HG với mọi điểm H.
Hướng dẫn giải

a) Theo tính chất của trung điểm ta có
uuu
r uuur
uuuu
r
uuur
3 uuur
AB  AC  2 AM  2. AG  3 AG (điều phải chứng minh).

2



b) Theo tính chất của trung điểm ta có
uur uur
uu
r
uuur uu
r
uuur uu
r
r r
IB  IC  2 IA  2IM  2IA  2 IM  IA  2.0  0 (điều phải chứng minh).







uuuu
r uuur uuu
r
r 1 uuu
r 1 uuur
r uuu
r uuur
1 uuu
1 uuu

1r r
c) GM  GN  GP   GA  GB  GC   GA  GB  GC   .0  0
2
2
2
2
2





(điều phải chứng minh).
d) Với điểm H bất kỳ, ta có
uuur uuur uuur uuur uuu
r
uuur uuu
r
uuur uuur
uuur uuu
r uuu
r uuur
uuur r
uuur
HA  HB  HC  HG  GA  HG  GB  HG  GC  3HG  GA  GB  GC  3HG  0  3HG



 

 







(điều phải chứng minh).

Trang 6


B C thì
Ví dụ 4. Nếu G và G� lần lượt là trọng tâm của tam giác ABC và tam giác A���
uuur uuur uuuu
r
uuuu
r
B C có cùng trọng tâm khi và chỉ
. Từ đó suy ra hai tam giác ABC và tam giác A���
AA�
 BB�
 CC �
 3GG�
uuur uuur uuuu
r r
khi AA�
 BB�
 CC �

 0.
Hướng dẫn giải
B C , ta có
Với G và G�lần lượt là trọng tâm của tam giác ABC và tam giác A���
uuur uuur uuuu
r uuur uuuu
r uuuu
r
uuur uuuu
r uuuur
uuur uuuu
r uuuur
AA�
 BB�
 CC �
 AG  GG�
 G�
A� BG  GG�
 G�
B� CG  GG�
 G��
C


 
 
uuur uuur uuur
uuuu
r uuuur uuuur
uuuu

r r r uuuu
r
uuuu
r
  AG  BG  CG    G�
A�
 G�
B�
 G��
C   3GG�
 0  0  3GG�
 3GG�



(điều phải chứng minh).
Đặc biệt:
B C có cùng trọng tâm
Hai tam giác ABC và tam giác A���
uuuu
r r
uuur uuur uuuu
r r
�
G�G�
 3GG� 0
AA� BB� CC � 0 (điều phải chứng minh).
B C có cùng trọng tâm G và G�ta
Lưu ý: Từ bài toán này trở đi, để chứng minh hai tam giác ABC và A���
uuur uuur uuuu

r r
chứng minh trực tiếp hai trọng tâm G và G�trùng nhau hoặc chứng minh AA�
 BB�
 CC�
0

Ví dụ 5. Cho tam giác ABC. Gọi H, E, F lần lượt là các điểm trên cạnh AB, BC và CA sao cho
AB  3 AH , CB  3BE , CA  3CF . Chứng minh hai tam giác ABC và HEF có cùng trọng tâm.
Hướng dẫn giải

uuur uuu
r uuur 1 uuu
r 1 uuur 1 uuu
r 1 uuu
r uuur uuu
r 1r r
Ta có AH  BE  CF  AB  BC  CA  AB  BC  CA  .0  0
3
3
3
3
3





Suy ra tam giác ABC và tam giác HEF có cùng trọng tâm.
Bài tập tự luyện dạng 1
Câu 1: Khẳng định nào sau đây đúng?

r r
A. Hai vectơ a, k a luôn cùng hướng.
r r
C. Hai vectơ a, k a có độ dài bằng nhau.

r r
B. Hai vectơ a, k a luôn cùng phương.
r r
D. Hai vectơ a, k a luôn ngược hướng.

Câu 2: Cho tam giác ABC. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AB và AC. Khẳng định nào sau đây
sai?
uuur
uuur
uuur
uuur
uuuu
r
uuur
uuuu
r
1 uuur
A. AB  2 AM
B. AC  2 NC
C. BC  2MN
D. CN   AC
2
Trang 7

Câu 3: Phát biểu nào là sai?
uuu
r uuur
uuu
r uuur
A. Nếu AB  CD thì AB  CD .
uuu
r uuur
B. AB  CD thì A, B, C , D thẳng hàng.
uuur uuur r
C. Nếu 3 AB  7 AC  0 thì A, B, C thẳng hàng.
uuu
r uuur uuur uuu
r
D. AB  CD  DC  BA .
Câu 4: Cho hình bình hành ABCD. Khẳng định nào sau đây đúng?
uuu
r uuur uuur r
uuu
r uuur uuur
uuur
A. AB  AC  AD  0
B. AB  AC  AD  2 AC
uuu
r uuur uuur
uuur
uuu
r uuur uuur
uuur
C. AB  AC  AD  3 AC

D. AB  AC  AD  4 AC
Câu 5: Cho hình bình hành ABCD có M là giao điểm của hai đường chéo. Mệnh đề nào sau đây sai?
uuu
r uuur uuur
uuu
r uuur uuur
A. AB  BC  AC
B. AB  AD  AC
uuu
r uuur
uuuu
r
uuur uuur uuuu
r uuuu
r
C. BA  BC  2 BM
D. MA  MB  MC  MD
Câu 6: Cho tam giác ABC và một điểm M tùy ý. Mệnh đề nào sau đây đúng?
uuur uuur uuuu
r uuur uuur
A. 2 MA  MB  3MC  AC  2BC
uuur uuur uuuu
r
uuur uuur
B. 2 MA  MB  3MC  2 AC  BC
uuur uuur uuuu
r
uuu
r uuu
r

C. 2 MA  MB  3MC  2CA  CB
uuur uuur uuuu
r
uuu
r uuu
r
D. 2 MA  MB  3MC  2CB  CA
Câu 7: Cho tam giác ABC có trung tuyến AM. Gọi I là trung điểm AM. Đẳng thức nào sau đây đúng?
uu
r uur uur r
uu
r uur uur r
A. 2 IA  IB  IC  0
B. IA  IB  IC  0
uu
r uur uur
uu
r
uur uur uu
r
C. 2 IA  IB  IC  4 IA
D. IB  IC  IA
Câu 8: Gọi M, N lần lượt là trung điểm các cạnh AD, BC của tứ giác ABCD. Đẳng thức nào sau đây sai?
uuur uuur
uuuu
r
uuur uuur
uuuu
r
A. AC  DB  2MN

B. AC  BD  2MN
uuu
r uuur
uuuu
r
uuur uuuu
r
uuuu
r
C. AB  DC  2MN
D. MB  MC  2 MN
Câu 9: Cho tam giác ABC có trọng tâm G, O là một điểm bất kì. Đẳng thức nào dưới đây đúng?
uuur uuur uuur r
uuu
r uuu
r uuur
uuur
A. AO  BO  CO  0
B. OA  OB  OC  2OG
uuur uuur uuur
uuur
uuur uuu
r uuur r
C. AO  BO  CO  3GO
D. AG  GB  BO  0
B C có trọng tâm lần lượt là G và G�
Câu 10: Cho ABC và A���
. Khi đó, tổng của ba vectơ
uuur uuur uuuu
r

AA�
 BB�
 CC �bằng
uuuu
r
uuuu
r
uuuu
r
uuuu
r
A. GG�
B. 2GG�
C. 3GG�
D. GG�

Dạng 2: Phân tích (biểu diễn) một vectơ theo hai vectơ cho trước


Phương pháp giải
r
r
r
r
r
r
Cho a và b không cùng phương và x bât kì. Khi đó, có duy nhất cặp số h, k sao cho x  ha  kb
.



r
r
Dùng các phép toán cộng, trừ, nhân vectơ với một số để phân tích vectơ x chỉ phụ thuộc theo a
r
và b .
Trang 8




uuuu
r
AM 

Bài tốn phân tích số 1: Với điểm M như hình vẽ, ta có

r
n uuu
m uuur
AB 
AC
mn
mn

Đặc biệt: Nếu M là trung điểm BC thì
uuuu
r 1 uuu
r 1 uuur
AM  AB  AC .

2
2


Bài tốn phân tích số 2: Với điểm M như hình vẽ, ta có

uuuu
r m  n uuu
r m uuur
AM 
AB  AC
n
n
uuuu
r m  n uuur m uuu
r
AM 
AC  AB
n
n
r r r
r
r
 a, b �0 cùng phương � k : a  k .b .
uuur
uuur
 A, B, C thăng hàng � AB cùng phương AC
uuu
r
uuur

� k ��: AB  k AC .
uuur
uuur
 Nếu AB  kCD và hai đường thẳng AB, CD phân biệt thì AB / / CD .
Ví dụ: Cho tam giác ABC có M là trung điểm BC, N là trung điểm AM và P là điểm đối xứng với M qua
uuur uuur
r uuur
r uuur
B. Hãy phân tích AN , AP theo hai vectơ u  AB và v  AC .
Hướng dẫn giải

Vì N là trung điểm của AM và M là trung điểm của BC nên ta có

Trang 9


uuur 1 uuuu
r 1 �1 uuu
r 1 uuur �
AN  AM  � AB  AC �
2
2 �2
2
�
1 uuur 1 uuur 1 r 1 r
AB  AC  u  v
4
4
4
4

uuu
r uuu
r uuu
r uuu
r 1 uuu
r
AP  AB  BP  AB  CB
2
uuu
r 1 uuu
r uuur
r 1 uuur 3 r 1 r
3 uuu
 AB  AB  AC  AB  AC  u  v
2
2
2
2
2






Ví dụ mẫu
Ví dụ 1. Cho tam giác ABC có đường trung tuyến AD. Gọi I là trung điểm AD và M là điểm sao cho
uuuu
r
uuur

MC  2MB .
uuur
uuuu
r
uuur
a) Hãy phân tích AM theo hai vectơ AB và AC .
uuu
r uuur
uur
b) Hãy phân tích BI theo hai vectơ BA, BC .
Hướng dẫn giải

uuuu
r
uuur
uuuu
r
uuur
uuuu
r
uuur
a) Vì MC  2 MB nên  MC  2 MB � CM  2MB .
uuuu
r uuur uuuu
r uuur uuur uuur
uuur uuu
r uuur uuuu
r uuu
r
Ta có AM  AC  CM  AC  2 MB  AC  2 MA  AB  AC  2 AM  2 AB

uuur uuur uuuu
r
 2 AB  AC  2 AM





uuuu
r
uuu
r uuur uuuu
r 2 uuu
r 1 uuur
� 3 AM  2 AB  AC � AM  AB  AC
3
3
b) Vì I là trung điểm của AD nên ta có
uur 1 uuu
r 1 uuur 1 uuu
r 1 1 uuur 1 uuu
r 1 uuur
BI  BA  BD  BA  . BC  BA  BC
2
2
2
2 2
2
4

uuur
uuuu
r uu
r
uur uuu
r
uuu
r
Ví dụ 2. Cho tam giác ABC. Gọi M , I , J là ba điểm thỏa mãn MB  3MC , IA   IB, AJ  2 JC và K là
trung điểm của đoạn IJ.

uuuu
r
a) Hãy phân tích vectơ AM theo các vectơ
uuur
b) Hãy phân tích vectơ AK theo các vectơ

uuur
uuur
AB và AC .
uuur
uuur
AB và AC .

Hướng dẫn giải
uuur
uuuu
r
uuur uuuu
r r

MB  3MC � MB  3MC  0 � M thuộc đường thẳng BC sao cho C nằm giữa B, M và MB  3MC .
uu
r
uur
uu
r uur r
IA   IB � IA  IB  0 � I là trung điểm của đoạn thẳng AB.

Trang 10


uuu
r
uuu
r
uur uuu
r r
AJ  2 JC � JA  2 JC  0 � J thuộc đoạn thẳng AC sao cho JA  2 JC

uuur
uuuu
r uuuu
r
uuuu
r
a) MB  3MC � BM  3CM
uuuu
r uuu
r uuuu
r uuu

r uuuu
r uuu
r
uuu
r uuuu
r uuu
r uuur uuuu
r
Ta có AM  AB  BM  AB  3CM  AB  3 CA  AM  AB  3 AC  3 AM





uuuu
r uuu
r uuur uuuu
r
r 3 uuur
1 uuu
� 2 AM  AB  3 AC � AM   AB  AC
2
2
b) Theo tính chất của trung điểm ta có
uuur 1 uur 1 uuu
r 1 1 uuu
r 1 2 uuur 1 uuu
r 1 uuur
AK  AI  AJ  . AB  . AC  AB  AC
2

2
2 2
2 3
4
3
uuu
r r uuur r
Ví dụ 3. Cho hình bình hành ABCD, đặt AB  a, AD  b . Gọi I là trung điểm của CD, G là trọng tâm của
tam giác BCI.

r r
uur
a) Phân tích các vectơ BI theo a, b .
r r
uuur
b) Phân tích các vectơ AG theo a, b .

Hướng dẫn giải

uur 1 uuur 1 uuur 1 uuu
r uuur 1 uuur
r uuur
1 uuu
1r r
a) Ta có BI  BD  BC  BA  AD  AD   AB  AD   a  b
2
2
2
2
2

2





uuur uuu
r uuur uuu
r 2 uuuu
r uuu
r 2 �1 uur 1 uuur �
b) Ta có AG  AB  BG  AB  BM  AB  . � BI  BC �
3
3 �2
2
�
uuu
r 1 uur 1 uuur uuu
r 1 uur 1 uuur
 AB  BI  BC  AB  BI  AD
3
3
3
3
r 1� 1 r r� 1 r 5 r 2 r
 a �
 a  b � b  a  b
3� 2
6
3

�3

Trang 11


Ví dụ 4. Cho tam giác ABC có I là điểm trên cạnh AC sao cho CI 

1
AC , J là điểm thỏa mãn
4

uuu
r 1 uuur 2 uuur
BJ  AC  AB .
2
3
a) Chứng minh rằng ba điểm B, I , J thẳng hàng.
b) Xác định điểm J thỏa yêu cầu bài toán.

uuur
uur
uuur
c) Gọi K là trung điểm của BC. Biểu diễn IK theo hai vectơ AB và AC .
Hướng dẫn giải
uur uuu
r uur uuu
r 3 uuur 3 uuur uuur
a) Ta có BI  BA  AI  BA  AC  AC  AB
4
4

uuu
r 1 uuur 2 uuur
Mặt khác BJ  AC  AB
2
3
uur 3 uuu
r uur uuu
r
Suy ra BI  BJ � BI , BJ cùng phương � ba điểm B, I , J thẳng hàng.
2

uur 3 uuu
r uuu
r 2 uur
2
b) Vì BI  BJ � BJ  BI � J thuộc đoạn thẳng BI sao cho BJ  BI .
2
3
3
uur 1 uur 1 uur
r � 1 uuur 1 uuu
r 1 uuur
1 uur 1 1 uuur
1 �3 uuur uuu
c) Ta có IK  IB  IC   BI  . AC   � AC  AB � AC  AB  AC
2
2
2
2 4
2 �4

2
4
�8
Bài tập tự luyện dạng 2
uuur
uuur
uuuu
r
Câu 1: Cho tam giác ABC có M là trung điểm của BC. Tính AB theo AM và BC .
uuu
r uuuu
r 1 uuur
uuu
r uuur 1 uuuu
r
A. AB  AM  BC
B. AB  BC  AM
2
2
uuu
r uuuu
r 1 uuur
uuu
r uuur 1 uuuu
r
C. AB  AM  BC
D. AB  BC  AM
2
2
uuuu

r
uuur
Câu 2: Cho ba điểm M , N , P thỏa mãn MN  2 MP . Với điểm O bất kì, đẳng thức nào dưới đây đúng?
uuuu
r
r
uuuu
r 1 uuur uuur
1 uuur uuu
A. OM   ON  2OP
B. OM  ON  2OP
3
3
uuuu
r 1 uuur uuur
uuuu
r 1 uuur uuu
r
C. OM  ON  2OP
D. OM  ON  2OP
3
3
uuuu
r
Câu 3: Cho tam giác ABC. Gọi M là điểm trên cạnh BC sao cho MB  3MC . Khi đó, vectơ AM được
uuur
uuur
biểu diễn theo AB và AC là

















Trang 12


uuuu
r 1 uuu
r uuur
A. AM  AB  3 AC
4
uuuu
r 1 uuu
r 1 uuur
C. AM  AB  AC
4
6

uuuu
r 1 uuu
r 3 uuur
B. AM  AB  AC
4
4
uuuu
r 1 uuu
r 1 uuur
D. AM  AB  AC
2
6

Câu 4: Cho tam giác OAB. Gọi M, N lần lượt là trung điểm hai cạnh OA và OB. Các số m, n thích hợp để
uuuu
r
uuu
r uuur
có đẳng thức MN  mOA  nOB là
1
A. m  , n  0
2

1
1
D. m   , n 
2
2
uur
uuur

Câu 5: Cho hình bình hành ABCD. Gọi I là điểm xác định bởi BI  k BC  k �1 . Hệ thức giữa
uur uuu
r uuur
AI , AB, AC là
uur
uuu
r uuur
uur
uuu
r uuur
A. AI   k  1 AB  k AC
B. AI   1  k  AB  k AC
uur
uuu
r uuur
uur
uuu
r uuur
C. AI   1  k  AB  k AC
D. AI   1  k  AB  k AC
B. m  0, n 

1
2

1
1
C. m  , n  
2
2

Câu 6: Cho tam giác ABC, điểm M thuộc cạnh AB sao cho 3AM  AB và N là trung điểm của AC. Tính
uuuu
r
uuur
uuur
MN theo AB và AC .
uuuu
r 1 uuur 1 uuur
uuuu
r 1 uuur 1 uuur
A. MN  AC  AB
B. MN  AC  AB
2
3
2
3
uuuu
r 1 uuu
r 1 uuur
uuuu
r 1 uuur 1 uuur
C. MN  AB  AC
D. MN  AC  AB
2
3
3
2
uuur
Câu 7: Cho tam giác ABC. Gọi I là trung điểm của BC, H là điểm đối xứng của I qua C. Ta có AH bằng

uuur uuur uur
uuur
uuur uur
A. AH  AC  AI
B. AH  2 AC  AI
uuur
uuur uuu
r
uuur uuu
r uuur uur
C. AH  2 AC  AB
D. AH  AB  AC  AI
Câu 8: Cho AD và BE là hai phân giác trong của tam giác ABC. Biết AB  4, BC  5 và CA  6 . Khi đó
uuur
DE bằng
r 3 uuu
r
r 5 uuu
r
r 3 uuu
r
r 9 uuu
r
5 uuu
3 uuu
9 uuu
3 uuu
A. CA  CB
B. CA  CB
C. CA  CB

D. CA  CB
9
5
5
9
5
5
5
5
Câu 9: Cho tam giác ABC. Lấy điểm D đối xứng với A qua B và lấy điểm E trên đoạn AC sao cho
uuur
uuur uuur
3 AE  2 EC . Nếu DE  m AB  n AC thì giá trị m.n là
2
5
uuu
r r uuur r
Câu 10: Cho hình bình hành ABCD, tâm O, G là trọng tâm tam giác OCD. Đặt AB  a, AD  b . Hãy tính
r r
uuur
vectơ BG theo a; b .
A. m.n  

2
5

uuur 1 r 5 r
A. BG  a  b
2
6

uuur
1r 5r
C. BG   a  b
2
6

B. m.n  

4
5

C. m.n 

4
5

D. m.n 

uuur 3 r 1 r
B. BG  a  b
4
4
uuur 3 r 1 r
D. BG  a  b
4
4

Dạng 3. Tính độ dài của tổng, hiệu các vectơ và tích của vectơ với một số
Phương pháp giải
Trang 13

Dạng tốn tìm độ dài của vectơ được phát triển từ Bài 1, Bài 2 và hoàn thiện ở Bài 3 với mức độ khó tăng
dần. Đó là do các phép toán về vectơ được phối hợp ngày càng đa dạng hơn ở các bài học về sau. Phương
pháp chung để tìm độ dài của tổng, hiệu các vectơ và tích của vectơ với một số vẫn là


Biến đổi vectơ tổng, vectơ hiệu thành một tích của một số với một vectơ duy nhất.



Tính độ dài của vectơ đó. Từ đó suy ra độ dài của vectơ đã cho.

Ví dụ: Cho tam giác ABC vuông tại A, BC  5a, AB  3a . Tính độ dài của các vectơ
uuu
r uuur
a) BA  BC
uuu
r uuur
b) BA  BC
uuur uuur
c) 2AB  AC
Hướng dẫn giải

uuu
r uuur uuu
r
a) BA  BC  CA  CA
 BC 2  AB 2 

 5a 

2

  3a   4a
2

b)Gọi I là trung điểm AC.
uuu
r uuur
uur
Ta có BA  BC  2 BI  2BI
 2 AI 2  AB 2  2

 2a 

2

  3a   2 13a
2

c)Gọi M là điểm đối xứng với A qua B. Vẽ hình chữ nhật AMNC. Ta có
uuu
r uuur uuuu
r uuur uuur
2AB  AC  AM  AC  AN  AN
 AM 2  MN 2 

 6a 

2

  4a   2 13a
2

Ví dụ mẫu
Ví dụ 1. Cho tam giác ABC đều cạnh 2a, có trọng tâm G. Gọi I là trung điểm của BC. Hãy tính
uur
uuu
r uuur
a) AI
b) AB  AC
uuu
r uuur uuur
c) GB  GC  AG

uuu
r uur uuur
d) AB  GI  AC

Hướng dẫn giải

Trang 14


uur
a) Ta có AI  AI  AB 2  BI 2 

 2a 

2

 a2  a 3

b) Trong mục này, ta sẽ giải quyết bài tốn tìm độ dài vectơ tổng mà khơng cần phải vẽ hình bình
hành.
uuu
r uuur
uur
Ta có AB  AC  2 AI  2 AI  2a 3
uuu
r uuur uuur
uur 2 uur
1 uur 2 uur 4 uur 4
4a 3
c) Ta có GB  GC  AG  2GI  . AI  2. AI  . AI  . AI  .AI 
3
3
3
3
3
3
uuu
r uur uuur
uuu
r uuur uur
uur 1 uur 5 uur 5
5a 3
d) Ta có AB  GI  AC  AB  AC  GI  2 AI  AI  AI  AI 
3

3
3
3





Ví dụ 2. Cho hình vng ABCD cạnh 6cm. Gọi O là giao điểm của hai đường chéo. Tính độ dài các vectơ
uuu
r uuur
uuu
r uuu
r
a) AB  CD và OA  CB
uuur uuur
uuur uuur
b) 2AB  DA và 2AB  AC
Hướng dẫn giải

2
2
2
2
a) Ta có AC  AD  DC  6  6  6 2cm, OC 

uuu
r uuur uuu
r uuu
r

uuu
r
AB  DC  AB  AB  2 AB  2 AB  12cm

AC
 3 2cm .
2

uuu
r uuu
r uuur uuu
r uuur
OA  CB  CO  CB  BO  BO  OC  3 2cm
b) Gọi M là điểm đối xứng với B qua A. Vẽ hình chữ nhật AMJD và gọi N là trung điểm của CM.
uuu
r uuur uuuu
r uuur uuu
r
2 AB  DA  AM  AD  AJ  AJ  AM 2  MJ 2  122  62  6 5cm .
Ta có ABCD, BMJC là các hình vng có cạnh bằng nhau nên
�
�
ACM  �
ACB  BCM
 45� 45� 90�
CM AC

 3 2cm .
2
2

uuu
r uuur uuuu
r uuur
uuur
2
2
Khi đó 2 AB  AC  AM  AC  2 AN  2 AN  2 AC  CN
� ACN vuông tại N và CN 

2

 6 2  3 2
2

2

 6 10cm .

�  60�. Gọi O là giao điểm hai đường chéo. Tính
Ví dụ 3. Cho hình thoi ABCD cạnh a, góc BAD
uuu
r uuur
a) AB  AD
Trang 15


uuu
r uuur
b) OB  DC
uuu

r uuur
c) OB  OC
Hướng dẫn giải

�
�AB  AD  a
� ABD đều cạnh a.
a) Vì ��
�BAD  60�
2

a� a 3
Ta có AO  AB  BO  a  �
� �
2
�2 �
2

2

2

uuu
r uuur
uuur
a 3
AB  AD  2 AO  2 AO  2.
a 3
2
uuu

r uuur uuu
r uuur uuu
r uuu
r uuu
r
a 3
b) OB  DC  OB  CD  OB  BA  OA  OA 
2
uuur uuur
uur uuur
c) Gọi I là trung điểm của BC. Ta có OB  OC  2OI  AB  AB  a
Ví dụ 4. Cho lục giác đều ABCDEF có tâm O, cạnh bằng 2cm. Gọi I, J lần lượt là trung điểm AF và CD,
P và Q lần lượt là giao điểm của CI, FJ với AD. Tính độ dài các vectơ
uuur
a) AC
b)

uuur uuur
PC  PF

c)

uuur uuur
PC  PF

Hướng dẫn giải

Trang 16

a) Ta có AB  BC  CD  DE  EF  FA  OA  OB  OC  OD  OE  OF  2cm .
� OAB đều cạnh bằng 2cm.

Gọi M là giao điểm của hai đường chéo OB và AC của hình thoi ABCO.
uuur
uuuu
r
AC  2 AM  2 AM  2 AB 2  BM 2  2. 2 2  12  2 3cm .
uuur uuur uuur
b) Ta có PC  PF  FC  FC  2OC  2.2  4cm .
c) Vì P là giao điểm của hai đường trung tuyến AO và CI của tam giác AFC nên P là trọng tâm của
tam giác AFC.
uuur uuur
uuur
1
1
4
Ta có PC  PF  2 PO  2 PO  2. AO  2. .2  cm .
3
3
3
Ví dụ 5. Cho tam giác ABC và đường thẳng d. Tìm điểm M trên đường thẳng d sao cho vectơ
r
uuur uuur uuuu
r
a  2MA  MB  MC có độ dài nhỏ nhất.
Hướng dẫn giải

Gọi I , J , K lần lượt là trung điểm của AB, AC , IJ .
r

uuur uuur uuuu
r uuur uuur
uuur uuuu
r
uuu
r uuur
Ta có a  2 MA  MB  MC  MA  MB  MA  MC  2 MI  2MJ
uuu
r uuur
uuuu
r
uuuu
r
 2 MI  MJ  2.2.MK  4MK





 





r
uuuu
r
Suy ra a  4 MK  4 MK
r

Do đó độ dài vectơ a nhỏ nhất khi và chỉ khi MK nhỏ nhất. Khi đó M là hình chiếu vng góc của K lên
đường thẳng d.
Bài tập tự luyện dạng 3

uuur uuur
Câu 1: Cho hình vng ABCD cạnh a 2 . Khi đó, S  2 AD  DB có giá trị là
A. S  2a

B. S  a

C. S  a 3

A. a 17

B. 5a

C. 3a

A. a

B. 1  2 a

D. S  a 2
uuu
r uuur
Câu 2: Cho hình chữ nhật ABCD có hai cạnh AB  a, BC  2a . Khi đó AB  2 AD bằng
D. 2 2a
uuu
r uuu
r

Câu 3: Cho tam giác OAB vuông cân tại O, cạnh OA  a . Khi đó 2OA  OB bằng





C. a 5

D. 2a 2
Trang 17


Câu 4: Cho tam giác OAB vuông cân tại O, cạnh OA  a . Khẳng định nào sau đây sai?
uuu
r uuu
r
uuu
r
uuur
A. 3OA  4OB  5a
B. 2OA  3OB  5a
uuu
r uuu
r
uuu
r
uuu
r
C. 7OA  2OB  5a
D. 11OA  6OB  5a

Câu 5: Cho tam giác ABC vuông cân tại A có BC  a 2, M là trung điểm của BC. Khẳng định nào sau
đây đúng?
uuu
r uuuu
r
A. BA  BM  a

uuu
r uuuu
r a 2
B. BA  BM 
2

uuu
r uuuu
r a 3
C. BA  BM 
2

uuu
r uuuu
r a 10
D. BA  BM 
2
uuu
r uuur
Câu 6: Cho tam giác đều ABC cạnh a có G là trọng tâm. Khi đó giá trị AB  GC là
A.

a

3

B.

2a 3
3

C.

2a
3

D.

a 3
3

uuur uuur
Câu 7: Cho hình thoi ABCD có AC  2a và BD  a . Khi đó giá trị AC  BD là
uuur uuur
uuur uuur
uuur uuur
uuur uuur
A. AC  BD  3a
B. AC  BD  a 3
C. AC  BD  a 5
D. AC  BD  5a
Câu 8: Cho hình thang vng ABCD có hai đáy AB  a, CD  2a , đường cao AD  a . Đặt
r uuur uuu
r uuur

r
u  DA  AB  CD . Độ dài vectơ u bằng
A. 2a 2

B.

a 2
2

C. a 2

D. 2a 2

Câu 9: Cho hình thang vng ABCD có 2 đáy là AB  a và CD  2a . Gọi M, N lần lượt là trung điểm
uuur uuuu
r uuuu
r
của AD và BC. Khi đó MA  MC  MN bằng
A.

a
2

B.

3a
2

C. 2a

D. 3a

uuur 1 uuur
Câu 10: Cho tam giác ABC có H là chân đường cao hạ từ A sao cho BH  HC . Gọi G là trọng tâm của
3
uuuu
r
uuur
uuur uuur
tam giác. Điểm M di động nằm trên BC sao cho BM  xBC . Giá trị của x để độ dài của vectơ MA  GC
đạt giá trị nhỏ nhất là
A. x 

4
5

B. x 

5
6

C. x 

6
5

D. x 

5
4

Dạng 4. Xác định một điểm thỏa mãn đẳng thức vectơ cho trước
Bài toán 1. Xác định một điểm
Phương pháp giải
Để xác định một điểm thỏa mãn đẳng thức vectơ cho trước ta thường sử dụng một trong ba phương pháp
sau:


Dạng 1. Đưa vectơ này bằng một số nhân với một vectơ đã biết.
Nếu biết điểm đầu của vectơ này thì điểm cuối của vectơ là xác định và duy nhất.



Dạng 2. Xác định một điểm dựa vào đẳng thức vectơ giữa hai điểm cố định A, B.
Trang 18


Trước hết, theo tính chất hai vectơ cùng phương, điểm cần tìm phải nằm trên đường thẳng AB.
Ta cần xác định điểm cần tìm thuộc đoạn thẳng AB hay nằm ngồi đoạn AB, xác định tỉ lệ, vẽ hình
minh họa và mơ tả vị trí tương đối của điểm cần tìm so với hai điểm A, B.


Dạng 3. Xác định một điểm dựa vào đẳng thức vectơ giữa ba hay bốn điểm cố định.
Trước hết, biến đổi đẳng thức vectơ, đưa điểm cần tìm chỉ phụ thuộc theo hai điểm cố định (đưa
về dạng 2).
Tiến hành xác định vị trí điểm cần tìm theo phương pháp ở dạng 2.

uuur
uuur
Ví dụ: Cho tam giác ABC có D là trung điểm BC. Xác định vị trí của G biết AG  2GD .

Hướng dẫn giải

uuur
uuur uuur
uuu
r uuur
Ta có AG  2GD � AG  2 GA  AD





uuur
uuur
uuur 2 uuur
� 3 AG  2 AD � AG  AD
3
Suy ra G thuộc đoạn thẳng AD sao cho AG 

2
AD .
3

Mà AD là đường trung tuyến của tam giác ABC nên G là trọng tâm tam giác ABC.
Ví dụ mẫu
Ví dụ 1. Cho hai điểm phân biệt A và B.
uuur uuur r
a) Tìm điểm M sao cho MA  2MB  0 .
uuu
r uuur r

b) Tìm điểm N sao cho 3 NA  2 NB  0 .
uuur uuur r
c) Tìm điểm H sao cho 3HA  2 HB  0 .
uuu
r uuur r
d) Tìm điểm K sao cho 2 KA  3KB  0 .
Hướng dẫn giải
uuur uuur
uuur
uuur uuu
r r
uuu
r
uuur
a) MA  2MB  0 � MA  2 MA  AB  0 � 2 AB  3MA





uuu
r
uuuu
r
uuuu
r 2 uuu
r
� 2 AB  3 AM � AM  AB
3
� M thuộc đoạn thẳng AB sao cho AM 

2
AB
3

uuu
r uuur r
uuu
r
uuu
r uuu
r r
uuu
r
uuu
r
b) 3 NA  2 NB  0 � 3 NA  2 NA  AB  0 � 2 AB  5 NA





uuu
r
uuur
uuur 2 uuu
r
� 2 AB  5 AN � AN  AB
5
Trang 19

� N thuộc đoạn thẳng AB sao cho AN 

2
AB
5

uuur uuur r
uuur
uuur uuu
r r
uuur
uuu
r
c) 3HA  2HB  0 � 3HA  2 HA  AB  0 � HA  2 AB





� H thuộc đường thẳng AB (A nằm giữa H và B) sao cho HA  2 AB

uuu
r uuur r
uuu
r
uuu
r uuu
r r

uuu
r uuur
uuur
uuur
d) 2 KA  3KB  0 � 2 KA  3 KA  AB  0 �  KA  3 AB  0 � AK  3 AB





� K thuộc đường thẳng AB (B nằm giữa A và K) sao cho AK  3 AB

Lưu ý:
Từ ví dụ 1 ta rút ra rằng: với h, k là các số thực lớn hơn 0, hai điểm A, B cố định thì ta có:
uuur uuur
 hMA  k MB  0 thì điểm M thuộc đoạn AB và thỏa mãn hMA  kMB .
uuur uuur
 hMA  k MB  0 thì điểm M nằm ngồi đoạn AB và thỏa mãn hMA  kMB .


Nếu h  k thì B nằm giữa A và M .



Nếu h  k thì A nằm giữa B và M .

Ví dụ 2. Cho tam giác ABC. Xác định các điểm thỏa mãn đẳng thức vectơ sau
uuur uuur uuuu
r r
a) Điểm M thỏa mãn MA  MB  MC  0

uuu
r uuur uuur r
b) Điểm N thỏa mãn NA  NB  2 NC  0
uuu
r uuu
r uuu
r
c) Điểm P thỏa mãn PA  2 PB  CB
Hướng dẫn giải
uuur uuur uuuu
r r
uuu
r uuuu
r r
uuuu
r uuu
r
uuu
r uuuu
r
a) Ta có MA  MB  MC  0 � BA  MC  0 � MC  AB � AB  MC





� M là điểm sao cho ABCM là hình bình hành.

b) Gọi I là trung điểm của AB. Ta có
uuu

r uuur
uuur r
uur uuur r
NA  NB  2 NC  0 � 2 NI  2 NC  0





uur uuur r
uur uuur r
� 2 NI  NC  0 � NI  NC  0





Trang 20


� N là trung điểm của IC.
uuu
r uuu
r uuu
r
uuu
r uuu
r uuu
r uuu
r

uur uuu
r
uur uuur r
c) PA  2 PB  CB � PA  PB  CB  PB � 2 PI  CP � 2 PI  PC  0
� P thuộc đoạn CI sao cho 2PI  PC

Ví dụ 3. Cho tam giác ABC

uuur uuur uuuu
r r
a) Tìm điểm M sao cho MA  2MB  3MC  0
uuu
r uuu
r uuur r
b) Xác định điểm N sao cho NA  3 AB  NC  0
uuu
r uuu
r uuur r
c) Xác định điểm P sao cho PA  3PB  PC  0

Hướng dẫn giải
Gọi I , J , K lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC , CA .
uuur uuur uuuu
r r
uuur uuuu
r
uuur uuuu
r r
a) MA  2MB  3MC  0 � MA  MC  2 MB  MC  0
uuuu

r
uuur r
uuuu
r uuur r
� 2MK  2.2MJ  0 � MK  2 MJ  0



 



� M thuộc đoạn thẳng JK sao cho MK  2MJ .

uuu
r uuur uuur r
uuu
r uuur
uuur r
uuur uuu
r r
b) NA  3 AB  NC  0 � NA  NC  3 AB  0 � 2 NK  3 AB  0





uuu
r
uuur

uuur 3 uuu
r
� 3 AB  2 KN � KN  AB
2
uuur 3 uuu
r
uuur
uuu
r
� KN  .2 KJ � KN  3KJ
2
� N thuộc đường thẳng KJ (J nằm giữa K và N) sao cho KN  3KJ .
uuu
r uuu
r uuur r
uuu
r uuur
uuu
r r
uuur uuu
r r
c) PA  3PB  PC  0 � PA  PC  3PB  0 � 2 PK  3PB  0





� P thuộc đoạn thẳng BK sao cho 2 PK  3PB

Ví dụ 4. Cho hình bình hành ABCD, O là giao điểm hai đường chéo AC và BD.

uuur uuur uuuu
r uuuu
r
uuuu
r
a) Tìm điểm M thỏa mãn MA  2MB  MC  MD  3MO
uuur uuur uuur uuur
b) Tìm điểm N thỏa mãn 3AN  AB  AC  AD
uu
r uur uur
uur
c) Tìm điểm I thỏa mãn IA  IB  IC  4 ID
Hướng dẫn giải

Trang 21


uuur uuur uuuu
r uuuu
r
uuuu
r
uuur uuur uuuu
r uuuu
r uuur
uuuu
r
a) Ta có MA  2MB  MC  MD  3MO � MA  MB  MC  MD  MB  3MO
uuuu
r uuu

r
uuuu
r uuu
r
uuuu
r uuur
uuuu
r uuur uuur uuuu
r r
� MO  OA  MO  OB  MO  OC  MO  OD  MB  3MO  0


 
 
 

uuu
r uuur
uuu
r uuur
uuuu
r uuur r
r r uuuu
r uuur r
�  OA  OC    OB  OD    MO  MB   0 � 0  0   MO  MB   0
uuuu
r uuur r
� MO  MB  0

� M là trung điểm của đoạn thẳng OB.

uuur uuu
r uuur uuur
uuur uuu
r uuur uuur
b) Ta có 3 AN  AB  AC  AD � 3 AN  AB  AD  AC





uuur uuur uuur
uuur 2 uuur
� 3 AN  AC  AC � AN  AC
3
Suy ra N thuộc đoạn thẳng AC sao cho AN 

2
AC .
3

uu
r uur uur
uur
uur uuu
r
uur uuu
r
uur uuur
uur uuur r
c) Ta có IA  IB  IC  4 ID � IO  OA  IO  OB  IO  OC  4 IO  OD  0

uuu
r uuur uuu
r uur uuur r
r uuu
r uur uuur r
uuu
r uur r
� OA  OC  OB  IO  4OD  0 � 0  OB  OI  4 BO  0 � 5OB  OI  0
uur
uuur
� OI  5BO





 

 

 





Suy ra I thuộc đường thẳng BD sao cho O nằm giữa B, I và OI  5 BO .

Bài tốn 2. Tìm quỹ tích của một điểm
Phương pháp giải

Để tìm tập hợp điểm M thỏa mãn một đẳng thức vectơ ta biến đổi đẳng thức vectơ đó để đưa về các tập
hợp điểm cơ bản đã biết. Chẳng hạn

Trang 22




Tập hợp các điểm M cách điểm I một khoảng không đổi bằng R : IM  R là đường trịn tâm I bán
kính R.



Tập hợp các điểm M cách đều hai điểm A, B : MA  MB là đường trung trực của đoạn thẳng AB.



Để giải bài toán quỹ tích ta thường thực hiện các phép tốn cộng, trừ, nhân vectơ với một số rồi
mới kết luận.
uuur uuur uuuu
r uuuu
r
Ví dụ: Cho hình chữ nhật ABCD. Tìm tập hợp các điểm M thỏa mãn MA  MB  MC  MD .
Hướng dẫn giải

Gọi I, J lần lượt là trung điểm của đoạn thẳng AB và CD.
uuur uuur uuuu
r uuuu
r
uuu

r
uuur
Theo tính chất trung điểm của đoạn thẳng ta có MA  MB  MC  MD � 2 MI  2 MJ
� 2MI  2 MJ � MI  MJ

Vậy tập hợp các điểm M thỏa yêu cầu bài tốn là đường trung trực của đoạn thẳng IJ.
Ví dụ mẫu
Ví dụ 1. Cho tam giác ABC.

uuur uuur uuuu
r uuur uuuu
r
a) Tìm tập hợp các điểm M sao cho MA  MB  MC  MB  MC
uuu
r uuur uuur
b) Tìm tập hợp điểm N sao cho 2NA  NB  NC

Hướng dẫn giải

Trang 23


a) Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC.
uuur uuur uuuu
r uuur uuuu
r
uuuu
r uuu
r
BC

Ta có MA  MB  MC  MB  MC � 3MG  CB � 3MG  CB � MG 
3
Vậy tập hợp các điểm M là đường trịn tâm G bán kính R 

BC
.
3

b) Gọi I là trung điểm BC.
uuu
r uuur uuur
uuu
r
uur
Ta có 2 NA  NB  NC � 2 NA  2 NI � 2 NA  2 NI � NA  NI
Vậy tập hợp các điểm N là đường trung trực của AI.
Ví dụ 2. Cho tam giác ABC.

uuur uuur uuuu
r r
a) Xác định điểm M sao cho 3MA  2 MB  MC  0
uuu
r uuur uuur uuu
r uuur
b) Tìm tập hợp các điểm N sao cho 3 NA  2 NB  NC  NA  NB
uuur uuur uuur
uuur uuur
c) Tìm tập hợp điểm D sao cho DA  2 DB  DC  4 AC  BC
uuu
r uuu

r uuur
uuu
r uuur
d) Tìm tập hợp các điểm E sao cho 2 EA  EB  EC  3 EB  EC
uuu
r uuu
r uuur
uuu
r uuu
r uuur
e) Tìm tập hợp các điểm F sao cho FA  3FB  2 FC  2 FA  FB  FC

Hướng dẫn giải
Gọi I , J , K lần lượt là trung điểm của AB, BC , CA .
uuur uuur uuuu
r r
uuur uuur
uuur uuuu
r r
uuu
r uuuu
r r
a) Ta có 3MA  2MB  MC  0 � 2 MA  MB  MA  MC  0 � 2BA  2MK  0
uuuu
r uuu
r
uuu
r uuuu
r
� MK  AB � AB  MK



 



� ABKM là hình bình hành

Vậy M là đỉnh thứ tư của hình bình hành ABKM.

uuu
r uuuur
b) Với ABKM là hình bình hành, ta suy ra BA  KM .
Trang 24


uuu
r uuur uuur uuu
r uuur
uuu
r uuur
uuu
r uuur
uuu
r
3NA  2 NB  NC  NA  NB � 2 NA  NB  NA  NC  BA



 



uuu
r uuur
uuuu
r uuur
� 2 BA  2 NK  BA � 2 KM  2 NK  BA
uuur uuuur
uuuur
BA
� 2 NK  KM  BA � 2 NM  BA � 2 NM  BA � NM 
2





Vậy tập hợp các điểm N là đường trịn tâm M, bán kính R 

BA
.
2

c) Gọi O là trung điểm của IJ. Ta có
uuur uuur uuur
uuur uuur
uuur uuur
uuur uuur

uuu
r
DA  2 DB  DC  4 AC  BC � DA  DB  DB  DC  4 AB



 



uuu
r uuu
r
uuu
r uuu
r
� 2 DI  2 DJ  4 AB � 2 DI  DJ  4 AB





uuur
� 2.2.DO  4 AB � 4 DO  4 AB � DO  AB
Vậy tập hợp các điểm D là đường trịn tâm O, bán kính R  AB .
d) Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC. Theo tính chất của trọng tâm ta có
uuu
r uuu
r uuur
uuu

r uuur
uuur
uuu
r
2 EA  EB  EC  3 EB  EC � 2 3EG  3 2 EJ � 6EG  6 EJ � EG  EJ
Suy ra E cách đều hai điểm G, J.
Vậy tập hợp các điểm E là đường trung trực của đoạn thẳng GJ.

uuu
r uur
e) Gọi P là điểm đối xứng với B qua A. Vẽ hình bình hành BCIT � CB  IT
uuu
r uuu
r uuur
uuu
r uuu
r uuur
FA  3FB  2FC  2 FA  FB  FC

uuu
r uuu
r
uuu
r uuur
uuu
r uuu
r
uuu
r uuur
� FA  FB  2 FB  FC  FA  FB  FA  FC



 

 

 

uur uuu
r uuu
r uuu
r
uur uur uuu
r uuu
r
� 2 FI  2CB  BA  CA � 2 FI  2 IT  AP  CA



uuu
r uuu
r
CP
� 2 FT  CP � 2 FT  CP � FT 
2
Vậy tập hợp các điểm F là đường trịn tâm T, bán kính R 

CP
.

2

uuuu
r
uuu
r uuur
uuur
Ví dụ 3. Cho tứ giác ABCD. Với số k tùy ý ta lấy các điểm M, N sao cho AM  k .AB, DN  k .DC . Tìm
tập hợp các trung điểm I của đoạn MN với mọi giá trị của k.
Hướng dẫn giải

Trang 25