Toán 10 Bài 4 hệ TRỤC tọa độ

BÀI 4. HỆ TRỤC TỌA ĐỘ
Mục tiêu
 Kiến thức
+ Hiểu được khái niệm trục tọa độ, tọa độ một điểm và tọa độ một vectơ trên trục tọa độ
+ Nắm được khái niệm độ dài đại số và hệ thức Sac-lơ
+ Hiểu được các phép toán liên quan đến tọa độ vectơ
 Kĩ năng
+ Xác định được tọa độ một điểm, một vectơ trên trục, hệ trục tọa độ
+ Tính được độ dài một vectơ qua tọa độ

Trang 1


I. LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM
Trục và độ dài đại số trên trục
- Trục tọa độ là một đường thẳng trên đó đã xác

r
uuur
định một điểm O gọi là điểm gốc và một vectơ đơn Nhận xét. Nếu AB cùng hướng với e thì
r
r
uuur
vị e .
AB = AB , cịn nếu AB ngược hướng với e thì
r
- Cho M là một điểm tùy ý trên trục O; e . Khi đó AB = − AB .
r
uuuu
r
r

O
;
e
Nếu
hai
điểm
A
và
B
trên
trục
có tọa độ lần
có duy nhất một số k sao cho OM = ke . Số k được

(

)

(

)

gọi là tọa độ của điểm M đối với trục đã cho.
lượt là a và b thì AB = b − a
r
- Cho hai điểm A, B trên trục O; e , tồn tại duy

(

)

uuur
r
nhất một số a sao cho AB = ae . Ta gọi số a đó là
uuur
độ dài đại số của vectơ AB đối với trục đã cho, kí
uuu
r
hiệu là a = AB
Hệ trục tọa độ
r r
r
- Hệ trục tọa độ O; i; j gồm hai trục O; i và

(

(

)

(

)

r
O; j vng góc với nhau. Điểm gốc O chung của

)

r

hai trục gọi là gốc tọa độ. Trục O; i được gọi là

(

)

r
trục hồnh và kí hiệu là Ox, trục O; j được gọi là

(

)

r
r
trục tung và kí hiệu là Oy. Các vectơ i và j là các
r r
vectơ đơn vị trên Ox và Oy với i = j = 1 . Hệ trục
r r
tọa độ O; i; j cịn được kí hiệu là Oxy.

(

)

r
ur
Nhận xét. Cho u ( x; y ) và u ′ ( x′; y′ ) . Khi đó

Tọa độ của vectơ

r
- Trong mặt phẳng Oxy cho một vectơ u tùy ý. Tồn
r
r
r
tại một cặp số duy nhất ( x; y ) sao cho u = xi + y j

r ur
 x = x′
u = u′ ⇔ 
 y = y′

. Cặp số ( x; y ) duy nhất đó được gọi là tọa độ của
r
vectơ u đối với hệ tọa độ Oxy và viết là
r
r
u = ( x; y ) hoặc u ( x; y ) . Trong đó: x được gọi là
Trang 2


r
hoành độ, y được gọi là tung độ của vectơ u

uuuu
r
Ví dụ. Trong mặt phẳng Oxy cho vectơ OM thỏa
uuuu
r r r

- Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho một điểm M tùy mãn OM
= 3i − 4 j . Khi đó tọa độ điểm M trong
uuuu
r
ý. Tọa độ vectơ OM đối với hệ trục Oxy được gọi
mặt phẳng Oxy là M ( 3; − 4 )
là tọa độ của điểm M đối với hệ trục đó
uuuu
r
r
r
M ( x; y ) ⇔ OM = xi + y j
Tọa độ của một điểm

Liên hệ giữa tọa độ của điểm và tọa độ của vectơ
trong mặt phẳng
- Trong mặt phẳng Oxy, cho hai điểm A ( x A ; y A )
uuur
và B ( xB ; yB ) . Ta có AB = ( xB − x A ; yB − y A )

r
r
Nhận xét. Hai vectơ u = ( u1 ; u2 ) , v = ( v1 ; v2 ) với
r r
v ≠ 0 cùng phương khi và chỉ khi có một số k sao
cho u1 = kv1 và u2 = kv2

r r r r r
Tọa độ các vectơ u + v, u − v, ku
r

r
- Cho u = ( x1 ; x2 ) , v = ( x2 ; y2 ) . Khi đó
r r
u + v = ( x1 + x2 ; y1 + y2 ) ;
r r
u − v = ( x1 − x2 ; y1 − y2 ) ;
r
ku = ( k .x1 ; k .x2 ) ( k ∈ ¡ ) .
Tọa độ trung điểm của đoạn thẳng

Ví dụ: Cho A ( 3; 4 ) và B ( 1; 6 ) . Tọa độ trung điểm
- Cho đoạn thẳng AB có A ( x A ; y A ) và B ( xB ; yB ) .
I của đoạn thẳng AB là I ( 2; 5 )
Khi đó, tọa độ trung điểm I ( x1 ; yI ) của AB thỏa
mãn
xI =

x A + xB
y + yB
, yI = A
2
2

Tọa độ trọng tâm tam giác
Ví dụ: Trên mặt phẳng tọa độ Oxy cho ba điểm
- Cho tam giác ABC có A ( x A ; y A ) , B ( xB ; yB ) và
C ( xC ; yC ) . Khi đó, tọa độ trọng tâm G ( xG ; yG )
của tam giác ABC thỏa mãn
xG =

x A + xB + xC
y + yB + yC
, yG = A
3
3

A ( 0; 1) , B ( 1; 3) và C ( −2; 2 ) khơng thẳng hàng.

Khi đó tọa độ trọng tâm G tam giác ABC là
 1
G− ;
 3


2÷

Trang 3


Sơ đồ lí thuyết: Hệ trục tọa độ
r
Trục tọa độ O; e
Tọa độ
và độ dài
đại số
trên trục

(

)

r
Với O là điểm gốc và e là vectơ đơn vị
Tọa độ một điểm M trên trục tọa độ là k khi
uuuu
r
r
OM = ke
r
r
Độ dài đại số của vectơ u = ae là a, kí hiệu u = a
r
r
Hai trục O; i và O; j vng góc với nhau

(

Hệ trục

(

tọa độ
r r
O; i; j

)

HỆ TRỤC

)

(

)

r
 O; i kí hiệ
u làtrục Ox

Trục hồnh r
 i làvectơ đơn vị, độdà
i i =1

( )

r
 O; j kí hiệ
u làtrục Oy

Trục tung  r
 j làvectơ đơn vị, độdà
i j =1

( )

r
r
r r
Vectơ u = ( a; b ) ⇔ u = ai + b j

TỌA ĐỘ
Các
phép
toán tọa
độ của

r r
Phép cộng: u + v = ( x1 + x2 ; y1 + y2 )
r r
Phép trừ: u − v = ( x1 − x2 ; y1 − y2 )
r
Nhân vectơ với một số: ku = ( k .x1 ; k .x2 )

vectơ

Công
thức
trung
điểm và
trọng
tâm

x A + xB

x
=
I

2
Trung điểm I của đoạn AB: 

 y = y A + yB
 I
2
x A + xB + xC

 xG =
3
Trọng tâm G của tam giác ABC: 
y
+
y
B + yC
y = A
G

3

Trang 4


II. CÁC DẠNG BÀI TẬP
r
Dạng 1: Tìm tọa độ điểm và độ dài đại số của một vectơ trên trục O; e

(

)

Phương pháp giải
r

r
r
Cho trục O; e và điểm M trên trục O; e .
Ví dụ: Trên trục O; e cho điểm M thỏa mãn
uuuu
r
r
uuuu
r
r
- Nếu OM = m.e thì ta mói điểm M có tọa độ là m
OM = 2e thì
uuur
r
r
- Nếu hai điểm A, B thuộc trục và AB = a.e thì độ - Tọa độ điểm M trên trục O; e bằng 2.

(

)

(

)

(

)

(

dài đại số AB = a

)

- Độ dài đại số OM = 2

Phương pháp thực hiện:
r
- Để tìm tọa độ điểm M thuộc trục O; e thì ta tìm

(

)

uuuu
r
r
cách biểu thị OM theo vectơ đơn vị e .
- Để tính độ dài đại số AB thì ta tìm cách biểu thị
r
uuur
AB theo vectơ đơn vị e .
- Ngồi ra có thể sử dụng hệ thức AB + BC = AC
với A, B, C là ba điểm tùy ý trên trục (Hệ thức Saclơ)
Ví dụ mẫu
r
Ví dụ 1. Trên trục O; e cho hai điểm A, B có tọa độ lần lượt là 3 và 7.

(

)

a) Tính các độ dài đại số AB, BA
b) Xác định tọa độ trung điểm của đoạn thẳng AB.
Hướng dẫn giải
uuur uuur uuu
r
r
a) AB = OB − OA = 4e ⇒ AB = 4
⇒ BA = − AB = −4
b) Gọi I là trung điểm của đoạn thẳng AB
uur 1 uuu
r uuu
r
r
1 r r
⇒ OI = OA + OB = 3e + 7e = 5e
2
2

(

)

(

)

Vậy trung điểm I của AB có tọa độ là 5.

Chú ý: Nếu hai điểm A, B có tọa độ lần lượt là a và b thì AB = b − a
Ví dụ 2. Trên trục x'Ox, cho 2 điểm M, N có tọa độ tương ứng là 3 và 9. Gọi K là điểm đối xứng của N
qua M. Tính độ dài đại số OK .
Trang 5


Hướng dẫn giải
Cách 1:
Vì K đối xứng với N qua M nên M là trung điểm của KN
uuuu
r 1 uuur uuur
uuur
uuuu
r uuur
r
r
OM = OK + ON ⇒ OK = 2OM − ON = −3e (ở đây e là vectơ đơn vị trên trục x’Ox). Vậy OK = −3
2

(

)

Cách 2:
Ta có OK = OM + MK (hệ thức Sac-lơ)
Vì M là trung điểm của KN nên MK = − MN
Suy ra OK = OM − MN = 3 − 6 = −3
Cách 3:
Gọi a là tọa độ của điểm K trên trục x’Ox. Từ giả thiết, suy ra M là trung điểm của KN.
Áp dụng công thức tọa độ trung điểm của đoạn thẳng ta có

3=

9+a
⇒ a = −3
2

Khi đó OK = a = −3
Ví dụ 3. Trên trục x’Ox, cho hai điểm A, B thỏa mãn đồng thời các điều kiện OB = 10 và AB = −5 .
a) Xác định tọa độ điểm A.

uuur uuur r
b) Xác định tọa độ điểm M trên trục sao cho 2 MA − MB = 0
Hướng dẫn giải
r
a) Gọi e là vectơ đơn vị trên trục x’Ox.

uuu
r
r
Áp dụng hệ thức Sac-lơ, ta có OB = OA + AB ⇒ OA = OB − AB = 15 ⇒ OA = 15e
Vậy tọa độ điểm A trên trục x’Ox là 15.

uuu
r
r uuu
r
r
b) Theo bài ra và kết quả ở câu a) ta có OA = 15e, OB = 10e .
Khi đó
uuur uuur r

uuu
r uuuu
r
uuu
r uuuu
r
r
uuuu
r
uuu
r uuu
r
r
2 MA − MB = 0 ⇔ 2 OA − OM − OB − OM = 0 ⇒ OM = 2OA − OB = 20e

(

) (

)

Vậy tọa độ của điểm M trên trục x’Ox là 20.
r
Ví dụ 4. Trên trục O; e cho ba điểm A, B, C có tọa độ lần lượt là -5; 2; 4. Tìm tọa độ điểm M trên trục

(

)

uuur uuuu

r
uuur r
thỏa mãn đẳng thức 2 MA + 3MC + 4 MB = 0 .
Hướng dẫn giải

uuu
r
r uuur
r uuur
r
Cách 1. Từ giả thiết, suy ra OA = −5e, OB = 2e, OC = 4e
uuur uuuu
r
uuur r
uuu
r uuuu
r
uuur uuuu
r
uuur uuuu
r
r
Ta có 2 MA + 3MC + 4 MB = 0 ⇔ 2 OA − OM + 3 OC − OM + 4 OB − OM = 0

(

) (

) (

)

Trang 6


uuu
r uuur
uuur
uuuu
r
uuuu
r 1 uuu
r
uuu
r uuur 10 r
⇔ 2OA + 3OC + 4OB = 9OM ⇔ OM = 2OA + 4OB + 3OC = e
9
9

(

Vậy tọa độ của điểm M trên trục là

)

10
9

Cách 2. Gọi tọa độ của điểm M trên trục là m, ta có
uuur uuuu

r
uuur r
10
2 MA + 3MC + 4 MB = 0 ⇔ 2 ( −5 − m ) + 3 ( 4 − m ) + 4 ( 2 − m ) = 0 ⇔ m =
9
Vậy tọa độ của điểm M trên trục là

10
9

r
Ví dụ 5. Trên trục O; e cho điểm A, B có tọa độ lần lượt là -2 và 5. Gọi M, N là hai điểm trên trục thỏa

(

)

uuur
uuur r
mãn MA + 2 MB = 0 và 3 NA − NB = 1 . Tính độ dài đại số MN
Hướng dẫn giải

uuu
r
r
uuur
r
Theo bài ra, ta có OA = −2e ⇒ OA = −2; OB = 5e ⇒ OB = 5
uuur
uuur r

uuu
r uuuu
r
uuur uuuu
r
r
Khi đó MA + 2 MB = 0 ⇔ OA − OM + 2 OB − OM = 0

(

) (

)

uuuu
r 1 uuu
r
uuu
r
8r
8
⇔ OM = OA + 2OB = e ⇒ OM =
3
3
3
uuur
3 NA − NB = 1 ⇔ 3 OA − ON − OB − ON = 1

(

(

) (

)

)

⇔ 2ON = 3OA − OB − 1 = −12 ⇒ ON = −6
⇒ MN = ON − OM = −6 −
Vậy MN = −

8
26
=−
3
3

26
.
3

Bài tập tự luyện dạng 1
r
Câu 1: Trên trục O; e , cho điểm M có tọa độ bằng -2. Khẳng định nào sau đây đúng?
uuuu
r
r
A. OM = 2e
B. OM = −2

C. OM = 2
D. OM = −2
r
r
Câu 2: Trên trục O; e , cho điểm M thỏa mãn OM = −3 . Tọa độ của M trên trục O; e là

(

)

(

)

A. -3

(

B. 3

C. 0

)

D. -6

Câu 3: Trên trục x’Ox cho hai điểm A, B có tọa độ tương ứng bằng -2 và 2. Tính AB
A. AB = 0

B. AB = −4

C. AB = 4

D. AB = 2 2

Câu 4: Trên trục x’Ox cho hai điểm A, B thỏa mãn OB = 5 và AB = 3 . Tọa độ điểm A trên trục x’Ox
bằng
A. 4

B. -2
C. 8
D. 2
r
uuuu
r
r
Câu 5: Trên trục O; e cho hai điểm M, N thỏa mãn OM = 2e , ON = −5 . Độ dài đại số MN bằng

(

)

Trang 7


A. 7

B. -3
C. -7
D. 3

r
Câu 6: Trên trục O; e cho hai điểm A, B thỏa mãn AB = 2 , điểm B có tọa độ bằng -6. Tọa độ trung

(

)

điểm của đoạn thẳng AB là
A. 1

B. -7
C. -5
D. -2
r
Câu 7: Trên trục O; e cho hai điểm A, B có tọa độ tương ứng là 1 và -3. Gọi M là một điểm trên trục

(

)

và thỏa mãn MA + 3MB = 0 . Độ dài đại số BM bằng
A. -2

B. 4
C. 1
D. 5
r
Câu 8: Trên trục O; e , cho hai điểm M, N thỏa mãn OM + ON = 2 và MN = 8 . Gọi E là trung điểm

(

)

của MN, độ dài OE bằng
A. 4

B. 1

C. 5

D. 3

Dạng 2: Xác định tọa độ của vectơ và một điểm trên mặt phẳng tọa độ Oxy
Phương pháp giải
Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, ta có:
r
r
r
r
+) u ( a; b ) ⇔ u = a.i + b. j
uuuu
r
r
r
+) M ( x; y ) ⇔ OM = x.i + y. j
uuur
+) AB = ( xB − xA ; yB − y A )
r
r
Giả sử u ( u1 ; u2 ) , v ( v1 ; v2 )

r r
u1 = v1
Khi đó u − v ⇔ 
u2 = v2
Lưu ý: Nhiều bài tốn, việc tìm tọa độ điểm quy về
tìm điều kiện để hai vectơ bằng nhau.

Ví dụ: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho
A ( −2; 1) , B ( 5; 2 ) .
uuur
a) Tìm tọa độ vectơ AB

uuur uuu
r
b) Tìm tọa độ điểm D sao cho AD = OB
Hướng dẫn giải
uuur
uuur
a) AB = ( xB − xA ; yB − y A ) hay AB = ( 7; 1)
uuur
uuur
b) OB = ( 5; 2 ) , AD = ( xD + 2; yD − 1)
uuur uuur
 xD + 2 = 5
x = 3
⇔ D
Do đó AD = OB ⇔ 
 yD − 1 = 2
 yD = 3
Vậy D = ( 3; 3)

Ví dụ mẫu

uuuu
r r r uuur r r
Ví dụ 1. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai điểm M, N thỏa mãn OM = 3i − 2 j , ON = i + 6 j .
uuuu
r
a) Xác định tọa độ của MN .
b) Xác định tọa độ trung điểm của đoạn thằng MN.
Hướng dẫn giải
uuuu
r uuur uuuu
r
r r
uuuu
r
a) Ta có MN = ON − OM = −2i + 8 j ⇒ MN = ( −2; 8 )
b) Từ giả thiết, suy ra M ( 3; − 2 ) , N ( 1; 6 )

Trang 8


xM + xN 3 + 1

=
=2
 xI =
2
2

Gọi I là trung điểm của MN ⇒ 
 y = yM + yN = −2 + 6 = 2
 I
2
2
Vậy tọa độ trung điểm của đoạn thẳng MN là (2; 2)
Ví dụ 2. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho ba điểm A ( 1; 3) , B ( −2; 2 ) , C ( 0; 7 )
uuuu
r
uuur
a) Xác định tọa độ điểm M thỏa mãn AM = 2 BC
b) Tìm tọa độ điểm D sao cho tứ giác ABDC là hình bình hành
Hướng dẫn giải
uuur
uuur
a) BC = ( 2; 5 ) ⇒ 2 BC = ( 4; 10 )
uuuu
r
Gọi M ( x; y ) ⇒ AM = ( x − 1; y − 3)
uuuu
r
uuur
x −1 = 4
x = 5
⇔
Khi đó AM = 2 BC ⇔ 
 y − 3 = 10
 y = 13
b) Dễ dàng chứng minh được ba điểm A, B, C khơng thẳng hàng.
uuur

uuur
Ta có AB = ( −3; − 1) ; CD = ( xD ; yD − 7 )
uuur uuur
 xD = −3
 x = −3
⇔ D
Tứ giác ABDC là hình bình hành ⇔ CD = AB ⇔ 
 yD − 7 = −1
 yD = 6
Vậy D ( −3; 6 ) .
Ví dụ 3. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai điểm A ( 4; − 3) , B ( 2; 5 ) . Tìm tọa độ điểm K thỏa mãn
uuu
r
uuur r
đẳng thức KA − 2 KB = 0
Hướng dẫn giải
Gọi K ( x; y ) ta có
uuu
r
uuur
KA = ( 4 − x; − 3 − y ) , KB = ( 2 − x; 5 − y )
uuur
⇒ 2 KB = ( 4 − 2 x; 10 − 2 y )
uuu
r
uuur
4 − x = 4 − 2 x
x = 0
⇔
Ta có KA = 2 KB ⇔ 

−3 − y = 10 − 2 y
 y = 13
Vậy K ( 0; 13)
Lưu ý: Ta cũng có thể xử lí bài tốn theo cách sau
uuu
r
uuur r
KA − 2 KB = 0
uuu
r
uuu
r uuu
r
r
⇔ KA − 2 KA + AB = 0

(

)

Trang 9


uuur
uuur
⇔ AK = 2 AB
Đến đây giải quyết như Ví dụ 2a.
Ví dụ 4. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai điểm E ( −3; 1) , F ( 2; 9 ) . Gọi H, K lần lượt là hình chiếu
của E, F trên trục hồnh. Độ dài đoạn thẳng HK bằng
A. 1

B. 5

C. 8

D. 6

Hướng dẫn giải
Vì H, K lần lượt là hình chiếu của E và F trên trục hồnh. Do đó H ( −3; 0 ) , K ( 2; 0 ) suy ra
HK = 2 − ( −3) = 5
Chọn B
Ví dụ 5. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai điểm P ( 1; 4 ) , Q ( −5; 2 ) . Tìm tọa độ điểm M thuộc trục
uuur uuuu
r
Ox sao cho MP + MQ đạt giá trị nhỏ nhất.
A. ( −2; 3)

B. ( 0; 3)

C. ( −6; 0 )

D. ( −2; 0 )

Hướng dẫn giải

uuur uuuu
r
uuu
r
Gọi I là trung điểm của PQ, ta có I ( −2; 3) và MP + MQ = 2MI = 2MI

uuur uuuu
r
Khi đó MP + MQ nhỏ nhất  MI nhỏ nhất
Điều này xảy ra khi M là hình chiếu vng góc của I trên trục Ox hay M ( −2; 0 )
Chọn D
Chú ý: Bài toán này có sử dụng đến bài tốn hình học “Tìm điểm M trên đường thẳng d sao cho khoảng
cách từ M đến điểm cố định I cho trước là nhỏ nhất”. Những bài tốn hình học kiểu như vậy sẽ giúp ta
xác định được vị trí tương đối của điểm với các điểm và đường thẳng đã cho làm cơ sở cho việc tìm tọa
độ của điểm.
Lời bình: Mấu chốt của bài toán này là việc chỉ ra điểm I.
Trong biến đổi vectơ, để làm xuất hiện điểm nào đó thì ta chỉ việc xen điểm đó vào các vectơ đó, cụ thể
như sau:
uuu
r uur
uuu
r uur
uuu
r uur uur
uuur uuuu
r
MP + MQ = MI + IP + MI + IQ = 2MI + IP + IQ

(

) (

)

(

)

đúng với điểm I tùy ý. Qua đây ta thấy rằng, việc chọn I là trung điểm của PQ mục đích là để
uur uur r
uuur uuuu
r
uuu
r
IP + IQ = 0 , khi đó tổng MP + MQ chỉ còn duy nhất MI .
Trang 10


Với nhận xét này sẽ giúp ta giải quyết được bài toán dạng trên kể cả khi ta tăng số điểm hay thay đổi hệ
số trước các vectơ
Ví dụ 6. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai điểm E ( 3; − 3) , F ( 7; 1) . Tìm tọa độ điểm K thuộc trục Oy
uuur
uuur
sao cho 3KE − 2 KF đạt giá trị nhỏ nhất.
Hướng dẫn giải

uur
uur r
Gọi I là điểm thỏa mãn 3IE − 2 IF = 0 ⇒ I ( −5; − 11) .
uuur
uuur
uur uur
uur uur
uur
Khi đó 3KE − 2 KF = 3 KI + IE − 2 KI + IF = KI = KI

(

) (

)

uuur
uuur
Do đó 3KE − 2 KF đạt giá trị nhỏ nhất ⇔ KI ngắn nhất
Điều này xảy ra  K là hình chiếu của I trên trục Oy, khi đó K ( 0; − 11)
Vậy điểm K cần tìm là K ( 0; − 11)
Ví dụ 7. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho ba điểm A ( 2; 0 ) , B ( 5; − 7 ) , C ( −1; − 5 ) và M là một điểm
uuur uuur uuuu
r
thay đổi trên trục hồnh. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = MA + MB + MC
Hướng dẫn giải

uuu
r uuu
r uuur r
Gọi G là trọng tâm tam giác ABC ⇒ G ( 2; − 4 ) và GA + GB + GC = 0
uuur uuur uuuu
r
uuuu
r uuu
r
uuuu
r uuu
r
uuuu

r uuur
uuuu
r
Ta có MA + MB + MC = MG + GA + MG + GB + MG + GC = 3MG
uuur uuur uuuu
r
uuuu
r
⇒ MA + MB + MC = 3MG = 3MG

(

) (

) (

)

Do đó P nhỏ nhất  MG nhỏ nhất  M là hình chiếu của G trên Ox.
Khi M là hình chiếu của G trên Ox thì M ( 2; 0 ) và MG = −4 − 0 = 4
Vậy Pmin = 12
Bài tập tự luyện dạng 2
Câu 1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, vectơ đơn vị của trục hồnh có tọa độ là
A. ( 0; 1)

B. ( 1; 0 )

C. ( 1; 1)

D. ( −1; 0 )

r
r
r
Câu 2: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho vectơ u ngược hướng với vectơ đơn vị i và u = 2 . Tọa độ của
r
vectơ u là
A. ( 2; 0 )

B. ( 0; − 2 )

C. ( −2; 0 )

B. ( −1; 2 )

C. ( 2; 1)

D. ( −2; 2 )
uuuu
r
r r
Câu 3: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho điểm M thỏa mãn hệ thức OM = 2i − j . Tọa độ của điểm
M là
A. ( 2; − 1)

D. ( −2; 1)
Trang 11


Câu 4: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm A ( 2; − 5 ) . Khẳng định nào sau đây đúng?
uuu

r r r
uuu
r
r r
uuu
r
r r
uuu
r
r
A. OA = 5i − 2 j
B. OA = 2 j − 5i
C. OA = −5 j + 2i
D. OA = 3 j
Câu 5: Trong mặt phẳng hệ tọa độ Oxy, cho hai điểm A ( 2; 1) , B ( −1; 7 ) . Tọa độ điểm M thỏa mãn hệ
uuuu
r uuu
r r
thức 3 AM + AB = 0 là
A. M ( 1; − 3)

B. M ( 5; − 5 )

C. M ( 1; − 1)

D. M ( 3; − 1)

Câu 6: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho ba điểm A ( 3; 4 ) , B ( −1; 0 ) , C ( 2; 7 ) . Tọa độ điểm M
uuur
uuur uuuu

r r
thỏa mãn đẳng thức MA + 2 MB − MC = 0 là
3
1
A. M  ; − ÷
2
2

3
 1
B. M  − ; − ÷
2
 2

 1 3
C. M  − ; ÷
 2 2

1 3
D. M  ; ÷
2 2

Câu 7: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai điểm M ( 1; − 4 ) , N ( 2; 3) . Gọi P là điểm đối xứng với M
qua N. Tọa độ điểm P là
3 1
A.  ; ÷
2 2

B. ( 3; 10 )

C. ( 0; − 11)

D. ( 3; 1)

Câu 8: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho ba điểm A ( −2; 1) , B ( 4; 3) , C ( 5; 0 ) . M là điểm thuộc
uuur uuur uuuu
r
trục hoành sao cho MA + MB + MC đạt giá trị nhỏ nhất. Khi đó hồnh độ điểm M thuộc khoảng nào sau
đây?
A. ( −1; 1)

B. ( 1; 3)

C. ( 3; 5 )

D. ( 5; 6 )

Câu 9: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho 3 điểm A ( 1; 0 ) , B ( 0; 3) , C ( −3; − 5 ) . Tọa độ điểm M thuộc trục
uuur uuur
uuuu
r
Ox sao cho T = 2MA − 3MB + 2MC bé nhất là
A. M ( 2; 0 )

B. M ( 4; 0 )

C. M ( −4; 0 )

D. M ( −2; 0 )

Câu 10: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai điểm A ( 1; 1) , B ( 2; 4 ) . Gọi M ( a; b ) là điểm thuộc đường
uuur
uuur
thẳng y = 2 sao cho T = 5MA − 4 MB đạt giá trị nhỏ nhất. Tổng a + b bằng
A. -1

B. -14

C. -9

D. 1

Dạng 3: Tìm tọa độ của các vectơ tổng, hiệu, tích của vectơ với một số
Phương pháp giải
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai vectơ Ví dụ: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai vectơ
r
r
r
r
a ( a1 ; a2 ) , b ( b1 ; b2 ) và một số thực k. Khi đó
a = ( 4; − 7 ) , b = ( 5; 1) . Xác định tọa độ các vectơ
r r
r r r
r
* a + b = ( a1 + b1 ; a2 + b2 )
a + b, a − 2b
r r
Hướng dẫn giải
* a − b = ( a1 − b1 ; a2 − b2 )
r r

r r
r
a + b = ( 4 + 5; − 7 + 1) hay a + b = ( 9; − 6 )
+)
* k a = ( ka1 ; ka2 )
r
r
r
+) 2b = ( 10; 2 ) ⇒ a − 2b = ( −6; − 9 )
Trang 12


Ví dụ mẫu

r
r
r r
Ví dụ 1. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho u = 4i − 2 j và v = ( 0; − 3)
r r r r r
a) Tìm tọa độ các vectơ u + v; u − v; 5u
r
r r
b) Tìm tọa độ vectơ x = 2u − 3v
Hướng dẫn giải
r
r r
r
a) Ta có u = 4i − 2 j ⇒ u = ( 4; − 2 ) . Khi đó
r r
+) u + v = ( 4; − 5 )

r r
+) u − v = ( 4; 1)
r
+) 5u = ( 20; − 10 )
r
r
r r
b) Ta có 2u = ( 8; − 4 ) ; 3v = ( 0; − 9 ) ⇒ 2u − 3v = ( 8; 5 )
r
Vậy x = ( 8; 5 )
r
r
r
r
r
r
Ví dụ 2. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho a ( x; 2 ) , b ( −5; 1) , c ( x; y ) thỏa mãn c = 2a + 3b . Giá trị của
biểu thức S = x + y là
A. S = 12

B. S = 22

C. S = 31

D. S = −8

Hướng dẫn giải
r
r
r r

2a = ( 2 x; 4 ) , 3b = ( −15; 3) ⇒ 2a + 3b = ( 2 x − 15; 7 )
r
r
r
 x = 2 x − 15
 x = 15
⇔
⇒ S = x + y = 22
Khi đó c = 2a + 3b ⇔ 
y = 7
y = 7
Chọn B
r r
Ví dụ 3. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai điểm A ( 5; − 3) , B ( −2; 2 ) và hai vectơ u , v thỏa mãn
r
uuur uuur r
uuu
r uuu
r
r r
u = 2 MA − MB, v = 3OA + AB . Xác định tọa độ điểm M để u = v
Hướng dẫn giải

uuur
uuur
Gọi M ( x; y ) ta có MA = ( 5 − x; − 3 − y ) , MB = ( −2 − x; 2 − y )
r
⇒ u = ( 12 − x; − 8 − y )
uuu
r

uuu
r
r
OA = ( 5; − 3) , AB = ( −7; 5 ) ⇒ v = ( 8; − 4 )
r r
12 − x = 8
x = 4
⇔
Khi đó u = v ⇔ 
 −8 − y = −4
 y = −4
Vậy M ( 4; − 4 )
Trang 13


Ví dụ 4. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho ba điểm A ( 2; − 1) , B ( 5; 0 ) , C ( 3; 2 ) . Tọa độ điểm M thỏa
uuur
uuur uuuu
r r
mãn đẳng thức 6 MA − 11MB + 9 MC = 0 là
A. ( 4; − 3)

B. ( 3; 4 )

C. ( −4; 3)

D. ( 4; 3)

Hướng dẫn giải

uuur
uuur
Gọi M ( x; y ) , ta có 6 MA = ( 12 − x; − 6 − 6 y ) ; − 11MB = ( 11x − 55; 11 y )
uuuu
r
9 MC = ( 27 − 9 x; 18 − 9 y )
uuur
uuur uuuu
r
⇒ 6 MA − 11MB + 9 MC = ( −16 − 4 x; 12 − 4 y )
uuur
uuur uuuu
r r
 −16 − 4 x = 0
 x = −4
⇔
Khi đó 6 MA − 11MB + 9 MC = 0 ⇔ 
12 − 4 y = 0
y = 3
Vậy tọa độ điểm M cần tìm là M ( −4; 3) .
Chọn C
r
r
r
r
Ví dụ 5. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho ba vectơ a = ( 4; − 3) , b = ( 8; 11) , c = ( 4; − 37 ) . Phân tích c
r r
theo hai vectơ a, b ta được kết quả
r
r

r
r
r r
A. c = −2a + 5b
B. c = 4a − 3b
r
r
r
r
r
r
C. c = −4a + 3b
D. c = 5a − 2b
Hướng dẫn giải
r
r
r
 4m + 8n = 4
m = 5
⇔
Giả sử c = ma + nb , khi đó ta có 
 −3m + 11n = −37
 n = −2
r
r
r
Vậy c = 5a − 2b
Chọn D
Bài tập tự luyện dạng 3
r

r
Câu 1: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hai vectơ a ( 1; − 4 ) , b ( 0; 2 ) . Tọa độ của vectơ
r
r r
u = 2a − b là
A. ( 2; − 10 )

B. ( 2; − 6 )

C. ( 2; 6 )

D. ( 0; − 8 )
r
r
r r
r
Câu 2: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai vectơ a ( −7; 3) , b ( 4; 1) . Tọa độ của u = b − 2a là
A. ( 18; − 5 )

B. ( −10; 7 )

C. ( 18; 5 )

A. ( −10; 23)

B. ( 2; − 5 )

C. ( −7; 11)

D. ( 10; − 7 )

r
r
r
r
r r
Câu 3: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai vectơ u ( −5; 4 ) và v = −3 j . Tọa độ của a = 2u − 5v là
D. ( 5; 23)
uuuu
r
uuu
r uuu
r
Câu 4: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai hai điểm A ( 1; 1) , B ( 4; − 7 ) và OM = 2OA − 5OB . Tổng
hoành độ và tung độ của M bằng
Trang 14


A. -3

B. 55

C. 19

D. 37

Câu 5: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình bình hành ABCD có A ( 0; − 3) , B ( 2; 1) , C ( 4; − 1) . Tọa độ
đỉnh D là
A. ( 6; 3)

B. ( 3; 6 )

C. ( 5; 2 )
D. ( 2; − 5 )
r
r
r
r
Câu 6: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho ba vectơ a ( 2; − 3) , b ( 3; 1) , c ( −1; 7 ) . Ta phân tích c
r r
r
r
r
theo hai vectơ a, b như sau c = k .a + m.b . Tổng k + m bằng
A. -1

B. 1

A. -1

B. 5

C. 3
D. -3
r
r
r
r
Câu 7: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho ba vectơ a ( 2; − 7 ) , b ( 1; − 3) , c ( 1; − 5 ) . Ta phân tích c theo hai
r r
r

r
r
vectơ a, b như sau c = ma + nb . Tổng m + n bằng
C. -5
D. 1
r
r
r
r
r
r
Câu 8: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho a ( 2; 1) , b ( 3; 4 ) , c ( 7; 2 ) . Giá trị m, n để c = ma + nb là
A. m = −
C. m =

22
3
,n=−
5
5

1
3
B. m = , n = −
5
5

22
3
,n=−

5
5

D. m =

22
3
,n=
5
5

Dạng 4: Chứng minh ba điểm thẳng hàng, hai vectơ cùng phương bằng tọa độ
Phương pháp giải
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai vectơ Ví dụ: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho vectơ
r
r
r
r
a ( a1 ; a2 ) , b ( b1 ; b2 )
a ( 2; − 6 ) . Vectơ nào sau đây cùng phương với a ?
r r
uu
r
* a, b cùng phương khi và chỉ khi
A. a1 ( 1; 3)
uu
r
r
r r
a1 = kb1

a
B.
2 ( −3; 1)
∃k ∈ ¡ : a = kb b ≠ 0 ⇔ 
uu
r
a2 = kb2
C.. a3 ( −1; 3)
Lưu ý: Có thể sử dụng định thức cấp 2 để chứng
uu
r
D. a4 ( 4; 12 )
minh hai vectơ cùng phương, cụ thể

(

)

r r
a1
a, b cùng phương ⇔
b1

a2
b2

=0

⇔ a1b2 − a2 b1 = 0
* Điều kiện ba điểm thẳng hàng:

Hướng dẫn giải
uu
r
uu
r
r
1r
Dế thấy a3 = − a ⇒ a3 cùng phương với a
2
Chọn C

Trong mặt phẳng, cho ba điểm phân biệt A, B, C.
uuu
r
uuur
Khi đó: A, B, C thẳng hàng ⇔ AB = k AC
Ví dụ mẫu

r
r
r r
Ví dụ 1. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho a ( 3; − 2 ) , b ( x − 1; 4 ) . Giá trị của x để a, b cùng phương là
Trang 15


A. x = −6

B. x = −5

C. x = 7

D. x = −

5
3

Hướng dẫn giải
r
r
r r
 x − 1 = 3k
 k = −2
⇒
Cách 1. a, b cùng phương ⇔ b = k a ⇔ 
 4 = −2 k
 x = −5
r r
3
−2
=
Cách 2. Cách khác a, b cùng phương ⇔
x −1 4
⇔ 3.4 − ( −2 ) . ( x − 1) = 0
⇔ x = −5

Chọn B
Ví dụ 2. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho ba điểm A ( 1; 1) , B ( 2 − 5 ) , C ( 7; 3 ) .
Chứng minh rằng A, B, C là ba đỉnh của một tam giác.
Hướng dẫn giải

uuur
uuur
AB = ( 1; − 6 ) , AC = ( 6; 2 )
Vì

uuur
uuur
uuur
uuur
1
6
≠ − nên ∃k ∈ ¡ : AB = k AC ⇒ AB và AC không cùng phương
6
2

=> A, B, C không thẳng hàng
Vậy A, B, C là ba đỉnh của một tam giác
Ví dụ 3. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai điểm A ( 3; − 2 ) , B ( 1; 3) . Tìm tọa độ điểm E thuộc trục
hồnh sao cho A, B, E thẳng hàng.
Hướng dẫn giải
E ∈ Ox ⇒ E = ( x; 0 )
uuur
uuur
Khi đó AE = ( x − 3; 2 ) , AB = ( −2; 5 )
uuur
uuur
x−3 2
11
= ⇔x=
A, B, E thẳng hàng ⇔ AE và AB cùng phương ⇔

−2
5
5
 11 
Vậy E =  ; 0 ÷
5 
Lời bình:
- Trong ví dụ này, việc ràng buộc E thuộc trục hoành dẫn tới tọa độ điểm E chỉ còn phụ thuộc vào một
tham số.
- Ta có thể thay thế trục hồnh bởi một đường thẳng bất kỳ, hay đồ thị của một hàm số nào đó thì vẫn
đảm bảo tiêu chí tọa độ điểm E chỉ phụ thuộc vào một tham số (ta thường gọi đây là phương pháp tham
số hóa tọa độ điểm).
Ví dụ 4. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai điểm M ( 1; 1) , N ( 2; 3) và đường thẳng d : y = 4 x + 3 .
Trên d, lấy điểm P sao cho M, N, P thẳng hàng. Tọa độ của điểm P là
Trang 16


1 
A.  ; 5 ÷
2 

B. ( 3; 5 )

C. ( 3; − 5 )

D. ( −2; − 5 )

Hướng dẫn giải
P ∈ d ⇒ P = ( x; 4 x + 3)
uuur

uuuu
r
Khi đó MP = ( x − 1; 4 x + 2 ) , MN = ( 1; 2 )
uuuu
r
uuur
x − 1 4x + 2
=
⇔ x = −2
Để M, N, P thẳng hàng thì MN và MP cùng phương ⇔
1
2
Vậy tọa độ điểm P cần tìm là ( −2; − 5 )
Chọn D
Ví dụ 5. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai điểm A ( 1; 3) , B ( −2; − 3) . Tìm tọa độ điểm I thuộc trục
tung sao cho IA + IB nhỏ nhất
Hướng dẫn giải
Ta có I ∈ Oy ⇒ I = ( 0; y )
IA + IB ≥ AB , dấu “=” xảy ra  I, A, B thẳng hàng và I nằm giữa A và B.
Dựa vào tọa độ của A và B ta thấy rằng A, B nằm về hai phía so với trục Oy.
Do đó, giao điểm của AB với trục Oy nằm giữa hai điểm A và B => điểm I cần tìm chính là giao điểm của
AB với trục tung.
Bài toán đã cho trở thành “Tìm tọa độ điểm I thuộc trục Oy sao cho I, A, B thẳng hàng”.
Ta được kết quả I ( 0; 1)
Lời bình:
- Mấu chốt của bài tốn là đánh giá IA + IB ≥ AB , đây là một tính chất hình học khá quen thuộc ở lớp
dưới thường sử dụng.
- Cách giải quyết bài tốn vẫn khơng thay đổi nếu ta thay thế trục tung bởi một đường thẳng tùy ý.
- Trong trường hợp hai điểm A, B nằm cùng phía với trục Oy thì giao điểm của AB với Oy không phải là
điểm thỏa mãn yêu cầu.

- Nếu xảy ra trường hợp A, B nằm cùng phía với trục Oy thì ta tìm điểm C thay thế cho A sao cho B, C
nằm khác phía với Oy và thỏa mãn IB + IC = IA + IB hay IC = IA với mọi điểm I ∈ Oy , tức C đối xứng
với A qua Oy.
Bài tập tự luyện dạng 4
r
Câu 1: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, vectơ u ( −2; 3) cùng phương với vectơ nào sau đây?
r
A. a ( 4; 6 )

r
B. b ( 3; − 2 )

r
3
C. c 1; − ÷
2


ur
D. d ( 1; − 3)

Trang 17


Câu 2: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai điểm A ( 2; − 2 ) , B ( 0; 2 ) . Vectơ nào sau đây cùng hướng
uuur
với vectơ AB ?
uu
r
uu

r
uu
r
uu
r
A. u1 ( −1; − 2 )
B. u2 ( 1; − 2 )
C. u3 ( −3; 6 )
D. u4 ( 3; 6 )
r
r
r r
Câu 3: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hai vectơ a ( 2; m ) , b ( 1; n ) . Điều kiện cần và đủ để a, b
cùng phương là
A. m = 2n

B. n = 2m

C. m = n = 0

D. m + 2n = 0

Câu 4: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hai điểm A ( 1; 1) , B ( 3; − 2 ) . Tìm trên trục hồnh điểm E
sao cho ba điểm A, B, E thẳng hàng
A. E ( 3; 0 )

2 
B. E  ; 0 ÷
3 

 5
C. E  0; ÷
 3

5 
D. E  ; 0 ÷
3 

Câu 5: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai điểm A ( 2; 7 ) , B ( −1; − 5 ) . Tọa độ điểm E thuộc trục tung
sao cho ba điểm A B, E thẳng hàng là
A. E ( 0; 7 )

B. E ( 0; − 5 )

C. E ( 0; 1)

D. E ( 0; − 1)

Câu 6: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai điểm A ( −1; − 8 ) , B ( 3; 4 ) . Tọa độ điểm M trên đường thẳng
y = 1 để ba điểm M, A, B thẳng hàng là
A. M ( 3; 1)

B. M ( −1; 1)

C. M ( 2; 1)

D. M ( 4; 7 )

Câu 7: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có các đỉnh A ( 1; − 2 ) , B ( −1; − 3) , C ( 3; 1) . Tọa
độ điểm D trên trục hoành sao cho tứ giác BCAD là hình thang có các đáy BC và AD là

A. ( 7; 0 )

B. ( 9; 0 )

C. ( 1; 0 )

D. ( 3; 0 )

Câu 8: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hai điểm A ( −2; 1) , B ( 0; 3) . Gọi M là điểm thuộc trục
hoành sao cho tổng MA + MB đạt giá trị nhỏ nhất. Hoành độ của điểm M thuộc khoảng nào sau đây?
A. ( −10; − 5 )

B. ( −5; 0 )

C. ( 0; 5 )

D. ( 5; 10 )

Câu 9: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai điểm A ( 3; 2 ) , B ( 2; − 1) . Tọa độ điểm N thuộc đường thẳng
x = 1 sao cho NA + NB nhỏ nhất là

 1
A.  1; ÷
 2

B. ( 1; − 3)

C. ( 1; 0 )

D. ( 1; 5 )

Câu 10: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai điểm E ( 2; 5 ) , F ( 1; 1) . Gọi P ( x; 0 ) là điểm thuộc trục
hoành sao cho PE − PF lớn nhất. Giá trị x thuộc khoảng nào sau đây?
A. ( 0; 1)

B. ( 1; 2 )

C. ( 2; 3)

D. ( 3; 4 )

Dạng 5: Tọa độ trung điểm của một đoạn thẳng, tọa độ trọng tâm của một tam giác
Phương pháp giải
* Tọa độ trung điểm của đoạn thẳng AB là

Ví dụ: Trong mặt phẳng tọa độ cho
a) Hai điểm A ( 3; − 6 ) , B ( 1; 0 ) . Tọa độ trung điểm
Trang 18


 x A + xB y A + y B 
 2 ;
2 ÷


* Tọa độ trọng tâm tam gác ABC là
 x A + xB + xC y A + yB + yC 
;

÷

3
3



của đoạn thẳng AB là ( 2; − 3)
b) Tam giác MNP có M ( 2; − 5 ) , N ( 3; 0 )

và

P ( 7; − 1) . Tọa độ trọng tâm của tam giác ABC là

( 4; − 2 )

Ví dụ mẫu
Ví dụ 1. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai điểm A ( 1; 4 ) , B ( −5; 6 )
a) Tìm tọa độ trung điểm I của đoạn thẳng AB.
b) Tìm tọa độ điểm B' đối xứng với B qua A.
Hướng dẫn giải

x A + xB 1 + ( −5 )
;
= −2
 xI =
2
2
a) I là trung điểm của đoạn thẳng AB nên 
 y = y A + yB = 4 + 6 = 5
 I
2

2
Vậy I = ( −2; 5 )
xB + xB ′

 x A =
 x ′ = 2 x A − xB = 7
2
⇒ B
b) B' đối xứng với B qua A nên 
 y B′ = 2 y A − y B = 2
 y = y B + y B′
A

2
Vậy tọa độ điểm B' cần tìm là B ′ ( 7; 2 )
Ví dụ 2. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho ba điểm A ( 0; 2 ) , B ( −5; 3) , C ( 2; 1)
a) Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC
b) Tìm tọa độ điểm E sao cho A là trọng tâm của tam giác BCE.
Hướng dẫn giải
a) Dễ dàng chứng minh được A, B, C khơng thẳng hàng (Xem ví dụ 2 trong dạng 4)

x A + xB + xC 0 + ( −5 ) + 2
=
= −1
 xG =
3
3
Khi đó 
 y = y A + yB + yC = 2 + 3 + 1 = 2
 G

3
3
Vậy G = ( −1; 2 )
b) Vì A là trọng tâm của tam giác BCE nên

Trang 19


xB + xC + xE

 x A =
 xE = 3 xA − xB − xC = 3
3
⇒

 y E = 3 y A − y B − yC = 2
 y = yB + yC + y E
A

3
Vậy E = ( 3; 2 ) .
Ví dụ 3. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho A ( 3; − 3) . Tìm tọa độ các điểm B, C lần lượt thuộc trục tung
và đường thẳng y = 2 sao cho tam giác ABC nhận gốc tọa độ O làm trọng tâm.
Hướng dẫn giải
Gọi B ( 0; b ) , C ( c; 2 )
 x A + xB + xC
=0

3 + 0 + c = 0
 c = −3

3
⇔
⇒
Theo bài ra, ta có 
−3 + b + 2 = 0 b = 1
 y A + yB + yC = 0

3
Vậy các điểm B, C cần tìm là B ( 0; 1) , C ( −3; 2 )
Ví dụ 4. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có trọng tâm G ( 2; 3) . Xác định tọa độ trung
điểm M của cạnh BC biết đỉnh A ( −2; 5 ) .
 2 11 
A. M  ; ÷
3 3 

B. M ( 4; 2 )

C. M ( 8; − 8 )

D. M ( 10; − 1)

Hướng dẫn giải
uuur 2 uuuu
r
uuuu
r 3 uuur
Từ tính chất trọng tâm tam giác, ta có AG = AM ⇔ AM = AG
3
2
uuur

3 uuur
Ta có AG = ( 4; − 2 ) ⇒ AG = ( 6; − 3)
2

(1)

 xM − x A = 6
 x = 6 + xA = 4
⇒ M
Khi đó ( 1) ⇔ 
 y M − y A = −3  y M = − 3 + y A = 2
Vậy trung điểm cạnh BC là M ( 4; 2 )
Chọn B
Ví dụ 5. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình bình hành ABCD có tọa độ đỉnh A ( 2; − 2 ) và trung điểm
của đường chéo BD là I ( −4; 1) . Xác định tọa độ trọng tâm G của tam giác BCD.

Trang 20


Hướng dẫn giải
Vì ABCD là hình bình hành nên I là trung điểm của AC ⇒ C ( −10; 4 )
uuur 2 uur
G là trọng tâm ∆BCD ⇒ CG = CI
3
Giải ra ta được G ( −6; 2 )
uur 1 uur 1 uur
Lưu ý: Ta cũng có thể khơng cần xác định tọa độ điểm C bằng việc sử dụng IG = IC = AI
3
3
Bài tập tự luyện dạng 5

Câu 1: Cho hai điểm A ( 5; − 1) , B ( 1; 3) . Tọa độ trung điểm của AB là
A. ( 6; 2 )

B. ( 4; − 4 )

C. ( 3; 1)

D. ( 2; − 1)

Câu 2: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC với A ( 7; − 1) , B ( −2; 5 ) , C ( 10; − 1) . Tọa độ
trọng tâm tam giác ABC là
A. ( 1; 3)

 17 4 
B.  ; ÷
 3 3

 19 
C.  ; 1÷
 3 

D. ( 5; 1)

Câu 3: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho A ( 10; 3) , B ( 4; − 5 ) . Gọi A′ ( a; b ) là điểm đối xứng với A qua
B. Tổng a + b bằng
A. -15

B. -11

C. 11

D. 15

Câu 4: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho bốn điểm A ( 1; − 1) , B ( 2; 2 ) , C ( 0; 5 ) , D ( x; y ) . Biết C là trọng
tâm của tam giác ABD. Giá trị tích x. y là
A. 56

B. 24

C. -36

D. -42

Câu 5: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho ∆ABC có trung điểm cạnh BC là M ( −2; 3) và trọng tâm
G ( 1; 2 ) . Tọa độ đỉnh A là
A. ( 7; 0 )

B. ( −11; 6 )

C. ( 1; 2 )

D. ( −7; 6 )

Câu 6: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có M ( 2; − 3) , N ( −3; 5 ) , P ( −5; 1) lần lượt là
trung điểm của các cạnh BC, CA, AB . Tọa độ đỉnh A là
A. ( 9; − 10 )

B. ( 9; 10 )

C. ( 10; 9 )

D. ( −10; 9 )

Câu 7: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có trọng tâm G ( 3; 1) và đỉnh B ( −1; 0 ) . Tọa độ
điểm D để tứ giác ABCD là hình bình hành là
A. ( 4; 1)

B. ( 11; 3)

 3
C.  6; ÷
 2

D. ( 8; 2 )
Trang 21


Câu 8: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình bình hành ABCD có đỉnh A ( 0; 8 ) . Trung điểm các cạnh
DC, BC lần lượt là M ( 4; − 1) , N ( 2;5 ) . Tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC là
 4 16 
A. G  ; ÷
3 3 

8
4
B. G  ; − ÷
3
3

C. G ( 2; 4 )

2 4
D. G  ; ÷
3 3

Câu 9: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho A ( 2; 0 ) , B ( 5; − 3) và điểm C ∈ Ox . Trọng tâm G của tam giác
ABC nằm trên đường thẳng y = x . Tọa độ trung điểm BC là
2

A.  0; − ÷
3


5
3
B.  ; − ÷
2
2

3
 5
C.  − ; − ÷
2
 2

 3 2
D.  − ; ÷
 2 3

2

Câu 10: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho parabol ( P ) : y = x và điểm K ( 3; 2 ) . M là một điểm trên trục

hoành, M' là điểm đối xứng với M qua K. Trong trường hợp M ′ ∈ ( P ) thì tổng hồnh độ của các điểm M
thỏa mãn yêu cầu là
A. 4

B. 8

C. 12

D. 16

Trang 22


ĐÁP ÁN

r
Dạng 1. Tìm tọa độ điểm và độ dài đại số của một vectơ trên trục O, e

(

)

* Đáp án trắc nghiệm
1-B

2-A

3-C

4-D

5-C

6-B

7-C

8-B

* Hướng dẫn giải
Câu 6.
OB = −6 ⇒ OA = OB + BA = OB − AB = −8
Tọa độ của A, B trên trục tương ứng là -8 và -6
Do đó tọa độ trung điểm của AB là

−8 + ( −6 )
2

= −7

Câu 7.
Gọi tọa độ điểm M là m
uuuu
r
r uuu
r r
uuur uuu
r uuuu

r
r
uuur
Ta có OM = m.e, OA = e ⇒ MA = OA − OM = ( 1 − m ) e ⇒ MA = 1 − m
Tương tự MB = −3 − m
Khi đó MA + 3MB = 0 ⇔ 1 − m + 3 ( −3 − m ) = 0 ⇔ m = −2
Vậy BM = m + 3 = 1
Câu 8.
Gọi tọa độ của M, N trên trục lần lượt là m, n
m + n = 2
m = −3
⇔
Theo bài ra, ta có 
n − m = 8
n = 5
E là trung điểm của MN => tọa độ điểm E là

−3 + 5
= 1 . Hay OE = 1
2

Dạng 2. Xác định tọa độ của vectơ và một điểm trên mặt phẳng tọa độ Oxy
* Đáp án trắc nghiệm
1-B

2-C

3-A

4-C

5-D

6-B

7-B

8-B

9-C

10-A

* Hướng dẫn giải
Câu 5.
Gọi M ( a; b )
uuuu
r
uuur
Ta có AM = ( a − 2; b − 1) và AB = ( −3; 6 )
uuuu
r uuu
r r
3 ( a − 2 ) − 3 = 0
a = 3
⇔
Lại có 3 AM + AB = 0 ⇔ 
. Suy ra M ( 3; − 1)
b = −1
3 ( b − 1) + 6 = 0

Câu 6.

Trang 23


uuur
uuur uuuu
r r
uuur uuur
uuur  1 3 
Ta có MA + 2 MB − MC = 0 ⇔ 2 MB = AC ⇒ MB =  − ; ÷
 2 2
1
1


 xB − xM = − 2
 xM = − 2
⇒
⇔
y − y = 3
y = − 3
B
M
M

2

2
3

 1
Vậy M  − ; − ÷
2
 2
Câu 7.

uuuur uuur r
Gọi P ( x; y ) . Vì P là điểm đối xứng với M qua N nên N là trung điểm của MP hay NM + NP = 0
( 1 − 2 ) + ( x − 2 ) = 0
x = 3
⇔
Hay 
. Vậy P ( 3; 10 ) .
 y = 10
( −4 − 3) + ( y − 3) = 0
Câu 8.
7 4
Gọi G là trọng tâm tam giác ABC, ta có G  ; ÷
3 3
uuur uuur uuuu
r
uuuu
r
Theo tính chất trọng tâm tam giác thì MA + MB + MC = 3MG
uuur uuur uuuu
r
uuuu
r
⇒ MA + MB + MC nhỏ nhất ⇔ 3MG nhỏ nhất hay MG nhỏ nhất.
Vì G cố định và M thuộc trục hồnh nên MG nhỏ nhất khi M là hình chiếu vng góc của G trên trục Ox.

Khi đó hồnh độ của G và M là bằng nhau.
7 
Vậy điểm M cần tìm là M  ; 0 ÷ .
3 
Câu 9.

uur uur
uuu
r r
uuu
r
uuu
r uuur
uuur
Gọi J là điểm thỏa mãn 2 JA − 3 JB + 2 JC = 0 ⇒ OJ = 2OA − 3OB + 2OC
 xJ = 2 x A − 3xB + 2 xC = −4
⇒
⇒ J ( −4; − 19 )
 y J = 2 y A − 3 yB + 2 yC = −19
uuur uuur uuuu
r uuur
uuur uuur uuuu
r
Khi đó 2 MA − 3MB + 2 MC = MJ , ∀M ⇒ 2 MA − 3MB + 2 MC = MJ nhỏ nhất  M là hình chiếu của J
trên trục Ox hay M ( −4; 0 )
Câu 10.

uu
r
uur r

Gọi I là điểm thỏa mãn hệ thức 5 IA − 4 IB = 0 ⇒ I = ( −3; − 11)
Lập luận tương tự như câu 9, điểm M cần tìm chính là hình chiếu của I trên đường thẳng y = 2 hay
M ( −3; 2 ) ⇒ a + b = −1

Trang 24


Dạng 3. Tìm tọa độ của các vectơ tổng hiệu, tích của vectơ với một số
* Đáp án trắc nghiệm
1-A
2-A
* Hướng dẫn giải

3-A

4-C

5-D

6-A

7-A

8-C

Câu 4.
uuu
r
uuu
r

Ta có OA = ( 1; 1) ; OB = ( 4; − 7 )
uuuu
r
uuu
r uuu
r
Lại có OM = 2OA − 5OB = ( 2.1 − 5.4; 2.1 − 5. ( −7 ) ) = ( −18; 37 )
Tổng tung độ và hoành độ của M là −18 + 37 = 19 .
Câu 5.

uuur
uuu
r
uuur
Gọi D ( x; y ) , ta có AD = ( x; y + 3) ; AB = ( 2; 4 ) ; AC = ( 4; 2 )
uuur uuur uuur
2 + x = 4
x = 2
⇔
Vì ABCD là hình bình hành nên AB + AD = AC ⇔ 
4 + y + 3 = 2
 y = −5
Vậy D ( 2; − 5 ) .
Câu 6.
r
r
r
−1 = 2k + 3m
k = −2
⇔

⇒ k + m = −1
Ta có c = k .a + m.b ⇔ 
7 = −3k + m
m = 1
Câu 7.
r
r
r
1 = 2m + n
m = 2
c = ma + nb ⇔ 
⇔
⇒ m + n = −1
 −5 = −7m − 3n
n = −3
Câu 8.
r
r
ma + nb = ( 2m + 3n; m + 4n )
r
r
r
7 = 2m + 3n
⇔
Khi đó c = ma + nb ⇔ 
 2 = m + 4n

22

m = 5


m = − 3

5

Dạng 4. Chứng minh ba điểm thẳng hàng, hai vectơ cùng phương bằng tọa độ
* Đáp án trắc nghiệm
1-C
2-C
* Hướng dẫn giải

3-A

4-D

5-D

6-C

7-D

8-B

9-C

10-A

Câu 4.
uuur
Ta có AB = ( 2; − 3)

uuur
Gọi E ( x; 0 ) , khi đó AE = ( x − 1; − 1)
Trang 25