Dạy thêm toán 10 3 2 PHƯƠNG TRÌNH QUY về PHƯƠNG TRÌNH bậc NHẤT, bậc HAI

TỐN 10

PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ BẬC NHẤT, BẬC HAI

0D3-2

MỤC LỤC
PHẦN A. CÂU HỎI.............................................................................................................................................................2
DẠNG 1. PHƯƠNG TRÌNH CHỨA ẨN TRONG DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI.............................................................2
DẠNG 1.1 PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT...................................................................................................................2
DẠNG 1.2 PHƯƠNG TRÌNH BẬC 2.............................................................................................................................3
DẠNG 2. PHƯƠNG TRÌNH CHỨA ẨN Ở MẪU.............................................................................................................3
DẠNG 3. PHƯƠNG TRÌNH CHỨA ẨN DƯỚI CĂN.......................................................................................................4
DẠNG 4. ÁP DỤNG ĐỊNH LÍ VI-ET GIẢI TỐN PHƯƠNG TRÌNH BẬT HAI..........................................................7
DẠNG 5. GIẢI VÀ BIỆN LUẬN PHƯƠNG TRÌNH CHỨA THAM SỐ........................................................................7
DẠNG 5.1 GIẢI VÀ BIỆN LUẬN PHƯƠNG TRÌNH CĨ n NGHIỆM.......................................................................7
DẠNG 5.1.1 ĐIỀU KIỆN CĨ NGHIỆM PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT...............................................................7
DẠNG 5.1.2 ĐIỀU KIỆN CĨ NGHIỆM PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI...................................................................8
DẠNG 5.1.3 PHƯƠNG TRÌNH CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI.....................................................................9
DẠNG 5.1.4 PHƯƠNG TRÌNH CHỨA MẪU.........................................................................................................10
DẠNG 5.1.5 PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN..........................................................................................................10
DẠNG 5.1.6 PHƯƠNG TRÌNH BẬC CAO.............................................................................................................12
DẠNG 5.2 GIẢI VÀ BIỆN LUẬN PHƯƠNG TRÌNH CĨ NGHIỆM THỎA MÃN YÊU CẦU CHO TRƯỚC......13
PHẦN B. LỜI GIẢI THAM KHẢO..................................................................................................................................15
DẠNG 1. PHƯƠNG TRÌNH CHỨA ẨN TRONG DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI...........................................................15
DẠNG 1.1 PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT.................................................................................................................15
DẠNG 1.2 PHƯƠNG TRÌNH BẬC 2...........................................................................................................................17
DẠNG 2. PHƯƠNG TRÌNH CHỨA ẨN Ở MẪU...........................................................................................................18
DẠNG 3. PHƯƠNG TRÌNH CHỨA ẨN DƯỚI CĂN.....................................................................................................19
DẠNG 4. ĐỊNH LÍ VI-ET VÀ ỨNG DỤNG...................................................................................................................28
DẠNG 5. GIẢI VÀ BIỆN LUẬN PHƯƠNG TRÌNH CHỨA THAM SỐ......................................................................28

DẠNG 5.1 GIẢI VÀ BIỆN LUẬN PHƯƠNG TRÌNH CĨ n NGHIỆM.....................................................................28
DẠNG 5.1.1 ĐIỀU KIỆN CĨ NGHIỆM PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT.............................................................28
DẠNG 5.1.2 ĐIỀU KIỆN CĨ NGHIỆM PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI.................................................................29
DẠNG 5.1.3 PHƯƠNG TRÌNH CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI...................................................................31
DẠNG 5.1.4 PHƯƠNG TRÌNH CHỨA MẪU.........................................................................................................34
DẠNG 5.1.5 PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN..........................................................................................................35
DẠNG 5.1.6 PHƯƠNG TRÌNH BẬC CAO.............................................................................................................41
DẠNG 5.2 GIẢI VÀ BIỆN LUẬN PHƯƠNG TRÌNH CĨ NGHIỆM THỎA MÃN U CẦU CHO TRƯỚC......44

1


PHẦN A. CÂU HỎI
DẠNG 1. PHƯƠNG TRÌNH CHỨA ẨN TRONG DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI
DẠNG 1.1 PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT

Câu 1.

Câu 2.

Câu 3.

Câu 4.

Câu 5.

Câu 6.

x 1  2
(THPT Nhữ Văn Lan - Hải Phòng - Học kỳ I - 2019) Phương trình

có nghiệm là:
x

3;
x


1
A. x  1 .
B. x  3 .
C.
.
D. x  2 .

Cho phương trình
1
A. Phương trình  
1
B. Phương trình  
1
C. Phương trình  
1
D. Phương trình  

Câu 8.

Câu 10.

vơ nghiệm.
có đúng một nghiệm.

có đúng hai nghiệm phân biệt.
có vơ số nghiệm.
x  x ?

C. 2 .

D. Vô số.

3x  4  6
Giả sử x0 là một nghiệm lớn nhất của phương trình
. Mệnh đề nào sau đây ĐÚNG?
x � 1; 0 
x � 0; 2 
x � 4; 6 
x � 3; 4 
A. 0 
.
B. 0 
.
C. 0 
.
D. 0 
.

Phương trình
A. 0.
Phương trình

S   0

.

Phương trình
14

A. 3 .

2x  4  x 1  0

B. 1 .
x 1  2x 1

có bao nhiêu nghiệm?
C. 2 .

D. Vơ số.

có tập nghiệm là

� 2�
S  �0;  �
� 3 .
B.

� 2�
S  � �
�3 .
C.

3  x  2x  5

có hai nghiệm
28

B. 3 .

x1 , x2

. Tính
7
C. 3 .

D. S  �.

x1  x2
14
D. 3 .

(HKI - Sở Vĩnh Phúc - 2018-2019) Tính tổng tất cả các nghiệm của phương trình
| 5 x  4 | x  4 .

4
A. 3 .
Câu 9.

. Mệnh đề nào sau đây đúng?

Phương trình sau có bao nhiêu nghiệm
A. 0 .
B. 1 .

A.
Câu 7.

3x  1  2 x  5  1

B. 0 .

C.



4
3.

D. 4 .

(THI HK1 LỚP 11 THPT VIỆT TRÌ 2018 - 2019) Tập nghiệm của phương trình
x  2  2x 1
là:
S   1
S   1
S   1;1
S   0
A.
.
B.
.
C.
.

D.
.
3x  2  x  4
Gọi a, b là hai nghiệm của phương trình
sao cho a  b . Tính M  3a  2b .

2


A. M  5 .
Câu 11.

Phương trình
A. 3.

B. M  0 .
B. 0.

Số nghiệm của phương trình
A. 0 .
B. 2 .
DẠNG 1.2 PHƯƠNG TRÌNH BẬC 2

Câu 14.

Câu 15.

Câu 16.

D.

5
2.

3 x  2  x có bao nhiêu nghiệm nguyên?

Câu 12.

Câu 13.

C. M  5 .

M

x2 1  x  2

C. 2.

D. 1.

C. 3 .

D. 1 .

là

x  2  3x 2  x  2
(HKI XUÂN PHƯƠNG - HN) Tổng các nghiệm của phương trình sau
là:
2 3

2 3

3 .
A. 0 .
B. 3 .
C. 1 .
D.

Tính tổng tất cả các nghiệm của phương trình
3
A. 2 .
B. 1.
Tổng tất cả các nghiệm của phương trình
1
3
A. 2 .
B. 2 .
Phương trình
A. 0 .

x2  2x  8  x  2
B. 2 .

2 x 2  3x  2  x  2

.

C. 3.

x 2  2x  1  x 2  2

D. 2.
bằng:

C. 1 .

có số nghiệm là:
C. 3 .

D.



3
2.

D. 1 .

DẠNG 2. PHƯƠNG TRÌNH CHỨA ẨN Ở MẪU
x 1
4
 2
Câu 17. Số nghiệm của phương trình x  2 x  4 là
A. 0 .
B. 2 .
C. 3 .

D. 1 .

a b

x 1
4
 3 
x  1 có một nghiệm là
c , với a , b , c nguyên dương và
Câu 18. Biết phương trình 2 x  3
a
c tối giản. Tính T  2a  b  3c .
A. T  5 .
B. T  1 .
C. T  1 .
D. T  5 .
Câu 19.

1
1
 2
1
Tích tất cả các nghiệm của phương trình x  x  2 x  x  2
là
2

A. 1 .

Câu 20.

C. 1 .

B. 0 .

D.



x2  2x  2
1
1

 2
x 1
x2
x  2 là
Số nghiệm của phương trình
A. 2.

B. 3.

C. 1.
3

D. 0.

5
2.


x 2  3x  2
 x
x 3
Câu 21.

(THPT Phan Bội Châu - KTHK 1-17-18) Cho phương trình
có nghiệm a .
Khi đó a thuộc tập:
�1 �
�1 1�
�1 �
 ; �
� ;3 �
�
� ;1�
3
2
2
�
�
�
�
A.
.
B.
.
C. �3 �.
D. �.
Câu 22.

(THPT Phan Bội Châu - KTHK 1-17-18) Một xe hơi khởi hành từ Krông Năng đi đến Nha
Trang cách nhau 175 km. Khi về xe tăng vận tốc trung bình hơn vận tốc trung bình lúc đi là 20
km/giờ. Biết rằng thời gian dùng để đi và về là 6 giờ, vận tốc trung bình lúc đi là:
A. 60 km/giờ.
B. 45 km/giờ.

C. 55 km/giờ.
D. 50 km/giờ.
DẠNG 3. PHƯƠNG TRÌNH CHỨA ẨN DƯỚI CĂN

Câu 23.

Câu 24.
Câu 25.
Câu 26.
Câu 27.

Tập nghiệm S của phương trình 2 x  3  x  3 là
S   2
S   6; 2
A. S  �.
B.
.
C.
.

Tổng các nghiệm (nếu có) của phương trình:
A. 6 .
B. 1 .
Số nghiệm của phương trình 3 x  2  x là
A. 2 .
B. 1 .

2 x  1  x  2 bằng:
C. 5 .

C. 3 .

Nghiệm của phương trình 5 x  6  x  6 bằng
A. 15 .
B. 6 .
C. 2 và 15 .
Tập nghiệm của phương trình 4 x  7  2 x  1 là
�2  10 2  10 �
�2  10 �
;
�
�
�
�
2
2 �
2 �
�
�
A.
. B.
.
�2  10 �
�
�
2 �
�
C.
.
D. Một phương án khác.

Câu 29.

Phương trình
A. 3 .

 x 2  4 x  2 x  2 có bao nhiêu nghiệm?
B. 0 .
C. 2 .

Câu 32.

.

D. 2 .
D. 0 .
D. 2 .

D. 1 .

(THPT NGUYỄN TRÃI-THANH HOÁ - Lần 1.Năm 2018&2019) Số nghiệm của phương
2
2
trình x  2 x  5  x  2 x  3 là
A. 2 .
B. 3 .

Câu 31.

S   6

Tìm số giao điểm giữa đồ thị hàm số y  3x  4 và đường thẳng y  x  3 .
A. 2 giao điểm.
B. 4 giao điểm.
C. 3 giao điểm.
D. 1 giao điểm.

Câu 28.

Câu 30.

D.

Tích các nghiệm của phương trình
A. 3 .
B. 3 .
Phương trình
A. x  1 .

C. 1 .
x 2  x  1  x 2  x  1 là
C. 1 .

2 x 2  3 x  5  x  1 có nghiệm:
B. x  2 .
C. x  3 .
4

D. 0 .
D. 0 .

D. x  4 .


Câu 33.

Câu 34.

Câu 35.

Câu 36.

Câu 37.

Câu 38.

Câu 39.

Câu 40.

Câu 41.

2
Số nghiệm của phương trình 3x  9 x  7  x  2 là
3
B. 1 .
C. 0 .
A. .
2
Số nghiệm của phương trình x  3  3x  1. là
A. 0 .

B. 1 .
C. 2 .

Phương trình:
A. 0 .
C. 1 .

Câu 43.

x 2  x  12  7  x có bao nhiêu nghiệm?
B. 2 .
D. Vơ Số.

2
2
Số nghiệm của phương trình x - 3x + 86 - 19 x - 3 x +16 = 0 là.
A. 4 .
B. 1 .
C. 3 .



là:

D. 8 .



x  2 x 2  3x  2  0
Tập nghiệm của phương trình

là
S

{1}.
S

{2}.
A. S  �.
B.
C.
(LƯƠNG TÀI 2 BẮC NINH LẦN 1-2018-2019) Phương trình
cả bao nhiêu nghiệm?
C. 3 .

B. 4 .

Phương trình sau có bao nhiêu nghiệm:
A. 3 .
B. 1 .

x
Tập nghiệm của phương trình

2

x

2

C. 0 .





x2  1

2x  1  x  0

có tất

D. 2 .

D. 2

 x  2 . x 1  0

B. {-1;1; 2}.

x
Tập nghiệm của phương trình

D. S  {1;2}.

 4 x  3 x  2  0

C.

là
 1; 2 .

x  2  x 2  4 x  3  0
Tập nghiệm của phương trình
là
S   2;3
S   2
S   1;3
A.
.
B.
.
C.
.

A. {1;2}.
Câu 46.

x2  4 x  5  2  0

2
2
Tổng bình phương các nghiệm của phương trình x  5 x  2  2 x  5 x  10  0 là:
A. 5 .
B. 13 .
C. 10 .
D. 25 .

2

Câu 45.

D. 2 .

 x  1  x  3  3

Tổng các bình phương các nghiệm của phương trình
A. 17 .
B. 4 .
C. 16 .

A. {1; 2}.
Câu 44.

D. 3 .

2
(HKI XUÂN PHƯƠNG - HN) Số nghiệm của phương trình sau x  2 x  3x  1  1 là:
A. 0 .
B. 1 .
C. 2 .
D. 3 .

A. 1 .
Câu 42.

D. 2 .



D. {-1; 2}.

D.

S   1; 2;3

.

 x 2 . x 1  0

là
�
1;2�
C. � �.

B. {-1;1;2}.

D. {-1;2}.

(KSNLGV - THUẬN THÀNH 2 - BẮC NINH NĂM 2018 - 2019) Phương trình

x

2

 6 x  17  x 2  x 2  6 x

A. 2.

có bao nhiêu nghiệm phân biệt?
B. 1.

C. 3.
5

D. 4.


Câu 47.

Câu 48.

(KSCL lần 1 lớp 11 Yên Lạc-Vĩnh Phúc-1819) Số nghiệm của phương trình
 x  2  2 x  7  x 2  4 bằng:
A. 1 .
B. 2 .
C. 3 .
D. 0 .
3  x  x  2 là
� 1�
�1 �
S �
2; �
S ��
� 2 .
�2 .
B.
C.

Tập nghiệm của phương trình
A. S  �.

Câu 49.

Câu 50.
Câu 51.

� 1�
S �
 �
�2 .
D.

Nghiệm của phương trình 2 x  1  3  x là
3
2
4
x
x
x
4.
3.
3.
A.
B.
C.

D.

Số nghiệm của phương trình x x  2  2  x là
A. 3 .
B. 0 .

C. 1 .

D. 2 .

x

3
2.

(THPT Nhữ Văn Lan - Hải Phòng - Học kỳ I - 2019) Tìm tập hợp nghiệm của phương trình
3  x  x  2 1.
A.

 2 .

B.

 1; 2 .

C.

 1; 2 .

D.

 1 .

Câu 52.

(HKI XUÂN PHƯƠNG - HN) Số nghiệm nguyên của phương trình sau x  3  2 x  1  1 là:

A. 0 .
B. 2 .
C. 1 .
D. 3 .

Câu 53.

Số nghiệm của phương trình 3x  1  2  x  1 là
A. 3 .
B. 0 .
C. 1 .

D. 2 .

2
Số nghiệm của phương trình x  2 x  2 x x  3  6 1  x  7 là
A. 0 .
B. 1 .
C. 2 .

D. 3 .

Câu 54.
Câu 55.

Câu 56.

2
Phương trình x  4 x  3   x  1 8 x  5  6 x  2 có một nghiệm dạng x  a  b với a, b  0
. Khi đó: a  b 

A. 7.
B. 5.
C. 4.
D. 6.

Biết phương trình
 x1  1 .  x2  1 .
A. 1 .

Câu 57.

Câu 58.

Phương trình
A. 1 .

x  1  3x  3  x 2  1 có hai nghiệm x1 , x2 . Tính giá trị biểu thức

B. 0 .

C.

2.

x  2  x 2  x  1  2 x  1  x  2 có số nghiệm là:
B. 3 .
C. 2 .

Với bài toán: Giải phương trình
Bước 1. Điều kiện: 4 �x �4 .

D.

3.

D. 0 .

4  x  4  x  16  x 2  4 . Một học sinh giải như sau:

8  t2
2 .
Đặt
t0
�
8  t2
t
 4 � t 2  2t  0 � �
t  2.
2
�
Bước 2. Ta được phương trình
t  4  x  4  x � t 2  8  2 16  x 2 � 16  x 2 

6


2
2
Bước 3. Với t  0 ta có 16  x  4 � 16  x  16 � x  0 .
2

2
Với t  2 ta có 16  x  2 � 16  x  4 � x  �2 3 .
S  0; 2 3;2 3
Vậy phương trình có tập nghiệm
.
Hãy chọn phương án đúng.
A. Lời giải trên sai ở bước 2.
B. Lời giải trên đúng hoàn toàn.
C. Lời giải trên sai ở bước 1.
D. Lời giải trên sai ở bước 3.



Câu 59.

Giải phương trình trên tập số thực:
A. x  1 .

B. x  4 .

x
Câu 60.

2



5x  4x2  x
 2.
x 1

x 1
�
�
x  4.
C. �

 3x  2  x  3

Số nghiệm của phương trình
A. 1 .
B. 2 .

x 1

D. x ��.

0

C. 3 .

D. 0 .

2 x 
Câu 61.
Câu 62.

(HKI XUÂN PHƯƠNG - HN) Số nghiệm của phương trình
A. 3 .
B. 2 .
C. 1 .

2 x
0
x 3
là
0
D. .

(THPT Phan Bội Châu - KTHK 1-17-18) Số nghiệm nguyên của phương trình

x  x  5  2 3 x 2  5 x  2  2
A. 0 .
Câu 63.

Câu 65.

C. 2 .

(LẦN 01_VĨNH YÊN_VĨNH PHÚC_2019) Phương trình
nghiệm  ,  . Khi đó tổng    thuộc đoạn
nào sau đây ?
A. [2;5].

Câu 64.

là
1
B. .

B. [1;1].

C. [10; 6].

D. 3
x 2  481  3 4 x 2  481  10 có hai

D. [5; 1].

2
3
(Nơng Cống - Thanh Hóa - Lần 1 - 1819) Phương trình: 2 x  5 x  1  7 x  1 có nghiệm là
a � b thì 2a  b bằng
A. 2.
B. 1.
C. 3.
D. 4.

x x

1
1
 1
x
x ta được

(LẦN 01_VĨNH YÊN_VĨNH PHÚC_2019) Giải phương trình:
a b
x
c , a, b, c ��, b  20 . Tính giá trị biểu thức P  a 3  2b 2  5c .
một nghiệm

A. P  61 .
B. P  109 .
C. P  29 .
D. P  73 .
DẠNG 4. ÁP DỤNG ĐỊNH LÍ VI-ET GIẢI TỐN PHƯƠNG TRÌNH BẬT HAI

Câu 66.

2
Cho phương trình: x  3 x  2  0 có hai nghiệm x1 , x2 . Biết rằng x1  1 . Hỏi x2 bằng bao
nhiêu?

7


B. 3 .

A. 2 .
Câu 67.

Câu 68.

Câu 69.

Câu 70.

C. 1 .

D. 0 .

2
(HKI XUÂN PHƯƠNG - HN) Gọi x1 , x2 là hai nghiệm của phương trình x  3x  9  0 .
Chọn đáp án đúng.
x x x  x  27
A. x1 x2  x1  x2  6 .
B. 1 2  1 2 
. C. x1 x2  9 .
D. x1  x2  3 .
2
Phương trình 2 x  3x  1  0 có tổng hai nghiệm bằng
1
3

A. khơng tồn tại
B. 2 .
C. 4 .

3
D. 2 .

2
Tính tổng bình phương các nghiệm của phương trình x  2 x  13  0
A. 22 .
B. 4 .
C. 30.
D. 28 .
2
2
2
Gọi x1 ; x2 là các nghiệm của phương trình 4 x  7 x  1  0 . Khi đó giá trị biểu thức M  x1  x2

là
41
41
57
81
A. 16 .
B. 64 .
C. 16 .
D. 64 .

DẠNG 5. GIẢI VÀ BIỆN LUẬN PHƯƠNG TRÌNH CHỨA THAM SỐ
DẠNG 5.1 GIẢI VÀ BIỆN LUẬN PHƯƠNG TRÌNH CĨ n NGHIỆM
DẠNG 5.1.1 ĐIỀU KIỆN CĨ NGHIỆM PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT
Câu 71.

m  2  x   x  1  0
m
Gọi 0 là giá trị của tham số m để phương trình 
vơ nghiệm. Khẳng định
nào sau đây là đúng?
m � 2; 0 
m � 0;1
m � 1;1
m ��
A. 0
.
B. 0 
.
C. 0   .
D. 0 

.

Câu 72.

(THPT Nhữ Văn Lan - Hải Phòng - Học kỳ I - 2019) Với m bằng bao nhiêu phương trình
mx  m  1  0 vơ nghiệm?
A. m  0 và m  1 .
B. m  1 .
C. m  0 .
D. m  1 .
Câu 73. (HKI - Sở Vĩnh Phúc - 2018-2019) Với giá trị nào của tham số m thì phương trình

m

2

 1 x  m2  2m  3  0

vô nghiệm?
m
B.  1 .

A. m  1 .
Câu 74.

Câu 75.
Câu 76.
Câu 77.



C. m  2 .

D. m  3 .



m 2  4 x  3m  6
Phương trình
có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi
m
�
�
2;
m
�

3
A.
.
B. m �2 .
C. m �2 .
Tìm m để phương trình sau có nghiệm
A. m  1 .
B. m  1 .

 m  1 x  2  0 .

C. m  0 .

2
Phương trình m x  2  x  2m có tập nghiệm S  � khi và chỉ khi:
1.
A. m ��1 .
B. m  �
C. m  1 .

D. m ��2 .
D. m �1 .
D. m  1 .

(THI HK1 LỚP 11 THPT VIỆT TRÌ 2018 - 2019) Cho S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên
5;10
m  1 x   x  m  1
của tham số m thuộc đoạn 
để phương trình 
có nghiệm duy nhất.
S
Tổng các phần tử trong bằng
A. 42 .
B. 39 .
C. 48 .
D. 15 .
8


DẠNG 5.1.2 ĐIỀU KIỆN CĨ NGHIỆM PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
Câu 78.

2

Phương trình x  3 x  m  1  0 ( ẩn x ) có nghiệm khi và chỉ khi

5
m�
4
A.

Câu 79.

Câu 80.

Câu 81.

Câu 82.

Câu 84.

Câu 85.

Câu 86.

Câu 87.

C.

m

5
4

4
m�
5
D.

2 x2   m  2 x  m  4  0
Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình
có hai nghiệm
phân biệt.
A. m  6 .
B. m  6 .
C. m �6 .
D. m .
2
Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình x  x  m  2  0 có nghiệm là
9
9
9
9
m
m�
m
m�
4.
4.
4.
4.
A.
B.
C.

D.

x  2  m  1 x  2m  m  8  0
Cho phương trình bậc hai:
, với m là tham số. Mệnh đề nào sau
đây là mệnh đề đúng?
A. Phương trình ln vơ nghiệm với mọi m ��.
B. Phương trình ln có hai nghiệm phân biệt với mọi m ��.
C. Phương trình có duy nhất một nghiệm với mọi m ��.
D. Tồn tại một giá trị m để phương trình có nghiệm kép.
2

(THI HK1 LỚP 11 THPT
 m  3 x 2  2  m  3 x  1  m  0  1
trình 
A. 1 .

Câu 83.

5
m�
4
B.

1

2

VIỆT

TRÌ

2018

-

2019)

Cho

phương

trình

. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương

vô nghiệm?
C. 0 .

B. 2 .

2
Phương trình mx  (2 m  3) x  m  4  0 vô nghiệm khi:
9
9
m
m
28 .
28 .
A.

B.
C. m �0 .

D. 3 .

D. m �0 .

mx 2  2  m  1 x  m  1  0
(THPT Phan Bội Châu - KTHK 1-17-18) Tìm m để phương trình
vơ nghiệm.
m �1
�
�
m �0 .
A. m  1 .
B. �
C. m  0 và m  1 . D. m  0 và m  1 .
x 2   m  3 x  2m  2  0
Tập hợp các giá trị của tham số m để phương trình
có đúng một
�;3
nghiệm thuộc 
là
�; 2 � 1
1 � 2; �
1 � 2; �
2; �
A. 
.
B.   

.
C.   
.
D. 
.
2
x � 0; 4
Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình x  2 x  3  m  0 có nghiệm
.
m � �;5
m � 4; 3
m � 4;5
m � 3; �
A.
.
B.
.
C.
.
D.

2
Tìm tất cả các giá trị thực của m để phương trình x  4 x  6  3m  0
1;5 ?
đúng hai nghiệm thuộc đoạn  

9

có

2
2
1 �m � .
1 �m   .
3
3
A.
.
B.
11
2
11
 �m � .
 �m �1.
3
C. 3
.
D. 3
DẠNG 5.1.3 PHƯƠNG TRÌNH CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI

Câu 88.

Câu 89.

Câu 90.

Phương trình
A. m  �2 .

2

 4  x  2  2018
B. m  2 .

vô nghiệm khi và chỉ khi
C. m  2 .

D. 2  m  2 .

2 x  5m  2 x  3m
Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình
có nghiệm.
m � 0; �
m � 0; �
m � �; 0 
m � �; �
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
2
Cho phương trình m x  6  4 x  3m . Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?

A. Khi
B. Khi

C. Khi
D. Khi
Câu 91.

m

.

m  2 , phương trình đã cho có tập nghiệm là R .
m  2 , phương trình đã cho vơ nghiệm.
m ��2 , phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt.
m  2 , phương trình có nghiệm duy nhất.

Điều kiện cần và đủ để phương trình
nghiệm phân biệt là:
A. m  2 .
B. m  1 .

x 1  x  2  x  3  m

( với m là tham số thực) có hai

C. m  1 .

D. m  2 .

x2  6 x  5  m
m
Câu 92. Có bao nhiêu giá trị nguyên của
để phương trình

có 8 nghiệm phân biệt?
A. 3 .
B. 4 .
C. 2 .
D. 1 .
Câu 93.

Câu 94.

x2  4  m  1
Số giá trị ngun của m để phương trình
có bốn nghiệm phân biệt là:
A. 4 .
B. 2 .
C. 3 .
D. 5 .
(KSCL lần 1 lớp 11 Yên Lạc-Vĩnh Phúc-1819) Phương trình
nghiệm phân biệt khi.
A. 1  m �3

Câu 95.

Câu 96.

.

B. 1  m  3 .

C. 1 �m �3 .

x 2  4 x  3  m  0  *

có bốn

m3
�
�
m  1 .
D. �

x 2  2 x  3x  x 2  m
Tìm tất cả giá trị thực của tham số m để phương trình
có nghiệm
m � 0; 2 
A. m �(�;0] �[2; �) .B. m �[0; �) .
C. m ��.
D.
.
2
Hàm số y  x  4 x  1 có bảng biến thiên như hình vẽ bên. Có bao nhiêu giá trị ngun của m
 x2  4 x  1  m
để phương trình
có 4 nghiệm phân biệt.

10


A. 3 .
B. Vơ số.
DẠNG 5.1.4 PHƯƠNG TRÌNH CHỨA MẪU

Câu 97.

C. 4 .

D. 0 .

(Chuyên Lam Sơn-KSCL-lần 2-2018-2019) Tìm giá trị của tham số
1
� 1�
x 2  2  m 2  m  2 �x  � m3  2m  2  0
x
� x�
trình
có nghiệm thực.



m  m ��

để phương



A. 0 �m �2 .

B. m �2 .

C. " m ��.

D. m �- 2 .

2mx  1
3
Câu 98. (KSCL lần 1 lớp 11 Yên Lạc-Vĩnh Phúc-1819) Phương trình x  1
có nghiệm duy nhất
khi
3
3
1
3
m�
m�
m�
m�
2.
2.
2 và
2 . Lời
A. m �0 .
B.
C. m �0 và
D.
giải
2 x  3m x  2

3
x 1
Câu 99.
Gọi S là tập các giá trị của m để phương trình x  2

vơ nghiệm. Tính bình
S
.
phương của tổng các phần tử của tập
121
49
65
16
.
.
.
.
9
B. 9
C. 9
D. 9
A.

x 1
x

Câu 100. Có bao nhiêu giá trị tham số a để phương trình x  a  1 x  a  2 vô nghiệm?
A. 4 .
B. 5 .
C. 2 .
D. 3 .

3x2  2 x  1
x 2  2x  3 có tập giá trị S   a; b  . Tính giá trị biểu thức a 2  b 2  ab
Câu 101. Hàm số

A. 35 .
B. 25 .
C. 45 .
D. 55 .
DẠNG 5.1.5 PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN
y

Câu 102. Cho phương trình
A. m  4 .

2 x 2  6 x  m  x  1 . Tìm m để phương trình có một nghiệm duy nhất
B. 4  m  5 .
C. 3  m  4 .
D. m  4 .

Câu 103. Tìm m để phương trình

2x 2  x  2m  x  2 có nghiệm. Đáp số nào sau đây đúng?

11


A.

m �

25
4 .

B. m �3 .

C. m �0 .

D.

m �

25
8 .

2
Câu 104. (HKI XUÂN PHƯƠNG - HN) Tìm m để phương trình 2 x  2 x  2m  x  2 có nghiệm.
m � 1; �
A. m �1 .
B.
.
C. m  2 .
D. m �2 .

Câu 105. Với mọi giá trị dương của m phương trình
A. 2.
B. 1.
Câu 106. Cho phương trình
cho vơ nghiệm.
� 1 15 �
m ��
 ; �
� 3 4 �.
A.

x 2  m 2  x  m ln có số nghiệm là
C. 3.

D. 0.

x 2  8 x  m  2 x  1 . Tìm tất cả các giá trị của tham số để phương trình đã

� 1 15 �
m ��
 ; �
� 3 4 �.
B.

� 15 �
m ���; �
� 4 �.
C.

Câu 107. Tập hợp các giá trị thực của tham số m để phương trình
S   a; b 
phân biệt là
. Khi đó giá trị P  a.b là
1
1
1
A. 3 .
B. 6 .
C. 8 .
Câu 108.

Câu 109.

Câu 110.

1�
�
m ��
�;  �
3 �.
�
D.

x 2  2 x  2m  2 x  1 có hai nghiệm

2
D. 3 .

 x 2  4 x  3  2m  3x  x 2  1
1
Cho phương trình
. Để phương trình   có nghiệm thì
2
2
m � a; b 
. Giá trị a  b bằng
A. 4.
B. 2.
C. 1.
D. 3.
2

Số các giá trị nguyên của m để phương trình x  2 x  m  1  2 x  1 có hai nghiệm phân
biệt là
A. 0 .
B. 3 .
C. 1 .
D. 2 .
2
Cho phương trình: 2  x  2  x  2 4  x  m  0 . Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để
phương trình đã cho có nghiệm?
A. 4 .
B. 5 .
C. vơ số.
D. 10 .

4
2
Câu 111. Tìm tất cả giá trị m để phương trình 3 x  1  m x  1  2 x  1 có nghiệm là
1
1
1
1
m
  m �1
 �m  1
  m 1
3.
A.
B. 3
.
C. 3

.
D. 3
.

m 2018  x  (m 2  2) 2018  x
(C )
(m 2  1) x
Câu 112. Cho hàm số
có đồ thị là m , ( m là tham số). Số
(C )
giá trị của m để đồ thị m nhận trục Oy làm trục đối xứng là
A. 0.
B. 1.
C. 2.
D. 3.
y  f ( x) 

2 x  m  x  m
x3
Câu 113. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình
m � �; 1
m � 1; �
m � 1; �
A.
.
B.
.
C.
.
Câu 114. Số các giá trị nguyên của tham số

m � 2018; 2018
12

để phương trình:

0

có nghiệm.

D. m �R .


x 2   2  m  x  4  4 x3  4 x

có nghiệm là
A. 2020 .
Câu 115.

B. 2019 .


Tìm m để phương trình
thuộc khoảng
A. P  10 .

C. 2018 .



D. 2021 .

5m 2  2m  2  m  1  x  1  x 2  x  3  0

 1; 0  , ta được điều kiện

3

m � a ; b 

có ít nhất một nghiệm

2
. Giá trị của biểu thức P  a  2b bằng
C. P  20 .
D. P  15 .

B. P  12 .

x  1  5  x  3.  x  1  5  x   m
Câu 116. Cho phương trình
. Có tất cả bao nhiêu giá trị ngun của
tham số m để phương trình trên có nghiệm?
A. 6 .
B. 8 .
C. 7 .
D. Vơ số.
DẠNG 5.1.6 PHƯƠNG TRÌNH BẬC CAO
4
2

Câu 117. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình: x  2(m  1) x  4m  8  0 có 4 nghiệm
phân biệt.
A. m  2 và m �3 .
B. m  2 .
C. m  1 và m �3 .
D. m  3 .

2019; 2019
Câu 118. (HKI - Sở Vĩnh Phúc - 2018-2019) Tìm tất cả các giá trị nguyên thuộc 
của tham
4
3
2
số m để phương trình x  2mx  x  2mx  1  0 có nghiệm.
A. 2019 .
B. 3039 .
C. 4038 .
D. 4041 .
4
2
3
Câu 119. Số giá trị nguyên không dương của tham số m để phương trình x  4 x  6  m  0 có đúng 2
nghiệm phân biệt là
A. 0 .
B. 1 .
C. 2 .
D. 2018 .
4
3
2

Câu 120. Số các giá trị nguyên âm của m để phương trình x  2 x  3x  2 x  m  0 có nghiệm là
A. 0 .
B. 1 .
C. 2018 .
D. 2019 .

Câu 121. (Kiểm tra HKI - Phan Đình Tùng - Hà Nội năm học 2018-2019) Tìm tất cả các giá trị của
4
3
2
tham số m để phương trình sau có nghiệm dương: x  2 x  (m  1) x  2 x  1  0 (1)
A. m �5 .
B. m �5 .
C. m �4 .
D. m �4 .
Câu 122. Có bao nhiêu giá trị nguyên của m
phân biệt?
A. 30.
B. vơ số.

x
để phương trình
C. 28.

2
Câu 123. Cho hàm số f ( x)  ax  bx  c có đồ thị như hình bên.

13

2

 4x   3 x  2  m  0
2

2

D. 0.

có 4 nghiệm


Hỏi với những giá trị nào của tham số m thì phương trình
biệt?
A. m  3.
B. 2  m  3.
C. m  2 .
Câu 124.

x
A.
C.

Câu 125.

Tìm

2

tất

cả

giá

trị

thực

của

 2 x  4   2m  x  2 x  4   4m  1  0  1
2



.

có đúng 3 nghiệm phân

D. m  3. .

m

số

để

phương

trình

2

m � 4;  � � 2  3
m � 3; 4 

tham

f  x  1  m

.

có đúng hai nghiệm thực phân biệt.
m � �; 2  3 � 2  3;  �
B.
.



 



D. m ��.

4
2
2
x ,x ,x ,x
Biết phương trình x  3mx  m  1  0 có bốn nghiệm phân biệt 1 2 3 4 . Tính

M  x1  x2  x3  x4  x1.x2 .x3 .x4
được kết quả là:
2
2
A. M  m  1.
B. M  3m.
C. M  3m.
D. M   m  1.

Câu 126. Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để phương trình x( x  1)( x  2)( x  3)  m có 4 nghiệm phân
biệt?
A. 0 .
B. 2 .
C. 3 .
D. 1 .
DẠNG 5.2 GIẢI VÀ BIỆN LUẬN PHƯƠNG TRÌNH CĨ NGHIỆM THỎA MÃN YÊU CẦU CHO
TRƯỚC

m  1 x 2   m 2  1 x  3  0

m
Câu 127. Tìm tất cả các giá trị của tham số
để phương trình
có hai
nghiệm trái dấu?
A. m  1
B. m  0
C. m  0
D. m  1
2

Câu 128. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình x  2 x  m  1  0 có hai nghiệm trái dấu.
A. m �2 .
B. m  1 .
C. m �1 .
D. m  2 .
2
Câu 129. Phương trình (m  1) x  2(m  1) x  m  2  0 có hai nghiệm trái dấu khi nào?
A. 1  m  3 .
B. 1  m  2 .
C. 2  m  1 .
D. 1  m  2 .

Câu 130.

m  2  x 2  2  m  1 x  m  7  0
Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình 
có hai nghiệm
trái dấu.
m �7
m7
�
�
�
�
m2
m2
A. �
.
B. 2 �m �7 .
C. 2  m  7 .

D. �
.

2
2
Câu 131. Phương trình x  2mx  m  3m  2  0 có hai nghiệm trái dấu khi
m � 1; 2 
m � �;1 � 2;  �
A.
B.
2
�
�
�2
�
m �� ;  ��
m �� ;  ��
3
�
�
�3
�
C.
D.

Câu 132. Phương trình
�  0
�
A. �P  0 .

ax 2  bx  c  0  a �0 

có hai nghiệm âm phân biệt khi và chỉ khi:
0
0
�
�
�
�
0
�
�P  0
�P  0
�
�S  0
�S  0
B. �
.
C. �
.
D. �S  0 .
14


Câu 133.

(TH&TT LẦN 1 – THÁNG 12) Giá trị nào của
mx 2  2  m  1 x  m  1  0
có hai nghiệm phân biệt dương?
m  1

�
�
0  m 1.
A. m  1 và m �0 .
B. 0  m  1 .
C. �

m

làm cho phương trình

D. m  0 .

mx 2 - 2 ( m - 2) x + m - 3 = 0
Câu 134. Với giá trị nào của m thì phương trình
có 2 nghiệm dương phân
biệt?
�
m <0
�
�
3A. 3 < m < 4 .
B. m > 4 .
C. �
D. m < 0 .
x 2  2  m  1 x  9m  5  0
Câu 135. Phương trình
có hai nghiệm âm phân biệt khi
�5 �

m �� ;1�� 6; �
m � 2;6 
m � 6; �
m � 2;1
�9 �
A.
. B.
.
C.
.
D.
.
m  2  x 2  2mx  m  3  0
Câu 136. Giá trị của m làm cho phương trình 
có 2 nghiệm dương phân biệt là
m

6.
m

6
m
�
2
2

m

6
A.

B.
và
. C.
hoặc m  3 . D. m  0 hoặc
2 m6.
m  1 x 2  2mx  3m  2  0
Câu 137. Tìm m để phương trình 
có hai nghiệm dương phân biệt.
1
m
2.
A. m  0;1  m  2 .
B. 1  m  2 .
C. m  2 .
D.
2
Câu 138. Phương trình x  6 x  m  2  0 có hai nghiệm dương phân biệt khi
A. 2  m  11 .
B. 0  m  11 .
C. 2  m  11 .

D. 2 �m �11 .





 m  2  x 2  2 m2  1 mx  m  1  0 có hai
Câu 139. Có bao nhiêu giá trị của tham số m để phương trình
nghiệm phân biệt và là hai số đối nhau?

A. 0 .
B. 1.
C. 3 .
D. 2 .
Câu 140.

x 2  2  m  2  x  m2  m  6  0
Cho phương trình
. Tìm tất cả giá trị m để phương trình có hai
nghiệm đối nhau?
A. Khơng có giá trị m. B. m  3 hoặc m  2 .
C. 3  m  2 .
D. m  2 .

2
Câu 141. Có bao nhiêu giá trị m sao cho phương trình x  2mx  4  0 có 2 nghiệm phân biệt x1 , x2 thỏa
2
2
mãn x1  x1 x2  x2  4 ?

A. 2.

B. 0.

C. 4.

D. 1.

Câu 142. Giả sử x1 , x 2 là nghiệm của phương trình x   m  2  x  m  1  0 . Khi đó giá trị lớn nhất của
2

2

biểu thức P  4  x1  x 2   x1 x 2 bằng
95
A. 9 .

C. 7 .

B. 11 .

1
D. 9 .

m  2  x 2  2  m 2  1 mx  m  1  0

m
Câu 143. Có bao nhiêu giá trị ngun của tham số
để phương trình
có hai nghiệm phân biệt và là hai số đối nhau?
A. 0.
B. 1.
C. 3.
D. 2.
15


2
2
m1 m2

;
là hai giá trị khác nhau của m để phương trình x  3x  m  3m  4  0 có hai
x x
x  2 x2
m  m2  m1m2
nghiệm phân biệt 1 ; 2 sao cho 1
. Tính 1
.
A. 4 .
B. 3 .
C. 5 .
D. 6 .

Câu 144. Gọi

Câu 145. Có bao nhiêu giá trị của tham số m để phương trình
1
1
3 
x
x2
trái dấu x1 , x2 và thỏa mãn 1
?
A. 1 .
B. 2 .
C. 0 .
Câu 146.

x 2  2  m  1 x  3m  2  0

có hai nghiệm

D. 3 .

(THI HK1 LỚP 11 THPT VIỆT TRÌ 2018 - 2019) Cho phương trình
x  2  m  1 x  m 2  2  0
x ;x
, với m là tham số. Giá trị m để phương trình có 2 nghiệm 1 2 sao
2

A  2  x12  x2 2   16  3x1 x2

cho
biểu thức đạt giá trị lớn nhất là một phân số tối giản có dạng
a
 a, b ��, b  0 
b
. Khi đó 2a  3b bằng :
A. 6 .
B. 4 .
C. 5 .
D. 7 .
2
x
x
Câu 147. Cho phương trình x  2(m  1) x  2m  3  0 ( m là tham số) có hai nghiệm là 1 và 2 . Phương
3x1 3x 2
trình nào dưới đây có hai nghiệm là
và
?

2
t  6(m  1) x  9  2m  3  0
A.
.
2
t  6(m  1) x  9  2m  3   0
B.
.
2
t  6(m  1) x  6  2m  3  0
C.
.
2
t  6(m  1) x  6  2m  3  0
D.
.

Câu 148.

2
Cho phương trình: ( m  1) x  2(m  2) x  m  1  0 , với m là tham số. Có bao nhiêu giá trị
nguyên của tham số m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 sao cho A  x1  x2  x1 x2
là số một nguyên?
A. 3 .
B. 4 .
C. 5 .
D. 6 .

2
Câu 149. Gọi x1 , x2 là hai nghiệm thực của phương trình x  mx  m  1  0 ( m là tham số). Tìm giá trị

2 x1 x2  3
P 2
x1  x22  2  x1 x2  1
nhỏ nhất của biểu thức
.
1
Pmin  
2.
A.
B. Pmin  2 .
C. Pmin  0 .
D. Pmin  1 .
2
2
x x
Câu 150. Tìm m để phương trình x  mx  m  3  0 có hai nghiệm 1 , 2 là độ dài các cạnh góc vng
của một tam giác vng với cạnh huyền có độ dài bằng 2 .
A. m  2 .
B. m  � 3 .

C. m  � 2 .

D. khơng có giá trị nào của m .

16


PHẦN B. LỜI GIẢI THAM KHẢO
DẠNG 1. PHƯƠNG TRÌNH CHỨA ẨN TRONG DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI
DẠNG 1.1 PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT

Câu 1.
Chọn C
x 1  2
x3
�
�
x 1  2 � �
��
x  1  2
x  1 .
�
�
Ta có:
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm x  3; x  1 .
Câu 2.

Câu 3.

Câu 4.

Câu 5.

Chọn A
1
x �  1
� 3 x  1  2 x  5 � x  4 (loại).
3:
Với
1
6

x
x
1


� 1  3x  2 x  5 �
3:
5 (loại).
Với
1
Vậy phương trình   vô nghiệm.
Chọn D
 x  0 luôn thỏa mãn phương trình.
Chọn D
Ta có:
� 10
x
�
3x  4  6
�
3
��
��
3 x  4  6
2
�
�
x
3x  4  6
�

3
�
10
x0 
3 .
Suy ra
Chọn A
Bảng khử giá trị tuyệt đối

Câu 6.

5
1
3
Trường hợp 1: x �1
loại.
(1) �   2 x  4    x  1  0 � x  3 � 1; 2
Trường hợp 2: 1  x �2
loại.
5
(1) �  2 x  4    x  1  0 � x   2
3
Trường hợp 3: x  2
loại.
Chọn A
1
�
x �
�
2 x  1 �0

�
2
�
�
x 1  2x 1 � �
x0 � x0
x  1  2 x  1 � ��
�
�
�
x  1  2 x  1 ��
2
�
�
��
x
3
��
.

Câu 7.

Chọn D

(1) �   2 x  4    x  1  0 � x 

3  x  2 x  5 �  3  x    2 x  5  �  x  2   3 x  8   0
2

Phương trình

2

17


Câu 8.

x1  2
�
14
�
�
� x1  x2 
8
�
3
x2 
� 3
.
Chọn C
Trường hợp 1: 5 x  4  x  4 � x  0 ( thỏa mãn )
Trường hợp 2:

Câu 9.

5 x  4  ( x  4) � 6 x  8  0 � x  

4
3 (Thỏa mãn )

x0
�
�
4
�
x
3
Vậy phương trình có 2 nghiệm �
Chọn A

� 1
2 x  1 �0
�
�x �
�
� 2
x  2  2 x  1 � ��
� x 1
x  2  2x 1 � �
x  1
�
�
�x  2  2 x  1 �
�
��
�
x 1
��
Ta có

.
Câu 10. Chọn B
x  1
�
3x  2  x  4
�
�
3x  2  x  4 � �
�
3
�
3x  2    x  4 
x
�
� 2
3
a  1, b 
2 . Do đó M  3a  2b  0
Vậy
Câu 11. Chọn D
Ta có:

�
� 2�
3x  2  x �x � � �
x 1
�
3� �
�
3x  2  x � �

�
1
�
x
� 2� �
2  3x  x �x  � � 2
�
� 3�
�
Câu 12.

Vậy số nghiệm nguyên của phương trình là 1.
Chọn A
�
�
�x  2 �0
�x �2
�x �2
�
�
2
�
� 2
2
� �2
2
2
2
x 1  x  2
 x  x  1  x  x  3  0 �x  x  3  0

 x  1   x  2 
�
�
�x �2
�
�
13  1
�
��
x
��
2
�
��
 13  1
��
x
2
��
Vô nghiệm.
2
(Giải thích: Phương trình x  x  1  0 vơ nghiệm).

DẠNG 1.2 PHƯƠNG TRÌNH BẬC 2
Câu 13. Chọn A
18


x  2  3x 2  x  2

.

�
�
�x  2 �0
�x �2
�
�
�
� 2
2
3x  2 x  0
2 3
�x  2  3 x  x  2
�
�
�
��
��
� x�
.
3
x  2 �0
x �2
�
�
�
�
�
� 2

2
�
�

x

2

3
x

x

2
3x  4  0
�
�
�
�
Vậy tổng các nghiệm của phương trình là 0 .
Câu 14. Chọn C
2
2
2 x 2  3 x  2  x  2 �  2 x 2  3x  2    x  2 

� 4 x 4  9 x 2  4  12 x3  8 x 2  12 x  x 2  4 x  4
3
2
� 4 x 4  12 x3  8 x  0 � x  4 x  12 x  8   0
� 4 x  x  1  x 2  2 x  2   0

x0
�
�
x  1 3
��
�
x  1 3
�
�
x 1
�
� S  0  (1  3)  (1  3)  1  3 .

Câu 15.

Chọn B
� 1
x
�
x2  2 x  1  x2  2
x  2 x  1  x  2 � �2
�� 2
2
� 2
x  2x 1  x  2
�
2x  2x  3  0
�
Ta có
2

2

 **

 *

 *
 **
x

có tổng hai nghiệm là 1 , phương trình
có nghiệm là
3
.
nghiệm của phương trình đã cho là 2
Câu 16. Chọn D
�x �2
x

2
�
0
�
� 2
�
x2  2x  8  x  2 � � 2
� ��
x  2x  8  x  2
 x  2 x  8  � x  2  ��x2  2 x  8   x  2

�
��
Ta có
�
�x �2
�
�x 2
�
�2
�
�
�x  x  6  0
�x  2, x  3
�
�
��
�
� x2
�
x �2
x �2
�
�
�
�
�
�2
�
x


3
x

10

0
�x  2, x  5
�
�
�
.
Phương trình

Câu 17.

DẠNG 2. PHƯƠNG TRÌNH CHỨA ẨN Ở MẪU
Chọn D

19

1
2 nên tổng các


�x �2
�
Điều kiện xác định: �x �2 . Với điều kiện đó phương trình đã cho tương đương với phương
x  3
�
( x  1)( x  2)

4
 2
� ( x  1)( x  2)  4 � x 2  x  6  0 � �
2
x2
x 4
x 4
�
trình
So sánh điều kiện xác định, PT có 1 nghiệm x  3 .
Câu 18. Chọn B
� 3
�x �
� 2
�
Điều kiện xác định: �x �1
x 1
4
2
 3 
x  1 � x  1  3  2 x  3   x  1  4  2 x  3
Khi đó, phương trình 2 x  3

� 11  65
x
�
14
��
� 11  65
x

�
2
�
14
� 7 x  11x  2  0
11  65
11  65
x
x
14
14
Vậy phương trình có hai nghiệm
và
. Từ đó suy ra a  11 , b  65 ,
c  14 . Vậy T  1 .
Câu 19. Chọn B
�x 2  x  2 �0
�x �1
��
�2
x  x  2 �0
�x �2 .
Điều kiện: �
2
Đặt t  x  x với t ��2
1
1

 1 � t  2   t  2   t  2  t  2
� t2  0 � t  0 .

Phương trình trở thành: t  2 t  2
x0
�
x2  x  0 � �
x  1 ( Thỏa mãn đk). Vậy tích các nghiệm là 0 .
�
Khi đó:
Câu 20. Chọn D
�x �1
�
Điều kiện xác định �x �2 .

x2  2 x  2
1
1

 2
x 1
x2
x2
2
x  2x  2
�
2
x 1

� x2  4 x  4  0

� x  2 (loại)
Vậy số nghiệm của phương trình bằng 0.

Câu 21. Chọn B

ĐK x �3 .

20


� 3  13
x
�3,3
�
x 2  3x  2
2
  x � x 2  3x  2   x  x  3 � 2 x2  6 x  2  0 � �
3  13
x3
�
x
�0,3
�
2
.
�x
Câu 22.

3  13 � 1 1 �
�� ; �
2
� 2 2 �.

Chọn D
Gọi x km/giờ là vận tốc trung bình lúc đi ( x > 0)
175
Khi đó thời gian lúc đi là x giờ
175
Thời gian lúc về là x + 20

�
x = 50
�
��
35
175
175
�
x =+
=6
2
�
3
x + 20
� 6 x - 230 x - 3500 = 0
�
Theo đề bài ta có x
Vậy vận tốc trung bình lúc đi là 50 km/giờ.
DẠNG 3. PHƯƠNG TRÌNH CHỨA ẨN DƯỚI CĂN
Câu 23. Chọn D
�
�x  3  0
�x  3

�x  3
��
� �2
2 � �
2
2 x  3   x  3
2x  3  x  6x  9
�
2x  3  x  3
�
�x  8 x  12  0
�x  3
�
��
x6� x6
�
�
�
x2
�
�
.
Câu 24. Chọn D
Số giao điểm giữa đồ thị hàm số y  3x  4 và đường thẳng y  x  3 là số nghiệm của phương
trình hồnh độ giao điểm:
x  3 �0
�
�
x �3
x �3

�
�
��
2
2 �
� �2
�
2
3
x

4

x

3


�
3x  4  x  6 x  9
3x  4  x  3
�
�
�x  9 x  13  0
� x �3
�
� 9  29
�
��
x

��
2
�
��
9  29
9  29
��
x
�x
2
��
2
.
Vậy đồ thị hàm số y  3x  4 và đường thẳng y  x  3 có 1 giao điểm chung.



Câu 25.



Chọn C
2 0
+) Với điều kiện x �۳

x

2 ta có phương trình đã cho tương đương với phương
x  1( L)
�

2 x  1  ( x  2) 2 � x 2  6 x  5  0 � �
x  5(t / m) .
�
trình:
21


Câu 26.

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x  5 .
Chọn A
�x �0
x 1
�
�
� ��
�x �0
�x �0
x2��
��
� �2
x2
�
��
x 1
3x  2  x 2
3x  2  x
�
�x  3 x  2  0
��

Ta có
Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm.
Câu 27. Chọn A





�
�x �6
x  6 �0
x �6
� 2
� ��
x  2 � x  15
2
5 x  6  x  12 x  36
x  17 x  30  0
x  15
�
�
��
.
x

15
Vây phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là
.
5x  6  x  6 �

Câu 28.

Chọn B

Ta có

�x
Câu 29.

� 1
x�
�
� 1
2
�
2
x

1
�
0
�
��
�
�x �
4x  7  2x 1 � �
2
2 � �
�x  2 � 10

�4 x  7   2 x  1
�4 x 2  8 x  6  0
�
2
�

2  10
2  10
x
2
2 .
. Vậy

Chọn D

2 x  2 �0
�
�
�� 2
2
 x  4x   2 x  2
�
 x2  4 x  2 x  2
Vậy x  2 là nghiệm của phương trình.
Câu 30. Chọn C
2
Ta có: x  2 x  5  0, x ��

�x �1
�

x  2  n
��
� ��
�x �1
�� 2
�� 2
x   l
�
5 x  12 x  4  0
�� 5
�
.

2
Đặt t  x  2 x  5 , ta có phương trình trở thành t  t  2
�t �2
�
� t �2
� t �2
�
t t 2 � �
� ��
t 1 �t  4
2 � �2
t  5t  4  0 �
t   t  2
�
�
�
t4

�
�
.

4  x 2  2 x  5 �  x  1  0 � x  1
2

Khi đó
. Thử lại ta thấy x  1 thỏa mãn.
Suy ra phương trình đã cho có một nghiệm.
Câu 31. Chọn B
2
Ta có: x  x  1  0, x ��
x2  x  1  x2  x  1 � x2  x  1  x2  x  1  2  0 �

� x 2  x  1  1  vn 
��
� x 2  x  1  2 (1)
�
22





2

x2  x  1  x2  x  1  2  0

(1) � x 2  x  1  2 � x 2  x  3  0
3
x1.x2 
 3
1
Do đó:
.
Câu 32.
Lời giải
Chọn B

Ta có :
Câu 33. Chọn C

�
�x  1 �0
�x �1
�� 2
2 � �
2
�2 x  3x  5   x  1
2 x2  3x  5  x  1
�x  x  6  0 � x  2 .

�
�x  2 �0
3x 2  9 x  7  x  2 � � 2
2
3x  9 x  7   x  2 
�

�x �2
�
�x  1
� ��
� 3 � x ��.
�x  2 �0
��
�� 2
x
�
2
x

5
x

3

0
�
�� 2
Vậy phương trình vơ nghiệm.
Câu 34. Chọn B
Điều kiện xác định: x ��
3 x  1 �0
�
�
x2  3  3 x  1 � �2
2
�x  3   3x  1

� 1
�x �3
� 1
�
�x �
�� 3
� ��
x 1 � x 1
2
�
�
�
8x  6 x  2  0
1
�
��
x
4
��
Kết luận.
Câu 35. Chọn C

�x �7
7  x �0
�
�x �7
�
�
x  x  12  7  x � � 2
� � 61

2 � �
13x  61 �x   tm 
�
�x  x  12   7  x 
� 13
Ta có:
.
61
x
13 .
Vậy phương trình có nghiệm là
Câu 36. Chọn B
2

x  2 x 2  3x  1  1 .

�x  1 �0
�x �1
�
� 2 x 2  3x  1  x  1 � � 2
� x 1
2 � �2
2 x  3 x  1   x  1
�
�x  x  0
Vậy số nghiệm của phương trình là 1 .
Câu 37.

Chọn

A.

Phương trình

x 2 - 3x +86 - 19 x 2 - 3x +16 = 0 � x 2 - 3x +16 - 19 x 2 - 3x +16 + 70 = 0 ( *)

23


�
t = 14 ( n)
2
�
*
�
t
19
t
+
70
=
0
�
( )
�
2
t = 5 ( n)
�
Đặt t = x - 3x +16 , t �0 . Khi đó
�

x = 15
t = 14 � x 2 - 3 x +16 = 14 � x 2 - 3 x - 180 = 0 � �
�
x =- 12 .
�
Với

� 3 +3 5
�
x=
�
2
2
2
�
t = 5 � x - 3 x +16 = 5 � x - 3x - 9 = 0 �
� 3- 3 5
�
x=
�
2
�

Với
Vậy phương trình đã cho có 4 nghiệm.
Câu 38. Chọn B
Ta có

Câu 39.

 x  1  x  3  3

.

x2  4x  5  2  0

� x 2  4 x  5  3 x2  4 x  5  4  0 � x 2  4 x  5  1
� x 2  4 x  5  1 � x2  4 x  4  0 � x  2 .
Chọn B
2
Điều kiện xác định x  5 x  10 �0 � x ��.

Khi đó phương trình � x  5 x  10  2 x  5 x  10  8  0
� x 2  5 x  10  2
x1  3
�
��
� x 2  5 x  10  2 � x 2  5 x  6  0 � �
2
�
x2  2
� x  5 x  10  4
�
.
2

2

2
2

2
2
Vậy x1  x2  2  3  13 .

Câu 40.

Chọn C
�x  2 �0
�
� �� x  2  0
�
��2
x  3x  2  0
��
x  2 x 2  3x  2  0



Ta có



�x �2
�
x2
��
� x  2.
��
x 1
��

��
x2
��

Vậy tập nghiệm của phương trình là S  {2}.
Câu 41. Chọn D
�x2  1�0
۳ x 1
�
2
x

1
�
0
�
+) Điều kiện
.



x 1
2

+)

�
� x2  1  0
x2  1 0 1
2x  1 x  0 � �

��
�
�
2
x

1

x

0
�
� 2x  1  x 2



�
x  1 n
x2  1 0 � �
x  1 l 
1
�
Giải   :

�
x  1 2  n
2x  1  x � 2x  1 x2  do x �1 � x2  2x  1 0 � �
�
x  1 2  l 
�

2
Giải   :
Vậy số nghiệm của phương trình là 2.

24


Câu 42.
Lời Giải
Chọn D
2 0 x 2
Điều kiện: x �۳
 x 2  4 x  3 x  2  0
�
x2  4x  3  0
��
�
�x 2  0

Câu 43.

Chọn A
ĐKXĐ:

x  1(l )
�
�
x  3(n)
�

�
x  2( n)
�

.

x �1.

x  1
�
�
x2  x  2  0
�
 x  x  2  . x  1  0 � �x  1  0 � �x  2
�
�
x  1.
�
2

Biến đổi:

Đối chiếu điều kiện ta được x  1, x  2
Câu 44. Chọn A
2 0
x 2.
Điều kiện x �۳
Với điều kiện trên, phương trình đã cho tương đương với
x2 0
x2

�
�
��
�2
x  1, x  3
x  4x  3  0
�
�
. So với điều kiện chỉ có x  2 , x  3 thỏa.
S   2;3
Vậy tập nghiệm của phương trình là
.
Câu 45. Chọn A
Điều kiện: x �1.
�
x  1
2
�
x

x

2

0
�
x2  x  2 . x  1  0 � �
��
x 2
�x 1 0

�
x1
�
So sánh điều kiện kết luận phương trình có nghiệm x  1; x  2.



Câu 46.



Chọn C

x

2

 6 x  17  x 2  x 2  6 x �  x 2  6 x 





17  x 2  1  0

�
��
x  0(TM )
�
�x 2  6 x  0

�
��
x  6( L)
�
�
x0
�
��
�
17  x 2 �0 � �
��
�
�
�
�
x  �4
�
�
�x � 17
�
2
�17  x  1 �
17  x 2  1
�
Vậy phương trình có 3 nghiệm phân biệt.
Câu 47.
Lời giải
Chọn B

 ) Điều kiện:

2 x �۳
7 0

x

7
2.
25