Toán 10 Bài 2 PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN

CHƯƠNG 3
BÀI 2. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRỊN
Mục tiêu
 Kiến thức
+ Trình bày được cách viết phương trình tổng quát của đường trịn.
+ Nhận biết được các dạng của phương trình đường trịn.
+ Trình bày được các điều kiện để xác định vị trí tương đối của hai đường trịn, một điểm với
đường trịn.
+ Trình bày được cách viết phương trình tiếp tuyến đường trịn.
 Kĩ năng
+

Viết phương trình đường trịn tâm I ( a;b) bán kính R.

+

Xác định được tâm và bán kính của một đường trịn khi biết phương trình đường trịn.

+

Viết được phương trình tiếp tuyến với đường tròn khi biết tọa độ của tiếp điểm.

Trang 1


I. LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM
Phương trình đường trịn
Phương trình đường trịn ( C ) có tâm I ( a;b) , bán kính R là

( C ) : ( x − a)

2

+ ( y − a) = R2
2

hoặc x2 + y2 − 2ax − 2by + c = 0 , trong đó R = a2 + b2 − c .
Phương trình tiếp tuyến
Cho điểm M ( x0 ; y0 ) nằm trên đường trịn ( C ) . Phương trình
tiếp tuyến với ( C ) tại M là
∆ : ( x0 − a) ( x − x0 ) + ( y0 − b) ( y − y0 ) = 0

II. CÁC DẠNG BÀI TẬP
Dạng 1: Nhận dạng phương trình đường trịn.
Xác định tâm, bán kính của đường trịn
Bài tốn 1. Nhận dạng đường trịn
Phương pháp giải
Cách 1.

Ví dụ:

Đưa phương trình về dạng

a) x2 + y2 + 2x + 2y + 3 = 0 .

( C ) : x2 + y2 − 2ax − 2by + c = 0. (1)

Phương trình có dạng: x2 + y2 − 2ax − 2by + c = 0 .

Xét dấu biểu thức M = a2 + b2 − c .

với a = −1, b = −1 và c = 3.

• Nếu M > 0 thì (1) là phương trình đường trịn.

Ta có M = a2 + b2 − c = ( −1) + ( −1) − 3 = −1 < 0 .

• Nếu M ≤ 0 thì (1) khơng phải là phương trình
đường trịn.

2

Vậy phương trình trên khơng phải là phương trình
đường trịn.

Cách 2.

b) x2 − 6x + y2 + 4y − 7 = 0

Đưa phương trình về dạng

Ta có x2 − 6x + y2 + 4y − 7 = 0

( C ) : ( x − a)

2

2

+ ( y − b) = M . (2)
2

• Nếu M > 0 thì (2) là phương trình đường trịn.
• Nếu M ≤ 0 thì (2) khơng phải là phương trình

⇔ ( x − 3) + ( y + 2) = 20 .
2

2

Vậy phương trình trên là phương trình đường trịn.

đường trịn.
Ví dụ mẫu
Ví dụ 1. Trong các phương trình sau, phương trình nào biểu diễn đường trịn?
Trang 2


a) x2 + y2 + 2x + 6y − 15 = 0
b) 2x2 + 2y2 + 8x − 4y + 14 = 0.
Hướng dẫn giải
 −2a = 2 a = −1
2
2


2
2
a) Ta có  −2b = 6 ⇔ b = −3 ⇒ M = a + b − c = ( −1) + ( −3) − ( −15) = 25 > 0
c = −15
c = −15



Vậy phương trình trên là phương trình đường trịn.
b) Ta có 2x2 + 2y2 + 8x − 4y + 14 = 0 ⇔ x2 + y2 + 4x − 2y + 7 = 0 .
 −2a = 4
 a = −2


Khi đó  −2b = −2 ⇔  b = 1
c = 7
c = 7


⇒ M = a2 + b2 − c = ( −2) + 12 − 7 = −2 < 0
2

Vậy phương trình trên khơng phải là phương trình đường trịn.
Lưu ý: Khi xét một phương trình có phải là phương trình đường tròn, trước tiên ta quan sát hệ số của
x2 và y2. Hệ số của x2 và y2 khác nhau thì phương trình khơng phải là phương trình đường trịn.
Ví dụ 2. Phương trình nào sau đây là phương trình của đường tròn?
(I) x2 + y2 − 4x + 15y − 12 = 0
(II) x2 + y2 − 3x + 4y + 20 = 0
(III) 2x2 + 2y2 − 4x + 6y + 1 = 0
A. Chỉ (I).

B. Chỉ (II).

C. Chỉ (III).

D. Chỉ (I) và (III).

Hướng dẫn giải
2

289
 −15
(I) có a2 + b2 − c = 4 + 
+ 12 =
> 0.
÷
4
 2 
2

2

55
 3   −4 
(II) có a2 + b2 − c =  ÷ +  ÷ − 20 = − < 0 .
4
 2  2 
2
2
(III) ⇔ x + y − 2x − 3y +

1
= 0. Phương trình này có
2

2

 3  1 11
a + b − c = 1+  ÷ − =
> 0.
 2 2 4
2

2

Vậy chỉ có (I) và (III) là phương trình đường trịn.
Chọn D.
Ví dụ 3. Để x2 + y2 − ax − by + c = 0 (1) là phương trình đường trịn. Điều kiện cần và đủ là
A. a2 + b2 − c > 0

B. a2 + b2 − c ≥ 0

C. a2 + b2 − 4c > 0

D. a2 + b2 + 4c > 0
Trang 3


Hướng dẫn giải
Ta có: x2 + y2 − ax − by + c = 0

(1)

2

2

2
2
a
b
 a
 b a b
⇔ x2 − 2. .x +  ÷ + y2 − 2. .y +  ÷ − − + c = 0
2
2
4 4
 2
 2
2

2

a 
b
a2 b2

⇔  x − ÷ +  y− ÷ =
+
− c.
2 
2
4 4

Vậy điều kiện để (1) là phương trình đường trịn là:
a2 b2

+
− c > 0 ⇔ a2 + b2 − 4c > 0
4 4
Chọn C.
Bài tốn 2. Xác định tâm và bán kính của đường trịn
Phương pháp giải
• Phương trình đường trịn dạng

( x − a)

2

+ ( y − b) = R2 có tâm I ( a;b) và R là
2

Ví dụ:
a) ( x − 2) + ( y + 1) = 16 .
2

2

• Phương trình đường trịn dạng

Ta có tâm I ( 2;−1) và bán kính R = 16 = 4 .
b) x2 + y2 − 2x − 2y + 1 = 0

x2 + y2 − 2ax − 2by + c = 0 có tâm I ( a;b) và bán

Ta có a = 1; b = 1; c = 1 nên tâm I ( 1;1) và

kính R = a2 + b2 − c .

bán kính R = 12 + 12 − 1 = 1.

bán kính

Chú ý: Những bài tốn khơng cho phương trình
đường trịn ở dạng tường minh ta phải đi tìm bán
kính và tâm thơng qua các yếu tố hình học.
Ví dụ mẫu
Ví dụ 1. Tìm tọa độ tâm và bán kính của các đường tròn sau:
a) ( x + 1) + ( y − 2) = 25
2

2

b) x2 + y2 − 7x − 11y + 10 = 0
c) 4x2 + 4y2 − 16x + 40y + 80 = 0
Hướng dẫn giải
a) Đường tròn ( x + 1) + ( y − 2) = 25 có tâm I ( −1;2) và bán kính R = 25 = 5
2

2

b)
Mẹo: Phương trình
đường trịn dạng
x2 + y2 + Ax + By + C = 0
thì đường trịn có tâm
Trang 4

 A B
là I  ; ÷ .
 −2 −2 

7

a = 2
 −2a = −7

11


Ta có  −2b = −11 ⇔ b = .
2
c = 10


c = 10


2
2
 7 11
7
11
130





2
2
Vậy tâm I  ; ÷ và bán kính R = a + b − c =  ÷ +  ÷ − 10 =
.
2 2
2
 2  2 

c) Ta có 4x2 + 4y2 − 16x + 40y + 80 = 0 ⇔ x2 + y2 − 4x + 10y + 20 = 0

Chú ý: Trước khi đi
tìm các yếu tố của
đường tròn cần đưa
các hệ số của x2 ; y2
về 1.

 −2a = −4 a = 2


⇒  −2b = 10 ⇔ b = −5
c = 20
c = 20


2
Vậy tâm I ( 2;−5) và bán kính R = a2 + b2 − c = 22 + ( −5) − 20 = 3.

Ví dụ 2. Tâm đường trịn đi qua ba điểm A( 0;0) , B( 0;6) , C ( 8;0) là

Tâm đường trịn đi
qua ba điểm khơng
A. ( 0;0) .
B. ( 4;0) .
C. ( 0;3) .
D. ( 4;3) .
thẳng hàng chính là
tâm đường trịn ngoại
Hướng dẫn giải
tiếp tam giác với ba
Bước 1. Viết phương trình đường trung trực của đoạn thẳng AB; AC:
đỉnh là ba điểm đã
uuu
r
Trung trực của đoạn thẳng AB đi qua trung điểm ( 0;3) và nhận AB( 0;6) làm cho.
vectơ pháp tuyến nên có phương trình ( d1 ) : y = 3.
uuur
Trung trực của đoạn thẳng AC đi qua trung điểm ( 4;0) và nhận AC ( 8;0) làm
vectơ pháp tuyến nên có phương trình ( d2 ) : x = 4 .
Bước 2. Xác định giao điểm của hai trung trực chính là tâm của đường tròn:
y = 3
⇒ I ( 4;3) .
Tọa độ giao điểm của hai đường trung trực thỏa mãn: 
x = 4
2
2
Ví dụ 3. Cho ( Cm ) : x + y − 2 ( m + 1) x − 4 ( m − 1) y + 5 − m = 0 . Tìm điều kiện của m để ( Cm ) là một
đường trịn. Khi đó, tìm tọa độ tâm và bán kính của đường trịn.
Hướng dẫn giải

 −2a = −2 ( m + 1)
a = m + 1


Ta có  −2b = −4 ( m − 1) ⇔ b = 2 ( m − 1) .
c = 5 − m
c = 5 − m


Xét biểu thức M = a 2 + b 2 − c = ( m + 1) +  2 ( m − 1)  − ( 5 − m ) = 5m 2 − 5m .
2

2

m < 0
2
Để ( Cm ) là một đường trịn thì M > 0 ⇔ 5m − 5m > 0 ⇔ 5m ( m − 1) ⇔ 
.
m > 1
Trang 5


Khi đó, đường trịn ( Cm ) có tâm I ( m + 1;2 ( m − 1) ) và bán kính R = 5m 2 − 5m .
2
2
Ví dụ 4. Cho ( Cm ) : x + y + ( m + 2 ) x − ( m + 4 ) y + m + 1 = 0 .

a) Chứng minh rằng ( Cm ) là họ các đường trịn.
b) Tìm tập hợp tâm của ( Cm ) khi m thay đổi.
c) Chứng minh rằng họ các đường tròn ( Cm ) luôn đi qua hai điểm cố định khi m thay đổi.

Hướng dẫn giải
m+2

a = − 2
 −2a = m + 2

m+4


a) Ta có:  −2b = − ( m + 4 ) ⇔ b =
.
2
c = m + 1


c = m + 1


2

2

 m+2 m+4
Xét biểu thức M = a 2 + b2 − c =  −
÷ +
÷ − ( m + 1) .
2   2 

m 2 + 4m + 8 ( m + 2 ) + 4
=

=
> 0 ∀m
2
2
2

Vậy ( Cm ) là họ các đường tròn khi m thay đổi.
b) Tâm I có tọa độ là
m+2

 xI = − 2
 m = −2 x I − 2
⇔
⇒ −2 x I − 2 = 2 y I − 4 ⇔ x I + y I − 1 = 0

m
+
4
m
=
2
y
−
4

I
y =
 I
2
Vậy tập hợp tâm các đường tròn ( Cm ) khi m thay đổi là đường thẳng x + y − 1 = 0 .

c) Gọi M ( xM ; yM ) là điểm cố định mà họ ( Cm ) luôn đi qua.
2
2
Khi đó xM + yM + ( m + 2 ) xM − ( m + 4 ) yM + m + 1 = 0 với mọi m

⇔ ( xM − yM + 1) .m + xM2 + yM2 + 2 xM − 4 yM + 1 = 0 với mọi m
 xM − yM + 1 = 0
x = 1
 xM = −1
⇔ 2
⇔ M
hoặc 
2
 yM = 2
 yM = 0
 xM + yM + 2 xM − 4 yM + 1 = 0
Vậy ( Cm ) luôn đi qua hai điểm cố định M 1 ( 1;2 ) và M 2 ( −1;0 ) .
Bài tập tự luyện dạng 1
Câu 1: Phương trình nào sau đây là phương trình đường trịn?
A. x 2 + y 2 − 2 x − 8 y + 20 = 0

B. 4 x 2 + y 2 − 10 x − 6 y − 2 = 0
Trang 6


C. x 2 + y 2 − 4 x + 6 y − 12 = 0

D. x 2 + 2 y 2 − 4 x − 8 y + 1 = 0

Câu 2: Phương trình nào sau đây khơng phải là phương trình đường trịn?

A. x 2 + y 2 − x + y + 4 = 0

B. x 2 + y 2 − y = 0

C. x 2 + y 2 − 2 = 0

D. x 2 + y 2 − 100 y + 1 = 0

Câu 3: Mệnh đề nào sau đây đúng?
2
2
(I) Đường tròn ( C1 ) : x + y − 2 x + 4 y − 4 = 0 có tâm I ( 1; −2 ) , bán kính R = 3 .
2
2
(II) Đường trịn ( C2 ) : x + y − 5 x + 3 y −

A. Chỉ (I).

1
= 0 có tâm
2

B. Chỉ (II).

5 3
I  ; − ÷, bán kính R = 3 .
2 2

C. (I) và (II).

D. Khơng có.

Câu 4: Đường tròn x 2 + y 2 − 10 x − 11 = 0 có bán kính bằng
A. 6.

B. 2.

C. 36.

D.

6.

Câu 5: Đường tròn 2 x 2 + 2 y 2 − 8 x + 4 y − 1 = 0 có tâm là điểm nào trong các điểm sau đây?
A. ( −2;1) .

B. ( 4; −2 ) .

C. ( −4;2 ) .

D. ( 2; −1) .

Câu 6: Đường tròn 3 x 2 + 3 y 2 − 6 x + 9 y − 9 = 0 có bán kính bằng bao nhiêu?
A.

5.

B.

25

.
2

C.

5
.
2

D.

25
.
4

2
2
Câu 7: Cho đường tròn ( C ) : x + y + 8 x + 6 y + 9 = 0 . Mệnh đề nào sau đây sai?

A. ( C ) không đi qua điểm O ( 0;0 ) .

B. ( C ) có tâm I ( −4; −3) .

C. ( C ) có bán kính R = 4 .

D. ( C ) đi qua điểm M ( −1;0 ) .

2
2
Câu 8: Giá trị của m là bao nhiêu để phương trình x + y − 2mx − 4 ( m − 2 ) y + 6 − m = 0 là phương trình

đường trịn?
A. m ≥ 2 hoặc m ≤ 1 .

B. 1 ≤ m ≤ 2 .

C. m < 1 hoặc m > 2 .

D. 1 < m < 2 .

Câu 9: Xác định m để phương trình x 2 + y 2 − 2mx + 4 y + 8 = 0 không phải là phương trình đường trịn.
A. m > 2 .

B. −2 ≤ m ≤ 2 .

C. m < −2 .

D. m < −2 hoặc m > 2 .

2
2
Câu 10: Cho phương trình 2 x + 2 y + 8mx + 4 ( m + 1) y + 14 = 0 (1). Giá trị của m để phương trình (1) là

phương trình đường trịn có bán kính bằng 1 là
A.

7
.
5

B. 1.

C. khơng có.

D. 3,5.

Dạng 2: Lập phương trình đường trịn
Phương pháp giải
Cách 1.

Ví dụ: Viết phương trình đường trịn ( C ) trong

• Tìm tọa độ tâm I ( a; b ) của đường trịn ( C ) .

các trường hợp sau:
a) Có tâm I ( −1;1) và bán kính R = 3 .
Trang 7


• Tìm bán kính R của đường trịn ( C ) .

Phương trình đường trịn ( C ) có tâm I ( −1;1) và

• Viết phương trình của ( C ) theo dạng:

bán kính R = 3 là ( C ) : ( x + 1) + ( y − 1) = 9 .

( x − a)

b) Đi qua ba điểm A ( 1; −3) , B ( 2;4 ) và C ( 4; −2 ) .

2

2

+ ( y − b) = R2 .
2

Cách 2.
Giả sử phương trình đường trịn

( C)

Giả sử phương trình đường trịn
có dạng

x 2 + y 2 − 2ax − 2by + c = 0 (1) và a 2 + b 2 − c > 0 .
• Từ điều kiện của đề bài, lập hệ phương trình ba ẩn
a, b ,c.
• Giải hệ phương trình tìm nghiệm a, b, c rồi thay

2

( C)

có dạng

x 2 + y 2 − 2ax − 2by + c = 0 với a 2 + b 2 − c > 0 .
Theo bài ra, ta có A ( 1; −3) ∈ ( C )
⇔ 12 + ( −3) − 2a.1 − 2b.( −3 ) + c = 0

2

⇔ 2a − 6b − c = 10 (1).
Tương tự, ta có:

vào (1) để có phương trình đường trịn ( C ) .

B ( 2;4 ) ∈ ( C ) ⇔ 4a + 8b − c = 20 (2);
C ( −4;2 ) ∈ ( C ) ⇔ 8a − 4b − c = 20 (3).
3

a = 2

1

Từ (1), (2) và (3) suy ra b =
(thỏa mãn)
2

c = −10


2
2
Vậy ( C ) : x + y − 3 x − y − 10 = 0

Ví dụ mẫu
Ví dụ 1. Viết phương trình đường trịn ( C ) trong các trường hợp sau
a) Có tâm I ( 1;4 ) và đi qua gốc tọa độ.
b) Nhận AB làm đường kính với A ( 2;5 ) và B ( −4;1) .

c) Có tâm I nằm trên đường thẳng d : x + y − 2 = 0 và đi qua hai điểm
A ( −1;2 ) và B ( 2; −2 ) .
d) Ngoại tiếp ∆OAB với A ( 2;0 ) và B ( −2;1) .
e) Nội tiếp ∆OAB với A ( 8;0 ) và B ( 0;6 ) .
Hướng dẫn giải
a) ( C ) đi qua gốc tọa độ nên O ( 0;0 ) ∈ ( C ) ⇒ IO = R .
Ta có R = IO = 12 + 42 = 17 .
Vậy phương trình đường tròn ( C ) là ( x − 1) + ( y − 4 ) = 17 .
2

2

Trang 8


b) Ta có AB là đường kính nên trung điểm I ( −1;3) của AB là tâm của đường
tròn ( C ) và IA =

( 2 + 1)

2

2
+ ( 5 − 3) = 13 là bán kính của ( C ) .

Vậy phương trình đường trịn ( C ) là ( x + 1) + ( y − 3) = 13 .
2

2

c) Tâm I ∈ d : x + y − 2 = 0 nên I ( t;2 − t ) ∈ d .

Cách khác.

Vì A, B ∈ ( C ) nên

Vì tâm nằm trên đường

IA = IB ⇔ IA2 = IB 2 ⇔ ( −1 − t ) + ( 2 − 2 + t ) = ( 2 − t ) + ( −2 − 2 + t )
2

2

2

2

19
⇔ 14t = 19 ⇔ t =
14

trung trực của đoạn
thẳng

AB

nên

I = d ∩ AB . Do đó ta

viết phương trình của

 19 9 
⇒ I ; ÷
 14 14 

đường thẳng AB và tìm
2

giao điểm I của d và

2

19  
9
725

⇒ R 2 = IA2 =  −1 − ÷ +  2 − ÷ =
14  
14 
98


AB.
2

2

19  
9

725

Vậy phương trình đường trịn ( C ) là  x − ÷ +  y − ÷ =
.
14  
14 
98

d) Đường tròn ( C ) là đường tròn ngoại tiếp ∆OAB ⇒ ( C ) đi qua ba điểm
O, A, B.
Giả sử ( C ) có dạng: x 2 + y 2 − 2ax − 2by + c = 0 vơi a 2 + b 2 − c > 0 .
Theo bài ra, ta có hệ phương trình:

c = 0
c = 0

 2
⇔ a = 1 (thỏa mãn).
 2 − 2a.2 + c = 0


2
2
9
( −2 ) + 1 − 2a.( −2 ) − 2b.1 + c = 0
b =

2
Vậy phương trình đường trịn ( C ) là x 2 + y 2 − 2 x − 9 y = 0 .
e) Ta có OA = 8, OB = 6 và AB = OA2 + OB 2 = 10 .

Lại có

1
OA + OB + AB 6 + 8 + 10
OA.OB = pr với p =
=
= 12 và r là bán
2
2
2

kính đường trịn nội tiếp tam giác ∆OAB ⇒ r =

OA.OB
=2
2p

Mặt khác ( C ) có tâm I thuộc phân giác của góc phần tư thứ nhất x − y = 0
và có bán kính r = 2 nên I ( 2;2 ) .

Trang 9


Vậy phương trình đường trịn nội tiếp ∆OAB là ( C ) : ( x − 2 ) + ( y − 2 ) = 4
2

2

 x = − 1 + 2cos t
( t ∈ ¡ ) . Tập hợp điểm M là

Ví dụ 2. Cho điểm M ( x; y ) có 
 y = 2 − 2sin t

Bài tốn này là một
trường hợp đặc biệt.

A. Đường trịn tâm I ( 1; −2 ) , bán kính R = 2 .

Các em có thể mở rộng

B. Đường trịn tâm I ( −1;2 ) , bán kính R = 2 .

thành bài tốn lập
phương trình đường

C. Đường trịn tâm I ( −1;2 ) , bán kính R = 4 .

trịn nội tiếp tam giác

D. Đường tròn tâm I ( 1; −2 ) , bán kính R = 4 .

nhọn.

Hướng dẫn giải
( x + 1) 2 = 4cos 2 t
 x = −1 + 2cos t
 x + 1 = 2cos t
⇔
⇔
Ta có 

2
2
 y = 2 − 2sin t
 y − 2 = −2sin t
( y − 2 ) = 4sin t
⇒ ( x + 1) + ( y − 2 ) = 4cos 2 t + 4sin 2 t ⇔ ( x + 1) + ( y − 2 ) = 4 ( sin 2 t + cos 2 t )
2

2

2

2

⇔ ( x + 1) + ( y − 2 ) = 4 .
2

2

Vậy tập hợp điểm M là phương trình đường trịn có tâm I ( −1;2 ) , bán kính
R = 2.
Chọn B.
 x = 2 + 4sin t
( t ∈¡
Ví dụ 3. Phương trình 
 y = −3 + 4cos t

)

là phương trình đường trịn có

A. tâm I ( −2;3) , bán kính R = 4 .
B. tâm I ( 2; −3) , bán kính R = 4 .
C. tâm I ( −2;3) , bán kính R = 16 .
D. tâm I ( 2; −3) , bán kính R = 16 .
Hướng dẫn giải
( x − 2 ) 2 = 16sin 2 t
 x = 2 + 4sin t
 x − 2 = 4sin t
⇔
⇔
Ta có 
2
2
 y = −3 + 4cos t
 y + 3 = 4cos t
( y + 3) = 16cos t
⇒ ( x − 2 ) + ( y + 3) = 16sin 2 t + 16cos 2 t
2

2

⇔ ( x − 2 ) + ( y + 3) = 16 ( sin 2 t + cos 2 t )
2

2

⇔ ( x − 2 ) + ( y + 3) = 16
2

2

 x = 2 + 4sin t
( t ∈¡
Vậy 
 y = −3 + 4cos t

)

là phương trình đường trịn I ( 2; −3) , bán kính R = 4 .

Chọn B.
Trang 10


Ví dụ 4. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai đường thẳng d1 : 3 x + y = 0 và d 2 : 3x − y = 0 . Gọi ( C )
là đường tròn tiếp xúc với d1 tại A và cắt d 2 tại B, C sao cho ∆ABC vng tại B. Viết phương trình ( C )
biết diện tích ∆ABC bằng

3
và điểm A có hồnh độ dương.
2

Hướng dẫn giải

(

)

Điểm A ∈ d1 nên A t ; −t 3 với t > 0 . Vì ∆ABC vng tại B nên AC là đường kính của đường trịn

( C) .
Đường thẳng AC qua A và vng góc với d1 nên có phương trình là x − 3 y − 4t = 0 .
 x − 3 y − 4t = 0
 x = −2t
⇔
Tọa độ điểm C là nghiệm của hệ phương trình 
 3 x − y = 0
 y = −2 3t

(

)

⇒ C −2t ; −2 3t .
Đường thẳng AB qua A và vng góc với d 2 nên có phương trình là x + 3 y + 2t = 0
Tọa độ điểm B là nghiệm của hệ phương trình:
−t

 x = 2
 x + 3 y + 2t = 0
 −t −t 3 
⇔
⇒ B  ;
÷.

2 ÷
 2

 y = −t 3

 3 x − y = 0

2
Ta có: S ABC =

 3

 −2 3

3
1
3
3
⇔ BA.BC =
⇔t=
⇒ A 
; −1 ÷
C
;
−
2
và

÷
÷
 3
÷.
2
2
2

3
 3




 −1 −3 
AC
; ÷ và bán kính R =
=1
Đường trịn ( C ) có tâm I là trung điểm của AC ⇒ I 
2
2 3 2 
2

2

1  
3

Vậy ( C ) :  x +
÷ +  y + 2 ÷ =1.
2 3 


Bài tập tự luyện dạng 2
Câu 1: Đường tròn tâm I ( 3; −1) và bán kính R = 2 có phương trình là
A. ( x + 3) + ( y − 1) = 4 .

B. ( x − 3) + ( y − 1) = 4 .

C. ( x − 3) + ( y + 1) = 4 .

D. ( x + 3) + ( y + 1) = 4 .

2

2

2

2

2

2

2

2

Câu 2: Đường tròn tâm I ( −1;2 ) và đi qua điểm M ( 2;1) có phương trình là
A. x 2 + y 2 + 2 x − 4 y − 5 = 0 .

B. x 2 + y 2 + 2 x − 4 y − 3 = 0 .

C. x 2 + y 2 − 2 x − 4 y − 5 = 0 .

D. x 2 + y 2 + 2 x + 4 y − 5 = 0 .

Câu 3: Đường tròn tâm I ( 1;4 ) và đi qua điểm B ( 2;6 ) có phương trình là
Trang 11


A. ( x + 1) + ( y + 4 ) = 5 .

B. ( x − 1) + ( y − 4 ) = 5 .

C. ( x + 1) + ( y + 4 ) = 5 .

D. ( x − 1) + ( y − 4 ) = 5 .

2

2

2

2

2

2

2

2

Câu 4: Cho hai điểm A ( −2;1) , B ( 3;5 ) và điểm M thỏa mãn ·AMB = 90° . Khi đó điểm M nằm trên
đường tròn nào sau đây?

A. x 2 + y 2 − x − 6 y − 1 = 0 .

B. x 2 + y 2 + x + 6 y − 1 = 0 .

C. x 2 + y 2 + 5 x − 4 y + 11 = 0 .

D. x 2 + y 2 − 5 x + 4 y − 11 = 0 .

Câu 5: Cho hai điểm A ( 5; −1) , B ( −3;7 ) . Đường trịn đường kính AB có phương trình là
A. x 2 + y 2 + 2 x − 6 y − 22 = 0 .

B. x 2 + y 2 − 2 x − 6 y − 22 = 0 .

C. x 2 + y 2 − 2 x − y + 1 = 0 .

D. x 2 + y 2 + 6 x + 5 y + 1 = 0 .

Câu 6: Phương trình đường trịn đi qua 3 điểm O ( 0;0 ) , A ( a;0 ) , B ( 0; b ) là
A. x 2 + y 2 − 2ax − by = 0 .

B. x 2 + y 2 − ax − by + xy = 0 .

C. x 2 + y 2 − ax − by = 0 .

D. x 2 − y 2 − ax + by = 0 .

( C)

Câu 7: Đường tròn

đi qua hai điểm A ( 1;3) , B ( 3;1) và có tâm nằm trên đường thẳng

d : 2 x − y + 7 = 0 có phương trình là
A. ( x − 7 ) + ( y − 7 ) = 102 .

B. ( x + 7 ) + ( y + 7 ) = 164 .

C. ( x − 3) + ( y − 5 ) = 25 .

D. ( x + 3) + ( y + 5 ) = 25 .

2

2

2

2

2

2

2

2

Dạng 3. Vị trí tương đối của điểm, đường thẳng với đường trịn
Bài tốn 1. Vị trí tương đối
Phương pháp giải

Sử dụng các kiến thức hình học đã học ở trung học cơ
sở để giải bài tốn.
Nhắc lại:
Cho đường trịn ( C ) tâm I, bán kính R.
• Vị trí tương đối của điểm A và đường tròn ( C ) :
+) IA < R : Điểm A nằm trong đường trịn.

Ví dụ: Xác định vị trí của điểm A ( 1;2 ) với
2
2
đường trịn ( C ) : x + y − 25 = 0 .

Hướng dẫn giải
Đường tròn

( C ) : x 2 + y 2 − 25 = 0

có tâm

I ( 0;0 ) và bán kính R = 5 .

( 1 − 0)

2

+ ( 2 − 0) = 5 < 5 .
2

+) IA = R : Điểm A nằm trên đường tròn.

Xét IA =

+) IA > R : Điểm A nằm ngoài đường trịn.

Do đó điểm A nằm phía trong đường trịn ( C ) .

• Vị trí tương đối của đường thẳng ( d ) và đường tròn

( C) :
Gọi h là khoảng cách từ tâm I đến đường thẳng ( d ) .
+) h < R : Đường thẳng cắt đường tròn tại hai điểm.
+) h = R : Đường thẳng tiếp xúc với đường tròn.
Trang 12


+) h > R : Đường thẳng không cắt đường trịn.
• Cho đường trịn ( C1 ) có tâm I1 , bán kính R1 và
đường trịn ( C2 ) có tâm I 2 , bán kính R2 :
+) R1 − R2 < I1 I 2 < R1 + R2 : hai đường tròn cắt nhau
tại hai điểm.
+) I1I 2 = R1 + R2 hoặc I1I 2 = R1 − R2 : hai đường
tròn tiếp xúc nhau.
+) I1I 2 > R1 + R2 : hai đường tròn rời nhau hoặc
I1I 2 < R1 − R2 : một đường tròn chứa đường trịn cịn
lại.
Ví dụ mẫu
2
2
Ví dụ 1. Tọa độ giao điểm của đường tròn ( C ) : x + y − 25 = 0 và đường thẳng ∆ : x + y − 7 = 0 là

A. ( 3;4 ) .

B. ( 4;3) .

C. ( 3;4 ) và ( 4;3) .

D. ( 3;4 ) và ( −4;3) .

Hướng dẫn giải
2
2
Tọa độ giao điểm của đường thẳng và đường tròn ( C ) : x + y − 25 = 0 thỏa mãn

 x = 3

x + y − 7 = 0
x = 7 − y
 y = 4
⇔
⇔
 2

2
2
 x = 4
 x + y − 25 = 0
 2 y − 14 y + 24 = 0

  y = 3
Chọn đáp án C.

Ví dụ 2. Xác định vị trí tương đối của hai đường trịn:

Cách 2. Gọi I1; I 2 lần lượt là

( C1 ) : x 2 + y 2 − 4 = 0

tâm của hai đường tròn.

và ( C2 ) : ( x + 10 ) + ( y − 16 ) = 1 .
2

2

A. Không có điểm trung.

B. Cắt nhau.

Nếu I1I 2 > R1 + R2 thì ( C1 ) và

C. Tiếp xúc nhau.

C. Tiếp xúc ngồi.

( C2 )

khơng có điểm chung.

Hướng dẫn giải
Xét hệ hai phương trình:
2

2
 x 2 + y 2 − 4 = 0
 x + y − 4 = 0
⇔ 2
vô nghiệm

2
2
2
( x + 10 ) + ( y − 16 ) = 1  x + y + 20 x − 32 y + 355 = 0

Do đó hai đường trịn khơng có điểm chung.
Chọn đáp án A.
2
2
Ví dụ 3. Đường tròn ( C ) : x + y − 2 x − 2 y + 1 = 0 cắt đường thẳng d : x + y − 2 = 0 theo một dây cung

có độ dài bằng bao nhiêu?
A. 1.

B. 2.

C.

2.

D.

2
.

2
Trang 13


Hướng dẫn giải
2
2
Đường tròn ( C ) : x + y − 2 x − 2 y + 1 = 0 có tâm I ( 1;1) và bán kính R = 1 .

Khoảng cách từ tâm I ( 1;1) đến đường thẳng d : x + y − 2 = 0 là h =

1+1− 2
12 + 12

= 0.

Do đó I ∈ ( d ) hay đường thẳng ( d ) đi qua gốc tọa độ.
Vậy ( d ) cắt đường trịn theo dây cung chính là đường kính và có độ lớn 2 R = 2 .
Chọn đáp án B.
Ví dụ 4. Bán kính của đường trịn tâm I ( 2;1) và tiếp xúc với trục hoành là
A. 2.

B. 1.

C.

5.

D. 3.

Hướng dẫn giải
Vì đường trịn tiếp xúc với trục hồnh Ox nên độ dài bán kính chính bằng khoảng cách từ tâm đến Ox.
Do đó R =

1
0 + 12
2

=1

Chọn đáp án B.
Ví dụ 5. Đường trịn ( C ) tâm I ( 2;1) cắt đường thẳng ∆ : y − 4 = 0 theo dây cung có độ dài là 8. Bán
kính của đường trịn là
A. 5.

B.

73 .

C. 3.

D. 25.

Hướng dẫn giải
Ta có: d ( I ; ∆ ) =

1− 4
02 + 12

=3

Gọi độ dài bán kính của đường trịn là R ( R > 0 )
2

8
Khi đó R 2 − d 2 ( I ; ∆ ) =  ÷ ⇔ R 2 = 16 + 9 = 25 ⇒ R = 5 (vì R > 0 ).
2
Chọn đáp án A.
2
2
Ví dụ 6. Cho đường trịn ( C ) : x + y + 6 x − 2 y + 5 = 0 và đường thẳng d đi qua điểm A ( −4;2 ) , cắt ( C )

tại hai điểm M, N sao cho A là trung điểm của MN. Phương trình của đường thẳng d là
A. x − y + 6 = 0 .

B. 7 x − 3 y + 34 = 0 .

C. 7 x − 3 y + 30 = 0 .

D. 7 x − y + 35 = 0 .

Hướng dẫn giải
2
2
Đường tròn ( C ) : x + y + 6 x − 2 y + 5 = 0 có tâm I ( −3;1) . Theo đề bài ta có đường thẳng d đi qua A
uu
r
và nhận IA ( −1;1) làm véctơ pháp tuyến nên có phương trình là ( d ) : − x + y − 6 = 0 .

Chọn đáp án A.

2
2
Ví dụ 7. Cho đường trịn ( C ) : x + y − 4 x − 6 y + 5 = 0 . Đường thẳng d đi qua A ( 3;2 ) và cắt ( C ) theo

một dây cung ngắn nhất có phương trình là
A. 2 x − y + 2 = 0 .

B. x − y − 1 = 0 .
Trang 14


C. x + y − 1 = 0 .

D. x − y + 1 = 0 .

Hướng dẫn giải
2
2
Đường tròn ( C ) : x + y − 4 x − 6 y + 5 = 0 có tâm I ( 2;3) và bán kính R = 8 .

Ta thấy IA = 12 + 02 = 1 < R nên điểm A nằm trong đường tròn.
Để d cắt ( C ) theo một dây cung ngắn nhất thì khoảng cách h từ tâm đến đường thẳng d là lớn nhất.
Mà h ≤ IA nên IA ⊥ d sẽ thỏa mãn đề bài.

uu
r
Phương trình đường thẳng đi qua A ( 3;2 ) và nhận IA ( 1; −1) làm vectơ pháp tuyến có phương trình là

( d ) : x − y −1 = 0 .
Chọn đáp án B.

Bài toán 2. Lập phương trình tiếp tuyến của đường trịn
Phương pháp giải
Cho đường tròn ( C ) tâm I ( a; b ) và bán kính R.

uuur
Nếu biết tiếp điểm là M ( x0 ; y0 ) thì tiếp tuyến đó đi qua M và nhận vectơ IM = ( x0 − a; y0 − b ) làm vectơ
pháp tuyến nên có phương trình là ( x0 − a ) ( x − x0 ) + ( y0 − b ) ( y − y0 ) = 0 .
Nếu không biết tiếp điểm thì dùng điều kiện: đường thẳng d tiếp xúc với đường tròn ( C ) khi và chỉ khi
d ( I , d ) = R để xác định tiếp tuyến.
Ví dụ mẫu
Ví dụ 1. Cho ( C ) : ( x − 2 ) + ( y + 1) = 25
2

2

a) Xác định tâm và bán kính của ( C ) .
b) Viết phương trình tiếp tuyến của ( C ) tại điểm M ( 5;3) .
c) Lập phương trình tiếp tuyến của ( C ) , song song với đường thẳng ( ∆ ) : 5 x + 12 y + 2 = 0 .
d) Lập phương trình tiếp tuyến của ( C ) , vng góc với đường thẳng ( ∆ ) : 3 x − 4 y − 11 = 0 .
e) Lập phương trình tiếp tuyến của ( C ) biết tiếp tuyến đi qua E ( 3; −6 ) .
Hướng dẫn giải
a) ( C ) có tâm là I ( 2; −1) và bán kính R = 5 .

r uuur
b) Tiếp tuyến ( d1 ) của ( C ) tại M ( 5;3) có vectơ pháp tuyến là n = IM = ( 3;4 ) .

( d1 ) : 3( x − 5) + 4 ( y − 3) = 0 ⇔ ( d1 ) : 3x + 4 y − 27 = 0 .
c) Tiếp tuyến ( d 2 ) P ( ∆ ) : 5 x + 12 y + 2 = 0 ⇒ ( d 2 ) : 5 x + 12 y + C = 0 ( C ≠ 2 ) . Mà ( d 2 ) tiếp xúc ( C )
nên
d  I ; ( d 2 )  = R ⇔

5.2 − 12.1 + C
52 + 122

C = 67
= 5 ⇔ C − 2 = 65 ⇔ 
(thỏa mãn).
C = −63

Vậy ( d 2 ) : 5 x + 12 y + 67 = 0 hoặc ( d 2 ) : 5 x + 12 y − 63 = 0 .
Trang 15


d) Tiếp tuyến ( d3 ) vng góc với đường thẳng ( ∆ ) : 3 x − 4 y − 11 = 0
⇒ ( d3 ) : 4 x + 3 y + C = 0

( d3 )
⇔

tiếp xúc ( C ) ⇒ d  I ; ( d3 )  = R
4.2 + 3. ( −1) + C
42 + 32

= 5 ⇔ C + 5 = 25 ⇔ C = 20 hoặc C = −30

Vậy ( d3 ) : 4 x + 3 y + 20 = 0 hay ( d3 ) : 4 x + 3 y − 30 = 0 .
e) Tiếp tuyến ( d 4 ) đi qua E ( 3; −6 ) ⇒ ( d 4 ) : A ( x − 3) + B ( y + 6 ) = 0
⇒ ( d 4 ) : Ax + By − 3 A + 6 B = 0 .

( d4 )

tiếp xúc ( C ) ⇔

2 A − B − 3 A + 6B
A +B
2

2

= 5 ⇔ − A + 5 B = 5 A2 + B 2

A = 0
⇔ 10 AB + 24 A = 0 ⇔ 
 A = −5 B

12
2

Với A = 0 , chọn B = 1 ⇒ ( d 4 ) : y + 6 = 0
Với A = −

5B
, chọn B = −12 ⇒ A = 5 ⇒ ( d5 ) : 5 x − 12 y − 87 = 0
12

Vậy có hai tiếp tuyến ( d 4 ) : y + 6 = 0 và ( d5 ) : 5 x − 12 y − 87 = 0 .
Ví dụ 2. Lập phương trình tiếp tuyến chung của hai đường tròn sau:

( C1 ) : x 2 + y 2 − 4 y − 5 = 0

2
2
và ( C2 ) : x + y − 6 x + 8 y + 16 = 0

Hướng dẫn giải
Đường tròn ( C1 ) có tâm I1 ( 0;2 ) , bán kính R1 = 3 .
Đường trịn ( C2 ) có tâm I 2 ( 3; −4 ) , bán kính R2 = 3 .
Gọi tiếp tuyến chung của hai đường trịn có phương trình ∆ : ax + by + c = 0 với a 2 + b 2 ≠ 0 .
∆ là tiếp tuyến chung của ( C1 ) và ( C2 )
2
2

d ( I1 , ∆ ) = 3
 2b + c = 3 a + b (*)
⇔
⇔
d ( I 2 , ∆ ) = 3
 3a − 4b + c = 3 a 2 + b 2

 a = 2b
Suy ra 2b + c = 3a − 4b + c ⇔ 
c = −3a + 2b

2
Trường hợp 1
Nếu a = 2b chọn a = 2, b = 1 thay vào (*) ta được: c = −2 ± 3 5 nên ta có hai tiếp tuyến là
2x + y − 2 − 3 5 = 0 ; 2x + y − 2 + 3 5 = 0 .
Trường hợp 2

Trang 16

Nếu c =

−3a + 2b
thay vào (*) ta được:
2

2b − a = 2 a 2 + b 2 ⇔ a = 0 hoặc 3a + 4b = 0 .
+) Với a = 0 ⇒ c = b , chọn b = c = 1 ta được ∆ : y + 1 = 0 .
+) Với 3a + 4b = 0 ⇒ c = 3b
Chọn a = 4, b = −3, c = −9 ta được ∆ : 4 x − 3 y − 9 = 0 .
Vậy có bốn tiếp tuyến chung của hai đường tròn là:
2 x + y − 2 ± 3 5 = 0, y + 1 = 0, 4 x − 3 y − 9 = 0
Bài tập tự luyện dạng 3
Câu 1: Một đường tròn có tâm I ( 3; −2 ) tiếp xúc với đường thẳng ∆ : x − 5 y + 1 = 0 . Hỏi bán kính đường
trịn bằng bao nhiêu?
A. 6.

B.

26 .

C.

7 26
.
13

D.

7
.
13

Câu 2: Đường trịn có tâm I ( −1;2 ) và đi qua điểm M ( 2;1) có bán kính là
A. 10 .

B.

5.

C. 10.

D. 5.

Câu 3: Cho đường tròn x 2 + y 2 + 5 x + 7 y − 3 = 0 . Khoảng cách từ tâm đường tròn tới trục Ox là
A. 5.

B. 7.

C. 3,5.

D. 2,5.

2
2
2
2
Câu 4: Tọa độ giao điểm hai đường tròn ( C1 ) : x + y − 4 = 0 và ( C2 ) : x + y − 4 x − 4 y + 4 = 0 là

A.

(

)

2; 2 và

(

)

B. ( 0;2 ) và ( 0; −2 ) .

2; − 2 .

C. ( 2;0 ) và ( 0;2 ) .

D. ( 2;0 ) và ( −2;0 ) .

Câu 5: Đường tròn x 2 + y 2 − 1 = 0 tiếp xúc với đường thẳng nào sau đây?
A. 3 x − 4 y + 5 = 0 .

B. x + y − 1 = 0 .

C. x + y = 0 .

D. 3 x + 4 y − 1 = 0 .

Câu 6: Với giá trị nào của m thì đường thẳng 4 x + 3 y + m = 0 tiếp xúc với đường tròn x 2 + y 2 − 9 = 0 ?
A. m = ±15 .

C. m = −3 .

B. m = ± 3 .

D. m = 3 .

Câu 7: Đường tròn ( C ) đi qua điểm A ( 2;4 ) và tiếp xúc với các trục tọa độ có phương trình là
A. ( x − 2 ) + ( y − 2 ) = 4 hoặc ( x − 10 ) + ( y − 10 ) = 100 .
2

2

2

2

B. ( x + 2 ) + ( y + 2 ) = 4 hoặc ( x − 10 ) + ( y − 10 ) = 100 .
2

2

2

2

C. ( x + 2 ) + ( y + 2 ) = 4 hoặc ( x + 10 ) + ( y + 10 ) = 100 .
2

2

2

2

D. ( x − 2 ) + ( y − 2 ) = 4 hoặc ( x + 10 ) + ( y + 10 ) = 100 .
2

2

2

2

Câu 8: Đường trịn ( C ) có tâm I ( −1;3) và tiếp xúc với đường thẳng d : 3 x − 4 y + 5 = 0 có phương trình
là
Trang 17


A. ( x + 1) + ( y − 3) = 2 .

B. ( x − 1) + ( y + 3) = 2 .

C. ( x + 1) − ( y − 3) = 10 .

D. ( x + 1) + ( y − 3) = 4 .

2

2

2

2

2

2

2

2

Câu 9: Có một đường trịn đi qua hai điểm A ( 1;2 ) ; B ( 3;4 ) và tiếp xúc với đường thẳng
d : 3 x + y − 3 = 0 . Khi đó
A. Phương trình đường trịn là x 2 + y 2 − 3 x − 7 y + 7 = 0 .
B. Phương trình đường trịn là x 2 + y 2 − 8 x − 2 y + 7 = 0 .
C. Phương trình đường tròn là x 2 + y 2 − 3 x − 7 y − 12 = 0 .
D. Khơng có đường trịn nào thỏa mãn bài tốn.
Câu 10: Cho đường tròn ( C ) : ( x − 3) + ( y − 1) = 10 . Phương trình tiếp tuyến của ( C ) tại điểm A ( 4;4 )
2

2

là
A. x − 3 y + 5 = 0 .

B. x + 3 y − 4 = 0 .

C. x − 3 y + 16 = 0 .

D. x + 3 y − 16 = 0 .

Câu 11: Cho đường tròn ( C ) : ( x − 2 ) + ( y − 2 ) = 9 . Phương trình tiếp tuyến của ( C ) đi qua điểm
2

2

M ( 5; −1) là
A. x + y − 4 = 0 và x − y − 2 = 0 .

B. x = 5 và y = −1 .

C. 2 x − y − 3 = 0 và 3 x + 2 y − 2 = 0 .

D. 3 x − 2 y − 2 = 0 và 2 x + 3 y + 5 = 0 .

2
2
Câu 12: Cho đường tròn ( C ) : x + y − 6 x + 2 y + 5 = 0 và đường thẳng d : 2 x + ( m − 2 ) y − m − 7 = 0 .

Với giá trị nào của m thì d là tiếp tuyến của ( C ) ?
A. m = 3 .

B. m = 15 .

C. m = 13 .

D. m = 3 và m = 13 .

2
2
Câu 13: Cho đường tròn ( C ) : x + y − 2 x + 8 y − 23 = 0 và điểm M ( 8; −3) . Độ dài đoạn tiếp tuyến của

( C)

xuất phát từ M (với hai đầu mút là M và tiếp điểm) là

A. 10.

B. 2 10 .

C.

10
.
2

D. 10 .

Trang 18


ĐÁP ÁN VÀ LỜI GIẢI
BÀI 2. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRỊN
Dạng 1. Nhận dạng phương trình đường trịn.
Xác định tâm, bán kính của đường trịn
Đáp án trắc nghiệm

1-C

2 -A

3-C

4-A

5-D

6-C

7-D

8-C

9-B

10 - B

Hướng dẫn giải
Câu 8.
2
2
Phương trình x + y − 2mx − 4 ( m − 2 ) y + 6 − m = 0 là phương trình đường trịn khi và chỉ khi

a 2 + b2 − c > 0
2
m < 1
2

⇔ m 2 +  2 ( m − 2 )  − ( 6 − m ) > 0 ⇔ m 2 + 4 ( m − 2 ) − 6 + m > 0 ⇔ 5m 2 − 15m + 10 > 0 ⇔ 
m > 2

Vậy m ∈ ( −∞;1) ∪ ( 2; +∞ ) thỏa mãn u cầu bài tốn.
Câu 9.
Ta có x 2 + y 2 − 2mx − 4 y + 8 = 0

(1)

⇔ x 2 − 2mx + m 2 + y 2 − 2.2. y + 22 − m 2 − 22 + 8 = 0 ⇔ ( x − m ) + ( y − 2 ) = m 2 − 4 .
2

2

Vậy điều kiện để (1) không phải là phương trình đường trịn: m 2 − 4 ≤ 0 ⇔ −2 ≤ m ≤ 2 .
Câu 10.
2
2
2
2
Xét 2 x + 2 y + 8mx + 4 ( m + 1) y + 14 = 0 ⇔ x + y + 4mx + 2 ( m + 1) x + 7 = 0

m = 1
4m + ( m + 1) − 7 = 1 ⇔ 5m + 2m − 7 = 0 ⇔ 
 m = −7
5

2

2

2

Dạng 2. Lập phương trình đường tròn
Đáp án trắc nghiệm
1-C

2 -A

3-D

4 -A

5-B

6-C

7-B

Hướng dẫn giải
Câu 5.
Tâm I của đường tròn là trung điểm AB nên I ( 1;3) .
Bán kính R =

1
1
AB =
2
2

( −3 − 5 )

2

+ ( 7 + 1) = 4 2 .
2

Vậy phương trình đường trịn là ( x − 1) + ( y − 3) = 32 ⇔ x 2 + y 2 − 2 x − 6 y − 22 = 0
2

2

Câu 6.

Trang 19


2
2
Gọi phương trình cần tìm có dạng ( C ) : x + y + mx + ny + p = 0

 ma + p = − a 2
m = −a


2
Do A, B, O ∈ ( C ) nên ta có hệ  nb + p = −b ⇔  n = −b
p = 0
p = 0



Vậy phương trình đường tròn là x 2 + y 2 − ax − by = 0 .
Câu 7.

uuur
Đường trung trực của đoạn thẳng AB đi qua trung điểm M ( 2;2 ) và nhận AB ( 2; −2 ) làm vectơ pháp
tuyến nên có phương trình là ( x − 2 ) − ( y − 2 ) = 0 ⇔ x − y = 0 .
2 x − y + 7 = 0
 x = −7
⇔
⇒ I ( −7; −7 ) .
Tọa độ tâm của đường tròn thỏa mãn 
x − y = 0
 y = −7
Bán kính của đường trịn là

( −7 − 1)

2

+ ( −7 − 3) = 164 .
2

Do đó phương trình đường trịn là ( x + 7 ) + ( y + 7 ) = 164 .
2

2

Dạng 3. Vị trí tương đối của điểm, đường thẳng với đường tròn
Đáp án trắc nghiệm

1-C
11 - B

2-A
12 - D

3-C
13 - D

4-C

5-A

6 -A

7-A

8-D

9-B

10 - D

Hướng dẫn giải
Câu 9.
Phương trình đường trung trực của đoạn thẳng AB là ( x − 2 ) + ( y − 3) = 0 ⇔ x + y − 5 = 0 .
Đường tròn đi qua hai điểm A; B nên có tâm I ( t ;5 − t ) ∈ x + y − 5 = 0 .
Vì đường trịn tiếp xúc với d : 3 x + y − 3 = 0 nên ta có R = IA = d ( I ; ( d ) ) .
IA =

( t − 1)

2

+ ( 3 − t ) = 2t 2 − 8t + 10 .
2

3t + 5 − t − 3

d ( I ;( d ) ) =

32 + 12

2t − 8t + 10 =
2

Do đó:

=

2t + 2
10

.

t = 4
⇔ 20t − 80t + 100 = 4t + 8t + 4 ⇔ 16t − 88t + 96 = 0 ⇔  3
t =
10
 2

2t + 2

2

2

2

Với t = 4 ta có I ( 4;1) và R = 10 nên ta có phương trình đường tròn

( x − 4)

2

+ ( y − 1) = 10 ⇔ x 2 + y 2 − 8 x − 2 y + 7 = 0 .
2

Trang 20


5
3 7
Với t = 1 ta có I  ; ÷ và R =
nên ta có phương trình đường trịn
10
2 2
2

2

3 
7
5

2
2
 x − ÷ +  y − ÷ = ⇔ x + y − 3x − 7 y + 12 = 0 .
2
2
2

 

Câu 10.

( C)

uu
r
có tâm I ( 3;1) ⇒ IA = ( 1;3) là vectơ pháp tuyến của tiếp tuyến d.

Suy ra d :1( x − 4 ) + 3 ( y − 4 ) = 0 ⇔ x + 3 y − 16 = 0 .
Câu 11.

( C)

có tâm I ( 2;2 ) và bán kính R = 3 .

r

n = ( A; B ) là vectơ pháp tuyến nên d : A ( x − 5 ) + B ( y + 1) = 0 .
d là tiếp tuyến của ( C ) khi và chỉ khi d ( I , d ) = R ⇔

A ( 2 − 5 ) + B ( 2 + 1)
A +B
2

2

A = 0
= 3 ⇔ A.B = 0 ⇔ 
B = 0

Với A = 0 chọn B = 1 ⇒ y = −1
Với B = 0 chọn A = 1 ⇒ x = 5
Câu 12.

( C)

có tâm I ( 3; −1) và bán kính R = 5 .

d là tiếp tuyến của ( C ) khi và chỉ khi
d ( I,d ) = R ⇔

6−m+2−m−7
4 + ( m − 2)

2

m = 3

= 5 ⇔ m 2 − 16m + 39 = 0 ⇔ 
.
 m = 13

Câu 13.
2
2
Đường tròn ( C ) : x + y − 2 x + 8 y − 23 = 9 có tâm I ( 1; −4 ) và bán kính R = 40 .

Ta có IM = 7 2 + 12 = 50 .
Do đó độ dài đoạn tiếp tuyến cần tìm là

50 − 40 = 10 .

Trang 21