Dạy thêm toán 10 4 2 bất PHƯƠNG TRÌNH và hệ bất PHƯƠNG TRÌNH một ẩn câu hỏi CHỨA đáp án

DẠNG 1. TÌM ĐIỀU KIỆN XÁC ĐỊNH CỦA BẤT PHƯƠNG TRÌNH

Câu 1.

Bất phương trình
x ≠ −1; x ≠ 2
A.
.

1
3
>
x −1 x + 2

có điều kiện xác định là
x ≠ −1; x ≠ −2
x ≠ 1; x ≠ −2
B.
.
C.
.
Lời giải

D.

x ≠ 1; x ≠ 2

Chọn C
x −1 ≠ 0
x ≠ 1
⇔


x + 2 ≠ 0
 x ≠ −2

Điều kiện của bất phương trình là:

Câu 2.

Điều kiện xác định của bất phương trình

A.

x≤2

.

B.

x ≠ 2

 x ≠ −4

.

2x
1
−
≥1
x +1 − 3
2− x

x < 2

 x ≠ −4

.

C.
Lời giải

là

.

D.

x<2

.

Chọn C

Điều kiện xác định của BPT:

 x ≠ −4
 x + 1 − 3 ≠ 0
 x ≠ −4

⇔ x ≠ 2 ⇔ 


2 − x > 0
x < 2
x < 2


1
> x+2
x −4

.

2

Câu 3.

Điều kiện của bất phương trình
x≠2
x ≠ ±2

A.

.

B.

Chọn

x 2 − 4 ≠ 0 ⇔ x ≠ ±2

A.

Chọn

x>2

.

D.

x>0

.

.

Tìm điều kiện của bất phương trình

x≠−

C.
Lời giải

A.

Điều kiện:

Câu 4.

.

là

3
2

x≠
.

B.

3
2

2x − 3
> x +1
2x + 3

.

x≠−
.

C.
Lời giải

A.

1

2
3

x≠
.

D.

2
3

.

.


2x + 3 ≠ 0

Điều kiện:

Câu 5.

⇔x≠−

3
2

.

Tìm điều kiện của bất phương trình
x<2
x>2

A.

.

B.

Chọn

2x − 3
< x−2
6 − 3x
.

C.
Lời giải

6 − 3x > 0 ⇔ x < 2

x+2 + x+3 +

Tập xác định của bất phương trình

[ −2; +∞ )

Chọn

.

B.

[ −3; +∞ )

.

x + 3 ≥ 0
 x ≥ −3
⇔

x ≠ 0
x ≠ 0

Điều kiện của bất phương trình
x≠2
x > −2

.

Điều kiện:

B.

[ −3; +∞ ) \ { 0}

.

.

D.

[ −2; +∞ ) \ { 0}

.

là

.

C.
Lời giải

x ≠ −2

.

D.

x < −2

.

C.
x + 2 ≠ 0 ⇔ x ≠ −2

.

Tìm điều kiện của bất phương trình

x + 2 ≠ 0


x − 2 ≥ 0

Chọn

x≥2

.

x+2 >

A.

là

C.
Lời giải

1
> 2x
x+2

Chọn

Câu 8.

1
> 2x − 3
x

[ −3; +∞ ) \ { 0}

Vậy tập xác định của bất phương trình là

A.

D.

C.

Điều kiện xác định:

Câu 7.

.

.
3

A.

x≤2

A.

Điều kiện:

Câu 6.

.

.

B.

x + 2 > 0

x − 2 ≠ 0

12 x
x−2
x + 2 ≠ 0

x − 2 > 0

.

C.
Lời giải

D.

2

.

D.

x + 2 ≥ 0

x − 2 ≠ 0

.

.


x + 2 ≥ 0

x − 2 ≠ 0

Điều kiện:
Câu 9.

Giá trị

x=3

.

thuộc tập nghiệm của bất phương trình nào sau đây?

x − x +1
≥ x +1
x −1
2

A.

2 x −1 > x2

.

B.

.

C.
Lời giải

x2 − x2 + 1 < 6

.

D.

2 x2 − 5x + 2 < 0

.

Chọn C
x=3

Thay

vào các bất phương trình:

7
32 − 3 + 1
≥ 3 +1 ⇔ ≥ 4
2

3 −1
2.3 − 1 > 32 ⇔ 5 > 9

(không thỏa)

(không thỏa)

32 − 32 + 1 < 6 ⇔ 9 − 10 < 6 ⇔ 3 < 10 ⇔ 9 < 10

2.32 − 5.3 + 2 < 0 ⇔ 5 < 0

Vậy

x=3

(thỏa mãn)

(khơng thỏa)

thuộc tập nghiệm bất phương trình:

x 2 − x 2 + 1 < 6.

DẠNG 2. BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH TƯƠNG ĐƯƠNG
Câu 10.

Khẳng định nào sau đây sai?

A.

x ≥ 3
x 2 ≥ 3x ⇔ 
x ≤ 0

x −3
≥ 0 ⇔ x −3≥ 0
x−4

.
x + x ≥ 0 ⇔ x∈¡

B.

.
x <1⇔ x <1
2

C.

. D.

.
Lời giải

Chọn B
x −3
≥ 0 ⇔ x −3 ≥ 0
x−4

x −3

≥0
x−4

là khẳng định sai vì tập nghiệm của
nghiệm của
Câu 11.

x −3 ≥ 0

là

[ 3; +∞ )

.

Bất phương trình nào sau đây khơng tương đương với bất phương trình

−x

A.

2

( x + 5) ≤ 0

.

B.

là

[ 3; +∞ ) \ { 4}

x + 5 ( x + 5) ≥ 0
3

.

x+5≥ 0

?

còn tập


( x − 1) ( x + 5) ≥ 0

x + 5 ( x − 5) ≥ 0

2

C.

Chọn
Ta có

.

D.

.
Lời giải

D.
x + 5 ≥ 0 ⇔ x ≥ −5

.

Ta xét các bất phương trình:



− x 2 ( x + 5 ) ≤ 0 ⇔ x ≥ −5

.

x + 5 ( x + 5 ) ≥ 0 ⇔ x ≥ −5

.

( x − 1) ( x + 5) ≥ 0 ⇔ x ≥ −5
2



Câu 12.

x + 5 ( x − 5) ≥ 0 ⇔ x ≥ 5

.

.

Khẳng định nào sau đây đúng?

x ≤ 3x ⇔ x ≤ 3
2

A.

C.

.

B.

x +1
≥0
⇔ x +1 ≥ 0
x2

1
<0
⇔ x ≤1
x

.

x+ x ≥ x ⇔ x ≥0

.D.

.
Lời giải

ChọnD
Vì

Câu 13.

a ≥ b ⇔ a − c ≥ b − c ∀c ∈ ¡
c=x
,
. Trong trường hợp này
.

Cho bất phương trình:
( I)

( 1) ⇔

8
> 1 ( 1)
3− x

. Mơt hoc sinh giai như sau:

( II )  x ≠ 3
( III )  x ≠ 3
1

1
⇔
> ⇔
3 − x < 8  x > 5
3− x 8

.

Hỏi học sinh này giải sai ở bước nào?
A.

( I)

.

B.

( II )

( III )

.

C.
Lời giải

ChọnB
( I)

( 1) ⇔

1
1
>
3− x 8

.
4

.

D.

( II )

và

( III )

.


Đúng vì chia hai vế cho một số dương
( II )
1
1 ⇔ x ≠ 3

>
3 − x < 8
3− x 8

Với

x=4

thì

1
1
1
> ⇔ −1 >
3−4 8
8

( III )  x ≠ 3
x ≠ 3
⇔

3 − x < 8
x > 5

Câu 14.

( chỉ đúng khi:

( 8 > 0)

ta được bất thức tương đương cùng chiều.

3− x > 0 ⇔ x < 3

(sai) nhưng

).

4 ≠ 3
4 ≠ 3
⇔

3 − 4 < 8
 −1 < 8

(đúng).Vậy

( II )

sai.

. Đúng vì đây chỉ là bước thu gọn bất phương trình bậc nhất đơn giản.

Cặp bất phương trình nào sau đây khơng tương đương

A.
C.

x −1 ≥ x

và
2
x ( x + 2) < 0

( 2 x + 1)
và

x − 1 ≥ x ( 2 x + 1)

x+2<0

.

2x −1 +

1
1
<
x−3 x−3

2x −1 < 0
và
.
2
x ( x + 2) > 0
( x + 2) > 0
D.
và
.
Lời giải

.

B.

Chọn D
x ≠ 0
x ≠ 0
⇔
⇔
x ( x + 2) > 0
x + 2 > 0
 x > −2 ⇔ x ∈ ( −2; + ∞ ) \ { 0}
2

x + 2 x > 0 ⇔ x > −2 ⇔ x ∈ ( −2; + ∞ )

.

.

Vậy hai bất phương trình này khơng tương đương.
Câu 15.

Cặp bất phương trình nào sau đây khơng tương đương:

5x − 1 +
A.
x

C.

2

1
1
<
x−2 x−2

( x + 3) < 0

và

và

5x − 1 < 0

x+3< 0

5x − 1 +
.

B.
x

.

D.
Lời giải

2

1

1
>
x−2 x−2

( x + 5) ≥ 0

Chọn B

5x −1 > 0

⇔x>

1 ⇔ x ∈  1 ; +∞ 

÷
5

5
.
5

5x − 1 > 0

x+5 ≥ 0

và

x ≠ 2

1

1

1
1 ⇔ x − 2 ≠ 0 ⇔ 
x > ⇔ x ∈  ; + ∞ ÷\ { 2}

5x −1 +
>

5

5

5 x − 1 > 0
x−2 x−2

và

.

.

.


Vậy hai bất phương trình này khơng tương đương.

Câu 16.

Với điều kiện

A.

C.

x −1 > 0

x ≠1

hoặc

2x −1
> ±2
x −1

, bất phương trình

4x − 3
<0
x −1

.

2x −1
>2
x −1

tương đương với mệnh đề nào sau đây:

−2 <

.

B.

2x −1
<2
x −1

.

D. Tất cả các câu trên đều đúng.
Lời giải

Chọn A
 2x −1
 2x −1
 1
 x −1 > 2
 x −1 − 2 > 0
 x −1 > 0
 x −1 > 0
⇔
⇔
⇔

2x −1
 2 x − 1 < −2
 2x −1 + 2 < 0
 4x − 3 < 0 ⇔  4x − 3 < 0
>2

 x − 1
 x − 1
 x − 1
x −1
 x −1

Câu 17.

2x + 3 ≥ x − 2

Bất phương trình

A.

C.

2 x + 3 ≤ ( x + 2)
2 x + 3 ≥ 0

 x−2≤0

x≥

2

hoặc

với

3

2

.

tương đương với:

.

B.

2
 2 x + 3 ≥ ( x − 2 )

x−2 >0


.

2 x + 3 ≥ ( x + 2)

2

với

x≥2

.

D. Tất cả các câu trên đều đúng.
Lời giải

Chọn C
 A ≥ 0

 B ≤ 0
 A ≥ B2

A ≥ B ⇔   B > 0

Ta sử dụng kiến thức sau

2x +
Câu 18.

Bất phương trình

A.

2x < 3

3
3
< 3+
2x − 4
2x − 4
x<

.

B.

3
2

và

tương đương với:

x≠2

x<
.

Chọn D

6

C.
Lời giải

3
2

.

D. Tất cả đều đúng.


x ≠ 2


3
3 ⇔ 2 x − 4 ≠ 0 ⇔  x ≠ 2 ⇔ 
3
3


2x +
< 3+
x< ⇔ x<

2
x
<
3
2
x
<
3



2
2x − 4
2x − 4
2

2x < 3

⇔ x<

3
2

.

.

Vậy A, B, C đều đúng.
DẠNG 3. SỬ DỤNG CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG ĐỂ GIẢI BẤT PHƯƠNG
TRÌNH MỘT ẨN
Câu 19.

Tập nghiệm của bất phương trình:

A.

( 3; +∞ )

.

Chọn

x2 + 9 > 6 x

¡ \ { 3}

B.

là

¡
C. .
Lời giải

.

D.

( – ∞;3)

.

B.

x 2 + 9 > 6 x ⇔ ( x − 3) > 0 ⇔ x ≠ 3
2

Câu 20.

Bất phương trình

A.

[ 3; + ∞ )

.

Chọn
Ta có:

−3 x + 9 ≥ 0

B.

( −∞;3]

( −1; +∞ )

Chọn
Ta có
Cho

A.

.

( 3; + ∞ )

C.
Lời giải

−3 x + 9 ≥ 0 ⇔ −3 x ≥ −9 ⇔ x ≤ 3
−3 x + 9 ≥ 0

Tập nghiệm của bất phương trình

A.

Câu 22.

có tập nghiệm là

.

D.

( −∞; − 3)

B.

Vậy: Bất phương trình
Câu 21.

.

.

B.

.

( −∞;3]

có tập nghiệm là

2 − 3x < x + 6

( −∞; −1)

.

.

( −∞;1)

C.
Lời giải

.

.

D.

( 1; +∞ )

A.
2 − 3 x < x + 6 ⇔ 4 x > −4 ⇔ x > −1

f ( x) = 2x − 4

.

, khẳng định nào sau đây là đúng?

f ( x ) > 0 ⇔ x ∈ ( 2; +∞ )

.

B.

7

f ( x ) < 0 ⇔ x ∈ ( −∞; −2 )

.

.


C.

f ( x ) > 0 ⇔ x ∈ ( −2; +∞ )

Chọn

.

D.
Lời giải

f ( x ) = 0 ⇔ x = −2

.

A.

Ta có
f ( x) > 0 ⇔ 2x − 4 > 0 ⇔ x > 2 ⇒

A đúng.

f ( x ) < 0 ⇔ 2 x − 4 < 0 ⇔ x < −2 ⇒
f ( x) > 0 ⇔ 2x − 4 > 0 ⇔ x > 2 ⇒
f ( x) = 0 ⇔ 2x − 4 = 0 ⇔ x = 2 ⇒

5x −1 >
Câu 23.

Bất phương trình

A.

x<2

.

B.

5
2

x>

∀x
C.
.
Lời giải

.

2x
23
20
+3 ⇔
x>4 ⇔ x>
5
5
23

Tập nghiệm của bất phương trình

1

 −∞; − ÷
2


Chọn

Ta có

D sai.

D.

20
23

.

B.

.

2 x −1 > 0

1

 −∞; ÷
2


là

 1

− ;+ ∞÷
 2


.

C.
Lời giải

.

1


 ;+ ∞÷
2

D.
.

D.
2x −1 > 0 ⇔

x>

1
2

.

1

 ;+ ∞÷
2

Tập nghiệm của bất phương trình là
.
Câu 25.

2 x − 10 ≥ 0
Nghiệm của bất phương trình
là
x≥5
x=5

A.

.

D.

5x −1 >

A.

C sai

có nghiệm là

x>−

Chọn

Câu 24.

2x
+3
5

B sai.

.

B.

.

8

C.
Lời giải

x>5

.

D.

x≥8

.


Chọn

A.
2 x − 10 ≥ 0 ⇔ x ≥ 5

Ta có

.

Vậy nghiệm của bất phương trình
Câu 26.

S

Tìm tập nghiệm

A.

S = [ 4; + ∞ )

Chọn

2 x − 10 ≥ 0

của bất phương trình

.

B.

S = ( 4; + ∞ )

.

B.

Chọn

Cho

f ( x) = 2x +1

A.
Chọn

Câu 29.

D.

.

là

S = [ 4; + ∞ )

2x +1 < 3

C.
Lời giải

?
x=0

.

D.

2.0 + 1 < 3

Câu 30.

x =1

.

mệnh đề đúng.

. Khẳng định nào sau đây là khẳng định sai

1
2

f ( x ) > 0; ∀x <
. B.

1
2

. C.
Lời giải

f ( x ) > 0; ∀x > 2

1
f ( x) > 0 ⇔ 2x +1 > 0 ⇔ x > − 2

[ 2; + ∞ )

−3 x + 6 ≤ 0

.

B.

f ( x ) > 0; ∀x <
.Vậy

có tập nghiệm là:

( −∞; 2]

.

( 2; + ∞ )

C.
Lời giải

1
2

.

D.

f ( x ) > 0; ∀x > 0

là sai.

.

Chọn A
Ta có

.

.

B.

Bất phương trình

A.

.

S = ( −∞; − 4]

.

−4 x + 16 ≤ 0

vào bất phương trình ta được:

f ( x ) > 0; ∀x > −

Ta có

S = ( −∞; 4]

C.

x=0

Thay

?

C.
Lời giải

Số nào dưới đây là nghiệm của bất phương trình
x=2
x=3

A.

Câu 28.

.

.

A.

Vậy tập nghiệm của bất phương trình
Câu 27.

x≥5

−4 x + 16 ≤ 0

−4 x + 16 ≤ 0 ⇔ −4 x ≤ −16 ⇔ x ≥ 4

Ta có

là

−3 x + 6 ≤ 0 ⇔ x ≥ 2

. Vậy bất phương trình đã cho có tập nghiệm là
3
≥1
x

Chun Lê Hồng Phong-Nam Định Bất phương trình

9

D.

( −∞; − 2 )

S = [ 2; + ∞ )

.

có bao nhiêu nghiệm nguyên?

.

.

A.

3

.

B.

Chọn

+ Nếu

+ Nếu

2

.

C. Vơ số.
Lời giải

x>0

x<0

3
≥1
⇔ x≤3

x

thì

. Tập nghiệm của bất phương trình là

3
≥1
⇔ x≥3
x

thì

x2 − 2 x + 5 + x −1 ≤ 2

Bất phương trình

A.

1

4

.

A.

. Tập nghiệm của bất phương trình là
S = S1 ∪ S2 = ( 0;3]
Tập nghiệm của bất phương trình đã cho là

.
3
Vậy số nghiệm ngun của bất phương trình là .
Câu 31.

D.

nghiệm.

B. vơ nghiệm.

S1 = ( 0;3]

S2 = ∅

.

.

có bao nhiêu nghiệm?

C. vơ số nghiệm.
Lời giải

D.

2

nghiệm.

Chọn A
Bất phương trình
Điều kiện xác định:

Ta có: Với
Do đó

x ≥1

( 1) ⇔

x 2 − 2 x + 5 + x − 1 ≤ 2 ( 1)
x ≥1

.

.

x2 − 2 x + 5 =

thì

( x − 1)

2

+ 4 ≥ 2; x − 1 ≥ 0 ⇒ VT ( 1) ≥ 2, ∀x ≥ 1

x2 − 2 x + 5 + x −1 = 2 ⇔ x = 1

.

Vậy bất phương trình có 1 nghiệm.
Câu 32.

x −1 < 1

Tập nghiệm của bất phương trình

A.

( −∞ ; 2 )

.

B.

[ 1; 2 )

.

là

( 0; 2 )

C.
Lời giải

Chọn B

Ta có:

x ≥ 1
x − 1 < 1 ( *) ⇔ 
⇔1≤ x < 2
 x −1 < 1

Bất phương trình (*) có tập nghiệm là

.

S = [ 1; 2 )

10

.

.

D.

( 1; 2 )

.

.


Câu 33.

Bất phương trình

A.

( 2; +∞ )

2x − 5 x − 3
>
3
2

.

B.

có tập nghiệm là

( −∞;1) ∪ ( 2; +∞ )

( 1; +∞ )

. C.
Lời giải

.

1

 ; +∞ ÷
4


D.
.

ChọnC
Bất phương trình đã cho

⇔ 2 ( 2 x − 5 ) > 3 ( x − 3) ⇔ 4 x − 10 > 3 x − 9 ⇔ x > 1

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là

Câu 34.

Tập nghiệm của bất phương trình

A.

 3
1; 2 ÷

B.

(

( 1; +∞ )

)

3x − 2 − 1

.

.

x2 + 1 < 0

[ 1; +∞ )

là

C.

2 
 3 ;1÷


D.

[ 2;3]

Lời giải
Chọn C

x≥
Điều kiện
Ta có

(

2

3

.

x 2 + 1 > 0, ∀x

)

3x − 2 − 1

nên

x 2 + 1 < 0 ⇔ 3x − 2 − 1 < 0 ⇔ 3 x − 2 < 1 ⇔ 3x − 2 < 1 ⇔ x < 1

Kết hợp điều kiện ta được

2
≤ x <1
3
x − x −1 <

Câu 35.

x
(TOÁN HỌC TUỔI TRẺ - THÁNG 4 - 2018) Số nguyên dương nhỏ nhất thỏa mãn
là
2499
2500
2502
2501

A.

.

Điều kiện:

B.

x ≥1

.

C.
Lời giải

.

D.

1
100

.

.

Ta có:
2

1
 9999 
x − x −1 <
⇔ 100 x < 100 x − 1 + 1 ⇔ 200 x − 1 > 9999 ⇔ x > 
÷ + 1 ≈ 2500,5
100
 200 
11


Vậy
Câu 36.

x = 2501

.

A.

[ 2017, +∞ )

Chọn

.

Thử

B.

( −∞, 2017 )

là

{ 2017}

.

C.
Lời giải

.

D.

∅

.

D.

Điều kiện xác định:

Câu 37.

x − 2017 > 2017 − x

Tập nghiệm của bất phương trình

x = 2017

 x ≥ 2017

 x ≤ 2017 ⇔ x = 2017

.

vào bất phương trình khơng thỏa mãn. Vậy bất phương trình vơ nghiệm.

Tập nghiệm của bất phương trình

3
23 3
23 
; +
 −
÷
4 4
4 ÷
4

A.
.
 2

− ;+ ∞÷
 3

C.
.
D.

2 x 2 − 3x + 4
>2
x2 + 3

là

B.



3
23   3
23
∪
+
;
+
∞
 −∞; −
÷

÷

÷
4
4 ÷
4

 4



2

 −∞; − ÷
3

.
Lời giải

Chọn
Do

D.

x 2 + 3 > 0 ∀x ∈ ¡

nên bất phương trình đã cho tương đương với

2
2 x 2 − 3x + 4
> 2 ⇔ 2 x 2 − 3 x + 4 > 2 x 2 + 3 ⇔ 3 x < −2 ⇔ x < −
2
3
x +3

(

Câu 38.

Tập nghiệm của bất phương trình

A.

( 1; 2 )

Chọn

.

B.

)

3 − 2x + 2 − x < x + 2 − x

( 1; 2]

( −∞;1)

.

C.
Lời giải

B.

Điều kiện xác định:

x≤2

.

Bất phương trình tương đương

x >1

.

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là

( 1; 2]
12

.

.

.

là

D.

( 1; +∞ )

.

.

Câu 39.

Tập nghiệm của bất phương trình

A.

( 3; + ∞ )

.

Chọn

là

.

( −∞ ;3) ∪ ( 3; + ∞ )

C.
Lời giải

x −3 ≠ 0 ⇔ x ≠ 3

x −1
x −1 x − 3
2
>1⇔
−
>0 ⇔

> 0 ⇔ x −3 > 0
⇔ x >3
x −3
x −3 x −3
x −3

2x −
Tập nghiệm của bất phương trình

A.

8

S =  ; +∞ ÷
11


Chọn

S = ( 3; + ∞ )

.

B.

8

 −∞; 
11 


Ta có

S =∅

.

Chọn

Ta có

.

.

.

C.
Lời giải

4

S =  ; +∞ ÷
11


.

x −3
8

≤ 4x −1
⇔ x≥
⇔ 10 x − x + 3 ≤ 20 x − 5 ⇔ 11x ≥ 8
5
11

Tập nghiệm của bất phương trình

A.

x−3
≤ 4x −1
5

.

D.

2

 −∞; 
11


.

A.

2x −

Câu 41.

.

.

Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là

Câu 40.

. D.

( −∞ ;3)

A.

Điều kiện:

Ta có:

B.

¡

x −1
>1
x−3

B.

x2 + 2 ≤ x −1

1

S =  −∞; − 
2


.

.

.

[ 1; +∞ )

C.
Lời giải

.

D.

1

 2 ; +∞ ÷


.

A.
x ≥ 1
x
−
1
≥
0

 x ≥ 1 ⇔ 
1
⇔ 2
⇔

x≤−
2
2

x
+
2
≤
x
−
2
x
+
1
2
x
≤

−
1
x + 2 ≤ x −1



2

.

Vậy bất phương trình vơ nghiệm.

x −1 + 5 − x +
Câu 42.

Tập nghiệm của bất phương trình

A.

S = [ 1;5]

.

B.

S = ( 1;5 ) \ { 3}

.

1

1
>
x−3 x−3

C.
Lời giải
13

S = ( 3;5]

.

là

D.

S = [ 1;5] \ { 3}

.


Chọn

D.

x −1 + 5 − x +

 x − 1 + 5 − x > 0
1 ≤ x ≤ 5
1

1
>
⇔
⇔
x −3 x −3
 x − 3 ≠ 0
x ≠ 3

.

DẠNG 4. SỬ DỤNG CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG GIẢI HỆ BẤT PHƯƠNG
TRÌNH MỘT ẨN
Câu 43.

(THPT NƠNG CỐNG - THANH HĨA LẦN 1_2018-2019) Tìm tập nghiệm của hệ bất phương trình:

3x + 1 ≥ 2 x + 7

4 x + 3 > 2 x + 19
A.

[ 6; +∞ ) .

.

B.

[ 8; +∞ ) .

( 6; +∞ ) .

C.
Lời giải

D.

( 8; +∞ ) .

Chọn D

Ta có

Câu 44.

3 x + 1 ≥ 2 x + 7
x ≥ 6
x ≥ 6
⇔
⇔
⇔ x>8

 4 x + 3 > 2 x + 19
2 x > 16
x > 8

Tập nghiệm của bất phương trình

A.

( −∞; −1)

.

B.

x + 3 < 4 + 2x

5 x − 3 < 4 x − 1

( −4; −1)

.

là

.

( −∞; 2 )

C.
Lời giải

.

Chọn D
 x + 3 < 4 + 2x
 x > −1
⇔
⇔ −1 < x < 2


5 x − 3 < 4 x − 1
x < 2

Câu 45.

.

4 − x ≥ 0

x + 2 ≥ 0

Tập nghiệm của hệ bất phương trình
là
S = ( −∞; −2] ∪ [ 4; +∞ )
S = [ −2; 4]
A.
.
B.
.
S = [ 2; 4]
S = ( −∞; −2 ) ∪ ( 4; +∞ )
C.
.
D.
.
Lời giải
Chọn B

Hệ phương trình

x ≤ 4
⇔
 x ≥ −2 ⇔ −2 ≤ x ≤ 4

.

14

D.

( −1; 2 )

.


Vậy tập nghiệm của hệ phương trình là

Câu 46.

A.

B.

.

3 x + 2 > 2 x + 3

1 − x > 0

Tập nghiệm của hệ bất phương trình

1 
 ;1 ÷.
5 

S = [ −2; 4 ]

∅.

là

( 1; +∞ )

C.

.

D.

( −∞;1)

.

Lời giải
Chọn B

Ta có:

3 x + 2 > 2 x + 3  x > 1
⇔


1 − x > 0
x < 1

vơ nghiệm.

Vậy tập nghiệm bất phương trình trên là

Câu 47.

Hệ bất phương trình sau

A.

[ 7; +∞ )

.

Chọn

2 x − 1 ≥ 3 ( x − 3)

2 − x
< x −3

 2
 x − 3 ≥ 2

B.

∅

.

S = ∅.

có tập nghiệm là

C.
Lời giải:

[ 7;8]

8 
 ;8 ÷
3 
D.
.

.

C.

2 x − 1 ≥ 3 ( x − 3)
x ≤ 8


2 x − 1 ≥ 3 x − 9
− x ≥ −8
2 − x

8

<
x
−
3
⇔
x>




⇔ 2 − x < 2 x − 6 ⇔ −3x < −8
3
 2

x − 3 ≥ 4
x ≥ 7
 x − 3 ≥ 2
 x ≥ 7 ⇔ 7 ≤ x ≤ 8



Câu 48.

Tập nghiệm của hệ bất phương trình

4

 −2; ÷

5

A.
.
Chọn

B.

 2x −1
 3 < − x + 1

 4 − 3x < 3 − x
 2

4

−
2;
 5 

.

là

3

 −2; ÷
5


C.
Lời giải

A.

15

.

.

D.

 1
 −1; 3 ÷


.


Hệ bất phương trình

4

2 x − 1 < −3 x + 3  x <
4
⇔
⇔
5 ⇔ −2 < x <
5

4 − 3x < 6 − 2 x
 x > −2

.

4

 −2; ÷
5

Vậy tập nghiệm của hệ bất phương trình là
.

Câu 49.

5 x − 2 < 4 x + 5
 2
2
 x < ( x + 2 )

Tổng tất ca các nghiệm nguyên của hệ bất phương trình
28
27
21

A.

.

Chọn

B.

.

C.
Lời giải

.

D.

Vậy tập nghiệm của hệ bất phương trình là

S = ( −1; 7 )

Suy ra các nghiệm nguyên của hệ bất phương trình là

Tập nghiệm của hệ bất phương trình

 23 
 ;13 ÷
 2


Chọn

.

B.

 4x + 5
 6 < x − 3

2 x + 3 > 7 x − 4

3

( −∞;13)

.

.

0; 1; 2; 3; 4; 5; 6

21

.

.

là

( 13; − ∞ )

C.
Lời giải

.

D.

23 

 −∞; ÷
2 


.

A.

4x + 5
23
< x −3
⇔x>
⇔ 2 x − 23 > 0
6
2
2x + 3 >

.

.

Vậy tổng tất cả các nghiệm nguyên của hệ bất phương trình là

A.

29

A.

5 x − 2 < 4 x + 5
x < 7
x < 7
x < 7
 2
⇔ 2
⇔
⇔
2
2
 x < ( x + 2 )
x < x + 4x + 4
−4 x < 4
 x > −1

Câu 50.

bằng

7x − 4
3 ⇔ x − 13 < 0 ⇔ x < 13

. Tập nghiệm của

4x + 5
< x −3

6
2x + 3 >

. Tập nghiệm của

16

7x − 4
3

 23

S1 =  ; + ∞ ÷
 2

là
.

là

S 2 = ( −∞;13 )

.


 23 
S = S1 ∩ S2 =  ;13 ÷
 2

Hệ có tập nghiệm

.

Câu 51.

Tập nghiệm của hệ bất phương trình

( −3; 2 )

A.

Chọn

B.

x = −2

Chọn

Do

C.
Lời giải

.

( −3; + ∞ )

D.

.

B.

2 x − 5 < 3x

4 x − 1 > 0

2 x − 4 > 3

1 + 2 x < 5

.

C.
Lời giải

.

2 x − 3 < 3x − 5

2 x − 3 > 1

D.

A.
2 x − 3 < 1

3 + 4 x > −6 ⇔

 9 

−2 ∈  − ; 2 ÷
 2 

nên

x < 2

9

9
 x > − 4 ⇔ − 4 < x < 2 ⇒

x = −2

Tập nghiệm

là nghiệm của hệ phương trình

 9 
S =  − ;2÷
 4 

2 x − 3 < 1

3 + 4 x > −6

.

.

DẠNG 5. BẤT PHƯƠNG TRÌNH, HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA THAM SỐ
Câu 53.

Bất phương trình
m ≠ 1.

( m − 1) x > 3

A.

Rõ ràng nếu
Xét

Câu 54.

m ≠1

m =1

m ≠ 1.

B.

vô nghiệm khi
m < 1.

m = 1.
C.
Lời giải

D.

m > 1.

bất phương trình ln có nghiệm.

bất phương trình trở thành

Bất phương trình

A.

.

là nghiệm của hệ bất phương trình nào sau đây?

2 x − 3 < 1

3 + 4 x > −6

Ta có

.

( 2; + ∞ )

2 − x > 0
x < 2
⇔
⇔ −3 < x < 2


2 x + 1 > x − 2
 x > −3

Giá trị

A.

( −∞; 3)

là

A.

Ta có:
Câu 52.

.

2 − x > 0

2 x + 1 > x − 2

(m

2

− 3m ) x + m < 2 − 2 x
B.

m ≠ 2.

0x > 3

: vô nghiệm. Chọn

C.

vô nghiệm khi

m = 1, m = 2.

C.
Lời giải
17

D.

m∈¡ .

.


Bất phương trình tương đương với

Rõ ràng nếu
Với
Với

m =1

Câu 55.

− 3m + 2 ) x < 2 − m

m ≠1
m 2 − 3m + 2 ≠ 0 ⇔ 
m ≠ 2

bất phương trình trở thành

Có bao nhiêu giá trị thực của tham số
0.
1.

m

B.

Rõ ràng nếu
Với
Với

Goi

S

m ≠1
m2 − m ≠ 0 ⇔ 
m ≠ 0

m =1
m=0

Chọn

bất phương trình ln có nghiệm.

0x < 1

: vô nghiệm.

0x < 0

: vô nghiệm.

để bất phương trình
2.

bất phương trình trở thành

− m) x < m

vơ nghiệm.

D. Vô số.

0x < 1

: nghiệm đúng với mọi

0x < 0

x∈¡

.

: vơ nghiệm.

B.

A.

S

Bất phương trình tương đương với

Rõ ràng nếu
m = −2
m=3

m

để bất phương trình

2.
C.
Lời giải

(m

(m

2

− m) x + m < 6x − 2

bằng:

B.

Suy ra

2

bất phương trình ln có nghiệm.

bất phương trình trở thành

vơ nghiệm. Tổng các phần tử trong
0.
1.

Với

(m

C.
Lời giải

là tập hợp tất ca các giá trị thực của tham số

Với

.

C.

A.

Câu 56.

2

bất phương trình trở thành

m=2

Chọn

(m

2

− m − 6 ) x < −2 − m

 m ≠ −2
m2 − m − 6 ≠ 0 ⇔ 
 m≠3

bất phương trình trở thành

bất phương trình trở thành

S = { −2;3} 
→ −2 + 3 = 1.

D.

3.

.

bất phương trình ln có nghiệm.
0x < 0

0 x < −5

Chọn
18

: vô nghiệm.
: vô nghiệm.
B.


Câu 57.

Có bao nhiêu giá trị thực của tham số
0.

1.

A.

B.

Bất phương trình tương đương với
m ≠1

Rõ ràng nếu
Xét

m =1

(m

2

B.

Chọn

Câu 59.

m

D. Vô số.

: nghiệm đúng với mọi

thỏa mãn yêu cầu bài toán. Chọn

nghiệm đúng với moi
m ≠ −3.

C.
Lời giải

( m + 3)

2

x

x

.

A.

khi

D.

m = −3.

x ≥ m−3
.

bất phương trình trở thành

0 x ≥ −6

: nghiệm đúng với mọi

x∈¡

.

D.

Bất phương trình

A.

0x ≤ 1

m = 3.

Bất phương trình tương đương với
m = −3

vơ nghiệm.

( m − 1) x ≤ 2 − m.

+ 9) x + 3 ≥ m ( 1 − 6 x )

A.

mx − 2 ≤ x − m

C.
Lời giải

bất phương trình trở thành

Bất phương trình
m ≠ 3.

Với

để bất phương trình
2.

bất phương trình ln có nghiệm.

Vậy khơng có giá trị nào của

Câu 58.

m

4m 2 ( 2 x − 1) ≥ ( 4m 2 + 5m + 9 ) x − 12m

m = −1.

B.

9

m= .
4

Bất phương trình tương đương với

( 4m

nghiệm đúng với moi

m = 1.
C.
Lời giải
2

− 5m − 9 ) x ≥ 4m2 − 12m

m ≠ −1

4 m − 5m − 9 ≠ 0 ⇔ 
9
 m ≠ 4

D.

x

khi

9
m=− .

4

.

2

Dễ dàng thấy nếu
x∈¡
đúng với mọi
.
Với

m = −1

m=
Với

9
4

bất phương trình trở thành

0 x ≥ 16

0x ≥ −
bất phương trình trở thành

19

thì bất phương trình khơng thể có nghiệm

: vơ nghiệm.

27
4

: nghiệm đúng với mọi

x∈¡

.


m=
Vậy giá trị cần tìm là
Câu 60.

Bất phương trình
m = 1.

9
4

. Chọn

m 2 ( x − 1) ≥ 9 x + 3m

A.

B.

x
nghiệm đúng với moi khi
m = −3.
m = ∅.

C.
Lời giải

Bất phương trình tương đương với
Dễ dàng thấy nếu
∀x ∈ ¡
Với
Với

m=3

(m

2

bất phương trình trở thành

m = −3

Chọn

Tìm tất ca các giá trị thực của tham số
là

A.

( −m − 2; +∞ )

m

B.

Để ý rằng, bất phương trình
● Vơ nghiệm

0x ≥ 0

: nghiệm đúng với mọi

x∈¡ .

B.
để bất phương trình

( S = ∅)

m ≠ 2.

( x + m ) m + x > 3x + 4

ax + b > 0

m > 2.
C.

Lời giải

(hoặc

Bất phương trình viết lại
m−2 >0 ↔ m > 2

< 0, ≥ 0, ≤ 0

hoặc có tập nghiệm là

● Có tập nghiệm là một tập con của

¡

S =¡

thì chỉ xét

( m − 2 ) x > 4 − m2

có tập nghiệm

D.

m < 2.

)

thì chỉ xét riêng

a>0

hoặc

a = 0.

a < 0.

.

, bất phương trình

4 − m2
⇔x>
= − m − 2 → S = ( −m − 2; +∞ )
m−2

Câu 62.

: vô nghiệm

.

m = 2.

Xét

m = −1.

thì bất phương trình khơng thể có nghiệm đúng

0 x > 18

bất phương trình trở thành
m = −3.

D.

− 9 ) x ≥ m 2 + 3m.

m 2 − 9 ≠ 0 ⇔ m ≠ ±3

Vậy giá trị cần tìm là
Câu 61.

B.

Tìm tất ca các giá trị thực của tham số

m

. Chọn

C.

để bất phương trình

20

m ( x − m) ≥ x −1

có tập nghiệm là


( −∞; m + 1]
A.

.

m = 1.

B.

Bất phương trình viết lại

Xét

Xét

Câu 63.

m < 1.
C.
Lời giải

( m − 1) x ≥ m2 − 1

m −1 > 0 ↔ m > 1

m −1 < 0 ↔ m < 1

Chọn

m > 1.

.
⇔x≥

, bất phương trình
⇔x≤
, bất phương trình

m2 − 1
= m + 1 
→ S = [ m + 1; +∞ )
m −1
m2 − 1
= m + 1 
→ S = ( −∞; m + 1]
m −1

m ( x − 1) < 2 x − 3
m
Tìm tất ca các giá trị của tham số
để bất phương trình
có nghiệm.
m≠2
m>2
m=2

m<2

.

B.

Bất phương trình viết lại
● Rõ ràng

.

C.
Lời giải

( m − 2) x < m − 3

m−2 ≠ 0 ↔ m ≠ 2

m−2 =0 ↔ m = 2

● Xét

.

, bất phương trình trở thành
m≠2

. Chọn

0 x < −1

B.

Bất phương trình viết lại
● Rõ ràng

m ( x − 1) < 3 − x

● Xét

.

( m + 1) x < m + 3

m +1 ≠ 0

(vơ lí).

A.

Tìm tất ca các giá trị của tham số
để bất phương trình
m ≠1
m =1
m∈¡

.

.

thì bất phương trình có nghiệm.

m

A.

D.

.

Vậy bất phương trình có nghiệm khi

C.
Lời giải

.

có nghiệm.
m≠3

D.

.

.

thì bất phương trình có nghiệm.

m + 1 = 0 ↔ m = −1

, bất phương trình trở thành

Vậy bất phương trình có nghiệm với mọi

Câu 65.

m ≥ 1.

C.

A.

Câu 64.

D.

Tìm tất ca các giá trị của tham số

m

m

. Chọn

để bất phương trình

21

0x < 2

(m

(ln đúng với mọi

x

).

C.
2

+ m − 6) x ≥ m + 1

có nghiệm.

.

.


m≠2

A.

.

B.

● Rõ ràng

● Xét

m≠2

m2 + m − 6 ≠ 0

và

m≠3

m∈¡
. C.
.
Lời giải

D.

 m = 2 
→ 0 x ≥ 3 
→S = ∅
m2 + m − 6 = 0 ↔ 
.
→ 0 x ≥ −2 
→S = ¡
 m = −3 

Tìm tất ca các giá trị của tham số

m = 1.

A.

B.

Bất phương trình viết lại
● Rõ ràng

● Xét

(m

m2 − m ≠ 0

2

m

m=0

để bất phương trình

m≠2

m 2 x − 1 < mx + m

m = 0; m = 1.
C.
Lời giải

.

− m) x < m + 1

Goi

S

( 3; +∞ )

S

?

.

B.

[ 3; +∞ )

Bất phương trình tương đương với
m<2

mx + 6 < 2 x + 3m

( −∞;3)

.

C.
Lời giải

S

là

( −∞;3] .

Chọn

m

B.

với

m<2

.

m∈¡

. Chọn

D.

. Hỏi tập hợp nào sau đây là

D.

( −∞;3]

.

( m − 2 ) x < 3m − 6.

, bất phương trình tương đương với

Tìm giá trị thực của tham số
m=3

A.

.

.

x>

Suy ra phần bù của
Câu 68.

m∈¡

thì bất phương trình có nghiệm.

là tập nghiệm của bất phương trình

Với

có nghiệm.

 m = 0 
→ 0 x < 1 
→S = ¡
m2 − m = 0 ↔ 
.
m
=
1

→
0
x
<
2

→
S
=
¡


phần bù của tập

A.

. Chọn A.

D.

Hợp hai trường hợp, ta được bất phương trình có nghiệm với mọi
Câu 67.

.

thì bất phương trình có nghiệm.

Hợp hai trường hợp, ta được bất phương trình có nghiệm khi
Câu 66.

m≠3

để bất phương trình
m =1

22

3m − 6
= 3 
→ S = ( 3; +∞ )
m−2

D.
m ( 2 x − 1) ≥ 2 x + 1

C.

m = −1

có tập nghiệm là

m = −2.

D.

[ 1; +∞ ) .


Lời giải
Bất phương trình tương đương với

( 2m − 2 ) x ≥ m + 1.

•

m =1
m =1
0x ≥ 2
Với
, bất phương trình trở thành
: vơ nghiệm. Do đó
khơng thỏa mãn
u cầu bài tốn.

•

Với

m >1

x≥

, bất phương trình tương đương với

⇔
Do đó u cầu bài tốn

m +1
=1⇔ m = 3
2m − 2

: thỏa mãn

x≤

•

m <1
Với
, bất phương trình tương đương với
thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Vậy
Câu 69.

m=3

là giá trị cần tìm. Chọn

Tìm giá trị thực của tham số
m ≠ 1.

A.

để bất phương trình
m = 1.

A.

C.

 1 1
m ∈ − ;  .
 2 2
 1

m ∈  − ; +∞ ÷.
 2


B.

D.

m

thì

để bất phương trình

1


m ∈  −∞;  .
2

 1   1
m ∈  − ;0 ÷∪  0;  .
 2   2
Lời giải

Cách 1. Ta có

m = −1.

có tập nghiệm là
m > 1.

( 4; +∞ ) .

D.

S = ( 3 − m; +∞ )

( 4; +∞ )

Để bất phương trình trên có tập nghiệm là
Tìm tất ca các giá trị của tham số

: không

2 x − m < 3 x − 3 ⇔ x > 3 − m.

Suy ra tập nghiệm của bất phương trình là

Câu 70.

.

m +1
m +1 


→ S =  −∞;
2m − 2
2m − 2 


2 x − m < 3 ( x − 1)

C.
Lời giải

Bất phương trình tương đương với

m >1

A.

m

B.

m +1
 m +1


→S = 
; +∞ ÷.
2m − 2
 2m − 2


x < 8 ⇔ −8 < x < 8 ⇔ x ∈ ( −8;8 ) .

23

3 − m = 4 ⇔ m = −1.

mx + 4 > 0

Chọn

C.
x <8

nghiệm đúng với moi

.


•

TH1:

m>0

⇔ mx > −4 ⇔ x > −
, bất phương trình

⇔ ( −8;8) ⊂ S ⇔ −
u cầu bài tốn

0Suy ra

•

TH2:

Do đó

•

m=0

m=0

TH3:

1
2

4
1
≤ −8 ⇔ m ≤ .
m
2

thỏa mãn u cầu bài tốn.

, bất phương trình trở thành

0.x + 4 > 0

: đúng với mọi

m<0

⇔ mx > −4 ⇔ x < −
, bất phương trình

u cầu bài tốn

1
− ≤m<0
2

4
4


→ S =  −∞; − ÷.

m
m


4
1
≥8⇔ m≥ − .
m
2

thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Kết hợp các trường hợp ta được

1
1
− ≤m≤
2
2

là giá trị cần tìm. ChọnA.

Cách 2. u cầu bài tốn tương đương với
y = f ( x)

( −8;8)

hàm số
trên khoảng
đó đều nằm phía trên trục hồnh

f ( x ) = mx + 4 > 0, ∀x ∈ ( −8;8 ) ⇔

Tìm tất ca các giá trị thực của tham số
đúng với moi

m<
A.

7
2

x ∈ [ −2018; 2]

.

B.

m

để bất phương trình

.

m 2 ( x − 2 ) − mx + x + 5 < 0

.

m=

7
2

m>
.

đồ thị của

nằm phía trên trục hồnh ⇔ hai đầu mút của đoạn thẳng

1

m≤

 f ( −8 ) ≥ 0
 −8m + 4 ≥ 0

2 ⇔−1 ≤m≤ 1
⇔
⇔
⇔
2
2
8m + 4 ≥ 0
m ≥ − 1
 f ( 8 ) ≥ 0

2

Câu 71.

x.

thỏa mãn yêu cầu bài toán.

⇔ ( −8;8 ) ⊂ S ⇔ −

Suy ra

4
 4


→ S =  − ; +∞ ÷.
m
 m


C.
Lời giải
24

7
2

.

D.

m∈¡

.

nghiệm


⇔ ( m 2 − m + 1) x < 2m 2 − 5 
→x <
Cách 1. Bất phương trình

2m 2 − 5 

→ S =  −∞; 2
÷
m − m +1


Cách 2. Ta có

Hàm số bậc nhất

2

2

(vì

1 3

m 2 − m + 1 =  m − ÷ + > 0, ∀m ∈ ¡

2 4


)


2m 2 − 5 
2m 2 − 5
7
⇔ [ −2018; 2] ⊂  −∞; 2
↔m>
÷↔ 2 < 2
m − m +1 
m − m +1
2


Yêu cầu bài toán
C.

(m

2m 2 − 5
m2 − m + 1

− m + 1) x < 2m 2 − 5 ⇔ ( m 2 − m + 1) x − 2m 2 + 5 < 0

y = ( m2 − m + 1) x − 2m2 + 5

có hệ số

m2 − m + 1 > 0

.
nên đồng biến.

⇔ y ( 2 ) < 0 ⇔ ( m 2 − m + 1) .2 − 2m 2 + 5 < 0 ⇔ m >
Do đó u cầu bài tốn
Câu 72.

Tìm tất ca các giá trị thực của tham số

x ∈ [ −1; 2]

A.

m ≥ −2

m

để bất phương trình

. Chọn

7
2

.

m2 ( x − 2 ) + m + x ≥ 0

có nghiệm

.

.

B.

m = −2

m ≥ −1
C.
.
Lời giải

D.

m ≤ −2

.

2m 2 − m
⇔ ( m + 1) x ≥ 2m − m 
→x≥
m2 + 1
2

Bất phương trình

.

2

 2m 2 − m


→S =  2
; +∞ ÷.
 m +1


u cầu bài tốn
A.

Câu 73.

Hệ bất phương trình

A.

3
m<− .
2

 2m 2 − m

2m 2 − m
⇔ [ 1; 2] 2
; + ữ ơ 

→ 2
≤ 2 ↔ m ≥ −2.
m +1
 m +1


2 x − 1 > 0

x − m < 2

B.

có nghiệm khi và chỉ khi:

3
m≤− .
2

3
m>− .
2

C.
Lời giải
25

D.

3
m≥− .

2

Chọn