Dạy thêm toán 10 H1 2 hệ TRỤC tọa độ
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (629.4 KB, 33 trang )
TOÁN 10
HỆ TRỤC TỌA ĐỘ
0H1-2
MỤC LỤC
Phần A. Câu hỏi...................................................................................................................................................1
Dạng 1. Sử dụng các kiến thức về trục, tọa độ vectơ trên trục và tọa độ của một điểm trên trục để giải một số
bài toán................................................................................................................................................................1
Dạng 2. Tọa độ vectơ...........................................................................................................................................3
Dạng 2.1 Sử dụng các công thức tọa độ của tổng, hiệu, tích vectơ với một số để giải tốn............................3
Dạng 2.2 Điều kiện 2 véc tơ cùng phương, thẳng hàng, bằng nhau................................................................4
Dạng 2.3 Biểu diễn một vectơ theo 2 vectơ không cùng phương.....................................................................5
Dạng 3. Tọa độ điểm............................................................................................................................................6
Dạng 3.1 Xác định tọa độ trung điểm, tọa độ trọng tâm, tọa độ điểm đối xứng.............................................6
Dạng 3.2 Xác định tọa độ điểm thỏa mãn điều kiện cho trước.......................................................................8
Dạng 3.3 Một số bài toán GTLN-GTNN của biểu thức chứa véctơ..............................................................11
Phần B. LỜI GIẢI THAM KHẢO....................................................................................................................13
Dạng 1. Sử dụng các kiến thức về trục, tọa độ vectơ trên trục và tọa độ của một điểm trên trục để giải một số
bài toán..............................................................................................................................................................13
Dạng 2. Tọa độ vectơ.........................................................................................................................................14
Dạng 2.1 Sử dụng các công thức tọa độ của tổng, hiệu, tích vectơ với một số để giải tốn..........................14
Dạng 2.2 Điều kiện 2 véc tơ cùng phương, thẳng hàng, bằng nhau..............................................................15
Dạng 2.3 Biểu diễn một vectơ theo 2 vectơ không cùng phương...................................................................16
Dạng 3. Tọa độ điểm..........................................................................................................................................17
Dạng 3.1 Xác định tọa độ trung điểm, tọa độ trọng tâm, tọa độ điểm đối xứng...........................................17
Dạng 3.2 Xác định tọa độ điểm thỏa mãn điều kiện cho trước.....................................................................20
Dạng 3.3 Một số bài toán GTLN-GTNN của biểu thức chứa véctơ..............................................................26
Phần A. Câu hỏi
Dạng 1. Sử dụng các kiến thức về trục, tọa độ vectơ trên trục và tọa độ của một điểm trên
trục để giải một số bài toán
Câu 1.
x ' Ox cho 2 điểm A, B lần lượt có tọa độ là a, b. M là điểm thỏa mãn
Trên
uuur trục
uuur
MA k MB, k �1 . Khi đó tọa độ của điểm M là:
ka b
A. k 1
Câu 2.
r
O; i
Trên trục
A. 2
kb a
B. k 1
a kb
C. k 1
kb a
D. k 1
cho ba điểm A, B, C. Nếu biết AB 5, AC 7 thì CB bằng:
B. 2
C. 4
D. 3
1
r
Câu 3.
Câu 4.
Câu 5.
O; i
Tên trục
uuur uur
rcho hai điểm A, B lần lượt có tọa độ 1 và 5. Khi đó tọa độ điểm M thỏa mãn
2 MA 3M B 0 là:
A. 10
B. 11
C. 12
D. 13
Trên trục x ' Ox cho bốn điểm A, B, C, D có tọa độ lần lượt là 3;5; 7;9 . Mệnh đề nào sau đây
sai?
A. AB 2
B. AC 10
C. CD 16
D. AB AC 8
r
i . Mệnh đề nào sau đây sai?
Trên trục x ' Ox có vectơ đơn
vị
uuu
r
r
x
A � OA x A .i
A
A.
là tọa độ điểm
B. xB , xC là tọa độ của điểm B và C thì BC xB xC
C. AC CB AB
D. M là trung điểm của AB
Câu 6.
� OM
OA OB
2
Trên trục x ' Ox , cho tọa độ của A, B lần lượt là 2;3 . Khi đó tọa độ điểm M thỏa mãn:
OM 2 MA.MB là:
A. 6
B.
C. 6
6
D. 4
Trên trục x ' Ox cho tọa độ các điểm A, B lần lượt là a, b. Khi đó tọa độ điểm A ' đối xứng với
A qua B là:
ab
A. b a
B. 2
C. 2a b
D. 2b a
r
uuur
uuuu
r r
O; i
MA
2
MC
0 , với A, C có tọa độ tương ứng
Câu 8. Trên trục
tìm tọa độ x của điểm M sao cho
là 1 và 3
5
2
2
5
x
x
x
x
3
3
5
2
A.
B.
C.
D.
r
O; i
Câu 9. Trên trục
cho 4 điểm A, B, C, D có tọa độ lần lượt là a, b, c, d. Gọi E, F, G, H (có tọa độ
lần lượt là e, f, g, h) theo thứ tự là trung điểm của AB, BC, CD, DA. Xét các mệnh đề:
I. euuurf uguur h uuuar b c d
EF EH
II. EG
uuur uuur r
III. AE CF 0
Trong các mệnh đề trên mệnh đề nào đúng?
A. Chỉ I
B. II và III
C. I, II, III
D. Chỉ III
Câu 7.
r
Câu 10.
O; i
Cho 4 điểm A, B, C, D trên trục
đúng?
2
1
1
A. AC AB AD
CA
DA
DB . Khi sso mệnh đề nào sau đây là
thỏa mãn CB
2
1
1
B. AB AC DA
2
1
1
C. AB AC AD
2
1
1
D. AD AB AC
Câu 11. Trên trục cho bốn điểm A, B, C, D bất kì. Đẳng thức nào sau đây là đúng?
A. AB.CD AC.DB AD.BC 0
B. AB.DB AC.BC AD.CD 0
C. AB. AC AD.BC BC .CD 0
D. BD.BC AD. AC CB.CA 0
2
r
Câu 12.
O; i
Trên trục
5; 2; 4 . Khi đó tọa độ điểm M thảo
uuur uuuu
rcho ba
uuurđiểm
r A, B, C có tọa độ lần lượt là
mãn 2 MA 3MC 4 MB 0 là:
10
A. 3
10
B. 9
5
C. 3
5
D. 4
2
Câu 13. Trên trục x ' Ox cho tọa độ các điểm B, C lần lượt là m 2 và m 3m 2 . Tìm m để đoạn
thẳng BC có độ dài nhỏ nhất.
A. m 2
B. m 1
C. m 1
D. m 2
Câu 14. Trên trục x ' Ox cho 4 điểm A, B, C,
D. Gọi I, J, K, L lần lượt là trung điểm của AC, DB,
AD,uu
BC.
Mệnh
đề
nào
sau
đây
là
sai?
ur uuu
r
uu
r
uuur uuur
uur
A. AD CB 2 IJ
B. AC DB 2 KI
uuu
r uuur
uur
AB
CD
2
IK
C. Trung điểm các đoạn IJ và KL trùng nhau
D.
Câu 15. Trên trục x ' Ox cho 3 điểm A, B, C có tọa độ lần lượt là 2;1; 2 . Khi đó tọa độ điểm M nguyên
1
1
1
dương thỏa mãn MA MB MC là:
A. 0
B. 4
C. 2
D. 3
Câu 16. Trên trục x ' Ox cho 4 điểm A, B, C,
2
2
2
2
2
2
2
2
2
D. Đẳng thức nào sau đây là đúng?
A. DA .BC DB .CA DC . AB BC.CA. AB 0
B. DA .BC DB .CA DC . AB 0
C. AB .BC CD .DB DB .CA 0
D. DA.BC DB.CA CD. AB BC . AB 0
Dạng 2. Tọa độ vectơ
Dạng 2.1 Sử dụng các cơng thức tọa độ của tổng, hiệu, tích vectơ với một số để giải toán
Câu 17. (Kiểm tra HKI - Phan Đình Tùng - Hà Nội năm học 2018-2019) Trong hệ trục tọa độ
rr
uu
r uu
r
O; i, j
2
i
3
j là:
, tọa độ của véc tơ
2;3 .
0;1 .
1;0 .
3; 2 .
A.
B.
C.
D.
r r r
Oxy
u
Câu 18. (HKI - Sở Vĩnh Phúc - 2018-2019) Trên mặt phẳng với hệ tọa độ
cho vectơ 3i 4 j .
r
u
Tọarđộ của vectơ là
u 3; 4
A.
r
u 3; 4
B.
.
C.
.
r 1r r
r
u i 5 j.
Oxy
u
2
Câu 19. Trong hệ tọa độ
cho
Tọa độ của vecto là
r �1 �
r �1
�
r
u � ;5 �
.
u � ; 5 �
.
u
1;10 .
�2 �
�2
�
A.
B.
C.
Câu 20.
.
r
u 3; 4
D.
r
u 3; 4
D.
r
u 1; 10 .
uuur
M 1;1 N 4; 1
Trong hệ trục tọa độ Oxy , cho hai điểm
,
. Tính độ dài véctơ MN .
uuur
uuur
uuur
uuur
MN 13
MN 5
MN 29
MN 3
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
3
.
uuur
Oxy , cho hai điểm A 2; 1 , B 4;3 . Tọa độ của véctơ AB bằng
Trong
hệ
trục
tọa
độ
uuu
r
uuu
r
uuu
r
uuu
r
AB 8; 3
AB 2; 4
AB 2; 4
AB 6; 2
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
r
r r
Oxy , toạ độ của vectơ a 8 j 3i bằng
Câu 22. Trong
r hệ trục toạ độ
r
r
r
a 3;8
a 3; 8
a 8;3
a 8; 3
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
uuur
B 1;3
C 3;1
Câu 23. Trong mặt phẳng Oxy , cho hai điểm
và . Độ dài vectơ BC bằng
A. 6 .
B. 2 5 .
C. 2 .
D. 5 .
Câu 21.
Câu 24.
Câu 25.
Câu 26.
Câu 27.
Câu 28.
Câu 29.
Câu 30.
(Kiểm tra HKI - Phan Đình Tùng - Hà Nội năm học 2018-2019) Trong mặt phẳng với hệ
Oxy , cho điểm A 1;3 và B 0;6 . Khẳng định nào sau đây đúng?
trụcuu
tọa
ur độ
uuur
uuur
uuu
r
AB 5; 3
AB 1; 3
AB 3; 5
AB 1;3
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
r
r
r r r
a 2; 1 , b 3; 4
c
Xácr định tọa độ của vectơ r a 3b biết
r
r
c 11;11
c 11; 13
c 11;13
c 7;13
A.
B.
C.
D.
r
r
r
r
r
r r r
a 2;1 , b 3; 4 , c 7; 2
x sao cho x 2a b 3c .
Chor
.
Tìm
vectơ
r
r
r
x 28; 2
x 13;5
x 16; 4
x 28;0
A.
B.
C.
D.
r
r
r
r
a 5; 0
a
x
.
i
y
.
j được kết quả nào sau đây?
Vectơ
biểu diễn dạng
r r r
r r uur
r
r r
r r
a
5
i
j
a
i
5
j
a
i 5j
a
5
i
A.
B.
C.
D.
r
r
r
r
r
a
3;
2
,
b
1; 4
Xácr định tọa độ vectơ c 5ar 2b biết
r
r
c 2; 11
c 2;11
c 2;11
c 11; 2
A.
B.
C.
D.
r
r
r
r
r r
r r r
a 3; 1 , b 0; 4 , c 5;3
x
x
a
2
b
3c 0 .
Cho
. Tìm vectơ sao cho
18; 0
8;18
8;18
8; 18
A.
B.
C.
D.
uuuur r r
uuuur
A 2;3
Cho điểm
và vectơ AM 3i 2 j .Vectơ nào trong hình là vectơ AM ?
A.
ur
V1
B.
uu
r
V2
C.
uu
r
V3
D.
uu
r
V4
Dạng 2.2 Điều kiện 2 véc tơ cùng phương, thẳng hàng, bằng nhau
4
rr
Câu 31.
O; i, j , cho
(KTNL GV BẮC GIANG NĂM 2018-2019) Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ
r
r
r r
b 4; 2
a
2
i
j
hai vectơ
và
là đúng?
. Khẳng định nào rsau đây
r
r
r
A. a và b cùng hướng.
B. a và b ngược hướng.
r
r
a 1; 2
a 2;1
C.
.
D.
.
ur
ur
ur �1 �
A 3; 2 , B 5; 4 , C � ;0 �
r
uuu
r
uuur
�3 �. Tìm x thỏa mãn AB x AC .
Câu 32. Cho
A. x 3
B. x 3
C. x 2
D. x 4
Câu 33. Trong
r các cặprvectơ sau, cặp vectơ nào không cùng rphương? r
a 2;3 ; b 10; 15
u 0;5 ; v 0;8
A. ur
B.
r
r
ur
m 2;1 ; n 6;3
c 3; 4 ; d 6;9
C.
D.
uuu
r
uuur
A 1;1 , B 1;3 , C 2; 0
Câu 34. Cho
. Tìm x sao cho AB xBC
2
2
3
3
x
x
x
x
3
3
2
2
A.
B.
C.
D.
Câu 35.
(THPT Nhữ
Văn Lan - Hải Phòng
- Học kỳ I - 2019) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy ,
r
r
r r
a (5; 2) , b (10;6 2 x) . Tìm x để a; b cùng phương?
A. 1.
B. 1.
C. 2.
D. 2.
Câu 36. Trong
r các cặpr vectơ sau, cặprvectơ nàor không cùng phương?
a 2;3 , b 6;9
u 0;5 , v 0; 1
A. ur
B. r
r
ur
m 2;1 , b 1; 2
c 3; 4 , d 6; 8
C.
D.
r
r
r r
u m2 3; 2m , v 5m 3; m 2
Câu 37. Cho
. Vectơ u v khi và chỉ khi m thuộc tập hợp:
2
0; 2
0; 2;3
3
A.
B.
C.
D.
r
r
r
r r r
u 2m 1 i 3 m j
v
Câu 38. Cho 2 vectơ
và 2i 3 j . Tìm m để hai vectơ cùng phương.
5
11
9
8
m
m
m
m
11
5
8
9
A.
B.
C.
D.
A m 1; 2 ; B 2;5 2m ; C m 3; 4
Câu 39. Trong mặt phẳng Oxy, cho
. Tìm m để A, B, C thẳng
hàng.
A. m 3
B. m 2
C. m 2
D. m 1
A 3; 2 , B 7;1 , C 0;1 , D 8; 5
Câu 40. Trong hệ trục Oxy, cho 4 điểm
. Mệnh đề nào sau đây
đúng?
uuur uuur
uuur uuur
AB
,
CD
A. uuur uuur đối nhau
B. AB, CD ngược hướng
C. AB, CD cùng hướng D. A, B, C, D thẳng hàng
r
r
r
r
a 4; m , v 2m 6;1
Câu 41. Cho
. Tập giá trị của m để hai vectơ a và b cùng phương là:
1;1
1; 2
2; 1
2;1
A.
B.
C.
D.
5
Câu 42. Cho 4 điểm
hàng?
A. A, B, C
A 1; 2 , B 0;3 , C 3; 4 , D 1;8
. Ba điểm nào trong bốn điểm dã cho thẳng
B. B, C, D
C. A, B, D
D. A, C, D
r
r
Câu 43. Cho 2 vectơ a và b không cùng phương. Hai vectơ nào sau đây cùng phương?
r
1r
r
r 2r r
r
r r
u a 3b
v
2
a
9b
3
B.
và
r
r 3r
r
1r 1r
u 2a b
v a b
2 và
3
4
D.
r
r r
v a 3b
u
2
a
b và
2
A.
r 3r r
r
r 3r
u a 3b
v 2a b
5
5
C.
và
Câu 44.
(ĐỘI CẤN VĨNH PHÚC LẦN 1 2018-2019) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho
A m 1; 2 , B 2;5 2m
C m 3; 4
và
. Tìm giá trị m để A, B, C thẳng hàng.
m
2
A.
.
m
2
B.
.
m
1
C.
.
m
3
D.
.
Dạng 2.3 Biểu diễn một vectơ theo 2 vectơ không cùng phương
r
r r r
a 2; 1
a
xi y j được kết quả nào sau đây?
Câu 45. Vectơ
biểu diễn dưới
r r r
r rdạng
r
r
r r
r
r r
a
2
i
j
a
i
2
j
a
2
i
j
a
i2j
A.
B.
C.
D.
r
r
r
r
r
r
Oxy
a
(2;1),
b
(3;
4),
c
(7; 2) . Cho biết c ma nb khi
Câu 46.
Trong mặt phẳng tọa độ
cho
đó.
22
3
22
3
1
3
22
3
m ; n
m ; n
m ; n
m ; n
5
5.
5
5 . C.
5
5 .
5
5 .
A.
B.
D.
Câu 47.
Câu 48.
Câu 49.
Câu 50.
Câu 51.
Oxy, cho các điểm A 4; 2 , B 2;1 , C 0;3 , M 3;7 . Giả sử
uuuu
rTronguuu
rmặt uphẳng
uur
AM x. AB y.AC x, y �� .
Khi đó x y bằng
12
12
A. 5 .
B. 5 .
C. 5 .
D. 5 .
r
r
r
a 2; 1 b 0; 4
c 3;3
Oxy
Trong mặt phẳng
;
và
. Gọi m và n là hai
r
r ;cho
r các véc tơ
2
2
số thực sao cho c ma nb . Tính giá trị biểu thức P m n .
225
100
97
193
P
P
P
P
64 .
81 .
64 .
64 .
A.
B.
C.
D.
r
r
r
r r
r
a 2; 1 b 3; 4 c 4; 9
m
n
ma
nb
c . Tính
Cho
,
,
. Hai số thực ,
thỏa mãn
2
2
m n ?
A. 5 .
B. 3 .
C. 4 .
D. 1 .
r
r
r
r
r
r
a 2;1 ; b 3; 4 ; c 7; 2
Trong mặt phẳng Oxy, cho
. Tìm m, n để c ma nb .
22
3
1
3
22
3
22
3
m ,n
m ,n
m ,n
m ,n
5
5
5
5
5
5
5
5
A.
B.
C.
D.
r
r
r
r
r
a 4; 2 , b 1; 1 , c 2;5
a
c
Cho các vectơ
Phân tích vectơ và ta được:
6
r
r 1r 1r
r
r
1r 1r
1r r
1r 1r
b a c
b a c
b a 4c
b a c
8
4
8
4
8
8
4
A.
B.
C.
D.
r
r
r
r
r
r
a 2;1 , b 3; 4 , c 7; 2
Câu 52. Cho vectơ
. Khi đó c ma nc . Tính tổng m n bằng:
A. 5
B. 3,8
C. 5
D. 3,8
uuur
A 1; 2 , B 0;3 , C 3; 4 , D 1;8
CD
Câu 53. Trong
mặt
phẳng
tọa
độ
Oxy,
cho
4
điểm
.
Phân
tích
uuur
uuur
qua AB và AC . Đẳng thức nào sau đây đúng?
uuur
uuur 1 uuur
uuur
uuu
r
uuur
uuur
uuu
r uuur
uuur
uuu
r uuur
CD 2 AB AC
2
A. CD 2 AB 2 AC
B. CD 2 AB AC
C. CD 2 AB AC
D.
Dạng 3. Tọa độ điểm
Dạng 3.1 Xác định tọa độ trung điểm, tọa độ trọng tâm, tọa độ điểm đối xứng
Câu 54.
(THPT Nhữ Văn Lan - Hải Phòng - Học kỳ I - 2019) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho
M x; y
điểm
. Tìm tọa độ của điểm M 1 đối xứng với M qua trục hoành?
M x; y
M x; y
M x; y
M x; y
A. 1
.
B. 1
.
C. 1
.
D. 1
.
Câu 55.
(THPT Nhữ Văn Lan - Hải Phòng - Học kỳ I - 2019) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho
ABC biết A 2; 3 , B 4;7 , C 1;5 . Tọa độ trọng tâm G của ABC là
�7 �
�7 �
;5 �
�
� ;3 �
7;15
7;9
3
�
�
A.
.
B.
.
C.
.
D. �3 �.
Câu 56.
(THPT Nhữ Văn Lan - Hải Phòng - Học kỳ I - 2019) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho
A 2; 3 , B 4;7
. Tìm tọa độ trung điểm I của AB .
3; 2
2;10
6; 4
8; 21
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
Câu 57.
A 4;9 B 3; 7 C x 1; y
G x; y 6
Cho ABC có
,
,
. Để
là trọng tâm ABC thì giá trị
x và y là
A. x 3, y 1 .
B. x 3, y 1 .
C. x 3, y 1 .
D. x 3, y 1 .
A 2; 3 ; B 4; 7
Câu 58. Trong hệ tọa độ Oxy, cho
. Tìm tọa độ trung điểm I của đoạn AB.
I 6; 4
I 2;10
I 3; 2
I 8; 21
A.
B.
C.
D.
Câu 59.
Câu 60.
A 2;1 B 1; 2 C 3; 2
Trên mặt phẳng tọa độ Oxy , cho tam giác ABC có
,
,
. Tọa độ
trọng tâm G của tam giác ABC là
� 2 1�
� 2 2�
� 1 1�
�2 1 �
G�
; �
G�
; �
G�
; �
G� ; �
A. � 3 3 �.
B. � 3 3 �.
C. � 3 3 �.
D. �3 3 �.
A 1; 2 B 2;0
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC có ba đỉnh
,
,
C 3;1 .
Toạ độ trọng tâm G của tam giác ABC là
�2 �
�2
�
�4 �
�4
�
G�
;1�
G � ; 1�
G�
;1�
G � ; 1�
�.
�.
A. � 3 �.
B. �3
C. � 3 �.
D. �3
7
A 4;1 ; B 2; 4 ; C 2; 2
Câu 61. Trong hệ tọa độ Oxy, cho
. Tìm tọa độ điểm D sao cho C là trọng
tâm ABD
D 8;11
D 12;11
D 8; 11
D 8; 11
A.
B.
C.
D.
Câu 62. Trong hệ tọa độ Oxy, cho ABC có
giác.
G 3; 4
G 4; 0
A.
B.
A 3;5 B 1; 2 , C 5; 2
,
. Tìm tọa độ trọng tâm G của tam
C.
G 2;3
D.
G 3;3
A 3;-5 ,B -3;3 ,C -1;-2 ,D 5;-10 .
Câu 63. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho bốn điểm
Hỏi
�1 �
G � ;-3 �
�3 �là trọng tâm của tam giác nào dưới đây?
A. ABC .
B. BCD .
C. ACD .
D. ABD .
D 3; 4 , E 6;1 , F 7;3
Câu 64. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC có
lần lượt là trung
điểm các cạnh AB, BC , CA .Tính tổng tung độ ba đỉnh của tam giác ABC .
16
8
A. 3 .
B. 3 .
C. 8 .
D. 16 .
M 2;3 , N 0; 4 , P 1; 6
Câu 65. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho ABC có
lần lượt là trung điểm
của các cạnh BC, CA, AB. Tìm tọa độ đỉnh A.
A 1;5
A 3; 7
A 2; 7
A 1; 10
A.
B.
C.
D.
Câu 66.
Cho tam giác ABC . Biết trung điểm của các cạnh BC , CA , AB có tọa độ lần lượt là
M 1; 1 N 3; 2 P 0; 5
,
,
. Khi đó tọa độ của điểm A là:
5;0
2; 2
2; 2 .
5;1 .
A.
B.
C.
.
D.
.
M 1; 1 ; N 5; 3
Câu 67. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho MNP có
và P thuộc trục Oy. Trọng
tâm G của tam giác nằm trên trục Ox. Tọa độ của điểm P là:
P 0; 4
P 2; 0
P 2; 4
P 0; 2
A.
B.
C.
D.
M 3; 4
Câu 68. Trong hệ tọa độ Oxy, cho
. Gọi M 1 , M 2 làn lượt là hình chiếu vng góc của M trên
Ox, Oy. Khẳng định nào đúng?
1 3
2 4
A. OM
B. OM
uuuur uuuuu
r
uuuur uuuuu
r
OM 1 OM 2 3; 4
OM 1 OM 2 3; 4
C.
D.
M 2; 0 ; N 2; 2 ; P 1;3
Câu 69. Trong hệ tọa độ Oxy, cho
lần lượt là trung điểm các cạnh BC, CA,
AB của ABC .Tọa độ điểm B là:
B 1;1
B 1; 1
B 1;1
B 1; 1
A.
B.
C.
D.
Câu 70.
M 1; 1 N 5; 3
Trong mặt phẳng Oxy , cho tam giác MNP có
,
và P là điểm thuộc
Oy
trục
, trọng tâm G của tam giác MNP nằm trên trục Ox . Tọa độ điểm P là
2; 4 .
0; 4 .
0; 2 .
2; 0 .
A.
B.
C.
D.
Dạng 3.2 Xác định tọa độ điểm thỏa mãn điều kiện cho trước
8
Câu 71.
Câu 72.
(THPT Nhữ Văn Lan - Hải Phòng - Học kỳ I - 2019) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho
A 1;1 ,B 1; 3 ,C 5; 2
. Tìm tọa độ điểm D sao cho ABCD
là hình bình hành.
3; 0 .
5; 0 .
7; 0 .
5;2 .
A.
B.
C.
D.
A 2;3 , B 0; 4 , C 5; 4
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho hình bình hành ABCD có
.
D
Tọa độ đỉnh
là
3; 2
7; 2
3;7 .
3; 5 .
A.
.
B.
C.
.
D.
Câu 73.
A 1; 4 , B 4; 2
Trong mặt phẳng Oxy ;cho hai điểm
. Tọa độ giao điểm của đường thẳng đi
A
,
B
qua hai điểm
với trục hoành là
A.
Câu 74.
9; 0 .
B.
0;9 .
C.
9;0 .
D.
0; 9 .
(HKI - Sở Vĩnh Phúc - 2018-2019) Trên mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hai điểm
A 1;1 , B 2; 4
. Tìm tọa độ điểm M để tứ giác OBMA là một hình bình hành.
A. M ( 3; 3) .
B. M (3; 3) .
C. M (3;3) .
D. M (3;3) .
A 2;1 ; B 0; 3 ; C 3;1
Câu 75. Trong hệ tọa độ Oxy, cho 3 điểm
. Tìm tọa độ điểm D để ABCD là
hình bình hành.
D 5;5
D 5; 2
D 5; 4
D 1; 4
A.
B.
C.
D.
Câu 76. (THPT MINH CHÂU HƯNG YÊN NĂM 2018 – 2019) Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác
ABC có A 2;1 , B 1;2 , C 3;0 . Tứ giác ABCE là hình bình hành khi tọa độ E là cặp
số nào sau đây?
A.
Câu 77.
6; 1
B.
0;1
C.
1;6
Trong
uuurmặt uphẳng
uur uvới
uur hệ tọa độ Oxy, cho ba điểm
mãn AE 3 AB 2 AC . Tọa độ của E là
A.
3;3 .
B.
3; 3 .
C.
D.
6;1
A 2;5 , B 1;1 , C 3;3
3; 3 .
D.
, một điểm E thỏa
2; 3 .
A 3;1 , B 1; 4 , C 5;3
Câu 78. Trong hệ tọa độ Oxy, cho
. Tìm tọa độ điểm D sao cho ABCD là hình
bình hành.
D 1; 0
D 1;0
D 0; 1
D 0;1
A.
B.
C.
D.
Câu 79.
(THPT NGUYỄN TRÃI-THANH HOÁ - Lần 1.Năm 2018&2019) Trong mặt phẳng với hệ
�2 �
G � ; 0�
M 1; 1
tọa độ Oxy cho tam giác ABC có trọng tâm �3 �, biết
là trung điểm của cạnh
BC . Tọa độ đỉnh A là
A.
Câu 80.
2; 0 .
B.
2; 0 .
C.
0; 2 .
D.
0; 2 .
A 2;3 B 2;1
Trên mặt phẳng tọa độ Oxy , cho
,
. Điểm C thuộc tia Ox sao cho tam giác
ABC vng tại C có tọa độ là:
A.
C 3;0
.
B.
C 3;0
.
C.
9
C 1;0
.
D.
C 2;0
.
Câu 81.
(THPT Nhữ Văn Lan - Hải Phòng - Học kỳ I - 2019) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho
A ( 3;3) B ( - 1;- 9) C ( 5;- 1)
,
,
. Gọi I là trung điểm của AB . Tìm tọa độ M sao cho
uuuu
r
u
u
r
1
AM = - CI
2 .
A.
( 5;4) .
B.
( 1;2) .
C.
( - 6;- 1) .
D.
( 2;1) .
Câu 82. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho ABC có
uuur uuur
uuuu
r
. Tọa độ điểm M thỏa mãn 2 MA BC 4CM là:
�1 5 �
�5 1 �
� 1 5�
M�
; �
M � ; �
M � ; �
� 6 6�
�6 6 �
�6 6 �
B.
C.
D.
A 3;3 , B 1; 4 , C 2; 5
�1 5 �
M�; �
A. �6 6 �
Câu 83. Trong hệ tọa độ Oxy, cho
M thẳng hàng.
A.
M 1;0
A 2; 3 , B 3; 4
B.
. Tìm tọa độ điểm M trên trục hoành sao cho A, B,
�5 �
M � ;0 �
C. � 3 �
M 4; 0
17 �
�
M � ;0�
D. �7 �
A 2;1 , B 1; 3
Câu 84. Trong hệ tọa độ Oxy, cho
. Tìm tọa độ giao điểm I của hai đường chéo hình
bình hành OABC.
�1 2�
�5 1 �
�1 3 �
I�
; �
I�; �
I � ; �
I
2;6
A. � 3 3 �
B. �2 2 �
C.
D. �2 2 �
uuur uuur uuuu
r r
A 1;3 , B 4;0
Câu 85. Trong hệ tọa độ Oxy, cho
. Tìm tọa độ điểm M thỏa mãn MA MB 3MC 0
M 1;18
M 1;18
M 18;1
M 1; 18
A.
B.
C.
D.
Câu 86. Trong hệ tọa
uuurđộ Oxy,
uuu
r cho
uuur3 điểm
thỏa mãn AE 3 AB 2 AC ?
A.
E 3; 3
B.
A 2;5 ; B 1;1 ; C 3;3
E 3;3
C.
. Tìm điểm E thuộc mặt phẳng tọa độ
E 3; 3
D.
E 2; 3
A 2;1 ; B 6; 1
Câu 87. Trong hệ tọa độ Oxy, cho
. Tìm điểm M trên Ox sao cho A, B, M thẳng hàng.
M 2; 0
M 8; 0
M 4; 0
M 4; 0
A.
B.
C.
D.
A 3; 4 , B 2;1 , C 1; 2
Câu 88. Trong hệ tọa độ Oxy, cho ABC có
. Tìm điểm M có tung độ dương
trên đường thẳng BC sao cho S ABC 3S ABM .
A.
M 2; 2
B.
M 3; 2
C.
M 3; 2
D.
M 3;3
A 1; 1 , B 0;1 , C 3; 0
Câu 89. Trong hệ tọa độ Oxy, cho 3 điểm
. Xác định tọa độ giao điểm I của
2
BD
5
DC
ABC
AD và BG với D thuộc BC và
, G là trọng tâm
�5 �
�1 �
�35 �
�35 �
I � ;1�
I � ;1�
I � ;2�
I � ;1�
A. �9 �
B. �9 �
C. �9 �
D. �9 �
Câu 90.
A 1; 2 B 2; 0
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC có ba đỉnh
,
,
C 3;1 .
Toạ độ tâm đường tròn ngoại tiếp I của tam giác ABC là
10
11 13 �
�
I� ; �
14 14 �.
A. �
Câu 91.
11 13 �
�
I � ; �
14 14 �.
B. �
� 11 13 �
I�
; �
14 14 �.
�
C.
� 11 13 �
I�
; �
14 14 �
�
D.
.
Tam giác ABC có đỉnh A 1; 2 , trực tâm H 3;0 , trung điểm của BC là M 6;1 . Bán kính
đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là
A. 5 .
B. 5
C. 3 .
D. 4 .
A 1; 2
B 2;5
Câu 92. Gọi điểm M là giao điểm của đường thẳng AB và trục hoành biết và
. Biết
m
m
2
2
hoành độ điểm M có dạng n trong đó n tối giản và m, n ��. Tính m n .
A. 34
B. 41
C. 25
D. 10
A 2; 0 , B 1;1 , C 1; 2
Câu 93. Trong hệ tọa độ Oxy, cho ABC biết
. Các điểm C ', A ', B ' lần lượt
1
1; ; 2
2
chiauucác
thẳng
đó
thức nào
đúng?
uuu
r đoạn
uuu
uu
r AB, BC,uCA
uuuu
rtheo tỉuusố
uuu
rlà
uuu.urKhi u
uuuđẳng
u
r
uuusau
ur đâyuu
uuu
r
A. A ' C ' 2 B ' C '
B. A ' C ' 3B ' C '
C. A ' C 3B ' C '
D. A ' C 4 B ' C '
A 0;1 B 1;3 ; C 2; 7 ; D 0;3
Câu 94. Trong hệ tọa độ Oxy, cho 4 điểm ;
. Tìm giao điểm của 2 đường
thẳng AC và BD.
�1
�
�2 �
�4 �
�2 �
;3 �
�
� ; 3 �
� ;13 �
� ;3 �
3
3
3
�
�
�
�
�
�
A.
B.
C.
D. �3 �
A 6;3 B 3; 6 ; C 1; 2
Câu 95. Trong hệ tọa độ Oxy, cho ba điểm
;
. Biết điểm E trên cạnh BC sao
BE
2
EC
cho
. D nằm trên đường thẳng AB và thuộc trục Ox. Tìm giao điểm của DE và AC.
�7 1�
�3 1 �
�7 1 �
�7 1 �
I�
; �
I�; �
I�; �
I�; �
A. � 2 2 �
B. �2 2 �
C. �4 2 �
D. �2 2 �
A 2;1 C 4;3
Hình vng ABCD có
,
. Tọa độ của đỉnh B có thể là:
2;3 .
1; 4 .
4; 1 .
3; 2 .
A.
B.
C.
D.
uuur uuur
�
A
,
B
,
N
�
BA�
, BN cùng phương � x 0. Trong mặt phẳng tọa độ
Câu 97. Các điểm
thẳng hàng
Oxy cho tam giác ABC. Biết A 3; 1 , B 1; 2 và I 1; 1 là trọng tâm tam giác ABC. Trực
a; b . Tính a 3b .
tâm H của tam giác ABC có tọa độ
2
4
a 3b
a 3b
3.
3.
A.
B.
C. a 3b 1 .
D. a 3b 2 .
Câu 96.
Câu 98.
(Kiểm tra HKI - Phan Đình Tùng - Hà Nội năm học 2018-2019) Trong mặt phẳng với hệ
D a; b
trục Oxy , cho tam giác ABC biết điểm A(2; 4) , B( 3; 6) , C (5; 2) . Gọi
là chân
ABC
a
b
A
đường phân giác trong của góc
của tam giác
. Khi đó tổng
bằng:
3
11
A. 21 .
B. 2 .
C. 11 .
D. 2 .
Câu 99.
(HKI XUÂN PHƯƠNG - HN) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho tam giác ABC có
A 1; 1 B 3;1
C 6; 2
,
và
. Xác định tọa độ điểm M thuộc trục tung sao cho M cách đều
hai điểm A và B.
11
A.
Câu 100.
M 0;1
.
B.
M 0; 2
.
C.
M 1;1
.
D.
M 0; 2
.
A 3; 4 , B 2;1 , C 1; 2
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC có
. Cho
2
2
M x; y
trên đoạn thẳng BC sao cho S ABC 4 S ABM . Khi đó x y bằng
13
3
3
5
A. 8 .
B. 2 .
C. 2 .
D. 2 .
11 7 �
�
I� ; �
A 2;3
Câu 101. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho các điểm
, �2 2 �và B là điểm đối
5; y
xứng với A qua I. Giả sử C là điểm có tọa độ
. Giá trị của y để tam giác ABC là tam giác
vuông tại C là
A. y 0 ; y 7 .
B. y 0 ; y 5 .
C. y 5 .
D. y 5 ; y 7 .
Câu 102. (Kiểm tra HKI - Phan Đình Tùng - Hà Nội năm học 2018-2019) Trong mặt phẳng với hệ
A 3; 2 B 4;3 C 1;3
M x0 ; y0
trục Oxy , cho 3 điểm
,
,
. Điểm N nằm trên tia BC . Biết
là
đỉnh thứ 4 của hình thoi ABNM . Khẳng định nào sau đây đúng?
x � 1,55;1,56
x � 1,56;1,57
x � 1, 58;1,59
A. 0
.
B. 0
. C. 0
.
D.
x0 � 1,57;1,58
.
Dạng 3.3 Một số bài toán GTLN-GTNN của biểu thức chứa véctơ
A 1; 0 , B 0, 3 , C 3; 5
Câu 103. Trong hệ tọa độ Oxy, cho ba điểm
. Tìm điểm M thuộc trục Ox sao
uuur uuur uuuu
r
T 2 MA 3MB 2MC
cho
bé nhất.
M 2; 0
M 4; 0
M 4; 0
M 2; 0
A.
B.
C.
D.
A 1;3
B 4, 7
Câu 104. Trong hệ tọa độ Oxy, cho điểm và
. Tìm điểm M trên trục Oy sao cho
MA MB là nhỏ nhất.
� 1�
� 3�
� 11 �
� 19 �
M�
0; �
M�
0; �
M�
0; �
M�
0; �
5
5
5
5�
�
�
�
�
�
�
�
A.
B.
C.
D.
M 1; 2 , N 3; 2 , P 4; 1
Câu 105. Trong hệ tọa độ Oxy, cho
. Tìm tọa độ điểm E thuộc trục Ox sao
uuuu
r uuur uuu
r
T EM EN EP
cho
nhỏ nhất.
E 4; 0
E 2; 0
E 4;0
E 2; 0
A.
B.
C.
D.
Câu 106. Trong hệ tọa độ Oxy, cho 2 điểm
MA MB
lớn nhất.
M 0; 5
M 0;5
A.
B.
A 3;1
,
B 5;5
C.
. Tìm điểm M trên trục yOy ' sao cho
M 0;3
D.
M 0; 6
Câu 107. Trong hệ tọa độ Oxy, tìm trên trục hoành điểm M sao cho tổng khoảng cách từ M tới các điểm
A 1;1
B 2; 4
và
là nhỏ nhất.
�6 �
�5 �
�5 �
�6 �
M�
;0 �
M � ;0 �
M�
;0 �
M � ;0 �
�5 �
�6 �
�6 �
�5 �
A.
B.
C.
D.
12
A 1; 3 B 2; 6
C 4; 9
Câu 108. (CHUYÊN BẮC NINH - LẦN 2 - 2018)
,
và
. Tìm
r uuCho
ur uba
uur điểm
uuuu
r
điểm M trên trục Ox sao cho vectơ u MA MB MC có độ dài nhỏ nhất.
M 2; 0
M 4; 0
M 3; 0
M 1;0
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
�a �
a
P � ;0 �
Câu 109. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho hai điểm
và
. Điểm �b �(với b là
phân số tối giản) trên trục hoành thỏa mãn tổng khoảng cách từ P tới hai điểm A và B là nhỏ
nhất. Tính S a b .
A. S 2
B. S 8 .
C. S 7 .
D. S 4 .
A 1; 2
Câu 110.
Câu 111.
Câu 112.
Câu 113.
Câu 114.
Câu 115.
B 3; 4
A 4; 2 , B 2;1 N ( x;0)
Trong mặt phẳng Oxy , cho các điểm
.
thuộc trục hoành để
NA NB nhỏ nhất. Giá trị x thuộc khoảng nào sau đây?
0, 2;0, 2
0,5; 0
0; 0,5
0, 5;1
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
A 3;5 , B 4; 3 , C 1;1
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho ba điểm
. Tìm tọa độ điểm K
thuộc trục hồnh sao cho KA KB nhỏ nhất
�29 �
� 29 �
�29 �
� 29 �
K � ;0�
K�
;0 �
K � ;1�
K�
;1�
A. �8 �.
B. � 8 �.
C. �8 �.
D. � 8 �.
A 1;3 , B 2;3 , C 2;1
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho các điểm
. Điểm M ( a ; b )
uuuu
r uuuuur uuuur
MA 2 MB 3MC
thuộc trục Oy sao cho:
nhỏ nhất, khi đó a + b bằng?
A. 3 .
B. 2 .
C. 1 .
D. 12 .
(KSCL lần 1 lớp 11 Yên Lạc-Vĩnh Phúc-1819) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai điểm
2
2
A 1; 1
B 3; 2
và
. Tìm M thuộc trục tung sao cho MA MB nhỏ nhất.
� 1�
� 1�
M�
0; �
.
M�
0; �
.
M 0; 1 .
M 0;1 .
2
2
�
�
�
�
A.
B.
C.
D.
A 1; 2 , B 3; 2 , C 4; 1
E a; b
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho ba điểm
. Biết điểm
di
uuu
r uuu
r uuur
2 EA 3EB EC
2
2
động trên đường thẳng AB sao cho
đạt giá trị nhỏ nhất. Tính a b .
2
3
a 2 b2
a 2 b2
2
2
2
2
3.
2.
A. a b 2 .
B. a b 1 .
C.
D.
M 3;1
A a;0
B 0; b
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm
. Giả sử
và
(với a, b là các
số thực không âm) là hai điểm sao cho tam giác MAB vng tại M và có diện tích nhỏ nhất.
2
2
Tính giá trị biểu thức T a b .
A. T 10 .
B. T 9 .
C. T 5 .
D. T 17 .
A 1; 2 B 3; 2 C 4; 1
E a; b
Câu 116. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho ba điểm
,
,
. Biết điểm
uuu
r uuu
r uuur
2 EA 3EB EC
2
2
di động trên đường thẳng AB sao cho
đạt giá trị nhỏ nhất. Tính a b .
2
3
a2 b2
a 2 b2
2
2
2
2
3.
2.
A. a b 2 .
B. a b 1 .
C.
D.
13
Câu 117.
(Kiểm tra HKI - Phan Đình Tùng - Hà Nội năm học 2018-2019) Trong mặt phẳng với hệ
A 2;3 , B 3; 4
C 3; 1
tọa độ Oxy , cho 3 điểm
và
. Tọa độ điểm M trên đường phân giác
2
2
2
góc phần tư thứ nhất sao cho biểu thức P MA MB MC đạt giá trị nhỏ nhất
�7 7 �
� 7 7�
; �
�; �
�
1;1 .
1; 1 .
A. �4 4 �.
B.
C. � 4 4 �.
D.
Phần B. LỜI GIẢI THAM KHẢO
Câu 1.
Câu 2.
Câu 3.
Dạng 1. Sử dụng các kiến thức về trục, tọa độ vectơ trên trục và tọa độ của một điểm trên
trục để giải một số bài toán
Gọi x là độ của điểm M.
uuur
uuur
kb a
MA k MB � a x k b x � k 1 x kb a � x
, k �1
k 1
Ta có:
Đáp án
B.
Ta có: CB AB AC 5 7 2
Đáp án
A.
Đáp án D
uuur uuur r
uuur
uuur
2 MA 3MB 0 � 2MA 3MB � 2 x A xM 3 xB xM � xM 13
Câu 4.
Đáp án C
Câu 5.
CD xD xC 9 7 16
Ta có:
Đáp án B
Câu 6.
Ta có BC xB xC
Đáp án C
Câu 7.
Gọi M có tọa độ là x
Đáp án D
� x 2 2 x 3 x � x 6
A ' đối xứng với A qua B nên B là trung điểm của AA ' � xA ' xA 2 xB � xA ' 2b a
uuur uuuu
r r
uuu
r uuuu
r
uuur uuuu
r
MA 2MC 0 � OA OM 2 OC OM 0
Câu 8.
Từ
.
5
1 x 2 3 x 0 � 3x 5 � x
3
Hay
Đáp án
A.
Câu 9.
+ Áp dụng công thức tọa độ trung điểm � I đúng.
+ Lấy E làm gốc trục thì xE e 0 � g f h � II đúng.
uuur uuu
r 1 uuur uuu
r
r
AE CE AB CB
0
2
+
chỉ bằng khi B là trung điểm của AB nên III sai.
Đáp án B
Câu 10. Gọi a, b, c, d lần lượt là tọa độ của A, B, C,
D. Ta có:
CA
DA
AC DA
�
� c b b d b c a d
DB
CB DB
+ CB
� ac bd bc ad 2ab 2cd a b c d 2 ad cb
2
1
1
2
1
1
�
� a b c d 2 ab cd
bc ca d a
+ AB AC AD
14
Đáp án C
uuu
r
uuur
uuur
O �A � x A 0, xB AB, xC AC , xD AD
Câu 11.
Chọn gốc tọa độ
VT xB xD xC xC xB xD xD xC xB 0
Từ đáp án A:
Đáp án A
Câu 12. Đáp án B
10
uuur uuuu
r
uuur r � 2 5 xM 3 4 xM 4 2 xM 0 � xM
2 MA 3MC 4 MB 0
9
Câu 13.
Đáp án C
uuur
2
BC BC m 2 2m 4 m 1 3 �3 m ��
. BC nhỏ nhất khi m 1 0 � m 1
Câu 14. Đáp án D
Ta có:
xD x A xB xC xB xD x A xC 2 xJ 2 xI 2 xJ xI
uu
r
Là tọa độ của 2IJ nên A đúng.
Tương tự:
uuuuuur
là tọa độ của 2KL � B đúng.
Gọi E, F là trung điểm của IJ và KL
xC xA xB xD 2 xL xK
1
1
1
xI xJ xA xC xD xB
2
4
4
1
1
1
xF xK xL xA xD xC xB
� xE xF � C đúng.
2
4
4
Vậy đáp án D sai.
Câu 15. Đáp án B
xE
�
1
1
1
� x2 4 x 0 � x 4
2 x 1 x 2 x
Gọi tọa độ điểm M là x
Câu 16. Đáp án A
Chọn D là gốc tọa độ và a, b, c lần lượt là tọa độ của A, B,
Ta có:
2
C.
2
DA .CB DB .CA DC 2 . AB AB.CA. AB 0
a2 c b b2 c a c2 b a c b a c b a
a 2c a 2b b 2 a b 2c c 2b c 2 a c 2b c 2 a abc c 2b b 2a b 2c a 2c c 2a a 2b abc 0
Dạng 2. Tọa độ vectơ
Dạng 2.1 Sử dụng các công thức tọa độ của tổng, hiệu, tích vectơ với một số để giải toán
Câu 17. Chọn A
uu
r uu
r
2
i
3
j là: 2;3 .
Tọa độ của véc tơ
Câu 18.
Câu 19.
rChọn
r Ar r
u 3i 4 j � u 3; 4
.
Chọn B
r 1r r
r �1
�
u i 5 j � u � ; 5 �
2
�2
�.
Có
15
Câu 20.
Chọn A
uuur
uuur
2
�
MN
32 2 13
MN 3; 2
.
Chọn
C
uuu
r
uuu
r
AB xB x A ; yB y A � AB 2; 4 .
Câu 22. Chọn A
r
r r
r r
r
a 8 j 3i 3i 8 j � a 3;8
Ta có
.
Câu 23. Chọn B
uuur
Tính độ dài vectơ BC .
uuur
uuur
2
BC 4; 2 � BC BC 4 2 2 20 2 5
Câu 21.
Câu 24.
Câu 25.
Chọn D
uuur
AB xB xA ; yB y A 1;3
Ta
.
r có:
r r
c a 3b 2; 1 9;12 11;11
Câu 26.
Đáp
r án
r Ar r
r
r r r
x 2a b 3c � x 2a b 3c 28;0
. Vậy
uuur
BC 2 5
.
Đáp án D
Câu 27. Đáp án B
Câu 28. Đáp án D
r
c 3 3; 2 2 1; 4 11; 2
Câu 29.
Đáp án A
r r
r r r
r r r r
x a 2b 3c 0 � x a 2b 3c 18;0
Câu 30.
Đáp án D
uu
r r r
V4 3i 2 j
Ta có:
Dạng 2.2 Điều kiện 2 véc tơ cùng phương, thẳng hàng, bằng nhau
Câu 31.
Câu 32.
Chọn r
rB. r
r
r
r
a 2i j � a 2; 1 � b 2a
có
Ta r
r
� a và b ngược hướng.
uuur
uuur �8 � uuur uuur
AB 8;6 ; AC � ; 2 �� AB 3 AC
�3 �
.
Đáp án A
3 4 r
ur
� �c
Câu 33. Ta có: 6 9
và d khơng cùng phương.
Đáp án D
Câu 34. Đáp án D
Ta có:
uuu
r
uuur
uuu
r
2 uuur
2
AB 2; 2 , BC 3; 3 � AB BC � x
3
3
16
Câu 35.
Chọn C
10 6 2 x
r r
� x 1
2
Ta có: a; b cùng phương khi và chỉ khi: 5
. Chọn đáp án
Câu 36. Đáp án C
Câu 37. Đáp án A
Câu 38.
Câu 39.
Câu 40.
Câu 41.
A.
�m2 3 5m 3
�m2
r r��
2m m 2
�
u
v
Theo bài ra
2m 1 3 m
9
�m
3
8.
Để 2 vectơ cùng phương thì 2
Đáp án C
3 m 3 2m
�
m 5 2m 1 � 3 m 2m 1 3 2m m 5 � m 2
A, B, C thẳng hàng
Đáp án B
uuur
uuur
uuu
r
1 uuur
uuur uuur
AB 4;3 , CD 8; 6 � AB CD
2
nên AB, CD ngược hướng
Đáp án B
Đáp án C
m 1
�
�4 k 2m 6
��
r
r
r
r ��
m 2
�
�m k
a cùng phương b � a kb
Câu 42.
Đáp án C
Ta có:
uuur
uuur
uuu
r
uuu
r
AB 1;5 , DA 2; 10 � DA 2 AB �
A, B, D thẳng hàng.
Câu 43. Đáp án D
r
r r
r
r r r
r
2u 4a 3b, 12v 4a 3b � u 6v
Câu 44. ChọnuB
uur
uuur
AB 3 m;3 2m , AC 2;2
Ta có
3 m 2k
�
�m2
uuu
r
uuur � �
3 2m 2k
�
Do A, B, C thẳng hàng nên tồn tại số thực k sao cho AB k AC
.
Dạng 2.3 Biểu diễn một vectơ theo 2 vectơ không cùng phương
Câu 45.
r
r
r r
a 2; 1 � a 2i j
Ta có:
Đáp án A
Câu 46. Chọn Dr
r
ma
nb
(2m 3n; m 4n) .
Ta có
� 22
m
r
r
r
�
2
m
3
n
7
�
�
5
c ma nb � �
��
�m 4n 2
�n 3
� 5 .
Có
Câu 47. u
Chọn
uuur A
uuu
r
uuur
AM 7;5 AB 6; 1 , AC 4;1
,
.
17
Giả sử
uuuu
r
uuu
r
uuur
AM x. AB y. AC x, y �� .
13
�
x
�
6x 4 y 7
�
�
10
��
.
�
�x y 5
�y 37
� 10
Hệ phương trình
Câu 48. Chọn Ar
r
ma nb 2m; m 4n
Ta có
.
� 3
m
r
r
r
�
2
m
3
�
� 2
c ma nb � �
��
m 4n 3 � 9
�
n
� 8 .
Khi đó
P m2 n2
Câu 49.
Vậy
Chọn A
225
64 .
r r
m 1
�2m 3n 4
�
r
ma nb c � �
� �
.
m
4
n
9
n
2
�
�
Ta có:
� 22
m
r
r
r
�
2
m
3
n
7
�
�
5
c ma nb � �
��
m 4n 2
3
�
�
n
�
5
Câu 50. Ta có
Đáp án C
Câu 51. Đáp án A
1
�
m
�
1
4
m
2
n
�
�
8
��
��
1 2m 5n
1
�
�
r
r
r
m
�
4
Giả sử b ma nc
Câu 52. Đáp án B
r
r
r
7 2m 3n
m 4, 4
�
�
c ma nb � �
��
� m n 3,8
2 m 4n
n 0
�
�
Câu 53.
Đáp án B
uuur
uuu
r
uuur
uuur
uuu
r
uuur
CD 2; 4 , AB 1;5 , AC 4; 6 , CD x AB y AC
uuur
uuu
r uuur
x 4 y 2
�
�x 2
��
��
� CD 2 AB AC
5x 6 y 4
�
�y 1
Dạng 3. Tọa độ điểm
Dạng 3.1 Xác định tọa độ trung điểm, tọa độ trọng tâm, tọa độ điểm đối xứng
Câu 54. Chọn B
M x; y
Điểm M 1 đối xứng với điểm M qua trục hồnh có tọa độ là: 1
.
Câu 55. Chọn D
18
x x x
�
7
xG A B C
�
�
�
�xG
�7 �
3
��
3 � G � ;3 �
�
�3 �
�y y A yB yC
�
yG 3
�
G
3
Do G là trọng tâm ABC nên �
.
Câu 56. Chọn A
� x A xB
x
�
�I
2
�
�y y A yB
I
2
Áp dụng công thức: I là trung điểm của đoạn thẳng AB : �
� 24
x
3
�
�I
2
� I 3; 2
�
�y 3 7 2
I
2
Do đó: �
.
Câu 57. Chọn D
3x 4 3 x 1
�
�x 3
��
�
3 y 6 9 7 y
�y 1 .
Ta có : �
�2 4 3 7 �
I�
;
� 3; 2
2
2
�
�
Câu 58. Ta có
.
Đáp án C
Câu 59.
Chọn A
�2 1 3 1 2 2 �
� 2 1�
G�
;
; �
�� G �
3 �
� 3 3 �.
Tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC là � 3
Câu 60.
Chọn A
� 1 2 3
2
x
�
�
�
�x
3
�
3
�
�
�y 2 0 1
�
�y 1
G x; y
3
Giả sử
khi đó: �
.
�2 �
G�
;1�
.
3
�
�
Suy ra:
� 4 2 x
�2
�x 8
�
3
��
� D 8; 11
�
1
4
y
y
11
�
�2
D x; y
3
ABD
Câu 61. Gọi
. C là trọng tâm
khi đó: �
Đáp án C
Câu 62. Đáp án D
�3 1 5 5 2 2 �
G �
;
� 3;3
3
3
�
�
Ta có
Câu 63.
Lờigiải
Chọn B uuur
uuur
BC 2; 5 , BD 8; 13
Ta thấy
nên chúng không cùng phương � B ,C , D là 3 đỉnh của
một tam giác.
19
�xB xC xD 3 1 5 1
�
�
3
3
3
�
�yB yC yD 3 2 10 3
3
3
Mặt khác, ta lại có �
�1
�
G � ; 3�
�là trọng tâm của tam giác BCD
Vậy �3
Câu 64. Chọn C
�y A yB 2 yD 2.4 8
�
�y A yC 2 yF 2.3 6 � 2 y A yB yC 8 6 2 16
�y y 2 y 2.1 2
C
E
Ta có � B
� y A yB yC 8 . Chọn C.
Câu 65.
Đáp án B
�x 1 2
�x 3
��
� A 3; 7
uuu
r uuuu
r ��
A x; y
y
6
1
y
7
PA
MN
�
�
Gọi
, ta có:
Câu 66.
Chọn A
Có tam giác ABC và MNP có cùng trọng tâm G .
r �1 1�
�4 4 � uuuu
G � ; � GM �
, �
3
3
3 3 �, gọi A x; y .
�
�
�
Có
,
2
�4
x
�
�x 2
�3
3
��
��
�y 2
� 4 y 2
uuur
uuuu
r
A 2; 2
�3
3
Có AG 2GM
. Vậy
.
Câu 67. Đáp án C
Ta có P thuộc
Oy � 0; y
, G thuộc trục
Ox � G x; 0
� 1 5 0
x
�
�x 2
�
3
��
��
1 3 y
�y 4
�
0
�
3
Vì G là trọng tâm MNP
Câu 68. Đáp án D
M 1 3; 0 , M 2 0; 4
uuuur uuuuu
r
uur
� OM 1 3, OM 2 4, OM 1 OM 2 2OI 3; 4
Ta có
Câu 69.
Ta có BPMN là hình bình hành nên
20
, với I là trung điểm của M 1M 2
�xB xN xP xM
�xB 2 1 2 �xB 1
��
��
�
�yB 1
�yB yN yP yM
�yB 2 3 0
Đáp án C
Câu 70. Chọn B
P �Oy � P 0; y
.
G �Ox � G x; 0
.
� 1 5 0
x
�
3
�
��
x2
1 3 y � �
�
0
�
�
3
�y 4 .
Điểm G là trọng tâm của tam giác MNP
Câu 71.
Dạng 3.2 Xác định tọa độ điểm thỏa mãn điều kiện cho trước
Chọn A
D x, y
Gọi uuur .
uuur
AB 2; 2 DC 5 x; 2 y
Ta có:
,
.
uuur uuur
5 x 2
�
�x 3
AB DC � �
��
�2 y 2 �y 0 .
ABCD là hình bình hành nên
D 3; 0
Vậy
.
Câu 72. Chọn D
Gọi
D x; y
uuur .
uuur
AB 2;1 , DC 5 x; 4 y
Ta có:
uuu
r uuur
5 x 2
�
�x 3
� AB DC � �
��
4 y 1 �y 5 . Vậy D 3; 5 .
ABCD là hình bình hành
�
Câu 73. Chọn A
M m;0
AB và trục hồnh. Khi đó; A, B, M thẳng hàng.
Gọi uuu
là giao điểm
r
uuuu
r của đường thẳng
AB 5; 2 , AM m 1; 4
Ta có:
.
m 1 4
�
� m 9
A, B, M thẳng hang
5
2
.
M 9; 0
Vậy
.
Câu 74. Chọn C
uuu
r
uuuu
r
M x; y
Gọi
. Khi đó OB (2; 4), AM ( x 1; y 1)
�x 1 2
�x 3
��
uuu
r uuuu
r ��
�y 1 4 �y 3
Tứ giác OBMA là hình bình hành khi và chỉ khi OB AM
21
Vậy M (3;3)
uuur uuur
�x 2 3 �x 5
AD BC � �
��
� D 5;5
D x; y
y
1
4
y
5
�
�
Câu 75. Gọi
. Ta có:
Đáp án A
Câu 76. Chọn A
Gọi
E x; y
.
�x 2 4
�x 6
��
uuur uuur � �
�y 1 2
�y 1
Tứ giác ABCE là hình bình hành � AE BC
E 6; 1
Câu 77.
Câu 78.
Vậy
.
ChọnuB
uu
r
uuur
E x; y
AB 1; 4 AC 1; 2
Ta có
;
. Gọi
.
�x 2 3 1 2.1
�
�x 3
uuur uuur uuur � �y 5 3 4 2 2 � �
�
AE 3 AB 2 AC
�y 3 � E 3; 3
Đáp án B
uuur
uuur
AB 4;3 , DC 5 x;3 y
Câu 79.
uuu
r uuur
5 x 4
�
�x 1
AB DC � �
��
D x; y
3 y 3
�
�y 0 � D 1;0
với
,
Chọn B
uuuu
r �1
�
uuuu
r
GM � ; 1�
A xA ; y A
AM 1 xA ; 1 y A
�3
�.
Gọi
. Ta tính được
,
uuuu
r uuuur
1 xA 1
�
�x A 0
AM 3GM � �
��
�1 y A 3 �y A 2 . Vậy A 0; 2 .
Ta có:
Câu 80.
Lời giải
Chọn C
uuur
uuur
C x;0
AC x 2; 3 BC x 2; 1
C
�
Ox
�
Ta có :
. Khi đó
.
uuur: uuur
uuur uuur ;
2
Tam giác ABC vng tại C � AC BC � AC.BC 0 � x 4 3 0 � x �1 .
C 1; 0
C 1;0
Vậy
hoặc
.
22
Câu 81.
Câu 82.
Chọn A
uur
uuuu
r
M
(
x
;
y
)
I
(1
;
3),
CI
(
4;
2),
AM
= (x - 3;y - 3).
Giả sử
. Ta có
uuuu
r
�
x - 3= 2 �
x=5
1 uur
AM = - CI � �
��
.
�
�
�
y - 3= 1 �
y=4
2
�
�
Vậy M (5;4).
Đáp án C
1
�
x
M
�
�
�2 3 xM 2 1 4 xM 2
�
�1 5 �
6
��
��
� M � ; �
�6 6 �
�2 3 yM 5 4 4 yM 5
�y 5
uuur uuur
uuuu
r
M
�
6
Ta có 2MA BC 4CM
Câu 83. Đáp án D
uuu
r
uuuu
r
M �Ox � M x;0 , AB 1;7 , AM m 2;3
Để A, B, M thẳng hàng
Câu 84. Đáp án D
�
m2 3
17
�m
1
7
7
�1 3 �
OB I � ; �
�2 2 �
I là trung điểm của
Câu 85.
Đáp án D
Ta có
uuur uuur uuuu
r
�
1 xM 4 xM 3 2 xM 0 �xM 1
�
MA MB 3MC 0 � �
��
3 y M 0 y M 3 5 y M 0
�yM 18
�
uuur
uuu
r
uuur
E x; y � AE x 2; y 5 , AB 1; 4 , AC 1; 2
Câu 86. Gọi
uuur uuur uuur
�x 2 5
�x 3
AE 3 AB 2 AC � �
��
� E 3; 3
�y 5 8 �y 3
Đáp án C
uuur
uuuu
r
M �Ox � M x;0 , AB 4; 2 , AM x 2; 1
Câu 87.
x2 1
�
�x4
4
2
Để A, B, M thẳng hàng
Đáp án D
uuur
uuuu
r
M x; y
S ABC 3S ABM � BC 3BM � BC �3BM
Câu 88. Gọi
. Ta có:
uuuu
r
uuur
BM x 2; y 1 ; BC 3;3
uuur
uuuu
r �x 1
BC 3BM � �
�y 0 (loại)
- TH1:
uuur
uuuu
r �x 3
BC 3BM � �
�y 2 (nhận) � M 3; 2
- TH2:
Đáp án B
23
Ta có
Câu 89.
uuur
uuur
uuur uuur
AB 1; 2 , AC 4;1 � AB, AC
không cùng phương.
15
�
xD
uuur
uuur
�
�
2
x
5
3
x
15 2 �
D
� D
�
�
7
2 BD 5 DC � �
��
� D� ; �
�7 7 �
�2 yD 1 5 yD
�y 2
D
�
7
Ta có
�2 �
G � ;0 �
I x; y
Trọng tâm �3 �. Gọi
là giao điểm của AD và BG
uur
uuur �22 9 �
AI x 1; y 1 , AD � ; �
�7 7 �
Ta
có
cùng
7 x 1 7 y 1
� 9 x 22 y 13 0
22
9
uur
uuur � 1 �
BI x; y 1 , BG �
;0 �
3 �cùng phương � tồn tại số k ��
�
Ta lại có
uur
uuur
�35 �
BI k BG � y 1 � I � ;1�
�9 �
�
Đáp án D
Câu 90.
Chọn D
uuur uuu
r
�IM . AB 0
�
�uur uuur
I a; b
IN . AC 0 *
Giả sử
khi đó: �
�1 � � 3 �
M � ;1� N �
2; �
�2 �, � 2 �lần lượt là trung điểm AB , AC .
uuur �1
3
� uur �
�
uuu
r
uuur
IM � a;1 b � IN �
2 a; b �
AB 3; 2 AC 2; 1
2
�2
�,
�
�.
Ta có:
,
,
24
phương
��1
�
11
�
3 � a � 2 1 b 0
a
�
�
��2
�
�
14 .
��
�
13
�3
�
�
�
b
2 2 a 1� b � 0
�
�
14
�2
�
Do đó: �
� 11 13 �
I�
; �
14 14 �
�
Suy ra:
.
Câu 91. Chọn A
Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC . Kẻ đường kính AA ' của đường trịn khi đó
�
�
�
ta có ABA ' ACA ' 90 hay A ' B AB và A ' C AC .
Vì H là trực tâm của tam giác ABC nên BH AC và CH AB � BH P A ' C và CH P A ' B , do
đó A ' BHC là hình bình hành. Mà điểm M là trung điểm của đường chéo BC nên nó cũng là
trung điểm của A ' H . Từ đó suy ra OM là đường trung bình của tam giác AHA ' nên:
uuur
uuuur
�
4 2 6 xO
�xO 4
�
AH 2OM � �
��
2 2 1 yO
�yO 2 � O 4;2
�
.
OA
Bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC có độ dài bằng
25
1 4 2 2 2 2 5 .
