Phuong phap toa do trong mat phang

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (443.91 KB, 20 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG

Chủ đề 1 : ĐƯỜNG THẲNG TRONG MẶT PHẲNG TỌA ĐỘ

A.KIẾN THỨC CƠ BẢN
I. Các định nghĩa về VTCP và PVT của đường thẳng:

1. VTCP của đường thẳng :

alà VTCP của đường thẳng ()

ñn



a có giá song song hoặc trùng với ( )
a

 








 



n là VTPT của đường thẳng ()

đn



n có giá vng góc với ( )
n

 








 



* Chú ý:

 Nếu đường thẳng () có VTCP a( ; )a a1 2



thì có VTPT là n ( a a2; )1


hoặc  



2 1
( ; )
n a a

 Nếu đường thẳng () có VTPT n( ; )A B



thì có VTCP là a ( ; )B A hoặc  


( ; )

a B A

* Nhận xét :

Đường thẳng ( ) đi qua hai điểm A, B thì ta chọn :AB(xB x yA; B yA)



làm VTCP của ( ) .

Bài tập áp dụng :

1. Cho đường thẳng ( ) đi qua hai điểm A(1;-2), B(-1;3). Tìm một VTCP và một VTPT của ( ) .

2: Cho tam giác ABC biết A( 1;2), (5;7), (4; 3) B C 

1. Tìm một VTCP và một VTPT của các đường cao của tam giác.
2. Tìm một VTCP và một VTPT của các đường trung trực của tam giác

)
(

n

a

a ()

a

n

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

II. Phương trình đường thẳng :

1. Phương trình tổng quát của đường thẳng :

a. Phương trình đường thẳng đi qua một điểm M0(x0;y0) và có VTPT n( ; )A B



là:

n y

M(x ; y) ( ) : ( A x x 0)B y y(  0) 0 (*)

x O

M0(x0; y0)

b. Phương trình tổng quát của đường thẳng :

Định lý :Trong mặt phẳng (Oxy). Phương trình đường thẳng () có dạng :

Ax + By + C = 0 với A2B2 0

Chú ý:

Từ phương trình ():Ax + By + C = 0 ta ln suy ra được :

1. VTPT của (

) là

n( ; )A B


2. VTCP của (



) là

   

 

( ; ) hay u ( ; )

u B A B A

3. M x y0( ; ) ( )0 0    Ax0 By C0 0



Cách tìm tọa độ của

M x y0( ; )0 0

Ta chọn x =xo ,thế vào phương trình Ax + By + C = 0

tìm yo.

Mệnh đề (3) được hiểu là :

Điều kiện cần và đủ để một điểm nằm trên đường thẳng là tọa độ điểm đó
nghiệm đúng phương trình của đường thẳng .

Bài tập áp dụng :

Bài 1: Viết phương trình tham số của đường thẳng biết phương trình tổng qt của nó là 5x 2y 3 0

Bài 2: Viết phương trình tổng quát của đường thẳng qua M(-1;2) và song song ( ) : 2 x 3y 4 0

Bài 3: Viết phương trình tổng quát của đường thẳng qua N(-1;2) và vng góc ( ) : 2 x 3y 4 0

Bài 4: Cho hai điểm A(-1;2) và B3;4) . Tìm điểm C trên đường thẳng x-2y+1=0 sao cho tam giác 
ABC vuông ở C.

)
;
( 0 0

0 x y
M

)
;
(A B
n

x
y

O

)
;

( B A

a 

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

2. Phương trình tham số và phương trình chính tắc của đường thẳng :

a. Định lý : Trong mặt phẳng (Oxy). Đường thẳng () qua M0(x0;y0) và nhận 


( ; )
u a b laøm 
VTCP sẽ có :

M(x ; y) a y



x O

Phương trình chính tắc là :

0 0

1 2

( ) : x x y y

a a

 

 

Điều kiện :
0
0

a
b




Chú ý:





  














0
0

( ) :

( )

t

x

a t

y

b t

Chú ý:Từ phương trình ():Ax + By + C = 0 ta luôn suy ra được :

1. VTPT của () là n( ; )A B


2. VTCP của () là    

 

( ; ) hay u ( ; )

u B A B A

Ghi nhớ:

Dữ kiện cần Dạng phương trình

Phương
trình

tổng
quát

Tọa độ của điểm M



x y

o

;

o



thuộc
đthẳng



.

VTPT 





( ; )

n

A B

của

.



 o







 o



0

A x x B y y

Phương
trình
tham số

Tọa độ của điểm M



x y

o

;

o



thuộc .
VTCP 





( ; )

u

a b

của .

 















0
0

x x

at

y y

bt

Phương trình tham số là :

 



  

 





0
0

( ) : x x at (t )
y y bt

Tọa độ M thuộc
đường thẳng.

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

Phương
trình

chính
tắc

Tọa độ của điểm M



x y

o

;

o



thuộc .
VTCP 





( ; )

u

a b

của .





o o

x x

y y

a

b

3. Các dạng khác của phương trình đường thẳng :

a. Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm A(xA;yA) và B(xB;yB) :

( ) :

A A

B A B A

x x y y
AB

x x y y

 



  (AB x x) :  A (AB y y) :  A

BÀI TẬP ÁP DỤNG:

Cho tam giác ABC biết A(1;-1), B(-2;1), C1;5). Viết phương trình ba cạnh của tam giác

b. Phương trình đường thẳng đi qua một điểm M0(x0;y0) và có hệ số góc k:

y Định nghĩa: Trong mp(Oxy) cho đường thẳng . Gọi  ( , )Ox  thì k tg  được gọi là hệ số

goùc

củađường thẳng 

x α

O

Định lý 1: Phương trình đường thẳng  qua M x y0( ; )0 0 có hệ số góc k là :

y - y = k(x - x )0 0 (1)

Chú ý 1: Phương trình (1) khơng có chứa phương trình của đường thẳng đi qua M0 và vng góc
Ox nên khi sử dụng ta cần để ý xét thêm đường thẳng đi qua M0 và vng góc Ox là
x = x0

Chú ý 2: Nếu đường thẳng  có phương trình y ax b  thì hệ số góc của đường thẳng là k a

)
;
(x y
M

x
y

O x0
0

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

Định lý 2: Gọi k1, k2 lần lượt là hệ số góc của hai đường thẳng  1, 2 ta có :

 1//2  k1 k2

   1 2  k .1k2 1

BÀI TẬP ÁP DỤNG:

Viết phương trình đường thẳng qua A(-1;2) và vng góc với đường thẳng x 3y 4 0

c. Phương trình đt đi qua một điểm và song song hoặc vng góc với một đt cho trước:
Kiến thức thường sử dụng:

i. Phương trình đường thẳng ( ) //( ): Ax+By+C=0 có dạng: Ax+By+m =01  1 ĐK: (m1C)
ii. Phương trình đường thẳng ( ) ( ): Ax+By+C=0 có dạng: Bx-Ay+m =01   2

Chú ý: m m1; 2 được xác định bởi một điểm có tọa độ đã biết nằm trên  1; 2

Phương trình đường thẳng theo đoạn chắn:

x
a+

y
b=1

Dạng toán

Bài toán: Cho điểm M



x y0; 0



và đường thẳng ( ) : ax by c  0.Tìm hình chiếu vuơng gĩc của

M lên ( ) .

Phương pháp:

0 :

2









Bx

Ay

m

x
y

O x0

M

0 :



1





Ax

By

C







m

B

y

A

x x

y

O

x







C

B

y

A

x

M

d



</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

 Bước 1:Viết phương trình tổng quát của đường thẳng (d) đi qua M và vng góc .Khi đó ta có :

( ; )

( ;

)

u

d



n



a b



n

d



b a





  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
.

 Bước 2:Gọi H = (d)  ,tọa độ H là nghiệm hệ phương trình:

d







Giải pt tìm tọa độ H  H là điểm cần tìm.

VD : Cho điểm M(2;-3) và đường thẳng ( ) : 2 x y 1 0 .Tìm hình chiếu vng góc của M lên ( ) .

BÀI TẬP ÁP DỤNG

Bài 1: Viết phương trình tổng qt của đường thẳng qua M(-1;2) và song song ( ) : 2 x 3y 4 0

Bài 2: Viết phương trình tổng qt của đường thẳng qua N(-1;2) và vng góc ( ) : 2 x 3y 4 0

Baøi 3: Cho tam giác ABC biết A( 1; 2), (5;7), (4; 3) B C 

1. Viết phương trình các đường cao của tam giác
2. Viết phương trình các đường trung trực của tam giác
Bài 4: Cho tamgiác ABC với A(1;-1) ; B(-2;1); C(3;5).

a) Viết phương trình đường vng góc kẻ từ A đến trung tuyến BK của tam giác ABC .
b) Tính diện tích tam giác ABK.

III. Vị trí tương đối của hai đường thẳng :

Trong mp(Oxy) cho hai đường thẳng :

1 1 1 1

2 2 2 2

( ) : 0

A x B y C
A x B y C

   

Vị trí tương đối của ( ) và ( )1 2 phụ thuộc vào số nghiệm của hệ phương trình :

1 1 1

2 2 2

0
0
A x B y C
A x B y C

  




  

 hay

1 1 1

2 2 2

(1)
A x B y C
A x B y C

 




 



Chú ý: Nghiệm duy nhất (x;y) của hệ (1) chính là tọa độ giao điểm M của ( ) và ( )1 2
Định lý 1:

1 2

. Hệ (1) vô nghiệm ( )//( )
. Hệ (1) có nghiệm duy nhất ( ) cắt ( )

. Hệ (1) có vô số nghiệm ( ) ( )
i
ii
iii
  
  
   

 Định lý 2: Nếu A B C2; ;2 2 khác 0 thì
x
1

x
y
O
2

2
1 

 cắt
1

x

y
O
2

2
1 

</div>
(7)<div class='page_container' data-page=7>

   

    

     

1 1

1 2

2 2

1 1 1

1 2

2 2 2

1 1 1

1 2

2 2 2

A
. ( ) caét ( )

A
A
. ( ) // ( )

A
A
. ( ) ( )

A
B
i

B
B C
ii

B C
B C
iii

B C

BÀI TẬP ÁP DỤNG:

Bài 1: Cho tam giác ABC có phương trình ba cạnh là

( ) : 8 3 17 0
( ) : 3 5 13 0
( ) : 5 2 1 0

AB x y

AC x y

BC x y

  

  

  

Tìm toạ độ ba đỉnh A, B, C

Bài 2: Cho tamgiác ABC có đỉnh A(2;2) .Lập phương trình các cạnh của tam giác ABC.Biết rằng
các đường thẳng 9x-3y-4=0 và x+y-2=0 lần lượt là các đường cao của tam giác xuất phát từ
B và C.

Bài 3: Tuỳ theo m, hãy biện luận vị trí tương đối của hai đường thẳng sau:

: 1 0

: 2 0

d mx y m
d x my

   

  

Bài 4: Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng sau,và tìm tọa độ giao điểm (nếu cĩ):

: 3 1 0

: 3 2 0

d x y

d x y

  

BÀI TẬP ÁP DỤNG:

Bài 1: Cho hai điểm A(-1;3), B(1;2). Viết phương trình tham số và chính tắc của đường thẳng qua A, B
Bài 2: Các điểm P(2;3); Q(4;-1); R(-3;5) là các trung điểm của các cạnh của một tam giác .Hãy lập
phương trình chính tắc của các đường thẳng chứa các cạnh của tam giác đó.

Bài 3: Các điểm A(2;3) và đường thẳng ( ) : 2 x y 1 0 .Hãy lập phương trình của đường thẳng ( ')

đối xứng ( ) qua M.

Chủ đề 2 :

KHOẢNG CÁCH VÀ GĨC

</div>
(8)<div class='page_container' data-page=8>

Định lý : Trong mp(Oxy) cho hai đường thẳng :

1 1 1 1

2 2 2 2

( ) : 0

A x B y C
A x B y C

   

Gọi  (00   900) là góc giữa ( ) và ( )1 2 ta có :

1 2 1 2

2 2 2 2

1 1 2 2

cos

.
A A B B

A B A B

 

 

Heä quaû:

( ) ( ) 1  2  A1 2A B B1 2 0

II. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng :

Định lý 1: Trong mp(Oxy) cho hai đường thẳng ( ) : Ax By C  0 và điểm M x y0( ; )0 0

Khoảng cách từ M0 đến đường thẳng ( ) được tính bởi cơng thức:

0 0

0 2 2

( ; ) Ax By C
d M

A B

 

 



DẠNG 1:Tính Góc Giữa Hai Đường Thẳng
Phương pháp:

Để tìm góc giữa hai đường thẳng

1 1 1 1

2 2 2 2

: a x 0

b y c
b y c

   

    ta thực hiện các bước sau:

Bước 1:Tìm tọa độ hai vec-tơ chỉ phương của  1; 2.

Bước 2:Thay vào công thức :

  

 

1 2 1 2

2 2 2 2

1 1 2 2

cos

.
a a b b
a b a b .
Bước 3:Sử dụng máy tính suy ra góc 

Phân biệt góc giữa hai đường thẳng và góc giữa hai vec-tơ chỉ phương của chúng:

Góc giữa hai đường thẳng

Góc giữa hai vec-tơ chỉ phương của chúng



x
y

O





x
y

O

)
(

0
M

</div>
(9)<div class='page_container' data-page=9>

 

 

1 2 1 2

2 2 2 2

1 1 2 2

cos

.
a a b b

a b a b 




 

1 2 1 2

2 2 2 2

1 1 2 2

cos

.
a a b b
a b a b

Có dấu GTTĐ Khơng có dấu GTTĐ

0 0

0   90 00   1800

DẠNG :Tính Khoảng Cách Từ Một Điểm Đến Một Đường Thẳng
Phương pháp:

Để tính khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng góc giữa hai đường thẳng : ax by c 0 ta thực hiện
các bước sau:

Bước 1: Xem đường thẳng đã cho ở dạng nào ,chuyển về dạng tổng quát.
Bước 2: Khoảng cách từ M0 đến đường thẳng ( ) được tính bởi cơng thức:

 

 



0 0

0 2 2

( ; ) ax by c
d M

a b

DẠNG :Tính Khoảng Cách Giữa Hai Đường Thẳng Song Song ta có thể sử dung công thức:

1 1 1 1

2 2 2 2

: a x 0

b y c
b y c

   

   



1; 2



12 22

c c

d

a b


  


Dạng tốn thường gặp :

+Tính độ dài đường cao của tam giác khi biết tọa độ 3 đỉnh của tam giác đó.

+Viết phương trình đường thẳng song song và cách đường thẳng ax+by+c= 0 một khoảng
bằng h cho trước.

+Viết phương trình đường thẳng đi qua A và cách đều C và B.

Góc giữa hai đường thẳng

Góc giữa hai vec-tơ chỉ phương của chúng

 

 

1 2 1 2

2 2 2 2

1 1 2 2

cos

a a b b
a b a b

  

 

1 2 1 2

2 2 2 2

1 1 2 2

cos

.
a a b b
a b a b

Có dấu GTTĐ Khơng có dấu GTTĐ

0 0

0   90 00   1800

Chủ đề 3 :

</div>
(10)<div class='page_container' data-page=10>

I. Phương trình đường trịn:
 1. Phương trình chính tắc:

Định lý : Trong mp(Oxy). Phương trình của đường trịn (C) tâm I(a;b), bán kính R là :

( ) : (C x a )2(y b )2 R2 (1)

Phương trình (1) được gọi là phương trình chính tắc của đường trịn
 Đặc biệt: Khi I O thì ( ) :C x2y2 R2 (hay: y R2 x2 )
Phương trình tổng quát:

Định lý : Trong mp(Oxy). Phương trình : x2 y2 2ax 2by c 0 với a2b2 c0 là phương

trình của đường trịn (C) có tâm I(a;b), bán kính R a2b2 c

D

ạng tốn: Viết

phương trình tiếp tuyến của đường tròn:

D

ạng 1: Tiếp tuyến tại M nhận IM ( ; )A B



làm vtpt nên phương trình có dạng:
A x x(  0)B y y(  0) 0

D

ạng 2: Tiếp tuyến song song hoặc vuông góc với đường thẳng d cho 
trước :

Sử dụng gt:

 ( ) //(d): Ax+By+C=0   phương trình đường thẳng ( )có dạng: Ax+By+m =0 1

ĐK: (m1C)

 ( ) (d): Ax+By+C=0    phương trình đường thẳng ( )có dạng: Bx-Ay+m =0 2 .

Sử dụng điều kiện :



tiếp xúc đường trịn tâm I (a;b) ,bán kính R

 d I



; 



R

Giải tìm m ,phương trình tiếp tuyến cần tìm.
Dạng 3:Tiếp tuyến đi qua A



x y0; 0



Phương pháp:

+Gọi k là hệ số góc của tiếp tuyến cần tìm.

+Do tiếp tuyến đi qua A



x y0; 0



nên phương trình tiếp tuyến có dạng:

    0

0 0 0 0 0 0

y - y = k(x - x ) y = kx - kx y kx - y - kx y
x

y

O

)

;
(a b
I

R
a
b

)
;
(x y
M

)
(

)
;

( 0 0

</div>
(11)<div class='page_container' data-page=11>

Sử dụng điều kiện :



tiếp xúc đường tròn tâm I (a;b) ,bán kính R

 d I



; 



R

BÀI TẬP ỨNG DỤNG:

Bài 1: Viết phương trình đường trịn đường kính AB biết A(1;3), B(3:-5)

Bài 2: Viết phương trình đường trịn có tâm I(-1;2) và tiếp xúc đường thẳng ( ) : 3 x 4y 2 0

Bài 3: Xác định tâm và bán kính của đường trịn ( ) :C x2y22x 4y 20 0

Bài 4: Viết phương trình đường trịn (C) đi qua ba điểm A(3;3), B(1;1),C(5;1)
Bài 5: Cho phương trình : x2y24mx 2my2m 3 0 (1)

Bài 6: Định m để phương trình (1) là phương trình của đường trịn (Cm)

Xét đường trịn (C) qua ba điểm A(-1;2), B(2;0), C(-3;1). Viết phương trình tiếp tuyến với (C) tại A
BÀI TẬP RÈN LUYỆN

Bài 1: Lập phương trình đường trịn ngoại tiếp tam giác có ba đỉnh là A(1;1); B(-1;2); C(0;-1).
Bài 2: Lập phương trình đường trịn nội tiếp tam giác có ba đỉnh là A(-1;7); B(4;-3); C(-4;1).
Bài 3: Lập phương trình đường trịn đi qua các điểm A(-1;1) và B(1;-3) có tâm nằm trên đường

thẳng (d):2x - y + 1 = 0.

Bài 4: Lập phương trình đường tròn đi qua điểm A(-1;-2) và tiếp xúc với đường thẳng 
(d): 7x-y-5=0 tại điểm M(1;2).

Bài 5: Lập phương trình đường trịn có tâm nằm trên đường thẳng 2x+y=0 và tiếp xúc với đường
thẳng x-7y+10=0 tại điểm A(4;2).

Bài 6: Viết phương trình đường trịn có tâm nằm trên đường thẳng 4x +3y - 2 = 0 và tiếp 
xúc với hai đường thẳng : x + y + 4 = 0 và 7x - y + 4 = 0.

Bài 7: Viết phương trình đường trịn đi qua điểm A(2;-1) và tiếp xúc với hai trục tọa độ Ox,Oy.
Bài 8: Cho đường tròn (C):(x-1)2 +(y-2)2=4 và đường thẳng (d):x-y-1=0. Viết phương trình 
đường tròn (C') đối xứng với đường trịn (C) qua đường thẳng (d). Tìm toạ độ giao điểm

của (C) và (C').

Bài 9: Cho điểm M(6;2) và đường tròn (C):x2y2 2x 4y0. Lập phương trình đường thẳng

(d) qua M caét (C) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho AB 10

Bài 10: Viết phương trình các tiếp tuyến của đường tròn (C):x2y2 2x 6y 9 0

1. Tiếp tuyến song song với đường thẳng x-y=0
2. Tiếp tuyến vng góc với đường thẳng 3x-4y=0

Bài 11: Cho hai điểm A(2;0), B(6;4). Viết phương trình đường trịn (C) tiếp xúc với trục hồnh tại điểm 
A và khoảng cách từ tâm của (C) đến điểm B bằng 5 (TS.K.B2005)

</div>
(12)<div class='page_container' data-page=12>

Baøi 1:Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC với A(10;5), B(3;2), C(6;-5).
a/ Tìm tọa độ điểm D xác định bởi hệ thức : AD=3AB−2AC .

b/ Viết phương trình đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC và tìm giao điểm của đường tròn này với
đường thẳng y = 5.

Giải:

a. / AD=3AB−2AC

⇔

xD−10=3(3−10)−2(6−10)

yD−5=3(2−5)−2(−5−5)

¿{

⇔
xD=−3

yD=16

¿{

Vậy tọa độ của điểm D(-3;16)
b/

BA=(7;3)
BC=(3;−7)
BA .BC=7 .3+3(−7)=0

⇒ Tam giác ABC vuông tại B

Do B=900 nên đường tròn ( C ) ngọai tiếp tam giác ABC có tâm I là trung điểm của AC

Ta có: xI=xA+xC

2 =

10+6
2 =8

yI=yA+yC

2 =

5−5

2 =0

Đường trịn ( C) có tâm I(8;0) và bán kính

10−8¿2+52

¿
¿

R=IA=√¿

Vậy phương trình ( C) là : x −8¿2+y2=29

( C) cắt đường thẳng y = 5 tại M(xM;5)

Ta có:

xM−8¿2+25=29

⇔

xM=10

xM=6

¿
¿
¿
¿
¿ ¿

</div>
(13)<div class='page_container' data-page=13>

Baøi 2:Cho hai điểm A(1;6), B(-3; -4). Hãy tìm điểm M trên đường thẳng d: 2x–y–1= 0 sao cho :
MA + MB bé nhất.

Giải:

Ta có A, B ở cùng phía đối với d ( xem hình).
Gọi C là điểm đối xứng của A qua D. Với mọi điểm M
trên d ta có:

MA+MB = MC+MB  BC.

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi M là giao
điểm của d và BC.

Trước hết ta xét đường thẳng l qua A và vng góc
với d có phương trình: x + 2y – 13 = 0.

Tọa độ hình chiếu H của A trên d là nghiệm hệ:

x+2y −13=0
2x − y −1=0

⇔

¿x=3

y=5

¿{

Vậy điểm H(3;5).
Tọa độ của điểm C là :

xC=2xH− xA=6−1=5

yC=2yH− yA=10−6=4

¿{

Vậy C(5;4)

Phương trình đường thẳng BC là: x – y – 1 = 0.
Tọa độ điểm M phải tìm là nghiệm hệ:

x − y −1=0
2x − y −1=0

⇔

¿x=0

y=−1

¿{

Vậy điểm M(0; -1).

Baøi 3:Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy. Cho hình thoi ABCD có tọa độ các đỉnh A(0;3), B(5;3) .
Tâm I của hình thoi nằm trên đường thẳng (d): x+y −2=0 .Xác định tọa độ của các đỉnh C và D ?

</div>
(14)<div class='page_container' data-page=14>

y0−3¿

x0−0¿
2

+¿
AI2=¿

y0−3¿2

x0−5¿2+¿
BI2=¿

3−3¿2=25
5−0¿2+¿
AB2=¿

Tam giác IAB vuông tại I và I thuộc (d) nên ta có hệ phương trình

y0−3¿
2

=25

x0+y0−2=0

x0−5¿2+¿

y0−3¿2+¿
¿

x02
+¿

⇔
x0=1

y0=1
¿{

⇒I(1;1)

Gọi tọa độ điểm C(xC; yC) ,D(xD;yD),ta có

¿
1=xC

2
1=yC+3

2
¿{

⇔
xC=2
yC=−1

¿{

¿
1=xD+5

2
1=yD+3

2
¿{

⇔

xD=−3
yC=−1

¿{

Vậy tọa độ C(2;−1) D(−3;−1) .

Baøi 4:Trong mặt phẳng tọa độ Oxy . Hãy lập phương trình các cạnh của tam giác ABC . Biết
A( 1; 3 ) và hai đường trung tuyến phát xuất từ B và C lần lượt có phương trình là :

x – 2 y + 1 = 0 và y – 1 = 0
Giải:

</div>
(15)<div class='page_container' data-page=15>

y −1=0

x −2y+1=0

¿{

=> G ( 1 ; 1 )
Dựng hình bình hành BGCE

Tính được E( 1 ; - 1 )

Phương trình đường thẳng ( EC ) là

x – 2y – 3 = 0
C là nghiệm của hệ phương trình :

y −1=0

x −2y −3=0

¿{

=> C ( 5; 1 )
Phương trình đường thẳng ( EB ) là : y + 1 = 0

B là nghiệm của hệ phương trình :

y+1=0

x −2y+1=0

¿{

=> B ( - 3 ; - 1 )
Vậy : (AB) : x – y + 2 = 0

( AC ) : x + 2y – 7 = 0
( BC ) : x – 4y – 1 = 0

Baøi 5:Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm I . Gọi D là trung điểm của cạnh AB, E là trọng
tâm của tam giác ADC . Chứng minh rằng nếu AB = AC thì IE vng góc với CD

Giải:

Chọn hệ tọa độ Oxy cho O trùng với trung điểm của BC, điểm A thuộc trục Oy và ta có:
+ A(0 ; a), B(-c ; 0), C(c ; 0)

Suy ra D( −c

2 ;

a

2 ), E(

c

6 ;

a

2 )

Do AB = AC nên tâm I Oy => I(0 ; y0)


IA (0 ; a - y0), IC (c ; -y0)

IA = IC <=> IA2
=IC2

<=> (a - y0)2 = c2 + y02

<=> y0 = a
2

− c2

2a

Vậy I(0 ; a2− c2

2a )

Hệ số góc của đường thẳng IE là : k ¿ yE− yI

xE− xY

=3c

a

Hệ số góc củTa có: k . k’ = -1

Vậy IE CDa đường thẳng CD là: k’ ¿yD− yC

xD− xC

=− a
3c

Bài 6:Cho đường trịn (C): x2 + y2 – 8x + 6y + 21 = 0 và đường thẳng d: x

</div>
(16)<div class='page_container' data-page=16>

Giải:

Đường trịn (C) có tâm I(4, –3), bán kính R = 2

Tọa độ của I(4, –3) thỏa phương trình (d): x + y – 1 = 0. Vậy I  d

Vậy AI là một đường chéo của hình vng ngoại tiếp đường trịn, có bán kính R =
2 , x = 2 và x= 6 là 2 tiếp tuyến của (C ) nên

. Hoặc là A là giao điểm các đường (d) và x = 2  A(2, –1)

. Hoặc là A là giao điểm các đường (d) và x = 6  A(6, –5)

. Khi A(2, –1)  B(2, –5); C(6, –5); D(6, –1)

. Khi A(6, –5)  B(6, –1); C(2, –1); D(2, –5)

Baøi 7 :Cho tam giác ABC đều ABC.Gọi D là điểm đối xứng của C qua AB.Vẽ đường tròn tâm D
qua A, B; M là điểm bất kì trên đường trịn đó (M A,M B). Chứng minh rằng độ dài MA, MB,

MC là độ dài ba cạnh của một tam giác vng.

Giải:

M(x0;y 0)
B

D
^

>
C

Chọn hệ trục Oxy sao cho Ox trùng với AB , chiều dương hướng từ A đến B,trục Oy là đường
trung trực của đoạn AB

 A(-1;0); B(1;0) ,C(0; 3) ,D(0;- 3)

Phương trình đường trịn tm D qua A, B l :x2 (y 3)2 4 (1)
Giả sử M(a;b)l điểm bất kì trên đường trịn (1) .Ta có :

2
2
2 (a 1) b

MA   

2
2
2 (a 1) b

MB   

2
2

2 ( 3)



a b

MC

1
3
2
)

( 2 2 2

2
2
2











MB a b a b b

MA

= ( 3) 4
2
2

2 a  b 

MC

M nằm trên đường tròn (1) nên : a2 (b 3)2  40

2
2

2 MB MC

</div>
(17)<div class='page_container' data-page=17>

 MA, MB, MC là độ dài ba cạnh của một tam giác vuông.

Baøi 8:Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC có diện tích S =

2, A(2; - 3), B(3; -2).

Trọng tâm G của tam giác thuộc đường thẳng 3x – y – 8 = 0 . Xác định toạ độ điểm C.
Giải:

Theo giả thiết SABC =
3

2  SGAB = 
1
2

AB



=(1; 1)  AB = 2

Từ đó suy ra khoảng cách từ G đến đường thẳng AB là d =

1
2

Phương trình đường thẳng AB :
x – y – 5 = 0.

Gọi G(x0; y0); d =
1

2 =

0 0 5
2

x  y 

 x0 y0 5 1

Lại do G thuộc đường thẳng 3x – y – 8 = 0 nên toạ độ G là nghiệm hệ

0 0 5 1

3 8 0

x y

x y

   




  


  G(1; - 5) hoặc G(2; -2).

Từ GA GB GC    0 suy ra C(-2; -10) hoặc C(1; -1).

Baøi 9 :Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho ba điểm A(0;a),B(b;0) ,C (-b; 0) với a>0 ,b >0 .
1/.Viết phương trình đường tròn ( C ) tiếp xúc với đường thẳng AB tại B và tiếp xúc với đường
thẳng AC tại C.

2/. Gọi M là một điểm bất kỳ trên đường tròn ( C ) và d d d1, ,2 3 là các khoảng cách từ M đến các

đường thẳng AB,AC,BC.Chứng minh rằng d d1 2 d32
Giải:

a/-ABC cân tại A;tâm I của ( C) thuộc Oy ⇒I(0; y0)

, IB=(b ;− y

0),AB=(b ;− a) .Do IB .AB=0⇒b2+ay0=0⇒y0=−b
2

a (0,5d)

Mặc khác R2

=IB2=b2+y02=b2+b
4

a2 (0,5d)

Vậy pt của ( C) là y+

b2
a ¿

=b2+b
4

a2

x2+¿

(0,5d)

b/- Đương thẳng AB có pt: ax+by−ab=0

</div>
(18)<div class='page_container' data-page=18>

Ta có :

d1=

|

ax0+by0−ab

|

√

a2
+b2

d2=

|

ax0−by0+ab

|

√

a2+b2

d3=

|

y0

|

(0,5d)
Do y0+

b2

a ¿

=b2+b
4

a2

M(x0; y0)∈(C)⇔x02+¿

⇔a2x0
2

−a2b2+2 ab2y0=− a
2

y0
2

⇒d1d2=

|

−b2y02−a2y02

|

a2

+b2 =y0
2

=d32

Baøi 10:Trong mặt phẳng 0xy cho đường tròn (C): x2+y2 -2x+4y+4 = 0.Gọi Δ là

đường thẳng song song đường thẳng (D):3x+4y-1 = 0 và chia đường tròn ( C) thành hai
cung mà tỉ số độ dài bằng 2.Tìm phương trình đường thẳng Δ

Giải:

A H

N
M

Đường trịn (C ) có tâm I(1;-2); R=1
Δ // (D) nên Δ :3x+4y+C=0

Δ cắt ( C) tại A và B ,đường thẳng qua I vuông góc Δ tại H cắt ( C) tại M và N giả sử độ dài
cung AMB bằng 2 lần độ dài cung ANB suy ra góc AIB=1200

Tính được IH= R.cos600 = 1
2

IH= 12 ↔ d(I ; Δ)=1
2↔

|3−8+C|

5 =

</div>
(19)<div class='page_container' data-page=19>

Tìm được:

C1=152
¿

C2=5
2
¿

→

Δ1:3x+4y+15

2 =0
¿

Δ2=3x+4y+5
2=0
¿

¿
¿
¿
¿
¿

Bài 11:

Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, Cho tam giác ABC với A(2;0), C(-2;3) và trọng

tâm G 121 ;1

 

 

 . Viết phương trình đường trịn nội tiếp tam giác ABC.

Giải:

Cho tam giác ABC có A(2;0), C(-2;3) G 121 ;1

 

 

   B 1 ;04

 

 

 

Phương trình các cạnh AB : 3x + 4y - 6 = 0
AC : 4x + 3y - 1 = 0
BC : y = 0

Phương trình phân giác trong góc A là : x + y -1 = 0
Phương trình phân giác trong góc B là : x + 3y - 2 = 0
Gọi I(x, y) tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC

 tọa độ I là nghiệm của hệ phương trình

1 0 2

3 9 6 0 1

x
x y

x y

y




  

 



 

  

  




Vậy phương trình đường trịn là :

2 2

1 1 1
( ) ( )

2 2 4

x  y 

Baøi 11:Trong mặt phẳng (Oxy) cho tam giác ABC với A(2,1) và phương trình đường phân giác

trong của B và C lần lượt là:

d1: x2y+1=0 và d2: x+y+3=0

Viết phương trình cạnh BC.

Giải:

Gọi A1, A2 là điểm đối xứng của A qua d1, d2 thì A1,A2 nằm trên BC

</div>
(20)<div class='page_container' data-page=20>

Gọi H1 là hình chiếu của A trên d1 thì tọa độ H là nghiệm hệ phương trình:

x −2y+1=0
2x+y −3=0

⇒H(1,1)

¿{

H1 là trung điểm của AA1  A1(0,3)

Tương tự gọi H2 là hình chiếu của A trên d2 H2(0,3)

H2 là trung điểm của AA2 A2(2,5)

</div>

Phuong phap toa do trong mat phang

<b>PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG</b>

<b> Chủ đề 1 : ĐƯỜNG THẲNG TRONG MẶT PHẲNG TỌA ĐỘ</b>

<b>Bài tập áp dụng :</b>

<b>) là </b>

<b>2. VTCP của (</b>

<b>) là </b>

<i>Cách tìm tọa độ của </i>

<i>Ta chọn x =xo ,thế vào phương trình Ax + By + C = 0 </i>

<i>tìm yo.</i>

<b>Bài tập áp dụng : </b>



<b> </b>









<i>x</i>

<i>x</i>

<i>a t</i>

<i>y</i>

<i>y</i>

<i>b t</i>



<i>x y</i>

;









( ; )

<i>n</i>

<i>A B</i>











<i>x y</i>

;







( ; )

<i>u</i>

<i>a b</i>

 















<i>x x</i>

<i>at</i>

<i>y y</i>

<i>bt</i>



<i>x y</i>

;







( ; )

<i>u</i>

<i>a b</i>







<i>x x</i>

<i>y y</i>

<i>a</i>

<i>b</i>

Dạng toán





0

:

