DE THI HSG TOAN THPT

<span class='text_page_counter'>(1)</span>§Ò thi häc sinh giái m«n to¸n líp 10. n¨m häc 2012-2013 (Thêi gian lµm bµi 150 phót). Së GD&§T PHÚ YÊN Trêng THPT TRẦN SUYỀN. Câu 1. (2 điểm) Cho phương trình:. x 2   2m  1 x  m 2  1 0. a) Giải phương trình với m  2 . b) Tìm m để phương trình có 2 nghiệm phân biệt là độ dài 2 cạnh góc vuông của một tam giác vuông có cạnh huyền bằng 3. Câu 2. (2,5 điểm) Giải phương trình và hệ phương trình: 4. a). 3. x  16  x  17 1.  2 x  y 5  2 2 b)  x  xy  y 7. Câu 3. (1,5 điểm) Cho các tập hợp a) Khi. a . A  0;1 , B  a 2 ; 2 . 1 2 . Hãy tìm: C  A  B .. b) Tìm a sao cho A  B  . 0 Câu 4. (2 điểm) Qua đỉnh A của hình vuông vẽ hai tia, góc lập bởi hai tia đó bằng 45 . Một tia cắt. đường chéo BD và cạnh CD tại hai điểm tương ứng Q và P, tia còn lại cắt đường chéo BD và cạnh BC lần lượt tại các điểm N và M. a) Chứng minh rằng các điểm C, M, N, Q, P nằm trên một đường tròn. b) Tính chu vi của tam giác CMP. Câu 5. (1 điểm) Cho tam giác ABC, với điểm M là trungđiểmAB, N thuộc đường thẳng AC sao cho    NA  4 NC 0 , P là điểm thuộc đường thẳng BC sao cho PB 4 PC . Chứng minh rằng M, N, P thẳng hàng. a 2  b 2   b2  c 2   c 2  a 2  8a 2b 2 c 2 Câu 6. (1 điểm) Cho a, b, c   . Chứng minh rằng:  . Dấu bằng xảy ra khi nào?.

<span class='text_page_counter'>(2)</span> ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM. Câu 1. (2 điểm) Cho phương trình:. x 2   2m  1 x  m 2  1 0. a) Giải phương trình với m  2 . b) Tìm m để phương trình có nghiệm là độ dài 2 cạnh góc vuông của một tam giác vuông có cạnh huyền bằng a) Giải phương trình với m  2 .. 2.. Điểm. 2. Với m = -2. Phương trình: x  5 x  3 0  5  13  x 2 . KL m b) Tìm để phương trình có 2 nghiệm phân biệt là độ dài 2 cạnh góc vuông của một tam giác vuông có cạnh huyền bằng 3. 5  m   4  5  4 m  0    0  1   5   S 0 m 2m  1  0    1  m  2     4 m2  1  0  m 1  P 0    m 1 2 m   1  x12  x22 2     x1  x2   2 x1 x2 2  2  2m  1  2 m 2  1 2  ycbt Vô nghiệm. . 0,5 0,5 Điểm 0,5. 0,5. . Câu 2. (2,5 điểm) Giải phương trình và hệ phương trình: 4. 3. x  16  x  17 1. a).  2 x  y 5  2 2 b)  x  xy  y 7 4. a). Điểm. 3. x  16  x  17 1. +) x 16; x 17 là nghiệm của phương trình +) x  17 phương trình vô nghiệm +) x  16 pt vô nghiệm +) 16  x  17 pt vô nghiệm KL (1)  2 x  y 5  2 2 b)  x  xy  y 7 (2) +) Từ.  1 . y 2 x  5. 2. , thay vào (2).. x  x  2 x  5   2 x  5  +) Ta có: +) x 1  y  3 18 1 x  y 7 7 +). 2.  x 1 7    x 18 7 . 0,25 0,25 0,25 0,25 Điểm 0,25 0,5 0,25 0,25 0,25.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> KL. Câu 3. (1,5 điểm) Cho các tập hợp a) Khi. A  0;1 , B  a 2 ; 2 . 1 2 . Hãy tìm: C  A  B .. a . b) Tìm a sao cho A  B  . 1 a  2 . Hãy tìm: C  A  B . a) Khi 1  B  ; 2  A  0;1 4  ; 1  C  A  B  ;1 4  b) Tìm a sao cho A  B  .  a 1 A  B   a 2  1   a   1. Điểm. 0,25 0,25 Điểm 0,5 0,5. Câu 4. (2 điểm) Cho hình vuông ABCD cạnh a. Qua đỉnh A của hình vuông vẽ hai tia, góc lập bởi 0 hai tia đó bằng 45 . Một tia cắt đường chéo BD và cạnh CD tại hai điểm tương ứng Q và P, tia còn lại cắt đường chéo BD và cạnh BC lần lượt tại các điểm N và M. Điểm a) Chứng minh rằng các điểm C, M, N, Q, P nằm trên một đường tròn. C. P. D. Q. M N A. B. 0 0    Ta có QAM QBM 45 , nên tứ giác ABMQ nội tiếp đường tròn, suy ra AQM 90 , nghĩa là MQ  AP .. Chứng minh tương tự, ta có tứ giác ADPN nội tiếp. Do đó MA  NP . Đến đây, dễ thấy các tứ giác QPCM và PCMN nội tiếp trong đường tròn đường kính PM. b) Tính chu vi của tam giác CMP.. 0,5 0,5 Điểm.

<span class='text_page_counter'>(4)</span> P. D. C. M A. B. K. Vẽ về phía ngoài hình vuông tam giác vuông ABK bằng tam giác vuông ADP. Suy ra: 0   AK=AP, BK=DP, MAP KAM 45 PAM KAM  c.g.c  Mặt khác . Ta có MP=MK=MB+BK=MB+DP Chu vi của tam giác CMP = CP+PM+MC=CP+MB+DP+MC=2a. 0,25 0,5 0,25. Câu 5. (1 điểm) Cho tam giác ABC, với điểm M là trungđiểmAB, N thuộc đường thẳng AC sao cho   . NA  4 NC 0 , P là điểm thuộc đường thẳng BC sao cho PB 4 PC . Chứng minh rằng M, N, P thẳng hàng. Điểm Chứng minh rằng M, N, P thẳng hàng.  1 MA  AB 2 +) 0,25  4 AN  AC 5 +)  1 4 0,25 PA  AB  AC 3 3 +)  1  4 MN  AB  AC 0,25 2 5 +)  1 8 2  1 4  0,25 PN  AB  AC    AB  AC  3 15 3 2 5  +). +) KL.. a 2  b 2   b2  c 2   c 2  a 2  8a 2b 2 c 2 Câu 6. (1 điểm) Cho a, b, c   . Chứng minh rằng:  . Dấu bằng xảy ra khi nào?. a. 2.  b 2 b 2  c 2 c 2  a 2 8a 2b 2c 2. . . Bất đẳng thức Côsi a 2  b 2 2 ab b 2  c 2 2 bc c 2  a 2 2 ca. . Điểm 0,25 0,25 0,25.

<span class='text_page_counter'>(5)</span> a. 2. . . .  b 2 b 2  c 2 c 2  a 2 8 ab bc ca 8a 2b 2c 2. Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi. a b c. 0,25.

<span class='text_page_counter'>(6)</span> Câu 7. (2 điểm) Cho phương trình:. x 2   2m  1 x  m 2  1 0. c) Giải phương trình với m  2 . d) Tìm m để phương trình có 2 nghiệm phân biệt là độ dài 2 cạnh góc vuông của một tam giác vuông có cạnh huyền bằng 3. Câu 8. (2 điểm) Giải phương trình: 4 2 x  16  x  17 1 a) b) 15  x  3  x 6 2 2 c) x  6 x  9 4 x  6 x  6 Câu 9. (2 điểm) Giải hệ phương trình:  x y 13    y x 6  x  y 6 a)   2 x  y 5  2 2 b)  x  xy  y 7. Câu 10.. (1 điểm) Trong lớp 10A có 15 học sinh giỏi môn Toán, 14 học sinh giỏi môn Văn và 12 học sinh giỏi môn tiếng Anh, biết rằng có 8 học sinh vừa giỏi Văn và Toán, có 5 học sinh vừa giỏi Văn và tiếng Anh, có 7 học sinh vừa giỏi Toán và tiếng Anh, trong đó chỉ có đúng 11 học sinh giỏi hai môn. Hỏi lớp có bao nhiêu học sinh của lớp: e) giỏi cả 3 môn Văn, Toán và tiếng Anh. f) giỏi đúng 1 môn Văn, Toán hoặc tiếng Anh. A  0;1 , B  a 2 ; 2 Câu 11. (2 điểm) Cho các tập hợp 1 a  C  0;1   a 2 ; 2  2 g) Khi . Hãy tìm: .  a; a  h) Khi a lớn nhất, biểu diễn đoạn  trên trục số. 2  0;1   a ; 2  . i) Tìm a sao cho 0 (2 điểm) Qua đỉnh A của hình vuông vẽ hai tia, góc lập bởi hai tia đó bằng 45 . Một tia cắt đường chéo BD và cạnh CD tại hai điểm tương ứng Q và P, tia còn lại cắt đường chéo BD và cạnh BC lần lượt tại các điểm N và M. j) Chứng minh rằng các điểm C, M, N, Q, P nằm trên một đường tròn. k) Tìm giá trị lớn nhất của diện tích tam giác AMP. Câu 13. (1 điểm) Cho hình bình hành ABCD. Trên đường thẳng AB lấy điểm M sao cho  1  3 AM  AB AN  AD 3 2 , gọi P là giao điểm của MN và  , trên  đường thẳng AD lấy điểm N sao cho AC, đặt PN k .PM . Tìm k? a 2  b 2 b 2  c 2 c 2  a 2 8a 2b 2 c 2 Câu 14. (1 điểm) Cho a, b, c   . Chứng minh rằng: . Dấu bằng xảy ra khi nào?. Câu 12.. . . . .

<span class='text_page_counter'>(7)</span>