PHUONG TRINH LUONG GIAC

<span class='text_page_counter'>(1)</span>CHUY£N §Ò 01. PH¦¥NG TR×NH Lîng gi¸c thêng gÆp -----------------------------------------------------. (Tài liệu dùng cho học sinh THPT luyện thi ĐH – CĐ) a. d¹ng 1. Ph¬ng tr×nh bËc hai cña mét hµm sè lîng gi¸c. 1) Định nghĩa: với a  0; b, c  R *asin2x + bsinx + c = 0 (1) 2 *acos x + bcosx + c = 0 (2) *atan2x + btanx + c = 0 (3) *acot2x + bcotx + c = 0 (4) 2) Cách giải: + Đặt ẩn phụ: với (1) thì đặt sinx = t, đk: t [-1; 1]. với (2) thì đặt cosx = t, đk: t [-1; 1]. với (3) thì đặt tanx = t, đk: t R. với (4) thì đặt cotx = t, đk: t R. 2 + Ta có phương trình: at + bt + c = 0 (*) + Giải phương trình (*) tìm nghiệm t, kiểm tra điều kiện của t (nếu có), giải tìm họ nghiệm x. 3) Bài tập: Bài 1. Giải các phương trình sau: [a].2cos2x + 5sinx – 4 = 0 [b].2sin2x – cos2x - 4sinx + 2 = 0 [c].9cos2x – 5sin2x – 5cosx + 4 = 0 [d].5sinx(sinx – 1) – cos2x = 3 [e].1 – 5sinx + 2cos2x = 0. 3 2 [f]. sin x. 3cotx  3. 5 [g ].tan2x - cos x + 7 = 0 Bài 2. Giải các phương trình sau: [a].cos2x + 3sinx – 2 = 0 [b].cos2x – 5cosx + 3 = 0 [c].cos2x + sin2x + 2cosx + 1 = 0 [d].4sin22x + 6sin2x – 3cos2x – 9 = 0 [e].5(1 + cosx) = 2 + sin4x – cos4x. 1 [f].sin4x + cos4x = sin2x - 2    3x [g].cos2(3x + 2 ) – cos23x – 3cos( 2 )+2=0 3  x [h].1 – cos(  + x) - sin 2 =0.

<span class='text_page_counter'>(2)</span>   [k].sin(x + 6 ) – cos( 3 + 2x) - 2 = 0 cos x(2sin x  3 2)  2 cos 2 x  1 1 1  sin 2 x [i*]. cos x (cos x  2sin x)  3sin x(sin x  2) 1 sin 2 x  1 [j*]. 4sin 2 2 x  6sin 4 x  3cos 2 x  9 0 cos x [m*]. 1  2sin 2 x  3 2 s inx  sin 2 x 1 2sin x cos x  1 [n*].. Chú ý: Bằng cách giải tương tự như trên, ta giải được phương trình bậc 3 của một hàm số lượng giác. Bài 3. Giải các phương trình sau: [a]. 4sin3x – 8sin2x + sinx + 3 = 0 [b]. 2sin3x – cos2x – sinx = 0 [c]. 3sin3x – 3cos2x + 7sinx – cos2x + 1 = 0 [d]. 5cos3x – 3sin2x + 8cosx – 1 = 0. 1 [e]. 2cos2x – 8cosx + 7 = cos x [f]. cos2x + 3cosxsin2x – 8sinx = 0 [g]. 9sin2x – 5sinxsin2x + 17cosx – 11 = 0.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> b. d¹ng 2. Ph¬ng tr×nh bËc nhÊt cña sinx vµ cosx. 1) Định nghĩa: với a2 + b2 > 0 và c  R . asinx + bcosx = c ;(1) 2) Cách giải:. a 2  b 2 , ta được: a b c sinx  cos x  2 2 a 2  b2 a2  b2 (1)  a  b a b cos sin  2 2 2 2 a  b a  b + Đặt ; ta có: c c + Chia 2 vế của phương trình (1) cho. 2. 2. cos  sinx + sin  cosx = a  b  sin(x +  ) = + Giải phương trình (2) tìm họ nghiệm x. Chú ý 1: (1) có nghiệm x  a2 + b2  c2. 3) Bài tập: Bài 4. Giải các phương trình sau: [a].. 3 cosx + sinx =. [b]. sin2x -. x [c]. sin 2 -. 2. 3 cos2x = 1 x 3 cos 2 = 3. [d]. 3sinx + 4cosx = 5 [e]. 3sin2x – 2cos2x = 3 Bài 5. Giải các phương trình sau: [a].. sin x  2 cos x . 1  1 sin x  2 cos x  1. 4sin x  3cos x  [b].. 6 6 4sin x  3cos x  1. 2 [c]. 2sinx - 2 3 cosx + sin x  3 cos x 1 = 3 5 8 [d]. 5cosx + 12sinx + 5cos x  12s inx  14 =0. Bài 6. Giải các phương trình sau: [a]. cos5xcos3x -. 3 sin2x = 1 – sin5xsin3x. [b].. 3 cos5x + sin3xcos2x =. [c].. x x 3 cosx + (sin 2 - cos 2 )2 = 2. [d]. cos2x -. 3 sin2x = 1 + sin2x. 3 - cos3xsin2x. a 2  b 2 ; (2)..

<span class='text_page_counter'>(4)</span> [e]. cos4x – sin4x -. 3 sin2x =. 2. [f*]. 4(sin4x + cos4x) + 3 sin4x = 2 Chú ý 2: Một số dạng mở rộng của (1) 2 2 * a.sinu(x) + b.cosu(x) =  a  b .sinv(x) 2. 2. a.sinu(x) + b.cosu(x) =  a  b .cosv(x) * a.sinu(x) + b.cosu(x) = c.sinv(x) + d.cosv(x), mà a2 + b2 = c2 + d2. Bài 7*. Giải các phương trình sau: [a]. sinx [b].. 3 cosx = 2sin3x. 3 sin2x + cos2x – 2 cos5x = 0. [c]. sin5x +. 3 cos5x + 2sin17x = 0. [d]. 2sin3x – sin2x =. 3 cos2x. [e]. 2cosx(sinx – 1) = 3 cos2x [f].. 3 sinx + cosx = cos3x -. [g]. cos2x [h].. 3 sin3x. 3 sin2x - 3 sinx – cosx = 0. 3 (cos2x + cos3x) + sin3x – sin2x = 0. cos x  2sin x cos x  3 2 [k*]. 2cos x  s inx  1.

<span class='text_page_counter'>(5)</span> c. dạng 3. Phơng trình đẳng cấp bậc hai của sinx và cosx. 1) Định nghĩa: với a,b,c,d  R . a.sin2x + b.cosxsinx + c.cos2x = d; (3) 2) Cách giải: * Với cosx  0 thì: + (3)  atan2x + btanx + c = d(1 + tan2x)  (a – d)tan2x + btanx + c – d = 0 (3’) + Giải phương trình (3’). d * Với cosx = 0 thì thay vào (3) tìm: sin x = a + Nếu sin2x 1 thì phương trình vô nghiệm.   k 2 + Nếu sin x = 1 thì x = 2 là nghiệm của phương trình.. 2. 3) Bài tập: Bài 8. Giải các phương trình sau: [a]. 2sin2x + 3sinxcosx + cos2x = 0 [b]. 2sin2x -3sinxcosx + 3cos2x = 1 2 2 [c]. sin x  3cos x  2 s in2x 1. [d]. 2sin2x – 3sinxcosx + cos2x = 0 2 2 [e]. 2sin x  5sin x cos x  8cos x  2 [f]. 4sin2x + 3 3 sin2x - 2cos2x = 4 [g]. 25sin2x + 15sin2x + 9cos2x = 25. Chú ý: Bằng cách giải tương tự áp dụng cho phương trình bậc 3 của sinx và cosx: a.sin3x + b.sin2xcosx + c.sinxcos2x + d.cos3x = e(sinx + cosx). Bài 9. Giải các phương trình sau: [a]. 4sin3x + 3cos3x – 3sinx – sin2xcosx = 0 [b]. cos3x – 4sin3x – 3cosxsin2x + sinx = 0 3 2 3 [c]. sin x  2 sin x cos x  3cos x 0 [d]. cos3x- sin3x= cosx+ sinx [e]. sinx- 4sin3x+cosx=0 [f]. cos3x + sin3x = sinx – cosx  [g*]. 2 sin3(x + 4 ) = 2sinx  [h*]. sin3(x - 4 ) =. 2 sinx.

<span class='text_page_counter'>(6)</span> d. d¹ng 4. Ph¬ng tr×nh lîng gi¸c ®a vÒ d¹ng tÝch. Chú ý : Kết quả thường dùng. * sin2x = 1 – cos2x = (1 + cosx)(1 – cosx) * cos2x = 1 – sin2x = (1 – sinx)(1 + cosx) * sin3x = sinx.sin2x = sinx.(1 – cosx)(1 + cosx) * cos3x = cosx.cos2x = cosx.(1 – sinx)(1 + sinx) * 1 + sin2x = (sinx + cosx)2 * 1 – sin2x = (sinx – cosx)2 * 1 + cos2x = 2cos2x * 1 – cos2x = 2sin2x *cos2x = cos2x – sin2x = (cosx – sinx)(cosx + sinx) Bài 10. Giải các phương trình sau: [a]. sin7x + sin5x + sin3x = 0 [b]. sin3x – sinx + sin2x = 0 [c]. sinx + sin2x + sin3x + sin4x=0 [d]. cosx + cos2x + cos3x + cos4x = 0 [e]. 1 + cosx + cos2x + cos3x = 0 [f]. cos10x – cos8x – cos6x + 1 = 0 [g*]. cosx + cos3x + 2cos5x = 0 Bài 11. Giải các phương trình sau: [a]. sin2 x+sin23x=cos22x+cos24x [b]. cos2x+cos22x+cos23x+cos24x=3/2 [c]. sin2x= cos22x+ cos23x [d]. sin22x+ sin24x= sin26x [e]. sin2x+ sin22x+ sin23x=3/2 [f]. cos2x+cos22x+cos23x = 1 [g]. sin23x – sin22x – sin2x = 0 [h]. sin23x – cos24x = sin25x – cos26x 17 [i]. sin22x – cos28x = sin( 2 + 10x) [j]. sin24x – cos26x = sin(10,5  + 10x) Bài 12. Giải các phương trình sau: [a]. 1+ sinx + cos3x = cosx + sin2x + cos2x [b]. 1+ sinx + cosx + sin2x + cos2x=0 2 [c]. (2 sin x  1)(2 cos 2 x  2 sin x  1) 3  4 cos x 2 [d]. (2 sin x  1)(3 cos 4 x  2 sin x  4)  4 cos x 3 [e]. cos3x + cos2x + 2sinx - 2=0 [f]. 2sin3x – sinx = 2cos3x – cosx + cos2x. [g]. 4cos3x + 3 2 sin2x = 8cosx [h]. cos2x - 2cos3x + sinx=0 [i]. sin3 x + 2cosx + sin2 x - 2=0 1 1 2   [j*]. cos x sin 2 x sin 4 x.

<span class='text_page_counter'>(7)</span> Bài 13*. Giải các phương trình sau: [a]. 9sinx + 6cosx – 3sin2x + cos2x = 8 [b]. sin2x + 2cos2x = 1 + sinx - 4cosx [c]. 2sin2x – cos2x = 7sinx + 2cosx – 4 [d]. sin2x – cos2x = 3sinx + cosx - 2.

<span class='text_page_counter'>(8)</span> e. d¹ng 5. Bµi tËp tæng hîp. ( PTLG trong các đề thi ĐH từ 2002 – 2010) Bài 14: Giải các phương trình sau: [D10 ]. sin2x – cos2x + 3sinx – cosx – 1 = 0 [ D09]. 3cos5x-2sin3xcos2x-sinx=0 [D08 ]. 2sinx(1+cos2x)+sin2x=1+2cosx 2. x x   sin  cos   3cosx=2 2 2 [D07 ].  [D06 ]. cos3x+cos2x-cosx-1=0.  3    cos4 x  sin 4 x  cos  x-  sin  3x    0 4 2  4  [ D05]. [ D04]. (2cosx-1)(2sinx+cosx)=sin2x-sinx. x  x  sin 2    tan 2 x  cos2 0 2  2 4 [ D03]. 0;14 nghiệm đúng phương trình: [ D02]. Tìm x thuộc đoạn  cos3x-4cos2x+3cosx-4=0 Bài 15: Giải các phương trình sau: [B10 ]. (sin2x + cos2x)cosx + 2cos2x – sinx = 0 [B09 ]. sinx+cosxsin2x+ 3 [B08 ]. sin x . 3cos3x=2  cos4x+sin 3 x . 3cos3 x s inxcos2 x . 3 sin 2 xcosx. 2 [B07 ]. 2sin 2x  sin 7x  1 s inx. tan. x 2 )=4. [B06 ]. cotx+sinx(1+tanx [B05 ]. 1+sinx+cosx+sin2x+cos2x=0 2 [B04 ]. 5sinx-2=3(1-sinx) tan x. 2 sin2x [ B03]. 2 2 2 2 [ B02]. sin 3x  cos 4x sin 5x  cos 6x c otx-tanx+4sin2x=. Bài 16: Giải các phương trình sau: . (1  s inx  cos2 x)sin( x  ) 4  1 cos x 1  t anx 2 [ A10].. 1 . [A09 ].. 2s inx  cosx  3  1  2s inx   1  sin x .

<span class='text_page_counter'>(9)</span> 1  s inx [A08 ].. 1.  7  4sin   x 3    4  sin  x   2  .  1  sin x  cosx+  1+cos x  s inx=1+sin2x [ A07]. 2  sin x  cos x   s inxcosx 0 2. 6. 2. 6. 2  2s inx. [ A06].. 3 2 [A05 ]. cos 3xcos2x-cos x 0. cos2x 1  sin 2 x  sin 2x 1+tanx 2 [A03 ]. [ A02]. Tìm nghiệm thuộc khoảng (0;2  ) của phương trình: cos3x+sin3x   5  s inx+  cos2x+3 1  2sin 2x   c otx-1=.

<span class='text_page_counter'>(10)</span>