Chuong 2 Ma Tran Dai So Tuyen Tinh

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (3.43 MB, 465 trang )

(1)Nội dung chương 1. Bài giảng môn học Đại số tuyến tính. Chương 1 MA TRẬN VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH Lê Văn Luyện Đại học Khoa Học Tự Nhiên Tp. Hồ Chí Minh Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM). Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT. 06/04/2010. 1 / 84.

(2) Nội dung chương 1. Nội dung Chương 1. MA TRẬN VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH 1. Ma trận 2. Các phép biến đổi sơ cấp trên dòng 3. Hệ phương trình tuyến tính 4. Ma trận khả nghịch 5. Phương trình ma trận. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM). Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT. 06/04/2010. 2 / 84.

(3) 1. Ma trận. 1. Ma trận 1.1 Định nghĩa và ký hiệu 1.2 Ma trận vuông 1.3 Các phép toán trên ma trận. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM). Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT. 06/04/2010. 3 / 84.

(4) 1. Ma trận. 1.1. Định nghĩa và ký hiệu Định nghĩa. Một ma trận cấp m × n trên R là một bảng chữ nhật gồm m dòng, n cột với mn hệ số trong R có dạng. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM). Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT. 06/04/2010. 4 / 84.

(5) 1. Ma trận. 1.1. Định nghĩa và ký hiệu Định nghĩa. Một ma trận cấp m × n trên R là một bảng chữ nhật gồm m dòng, n cột với mn hệ số trong R có dạng   a11 a12 . . . a1n  a21 a22 . . . a2n   A=  .................... . am1 am2 . . . amn. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM). Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT. 06/04/2010. 4 / 84.

(6) 1. Ma trận. 1.1. Định nghĩa và ký hiệu Định nghĩa. Một ma trận cấp m × n trên R là một bảng chữ nhật gồm m dòng, n cột với mn hệ số trong R có dạng   a11 a12 . . . a1n  a21 a22 . . . a2n   A=  .................... . am1 am2 . . . amn Viết tắt: A = (aij )m×n hay A = (aij ), trong đó aij ∈ R.. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM). Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT. 06/04/2010. 4 / 84.

(7) 1. Ma trận. 1.1. Định nghĩa và ký hiệu Định nghĩa. Một ma trận cấp m × n trên R là một bảng chữ nhật gồm m dòng, n cột với mn hệ số trong R có dạng   a11 a12 . . . a1n  a21 a22 . . . a2n   A=  .................... . am1 am2 . . . amn Viết tắt: A = (aij )m×n hay A = (aij ), trong đó aij ∈ R. aij hay Aij là phần tử ở vị trí dòng i cột j của A. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM). Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT. 06/04/2010. 4 / 84.

(8) 1. Ma trận. 1.1. Định nghĩa và ký hiệu Định nghĩa. Một ma trận cấp m × n trên R là một bảng chữ nhật gồm m dòng, n cột với mn hệ số trong R có dạng   a11 a12 . . . a1n  a21 a22 . . . a2n   A=  .................... . am1 am2 . . . amn Viết tắt: A = (aij )m×n hay A = (aij ), trong đó aij ∈ R. aij hay Aij là phần tử ở vị trí dòng i cột j của A Mm×n (R) là tập hợp tất cả những ma trận cấp m × n trên R.. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM). Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT. 06/04/2010. 4 / 84.

(9) 1. Ma trận. 1.1. Định nghĩa và ký hiệu Ví dụ. A=. 1 2 3 0 1 2. . Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM). Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT. 06/04/2010. 5 / 84.

(10) 1. Ma trận. 1.1. Định nghĩa và ký hiệu Ví dụ. A=. 1 2 3 0 1 2. . Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM). ∈ M2×3 (R);. Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT. 06/04/2010. 5 / 84.

(11) 1. Ma trận. 1.1. Định nghĩa và ký hiệu Ví dụ. A=. 1 2 3 0 1 2. . . Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM). ∈ M2×3 (R);.  1 2 B= 0 1  2 3. Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT. 06/04/2010. 5 / 84.

(12) 1. Ma trận. 1.1. Định nghĩa và ký hiệu Ví dụ. A=. 1 2 3 0 1 2. . . Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM). ∈ M2×3 (R);.  1 2 B =  0 1  ∈ M3×2 (R). 2 3. Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT. 06/04/2010. 5 / 84.

(13) 1. Ma trận. 1.1. Định nghĩa và ký hiệu Ví dụ. A=. 1 2 3 0 1 2. . ∈ M2×3 (R);.  1 2 B =  0 1  ∈ M3×2 (R). 2 3. . Ma trận có các phần tử bằng 0 được gọi là ma trận không , ký hiệu 0m×n (hay 0). Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM). Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT. 06/04/2010. 5 / 84.

(14) 1. Ma trận. 1.1. Định nghĩa và ký hiệu Ví dụ. A=. 1 2 3 0 1 2. . ∈ M2×3 (R);.  1 2 B =  0 1  ∈ M3×2 (R). 2 3. . Ma trận có các phần tử bằng 0 được gọi là ma trận không , ký hiệu 0m×n (hay 0) Ví dụ. . 03×4. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM).  0 0 0 0 = 0 0 0 0  0 0 0 0. Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT. 06/04/2010. 5 / 84.

(15) 1. Ma trận. 1.2. Ma trận vuông Định nghĩa. Nếu A ∈ Mn×n (R) (số dòng bằng số cột) thì A được gọi là ma trận vuông .. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM). Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT. 06/04/2010. 6 / 84.

(16) 1. Ma trận. 1.2. Ma trận vuông Định nghĩa. Nếu A ∈ Mn×n (R) (số dòng bằng số cột) thì A được gọi là ma trận vuông .   a11 a12 . . . a1n  a21 a22 . . . a2n   A=  ................... . an1 an2 . . . ann. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM). Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT. 06/04/2010. 6 / 84.

(17) 1. Ma trận. 1.2. Ma trận vuông Định nghĩa. Nếu A ∈ Mn×n (R) (số dòng bằng số cột) thì A được gọi là ma trận vuông .   a11 a12 . . . a1n  a21 a22 . . . a2n   A=  ................... . an1 an2 . . . ann Mn (R): Tập hợp tất cả các ma trận vuông cấp n trên R.. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM). Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT. 06/04/2010. 6 / 84.

(18) 1. Ma trận. 1.2. Ma trận vuông Định nghĩa. Nếu A ∈ Mn×n (R) (số dòng bằng số cột) thì A được gọi là ma trận vuông .   a11 a12 . . . a1n  a21 a22 . . . a2n   A=  ................... . an1 an2 . . . ann Mn (R): Tập hợp tất cả các ma trận vuông cấp n trên R. Ví dụ. .  −1 3 2 A =  2 −1 1  5 2 3 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM). Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT. 06/04/2010. 6 / 84.

(19) 1. Ma trận. 1.2. Ma trận vuông Định nghĩa. Nếu A ∈ Mn×n (R) (số dòng bằng số cột) thì A được gọi là ma trận vuông .   a11 a12 . . . a1n  a21 a22 . . . a2n   A=  ................... . an1 an2 . . . ann Mn (R): Tập hợp tất cả các ma trận vuông cấp n trên R. Ví dụ. .  −1 3 2 A =  2 −1 1  ∈ M3 (R); 5 2 3 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM). Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT. 06/04/2010. 6 / 84.

(20) 1. Ma trận. 1.2. Ma trận vuông Định nghĩa. Nếu A ∈ Mn×n (R) (số dòng bằng số cột) thì A được gọi là ma trận vuông .   a11 a12 . . . a1n  a21 a22 . . . a2n   A=  ................... . an1 an2 . . . ann Mn (R): Tập hợp tất cả các ma trận vuông cấp n trên R. Ví dụ. .  −1 3 2 A =  2 −1 1  ∈ M3 (R); 5 2 3 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM).  0 0 0 03 =  0 0 0  . 0 0 0. Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT. . 06/04/2010. 6 / 84.

(21) 1. Ma trận. 1.2. Ma trận vuông Định nghĩa. Nếu A = (aij ) ∈ Mn×n (R) thì đường chứa các phần tử a11 , a22 , . . . , ann được gọi là đường chéo chính hay đường chéo của A.. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM). Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT. 06/04/2010. 7 / 84.

(22) 1. Ma trận. 1.2. Ma trận vuông Định nghĩa. Nếu A = (aij ) ∈ Mn×n (R) thì đường chứa các phần tử a11 , a22 , . . . , ann được gọi là đường chéo chính hay đường chéo của A.   a11 a12 . . . a1n  a21 a22 . . . a2n   A=  ................... . an1 an2 . . . ann. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM). Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT. 06/04/2010. 7 / 84.

(23) 1. Ma trận. 1.2. Ma trận vuông Định nghĩa. Nếu A = (aij ) ∈ Mn×n (R) thì đường chứa các phần tử a11 , a22 , . . . , ann được gọi là đường chéo chính hay đường chéo của A.   a11 a12 . . . a1n  a21 a22 . . . a2n   A=  ................... . an1 an2 . . . ann Ví dụ. .  1 3 5 A =  −2 −3 3  . 2 −2 1. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM). Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT. 06/04/2010. 7 / 84.

(24) 1. Ma trận. • Nếu các phần tử nằm dưới đường chéo của A đều bằng 0 (nghĩa là aij = 0, ∀i > j) thì A được gọi là ma trận tam giác trên.. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM). Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT. 06/04/2010. 8 / 84.

(25) 1. Ma trận. • Nếu các phần tử nằm dưới đường chéo của A đều bằng 0 (nghĩa là aij = 0, ∀i > j) thì A được gọi là ma trận tam giác trên. • Nếu các phần tử nằm trên đường chéo của A đều bằng 0 (nghĩa là aij = 0, ∀i < j) thì A được gọi là ma trận tam giác dưới .. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM). Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT. 06/04/2010. 8 / 84.

(26) 1. Ma trận. • Nếu các phần tử nằm dưới đường chéo của A đều bằng 0 (nghĩa là aij = 0, ∀i > j) thì A được gọi là ma trận tam giác trên. • Nếu các phần tử nằm trên đường chéo của A đều bằng 0 (nghĩa là aij = 0, ∀i < j) thì A được gọi là ma trận tam giác dưới . • Nếu mọi phần tử nằm ngoài đường chéo bằng 0 thì A (nghĩa là aij = 0, ∀i 6= j) được gọi là ma trận đường chéo, ký hiệu diag(a1 , a2 , . . . , an ).. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM). Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT. 06/04/2010. 8 / 84.

(27) 1. Ma trận. • Nếu các phần tử nằm dưới đường chéo của A đều bằng 0 (nghĩa là aij = 0, ∀i > j) thì A được gọi là ma trận tam giác trên. • Nếu các phần tử nằm trên đường chéo của A đều bằng 0 (nghĩa là aij = 0, ∀i < j) thì A được gọi là ma trận tam giác dưới . • Nếu mọi phần tử nằm ngoài đường chéo bằng 0 thì A (nghĩa là aij = 0, ∀i 6= j) được gọi là ma trận đường chéo, ký hiệu diag(a1 , a2 , . . . , an ). . Ví dụ..  1 3 5 A =  0 −3 3  , 0 0 1. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM). Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT. 06/04/2010. 8 / 84.

(28) 1. Ma trận. • Nếu các phần tử nằm dưới đường chéo của A đều bằng 0 (nghĩa là aij = 0, ∀i > j) thì A được gọi là ma trận tam giác trên. • Nếu các phần tử nằm trên đường chéo của A đều bằng 0 (nghĩa là aij = 0, ∀i < j) thì A được gọi là ma trận tam giác dưới . • Nếu mọi phần tử nằm ngoài đường chéo bằng 0 thì A (nghĩa là aij = 0, ∀i 6= j) được gọi là ma trận đường chéo, ký hiệu diag(a1 , a2 , . . . , an ). . Ví dụ..  1 3 5 A =  0 −3 3  , 0 0 1. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM). .  1 0 0 0 . B =  −2 0 −1 2 −4. Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT. 06/04/2010. 8 / 84.

(29) 1. Ma trận. • Nếu các phần tử nằm dưới đường chéo của A đều bằng 0 (nghĩa là aij = 0, ∀i > j) thì A được gọi là ma trận tam giác trên. • Nếu các phần tử nằm trên đường chéo của A đều bằng 0 (nghĩa là aij = 0, ∀i < j) thì A được gọi là ma trận tam giác dưới . • Nếu mọi phần tử nằm ngoài đường chéo bằng 0 thì A (nghĩa là aij = 0, ∀i 6= j) được gọi là ma trận đường chéo, ký hiệu diag(a1 , a2 , . . . , an ). . Ví dụ..  1 3 5 A =  0 −3 3  , 0 0 1. .  1 0 0 0 . B =  −2 0 −1 2 −4. C = diag(−1, 0, 5). Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM). Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT. 06/04/2010. 8 / 84.

(30) 1. Ma trận. • Nếu các phần tử nằm dưới đường chéo của A đều bằng 0 (nghĩa là aij = 0, ∀i > j) thì A được gọi là ma trận tam giác trên. • Nếu các phần tử nằm trên đường chéo của A đều bằng 0 (nghĩa là aij = 0, ∀i < j) thì A được gọi là ma trận tam giác dưới . • Nếu mọi phần tử nằm ngoài đường chéo bằng 0 thì A (nghĩa là aij = 0, ∀i 6= j) được gọi là ma trận đường chéo, ký hiệu diag(a1 , a2 , . . . , an ).    1 0 0 1 3 5 0 . Ví dụ. A =  0 −3 3  , B =  −2 0 −1 2 −4 0 0 1   −1 0 0  0 0 0 . C = diag(−1, 0, 5) = 0 0 5 . Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM). Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT. 06/04/2010. 8 / 84.

(31) 1. Ma trận. Ma trận đơn vị Ma trận vuông cấp n có các phần tử trên đường chéo bằng 1, các phần tử nằm ngoài đường chéo bằng 0 được gọi là ma trận đơn vị cấp n, ký hiệu In (hoặc I.). Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM). Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT. 06/04/2010. 9 / 84.

(32) 1. Ma trận. Ma trận đơn vị Ma trận vuông cấp n có các phần tử trên đường chéo bằng 1, các phần tử nằm ngoài đường chéo bằng 0 được gọi là ma trận đơn vị cấp n, ký hiệu In (hoặc I.) Ví dụ. I2 =. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM). 1 0 0 1. ;. Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT. 06/04/2010. 9 / 84.

(33) 1. Ma trận. Ma trận đơn vị Ma trận vuông cấp n có các phần tử trên đường chéo bằng 1, các phần tử nằm ngoài đường chéo bằng 0 được gọi là ma trận đơn vị cấp n, ký hiệu In (hoặc I.) Ví dụ. I2 =. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM). 1 0 0 1. . ;.  1 0 0 I3 =  0 1 0  . 0 0 1. Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT. 06/04/2010. 9 / 84.

(34) 1. Ma trận. Ma trận đơn vị Ma trận vuông cấp n có các phần tử trên đường chéo bằng 1, các phần tử nằm ngoài đường chéo bằng 0 được gọi là ma trận đơn vị cấp n, ký hiệu In (hoặc I.) Ví dụ. I2 =. 1 0 0 1. . ;.  1 0 0 I3 =  0 1 0  . 0 0 1. Nhận xét. Ma trận A là ma trận đường chéo khi và chỉ khi vừa là ma trận tam giác vừa là ma trận tam giác dưới.. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM). Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT. 06/04/2010. 9 / 84.

(35) 1. Ma trận. 1.3. Các phép toán trên ma trận. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM). Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT. 06/04/2010. 10 / 84.

(36) 1. Ma trận. 1.3. Các phép toán trên ma trận a) So sánh hai ma trận Cho A, B ∈ Mm×n . Khi đó, nếu aij = bij , ∀i, j thì A và B được gọi là hai ma trận bằng nhau, ký hiệu A = B.. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM). Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT. 06/04/2010. 10 / 84.

(37) 1. Ma trận. 1.3. Các phép toán trên ma trận a) So sánh hai ma trận Cho A, B ∈ Mm×n . Khi đó, nếu aij = bij , ∀i, j thì A và B được gọi là hai ma trận bằng nhau, ký hiệu A = B. x+1 1 3y − 4 1 Ví dụ. Tìm x, y, z để = . 2x − 1 z y − 1 2z + 2. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM). Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT. 06/04/2010. 10 / 84.

(38) 1. Ma trận. 1.3. Các phép toán trên ma trận a) So sánh hai ma trận Cho A, B ∈ Mm×n . Khi đó, nếu aij = bij , ∀i, j thì A và B được gọi là hai ma trận bằng nhau, ký hiệu A = B. x+1 1 3y − 4 1 Ví dụ. Tìm x, y, z để = . 2x − 1 z y − 1 2z + 2 Giải. Ta có   x + 1 = 3y − 4; 2x − 1 = y − 1;  z = 2z + 2.. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM). Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT. 06/04/2010. 10 / 84.

(39) 1. Ma trận. 1.3. Các phép toán trên ma trận a) So sánh hai ma trận Cho A, B ∈ Mm×n . Khi đó, nếu aij = bij , ∀i, j thì A và B được gọi là hai ma trận bằng nhau, ký hiệu A = B. x+1 1 3y − 4 1 Ví dụ. Tìm x, y, z để = . 2x − 1 z y − 1 2z + 2 Giải. Ta có   x + 1 = 3y − 4; 2x − 1 = y − 1;  z = 2z + 2.. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM).  1;  x = y = 2; ⇔  z = −2.. Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT. 06/04/2010. 10 / 84.

(40) 1. Ma trận. 1.3. Các phép toán trên ma trận b) Chuyển vị ma trận Cho A ∈ Mm×n (R). Ta gọi ma trận chuyển vị của A, ký hiệu > A , là ma trận cấp n × m, có được từ A bằng cách xếp các dòng của A thành các cột tương ứng, nghĩa là. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM). Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT. 06/04/2010. 11 / 84.

(41) 1. Ma trận. 1.3. Các phép toán trên ma trận b) Chuyển vị ma trận Cho A ∈ Mm×n (R). Ta gọi ma trận chuyển vị của A, ký hiệu > A , là ma trận cấp n × m, có được từ A bằng cách xếp các dòng của A thành các cột tương ứng, nghĩa là   a11 a12 . . . a1n  a21 a22 . . . a2n   A=  ....................  am1 am2 . . . amn. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM). Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT. 06/04/2010. 11 / 84.

(42) 1. Ma trận. 1.3. Các phép toán trên ma trận b) Chuyển vị ma trận Cho A ∈ Mm×n (R). Ta gọi ma trận chuyển vị của A, ký hiệu > A , là ma trận cấp n × m, có được từ A bằng cách xếp các dòng của A thành các cột tương ứng, nghĩa là     a11 a12 . . . a1n a11 a21 . . . am1  a21 a22 . . . a2n     thì A> =  a12 a22 . . . am2  . A=  ....................   ...................  am1 am2 . . . amn a1n a2n . . . amn. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM). Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT. 06/04/2010. 11 / 84.

(43) 1. Ma trận. 1.3. Các phép toán trên ma trận b) Chuyển vị ma trận Cho A ∈ Mm×n (R). Ta gọi ma trận chuyển vị của A, ký hiệu > A , là ma trận cấp n × m, có được từ A bằng cách xếp các dòng của A thành các cột tương ứng, nghĩa là     a11 a12 . . . a1n a11 a21 . . . am1  a21 a22 . . . a2n     thì A> =  a12 a22 . . . am2  . A=  ....................   ...................  am1 am2 . . . amn a1n a2n . . . amn Ví dụ. .  1 −1 4 5 0 1  A =  6 −8 0 4 −3 6 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM). Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT. 06/04/2010. 11 / 84.

(44) 1. Ma trận. 1.3. Các phép toán trên ma trận b) Chuyển vị ma trận Cho A ∈ Mm×n (R). Ta gọi ma trận chuyển vị của A, ký hiệu > A , là ma trận cấp n × m, có được từ A bằng cách xếp các dòng của A thành các cột tương ứng, nghĩa là     a11 a12 . . . a1n a11 a21 . . . am1  a21 a22 . . . a2n     thì A> =  a12 a22 . . . am2  . A=  ....................   ...................  am1 am2 . . . amn a1n a2n . . . amn Ví dụ.  1 6 0 1 −1 4 5  −1 −8 4  . 0 1  =⇒ A> =  A =  6 −8  4 0 −3  0 4 −3 6 5 1 6 . Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM). . . Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT. 06/04/2010. 11 / 84.

(45) 1. Ma trận. • Nếu A> = A thì ta nói A là ma trận đối xứng .. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM). Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT. 06/04/2010. 12 / 84.

(46) 1. Ma trận. • Nếu A> = A thì ta nói A là ma trận đối xứng . • Nếu A> = −A thì nói A là ma trận phản xứng .. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM). Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT. 06/04/2010. 12 / 84.

(47) 1. Ma trận. • Nếu A> = A thì ta nói A là ma trận đối xứng . • Nếu A> = −A thì nói A là ma trận phản xứng . Ví dụ. .  1 2 −2 5  là ma trận đối xứng. A= 2 4 −2 5 6. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM). Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT. 06/04/2010. 12 / 84.

(48) 1. Ma trận. • Nếu A> = A thì ta nói A là ma trận đối xứng . • Nếu A> = −A thì nói A là ma trận phản xứng . Ví dụ. .  1 2 −2 5  là ma trận đối xứng. A= 2 4 −2 5 6   0 −2 1 0 −3  là ma trận phản xứng. B= 2 −1 3 0. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM). Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT. 06/04/2010. 12 / 84.

(49) 1. Ma trận. • Nếu A> = A thì ta nói A là ma trận đối xứng . • Nếu A> = −A thì nói A là ma trận phản xứng . Ví dụ. .  1 2 −2 5  là ma trận đối xứng. A= 2 4 −2 5 6   0 −2 1 0 −3  là ma trận phản xứng. B= 2 −1 3 0. Tính chất. Cho A, B ∈ Mm×n (R). Khi đó:. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM). Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT. 06/04/2010. 12 / 84.

(50) 1. Ma trận. • Nếu A> = A thì ta nói A là ma trận đối xứng . • Nếu A> = −A thì nói A là ma trận phản xứng . Ví dụ. .  1 2 −2 5  là ma trận đối xứng. A= 2 4 −2 5 6   0 −2 1 0 −3  là ma trận phản xứng. B= 2 −1 3 0. Tính chất. Cho A, B ∈ Mm×n (R). Khi đó: i) (A> )> = A;. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM). Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT. 06/04/2010. 12 / 84.

(51) 1. Ma trận. • Nếu A> = A thì ta nói A là ma trận đối xứng . • Nếu A> = −A thì nói A là ma trận phản xứng . Ví dụ. .  1 2 −2 5  là ma trận đối xứng. A= 2 4 −2 5 6   0 −2 1 0 −3  là ma trận phản xứng. B= 2 −1 3 0. Tính chất. Cho A, B ∈ Mm×n (R). Khi đó: i) (A> )> = A; ii) A> = B > ⇔ A = B.. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM). Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT. 06/04/2010. 12 / 84.

(52) 1. Ma trận. c) Nhân một số với ma trận Cho ma trận A ∈ Mm×n (R), α ∈ R. Ta định nghĩa αA là ma trận có từ A bằng cách nhân tất cả các hệ số của A với α, nghĩa là. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM). Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT. 06/04/2010. 13 / 84.

(53) 1. Ma trận. c) Nhân một số với ma trận Cho ma trận A ∈ Mm×n (R), α ∈ R. Ta định nghĩa αA là ma trận có từ A bằng cách nhân tất cả các hệ số của A với α, nghĩa là (αA)ij = αAij , ∀i, j.. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM). Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT. 06/04/2010. 13 / 84.

(54) 1. Ma trận. c) Nhân một số với ma trận Cho ma trận A ∈ Mm×n (R), α ∈ R. Ta định nghĩa αA là ma trận có từ A bằng cách nhân tất cả các hệ số của A với α, nghĩa là (αA)ij = αAij , ∀i, j. Ma trận (−1)A được ký kiệu là −A được gọi là ma trận đối của A.. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM). Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT. 06/04/2010. 13 / 84.

(55) 1. Ma trận. c) Nhân một số với ma trận Cho ma trận A ∈ Mm×n (R), α ∈ R. Ta định nghĩa αA là ma trận có từ A bằng cách nhân tất cả các hệ số của A với α, nghĩa là (αA)ij = αAij , ∀i, j. Ma trận (−1)A được ký kiệu là −A được gọi là ma trận đối của A. 3 4 1 Ví dụ. Nếu A = thì 0 1 −3. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM). Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT. 06/04/2010. 13 / 84.

(56) 1. Ma trận. c) Nhân một số với ma trận Cho ma trận A ∈ Mm×n (R), α ∈ R. Ta định nghĩa αA là ma trận có từ A bằng cách nhân tất cả các hệ số của A với α, nghĩa là (αA)ij = αAij , ∀i, j. Ma trận (−1)A được ký kiệu là −A được gọi là ma trận đối của A. 3 4 1 Ví dụ. Nếu A = thì 0 1 −3 6 8 2 2A = ;. 0 2 −6. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM). Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT. 06/04/2010. 13 / 84.

(57) 1. Ma trận. c) Nhân một số với ma trận Cho ma trận A ∈ Mm×n (R), α ∈ R. Ta định nghĩa αA là ma trận có từ A bằng cách nhân tất cả các hệ số của A với α, nghĩa là (αA)ij = αAij , ∀i, j. Ma trận (−1)A được ký kiệu là −A được gọi là ma trận đối của A. 3 4 1 Ví dụ. Nếu A = thì 0 1 −3 6 8 2 2A = ;. 0 2 −6 −3 −4 −1 −A = . 0 −1 3. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM). Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT. 06/04/2010. 13 / 84.

(58) 1. Ma trận. Tính chất. Cho A là ma trận và α, β ∈ R, ta có. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM). Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT. 06/04/2010. 14 / 84.

(59) 1. Ma trận. Tính chất. Cho A là ma trận và α, β ∈ R, ta có i) (αβ)A = α(βA);. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM). Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT. 06/04/2010. 14 / 84.

(60) 1. Ma trận. Tính chất. Cho A là ma trận và α, β ∈ R, ta có i) (αβ)A = α(βA); ii) (αA)> = αA> ;. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM). Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT. 06/04/2010. 14 / 84.

(61) 1. Ma trận. Tính chất. Cho A là ma trận và α, β ∈ R, ta có i) (αβ)A = α(βA); ii) (αA)> = αA> ; iii) 0.A = 0 và 1.A = A.. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM). Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT. 06/04/2010. 14 / 84.

(62) 1. Ma trận. d) Tổng hai ma trận Cho A, B ∈ Mm×n (R). Khi đó tổng của A và B, ký hiệu A + B là ma trận được xác định bởi: (A + B)ij = Aij + Bij .. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM). Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT. 06/04/2010. 15 / 84.

(63) 1. Ma trận. d) Tổng hai ma trận Cho A, B ∈ Mm×n (R). Khi đó tổng của A và B, ký hiệu A + B là ma trận được xác định bởi: (A + B)ij = Aij + Bij . Như vậy, để tính A + B thì:. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM). Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT. 06/04/2010. 15 / 84.

(64) 1. Ma trận. d) Tổng hai ma trận Cho A, B ∈ Mm×n (R). Khi đó tổng của A và B, ký hiệu A + B là ma trận được xác định bởi: (A + B)ij = Aij + Bij . Như vậy, để tính A + B thì: • A và B cùng cấp;. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM). Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT. 06/04/2010. 15 / 84.

(65) 1. Ma trận. d) Tổng hai ma trận Cho A, B ∈ Mm×n (R). Khi đó tổng của A và B, ký hiệu A + B là ma trận được xác định bởi: (A + B)ij = Aij + Bij . Như vậy, để tính A + B thì: • A và B cùng cấp; • Các vị trị tương ứng cộng lại.. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM). Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT. 06/04/2010. 15 / 84.

(66) 1. Ma trận. d) Tổng hai ma trận Cho A, B ∈ Mm×n (R). Khi đó tổng của A và B, ký hiệu A + B là ma trận được xác định bởi: (A + B)ij = Aij + Bij . Như vậy, để tính A + B thì: • A và B cùng cấp; • Các vị trị tương ứng cộng lại. Ký hiệu A − B := A + (−B) và gọi là hiệu của A và B.. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM). Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT. 06/04/2010. 15 / 84.

(67) 1. Ma trận. d) Tổng hai ma trận Cho A, B ∈ Mm×n (R). Khi đó tổng của A và B, ký hiệu A + B là ma trận được xác định bởi: (A + B)ij = Aij + Bij . Như vậy, để tính A + B thì: • A và B cùng cấp; • Các vị trị tương ứng cộng lại. Ký hiệu A − B := A + (−B) và gọi là hiệu của A và B. Ví dụ. . 2 3 0 1 2 −3. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM). . +. 1 0 −4 7 8 −3. . Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT. 06/04/2010. 15 / 84.

(68) 1. Ma trận. d) Tổng hai ma trận Cho A, B ∈ Mm×n (R). Khi đó tổng của A và B, ký hiệu A + B là ma trận được xác định bởi: (A + B)ij = Aij + Bij . Như vậy, để tính A + B thì: • A và B cùng cấp; • Các vị trị tương ứng cộng lại. Ký hiệu A − B := A + (−B) và gọi là hiệu của A và B. Ví dụ. . . 2 3 0 1 2 −3. . 2 3 0 1 2 −3. . Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM). + −. 1 0 −4 7 8 −3. . 1 0 −4 7 8 −3. . =. Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT. 3 3 −4 8 10 −6. .. 06/04/2010. 15 / 84.

(69) 1. Ma trận. d) Tổng hai ma trận Cho A, B ∈ Mm×n (R). Khi đó tổng của A và B, ký hiệu A + B là ma trận được xác định bởi: (A + B)ij = Aij + Bij . Như vậy, để tính A + B thì: • A và B cùng cấp; • Các vị trị tương ứng cộng lại. Ký hiệu A − B := A + (−B) và gọi là hiệu của A và B. Ví dụ. . . 2 3 0 1 2 −3. . 2 3 0 1 2 −3. . Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM). + −. 1 0 −4 7 8 −3. . 1 0 −4 7 8 −3. . = =. Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT. 3 3 −4 8 10 −6. . 1 3 4 −6 −6 0. . .. .. 06/04/2010. 15 / 84.

(70) 1. Ma trận. Tính chất. Với A, B, C ∈ Mm×n (R) và α, β ∈ R, ta có. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM). Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT. 06/04/2010. 16 / 84.

(71) 1. Ma trận. Tính chất. Với A, B, C ∈ Mm×n (R) và α, β ∈ R, ta có i) A + B = B + A (tính giao hoán);. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM). Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT. 06/04/2010. 16 / 84.

(72) 1. Ma trận. Tính chất. Với A, B, C ∈ Mm×n (R) và α, β ∈ R, ta có i) A + B = B + A (tính giao hoán); ii) (A + B) + C = A + (B + C) (tính kết hợp);. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM). Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT. 06/04/2010. 16 / 84.

(73) 1. Ma trận. Tính chất. Với A, B, C ∈ Mm×n (R) và α, β ∈ R, ta có i) A + B = B + A (tính giao hoán); ii) (A + B) + C = A + (B + C) (tính kết hợp); iii) 0m×n + A = A + 0m×n = A;. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM). Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT. 06/04/2010. 16 / 84.

(74) 1. Ma trận. Tính chất. Với A, B, C ∈ Mm×n (R) và α, β ∈ R, ta có i) A + B = B + A (tính giao hoán); ii) (A + B) + C = A + (B + C) (tính kết hợp); iii) 0m×n + A = A + 0m×n = A; iv) A + (−A) = (−A) + A = 0m×n ;. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM). Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT. 06/04/2010. 16 / 84.

(75) 1. Ma trận. Tính chất. Với A, B, C ∈ Mm×n (R) và α, β ∈ R, ta có i) A + B = B + A (tính giao hoán); ii) (A + B) + C = A + (B + C) (tính kết hợp); iii) 0m×n + A = A + 0m×n = A; iv) A + (−A) = (−A) + A = 0m×n ; v) (A + B)> = A> + B > ;. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM). Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT. 06/04/2010. 16 / 84.

(76) 1. Ma trận. Tính chất. Với A, B, C ∈ Mm×n (R) và α, β ∈ R, ta có i) A + B = B + A (tính giao hoán); ii) (A + B) + C = A + (B + C) (tính kết hợp); iii) 0m×n + A = A + 0m×n = A; iv) A + (−A) = (−A) + A = 0m×n ; v) (A + B)> = A> + B > ; vi) α(A + B) = αA + αB;. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM). Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT. 06/04/2010. 16 / 84.

(77) 1. Ma trận. Tính chất. Với A, B, C ∈ Mm×n (R) và α, β ∈ R, ta có i) A + B = B + A (tính giao hoán); ii) (A + B) + C = A + (B + C) (tính kết hợp); iii) 0m×n + A = A + 0m×n = A; iv) A + (−A) = (−A) + A = 0m×n ; v) (A + B)> = A> + B > ; vi) α(A + B) = αA + αB; vii) (α + β)A = αA + βA;. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM). Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT. 06/04/2010. 16 / 84.

(78) 1. Ma trận. Tính chất. Với A, B, C ∈ Mm×n (R) và α, β ∈ R, ta có i) A + B = B + A (tính giao hoán); ii) (A + B) + C = A + (B + C) (tính kết hợp); iii) 0m×n + A = A + 0m×n = A; iv) A + (−A) = (−A) + A = 0m×n ; v) (A + B)> = A> + B > ; vi) α(A + B) = αA + αB; vii) (α + β)A = αA + βA; viii) (−α)A = α(−A) = −(αA).. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM). Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT. 06/04/2010. 16 / 84.

(79) 1. Ma trận. e) Tích hai ma trận Cho hai ma trận A ∈ Mm×n (R), B ∈ Mn×p (R). Khi đó, tích của A với B (ký hiệu AB) là ma trận thuộc Mm×p (R) được xác định bởi: (AB)ij = Ai1 B1j + Ai2 B2j + . . . + Ain Bnj. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM). Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT. 06/04/2010. 17 / 84.

(80) 1. Ma trận. e) Tích hai ma trận Cho hai ma trận A ∈ Mm×n (R), B ∈ Mn×p (R). Khi đó, tích của A với B (ký hiệu AB) là ma trận thuộc Mm×p (R) được xác định bởi: (AB)ij = Ai1 B1j + Ai2 B2j + . . . + Ain Bnj . .      . b11. . . . b1j. . . . b1n.  a11 a12 . . . a1n   b21 . . . b2j . . . b2n . . . . . . . . . . . . . . . . . ....     ai1 ai2 . . . ain    . . . . . . . . . . . . . . . . . ....    ......................  an1 an2 . . . ann bn1 . . . bnj . . . bnn. .          . . Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM). Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT. 06/04/2010. 17 / 84.

(81) 1. Ma trận. e) Tích hai ma trận Cho hai ma trận A ∈ Mm×n (R), B ∈ Mn×p (R). Khi đó, tích của A với B (ký hiệu AB) là ma trận thuộc Mm×p (R) được xác định bởi: (AB)ij = Ai1 B1j + Ai2 B2j + . . . + Ain Bnj . .      . b11. . . . b1j. . . . b1n.  a11 a12 . . . a1n   b21 . . . b2j . . . b2n . . . . . . . . . . . . . . . . . ....     ai1 ai2 . . . ain    . . . . . . . . . . . . . . . . . ....    ......................  an1 an2 . . . ann bn1 . . . bnj . . . bnn. .          . . Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM). Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT. 06/04/2010. 17 / 84.

(82) 1. Ma trận. e) Tích hai ma trận Cho hai ma trận A ∈ Mm×n (R), B ∈ Mn×p (R). Khi đó, tích của A với B (ký hiệu AB) là ma trận thuộc Mm×p (R) được xác định bởi: (AB)ij = Ai1 B1j + Ai2 B2j + . . . + Ain Bnj . .      . b11. . . . b1j. . . . b1n.  a11 a12 . . . a1n   b21 . . . b2j . . . b2n . . . . . . . . . . . . . . . . . ....     ai1 ai2 . . . ain    . . . . . . . . . . . . . . . . . ....    ......................  an1 an2 . . . ann bn1 . . . bnj . . . bnn. .          . . Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM). Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT. 06/04/2010. 17 / 84.

(83) 1. Ma trận. e) Tích hai ma trận Cho hai ma trận A ∈ Mm×n (R), B ∈ Mn×p (R). Khi đó, tích của A với B (ký hiệu AB) là ma trận thuộc Mm×p (R) được xác định bởi: (AB)ij = Ai1 B1j + Ai2 B2j + . . . + Ain Bnj . .      . b11. . . . b1j. . . . b1n.  a11 a12 . . . a1n   b21 . . . b2j . . . b2n . . . . . . . . . . . . . . . . . ....     ai1 ai2 . . . ain    . . . . . . . . . . . . . . . . . ....    ......................  an1 an2 . . . ann bn1 . . . bnj . . . bnn. .          . . Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM). Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT. 06/04/2010. 17 / 84.

(84) 1. Ma trận. e) Tích hai ma trận Cho hai ma trận A ∈ Mm×n (R), B ∈ Mn×p (R). Khi đó, tích của A với B (ký hiệu AB) là ma trận thuộc Mm×p (R) được xác định bởi: (AB)ij = Ai1 B1j + Ai2 B2j + . . . + Ain Bnj . .      . b11. . . . b1j. . . . b1n.  a11 a12 . . . a1n   b21 . . . b2j . . . b2n . . . . . . . . . . . . . . . . . ....     ai1 ai2 . . . ain    . . . . . . . . . . . . . . . . . ....    ......................  an1 an2 . . . ann bn1 . . . bnj . . . bnn. .          . . Như vậy, để tính AB thì: • Số cột của A bằng số dòng của B; Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM). Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT. 06/04/2010. 17 / 84.

(85) 1. Ma trận. e) Tích hai ma trận Cho hai ma trận A ∈ Mm×n (R), B ∈ Mn×p (R). Khi đó, tích của A với B (ký hiệu AB) là ma trận thuộc Mm×p (R) được xác định bởi: (AB)ij = Ai1 B1j + Ai2 B2j + . . . + Ain Bnj . .      . b11. . . . b1j. . . . b1n.  a11 a12 . . . a1n   b21 . . . b2j . . . b2n . . . . . . . . . . . . . . . . . ....     ai1 ai2 . . . ain    . . . . . . . . . . . . . . . . . ....    ......................  an1 an2 . . . ann bn1 . . . bnj . . . bnn. .          . . Như vậy, để tính AB thì: • Số cột của A bằng số dòng của B; • Phần tử thứ i, j của AB bằng dòng i của A nhân cột j của B. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM). Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT. 06/04/2010. 17 / 84.

(86) 1. Ma trận. Ví dụ. Với A =.   1 3 1 2 −1 2 −1   2 1 ,C= ,B= , 3 1 2 1 0 3 −1. ta có:. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM). Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT. 06/04/2010. 18 / 84.

(87) 1. Ma trận. Ví dụ. Với A =.   1 3 1 2 −1 2 −1   2 1 ,C= ,B= , 3 1 2 1 0 3 −1. ta có: AB. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM). Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT. 06/04/2010. 18 / 84.

(88) 1. Ma trận. Ví dụ. Với A =.   1 3 1 2 −1 2 −1   2 1 ,C= ,B= , 3 1 2 1 0 3 −1. ta có: AB =. 1 2 −1 3 1 2. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM). . .  1 3  2 1  3 −1. Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT. 06/04/2010. 18 / 84.

(89) 1. Ma trận. Ví dụ. Với A =.   1 3 1 2 −1 2 −1   2 1 ,C= ,B= , 3 1 2 1 0 3 −1. ta có: AB =. 1 2 −1 3 1 2. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM). . .  1 3 2 6  2  1 = ; 11 8 3 −1. Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT. 06/04/2010. 18 / 84.

(90) 1. Ma trận. Ví dụ. Với A =.   1 3 1 2 −1 2 −1   2 1 ,C= ,B= , 3 1 2 1 0 3 −1. ta có: AB =. 1 2 −1 3 1 2. . .  1 3 2 6  2  1 = ; 11 8 3 −1. BA. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM). Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT. 06/04/2010. 18 / 84.

(91) 1. Ma trận. Ví dụ. Với A =.   1 3 1 2 −1 2 −1   2 1 ,C= ,B= , 3 1 2 1 0 3 −1. ta có: AB =. 1 2 −1 3 1 2. . .  1 3 2 6  2  1 = ; 11 8 3 −1. .  1 3 1 2 −1   2 1 BA = 3 1 2 3 −1. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM). Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT. 06/04/2010. 18 / 84.

(92) 1. Ma trận. Ví dụ. Với A =.   1 3 1 2 −1 2 −1   2 1 ,C= ,B= , 3 1 2 1 0 3 −1. ta có: AB = . 1 3. 1  2 BA = 3.  1 3 2 −1  2 6  2 1 = ; 1 2 11 8 3 −1    3 10 5 5 1 2 −1 1  0 ; =  5 5 3 1 2 −1 0 5 −5. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM). . . Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT. 06/04/2010. 18 / 84.

(93) 1. Ma trận. Ví dụ. Với A =.   1 3 1 2 −1 2 −1   2 1 ,C= ,B= , 3 1 2 1 0 3 −1. ta có: AB = . 1 3. 1  2 BA = 3.  1 3 2 −1  2 6  2 1 = ; 1 2 11 8 3 −1    3 10 5 5 1 2 −1 1  0 ; =  5 5 3 1 2 −1 0 5 −5 . . BC. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM). Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT. 06/04/2010. 18 / 84.

(94) 1. Ma trận. Ví dụ. Với A =.   1 3 1 2 −1 2 −1   2 1 ,C= ,B= , 3 1 2 1 0 3 −1. ta có: AB = . 1 3. 1  2 BA = 3  1 BC =  2 3.  1 3 2 −1  2 6  2 1 = ; 1 2 11 8 3 −1    3 10 5 5 1 2 −1 1  0 ; =  5 5 3 1 2 −1 0 5 −5  3 2 −1 1  1 0 −1. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM). . . Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT. 06/04/2010. 18 / 84.

(95) 1. Ma trận. Ví dụ. Với A =.   1 3 1 2 −1 2 −1   2 1 ,C= ,B= , 3 1 2 1 0 3 −1. ta có: AB = . 1 3. 1  2 BA = 3  1 BC =  2 3.  1 3 2 −1  2 6  2 1 = ; 1 2 11 8 3 −1    3 10 5 5 1 2 −1 1  0 ; =  5 5 3 1 2 −1 0 5 −5    3 5 −1 2 −1 1  =  5 −2  ; 1 0 −1 5 −3. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM). . . Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT. 06/04/2010. 18 / 84.

(96) 1. Ma trận. Ví dụ. Với A =.   1 3 1 2 −1 2 −1   2 1 ,C= ,B= , 3 1 2 1 0 3 −1. ta có: AB = . 1 3. 1  2 BA = 3  1 BC =  2 3.  1 3 2 −1  2 6  2 1 = ; 1 2 11 8 3 −1    3 10 5 5 1 2 −1 1  0 ; =  5 5 3 1 2 −1 0 5 −5    3 5 −1 2 −1 1  =  5 −2  ; 1 0 −1 5 −3 . . nhưng AC và CB không xác định.. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM). Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT. 06/04/2010. 18 / 84.

(97) 1. Ma trận. Tính chất. Với A ∈ Mm×n (R), B, B1 , B2 ∈ Mn×p (R), C ∈ Mp×q (R), D1 , D2 ∈ Mq×n (R), ta có. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM). Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT. 06/04/2010. 19 / 84.

(98) 1. Ma trận. Tính chất. Với A ∈ Mm×n (R), B, B1 , B2 ∈ Mn×p (R), C ∈ Mp×q (R), D1 , D2 ∈ Mq×n (R), ta có i) Im A = A và AIn = A.. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM). Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT. 06/04/2010. 19 / 84.

(99) 1. Ma trận. Tính chất. Với A ∈ Mm×n (R), B, B1 , B2 ∈ Mn×p (R), C ∈ Mp×q (R), D1 , D2 ∈ Mq×n (R), ta có i) Im A = A và AIn = A. Đặc biệt, với A ∈ Mn (R), ta có In A = AIn = A.. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM). Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT. 06/04/2010. 19 / 84.

(100) 1. Ma trận. Tính chất. Với A ∈ Mm×n (R), B, B1 , B2 ∈ Mn×p (R), C ∈ Mp×q (R), D1 , D2 ∈ Mq×n (R), ta có i) Im A = A và AIn = A. Đặc biệt, với A ∈ Mn (R), ta có In A = AIn = A. ii) 0p×m A = 0p×n và A0n×q = 0m×q .. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM). Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT. 06/04/2010. 19 / 84.

(101) 1. Ma trận. Tính chất. Với A ∈ Mm×n (R), B, B1 , B2 ∈ Mn×p (R), C ∈ Mp×q (R), D1 , D2 ∈ Mq×n (R), ta có i) Im A = A và AIn = A. Đặc biệt, với A ∈ Mn (R), ta có In A = AIn = A. ii) 0p×m A = 0p×n và A0n×q = 0m×q . Đặc biệt, với A ∈ Mn (R), ta có 0n×n A = A0n×n = 0n×n .. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM). Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT. 06/04/2010. 19 / 84.

(102) 1. Ma trận. Tính chất. Với A ∈ Mm×n (R), B, B1 , B2 ∈ Mn×p (R), C ∈ Mp×q (R), D1 , D2 ∈ Mq×n (R), ta có i) Im A = A và AIn = A. Đặc biệt, với A ∈ Mn (R), ta có In A = AIn = A. ii) 0p×m A = 0p×n và A0n×q = 0m×q . Đặc biệt, với A ∈ Mn (R), ta có 0n×n A = A0n×n = 0n×n . iii). (AB)>. = B > A> .. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM). Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT. 06/04/2010. 19 / 84.

(103) 1. Ma trận. Tính chất. Với A ∈ Mm×n (R), B, B1 , B2 ∈ Mn×p (R), C ∈ Mp×q (R), D1 , D2 ∈ Mq×n (R), ta có i) Im A = A và AIn = A. Đặc biệt, với A ∈ Mn (R), ta có In A = AIn = A. ii) 0p×m A = 0p×n và A0n×q = 0m×q . Đặc biệt, với A ∈ Mn (R), ta có 0n×n A = A0n×n = 0n×n . iii). (AB)>. = B > A> .. iv) (AB)C = A(BC).. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM). Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT. 06/04/2010. 19 / 84.

(104) 1. Ma trận. Tính chất. Với A ∈ Mm×n (R), B, B1 , B2 ∈ Mn×p (R), C ∈ Mp×q (R), D1 , D2 ∈ Mq×n (R), ta có i) Im A = A và AIn = A. Đặc biệt, với A ∈ Mn (R), ta có In A = AIn = A. ii) 0p×m A = 0p×n và A0n×q = 0m×q . Đặc biệt, với A ∈ Mn (R), ta có 0n×n A = A0n×n = 0n×n . iii). (AB)>. = B > A> .. iv) (AB)C = A(BC). v) A(B1 + B2 ) = AB1 + AB2 (D1 + D2 )A = D1 A + D2 A.. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM). Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT. 06/04/2010. 19 / 84.

(105) 1. Ma trận. f) Lũy thừa ma trận Cho A ∈ Mn (R). Ta gọi lũy thừa bậc k của A là một ma trận thuộc Mn (R), ký hiệu Ak , được xác định như sau:. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM). Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT. 06/04/2010. 20 / 84.

(106) 1. Ma trận. f) Lũy thừa ma trận Cho A ∈ Mn (R). Ta gọi lũy thừa bậc k của A là một ma trận thuộc Mn (R), ký hiệu Ak , được xác định như sau: A0 = In ;. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM). Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT. 06/04/2010. 20 / 84.

(107) 1. Ma trận. f) Lũy thừa ma trận Cho A ∈ Mn (R). Ta gọi lũy thừa bậc k của A là một ma trận thuộc Mn (R), ký hiệu Ak , được xác định như sau: A0 = In ; A1 = A;. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM). Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT. 06/04/2010. 20 / 84.

(108) 1. Ma trận. f) Lũy thừa ma trận Cho A ∈ Mn (R). Ta gọi lũy thừa bậc k của A là một ma trận thuộc Mn (R), ký hiệu Ak , được xác định như sau: A0 = In ; A1 = A; A2 = AA;. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM). Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT. 06/04/2010. 20 / 84.

(109) 1. Ma trận. f) Lũy thừa ma trận Cho A ∈ Mn (R). Ta gọi lũy thừa bậc k của A là một ma trận thuộc Mn (R), ký hiệu Ak , được xác định như sau: A0 = In ; A1 = A; A2 = AA; . . . ; Ak = Ak−1 A.. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM). Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT. 06/04/2010. 20 / 84.

(110) 1. Ma trận. f) Lũy thừa ma trận Cho A ∈ Mn (R). Ta gọi lũy thừa bậc k của A là một ma trận thuộc Mn (R), ký hiệu Ak , được xác định như sau: A0 = In ; A1 = A; A2 = AA; . . . ; Ak = Ak−1 A. Như vậy Ak = A . . A} . | .{z k lần. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM). Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT. 06/04/2010. 20 / 84.

(111) 1. Ma trận. f) Lũy thừa ma trận Cho A ∈ Mn (R). Ta gọi lũy thừa bậc k của A là một ma trận thuộc Mn (R), ký hiệu Ak , được xác định như sau: A0 = In ; A1 = A; A2 = AA; . . . ; Ak = Ak−1 A. Như vậy Ak = A . . A} . | .{z k lần. Ví dụ. Cho A =. 1 3 0 1. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM). . Tính A2 , A3 , từ đó suy ra A200 .. Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT. 06/04/2010. 20 / 84.

(112) 1. Ma trận. f) Lũy thừa ma trận Cho A ∈ Mn (R). Ta gọi lũy thừa bậc k của A là một ma trận thuộc Mn (R), ký hiệu Ak , được xác định như sau: A0 = In ; A1 = A; A2 = AA; . . . ; Ak = Ak−1 A. Như vậy Ak = A . . A} . | .{z k lần. Ví dụ. Cho A = Giải. A2. = AA =. 1 3 0 1. 1 3 0 1. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM). . Tính A2 , A3 , từ đó suy ra A200 .. . 1 3 0 1. . Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT. 06/04/2010. 20 / 84.

(113) 1. Ma trận. f) Lũy thừa ma trận Cho A ∈ Mn (R). Ta gọi lũy thừa bậc k của A là một ma trận thuộc Mn (R), ký hiệu Ak , được xác định như sau: A0 = In ; A1 = A; A2 = AA; . . . ; Ak = Ak−1 A. Như vậy Ak = A . . A} . | .{z k lần. Ví dụ. Cho A = Giải. A2. = AA =. 1 3 0 1. 1 3 0 1. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM). . Tính A2 , A3 , từ đó suy ra A200 .. . 1 3 0 1. . =. 1 6 0 1. Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT. .. 06/04/2010. 20 / 84.

(114) 1. Ma trận. f) Lũy thừa ma trận Cho A ∈ Mn (R). Ta gọi lũy thừa bậc k của A là một ma trận thuộc Mn (R), ký hiệu Ak , được xác định như sau: A0 = In ; A1 = A; A2 = AA; . . . ; Ak = Ak−1 A. Như vậy Ak = A . . A} . | .{z k lần. Ví dụ. Cho A = Giải.. 1 3 0 1. . 1 = AA = 0 1 A3 = A2 A = 0 A2. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM). . Tính A2 , A3 , từ đó suy ra A200 .. 3 1 1 0 6 1 1 0. 1 6 3 = . 0 1 1 3 1. Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT. 06/04/2010. 20 / 84.

(115) 1. Ma trận. f) Lũy thừa ma trận Cho A ∈ Mn (R). Ta gọi lũy thừa bậc k của A là một ma trận thuộc Mn (R), ký hiệu Ak , được xác định như sau: A0 = In ; A1 = A; A2 = AA; . . . ; Ak = Ak−1 A. Như vậy Ak = A . . A} . | .{z k lần. Ví dụ. Cho A = Giải.. 1 3 0 1. . 1 = AA = 0 1 A3 = A2 A = 0 A2. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM). . Tính A2 , A3 , từ đó suy ra A200 .. 3 1 1 0 6 1 1 0. 1 3 = 0 1 3 1 = 1 0. 6 . 1 9 . 1. Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT. 06/04/2010. 20 / 84.

(116) 1. Ma trận. Suy ra. A200. =. 1 200 × 3 0 1. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM). .. Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT. 06/04/2010. 21 / 84.

(117) 1. Ma trận. Suy ra. A200. = . Ví dụ. Cho A =. 1 200 × 3 0 1 1 1 0 1. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM). .. . Tính A100 .. Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT. 06/04/2010. 21 / 84.

(118) 1. Ma trận. Suy ra. A200. = . Ví dụ. Cho A =. 1 200 × 3 0 1 1 1 0 1. .. . Tính A100 .. .  1 1 1 Ví dụ. Cho A =  0 1 1 . Tính An với n > 1. 0 0 1. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM). Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT. 06/04/2010. 21 / 84.

(119) 1. Ma trận. Suy ra. A200. = . Ví dụ. Cho A =. 1 200 × 3 0 1 1 1 0 1. .. . Tính A100 .. .  1 1 1 Ví dụ. Cho A =  0 1 1 . Tính An với n > 1. 0 0 1 Tính chất. Cho A ∈ Mn (R) và k, l ∈ N. Khi đó: i) I k = I;. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM). Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT. 06/04/2010. 21 / 84.

(120) 1. Ma trận. Suy ra. A200. = . Ví dụ. Cho A =. 1 200 × 3 0 1 1 1 0 1. .. . Tính A100 .. .  1 1 1 Ví dụ. Cho A =  0 1 1 . Tính An với n > 1. 0 0 1 Tính chất. Cho A ∈ Mn (R) và k, l ∈ N. Khi đó: i) I k = I; ii) Ak+l = Ak Al ;. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM). Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT. 06/04/2010. 21 / 84.

(121) 1. Ma trận. Suy ra. A200. = . Ví dụ. Cho A =. 1 200 × 3 0 1 1 1 0 1. .. . Tính A100 .. .  1 1 1 Ví dụ. Cho A =  0 1 1 . Tính An với n > 1. 0 0 1 Tính chất. Cho A ∈ Mn (R) và k, l ∈ N. Khi đó: i) I k = I; ii) Ak+l = Ak Al ; iii) Akl = (Ak )l. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM). Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT. 06/04/2010. 21 / 84.

(122) 1. Ma trận. g) Đa thức ma trận. Cho A ∈ Mn (R) và. f (x) = αm xm + αm−1 xm−1 + . . . + α1 x + α0 là một đa thức bậc m trên R (αi ∈ R).. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM). Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT. 06/04/2010. 22 / 84.

(123) 1. Ma trận. g) Đa thức ma trận. Cho A ∈ Mn (R) và. f (x) = αm xm + αm−1 xm−1 + . . . + α1 x + α0 là một đa thức bậc m trên R (αi ∈ R). Khi đó ta định nghĩa f (A) = αm Am + αm−1 Am−1 + . . . + α1 A + α0 In và ta gọi f(A) là đa thức theo ma trận A.. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM). Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT. 06/04/2010. 22 / 84.

(124) 1. Ma trận. g) Đa thức ma trận. Cho A ∈ Mn (R) và. f (x) = αm xm + αm−1 xm−1 + . . . + α1 x + α0 là một đa thức bậc m trên R (αi ∈ R). Khi đó ta định nghĩa f (A) = αm Am + αm−1 Am−1 + . . . + α1 A + α0 In và ta gọi f(A) là đa thức theo ma trận A. −2 3 Ví dụ. Cho A = và f (x) = 3x2 − 2x + 2. Tính f (A). 1 −1. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM). Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT. 06/04/2010. 22 / 84.

(125) 1. Ma trận. g) Đa thức ma trận. Cho A ∈ Mn (R) và. f (x) = αm xm + αm−1 xm−1 + . . . + α1 x + α0 là một đa thức bậc m trên R (αi ∈ R). Khi đó ta định nghĩa f (A) = αm Am + αm−1 Am−1 + . . . + α1 A + α0 In và ta gọi f(A) là đa thức theo ma trận A. −2 3 Ví dụ. Cho A = và f (x) = 3x2 − 2x + 2. Tính f (A). 1 −1 7 −9 2 Giải. Ta có A = , −3 4. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM). Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT. 06/04/2010. 22 / 84.

(126) 1. Ma trận. g) Đa thức ma trận. Cho A ∈ Mn (R) và. f (x) = αm xm + αm−1 xm−1 + . . . + α1 x + α0 là một đa thức bậc m trên R (αi ∈ R). Khi đó ta định nghĩa f (A) = αm Am + αm−1 Am−1 + . . . + α1 A + α0 In và ta gọi f(A) là đa thức theo ma trận A. −2 3 Ví dụ. Cho A = và f (x) = 3x2 − 2x + 2. Tính f (A). 1 −1 7 −9 2 Giải. Ta có A = , f (A) = 3A2 − 2A + 2I2 . −3 4 7 −9 −2 3 1 0 Suy ra f (A) = 3 −2 +2 −3 4 1 −1 0 1. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM). Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT. 06/04/2010. 22 / 84.

(127) 1. Ma trận. g) Đa thức ma trận. Cho A ∈ Mn (R) và. f (x) = αm xm + αm−1 xm−1 + . . . + α1 x + α0 là một đa thức bậc m trên R (αi ∈ R). Khi đó ta định nghĩa f (A) = αm Am + αm−1 Am−1 + . . . + α1 A + α0 In và ta gọi f(A) là đa thức theo ma trận A. −2 3 Ví dụ. Cho A = và f (x) = 3x2 − 2x + 2. Tính f (A). 1 −1 7 −9 2 Giải. Ta có A = , f (A) = 3A2 − 2A + 2I2 . −3 4 7 −9 −2 3 1 0 Suy ra f (A) = 3 −2 +2 −3 4 1 −1 0 1 27 −33 = −11 16 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM). Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT. 06/04/2010. 22 / 84.

(128) 2. Các phép biến đổi sơ cấp trên dòng.

(129) 2. Các phép biến đổi sơ cấp trên dòng. 2.1 Các phép biến đổi sơ cấp trên dòng Định nghĩa. Cho A ∈ Mm×n (R). Ta gọi phép biến đổi sơ cấp trên dòng , viết tắt là phép BĐSCTD trên A, là một trong ba loại biến đổi sau:. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM). Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT. 06/04/2010. 24 / 84.

(130) 2. Các phép biến đổi sơ cấp trên dòng. 2.1 Các phép biến đổi sơ cấp trên dòng Định nghĩa. Cho A ∈ Mm×n (R). Ta gọi phép biến đổi sơ cấp trên dòng , viết tắt là phép BĐSCTD trên A, là một trong ba loại biến đổi sau: Loại 1. Hoán vị hai dòng i và j (i 6= j). Ký hiệu : di ↔ dj. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM). Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT. 06/04/2010. 24 / 84.

(131) 2. Các phép biến đổi sơ cấp trên dòng. 2.1 Các phép biến đổi sơ cấp trên dòng Định nghĩa. Cho A ∈ Mm×n (R). Ta gọi phép biến đổi sơ cấp trên dòng , viết tắt là phép BĐSCTD trên A, là một trong ba loại biến đổi sau: Loại 1. Hoán vị hai dòng i và j (i 6= j). Ký hiệu : di ↔ dj Loại 2. Nhân dòng i cho một số α 6= 0. Ký hiệu: di := αdi. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM). Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT. 06/04/2010. 24 / 84.

(132) 2. Các phép biến đổi sơ cấp trên dòng. 2.1 Các phép biến đổi sơ cấp trên dòng Định nghĩa. Cho A ∈ Mm×n (R). Ta gọi phép biến đổi sơ cấp trên dòng , viết tắt là phép BĐSCTD trên A, là một trong ba loại biến đổi sau: Loại 1. Hoán vị hai dòng i và j (i 6= j). Ký hiệu : di ↔ dj Loại 2. Nhân dòng i cho một số α 6= 0. Ký hiệu: di := αdi Loại 3. Cộng vào một dòng i với β lần dòng j (j 6= i). Ký hiệu: di := di + βdj. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM). Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT. 06/04/2010. 24 / 84.

(133) 2. Các phép biến đổi sơ cấp trên dòng. 2.1 Các phép biến đổi sơ cấp trên dòng Định nghĩa. Cho A ∈ Mm×n (R). Ta gọi phép biến đổi sơ cấp trên dòng , viết tắt là phép BĐSCTD trên A, là một trong ba loại biến đổi sau: Loại 1. Hoán vị hai dòng i và j (i 6= j). Ký hiệu : di ↔ dj Loại 2. Nhân dòng i cho một số α 6= 0. Ký hiệu: di := αdi Loại 3. Cộng vào một dòng i với β lần dòng j (j 6= i). Ký hiệu: di := di + βdj Với ϕ là một phép biến đổi sơ cấp, ký hiệu ϕ(A) chỉ ma trận có từ A qua ϕ.. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM). Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT. 06/04/2010. 24 / 84.

(134) 2. Các phép biến đổi sơ cấp trên dòng. 2.1 Các phép biến đổi sơ cấp trên dòng Định nghĩa. Cho A ∈ Mm×n (R). Ta gọi phép biến đổi sơ cấp trên dòng , viết tắt là phép BĐSCTD trên A, là một trong ba loại biến đổi sau: Loại 1. Hoán vị hai dòng i và j (i 6= j). Ký hiệu : di ↔ dj Loại 2. Nhân dòng i cho một số α 6= 0. Ký hiệu: di := αdi Loại 3. Cộng vào một dòng i với β lần dòng j (j 6= i). Ký hiệu: di := di + βdj Với ϕ là một phép biến đổi sơ cấp, ký hiệu ϕ(A) chỉ ma trận có từ A qua ϕ. Ví dụ.. 1 −2 2 3. . Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM). Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT. 06/04/2010. 24 / 84.

(135) 2. Các phép biến đổi sơ cấp trên dòng. 2.1 Các phép biến đổi sơ cấp trên dòng Định nghĩa. Cho A ∈ Mm×n (R). Ta gọi phép biến đổi sơ cấp trên dòng , viết tắt là phép BĐSCTD trên A, là một trong ba loại biến đổi sau: Loại 1. Hoán vị hai dòng i và j (i 6= j). Ký hiệu : di ↔ dj Loại 2. Nhân dòng i cho một số α 6= 0. Ký hiệu: di := αdi Loại 3. Cộng vào một dòng i với β lần dòng j (j 6= i). Ký hiệu: di := di + βdj Với ϕ là một phép biến đổi sơ cấp, ký hiệu ϕ(A) chỉ ma trận có từ A qua ϕ. Ví dụ.. 1 −2 2 3. . d ↔d. 1 2 −− −−→. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM). Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT. 06/04/2010. 24 / 84.

(136) 2. Các phép biến đổi sơ cấp trên dòng. 2.1 Các phép biến đổi sơ cấp trên dòng Định nghĩa. Cho A ∈ Mm×n (R). Ta gọi phép biến đổi sơ cấp trên dòng , viết tắt là phép BĐSCTD trên A, là một trong ba loại biến đổi sau: Loại 1. Hoán vị hai dòng i và j (i 6= j). Ký hiệu : di ↔ dj Loại 2. Nhân dòng i cho một số α 6= 0. Ký hiệu: di := αdi Loại 3. Cộng vào một dòng i với β lần dòng j (j 6= i). Ký hiệu: di := di + βdj Với ϕ là một phép biến đổi sơ cấp, ký hiệu ϕ(A) chỉ ma trận có từ A qua ϕ. Ví dụ.. 1 −2 2 3. . d1 ↔d2. −−−−→. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM). . 2 3 1 −2. . Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT. 06/04/2010. 24 / 84.

(137) 2. Các phép biến đổi sơ cấp trên dòng. 2.1 Các phép biến đổi sơ cấp trên dòng Định nghĩa. Cho A ∈ Mm×n (R). Ta gọi phép biến đổi sơ cấp trên dòng , viết tắt là phép BĐSCTD trên A, là một trong ba loại biến đổi sau: Loại 1. Hoán vị hai dòng i và j (i 6= j). Ký hiệu : di ↔ dj Loại 2. Nhân dòng i cho một số α 6= 0. Ký hiệu: di := αdi Loại 3. Cộng vào một dòng i với β lần dòng j (j 6= i). Ký hiệu: di := di + βdj Với ϕ là một phép biến đổi sơ cấp, ký hiệu ϕ(A) chỉ ma trận có từ A qua ϕ. Ví dụ.. 1 −2 2 3. . d1 ↔d2. −−−−→. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM). . 2 3 1 −2. . d :=2d. 2 −−2−−−→. Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT. 06/04/2010. 24 / 84.

(138) 2. Các phép biến đổi sơ cấp trên dòng. 2.1 Các phép biến đổi sơ cấp trên dòng Định nghĩa. Cho A ∈ Mm×n (R). Ta gọi phép biến đổi sơ cấp trên dòng , viết tắt là phép BĐSCTD trên A, là một trong ba loại biến đổi sau: Loại 1. Hoán vị hai dòng i và j (i 6= j). Ký hiệu : di ↔ dj Loại 2. Nhân dòng i cho một số α 6= 0. Ký hiệu: di := αdi Loại 3. Cộng vào một dòng i với β lần dòng j (j 6= i). Ký hiệu: di := di + βdj Với ϕ là một phép biến đổi sơ cấp, ký hiệu ϕ(A) chỉ ma trận có từ A qua ϕ. Ví dụ.. 1 −2 2 3. . d1 ↔d2. −−−−→. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM). . 2 3 1 −2. . d2 :=2d2. −−−−−→. Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT. . 2 3 2 −4. .. 06/04/2010. 24 / 84.

(139) 2. Các phép biến đổi sơ cấp trên dòng. Ví dụ.  A=. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM).  1 −2 3 2  3 6 −1 −3  2 1 3 4. Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT. 06/04/2010. 25 / 84.

(140) 2. Các phép biến đổi sơ cấp trên dòng. Ví dụ.  A=.  1 −2 3 2  3 6 −1 −3  2 1 3 4. d ↔d. 1 3 −− −−→. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM). Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT. 06/04/2010. 25 / 84.

(141) 2. Các phép biến đổi sơ cấp trên dòng. Ví dụ.  A=. d ↔d. 1 3 −− −−→. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM).  1 −2 3 2  3 6 −1 −3  2 1 3 4   2 1 3 4  3 6 −1 −3  1 −2 3 2. Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT. 06/04/2010. 25 / 84.

(142) 2. Các phép biến đổi sơ cấp trên dòng. Ví dụ.  A=. d ↔d. 1 3 −− −−→.  1 −2 3 2  3 6 −1 −3  2 1 3 4   2 1 3 4  3 6 −1 −3  1 −2 3 2. d :=2d. 2 −−2−−−→. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM). Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT. 06/04/2010. 25 / 84.

(143) 2. Các phép biến đổi sơ cấp trên dòng. Ví dụ. . A=. d ↔d. 1 3 −− −−→. d :=2d. 2 −−2−−−→. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM).  1 −2 3 2  3 6 −1 −3  2 1 3 4   2 1 3 4  3 6 −1 −3  1 −2 3 2   2 1 3 4  6 12 −2 −6  1 −2 3 2. Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT. 06/04/2010. 25 / 84.

(144) 2. Các phép biến đổi sơ cấp trên dòng. Ví dụ. . A=. d ↔d. 1 3 −− −−→. d :=2d. 2 −−2−−−→.  1 −2 3 2  3 6 −1 −3  2 1 3 4   2 1 3 4  3 6 −1 −3  1 −2 3 2   2 1 3 4  6 12 −2 −6  1 −2 3 2. d :=d +2d. 3 −−1−−−1−−−→. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM). Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT. 06/04/2010. 25 / 84.

(145) 2. Các phép biến đổi sơ cấp trên dòng. Ví dụ. . 1 −2 3 6 −1 A=  3 2 1 3  2 1 3 d1 ↔d3  3 6 −1 −−−−→ 1 −2 3  2 1 3 d :=2d2  6 12 −2 −−2−−−→ 1 −2 3  4 −3 9 d1 :=d1 +2d3  6 12 −2 −−−−−−−−→ 1 −2 3 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM).  2 −3  4  4 −3  2  4 −6  2  8 −6  . 2. Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT. 06/04/2010. 25 / 84.

(146) 2. Các phép biến đổi sơ cấp trên dòng. Tương đương dòng Nhận xét. di ↔dj. 1) A −−−−→ A0. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM). Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT. 06/04/2010. 26 / 84.

(147) 2. Các phép biến đổi sơ cấp trên dòng. Tương đương dòng Nhận xét. di ↔dj. di ↔dj. 1) A −−−−→ A0 ⇒ A0 −−−−→ A;. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM). Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT. 06/04/2010. 26 / 84.

(148) 2. Các phép biến đổi sơ cấp trên dòng. Tương đương dòng Nhận xét. di ↔dj. di ↔dj. 1) A −−−−→ A0 ⇒ A0 −−−−→ A; d :=αd. i 2) A −−i−−−→ A0. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM). Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT. 06/04/2010. 26 / 84.

(149) 2. Các phép biến đổi sơ cấp trên dòng. Tương đương dòng Nhận xét. di ↔dj. di ↔dj. 1) A −−−−→ A0 ⇒ A0 −−−−→ A; d :=αd. di := 1 di. i 2) A −−i−−−→ A0 ⇒ A0 −−−−α−→ A;. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM). Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT. 06/04/2010. 26 / 84.

(150) 2. Các phép biến đổi sơ cấp trên dòng. Tương đương dòng Nhận xét. di ↔dj. di ↔dj. 1) A −−−−→ A0 ⇒ A0 −−−−→ A; d :=αd. di := 1 di. i 2) A −−i−−−→ A0 ⇒ A0 −−−−α−→ A;. di :=di +βdj. 3) A −−−−−−−−→ A0. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM). Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT. 06/04/2010. 26 / 84.

(151) 2. Các phép biến đổi sơ cấp trên dòng. Tương đương dòng Nhận xét. di ↔dj. di ↔dj. 1) A −−−−→ A0 ⇒ A0 −−−−→ A; d :=αd. di := 1 di. i 2) A −−i−−−→ A0 ⇒ A0 −−−−α−→ A;. di :=di +βdj. di :=di −βdj. 3) A −−−−−−−−→ A0 ⇒ A0 −−−−−−−−→ A.. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM). Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT. 06/04/2010. 26 / 84.

(152) 2. Các phép biến đổi sơ cấp trên dòng. Tương đương dòng Nhận xét. di ↔dj. di ↔dj. 1) A −−−−→ A0 ⇒ A0 −−−−→ A; d :=αd. di := 1 di. i 2) A −−i−−−→ A0 ⇒ A0 −−−−α−→ A;. di :=di +βdj. di :=di −βdj. 3) A −−−−−−−−→ A0 ⇒ A0 −−−−−−−−→ A. Định nghĩa. Cho A, B ∈ Mm×n (R). Ta nói A tương đương dòng với B, ký hiệu A ∼ B, nếu B có được từ A qua hữu hạn phép biến đổi sơ cấp trên dòng nào đó.. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM). Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT. 06/04/2010. 26 / 84.

(153) 2. Các phép biến đổi sơ cấp trên dòng. Tương đương dòng Nhận xét. di ↔dj. di ↔dj. 1) A −−−−→ A0 ⇒ A0 −−−−→ A; di := 1 di. d :=αd. i 2) A −−i−−−→ A0 ⇒ A0 −−−−α−→ A;. di :=di −βdj. di :=di +βdj. 3) A −−−−−−−−→ A0 ⇒ A0 −−−−−−−−→ A. Định nghĩa. Cho A, B ∈ Mm×n (R). Ta nói A tương đương dòng với B, ký hiệu A ∼ B, nếu B có được từ A qua hữu hạn phép biến đổi sơ cấp trên dòng nào đó. Vậy, A ∼ B ⇔ Tồn tại các phép BĐSCTD ϕ1 , . . . , ϕk sao cho ϕ1. A −→ A1 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM). Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT. 06/04/2010. 26 / 84.

(154) 2. Các phép biến đổi sơ cấp trên dòng. Tương đương dòng Nhận xét. di ↔dj. di ↔dj. 1) A −−−−→ A0 ⇒ A0 −−−−→ A; di := 1 di. d :=αd. i 2) A −−i−−−→ A0 ⇒ A0 −−−−α−→ A;. di :=di −βdj. di :=di +βdj. 3) A −−−−−−−−→ A0 ⇒ A0 −−−−−−−−→ A. Định nghĩa. Cho A, B ∈ Mm×n (R). Ta nói A tương đương dòng với B, ký hiệu A ∼ B, nếu B có được từ A qua hữu hạn phép biến đổi sơ cấp trên dòng nào đó. Vậy, A ∼ B ⇔ Tồn tại các phép BĐSCTD ϕ1 , . . . , ϕk sao cho ϕ1. ϕ2. A −→ A1 −→ . . . Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM). Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT. 06/04/2010. 26 / 84.

(155) 2. Các phép biến đổi sơ cấp trên dòng. Tương đương dòng Nhận xét. di ↔dj. di ↔dj. 1) A −−−−→ A0 ⇒ A0 −−−−→ A; di := 1 di. d :=αd. i 2) A −−i−−−→ A0 ⇒ A0 −−−−α−→ A;. di :=di −βdj. di :=di +βdj. 3) A −−−−−−−−→ A0 ⇒ A0 −−−−−−−−→ A. Định nghĩa. Cho A, B ∈ Mm×n (R). Ta nói A tương đương dòng với B, ký hiệu A ∼ B, nếu B có được từ A qua hữu hạn phép biến đổi sơ cấp trên dòng nào đó. Vậy, A ∼ B ⇔ Tồn tại các phép BĐSCTD ϕ1 , . . . , ϕk sao cho ϕ1. ϕ2. ϕ. k A −→ A1 −→ . . . −→ Ak = B. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM). Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT. 06/04/2010. 26 / 84.

(156) 2. Các phép biến đổi sơ cấp trên dòng. Nhận xét. Quan hệ tương đương dòng là một quan hệ tương đương trên Mm×n (R), nghĩa là ∀A, B, C ∈ Mm×n (R), ta có:. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM). Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT. 06/04/2010. 27 / 84.

(157) 2. Các phép biến đổi sơ cấp trên dòng. Nhận xét. Quan hệ tương đương dòng là một quan hệ tương đương trên Mm×n (R), nghĩa là ∀A, B, C ∈ Mm×n (R), ta có: i) A ∼ A (tính phản xạ).. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM). Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT. 06/04/2010. 27 / 84.

(158) 2. Các phép biến đổi sơ cấp trên dòng. Nhận xét. Quan hệ tương đương dòng là một quan hệ tương đương trên Mm×n (R), nghĩa là ∀A, B, C ∈ Mm×n (R), ta có: i) A ∼ A (tính phản xạ). ii) A ∼ B ⇒ B ∼ A (tính đối xứng).. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM). Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT. 06/04/2010. 27 / 84.

(159) 2. Các phép biến đổi sơ cấp trên dòng. Nhận xét. Quan hệ tương đương dòng là một quan hệ tương đương trên Mm×n (R), nghĩa là ∀A, B, C ∈ Mm×n (R), ta có: i) A ∼ A (tính phản xạ). ii) A ∼ B ⇒ B ∼ A (tính đối xứng). iii) A ∼ B và B ∼ C ⇒ A ∼ C (tính bắc cầu).. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM). Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT. 06/04/2010. 27 / 84.

(160) 2. Các phép biến đổi sơ cấp trên dòng. Nhận xét. Quan hệ tương đương dòng là một quan hệ tương đương trên Mm×n (R), nghĩa là ∀A, B, C ∈ Mm×n (R), ta có: i) A ∼ A (tính phản xạ). ii) A ∼ B ⇒ B ∼ A (tính đối xứng). iii) A ∼ B và B ∼ C ⇒ A ∼ C (tính bắc cầu). .    1 2 −2 3 2 3 −2 1 5 1 ∼ 5 8 1 3  = B. Ví dụ. A =  1 2 2 3 −2 1 3 6 −6 9. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM). Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT. 06/04/2010. 27 / 84.

(161) 2. Các phép biến đổi sơ cấp trên dòng. Nhận xét. Quan hệ tương đương dòng là một quan hệ tương đương trên Mm×n (R), nghĩa là ∀A, B, C ∈ Mm×n (R), ta có: i) A ∼ A (tính phản xạ). ii) A ∼ B ⇒ B ∼ A (tính đối xứng). iii) A ∼ B và B ∼ C ⇒ A ∼ C (tính bắc cầu). .    1 2 −2 3 2 3 −2 1 5 1 ∼ 5 8 1 3  = B. Ví dụ. A =  1 2 2 3 −2 1 3 6 −6 9 Vì B có được từ A qua lần lượt các phép BĐSCTD sau: d1 ↔ d3 , d2 := d2 + 2d1 , d3 := 3d3 .. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM). Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT. 06/04/2010. 27 / 84.

(162) 2. Các phép biến đổi sơ cấp trên dòng. Nhận xét. Quan hệ tương đương dòng là một quan hệ tương đương trên Mm×n (R), nghĩa là ∀A, B, C ∈ Mm×n (R), ta có: i) A ∼ A (tính phản xạ). ii) A ∼ B ⇒ B ∼ A (tính đối xứng). iii) A ∼ B và B ∼ C ⇒ A ∼ C (tính bắc cầu). .    1 2 −2 3 2 3 −2 1 5 1 ∼ 5 8 1 3  = B. Ví dụ. A =  1 2 2 3 −2 1 3 6 −6 9 Vì B có được từ A qua lần lượt các phép BĐSCTD sau: d1 ↔ d3 , d2 := d2 + 2d1 , d3 := 3d3 . Hỏi. Làm cách nào kiểm tra hai ma trận tương đương dòng với nhau?. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM). Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT. 06/04/2010. 27 / 84.

(163) 2. Các phép biến đổi sơ cấp trên dòng. 2.2 Ma trận bậc thang Định nghĩa. Cho A ∈ Mm×n (R). Phần tử khác không đầu tiên của một dòng kể từ bên trái được gọi là phần tử cơ sở của dòng đó. .  0 −1 2 1 1 −2 3 . Khi đó: Ví dụ. Cho ma trận  3 0 0 0 0. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM). Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT. 06/04/2010. 28 / 84.

(164) 2. Các phép biến đổi sơ cấp trên dòng. 2.2 Ma trận bậc thang Định nghĩa. Cho A ∈ Mm×n (R). Phần tử khác không đầu tiên của một dòng kể từ bên trái được gọi là phần tử cơ sở của dòng đó. .  0 −1 2 1 1 −2 3 . Khi đó: Ví dụ. Cho ma trận  3 0 0 0 0 Dòng 1 có phần tử cơ sở là −1, dòng 2 có phần tử cơ sở là 3, dòng 3 không có phần tử cơ sở.. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM). Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT. 06/04/2010. 28 / 84.

(165) 2. Các phép biến đổi sơ cấp trên dòng. 2.2 Ma trận bậc thang Định nghĩa. Cho A ∈ Mm×n (R). Phần tử khác không đầu tiên của một dòng kể từ bên trái được gọi là phần tử cơ sở của dòng đó. .  0 −1 2 1 1 −2 3 . Khi đó: Ví dụ. Cho ma trận  3 0 0 0 0 Dòng 1 có phần tử cơ sở là −1, dòng 2 có phần tử cơ sở là 3, dòng 3 không có phần tử cơ sở. Định nghĩa. Một ma trận được gọi là ma trận bậc thang nếu nó thỏa 2 tính chất sau:. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM). Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT. 06/04/2010. 28 / 84.

(166) 2. Các phép biến đổi sơ cấp trên dòng. 2.2 Ma trận bậc thang Định nghĩa. Cho A ∈ Mm×n (R). Phần tử khác không đầu tiên của một dòng kể từ bên trái được gọi là phần tử cơ sở của dòng đó. .  0 −1 2 1 1 −2 3 . Khi đó: Ví dụ. Cho ma trận  3 0 0 0 0 Dòng 1 có phần tử cơ sở là −1, dòng 2 có phần tử cơ sở là 3, dòng 3 không có phần tử cơ sở. Định nghĩa. Một ma trận được gọi là ma trận bậc thang nếu nó thỏa 2 tính chất sau: • Dòng không có phần tử cơ sở (nếu tồn tại) thì nằm dưới cùng;. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM). Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT. 06/04/2010. 28 / 84.

(167) 2. Các phép biến đổi sơ cấp trên dòng. 2.2 Ma trận bậc thang Định nghĩa. Cho A ∈ Mm×n (R). Phần tử khác không đầu tiên của một dòng kể từ bên trái được gọi là phần tử cơ sở của dòng đó. .  0 −1 2 1 1 −2 3 . Khi đó: Ví dụ. Cho ma trận  3 0 0 0 0 Dòng 1 có phần tử cơ sở là −1, dòng 2 có phần tử cơ sở là 3, dòng 3 không có phần tử cơ sở. Định nghĩa. Một ma trận được gọi là ma trận bậc thang nếu nó thỏa 2 tính chất sau: • Dòng không có phần tử cơ sở (nếu tồn tại) thì nằm dưới cùng; • Phần tử cơ sở của dòng dưới nằm bên phải so với phần tử cơ sở của dòng trên. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM). Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT. 06/04/2010. 28 / 84.

(168) 2. Các phép biến đổi sơ cấp trên dòng. Như vậy ma trận bậc thang sẽ có dạng            . 0 ... 0 ... .. .. . . 0 ... 0 ... .. .. . .. 0 a1k1 0 0 .. .. . . 0 0 0 0 .. .. . .. 0 ... 0. 0. . . . . . . a1k2 . . . 0 a2k2 .. .. .. . . . ... 0 0 ... 0 0 .. .. .. . . . ... 0 0. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM). . . . . . . a1kr . . . . . . a2kr .. .. .. . . . . . . 0 arkr ... 0 0 .. .. .. . . . ... 0 0. Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT. . . . a1n . . . a2n .. .. . . . . . arn ... 0 .. .. . . ....            . 0. 06/04/2010. 29 / 84.

(169) 2. Các phép biến đổi sơ cấp trên dòng. Như vậy ma trận bậc thang sẽ có dạng            . 0 ... 0 ... .. .. . . 0 ... 0 ... .. .. . .. 0 a1k1 0 0 .. .. . . 0 0 0 0 .. .. . .. 0 ... 0. 0. . . . . . . a1k2 . . . 0 a2k2 .. .. .. . . . ... 0 0 ... 0 0 .. .. .. . . . ... 0 0. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM). . . . . . . a1kr . . . . . . a2kr .. .. .. . . . . . . 0 arkr ... 0 0 .. .. .. . . . ... 0 0. Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT. . . . a1n . . . a2n .. .. . . . . . arn ... 0 .. .. . . ....            . 0. 06/04/2010. 29 / 84.

(170) 2. Các phép biến đổi sơ cấp trên dòng. Như vậy ma trận bậc thang sẽ có dạng            . 0 ... 0 ... .. .. . . 0 ... 0 ... .. .. . .. 0 a1k1 0 0 .. .. . . 0 0 0 0 .. .. . .. 0 ... 0. 0. . . . . . . a1k2 . . . 0 a2k2 .. .. .. . . . ... 0 0 ... 0 0 .. .. .. . . . ... 0 0. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM). . . . . . . a1kr . . . . . . a2kr .. .. .. . . . . . . 0 arkr ... 0 0 .. .. .. . . . ... 0 0. Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT. . . . a1n . . . a2n .. .. . . . . . arn ... 0 .. .. . . ....            . 0. 06/04/2010. 29 / 84.

(171) 2. Các phép biến đổi sơ cấp trên dòng. Như vậy ma trận bậc thang sẽ có dạng            . 0 ... 0 ... .. .. . . 0 ... 0 ... .. .. . .. 0 a1k1 0 0 .. .. . . 0 0 0 0 .. .. . .. 0 ... 0. 0. . . . . . . a1k2 . . . 0 a2k2 .. .. .. . . . ... 0 0 ... 0 0 .. .. .. . . . ... 0 0. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM). . . . . . . a1kr . . . . . . a2kr .. .. .. . . . . . . 0 arkr ... 0 0 .. .. .. . . . ... 0 0. Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT. . . . a1n . . . a2n .. .. . . . . . arn ... 0 .. .. . . ....            . 0. 06/04/2010. 29 / 84.

(172) 2. Các phép biến đổi sơ cấp trên dòng. Như vậy ma trận bậc thang sẽ có dạng            . 0 ... 0 ... .. .. . . 0 ... 0 ... .. .. . .. 0 a1k1 0 0 .. .. . . 0 0 0 0 .. .. . .. 0 ... 0. 0. . . . . . . a1k2 . . . 0 a2k2 .. .. .. . . . ... 0 0 ... 0 0 .. .. .. . . . ... 0 0. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM). . . . . . . a1kr . . . . . . a2kr .. .. .. . . . . . . 0 arkr ... 0 0 .. .. .. . . . ... 0 0. Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT. . . . a1n . . . a2n .. .. . . . . . arn ... 0 .. .. . . ....            . 0. 06/04/2010. 29 / 84.

(173) 2. Các phép biến đổi sơ cấp trên dòng. Như vậy ma trận bậc thang sẽ có dạng            . 0 ... 0 ... .. .. . . 0 ... 0 ... .. .. . .. 0 a1k1 0 0 .. .. . . 0 0 0 0 .. .. . .. 0 ... 0. 0 . 1  0 Ví dụ. A =   0 0. . . . . . . a1k2 . . . 0 a2k2 .. .. .. . . . ... 0 0 ... 0 0 .. .. .. . . . ... 0 0. 2 0 0 0. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM). 5 3 0 0. 4 1 1 0.  2 7  ; 4  0. . . . . . . a1kr . . . . . . a2kr .. .. .. . . . . . . 0 arkr ... 0 0 .. .. .. . . . ... 0 0 . 2  0 B=  0 0. Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT. 3 0 1 0. . . . a1n . . . a2n .. .. . . . . . arn ... 0 .. .. . . .... 0. 2 4 0 0.  1 2  . 3  0.            . 06/04/2010. 29 / 84.

(174) 2. Các phép biến đổi sơ cấp trên dòng. Như vậy ma trận bậc thang sẽ có dạng            . 0 ... 0 ... .. .. . . 0 ... 0 ... .. .. . .. 0 a1k1 0 0 .. .. . . 0 0 0 0 .. .. . .. 0 ... 0. 0 . 1  0 Ví dụ. A =   0 0. . . . . . . a1k2 . . . 0 a2k2 .. .. .. . . . ... 0 0 ... 0 0 .. .. .. . . . ... 0 0. 2 0 0 0. 5 3 0 0. 4 1 1 0.  2 7  ; 4  0. . . . . . . a1kr . . . . . . a2kr .. .. .. . . . . . . 0 arkr ... 0 0 .. .. .. . . . ... 0 0 . 2  0 B=  0 0. 3 0 1 0. . . . a1n . . . a2n .. .. . . . . . arn ... 0 .. .. . . .... 0. 2 4 0 0.  1 2  . 3  0.            . A là trận bậc thang, B không là ma trận bậc thang. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM). Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT. 06/04/2010. 29 / 84.

(175) 2. Các phép biến đổi sơ cấp trên dòng. ma trận bậc thang rút ngọn Định nghĩa. Ma trận A được gọi là ma trận bậc thang rút ngọn nếu thỏa các điều kiện sau:. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM). Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT. 06/04/2010. 30 / 84.

(176) 2. Các phép biến đổi sơ cấp trên dòng. ma trận bậc thang rút ngọn Định nghĩa. Ma trận A được gọi là ma trận bậc thang rút ngọn nếu thỏa các điều kiện sau: • A là ma trận bậc thang.. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM). Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT. 06/04/2010. 30 / 84.

(177) 2. Các phép biến đổi sơ cấp trên dòng. ma trận bậc thang rút ngọn Định nghĩa. Ma trận A được gọi là ma trận bậc thang rút ngọn nếu thỏa các điều kiện sau: • A là ma trận bậc thang. • Các phần tử cơ sở đều bằng 1.. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM). Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT. 06/04/2010. 30 / 84.

(178) 2. Các phép biến đổi sơ cấp trên dòng. ma trận bậc thang rút ngọn Định nghĩa. Ma trận A được gọi là ma trận bậc thang rút ngọn nếu thỏa các điều kiện sau: • A là ma trận bậc thang. • Các phần tử cơ sở đều bằng 1. • Trên cột có chứa phần tử cơ sở, các hệ số ngoài phần tử cơ sở đều bằng 0.. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM). Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT. 06/04/2010. 30 / 84.

(179) 2. Các phép biến đổi sơ cấp trên dòng. ma trận bậc thang rút ngọn Định nghĩa. Ma trận A được gọi là ma trận bậc thang rút ngọn nếu thỏa các điều kiện sau: • A là ma trận bậc thang. • Các phần tử cơ sở đều bằng 1. • Trên cột có chứa phần tử cơ sở, các hệ số ngoài phần tử cơ sở đều bằng 0. . 1  0 Ví dụ. C =   0 0. 0 1 0 0. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM). 0 0 1 0.  0 4 0 −7  ; 1 2  0 0. . 1  0 D=  0 0. Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT. 3 1 0 0. 0 0 1 0. 2 0 0 0.  7 0  . 0  0. 06/04/2010. 30 / 84.

(180) 2. Các phép biến đổi sơ cấp trên dòng. ma trận bậc thang rút ngọn Định nghĩa. Ma trận A được gọi là ma trận bậc thang rút ngọn nếu thỏa các điều kiện sau: • A là ma trận bậc thang. • Các phần tử cơ sở đều bằng 1. • Trên cột có chứa phần tử cơ sở, các hệ số ngoài phần tử cơ sở đều bằng 0. . 1  0 Ví dụ. C =   0 0. 0 1 0 0. 0 0 1 0.  0 4 0 −7  ; 1 2  0 0. . 1  0 D=  0 0. 3 1 0 0. 0 0 1 0. 2 0 0 0.  7 0  . 0  0. C là ma trận bậc thang rút gọn. D không là ma trận bậc thang rút gọn. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM). Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT. 06/04/2010. 30 / 84.

(181) 2. Các phép biến đổi sơ cấp trên dòng. 2.3 Hạng của ma trận Dạng bậc thang. Định nghĩa. Nếu A tương đương dòng với một ma trận bậc thang B thì B được gọi là một dạng bậc thang của A.. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM). Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT. 06/04/2010. 31 / 84.

(182) 2. Các phép biến đổi sơ cấp trên dòng. 2.3 Hạng của ma trận Dạng bậc thang. Định nghĩa. Nếu A tương đương dòng với một ma trận bậc thang B thì B được gọi là một dạng bậc thang của A. Ví dụ. Cho .  1 2 3 −2 A =  −2 −5 1 −4  , 3 6 9 −6. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM). .  1 2 3 −2 B =  0 −1 7 −8  . 0 0 0 0. Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT. 06/04/2010. 31 / 84.

(183) 2. Các phép biến đổi sơ cấp trên dòng. 2.3 Hạng của ma trận Dạng bậc thang. Định nghĩa. Nếu A tương đương dòng với một ma trận bậc thang B thì B được gọi là một dạng bậc thang của A. Ví dụ. Cho .  1 2 3 −2 A =  −2 −5 1 −4  , 3 6 9 −6. .  1 2 3 −2 B =  0 −1 7 −8  . 0 0 0 0. Khi đó B là một dạng bậc thang của A vì B có được từ A thông qua các phép biến đổi: d2 := d2 + 2d1 , d3 = d3 − 3d1 .. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM). Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT. 06/04/2010. 31 / 84.

(184) 2. Các phép biến đổi sơ cấp trên dòng. 2.3 Hạng của ma trận Dạng bậc thang. Định nghĩa. Nếu A tương đương dòng với một ma trận bậc thang B thì B được gọi là một dạng bậc thang của A. Ví dụ. Cho .  1 2 3 −2 A =  −2 −5 1 −4  , 3 6 9 −6. .  1 2 3 −2 B =  0 −1 7 −8  . 0 0 0 0. Khi đó B là một dạng bậc thang của A vì B có được từ A thông qua các phép biến đổi: d2 := d2 + 2d1 , d3 = d3 − 3d1 . Hỏi. Dạng bậc thang của một ma trận có duy nhất không? Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM). Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT. 06/04/2010. 31 / 84.

(185) 2. Các phép biến đổi sơ cấp trên dòng. Hạng của ma trận Nhận xét. Một ma trận A thì có nhiều dạng bậc thang, tuy nhiên các dạng bậc thang của A đều có chung số dòng khác 0. Ta gọi số dòng khác 0 của một dạng bậc thang của A là hạng của A, ký hiệu r(A).. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM). Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT. 06/04/2010. 32 / 84.

(186) 2. Các phép biến đổi sơ cấp trên dòng. Hạng của ma trận Nhận xét. Một ma trận A thì có nhiều dạng bậc thang, tuy nhiên các dạng bậc thang của A đều có chung số dòng khác 0. Ta gọi số dòng khác 0 của một dạng bậc thang của A là hạng của A, ký hiệu r(A). Mệnh đề. Cho A, B ∈ Mm×n (R). Khi đó:. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM). Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT. 06/04/2010. 32 / 84.

(187) 2. Các phép biến đổi sơ cấp trên dòng. Hạng của ma trận Nhận xét. Một ma trận A thì có nhiều dạng bậc thang, tuy nhiên các dạng bậc thang của A đều có chung số dòng khác 0. Ta gọi số dòng khác 0 của một dạng bậc thang của A là hạng của A, ký hiệu r(A). Mệnh đề. Cho A, B ∈ Mm×n (R). Khi đó: i) 0 ≤ r(A) ≤ m, n;. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM). Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT. 06/04/2010. 32 / 84.

(188) 2. Các phép biến đổi sơ cấp trên dòng. Hạng của ma trận Nhận xét. Một ma trận A thì có nhiều dạng bậc thang, tuy nhiên các dạng bậc thang của A đều có chung số dòng khác 0. Ta gọi số dòng khác 0 của một dạng bậc thang của A là hạng của A, ký hiệu r(A). Mệnh đề. Cho A, B ∈ Mm×n (R). Khi đó: i) 0 ≤ r(A) ≤ m, n; ii) r(A) = 0 ⇔ A = 0;. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM). Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT. 06/04/2010. 32 / 84.

(189) 2. Các phép biến đổi sơ cấp trên dòng. Hạng của ma trận Nhận xét. Một ma trận A thì có nhiều dạng bậc thang, tuy nhiên các dạng bậc thang của A đều có chung số dòng khác 0. Ta gọi số dòng khác 0 của một dạng bậc thang của A là hạng của A, ký hiệu r(A). Mệnh đề. Cho A, B ∈ Mm×n (R). Khi đó: i) 0 ≤ r(A) ≤ m, n; ii) r(A) = 0 ⇔ A = 0; iii) r(A> ) = r(A);. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM). Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT. 06/04/2010. 32 / 84.

(190) 2. Các phép biến đổi sơ cấp trên dòng. Hạng của ma trận Nhận xét. Một ma trận A thì có nhiều dạng bậc thang, tuy nhiên các dạng bậc thang của A đều có chung số dòng khác 0. Ta gọi số dòng khác 0 của một dạng bậc thang của A là hạng của A, ký hiệu r(A). Mệnh đề. Cho A, B ∈ Mm×n (R). Khi đó: i) 0 ≤ r(A) ≤ m, n; ii) r(A) = 0 ⇔ A = 0; iii) r(A> ) = r(A); iv) Nếu A ∼ B thì r(A) = r(B).. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM). Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT. 06/04/2010. 32 / 84.

(191) 2. Các phép biến đổi sơ cấp trên dòng. Định nghĩa. Nếu A tương đương dòng với một ma trận bậc thang rút gọn B thì B được gọi là dạng bậc thang rút gọn của A.. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM). Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT. 06/04/2010. 33 / 84.

(192) 2. Các phép biến đổi sơ cấp trên dòng. Định nghĩa. Nếu A tương đương dòng với một ma trận bậc thang rút gọn B thì B được gọi là dạng bậc thang rút gọn của A. Nhận xét. Dạng bậc thang rút gọn của một ma trận A là duy nhất và được ký hiệu RA .. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM). Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT. 06/04/2010. 33 / 84.

(193) 2. Các phép biến đổi sơ cấp trên dòng. Định nghĩa. Nếu A tương đương dòng với một ma trận bậc thang rút gọn B thì B được gọi là dạng bậc thang rút gọn của A. Nhận xét. Dạng bậc thang rút gọn của một ma trận A là duy nhất và được ký hiệu RA . .  1 2 3 −2 Ví dụ. Cho A =  −2 −5 1 −4 . 3 6 9 −6. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM). Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT. 06/04/2010. 33 / 84.

(194) 2. Các phép biến đổi sơ cấp trên dòng. Định nghĩa. Nếu A tương đương dòng với một ma trận bậc thang rút gọn B thì B được gọi là dạng bậc thang rút gọn của A. Nhận xét. Dạng bậc thang rút gọn của một ma trận A là duy nhất và được ký hiệu RA . . 1 2 3 −2 Ví dụ. Cho A =  −2 −5 1 −4 3 6 9 −6  1  0 RA = 0.  . Khi đó  0 17 −18 1 −7 8 . 0 0 0. RA có được từ A thông qua các phép biến đổi: d2 := d2 + 2d1 , d3 = d3 − 3d1 , d2 := −1d2 , d1 := d1 − 2d2 . Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM). Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT. 06/04/2010. 33 / 84.

(195) 2. Các phép biến đổi sơ cấp trên dòng. Thuật toán Gauss Tìm một dạng bậc thang của A = (a)ij ∈ Mm×n (R). Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM). Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT. 06/04/2010. 34 / 84.

(196) 2. Các phép biến đổi sơ cấp trên dòng. Thuật toán Gauss Tìm một dạng bậc thang của A = (a)ij ∈ Mm×n (R). Bước 1: i := 1, j := 1. Bước 2: Nếu i > m hoặc j > n thì kết thúc. Bước 3: Nếu aij = 0 thì sang Bước 4. Nếu aij 6= 0 thì thực hiện các phép BĐSCTD sau: dk := dk −. akj di aij. với. k > i.. Sau đó i := i + 1, j := j + 1 và quay về Bước 2. Bước 4: Nếu akj = 0 với mọi k > i thì j := j + 1 và quay về Bước 2. Nếu akj 6= 0 với một k > i nào đó thì chọn một k như vậy và thực hiện phép BĐSCTD: di ↔ dk và quay về Bước 3. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM). Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT. 06/04/2010. 34 / 84.

(197) 2. Các phép biến đổi sơ cấp trên dòng. Ví dụ. Tìm một ma trận dạng bậc thang R của ma trận   1 7 1 3 0  1 7 −1 −2 −2  . A=   2 14 2 7 0  6 42 3 13 −3 Từ đó xác định hạng của A.. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM). Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT. 06/04/2010. 35 / 84.

(198) 2. Các phép biến đổi sơ cấp trên dòng. Ví dụ. Tìm một ma trận dạng bậc thang R của ma trận   1 7 1 3 0  1 7 −1 −2 −2  . A=   2 14 2 7 0  6 42 3 13 −3 Từ đó xác định hạng của A. Giải.  A. −−−−−−−−→. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM). 1 7. 1.   . Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT. 3. 0.    . 06/04/2010. 35 / 84.

(199) 2. Các phép biến đổi sơ cấp trên dòng. Ví dụ. Tìm một ma trận dạng bậc thang R của ma trận   1 7 1 3 0  1 7 −1 −2 −2  . A=   2 14 2 7 0  6 42 3 13 −3 Từ đó xác định hạng của A. Giải.  d2 :=d2 −d1. A. −−−−−−−−→. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM). 1 7. 1.   . Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT. 3. 0.    . 06/04/2010. 35 / 84.

(200) 2. Các phép biến đổi sơ cấp trên dòng. Ví dụ. Tìm một ma trận dạng bậc thang R của ma trận   1 7 1 3 0  1 7 −1 −2 −2  . A=   2 14 2 7 0  6 42 3 13 −3 Từ đó xác định hạng của A. Giải.  1 7 1 3 0  0 0 −2 −5 −2       d2 :=d2 −d1. A. −−−−−−−−→. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM). Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT. 06/04/2010. 35 / 84.

(201) 2. Các phép biến đổi sơ cấp trên dòng. Ví dụ. Tìm một ma trận dạng bậc thang R của ma trận   1 7 1 3 0  1 7 −1 −2 −2  . A=   2 14 2 7 0  6 42 3 13 −3 Từ đó xác định hạng của A. Giải.  1 7 1 3 0  0 0 −2 −5 −2       A. d2 :=d2 −d1 d3 :=d3 −2d1. −−−−−−−−→. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM). Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT. 06/04/2010. 35 / 84.

(202) 2. Các phép biến đổi sơ cấp trên dòng. Ví dụ. Tìm một ma trận dạng bậc thang R của ma trận   1 7 1 3 0  1 7 −1 −2 −2  . A=   2 14 2 7 0  6 42 3 13 −3 Từ đó xác định hạng của A. Giải.  1 7 1 3 0  0 0 −2 −5 −2     0 0 0 1 0   A. d2 :=d2 −d1 d3 :=d3 −2d1. −−−−−−−−→. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM). Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT. 06/04/2010. 35 / 84.

(203) 2. Các phép biến đổi sơ cấp trên dòng. Ví dụ. Tìm một ma trận dạng bậc thang R của ma trận   1 7 1 3 0  1 7 −1 −2 −2  . A=   2 14 2 7 0  6 42 3 13 −3 Từ đó xác định hạng của A. Giải.  1 7 1 3 0  0 0 −2 −5 −2     0 0 0 1 0   A. d2 :=d2 −d1 d3 :=d3 −2d1. −−−−−−−−→ d4 :=d4 −6d1. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM). Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT. 06/04/2010. 35 / 84.

(204) 2. Các phép biến đổi sơ cấp trên dòng. Ví dụ. Tìm một ma trận dạng bậc thang R của ma trận   1 7 1 3 0  1 7 −1 −2 −2  . A=   2 14 2 7 0  6 42 3 13 −3 Từ đó xác định hạng của A. Giải.  A. d2 :=d2 −d1 d3 :=d3 −2d1. −−−−−−−−→ d4 :=d4 −6d1. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM). 1  0   0 0.  7 1 3 0 0 −2 −5 −2   0 0 1 0  0 −3 −5 −3. Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT. 06/04/2010. 35 / 84.

(205) 2. Các phép biến đổi sơ cấp trên dòng. Ví dụ. Tìm một ma trận dạng bậc thang R của ma trận   1 7 1 3 0  1 7 −1 −2 −2  . A=   2 14 2 7 0  6 42 3 13 −3 Từ đó xác định hạng của A. Giải. . A. 1  0 −−−−−−−−→   0 d4 :=d4 −6d1 0  1  0 d4 :=d4 − 32 d2 −−−−−−−−→   0 0 d2 :=d2 −d1 d3 :=d3 −2d1. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM).  7 1 3 0 0 −2 −5 −2   0 0 1 0  0 −3 −5 −3  7 1 3 0 0 −2 −5 −2   0 0 1 0  5 0 0 0 2. Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT. 06/04/2010. 35 / 84.

(206) 2. Các phép biến đổi sơ cấp trên dòng.  d4 :=d4 − 3 d2. 2 −−−−−−− −→. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM). 1  0   0 0.  7 1 3 0 0 −2 −5 −2   0 0 1 0  5 0 0 0 2. Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT. 06/04/2010. 36 / 84.

(207) 2. Các phép biến đổi sơ cấp trên dòng.  d4 :=d4 − 3 d2. 2 −−−−−−− −→. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM). 1  0   0 0.  7 1 3 0 0 −2 −5 −2   0 0 1 0  5 0 0 0 2. Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT. 06/04/2010. 36 / 84.

(208) 2. Các phép biến đổi sơ cấp trên dòng.  d4 :=d4 − 3 d2. 2 −−−−−−− −→. 1  0   0 0.  7 1 3 0 0 −2 −5 −2   0 0 1 0  5 0 0 0 2. d4 :=d4 − 5 d3. 2 −−−−−−− −→. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM). Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT. 06/04/2010. 36 / 84.

(209) 2. Các phép biến đổi sơ cấp trên dòng. . 1  0 d4 :=d4 − 32 d2 −−−−−−−−→   0 0  1  0 d4 :=d4 − 52 d3 −−−−−−−−→   0 0. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM).  7 1 3 0 0 −2 −5 −2   0 0 1 0  5 0 0 0 2  7 1 3 0 0 −2 −5 −2   = R. 0 0 1 0  0 0 0 0. Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT. 06/04/2010. 36 / 84.

(210) 2. Các phép biến đổi sơ cấp trên dòng. . 1  0 d4 :=d4 − 32 d2 −−−−−−−−→   0 0  1  0 d4 :=d4 − 52 d3 −−−−−−−−→   0 0.  7 1 3 0 0 −2 −5 −2   0 0 1 0  5 0 0 0 2  7 1 3 0 0 −2 −5 −2   = R. 0 0 1 0  0 0 0 0. Ta có A ∼ R và R có dạng bậc thang với 3 dòng khác 0 nên A có hạng là r(A) = 3.. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM). Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT. 06/04/2010. 36 / 84.

(211) 2. Các phép biến đổi sơ cấp trên dòng. . 1  0 d4 :=d4 − 32 d2 −−−−−−−−→   0 0  1  0 d4 :=d4 − 52 d3 −−−−−−−−→   0 0.  7 1 3 0 0 −2 −5 −2   0 0 1 0  5 0 0 0 2  7 1 3 0 0 −2 −5 −2   = R. 0 0 1 0  0 0 0 0. Ta có A ∼ R và R có dạng bậc thang với 3 dòng khác 0 nên A có hạng là r(A) = 3. Lưu ý. Trong quá trình đưa ma trận về dạng bậc thang, ta có thể dùng các phép BĐSCTD phù hợp để tránh việc tính toán các số lẻ.. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM). Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT. 06/04/2010. 36 / 84.

(212) 2. Các phép biến đổi sơ cấp trên dòng. Ví dụ. Tìm hạng của  1 A= 2 2. ma trận sau:  2 3 3 4 6 9  6 7 6. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM). Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT. 06/04/2010. 37 / 84.

(213) 2. Các phép biến đổi sơ cấp trên dòng. Ví dụ. Tìm hạng của ma trận sau:   1 2 3 3 A= 2 4 6 9  2 6 7 6   2 3 1 4 2 9  B= 3 4 −2 0 −1 −3. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM). Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT. 06/04/2010. 37 / 84.

(214) 2. Các phép biến đổi sơ cấp trên dòng. Ví dụ. Tìm hạng của ma trận sau:   1 2 3 3 A= 2 4 6 9  2 6 7 6  2 3 1 4  3 4 2 9 B= −2 0 −1 −3  1 1 −1 2  2 3 −1 4 C=  3 2 −3 7 −1 1 2 −3. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM).    1 5   4  1. Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT. 06/04/2010. 37 / 84.

(215) 2. Các phép biến đổi sơ cấp trên dòng. Ví dụ. Tìm tất cả giá trị m để  1  2 A= 3. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM). r(A) = 3 với  1 1 2 3 4 1  2 m m+1. Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT. 06/04/2010. 38 / 84.

(216) 2. Các phép biến đổi sơ cấp trên dòng. Ví dụ. Tìm tất cả giá trị m để  1  2 A= 3. r(A) = 3 với  1 1 2 3 4 1  2 m m+1. Ví dụ. Tìm tất cả giá trị m để r(B) = 2 với   1 m m B= m 1 m  m m 1. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM). Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT. 06/04/2010. 38 / 84.

(217) 2. Các phép biến đổi sơ cấp trên dòng. Thuật toán Gauss-Jordan Tìm một dạng bậc thang rút gọn của A = (a)ij ∈ Mm×n (R). Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM). Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT. 06/04/2010. 39 / 84.

(218) 2. Các phép biến đổi sơ cấp trên dòng. Thuật toán Gauss-Jordan Tìm một dạng bậc thang rút gọn của A = (a)ij ∈ Mm×n (R). Chỉ khác Thuật toán Gauss ở Bước 3, ta cần thực hiện các phép biến đổi sau: dk := dk − di :=. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM). akj di với k 6= i; aij. 1 di . aij. Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT. 06/04/2010. 39 / 84.

(219) 2. Các phép biến đổi sơ cấp trên dòng. Thuật toán Gauss-Jordan Tìm một dạng bậc thang rút gọn của A = (a)ij ∈ Mm×n (R). Chỉ khác Thuật toán Gauss ở Bước 3, ta cần thực hiện các phép biến đổi sau: dk := dk − di :=. akj di với k 6= i; aij. 1 di . aij. Ví dụ. Tìm ma trận dạng bậc thang rút gọn của ma trận   1 7 1 3 0  1 7 −1 −2 −2  . A=   2 14 2 7 0  6 42 3 13 −3 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM). Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT. 06/04/2010. 39 / 84.

(220) 2. Các phép biến đổi sơ cấp trên dòng. Giải.  1  1   2 6.  7 1 3 0 7 −1 −2 −2   14 2 7 0  42 3 13 −3. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM). Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT. 06/04/2010. 40 / 84.

(221) 2. Các phép biến đổi sơ cấp trên dòng. Giải.  1  1   2 6.  7 1 3 0 7 −1 −2 −2   14 2 7 0  42 3 13 −3. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM). d2 :=d2 −d1 d3 :=d3 −2d1. −−−−−−−−→ d4 :=d4 −6d1. Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT. 06/04/2010. 40 / 84.

(222) 2. Các phép biến đổi sơ cấp trên dòng. Giải.  1  1   2 6.  7 1 3 0 7 −1 −2 −2   14 2 7 0  42 3 13 −3. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM).  d2 :=d2 −d1 d3 :=d3 −2d1. −−−−−−−−→ d4 :=d4 −6d1. 1  0   0 0. Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT.  7 1 3 0 0 −2 −5 −2   0 0 1 0  0 −3 −5 −3. 06/04/2010. 40 / 84.

(223) 2. Các phép biến đổi sơ cấp trên dòng. Giải.  1  1   2 6.  7 1 3 0 7 −1 −2 −2   14 2 7 0  42 3 13 −3. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM).  d2 :=d2 −d1 d3 :=d3 −2d1. −−−−−−−−→ d4 :=d4 −6d1. 1  0   0 0. Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT.  7 1 3 0 0 −2 −5 −2   0 0 1 0  0 −3 −5 −3. 06/04/2010. 40 / 84.

(224) 2. Các phép biến đổi sơ cấp trên dòng. Giải.  1  1   2 6.  7 1 3 0 7 −1 −2 −2   14 2 7 0  42 3 13 −3.  d2 :=d2 −d1 d3 :=d3 −2d1. −−−−−−−−→ d4 :=d4 −6d1. 1  0   0 0.  7 1 3 0 0 −2 −5 −2   0 0 1 0  0 −3 −5 −3. d1 :=d1 + 21 d2 d4 :=d4 − 23 d2. −−−−−−−−→ d2 :=− 12 d2. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM). Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT. 06/04/2010. 40 / 84.

(225) 2. Các phép biến đổi sơ cấp trên dòng. Giải.  1  1   2 6.  7 1 3 0 7 −1 −2 −2   14 2 7 0  42 3 13 −3.  d2 :=d2 −d1 d3 :=d3 −2d1. −−−−−−−−→ d4 :=d4 −6d1. d1 :=d1 + 21 d2 d4 :=d4 − 23 d2. −−−−−−−−→ d2 :=− 12 d2. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM). 1  0   0 0  1  0   0 0. Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT.  7 1 3 0 0 −2 −5 −2   0 0 1 0  0 −3 −5 −3  7 0 12 −1 1  0 1 52  0 0 1 0  0 0 52 0. 06/04/2010. 40 / 84.

(226) 2. Các phép biến đổi sơ cấp trên dòng. Giải.  1  1   2 6.  7 1 3 0 7 −1 −2 −2   14 2 7 0  42 3 13 −3.  d2 :=d2 −d1 d3 :=d3 −2d1. −−−−−−−−→ d4 :=d4 −6d1. d1 :=d1 + 21 d2 d4 :=d4 − 23 d2. −−−−−−−−→ d2 :=− 12 d2. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM). 1  0   0 0  1  0   0 0. Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT.  7 1 3 0 0 −2 −5 −2   0 0 1 0  0 −3 −5 −3  7 0 12 −1 1  0 1 52  0 0 1 0  0 0 52 0. 06/04/2010. 40 / 84.

(227) 2. Các phép biến đổi sơ cấp trên dòng. Giải.  1  1   2 6.  7 1 3 0 7 −1 −2 −2   14 2 7 0  42 3 13 −3.  d2 :=d2 −d1 d3 :=d3 −2d1. −−−−−−−−→ d4 :=d4 −6d1. d1 :=d1 + 21 d2 d4 :=d4 − 23 d2. −−−−−−−−→ d2 :=− 12 d2. 1  0   0 0  1  0   0 0.  7 1 3 0 0 −2 −5 −2   0 0 1 0  0 −3 −5 −3  7 0 12 −1 1  0 1 52  0 0 1 0  0 0 52 0. d1 :=d1 − 21 d3 d2 :=d2 − 25 d3. −−−−−−−−→ d4 :=d4 − 25 d3. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM). Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT. 06/04/2010. 40 / 84.

(228) 2. Các phép biến đổi sơ cấp trên dòng. Giải.  1  1   2 6.  7 1 3 0 7 −1 −2 −2   14 2 7 0  42 3 13 −3.  d2 :=d2 −d1 d3 :=d3 −2d1. −−−−−−−−→ d4 :=d4 −6d1. d1 :=d1 + 21 d2 d4 :=d4 − 23 d2. −−−−−−−−→ d2 :=− 12 d2. d1 :=d1 − 21 d3 d2 :=d2 − 25 d3. −−−−−−−−→ d4 :=d4 − 25 d3. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM). 1  0   0 0  1  0   0 0  1  0   0 0. Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT.  7 1 3 0 0 −2 −5 −2   0 0 1 0  0 −3 −5 −3  7 0 12 −1 1  0 1 52  0 0 1 0  0 0 52 0  7 0 0 −1 0 1 0 1   = RA . 0 0 1 0  0 0 0 0. 06/04/2010. 40 / 84.

(229) 2. Các phép biến đổi sơ cấp trên dòng. Giải.  1  1   2 6.  7 1 3 0 7 −1 −2 −2   14 2 7 0  42 3 13 −3.  d2 :=d2 −d1 d3 :=d3 −2d1. −−−−−−−−→ d4 :=d4 −6d1. d1 :=d1 + 21 d2 d4 :=d4 − 23 d2. −−−−−−−−→ d2 :=− 12 d2. d1 :=d1 − 21 d3 d2 :=d2 − 25 d3. −−−−−−−−→ d4 :=d4 − 25 d3. 1  0   0 0  1  0   0 0  1  0   0 0.  7 1 3 0 0 −2 −5 −2   0 0 1 0  0 −3 −5 −3  7 0 12 −1 1  0 1 52  0 0 1 0  0 0 52 0  7 0 0 −1 0 1 0 1   = RA . 0 0 1 0  0 0 0 0. Ta thấy RA là ma trận dạng bậc thang rút gọn của A. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM). Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT. 06/04/2010. 40 / 84.

(230) 2. Các phép biến đổi sơ cấp trên dòng. Ví dụ. Tìm dạng ma  4 3 2 a)  0 2 1 0 0 3. trận bậc thang rút gọn của các ma trận sau:  2 1 ; 3. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM). Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT. 06/04/2010. 41 / 84.

(231) 2. Các phép biến đổi sơ cấp trên dòng. Ví dụ. Tìm dạng ma  4 3 2 a)  0 2 1 0 0 3. trận bậc thang rút gọn của các ma trận sau:    1 2 3 6 2 1 ; b)  2 3 1 6  ; 3 1 2 6 3. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM). Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT. 06/04/2010. 41 / 84.

(232) 2. Các phép biến đổi sơ cấp trên dòng. Ví dụ. Tìm dạng ma trận bậc thang rút    1 4 3 2 2 b)  2 a)  0 2 1 1  ; 3 0 0 3 3   1 −1 5 −1  1 1 −2 3  ; c)   3 −1 8 1  1 3 −9 7. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM). gọn của các ma trận sau:  2 3 6 3 1 6 ; 1 2 6. Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT. 06/04/2010. 41 / 84.

(233) 2. Các phép biến đổi sơ cấp trên dòng. Ví dụ. Tìm dạng ma trận bậc thang rút gọn của các ma trận sau:     1 2 3 6 4 3 2 2 b)  2 3 1 6  ; a)  0 2 1 1  ; 3 1 2 6 0 0 3 3     1 −1 5 −1 1 3 −2 −1  1  1 −2 3  5 −2 1  ; d)  2 . c)   3 −1   8 1 1 1 6 13  1 3 −9 7 −2 −6 8 10. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM). Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT. 06/04/2010. 41 / 84.

(234) 3. Hệ phương trình tuyến tính. 3. Hệ phương trình tuyến tính 3.1 Định nghĩa 3.2 Nghiệm hệ của phương trình tuyến tính 3.3 Giải hệ phương trình tuyến tính 3.4 Định lý Kronecker - Capelli. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM). Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT. 06/04/2010. 42 / 84.

(235) 3. Hệ phương trình tuyến tính. 3.1 Định nghĩa hệ phương trình tuyến tính Mở đầu.  2x1    x1 4x  1   2x1. − 2x2 + 2x2 − 10x2 − 14x2. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM). + x3 − x3 + 5x3 + 7x3. − x4 + x4 − 5x4 − 7x4. + x5 − 2x5 + 7x5 + 11x5. Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT. = 1; = 1; = 1; = −1.. 06/04/2010. 43 / 84.

(236) 3. Hệ phương trình tuyến tính. 3.1 Định nghĩa hệ phương trình tuyến tính Định nghĩa. Một hệ phương trình tuyến tính trên R gồm m phương trình, n ẩn số là một hệ có dạng  a11 x1 + a12 x2 + · · · + a1n xn = b1 ;    a21 x1 + a22 x2 + · · · + a2n xn = b2 ; ............................................    am1 x1 + am2 x2 + · · · + amn xn = bm ,. (∗). trong đó. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM). Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT. 06/04/2010. 44 / 84.

(237) 3. Hệ phương trình tuyến tính. 3.1 Định nghĩa hệ phương trình tuyến tính Định nghĩa. Một hệ phương trình tuyến tính trên R gồm m phương trình, n ẩn số là một hệ có dạng  a11 x1 + a12 x2 + · · · + a1n xn = b1 ;    a21 x1 + a22 x2 + · · · + a2n xn = b2 ; ............................................    am1 x1 + am2 x2 + · · · + amn xn = bm ,. (∗). trong đó • aij ∈ R: các hệ số; • bi ∈ R: các hệ số tự do; • x1 , x2 , . . . , xn : các ẩn số nhận giá trị trong R.. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM). Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT. 06/04/2010. 44 / 84.

(238) 3. Hệ phương trình tuyến tính. 3.1 Định nghĩa hệ phương trình tuyến tính Định nghĩa. Một hệ phương trình tuyến tính trên R gồm m phương trình, n ẩn số là một hệ có dạng  a11 x1 + a12 x2 + · · · + a1n xn = b1 ;    a21 x1 + a22 x2 + · · · + a2n xn = b2 ; ............................................    am1 x1 + am2 x2 + · · · + amn xn = bm ,. (∗). trong đó • aij ∈ R: các hệ số; • bi ∈ R: các hệ số tự do; • x1 , x2 , . . . , xn : các ẩn số nhận giá trị trong R. Nếu (*) có các hệ số tự do bằng 0 thì ta nói (*) là hệ phương trình tuyến tính thuần nhất trên R. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM). Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT. 06/04/2010. 44 / 84.

(239) 3. Hệ phương trình tuyến tính. Đặt .  a11 a12 . . . a1n  a21 a22 . . . a2n   A=  .................... , am1 am2 . . . amn. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM). Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT. 06/04/2010. 45 / 84.

(240) 3. Hệ phương trình tuyến tính. Đặt .  a11 a12 . . . a1n  a21 a22 . . . a2n   A=  .................... , am1 am2 . . . amn. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM).    X= . x1 x2 .. ..    , . xn. Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT. 06/04/2010. 45 / 84.

(241) 3. Hệ phương trình tuyến tính. Đặt .  a11 a12 . . . a1n  a21 a22 . . . a2n   A=  .................... , am1 am2 . . . amn. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM).    X= . x1 x2 .. ..    , . xn. Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT.    B= . b1 b2 .. ..    . . bm. 06/04/2010. 45 / 84.

(242) 3. Hệ phương trình tuyến tính. Đặt .  a11 a12 . . . a1n  a21 a22 . . . a2n   A=  .................... , am1 am2 . . . amn.    X= . x1 x2 .. ..    , . xn.    B= . b1 b2 .. ..    . . bm. Ta gọi A là ma trận hệ số, X là cột các ẩn, B là cột các hệ số tự do của hệ (∗). Khi đó hệ (∗) được viết dưới dạng AX = B.. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM). Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT. 06/04/2010. 45 / 84.

(243) 3. Hệ phương trình tuyến tính. Đặt .  a11 a12 . . . a1n  a21 a22 . . . a2n   A=  .................... , am1 am2 . . . amn.    X= . x1 x2 .. ..    , . xn.    B= . b1 b2 .. ..    . . bm. Ta gọi A là ma trận hệ số, X là cột các ẩn, B là cột các hệ số tự do của hệ (∗). Khi đó hệ (∗) được viết dưới dạng AX = B. Đặt   a11 a12 . . . a1n b1  a21 a22 . . . a2n b2   Ã = (A|B) =   .........................  am1 am2 . . . amn bm. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM). Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT. 06/04/2010. 45 / 84.

(244) 3. Hệ phương trình tuyến tính. Đặt .  a11 a12 . . . a1n  a21 a22 . . . a2n   A=  .................... , am1 am2 . . . amn.    X= . x1 x2 .. ..    , . xn.    B= . b1 b2 .. ..    . . bm. Ta gọi A là ma trận hệ số, X là cột các ẩn, B là cột các hệ số tự do của hệ (∗). Khi đó hệ (∗) được viết dưới dạng AX = B. Đặt   a11 a12 . . . a1n b1  a21 a22 . . . a2n b2   Ã = (A|B) =   .........................  am1 am2 . . . amn bm Ã được gọi là ma trận mở rộng (hay ma trận bổ sung) của hệ (∗).. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM). Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT. 06/04/2010. 45 / 84.

(245) 3. Hệ phương trình tuyến tính. 3.2 Nghiệm hệ phương trình tuyến tính Định nghĩa. Ta nói u = (α1 , α2 , . . . , αn ) là nghiệm của hệ phương trình (∗) nếu ta thay thế x1 := α1 , x2 := α2 , . . . xn := αn thì tất cả các phương trình trong (∗) đều thỏa.. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM). Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT. 06/04/2010. 46 / 84.

(246) 3. Hệ phương trình tuyến tính. 3.2 Nghiệm hệ phương trình tuyến tính Định nghĩa. Ta nói u = (α1 , α2 , . . . , αn ) là nghiệm của hệ phương trình (∗) nếu ta thay thế x1 := α1 , x2 := α2 , . . . xn := αn thì tất cả các phương trình trong (∗) đều thỏa. Định nghĩa. Hai hệ phương trình được gọi là tương đương nhau nếu chúng có cùng tập nghiệm.. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM). Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT. 06/04/2010. 46 / 84.

(247) 3. Hệ phương trình tuyến tính. 3.2 Nghiệm hệ phương trình tuyến tính Định nghĩa. Ta nói u = (α1 , α2 , . . . , αn ) là nghiệm của hệ phương trình (∗) nếu ta thay thế x1 := α1 , x2 := α2 , . . . xn := αn thì tất cả các phương trình trong (∗) đều thỏa. Định nghĩa. Hai hệ phương trình được gọi là tương đương nhau nếu chúng có cùng tập nghiệm. Nhận xét. Khi giải một hệ phương trình tuyến tính, các phép biến đổi sau đây cho ta các hệ tương đương:. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM). Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT. 06/04/2010. 46 / 84.

(248) 3. Hệ phương trình tuyến tính. 3.2 Nghiệm hệ phương trình tuyến tính Định nghĩa. Ta nói u = (α1 , α2 , . . . , αn ) là nghiệm của hệ phương trình (∗) nếu ta thay thế x1 := α1 , x2 := α2 , . . . xn := αn thì tất cả các phương trình trong (∗) đều thỏa. Định nghĩa. Hai hệ phương trình được gọi là tương đương nhau nếu chúng có cùng tập nghiệm. Nhận xét. Khi giải một hệ phương trình tuyến tính, các phép biến đổi sau đây cho ta các hệ tương đương: • Hoán đổi hai phương trình cho nhau.. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM). Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT. 06/04/2010. 46 / 84.

(249) 3. Hệ phương trình tuyến tính. 3.2 Nghiệm hệ phương trình tuyến tính Định nghĩa. Ta nói u = (α1 , α2 , . . . , αn ) là nghiệm của hệ phương trình (∗) nếu ta thay thế x1 := α1 , x2 := α2 , . . . xn := αn thì tất cả các phương trình trong (∗) đều thỏa. Định nghĩa. Hai hệ phương trình được gọi là tương đương nhau nếu chúng có cùng tập nghiệm. Nhận xét. Khi giải một hệ phương trình tuyến tính, các phép biến đổi sau đây cho ta các hệ tương đương: • Hoán đổi hai phương trình cho nhau. • Nhân hai vế của một phương trình cho một số khác 0.. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM). Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT. 06/04/2010. 46 / 84.

(250) 3. Hệ phương trình tuyến tính. 3.2 Nghiệm hệ phương trình tuyến tính Định nghĩa. Ta nói u = (α1 , α2 , . . . , αn ) là nghiệm của hệ phương trình (∗) nếu ta thay thế x1 := α1 , x2 := α2 , . . . xn := αn thì tất cả các phương trình trong (∗) đều thỏa. Định nghĩa. Hai hệ phương trình được gọi là tương đương nhau nếu chúng có cùng tập nghiệm. Nhận xét. Khi giải một hệ phương trình tuyến tính, các phép biến đổi sau đây cho ta các hệ tương đương: • Hoán đổi hai phương trình cho nhau. • Nhân hai vế của một phương trình cho một số khác 0. • Cộng vào một phương trình một bội của phương trình khác. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM). Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT. 06/04/2010. 46 / 84.

(251) 3. Hệ phương trình tuyến tính. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM). Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT. 06/04/2010. 47 / 84.

(252) 3. Hệ phương trình tuyến tính. Định lý. Nếu hai hệ phương trình tuyến tính có ma trận mở rộng tương đương dòng với nhau thì hai hệ phương trình đó tương đương nhau.. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM). Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT. 06/04/2010. 47 / 84.

(253) 3. Hệ phương trình tuyến tính. Định lý. Nếu hai hệ phương trình tuyến tính có ma trận mở rộng tương đương dòng với nhau thì hai hệ phương trình đó tương đương nhau. Ví dụ. Giải phương trình   x − y − 2z = −3; 2x − y + z = 1;  x + y + z = 4.. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM). Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT. (1). 06/04/2010. 47 / 84.

(254) 3. Hệ phương trình tuyến tính. Định lý. Nếu hai hệ phương trình tuyến tính có ma trận mở rộng tương đương dòng với nhau thì hai hệ phương trình đó tương đương nhau. Ví dụ. Giải phương trình   x − y − 2z = −3; 2x − y + z = 1;  x + y + z = 4.. (1). Giải. Ã. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM). Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT. 06/04/2010. 47 / 84.

(255) 3. Hệ phương trình tuyến tính. Định lý. Nếu hai hệ phương trình tuyến tính có ma trận mở rộng tương đương dòng với nhau thì hai hệ phương trình đó tương đương nhau. Ví dụ. Giải phương trình   x − 2x −  x +  1 −1 −2 −3 1 1 Giải. Ã =  2 −1 1 1 1 4. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM). y − 2z = −3; y + z = 1; (1) y + z = 4.    1 −1 −2 −3 d2 :=d2 −2d1  −− 1 5 7  −−−−−−→  0 d3 :=d3 −d1 0 2 3 7. Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT. 06/04/2010. 47 / 84.

(256) 3. Hệ phương trình tuyến tính. Định lý. Nếu hai hệ phương trình tuyến tính có ma trận mở rộng tương đương dòng với nhau thì hai hệ phương trình đó tương đương nhau. Ví dụ. Giải phương trình   x − 2x −  x +  1 −1 −2 −3 1 1 Giải. Ã =  2 −1 1 1 1 4. y − 2z = −3; y + z = 1; (1) y + z = 4.    1 −1 −2 −3 d2 :=d2 −2d1  −− 1 5 7  −−−−−−→  0 d3 :=d3 −d1 0 2 3 7. d :=d +d. 1 2 −−− −−1−−− →. d3 :=d3 −2d2. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM). Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT. 06/04/2010. 47 / 84.

(257) 3. Hệ phương trình tuyến tính. Định lý. Nếu hai hệ phương trình tuyến tính có ma trận mở rộng tương đương dòng với nhau thì hai hệ phương trình đó tương đương nhau. Ví dụ. Giải phương trình   x − y − 2z = −3; 2x − y + z = 1; (1)  x + y + z = 4.     1 −1 −2 −3 1 −1 −2 −3 d :=d −2d1  0 1 1  −−2−−−2−−−→ 1 5 7  Giải. Ã =  2 −1 d3 :=d3 −d1 1 1 1 4 0 2 3 7   4 1 0 3 d1 :=d1 +d2  0 1 5 7  −−−−−−−−→ d3 :=d3 −2d2 0 0 −7 −7 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM). Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT. 06/04/2010. 47 / 84.

(258) 3. Hệ phương trình tuyến tính. Định lý. Nếu hai hệ phương trình tuyến tính có ma trận mở rộng tương đương dòng với nhau thì hai hệ phương trình đó tương đương nhau. Ví dụ. Giải phương trình   x − y − 2z = −3; 2x − y + z = 1; (1)  x + y + z = 4.     1 −1 −2 −3 1 −1 −2 −3 d :=d −2d1  0 1 1  −−2−−−2−−−→ 1 5 7  Giải. Ã =  2 −1 d3 :=d3 −d1 1 1 1 4 0 2 3 7   4 1 0 3 d3 := −1 d d1 :=d1 +d2 7 3  0 1 5 7  −−−−−− −−−−−−−−→ −−→ d3 :=d3 −2d2 d1 :=d1 −3d3 0 0 −7 −7 d2 :=d2 −5d3 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM). Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT. 06/04/2010. 47 / 84.

(259) 3. Hệ phương trình tuyến tính. Định lý. Nếu hai hệ phương trình tuyến tính có ma trận mở rộng tương đương dòng với nhau thì hai hệ phương trình đó tương đương nhau. Ví dụ. Giải phương trình   x − y − 2z = −3; 2x − y + z = 1;  x + y + z = 4.    1 −1 −2 −3 1 d :=d −2d1  0 1 1  −−2−−−2−−−→ Giải. Ã =  2 −1 d3 :=d3 −d1 1 1 1 4 0    4 1 0 3 1 d3 := −1 d d1 :=d1 +d2 7 3    0 1 5 7 0 −−−−−−−−→ −−−−−−−−→ d3 :=d3 −2d2 d1 :=d1 −3d3 0 0 −7 −7 0 d2 :=d2 −5d3 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM). Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT. (1)  −1 −2 −3 1 5 7  2 3 7  0 0 1 1 0 2  0 1 1 06/04/2010. 47 / 84.

(260) 3. Hệ phương trình tuyến tính. .  1 0 0 1 Ta có Ã ∼  0 1 0 2  . Suy ra 0 0 1 1. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM). Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT. 06/04/2010. 48 / 84.

(261) 3. Hệ phương trình tuyến tính. .  1 0 0 1 Ta có Ã ∼  0 1 0 2  . Suy ra 0 0 1 1   x + 0y + 0z = 1; 0x + y + 0z = 2; (1) ⇔  0x + 0y + z = 1.. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM). Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT. 06/04/2010. 48 / 84.

(262) 3. Hệ phương trình tuyến tính. .  1 0 0 1 Ta có Ã ∼  0 1 0 2  . Suy ra 0 0 1 1   x 0x (1) ⇔  0x   x y ⇔  z. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM). + 0y + 0z = 1; + y + 0z = 2; + 0y + z = 1. = 1; = 2; = 1.. Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT. 06/04/2010. 48 / 84.

(263) 3. Hệ phương trình tuyến tính. .  1 0 0 1 Ta có Ã ∼  0 1 0 2  . Suy ra 0 0 1 1   x 0x (1) ⇔  0x   x y ⇔  z. + 0y + 0z = 1; + y + 0z = 2; + 0y + z = 1. = 1; = 2; = 1.. Ví dụ. Giải hệ phương trình   x + y − 2z = 4; 2x + 3y + 3z = 3;  5x + 7y + 4z = 10. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM). Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT. (2). 06/04/2010. 48 / 84.

(264) 3. Hệ phương trình tuyến tính. Giải. Ma trận hóa hệ phương trình tuyến tính, ta có   1 1 −2 4 3 3  Ã =  2 3 5 7 4 10. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM). Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT. 06/04/2010. 49 / 84.

(265) 3. Hệ phương trình tuyến tính. Giải. Ma trận hóa hệ phương trình tuyến tính, ta có   1 1 −2 4 3 3  Ã =  2 3 5 7 4 10 d :=d −2d. 1 Ã −−2−−−2−−−→. d3 :=d3 −5d1. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM). Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT. 06/04/2010. 49 / 84.

(266) 3. Hệ phương trình tuyến tính. Giải. Ma trận hóa hệ phương trình tuyến tính, ta có   1 1 −2 4 3 3  Ã =  2 3 5 7 4 10  1 1 −2 4 d :=d −2d1  0 1 7 −5  Ã −−2−−−2−−−→ d3 :=d3 −5d1 0 2 14 −10 . Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM). Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT. 06/04/2010. 49 / 84.

(267) 3. Hệ phương trình tuyến tính. Giải. Ma trận hóa hệ phương trình tuyến tính, ta có   1 1 −2 4 3 3  Ã =  2 3 5 7 4 10  1 1 −2 4 d1 :=d1 −d2 d :=d −2d1  0 1 7 −5  −−− −−−−−→ Ã −−2−−−2−−−→ d3 :=d3 −2d2 d3 :=d3 −5d1 0 2 14 −10 . Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM). Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT. 06/04/2010. 49 / 84.

(268) 3. Hệ phương trình tuyến tính. Giải. Ma trận hóa hệ phương trình tuyến tính, ta có   1 1 −2 4 3 3  Ã =  2 3 5 7 4 10    1 1 −2 4 1 0 −9 9 d1 :=d1 −d2 d :=d −2d1  0 1 7 −5  −−− 7 −5  −−−−−→  0 1 Ã −−2−−−2−−−→ d3 :=d3 −2d2 d3 :=d3 −5d1 0 2 14 −10 0 0 0 0 . Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM). Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT. 06/04/2010. 49 / 84.

(269) 3. Hệ phương trình tuyến tính. Giải. Ma trận hóa hệ phương trình tuyến tính, ta có   1 1 −2 4 3 3  Ã =  2 3 5 7 4 10    1 1 −2 4 1 0 −9 9 d1 :=d1 −d2 d :=d −2d1  0 1 7 −5  −−− 7 −5  −−−−−→  0 1 Ã −−2−−−2−−−→ d3 :=d3 −2d2 d3 :=d3 −5d1 0 2 14 −10 0 0 0 0 . Như vậy, (2) ⇔. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM). x. − 9z = 9; y + 7z = −5.. Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT. 06/04/2010. 49 / 84.

(270) 3. Hệ phương trình tuyến tính. Giải. Ma trận hóa hệ phương trình tuyến tính, ta có   1 1 −2 4 3 3  Ã =  2 3 5 7 4 10    1 1 −2 4 1 0 −9 9 d1 :=d1 −d2 d :=d −2d1  0 1 7 −5  −−− 7 −5  −−−−−→  0 1 Ã −−2−−−2−−−→ d3 :=d3 −2d2 d3 :=d3 −5d1 0 2 14 −10 0 0 0 0 . Như vậy, (2) ⇔. x. − 9z = 9; y + 7z = −5.. Như vậy nghiệm của (2) là   x = 9 + 9t; y = −5 − 7t;  z = t. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM). Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT. 06/04/2010. 49 / 84.

(271) 3. Hệ phương trình tuyến tính. Ví dụ. Giải hệ phương trình   x + y − 2z = 4; 2x + 3y + 3z = 3;  5x + 7y + 4z = 5.. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM). Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT. (3). 06/04/2010. 50 / 84.

(272) 3. Hệ phương trình tuyến tính. Ví dụ. Giải hệ phương trình   x + y − 2z = 4; 2x + 3y + 3z = 3;  5x + 7y + 4z = 5. Giải. Ma trận hóa hệ phương trình tuyến  1 1 −2 3 Ã =  2 3 5 7 4. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM). (3). tính, ta có  4 3  5. Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT. 06/04/2010. 50 / 84.

(273) 3. Hệ phương trình tuyến tính. Ví dụ. Giải hệ phương trình   x + y − 2z = 4; 2x + 3y + 3z = 3;  5x + 7y + 4z = 5. Giải. Ma trận hóa hệ phương trình tuyến  1 1 −2 3 Ã =  2 3 5 7 4. (3). tính, ta có  4 3  5. d :=d −2d. 1 Ã −−2−−−2−−−→. d3 :=d3 −5d1. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM). Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT. 06/04/2010. 50 / 84.

(274) 3. Hệ phương trình tuyến tính. Ví dụ. Giải hệ phương trình   x + y − 2z = 4; 2x + 3y + 3z = 3;  5x + 7y + 4z = 5. Giải. Ma trận hóa hệ phương trình tuyến  1 1 −2 3 Ã =  2 3 5 7 4. (3). tính, ta có  4 3  5. .  1 1 −2 4 d :=d −2d1  0 1 7 −5  Ã −−2−−−2−−−→ d3 :=d3 −5d1 0 2 14 −15. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM). Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT. 06/04/2010. 50 / 84.

(275) 3. Hệ phương trình tuyến tính. Ví dụ. Giải hệ phương trình   x + y − 2z = 4; 2x + 3y + 3z = 3;  5x + 7y + 4z = 5. Giải. Ma trận hóa hệ phương trình tuyến  1 1 −2 3 Ã =  2 3 5 7 4. (3). tính, ta có  4 3  5. .  1 1 −2 4 d1 :=d1 −d2 d :=d −2d1  0 1 7 −5  −−− −−−−−→ Ã −−2−−−2−−−→ d3 :=d3 −2d2 d3 :=d3 −5d1 0 2 14 −15. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM). Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT. 06/04/2010. 50 / 84.

(276) 3. Hệ phương trình tuyến tính. Ví dụ. Giải hệ phương trình   x + y − 2z = 4; 2x + 3y + 3z = 3;  5x + 7y + 4z = 5. Giải. Ma trận hóa hệ phương trình tuyến  1 1 −2 3 Ã =  2 3 5 7 4. (3). tính, ta có  4 3  5. .    1 1 −2 1 0 −9 4 9 d1 :=d1 −d2 d :=d −2d1  0 1 7 −5  −−− 7 −5  −−−−−→  0 1 Ã −−2−−−2−−−→ d3 :=d3 −2d2 d3 :=d3 −5d1 0 2 14 −15 0 0 0 −5. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM). Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT. 06/04/2010. 50 / 84.

(277) 3. Hệ phương trình tuyến tính. Ví dụ. Giải hệ phương trình   x + y − 2z = 4; 2x + 3y + 3z = 3;  5x + 7y + 4z = 5. Giải. Ma trận hóa hệ phương trình tuyến  1 1 −2 3 Ã =  2 3 5 7 4. (3). tính, ta có  4 3  5. .    1 1 −2 1 0 −9 4 9 d1 :=d1 −d2 d :=d −2d1  0 1 7 −5  −−− 7 −5  −−−−−→  0 1 Ã −−2−−−2−−−→ d3 :=d3 −2d2 d3 :=d3 −5d1 0 2 14 −15 0 0 0 −5 Hệ (3) vô nghiệm vì 0x + 0y + 0z = −5. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM). Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT. Tiếp tục Gauss-Jordan. 06/04/2010. 50 / 84.

(278) 3. Hệ phương trình tuyến tính. Nhận xét. Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất  a11 x1 + a12 x2 + · · · + a1n xn = 0;    a21 x1 + a22 x2 + · · · + a2n xn = 0;  ...........................................   am1 x1 + am2 x2 + · · · + amn xn = 0, luôn có một nghiệm u = (0, 0, . . . , 0). Nghiệm này được gọi là nghiệm tầm thường.. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM). Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT. 06/04/2010. 51 / 84.

(279) 3. Hệ phương trình tuyến tính. Nhận xét. Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất  a11 x1 + a12 x2 + · · · + a1n xn = 0;    a21 x1 + a22 x2 + · · · + a2n xn = 0;  ...........................................   am1 x1 + am2 x2 + · · · + amn xn = 0, luôn có một nghiệm u = (0, 0, . . . , 0). Nghiệm này được gọi là nghiệm tầm thường. Định lý. Nghiệm của phương trình tuyến tính chỉ có 3 trường hợp sau:. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM). Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT. 06/04/2010. 51 / 84.

(280) 3. Hệ phương trình tuyến tính. Nhận xét. Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất  a11 x1 + a12 x2 + · · · + a1n xn = 0;    a21 x1 + a22 x2 + · · · + a2n xn = 0;  ...........................................   am1 x1 + am2 x2 + · · · + amn xn = 0, luôn có một nghiệm u = (0, 0, . . . , 0). Nghiệm này được gọi là nghiệm tầm thường. Định lý. Nghiệm của phương trình tuyến tính chỉ có 3 trường hợp sau: • Vô nghiệm;. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM). Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT. 06/04/2010. 51 / 84.

(281) 3. Hệ phương trình tuyến tính. Nhận xét. Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất  a11 x1 + a12 x2 + · · · + a1n xn = 0;    a21 x1 + a22 x2 + · · · + a2n xn = 0;  ...........................................   am1 x1 + am2 x2 + · · · + amn xn = 0, luôn có một nghiệm u = (0, 0, . . . , 0). Nghiệm này được gọi là nghiệm tầm thường. Định lý. Nghiệm của phương trình tuyến tính chỉ có 3 trường hợp sau: • Vô nghiệm; • Duy nhất một nghiệm;. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM). Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT. 06/04/2010. 51 / 84.

(282) 3. Hệ phương trình tuyến tính. Nhận xét. Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất  a11 x1 + a12 x2 + · · · + a1n xn = 0;    a21 x1 + a22 x2 + · · · + a2n xn = 0;  ...........................................   am1 x1 + am2 x2 + · · · + amn xn = 0, luôn có một nghiệm u = (0, 0, . . . , 0). Nghiệm này được gọi là nghiệm tầm thường. Định lý. Nghiệm của phương trình tuyến tính chỉ có 3 trường hợp sau: • Vô nghiệm; • Duy nhất một nghiệm; • Vô số nghiệm. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM). Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT. 06/04/2010. 51 / 84.

(283) 3. Hệ phương trình tuyến tính. 3.3 Giải hệ phương trình tuyến tính Có 2 phương pháp • Gauss • Gauss - Jordan. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM). Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT. 06/04/2010. 52 / 84.

(284) 3. Hệ phương trình tuyến tính. 3.3 Giải hệ phương trình tuyến tính Có 2 phương pháp • Gauss • Gauss - Jordan Phương pháp Gauss. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM). Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT. 06/04/2010. 52 / 84.

(285) 3. Hệ phương trình tuyến tính. 3.3 Giải hệ phương trình tuyến tính Có 2 phương pháp • Gauss • Gauss - Jordan Phương pháp Gauss Bước 1. Lập ma trận mở rộng Ã = (A|B).. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM). Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT. 06/04/2010. 52 / 84.

(286) 3. Hệ phương trình tuyến tính. 3.3 Giải hệ phương trình tuyến tính Có 2 phương pháp • Gauss • Gauss - Jordan Phương pháp Gauss Bước 1. Lập ma trận mở rộng Ã = (A|B). Bước 2. Đưa ma trận Ã về dạng bậc thang R.. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM). Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT. 06/04/2010. 52 / 84.

(287) 3. Hệ phương trình tuyến tính. 3.3 Giải hệ phương trình tuyến tính Có 2 phương pháp • Gauss • Gauss - Jordan Phương pháp Gauss Bước 1. Lập ma trận mở rộng Ã = (A|B). Bước 2. Đưa ma trận Ã về dạng bậc thang R. Bước 3. Tùy theo trường hợp dạng bậc thang R mà ta kết luận nghiệm. Cụ thể:. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM). Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT. 06/04/2010. 52 / 84.

(288) 3. Hệ phương trình tuyến tính. 3.3 Giải hệ phương trình tuyến tính Có 2 phương pháp • Gauss • Gauss - Jordan Phương pháp Gauss Bước 1. Lập ma trận mở rộng Ã = (A|B). Bước 2. Đưa ma trận Ã về dạng bậc thang R. Bước 3. Tùy theo trường hợp dạng bậc thang R mà ta kết luận nghiệm. Cụ thể:. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM). Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT. 06/04/2010. 52 / 84.

(289) 3. Hệ phương trình tuyến tính. 3.3 Giải hệ phương trình tuyến tính Có 2 phương pháp • Gauss • Gauss - Jordan Phương pháp Gauss Bước 1. Lập ma trận mở rộng Ã = (A|B). Bước 2. Đưa ma trận Ã về dạng bậc thang R. Bước 3. Tùy theo trường hợp dạng bậc thang R mà ta kết luận nghiệm. Cụ thể: - Trường hợp 1. Ma trận R có một dòng là (0 0 0 0 . . . 0 0| = 6 0). Kết luận hệ phương trình vô nghiệm. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM). Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT. 06/04/2010. 52 / 84.

(290) 3. Hệ phương trình tuyến tính. - Trường hợp 2. Ma trận R có dạng  c11 c12 . . . c1n  0 c22 . . . c2n   ..................   0 0 . . . cnn   0 0 ... 0   .................. 0 0 ... 0. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM). α1 α2 ... αn 0 ... 0. Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT.      .    . 06/04/2010. 53 / 84.

(291) 3. Hệ phương trình tuyến tính. - Trường hợp 2. Ma trận R có dạng  c11 c12 . . . c1n  0 c22 . . . c2n   ..................   0 0 . . . cnn   0 0 ... 0   .................. 0 0 ... 0. α1 α2 ... αn 0 ... 0.      .    . Khi đó hệ phương trình có nghiệm duy nhất. Việc tính nghiệm được thực hiện từ dưới lên trên.. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM). Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT. 06/04/2010. 53 / 84.

(292) 3. Hệ phương trình tuyến tính. - Trường hợp 2. Ma trận R có dạng  c11 c12 . . . c1n  0 c22 . . . c2n   ..................   0 0 . . . cnn   0 0 ... 0   .................. 0 0 ... 0. α1 α2 ... αn 0 ... 0.      .    . Khi đó hệ phương trình có nghiệm duy nhất. Việc tính nghiệm được thực hiện từ dưới lên trên. - Trường hợp 3. Khác 2 trường hợp trên, khi đó hệ có vô số nghiệm, và:. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM). Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT. 06/04/2010. 53 / 84.

(293) 3. Hệ phương trình tuyến tính. - Trường hợp 2. Ma trận R có dạng  c11 c12 . . . c1n  0 c22 . . . c2n   ..................   0 0 . . . cnn   0 0 ... 0   .................. 0 0 ... 0. α1 α2 ... αn 0 ... 0.      .    . Khi đó hệ phương trình có nghiệm duy nhất. Việc tính nghiệm được thực hiện từ dưới lên trên. - Trường hợp 3. Khác 2 trường hợp trên, khi đó hệ có vô số nghiệm, và: • Ẩn tương ứng với các cột không có phần tử cơ sở sẽ là ẩn tự do (lấy giá trị tùy ý).. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM). Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT. 06/04/2010. 53 / 84.

(294) 3. Hệ phương trình tuyến tính. - Trường hợp 2. Ma trận R có dạng  c11 c12 . . . c1n  0 c22 . . . c2n   ..................   0 0 . . . cnn   0 0 ... 0   .................. 0 0 ... 0. α1 α2 ... αn 0 ... 0.      .    . Khi đó hệ phương trình có nghiệm duy nhất. Việc tính nghiệm được thực hiện từ dưới lên trên. - Trường hợp 3. Khác 2 trường hợp trên, khi đó hệ có vô số nghiệm, và: • Ẩn tương ứng với các cột không có phần tử cơ sở sẽ là ẩn tự do (lấy giá trị tùy ý). • Ẩn tương ứng với cột có phần tử cơ sở sẽ được tính từ dưới lên trên và theo các ẩn tự do. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM). Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT. 06/04/2010. 53 / 84.

(295) 3. Hệ phương trình tuyến tính. Ví dụ. Giải hệ phương trình  x1 + 2x2    x2 + 2x1 3x1 + 2x2    4x1 + 3x2. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM). sau: + + + +. 3x3 2x3 2x4 2x3. + 4x4 + 3x4 + x3 + x4. Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT. = 7; = 6; = 7; = 18,. 06/04/2010. 54 / 84.

(296) 3. Hệ phương trình tuyến tính. Ví dụ. Giải hệ phương trình  x1 + 2x2    x2 + 2x1 3x1 + 2x2    4x1 + 3x2. sau: + + + +. 3x3 2x3 2x4 2x3. + 4x4 + 3x4 + x3 + x4. = 7; = 6; = 7; = 18,. Giải. Ta có. Ã = (A|B). Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM). Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT. 06/04/2010. 54 / 84.

(297) 3. Hệ phương trình tuyến tính. Ví dụ. Giải hệ phương trình  x1 + 2x2    x2 + 2x1 3x1 + 2x2    4x1 + 3x2. sau: + + + +. 3x3 2x3 2x4 2x3. + 4x4 + 3x4 + x3 + x4. 2 1 2 3. 4 3 2 1. = 7; = 6; = 7; = 18,. Giải. Ta có . 1  2 Ã = (A|B) =   3 4. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM). 3 2 1 2.  7 6   7  18. Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT. 06/04/2010. 54 / 84.

(298) 3. Hệ phương trình tuyến tính. Ví dụ. Giải hệ phương trình  x1 + 2x2    x2 + 2x1 3x1 + 2x2    4x1 + 3x2. sau: + + + +. 3x3 2x3 2x4 2x3. + 4x4 + 3x4 + x3 + x4. 2 1 2 3. 4 3 2 1. = 7; = 6; = 7; = 18,. Giải. Ta có . 1  2 Ã = (A|B) =   3 4. 3 2 1 2.  7 6   7  18. d2 :=d2 −2d1 d :=d −3d. 1 −−3−−−3−−−→. d4 :=d4 −4d1. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM). Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT. 06/04/2010. 54 / 84.

(299) 3. Hệ phương trình tuyến tính. Ví dụ. Giải hệ phương trình  x1 + 2x2    x2 + 2x1 3x1 + 2x2    4x1 + 3x2. sau: + + + +. 3x3 2x3 2x4 2x3. + 4x4 + 3x4 + x3 + x4. 2 1 2 3. 4 3 2 1. = 7; = 6; = 7; = 18,. Giải. Ta có . 1  2 Ã = (A|B) =   3 4  1 d2 :=d2 −2d1  d :=d −3d1  0 −−3−−−3−−−→  0 d4 :=d4 −4d1 0 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM). 3 2 1 2.  7 6   7  18. 2 3 4 −3 −4 −5 −4 −8 −10 −5 −10 −15. Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT.  7 −8   −14  −10 06/04/2010. 54 / 84.

(300) 3. Hệ phương trình tuyến tính.  d2 :=d2 −2d1 d3 :=d3 −3d1. −−−−−−−−→ d4 :=d4 −4d1. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM). 1 2 3 4  0 −3 −4 −5   0 −4 −8 −10 0 −5 −10 −15. Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT.  7 −8   −14  −10. 06/04/2010. 55 / 84.

(301) 3. Hệ phương trình tuyến tính.  d2 :=d2 −2d1 d3 :=d3 −3d1. −−−−−−−−→ d4 :=d4 −4d1. 1 2 3 4  0 −3 −4 −5   0 −4 −8 −10 0 −5 −10 −15.  7 −8   −14  −10. d :=d −d. 2 3 −−2−−− −−→. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM). Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT. 06/04/2010. 55 / 84.

(302) 3. Hệ phương trình tuyến tính.  d2 :=d2 −2d1 d3 :=d3 −3d1. −−−−−−−−→ d4 :=d4 −4d1. d2 :=d2 −d3. −−−−−−−→. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM). 1 2 3  0 −3 −4   0 −4 −8 0 −5 −10  1 2 3  0 1 4   0 −4 −8 0 −5 −10. 4 −5 −10 −15 4 5 −10 −15. Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT.  7 −8   −14  −10  7 6   −14  −10. 06/04/2010. 55 / 84.

(303) 3. Hệ phương trình tuyến tính.  d2 :=d2 −2d1 d3 :=d3 −3d1. −−−−−−−−→ d4 :=d4 −4d1. d2 :=d2 −d3. −−−−−−−→. 1 2 3  0 −3 −4   0 −4 −8 0 −5 −10  1 2 3  0 1 4   0 −4 −8 0 −5 −10. 4 −5 −10 −15 4 5 −10 −15.  7 −8   −14  −10  7 6   −14  −10. d :=d +4d. 2 −−3−−−3−−−→. d4 :=d4 +5d2. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM). Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT. 06/04/2010. 55 / 84.

(304) 3. Hệ phương trình tuyến tính.  d2 :=d2 −2d1 d3 :=d3 −3d1. −−−−−−−−→ d4 :=d4 −4d1. d2 :=d2 −d3. −−−−−−−→. d :=d +4d. 2 −−3−−−3−−−→. d4 :=d4 +5d2. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM). 1 2 3  0 −3 −4   0 −4 −8 0 −5 −10  1 2 3  0 1 4   0 −4 −8 0 −5 −10  1 2 3 4  0 1 4 5   0 0 8 10 0 0 10 10. 4 −5 −10 −15 4 5 −10 −15. Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT.  7 −8   −14  −10  7 6   −14  −10.  7 6   10  20. 06/04/2010. 55 / 84.

(305) 3. Hệ phương trình tuyến tính. . 1  0   0 0. 2 3 4 1 4 5 0 8 10 0 10 10. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM).  7 6   10  20. Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT. 06/04/2010. 56 / 84.

(306) 3. Hệ phương trình tuyến tính. . 1  0   0 0. 2 3 4 1 4 5 0 8 10 0 10 10. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM).  7 6   10  20. d ↔d. −−−3−−−4−→ 1 d3 := 10 d3. Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT. 06/04/2010. 56 / 84.

(307) 3. Hệ phương trình tuyến tính. . 1  0   0 0. 2 3 4 1 4 5 0 8 10 0 10 10. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM).  7 6   10  20.  d ↔d. −−−3−−−4−→ 1 d3 := 10 d3. 1  0   0 0. Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT. 2 1 0 0. 3 4 4 5 1 1 8 10.  7 6   2  10. 06/04/2010. 56 / 84.

(308) 3. Hệ phương trình tuyến tính. . 1  0   0 0. 2 3 4 1 4 5 0 8 10 0 10 10.  7 6   10  20.  d ↔d. −−−3−−−4−→ 1 d3 := 10 d3. 1  0   0 0. 2 1 0 0. 3 4 4 5 1 1 8 10.  7 6   2  10. d :=d −8d. 3 −−4−−−4−−−→. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM). Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT. 06/04/2010. 56 / 84.

(309) 3. Hệ phương trình tuyến tính. . 1  0   0 0. 2 3 4 1 4 5 0 8 10 0 10 10.  7 6   10  20. . d ↔d. −−−3−−−4−→ 1 d3 := 10 d3. d4 :=d4 −8d3. −−−−−−−−→. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM). 1  0   0 0  1  0   0 0. Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT. 2 1 0 0. 3 4 4 5 1 1 8 10. 2 1 0 0. 3 4 1 0. 4 5 1 2.  7 6   2  10  7 6   2  −6. 06/04/2010. 56 / 84.

(310) 3. Hệ phương trình tuyến tính. . 1  0   0 0. 2 3 4 1 4 5 0 8 10 0 10 10.  7 6   10  20. . d ↔d. −−−3−−−4−→ 1 d3 := 10 d3. d4 :=d4 −8d3. −−−−−−−−→. 1  0   0 0  1  0   0 0. 2 1 0 0. 3 4 4 5 1 1 8 10. 2 1 0 0. 3 4 1 0. 4 5 1 2.  7 6   2  10  7 6   2  −6. Vậy hệ đã cho tương đương với hệ sau:  x1 + 2x2 + 3x3 + 4x4 = 7;    x2 + 4x3 + 5x4 = 6; x3 + x4 = 2;    2x4 = −6 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM). Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT. 06/04/2010. 56 / 84.

(311) 3. Hệ phương trình tuyến tính. . 1  0   0 0. 2 3 4 1 4 5 0 8 10 0 10 10.  7 6   10  20. . d ↔d. −−−3−−−4−→ 1 d3 := 10 d3. d4 :=d4 −8d3. −−−−−−−−→. 1  0   0 0  1  0   0 0. Vậy hệ đã cho tương đương với hệ sau:  x1 + 2x2 + 3x3 + 4x4 = 7;    x2 + 4x3 + 5x4 = 6; x3 + x4 = 2;    2x4 = −6 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM). Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT. 2 1 0 0. 3 4 4 5 1 1 8 10. 2 1 0 0. 3 4 1 0. 4 5 1 2.  x1    x2 ⇔ x    3 x4.  7 6   2  10  7 6   2  −6. = 2; = 1; = 5; = −3.. 06/04/2010. 56 / 84.

(312) 3. Hệ phương trình tuyến tính. Ví dụ. Giải hệ phương trình sau:    x1 + 2x2 − 3x3  x1 + 3x2 − 13x3 3x x3  1 + 5x2 +   2x1 + 3x2 + 4x3. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM). + 5x4 + 22x4 − 2x4 − 7x4. Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT. = 1; = −1; = 5; = 4,. 06/04/2010. 57 / 84.

(313) 3. Hệ phương trình tuyến tính. Ví dụ. Giải hệ phương trình sau:    x1 + 2x2 − 3x3  x1 + 3x2 − 13x3 3x x3  1 + 5x2 +   2x1 + 3x2 + 4x3. + 5x4 + 22x4 − 2x4 − 7x4. = 1; = −1; = 5; = 4,. Giải. Ta có. Ã = (A|B). Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM). Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT. 06/04/2010. 57 / 84.

(314) 3. Hệ phương trình tuyến tính. Ví dụ. Giải hệ phương trình sau:    x1 + 2x2 − 3x3  x1 + 3x2 − 13x3 3x x3  1 + 5x2 +   2x1 + 3x2 + 4x3. + 5x4 + 22x4 − 2x4 − 7x4. = 1; = −1; = 5; = 4,. Giải. Ta có . 1  1 Ã = (A|B) =   3 2. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM). 2 −3 5 3 −13 22 5 1 −2 3 4 −7. Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT.  1 −1   5  4. 06/04/2010. 57 / 84.

(315) 3. Hệ phương trình tuyến tính. Ví dụ. Giải hệ phương trình sau:    x1 + 2x2 − 3x3  x1 + 3x2 − 13x3 3x x3  1 + 5x2 +   2x1 + 3x2 + 4x3. + 5x4 + 22x4 − 2x4 − 7x4. = 1; = −1; = 5; = 4,. Giải. Ta có . 1  1 Ã = (A|B) =   3 2. 2 −3 5 3 −13 22 5 1 −2 3 4 −7.  1 −1   5  4. d2 :=d2 −d1 d :=d −3d. 1 −−3−−−3−−−→. d4 :=d4 −2d1. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM). Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT. 06/04/2010. 57 / 84.

(316) 3. Hệ phương trình tuyến tính. Ví dụ. Giải hệ phương trình sau:    x1 + 2x2 − 3x3  x1 + 3x2 − 13x3 3x x3  1 + 5x2 +   2x1 + 3x2 + 4x3. + 5x4 + 22x4 − 2x4 − 7x4. = 1; = −1; = 5; = 4,. Giải. Ta có . 1  1 Ã = (A|B) =   3 2  1 d2 :=d2 −d1  d :=d −3d1  0 −−3−−−3−−−→  0 d4 :=d4 −2d1 0 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM). 2 −3 5 3 −13 22 5 1 −2 3 4 −7 2 −3 5 1 −10 17 −1 10 −17 −1 10 −17. Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT.  1 −1   5  4  1 −2   2  2 06/04/2010. 57 / 84.

(317) 3. Hệ phương trình tuyến tính. . 1 2 −3 5  0 1 −10 17   0 −1 10 −17 0 −1 10 −17. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM). Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT.  1 −2   2  2. 06/04/2010. 58 / 84.

(318) 3. Hệ phương trình tuyến tính. . 1 2 −3 5  0 1 −10 17   0 −1 10 −17 0 −1 10 −17.  1 −2   2  2. d :=d +d. 3 2 −−3−−− −−→. d4 :=d4 +d2. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM). Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT. 06/04/2010. 58 / 84.

(319) 3. Hệ phương trình tuyến tính.  1 1 2 −3 5  0 1 −10 17 −2     0 −1 2  10 −17 2 0 −1 10 −17   1 1 2 −3 5  0 1 −10 17 −2  .   0 0 0  0 0 0 0 0 0 0 . d :=d +d. 3 2 −−3−−− −−→. d4 :=d4 +d2. Vậy hệ đã cho tương đương với hệ sau: x1 + 2x2 − 3x3 + 5x4 = 1; x2 − 10x3 + 17x4 = −2.. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM). Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT. 06/04/2010. 58 / 84.

(320) 3. Hệ phương trình tuyến tính.  1 1 2 −3 5  0 1 −10 17 −2     0 −1 2  10 −17 2 0 −1 10 −17   1 1 2 −3 5  0 1 −10 17 −2  .   0 0 0  0 0 0 0 0 0 0 . d :=d +d. 3 2 −−3−−− −−→. d4 :=d4 +d2. Vậy hệ đã cho tương đương với hệ sau: x1 + 2x2 − 3x3 + 5x4 = 1; x2 − 10x3 + 17x4 = −2. Chọn x3 = t, x4 = s, ta tính được x2 = −2 + 10x3 − 17x4 = −2 + 10t − 17s; x1 = 1 − 2x2 + 3x3 − 5x4 = 5 − 17t + 29s. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM). Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT. 06/04/2010. 58 / 84.

(321) 3. Hệ phương trình tuyến tính.  1 1 2 −3 5  0 1 −10 17 −2     0 −1 2  10 −17 2 0 −1 10 −17   1 1 2 −3 5  0 1 −10 17 −2  .   0 0 0  0 0 0 0 0 0 0 . d :=d +d. 3 2 −−3−−− −−→. d4 :=d4 +d2. Vậy hệ đã cho tương đương với hệ sau: x1 + 2x2 − 3x3 + 5x4 = 1; x2 − 10x3 + 17x4 = −2. Chọn x3 = t, x4 = s, ta tính được x2 = −2 + 10x3 − 17x4 = −2 + 10t − 17s; x1 = 1 − 2x2 + 3x3 − 5x4 = 5 − 17t + 29s. Vậy hệ đã cho có vô số nghiệm với hai ẩn tự do Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM). Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT. 06/04/2010. 58 / 84.

(322) 3. Hệ phương trình tuyến tính. Ví dụ. Giải hệ phương trình sau:  x1 − 2x2 + 3x3 − 4x4    3x1 + 3x2 − 5x3 + x4 −2x + x + 2x − 3x  1 2 3 4   3x1 + 3x3 − 10x4. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM). = 2; = −3; = 5; = 8.. Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT. 06/04/2010. 59 / 84.

(323) 3. Hệ phương trình tuyến tính. Ví dụ. Giải hệ phương trình sau:  x1 − 2x2 + 3x3 − 4x4    3x1 + 3x2 − 5x3 + x4 −2x + x + 2x − 3x  1 2 3 4   3x1 + 3x3 − 10x4. = 2; = −3; = 5; = 8.. Giải. Ta có. Ã = (A|B). Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM). Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT. 06/04/2010. 59 / 84.

(324) 3. Hệ phương trình tuyến tính. Ví dụ. Giải hệ phương trình sau:  x1 − 2x2 + 3x3 − 4x4    3x1 + 3x2 − 5x3 + x4 −2x + x + 2x − 3x  1 2 3 4   3x1 + 3x3 − 10x4. = 2; = −3; = 5; = 8.. Giải. Ta có . 1 −2 3 −4  3 3 −5 1 Ã = (A|B) =   −2 1 2 −3 3 0 3 −10. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM). Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT.  2 −3   5  8. 06/04/2010. 59 / 84.

(325) 3. Hệ phương trình tuyến tính. Ví dụ. Giải hệ phương trình sau:  x1 − 2x2 + 3x3 − 4x4    3x1 + 3x2 − 5x3 + x4 −2x + x + 2x − 3x  1 2 3 4   3x1 + 3x3 − 10x4. = 2; = −3; = 5; = 8.. Giải. Ta có . 1 −2 3 −4  3 3 −5 1 Ã = (A|B) =   −2 1 2 −3 3 0 3 −10.  2 −3   5  8. d2 :=d2 −3d1 d3 :=d3 +2d1. −−−−−−−−→ d4 :=d4 −3d1. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM). Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT. 06/04/2010. 59 / 84.

(326) 3. Hệ phương trình tuyến tính. Ví dụ. Giải hệ phương trình sau:  x1 − 2x2 + 3x3 − 4x4    3x1 + 3x2 − 5x3 + x4 −2x + x + 2x − 3x  1 2 3 4   3x1 + 3x3 − 10x4. = 2; = −3; = 5; = 8.. Giải. Ta có . 1 −2 3 −4  3 3 −5 1 Ã = (A|B) =   −2 1 2 −3 3 0 3 −10  1 −2 3 −4 d2 :=d2 −3d1  0 9 −14 13 d :=d +2d1  −−3−−−3−−−→  0 −3 8 −11 d4 :=d4 −3d1 0 6 −6 2 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM). Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT.  2 −3   5  8  2 −9   9  2 06/04/2010. 59 / 84.

(327) 3. Hệ phương trình tuyến tính. . 1 −2 3 −4  0 9 −14 13   0 −3 8 −11 0 6 −6 2. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM). Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT.  2 −9   9  2. 06/04/2010. 60 / 84.

(328) 3. Hệ phương trình tuyến tính. . 1 −2 3 −4  0 9 −14 13   0 −3 8 −11 0 6 −6 2.  2 −9   9  2. d ↔d. −−−2−−−3−→. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM). Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT. 06/04/2010. 60 / 84.

(329) 3. Hệ phương trình tuyến tính. . d ↔d. −−−2−−−3−→. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM). 1 −2 3 −4  0 9 −14 13   0 −3 8 −11 0 6 −6 2  1 −2 3 −4  0 −3 8 −11   0 9 −14 13 0 6 −6 2. Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT.  2 −9   9  2  2 9   −9  2. 06/04/2010. 60 / 84.

(330) 3. Hệ phương trình tuyến tính. . d ↔d. −−−2−−−3−→. 1 −2 3 −4  0 9 −14 13   0 −3 8 −11 0 6 −6 2  1 −2 3 −4  0 −3 8 −11   0 9 −14 13 0 6 −6 2.  2 −9   9  2  2 9   −9  2. d :=d +3d. 2 −−3−−−3−−−→. d4 :=d4 +2d2. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM). Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT. 06/04/2010. 60 / 84.

(331) 3. Hệ phương trình tuyến tính.  2 1 −2 3 −4  0 9 −14 13 −9     0 −3 9  8 −11 2 0 6 −6 2   2 1 −2 3 −4  0 −3 9  8 −11 d ↔d  −−−2−−−3−→   0 9 −14 13 −9  2 0 6 −6 2   1 −2 3 −4 2  0 −3 8 −11 9  d :=d +3d2   −−3−−−3−−−→  0 0 10 −20 18  d4 :=d4 +2d2 0 0 10 −20 20 . Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM). Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT. 06/04/2010. 60 / 84.

(332) 3. Hệ phương trình tuyến tính.  2 1 −2 3 −4  0 9 −14 13 −9     0 −3 9  8 −11 2 0 6 −6 2   2 1 −2 3 −4  0 −3 9  8 −11 d ↔d  −−−2−−−3−→   0 9 −14 13 −9  2 0 6 −6 2   1 −2 3 −4 2  0 −3 8 −11 9  d :=d +3d2   −−3−−−3−−−→  0 0 10 −20 18  d4 :=d4 +2d2 0 0 10 −20 20 . d : =d −d. 4 3 −− −−−4−−→. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM). Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT. 06/04/2010. 60 / 84.

(333) 3. Hệ phương trình tuyến tính.  2 1 −2 3 −4  0 9 −14 13 −9     0 −3 9  8 −11 2 0 6 −6 2   2 1 −2 3 −4  0 −3 9  8 −11 d ↔d  −−−2−−−3−→   0 9 −14 13 −9  2 0 6 −6 2   1 −2 3 −4 2  0 −3 8 −11 9  d :=d +3d2   −−3−−−3−−−→  0 0 10 −20 18  d4 :=d4 +2d2 0 0 10 −20 20   1 −2 3 −4 2  0 −3 8 −11 9  d4 : =d4 −d3 . −− −−−−−→   0 0 10 −20 18  0 0 0 0 2 . Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM). Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT. 06/04/2010. 60 / 84.

(334) 3. Hệ phương trình tuyến tính. . 1 −2 3 −4  0 −3 8 −11   0 0 10 −20 0 0 0 0. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM).  2 9   18  2. Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT. 06/04/2010. 61 / 84.

(335) 3. Hệ phương trình tuyến tính. . 1 −2 3 −4  0 −3 8 −11   0 0 10 −20 0 0 0 0.  2 9   18  2. Vậy hệ đã cho tương đương với hệ sau:    x1 − 2x2 + 3x3 − 4x4  − 3x2 + 8x3 − 11x4 10x3 − 20x4    0. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM). Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT. = 2; = 9; = 18; = 2.. 06/04/2010. 61 / 84.

(336) 3. Hệ phương trình tuyến tính. . 1 −2 3 −4  0 −3 8 −11   0 0 10 −20 0 0 0 0.  2 9   18  2. Vậy hệ đã cho tương đương với hệ sau:    x1 − 2x2 + 3x3 − 4x4  − 3x2 + 8x3 − 11x4 10x3 − 20x4    0. = 2; = 9; = 18; = 2.. Hệ này vô nghiệm. Do đó hệ đã cho cũng vô nghiệm.. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM). Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT. 06/04/2010. 61 / 84.

(337) 3. Hệ phương trình tuyến tính. Phương pháp Gauss - Jordan. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM). Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT. 06/04/2010. 62 / 84.

(338) 3. Hệ phương trình tuyến tính. Phương pháp Gauss - Jordan Bước 1. Lập ma trận mở rộng Ã = (A|B).. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM). Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT. 06/04/2010. 62 / 84.

(339) 3. Hệ phương trình tuyến tính. Phương pháp Gauss - Jordan Bước 1. Lập ma trận mở rộng Ã = (A|B). Bước 2. Đưa ma trận Ã về dạng bậc thang rút gọn RA .. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM). Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT. 06/04/2010. 62 / 84.

(340) 3. Hệ phương trình tuyến tính. Phương pháp Gauss - Jordan Bước 1. Lập ma trận mở rộng Ã = (A|B). Bước 2. Đưa ma trận Ã về dạng bậc thang rút gọn RA . Bước 3. Tùy theo trường hợp dạng bậc thang rút gọn RA mà ta kết luận nghiệm. Cu thể:. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM). Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT. 06/04/2010. 62 / 84.

(341) 3. Hệ phương trình tuyến tính. Phương pháp Gauss - Jordan Bước 1. Lập ma trận mở rộng Ã = (A|B). Bước 2. Đưa ma trận Ã về dạng bậc thang rút gọn RA . Bước 3. Tùy theo trường hợp dạng bậc thang rút gọn RA mà ta kết luận nghiệm. Cu thể:. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM). Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT. 06/04/2010. 62 / 84.

(342) 3. Hệ phương trình tuyến tính. Phương pháp Gauss - Jordan Bước 1. Lập ma trận mở rộng Ã = (A|B). Bước 2. Đưa ma trận Ã về dạng bậc thang rút gọn RA . Bước 3. Tùy theo trường hợp dạng bậc thang rút gọn RA mà ta kết luận nghiệm. Cu thể: - Trường hợp 1. Ma trận RA có một dòng (0 0 0 0 . . . 0 0| = 6 0). Kết luận hệ phương trình vô nghiệm.. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM). Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT. 06/04/2010. 62 / 84.

(343) 3. Hệ phương trình tuyến tính. Phương pháp Gauss - Jordan Bước 1. Lập ma trận mở rộng Ã = (A|B). Bước 2. Đưa ma trận Ã về dạng bậc thang rút gọn RA . Bước 3. Tùy theo trường hợp dạng bậc thang rút gọn RA mà ta kết luận nghiệm. Cu thể: - Trường hợp 1. Ma trận RA có một dòng (0 0 0 0 . . . 0 0| = 6 0). Kết luận hệ phương trình vô nghiệm. - Trường hợp 2. Ma trận RA có dạng  1 0 . . . 0 α1  0 1 . . . 0 α2   ............ ...   0 0 . . . 1 αn   0 0 ... 0 0   ............ ... 0 0 ... 0 0 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM).      .    . Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT. 06/04/2010. 62 / 84.

(344) 3. Hệ phương trình tuyến tính. Khi đó hệ phương trình có nghiệm duy nhất là x1 = α1 , x2 = α2 , . . . , xn = αn .. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM). Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT. 06/04/2010. 63 / 84.

(345) 3. Hệ phương trình tuyến tính. Khi đó hệ phương trình có nghiệm duy nhất là x1 = α1 , x2 = α2 , . . . , xn = αn . - Trường hợp 3. Khác 2 trường hợp trên, khi đó hệ có vô số nghiệm, và:. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM). Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT. 06/04/2010. 63 / 84.

(346) 3. Hệ phương trình tuyến tính. Khi đó hệ phương trình có nghiệm duy nhất là x1 = α1 , x2 = α2 , . . . , xn = αn . - Trường hợp 3. Khác 2 trường hợp trên, khi đó hệ có vô số nghiệm, và: • Ẩn tương ứng với các cột không có phần tử cơ sở 1 sẽ là ẩn tự do (lấy giá trị tùy ý).. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM). Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT. 06/04/2010. 63 / 84.

(347) 3. Hệ phương trình tuyến tính. Khi đó hệ phương trình có nghiệm duy nhất là x1 = α1 , x2 = α2 , . . . , xn = αn . - Trường hợp 3. Khác 2 trường hợp trên, khi đó hệ có vô số nghiệm, và: • Ẩn tương ứng với các cột không có phần tử cơ sở 1 sẽ là ẩn tự do (lấy giá trị tùy ý). • Ẩn tương ứng với cột có phần tử cơ sở 1 sẽ được tính theo các ẩn tự do.. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM). Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT. 06/04/2010. 63 / 84.

(348) 3. Hệ phương trình tuyến tính. Khi đó hệ phương trình có nghiệm duy nhất là x1 = α1 , x2 = α2 , . . . , xn = αn . - Trường hợp 3. Khác 2 trường hợp trên, khi đó hệ có vô số nghiệm, và: • Ẩn tương ứng với các cột không có phần tử cơ sở 1 sẽ là ẩn tự do (lấy giá trị tùy ý). • Ẩn tương ứng với cột có phần tử cơ sở 1 sẽ được tính theo các ẩn tự do. Số ẩn tự do được gọi là bậc tự do của hệ phương trình. Xem lại ví dụ đầu tiên. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM). Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT. 06/04/2010. 63 / 84.

(349) 3. Hệ phương trình tuyến tính. 3.4 Định lý Kronecker- Capelli Định lý. Nếu Ã = (A|B) là ma trận mở rông của hệ gồm n ẩn dạng AX = B thì. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM). Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT. 06/04/2010. 64 / 84.

(350) 3. Hệ phương trình tuyến tính. 3.4 Định lý Kronecker- Capelli Định lý. Nếu Ã = (A|B) là ma trận mở rông của hệ gồm n ẩn dạng AX = B thì r(Ã) = r(A) hoặc r(Ã) = r(A) + 1. Hơn nữa,. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM). Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT. 06/04/2010. 64 / 84.

(351) 3. Hệ phương trình tuyến tính. 3.4 Định lý Kronecker- Capelli Định lý. Nếu Ã = (A|B) là ma trận mở rông của hệ gồm n ẩn dạng AX = B thì r(Ã) = r(A) hoặc r(Ã) = r(A) + 1. Hơn nữa, • nếu r(Ã) = r(A) + 1 thì hệ vô nghiệm;. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM). Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT. 06/04/2010. 64 / 84.

(352) 3. Hệ phương trình tuyến tính. 3.4 Định lý Kronecker- Capelli Định lý. Nếu Ã = (A|B) là ma trận mở rông của hệ gồm n ẩn dạng AX = B thì r(Ã) = r(A) hoặc r(Ã) = r(A) + 1. Hơn nữa, • nếu r(Ã) = r(A) + 1 thì hệ vô nghiệm; • nếu r(Ã) = r(A) = n thì hệ có nghiệm duy nhất;. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM). Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT. 06/04/2010. 64 / 84.

(353) 3. Hệ phương trình tuyến tính. 3.4 Định lý Kronecker- Capelli Định lý. Nếu Ã = (A|B) là ma trận mở rông của hệ gồm n ẩn dạng AX = B thì r(Ã) = r(A) hoặc r(Ã) = r(A) + 1. Hơn nữa, • nếu r(Ã) = r(A) + 1 thì hệ vô nghiệm; • nếu r(Ã) = r(A) = n thì hệ có nghiệm duy nhất; • r(Ã) = r(A) < n thì hệ có vô số nghiệm với bậc tự do là n − r(A).. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM). Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT. 06/04/2010. 64 / 84.

(354) 3. Hệ phương trình tuyến tính. 3.4 Định lý Kronecker- Capelli Định lý. Nếu Ã = (A|B) là ma trận mở rông của hệ gồm n ẩn dạng AX = B thì r(Ã) = r(A) hoặc r(Ã) = r(A) + 1. Hơn nữa, • nếu r(Ã) = r(A) + 1 thì hệ vô nghiệm; • nếu r(Ã) = r(A) = n thì hệ có nghiệm duy nhất; • r(Ã) = r(A) < n thì hệ có vô số nghiệm với bậc tự do là n − r(A). Ví dụ. Giải và biện luận hệ m  3x1 + 5x2    2x1 + 3x2 5x1 + 9x2    13x1 + 22x2 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM). phương trình tuyến tính sau theo tham số + 3x3 + x3 + 6x3 + 13x3. − 4x4 + x4 − 15x4 − 22x4. Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT. = = = =. 1; 0; 2; 2m, 06/04/2010. 64 / 84.

(355) 3. Hệ phương trình tuyến tính. Ã = (A|B). Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM). Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT. 06/04/2010. 65 / 84.

(356) 3. Hệ phương trình tuyến tính. . 3 5 3 −4  2 3 1 1 Ã = (A|B) =   5 9 6 −15 13 22 13 −22. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM). Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT.  1 0   2  2m. 06/04/2010. 65 / 84.

(357) 3. Hệ phương trình tuyến tính. . 3 5 3 −4  2 3 1 1 Ã = (A|B) =   5 9 6 −15 13 22 13 −22.  1 0   2  2m. d :=d −d. 1 2 −−1−−− −−→. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM). Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT. 06/04/2010. 65 / 84.

(358) 3. Hệ phương trình tuyến tính. . 3 5 3 −4  2 3 1 1 Ã = (A|B) =   5 9 6 −15 13 22 13 −22  1 2 2 −5  2 3 1 1 d1 :=d1 −d2  −−−−−−−→  5 9 6 −15 13 22 13 −22. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM). Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT.  1 0   2  2m  1 0   2  2m. 06/04/2010. 65 / 84.

(359) 3. Hệ phương trình tuyến tính. . 3 5 3 −4  2 3 1 1 Ã = (A|B) =   5 9 6 −15 13 22 13 −22  1 2 2 −5  2 3 1 1 d1 :=d1 −d2  −−−−−−−→  5 9 6 −15 13 22 13 −22.  1 0   2  2m  1 0   2  2m. d2 :=d2 −2d1 d : =d −5d. 3 3 1 −−− −−− −−− →. d4 : =d4 −13d1. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM). Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT. 06/04/2010. 65 / 84.

(360) 3. Hệ phương trình tuyến tính. . 3 5 3 −4  2 3 1 1 Ã = (A|B) =   5 9 6 −15 13 22 13 −22  1 2 2 −5  2 3 1 1 d1 :=d1 −d2  −−−−−−−→  5 9 6 −15 13 22 13 −22  1 2 2 −5 d2 :=d2 −2d1  0 −1 −3 11 d3 : =d3 −5d1 −−− −−−−−−→   0 −1 −4 10 d4 : =d4 −13d1 0 −4 −13 43. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM). Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT.  1 0   2  2m  1 0   2  2m  1 −2   −3  2m − 13. 06/04/2010. 65 / 84.

(361) 3. Hệ phương trình tuyến tính. . 3 5 3 −4  2 3 1 1 Ã = (A|B) =   5 9 6 −15 13 22 13 −22  1 2 2 −5  2 3 1 1 d1 :=d1 −d2  −−−−−−−→  5 9 6 −15 13 22 13 −22  1 2 2 −5 d2 :=d2 −2d1  0 −1 −3 11 d3 : =d3 −5d1 −−− −−−−−−→   0 −1 −4 10 d4 : =d4 −13d1 0 −4 −13 43.  1 0   2  2m  1 0   2  2m  1 −2   −3  2m − 13. d :=d −d. 3 2 −−− −−3−−− →. d4 : =d4 −4d2. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM). Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT. 06/04/2010. 65 / 84.

(362) 3. Hệ phương trình tuyến tính. . 3 5  2 3 Ã = (A|B) =   5 9 13 22  1 2  2 3 d1 :=d1 −d2  −−−−−−−→  5 9 13 22  1 2 d2 :=d2 −2d1  0 −1 d3 : =d3 −5d1 −−− −−−−−−→   0 −1 d4 : =d4 −13d1 0 −4  1 2  0 −1 d3 :=d3 −d2 −−−−−−−−→   0 0 d4 : =d4 −4d2 0 0 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM). 3 −4 1 1 6 −15 13 −22 2 −5 1 1 6 −15 13 −22 2 −5 −3 11 −4 10 −13 43 2 −5 −3 11 −1 −1 −1 −1. Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT.  1 0   2  2m  1 0   2  2m  1 −2   −3  2m − 13  1 −2   −1  2m − 5 06/04/2010. 65 / 84.

(363) 3. Hệ phương trình tuyến tính. d :=d −d. 3 2 −−− −−3−−− →. d4 : =d4 −4d2. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM). Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT. 06/04/2010. 66 / 84.

(364) 3. Hệ phương trình tuyến tính.  d :=d −d. 3 2 −−− −−3−−− →. d4 : =d4 −4d2. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM). 1 2 2 −5  0 −1 −3 11   0 0 −1 −1 0 0 −1 −1. Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT.  1 −2   −1  2m − 5. 06/04/2010. 66 / 84.

(365) 3. Hệ phương trình tuyến tính.  d :=d −d. 3 2 −−− −−3−−− →. d4 : =d4 −4d2. 1 2 2 −5  0 −1 −3 11   0 0 −1 −1 0 0 −1 −1.  1 −2   −1  2m − 5. d :=d −d. 4 3 −−4−−− −−→. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM). Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT. 06/04/2010. 66 / 84.

(366) 3. Hệ phương trình tuyến tính.  d :=d −d. 3 2 −−− −−3−−− →. d4 : =d4 −4d2. d :=d −d. 4 3 −−4−−− −−→. 1 2 2 −5  0 −1 −3 11   0 0 −1 −1 0 0 −1 −1  1 2 2 −5  0 −1 −3 11   0 0 −1 −1 0 0 0 0.  1 −2   −1  2m − 5  1 −2   −1  2m − 4. Biện luận: • Với 2m − 4 6= 0 ⇔ m 6= 2: Khi đó hệ vô nghiệm.. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM). Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT. 06/04/2010. 66 / 84.

(367) 3. Hệ phương trình tuyến tính.  d :=d −d. 3 2 −−− −−3−−− →. d4 : =d4 −4d2. d :=d −d. 4 3 −−4−−− −−→. 1 2 2 −5  0 −1 −3 11   0 0 −1 −1 0 0 −1 −1  1 2 2 −5  0 −1 −3 11   0 0 −1 −1 0 0 0 0.  1 −2   −1  2m − 5  1 −2   −1  2m − 4. Biện luận: • Với 2m − 4 6= 0 ⇔ m 6= 2: Khi đó hệ vô nghiệm. • Với m = 2: Hệ tương đương với hệ sau:. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM). Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT. 06/04/2010. 66 / 84.

(368) 3. Hệ phương trình tuyến tính.  d :=d −d. 3 2 −−− −−3−−− →. d4 : =d4 −4d2. d :=d −d. 4 3 −−4−−− −−→. 1 2 2 −5  0 −1 −3 11   0 0 −1 −1 0 0 −1 −1  1 2 2 −5  0 −1 −3 11   0 0 −1 −1 0 0 0 0.  1 −2   −1  2m − 5  1 −2   −1  2m − 4. Biện luận: • Với 2m − 4 6= 0 ⇔ m 6= 2: Khi đó hệ vô nghiệm. • Với m = 2: Hệ tương đương với   x1 + 2x2 + 2x3 − x2 − 3x3  − x3 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM). hệ sau: − 5x4 = 1; + 11x4 = −2; − x4 = −1.. Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT. 06/04/2010. 66 / 84.

(369) 3. Hệ phương trình tuyến tính. Chọn x4 = t ta tính được. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM). Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT. 06/04/2010. 67 / 84.

(370) 3. Hệ phương trình tuyến tính. Chọn x4 = t ta tính được   x3 = 1 − x4 = 1 − t; x2 = 2 − 3x3 + 11x4 = −1 + 14t;  x1 = 1 − 2x2 − 2x3 + 5x4 = 1 − 21t.. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM). Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT. 06/04/2010. 67 / 84.

(371) 3. Hệ phương trình tuyến tính. Chọn x4 = t ta tính được   x3 = 1 − x4 = 1 − t; x2 = 2 − 3x3 + 11x4 = −1 + 14t;  x1 = 1 − 2x2 − 2x3 + 5x4 = 1 − 21t. Vậy khi m = 2, hệ đã cho có vô số nghiệm với một ẩn tự do (x1 , x2 , x3 , x4 ) = (1 − 21t, −1 + 14t, 1 − t, t) với t ∈ R tùy ý.. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM). Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT. 06/04/2010. 67 / 84.

(372) 3. Hệ phương trình tuyến tính. Chọn x4 = t ta tính được   x3 = 1 − x4 = 1 − t; x2 = 2 − 3x3 + 11x4 = −1 + 14t;  x1 = 1 − 2x2 − 2x3 + 5x4 = 1 − 21t. Vậy khi m = 2, hệ đã cho có vô số nghiệm với một ẩn tự do (x1 , x2 , x3 , x4 ) = (1 − 21t, −1 + 14t, 1 − t, t) với t ∈ R tùy ý. Ví dụ. Giải và biện luận hệ phương trình tuyến tính sau theo tham số m    x1 + x2 − x3 + 2x4 = 1;  x1 + 2x2 − 3x3 + 4x4 = 2; x1 − x2 + 4x3 − x4 = m;    4x1 + 3x2 − x3 + mx4 = m2 − 6m + 4, Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM). Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT. 06/04/2010. 67 / 84.

(373) 3. Hệ phương trình tuyến tính. Ã = (A|B). Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM). Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT. 06/04/2010. 68 / 84.

(374) 3. Hệ phương trình tuyến tính. . 1 1 −1 2  1 2 −3 4 Ã = (A|B) =   1 −1 4 −1 4 3 −1 m. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM).  1  2   m 2 m − 6m + 4. Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT. 06/04/2010. 68 / 84.

(375) 3. Hệ phương trình tuyến tính. . 1 1 −1 2  1 2 −3 4 Ã = (A|B) =   1 −1 4 −1 4 3 −1 m.  1  2   m 2 m − 6m + 4. d2 :=d2 −d1 d : =d −d. 3 −−3−−−− −−1→. d4 : =d4 −4d1. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM). Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT. 06/04/2010. 68 / 84.

(376) 3. Hệ phương trình tuyến tính.  1 1 −1 2 1   1 2 −3 4 2  Ã = (A|B) =    1 −1 4 −1 m 2 4 3 −1 m m − 6m + 4   1 1 −1 2 1 d2 :=d2 −d1   0 1 −2 2 1 d : =d3 −d1  −−3−−−− −−→    0 −2 5 −3 m − 1 d4 : =d4 −4d1 2 0 −1 3 m − 8 m − 6m . Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM). Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT. 06/04/2010. 68 / 84.

(377) 3. Hệ phương trình tuyến tính.  1 1 −1 2 1   1 2 −3 4 2  Ã = (A|B) =    1 −1 4 −1 m 2 4 3 −1 m m − 6m + 4   1 1 −1 2 1 d2 :=d2 −d1   0 1 −2 2 1 d : =d3 −d1  −−3−−−− −−→    0 −2 5 −3 m − 1 d4 : =d4 −4d1 2 0 −1 3 m − 8 m − 6m . d :=d +2d. 2 −−3−−−3−−−→. d4 : =d4 +d2. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM). Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT. 06/04/2010. 68 / 84.

(378) 3. Hệ phương trình tuyến tính.  1 1 −1 2 1   1 2 −3 4 2  Ã = (A|B) =    1 −1 4 −1 m 2 4 3 −1 m m − 6m + 4   1 1 −1 2 1 d2 :=d2 −d1   0 1 −2 2 1 d : =d3 −d1  −−3−−−− −−→    0 −2 5 −3 m − 1 d4 : =d4 −4d1 2 0 −1 3 m − 8 m − 6m   1 1 −1 2 1  0 1 −2  2 1 d :=d +2d2   −−3−−−3−−−→   0 0 1 1 m+1 d4 : =d4 +d2 2 0 0 1 m − 6 m − 6m + 1 . Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM). Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT. 06/04/2010. 68 / 84.

(379) 3. Hệ phương trình tuyến tính.  1 1 −1 2 1   1 2 −3 4 2  Ã = (A|B) =    1 −1 4 −1 m 2 4 3 −1 m m − 6m + 4   1 1 −1 2 1 d2 :=d2 −d1   0 1 −2 2 1 d : =d3 −d1  −−3−−−− −−→    0 −2 5 −3 m − 1 d4 : =d4 −4d1 2 0 −1 3 m − 8 m − 6m   1 1 −1 2 1  0 1 −2  2 1 d :=d +2d2   −−3−−−3−−−→   0 0 1 1 m+1 d4 : =d4 +d2 2 0 0 1 m − 6 m − 6m + 1 . d :=d −d. 4 3 −−4−−− −−→. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM). Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT. 06/04/2010. 68 / 84.

(380) 3. Hệ phương trình tuyến tính.  1 1 −1 2 1   1 2 −3 4 2  Ã = (A|B) =    1 −1 4 −1 m 2 4 3 −1 m m − 6m + 4   1 1 −1 2 1 d2 :=d2 −d1   0 1 −2 2 1 d : =d3 −d1  −−3−−−− −−→    0 −2 5 −3 m − 1 d4 : =d4 −4d1 2 0 −1 3 m − 8 m − 6m   1 1 −1 2 1  0 1 −2  2 1 d :=d +2d2   −−3−−−3−−−→   0 0 1 1 m+1 d4 : =d4 +d2 2 0 0 1 m − 6 m − 6m + 1   1 1 −1 2 1  0 1 −2  2 1 d :=d4 −d3  . −−4−−− −−→  0 0  1 1 m+1 2 0 0 0 m − 7 m − 7m . Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM). Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT. 06/04/2010. 68 / 84.

(381) 3. Hệ phương trình tuyến tính. . 1  0   0 0. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM). 1 −1 2 1 −2 2 0 1 1 0 0 m−7.  1  1   m+1 2 m − 7m. Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT. 06/04/2010. 69 / 84.

(382) 3. Hệ phương trình tuyến tính. . 1  0   0 0. 1 −1 2 1 −2 2 0 1 1 0 0 m−7.  1  1   m+1 2 m − 7m. Biện luận:. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM). Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT. 06/04/2010. 69 / 84.

(383) 3. Hệ phương trình tuyến tính. . 1  0   0 0. 1 −1 2 1 −2 2 0 1 1 0 0 m−7.  1  1   m+1 2 m − 7m. Biện luận: 1) Với m − 7 6= 0 ⇔ m 6= 7, hệ có nghiệm  x4 = m      . Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM). Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT. 06/04/2010. 69 / 84.

(384) 3. Hệ phương trình tuyến tính. . 1  0   0 0. 1 −1 2 1 −2 2 0 1 1 0 0 m−7.  1  1   m+1 2 m − 7m. Biện luận: 1) Với m − 7 6= 0 ⇔ m 6= 7, hệ có nghiệm  x4 = m;    x3 = m + 1 − x4 = 1;   . Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM). Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT. 06/04/2010. 69 / 84.

(385) 3. Hệ phương trình tuyến tính. . 1  0   0 0. 1 −1 2 1 −2 2 0 1 1 0 0 m−7.  1  1   m+1 2 m − 7m. Biện luận: 1) Với m − 7 6= 0 ⇔ m 6= 7, hệ có nghiệm  x4 = m;    x3 = m + 1 − x4 = 1; x = 1 + 2x3 − 2x4 = 3 − 2m;    2. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM). Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT. 06/04/2010. 69 / 84.

(386) 3. Hệ phương trình tuyến tính. . 1  0   0 0. 1 −1 2 1 −2 2 0 1 1 0 0 m−7.  1  1   m+1 2 m − 7m. Biện luận: 1) Với m − 7 6= 0 ⇔ m 6= 7, hệ có nghiệm  x4 = m;    x3 = m + 1 − x4 = 1; x = 1 + 2x3 − 2x4 = 3 − 2m;    2 x1 = 1 − x2 + x3 − 2x4 = −1.. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM). Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT. 06/04/2010. 69 / 84.

(387) 3. Hệ phương trình tuyến tính. . 1  0   0 0. 1 −1 2 1 −2 2 0 1 1 0 0 m−7.  1  1   m+1 2 m − 7m. Biện luận: 1) Với m − 7 6= 0 ⇔ m 6= 7, hệ có nghiệm  x4 = m;    x3 = m + 1 − x4 = 1; x = 1 + 2x3 − 2x4 = 3 − 2m;    2 x1 = 1 − x2 + x3 − 2x4 = −1. Vậy, khi m 6= 7 hệ đã cho có duy nhất một nghiệm là: (x1 , x2 , x3 , x4 ) = (−1, 3 − 2m, 1, m). Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM). Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT. 06/04/2010. 69 / 84.

(388) 3. Hệ phương trình tuyến tính. 2) Với m = 7, hệ tương đương với hệ sau:. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM). Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT. 06/04/2010. 70 / 84.

(389) 3. Hệ phương trình tuyến tính. 2) Với m = 7, hệ tương đương với hệ sau:   x1 + x2 − x3 + 2x4 = 1; x2 − 2x3 + 2x4 = 1;  x3 + x4 = 8.. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM). Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT. 06/04/2010. 70 / 84.

(390) 3. Hệ phương trình tuyến tính. 2) Với m = 7, hệ tương đương với hệ sau:   x1 + x2 − x3 + 2x4 = 1; x2 − 2x3 + 2x4 = 1;  x3 + x4 = 8. Chọn x4 = t ta tính được   x3 = 8 − x4 = 8 − t; x2 = 1 + 2x3 − 2x4 = 17 − 4t;  x1 = 1 − x2 + x3 − 2x4 = −8 + t.. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM). Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT. 06/04/2010. 70 / 84.

(391) 3. Hệ phương trình tuyến tính. 2) Với m = 7, hệ tương đương với hệ sau:   x1 + x2 − x3 + 2x4 = 1; x2 − 2x3 + 2x4 = 1;  x3 + x4 = 8. Chọn x4 = t ta tính được   x3 = 8 − x4 = 8 − t; x2 = 1 + 2x3 − 2x4 = 17 − 4t;  x1 = 1 − x2 + x3 − 2x4 = −8 + t.. Vậy khi m = 7 hệ đã cho có vô số nghiệm với một ẩn tự do (x1 , x2 , x3 , x4 ) = (−8 + t, 17 − 4t, 8 − t , t) với t ∈ R tùy ý. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM). Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT. 06/04/2010. 70 / 84.

(392) 4. Ma trận khả nghịch. 4. Ma trận khả nghịch 4.1 Định nghĩa 4.2 Nhận diện và tìm ma trận khả nghịch. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM). Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT. 06/04/2010. 71 / 84.

(393) 4. Ma trận khả nghịch. 4.1 Định nghĩa Mở đầu Xét trên tập số thực R. Cho x ∈ R, hỏi tồn tại hay không y sao cho xy = 1.. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM). Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT. 06/04/2010. 72 / 84.

(394) 4. Ma trận khả nghịch. 4.1 Định nghĩa Mở đầu Xét trên tập số thực R. Cho x ∈ R, hỏi tồn tại hay không y sao cho xy = 1. Hỏi. Trên tập hợp ma trận thì sao?. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM). Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT. 06/04/2010. 72 / 84.

(395) 4. Ma trận khả nghịch. 4.1 Định nghĩa Mở đầu Xét trên tập số thực R. Cho x ∈ R, hỏi tồn tại hay không y sao cho xy = 1. Hỏi. Trên tập hợp ma trận thì sao? Định nghĩa. Cho A ∈ Mn (R). Ta nói A khả nghịch nếu tồn tại ma trận B sao cho AB = BA = In . Nếu B thỏa điều kiện trên được gọi là ma trận nghịch đảo của A.. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM). Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT. 06/04/2010. 72 / 84.

(396) 4. Ma trận khả nghịch. 4.1 Định nghĩa Mở đầu Xét trên tập số thực R. Cho x ∈ R, hỏi tồn tại hay không y sao cho xy = 1. Hỏi. Trên tập hợp ma trận thì sao? Định nghĩa. Cho A ∈ Mn (R). Ta nói A khả nghịch nếu tồn tại ma trận B sao cho AB = BA = In . Nếu B thỏa điều kiện trên được gọi là ma trận nghịch đảo của A. Nhận xét. Ma trận nghịch đảo của một ma trận khả nghịch là duy nhất. Ta ký hiệu ma trận nghịch đảo của A là A−1 . Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM). Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT. 06/04/2010. 72 / 84.

(397) 4. Ma trận khả nghịch. Ví dụ.. Cho A =. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM). 3 5 1 2. .. Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT. 06/04/2010. 73 / 84.

(398) 4. Ma trận khả nghịch. Ví dụ.. Cho A =. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM). 3 5 1 2. . Khi đó. A−1. =. Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT. 2 −5 −1 3. .. 06/04/2010. 73 / 84.

(399) 4. Ma trận khả nghịch. Ví dụ.. Cho A =. 3 5 1 2. . Khi đó. A−1. =. 2 −5 −1 3. .. Mệnh đề. Cho A ∈ Mn (R). Giả sử A khả nghịch và có nghịch đảo là A−1 . Khi đó. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM). Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT. 06/04/2010. 73 / 84.

(400) 4. Ma trận khả nghịch. Ví dụ.. Cho A =. 3 5 1 2. . Khi đó. A−1. =. 2 −5 −1 3. .. Mệnh đề. Cho A ∈ Mn (R). Giả sử A khả nghịch và có nghịch đảo là A−1 . Khi đó i) A−1 khả nghịch và (A−1 )−1 = A.. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM). Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT. 06/04/2010. 73 / 84.

(401) 4. Ma trận khả nghịch. Ví dụ.. Cho A =. 3 5 1 2. . Khi đó. A−1. =. 2 −5 −1 3. .. Mệnh đề. Cho A ∈ Mn (R). Giả sử A khả nghịch và có nghịch đảo là A−1 . Khi đó i) A−1 khả nghịch và (A−1 )−1 = A. ii) A> khả nghịch và (A> )−1 = (A−1 )> .. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM). Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT. 06/04/2010. 73 / 84.

(402) 4. Ma trận khả nghịch. Ví dụ.. Cho A =. 3 5 1 2. . Khi đó. A−1. =. 2 −5 −1 3. .. Mệnh đề. Cho A ∈ Mn (R). Giả sử A khả nghịch và có nghịch đảo là A−1 . Khi đó i) A−1 khả nghịch và (A−1 )−1 = A. ii) A> khả nghịch và (A> )−1 = (A−1 )> . iii) ∀α ∈ R \ {0}, αA khả nghịch và (αA)−1 =. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM). Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT. 1 −1 A . α. 06/04/2010. 73 / 84.

(403) 4. Ma trận khả nghịch. Ví dụ.. Cho A =. 3 5 1 2. . Khi đó. A−1. =. 2 −5 −1 3. .. Mệnh đề. Cho A ∈ Mn (R). Giả sử A khả nghịch và có nghịch đảo là A−1 . Khi đó i) A−1 khả nghịch và (A−1 )−1 = A. ii) A> khả nghịch và (A> )−1 = (A−1 )> . iii) ∀α ∈ R \ {0}, αA khả nghịch và (αA)−1 =. 1 −1 A . α. Mệnh đề. Cho A, B ∈ Mn (R). Nếu A và B khả nghịch thì AB khả nghịch, hơn nữa. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM). Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT. 06/04/2010. 73 / 84.

(404) 4. Ma trận khả nghịch. Ví dụ.. Cho A =. 3 5 1 2. . Khi đó. A−1. =. 2 −5 −1 3. .. Mệnh đề. Cho A ∈ Mn (R). Giả sử A khả nghịch và có nghịch đảo là A−1 . Khi đó i) A−1 khả nghịch và (A−1 )−1 = A. ii) A> khả nghịch và (A> )−1 = (A−1 )> . iii) ∀α ∈ R \ {0}, αA khả nghịch và (αA)−1 =. 1 −1 A . α. Mệnh đề. Cho A, B ∈ Mn (R). Nếu A và B khả nghịch thì AB khả nghịch, hơn nữa (AB)−1 = B −1 A−1 .. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM). Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT. 06/04/2010. 73 / 84.

(405) 4. Ma trận khả nghịch. 4.2 Nhận diện và tìm ma trận khả nghịch. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM). Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT. 06/04/2010. 74 / 84.

(406) 4. Ma trận khả nghịch. 4.2 Nhận diện và tìm ma trận khả nghịch Định lý. Cho A ∈ Mn (R). Khi đó các khẳng định sau tương đương:. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM). Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT. 06/04/2010. 74 / 84.

(407) 4. Ma trận khả nghịch. 4.2 Nhận diện và tìm ma trận khả nghịch Định lý. Cho A ∈ Mn (R). Khi đó các khẳng định sau tương đương: i) A khả nghịch.. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM). Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT. 06/04/2010. 74 / 84.

(408) 4. Ma trận khả nghịch. 4.2 Nhận diện và tìm ma trận khả nghịch Định lý. Cho A ∈ Mn (R). Khi đó các khẳng định sau tương đương: i) A khả nghịch. ii) r(A) = n.. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM). Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT. 06/04/2010. 74 / 84.

(409) 4. Ma trận khả nghịch. 4.2 Nhận diện và tìm ma trận khả nghịch Định lý. Cho A ∈ Mn (R). Khi đó các khẳng định sau tương đương: i) A khả nghịch. ii) r(A) = n. iii) A ∼ In .. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM). Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT. 06/04/2010. 74 / 84.

(410) 4. Ma trận khả nghịch. 4.2 Nhận diện và tìm ma trận khả nghịch Định lý. Cho A ∈ Mn (R). Khi đó các khẳng định sau tương đương: i) A khả nghịch. ii) r(A) = n. iii) A ∼ In . iv) Tồn tại các phép BĐSCTD ϕ1 , . . . , ϕk biến ma trận A thành ma trận đơn vị In : ϕ1. ϕ. k A −→ A1 −→ .. . −→ Ak = I n .. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM). Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT. 06/04/2010. 74 / 84.

(411) 4. Ma trận khả nghịch. 4.2 Nhận diện và tìm ma trận khả nghịch Định lý. Cho A ∈ Mn (R). Khi đó các khẳng định sau tương đương: i) A khả nghịch. ii) r(A) = n. iii) A ∼ In . iv) Tồn tại các phép BĐSCTD ϕ1 , . . . , ϕk biến ma trận A thành ma trận đơn vị In : ϕ1. ϕ. k A −→ A1 −→ .. . −→ Ak = I n .. Hơn nữa, khi đó qua chính các phép BĐSCTD ϕ1 , . . . , ϕk , ma trận đơn vị In sẽ biến thành ma trận nghịch đảo A−1 : ϕ1. ϕ. k In −→ B1 −→ . . . −→ Bk = A−1 . Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM). Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT. 06/04/2010. 74 / 84.

(412) 4. Ma trận khả nghịch. Phương pháp tìm ma trận nghịch đảo. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM). Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT. 06/04/2010. 75 / 84.

(413) 4. Ma trận khả nghịch. Phương pháp tìm ma trận nghịch đảo Lập (A|In ) và dùng các phép BĐSCTD biến A về dạng ma trận bậc thang rút gọn:. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM). Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT. 06/04/2010. 75 / 84.

(414) 4. Ma trận khả nghịch. Phương pháp tìm ma trận nghịch đảo Lập (A|In ) và dùng các phép BĐSCTD biến A về dạng ma trận bậc thang rút gọn: ϕ1. ϕp. (A |In ) −→ ( A1 | B1 ) −→ . . . −→ ( Ap | Bp ) −→ . . . .. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM). Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT. 06/04/2010. 75 / 84.

(415) 4. Ma trận khả nghịch. Phương pháp tìm ma trận nghịch đảo Lập (A|In ) và dùng các phép BĐSCTD biến A về dạng ma trận bậc thang rút gọn: ϕ1. ϕp. (A |In ) −→ ( A1 | B1 ) −→ . . . −→ ( Ap | Bp ) −→ . . . . Trong quá trình biến đổi có thể xảy ra hai trường hợp:. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM). Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT. 06/04/2010. 75 / 84.

(416) 4. Ma trận khả nghịch. Phương pháp tìm ma trận nghịch đảo Lập (A|In ) và dùng các phép BĐSCTD biến A về dạng ma trận bậc thang rút gọn: ϕ1. ϕp. (A |In ) −→ ( A1 | B1 ) −→ . . . −→ ( Ap | Bp ) −→ . . . . Trong quá trình biến đổi có thể xảy ra hai trường hợp: • Trường hợp 1: Tồn tại p sao cho trong dãy biến đổi trên, ma trận Ap có ít nhất một dòng hay một cột bằng 0. Khi đó A không khả nghịch.. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM). Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT. 06/04/2010. 75 / 84.

(417) 4. Ma trận khả nghịch. Phương pháp tìm ma trận nghịch đảo Lập (A|In ) và dùng các phép BĐSCTD biến A về dạng ma trận bậc thang rút gọn: ϕ1. ϕp. (A |In ) −→ ( A1 | B1 ) −→ . . . −→ ( Ap | Bp ) −→ . . . . Trong quá trình biến đổi có thể xảy ra hai trường hợp: • Trường hợp 1: Tồn tại p sao cho trong dãy biến đổi trên, ma trận Ap có ít nhất một dòng hay một cột bằng 0. Khi đó A không khả nghịch. • Trường hợp 2: Mọi ma trận Ai trong dãy biến đổi trên đều không có dòng hay cột bằng 0. Khi đó ma trận cuối cùng của dãy trên có dạng (In |B). Ta có A khả nghịch và A−1 = B.. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM). Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT. 06/04/2010. 75 / 84.

(418) 4. Ma trận khả nghịch. Phương pháp tìm ma trận nghịch đảo Lập (A|In ) và dùng các phép BĐSCTD biến A về dạng ma trận bậc thang rút gọn: ϕ1. ϕp. (A |In ) −→ ( A1 | B1 ) −→ . . . −→ ( Ap | Bp ) −→ . . . . Trong quá trình biến đổi có thể xảy ra hai trường hợp: • Trường hợp 1: Tồn tại p sao cho trong dãy biến đổi trên, ma trận Ap có ít nhất một dòng hay một cột bằng 0. Khi đó A không khả nghịch. • Trường hợp 2: Mọi ma trận Ai trong dãy biến đổi trên đều không có dòng hay cột bằng 0. Khi đó ma trận cuối cùng của dãy trên có dạng (In |B). Ta có A khả nghịch và A−1 = B. Lưu ý. Nếu bài toán chỉ yêu cầu kiểm tra ma trận A có khả nghịch hay không, ta chỉ cần tính hạng của ma trận (dùng Gauss). Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM). Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT. 06/04/2010. 75 / 84.

(419) 4. Ma trận khả nghịch. Ví dụ. Xét tính khả nghịch của  1  2 A=  3 4. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM). A và tìm A−1 (nếu có)  2 3 4 5 4 7   7 8 12  8 14 19. Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT. 06/04/2010. 76 / 84.

(420) 4. Ma trận khả nghịch. Ví dụ. Xét tính khả nghịch của  1  2 A=  3 4. A và tìm A−1 (nếu có)  2 3 4 5 4 7   7 8 12  8 14 19. Giải.. (A|I4 ) =. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM). Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT. 06/04/2010. 76 / 84.

(421) 4. Ma trận khả nghịch. Ví dụ. Xét tính khả nghịch của  1  2 A=  3 4. A và tìm A−1 (nếu có)  2 3 4 5 4 7   7 8 12  8 14 19. Giải.  (A|I4 ) =. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM). 1  2   3 4. 2 3 4 1 5 4 7 0 7 8 12 0 8 14 19 0. Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT. 0 1 0 0. 0 0 1 0.  0 0   0  1. 06/04/2010. 76 / 84.

(422) 4. Ma trận khả nghịch. Ví dụ. Xét tính khả nghịch của  1  2 A=  3 4. A và tìm A−1 (nếu có)  2 3 4 5 4 7   7 8 12  8 14 19. Giải.  (A|I4 ) =. 1  2   3 4. 2 3 4 1 5 4 7 0 7 8 12 0 8 14 19 0. 0 1 0 0. 0 0 1 0.  0 0   0  1. d2 :=d2 −2d1 d :=d −3d. 1 −−3−−−3−−−→. d4 :=d4 −4d1. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM). Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT. 06/04/2010. 76 / 84.

(423) 4. Ma trận khả nghịch. Ví dụ. Xét tính khả nghịch của  1  2 A=  3 4. A và tìm A−1 (nếu có)  2 3 4 5 4 7   7 8 12  8 14 19. Giải. . 1  2  (A|I4 ) =  3 4  1 d2 :=d2 −2d1  d :=d −3d1  0 −−3−−−3−−−→  0 d4 :=d4 −4d1 0 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM). 2 3 4 1 5 4 7 0 7 8 12 0 8 14 19 0. 0 1 0 0. 0 0 1 0. 2 3 4 1 0 1 −2 −1 −2 1 1 −1 0 −3 0 0 2 3 −4 0. Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT.  0 0   0  1 0 0 1 0.  0 0   0  1 06/04/2010. 76 / 84.

(424) 4. Ma trận khả nghịch. . 1  0   0 0. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM). 2 3 4 1 0 1 −2 −1 −2 1 1 −1 0 −3 0 0 2 3 −4 0. 0 0 1 0. Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT.  0 0   0  1. 06/04/2010. 77 / 84.

(425) 4. Ma trận khả nghịch. . 1  0   0 0. 2 3 4 1 0 1 −2 −1 −2 1 1 −1 0 −3 0 0 2 3 −4 0. 0 0 1 0.  0 0   0  1. d : =d −2d. 1 1 2 −− −−− −−→. d3 : =d3 −d2. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM). Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT. 06/04/2010. 77 / 84.

(426) 4. Ma trận khả nghịch. . 1  0   0 0  1  0 d1 : =d1 −2d2 −−−−−−−→   0 d3 : =d3 −d2 0. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM). 2 3 4 1 0 1 −2 −1 −2 1 1 −1 0 −3 0 0 2 3 −4 0. 0 0 1 0.  0 0   0  1.  0 7 6 5 −2 0 0 1 0 0  1 −2 −1 −2  0 1 1 −1 −1 1 0  0 2 3 −4 0 0 1. Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT. 06/04/2010. 77 / 84.

(427) 4. Ma trận khả nghịch. . 1  0   0 0  1  0 d1 : =d1 −2d2 −−−−−−−→   0 d3 : =d3 −d2 0. 2 3 4 1 0 1 −2 −1 −2 1 1 −1 0 −3 0 0 2 3 −4 0. 0 0 1 0.  0 0   0  1.  0 7 6 5 −2 0 0 1 0 0  1 −2 −1 −2  0 1 1 −1 −1 1 0  0 2 3 −4 0 0 1. d1 :=d1 −7d3 d :=d +2d. 2 2 3 −− −−− −−→. d4 :=d4 −2d3. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM). Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT. 06/04/2010. 77 / 84.

(428) 4. Ma trận khả nghịch. . 1  0   0 0  1  0 d1 : =d1 −2d2 −−−−−−−→   0 d3 : =d3 −d2 0  1 d1 :=d1 −7d3  0 d2 :=d2 +2d3 −− −−−−−→   0 d4 :=d4 −2d3 0. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM). 2 3 4 1 0 1 −2 −1 −2 1 1 −1 0 −3 0 0 2 3 −4 0. 0 0 1 0.  0 0   0  1.  0 7 6 5 −2 0 0 1 0 0  1 −2 −1 −2  0 1 1 −1 −1 1 0  0 2 3 −4 0 0 1  5 −7 0 0 0 −1 12 1 0 1 −4 −1 2 0   0 1 1 −1 −1 1 0  0 0 1 −2 2 −2 1. Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT. 06/04/2010. 77 / 84.

(429) 4. Ma trận khả nghịch. . 1  0   0 0  1  0 d1 : =d1 −2d2 −−−−−−−→   0 d3 : =d3 −d2 0  1 d1 :=d1 −7d3  0 d2 :=d2 +2d3 −− −−−−−→   0 d4 :=d4 −2d3 0. 2 3 4 1 0 1 −2 −1 −2 1 1 −1 0 −3 0 0 2 3 −4 0. 0 0 1 0.  0 0   0  1.  0 7 6 5 −2 0 0 1 0 0  1 −2 −1 −2  0 1 1 −1 −1 1 0  0 2 3 −4 0 0 1  5 −7 0 0 0 −1 12 1 0 1 −4 −1 2 0   0 1 1 −1 −1 1 0  0 0 1 −2 2 −2 1. d1 :=d1 +d4 d2 :=d2 −d4. −−−−−−−→ d3 :=d3 −d4. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM). Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT. 06/04/2010. 77 / 84.

(430) 4. Ma trận khả nghịch. . 1  0   0 0  1  0 d1 : =d1 −2d2 −−−−−−−→   0 d3 : =d3 −d2 0  1 d1 :=d1 −7d3  0 d2 :=d2 +2d3 −− −−−−−→   0 d4 :=d4 −2d3 0  1 d1 :=d1 +d4  0 d2 :=d2 −d4 −−−−−−−→   0 d3 :=d3 −d4 0 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM). 2 3 4 1 0 1 −2 −1 −2 1 1 −1 0 −3 0 0 2 3 −4 0. 0 0 1 0.  0 0   0  1.  0 7 6 5 −2 0 0 1 0 0  1 −2 −1 −2  0 1 1 −1 −1 1 0  0 2 3 −4 0 0 1  5 −7 0 0 0 −1 12 1 0 1 −4 −1 2 0   0 1 1 −1 −1 1 0  0 0 1 −2 2 −2 1  0 0 0 10 7 −9 1 1 0 0 −2 −3 4 −1   0 1 0 1 −3 3 −1  0 0 1 −2 2 −2 1 Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT. 06/04/2010. 77 / 84.

(431) 4. Ma trận khả nghịch. . 1  0   0 0  1  0 d1 : =d1 −2d2 −−−−−−−→   0 d3 : =d3 −d2 0  1 d1 :=d1 −7d3  0 d2 :=d2 +2d3 −− −−−−−→   0 d4 :=d4 −2d3 0  1 d1 :=d1 +d4  0 d2 :=d2 −d4 −−−−−−−→   0 d3 :=d3 −d4 0 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM). 2 3 4 1 0 1 −2 −1 −2 1 1 −1 0 −3 0 0 2 3 −4 0. 0 0 1 0.  0 0   0  1.  0 7 6 5 −2 0 0 1 0 0  1 −2 −1 −2  0 1 1 −1 −1 1 0  0 2 3 −4 0 0 1  5 −7 0 0 0 −1 12 1 0 1 −4 −1 2 0   0 1 1 −1 −1 1 0  0 0 1 −2 2 −2 1  0 0 0 10 7 −9 1 1 0 0 −2 −3 4 −1   = (I4 |A−1 ). 0 1 0 1 −3 3 −1  0 0 1 −2 2 −2 1 Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT. 06/04/2010. 77 / 84.

(432) 4. Ma trận khả nghịch. Như vậy, A khả nghịch và . A−1. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM).  10 7 −9 1  −2 −3 4 −1  . =  1 −3 3 −1  −2 2 −2 1. Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT. 06/04/2010. 78 / 84.

(433) 4. Ma trận khả nghịch. Như vậy, A khả nghịch và . A−1.  10 7 −9 1  −2 −3 4 −1  . =  1 −3 3 −1  −2 2 −2 1. Ví dụ. Xét tính khả nghịch của A và tìm A−1 (nếu có)   1 2 3 4  2 1 1 0   A=  3 0 2 1  4 −1 0 −3. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM). Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT. 06/04/2010. 78 / 84.

(434) 4. Ma trận khả nghịch. Như vậy, A khả nghịch và . A−1.  10 7 −9 1  −2 −3 4 −1  . =  1 −3 3 −1  −2 2 −2 1. Ví dụ. Xét tính khả nghịch của A và tìm A−1 (nếu có)   1 2 3 4  2 1 1 0   A=  3 0 2 1  4 −1 0 −3 Giải.. . 1 2  2 1 (A|I4 ) =   3 0 4 −1 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM). 3 4 1 0 2 1 0 −3. 1 0 0 0. Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT. 0 1 0 0. 0 0 1 0.  0 0   0  1 06/04/2010. 78 / 84.

(435) 4. Ma trận khả nghịch. d2 :=d2 −2d1 d3 : =d3 −3d1. −−−−−−−→ d4 :=d4 −4d1. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM). Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT. 06/04/2010. 79 / 84.

(436) 4. Ma trận khả nghịch.  d2 :=d2 −2d1 d3 : =d3 −3d1. −−−−−−−→ d4 :=d4 −4d1. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM). 1 2 3 4 1  0 −3 −5 −8 −2   0 −6 −7 −11 −3 0 −9 −12 −19 −4. Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT. 0 1 0 0. 0 0 1 0.  0 0   0  1. 06/04/2010. 79 / 84.

(437) 4. Ma trận khả nghịch.  d2 :=d2 −2d1 d3 : =d3 −3d1. −−−−−−−→ d4 :=d4 −4d1. 1 2 3 4 1  0 −3 −5 −8 −2   0 −6 −7 −11 −3 0 −9 −12 −19 −4. 0 1 0 0. 0 0 1 0.  0 0   0  1. d :=d −2d. 3 3 2 −− −−− −−→. d4 :=d4 −3d2. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM). Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT. 06/04/2010. 79 / 84.

(438) 4. Ma trận khả nghịch.  d2 :=d2 −2d1 d3 : =d3 −3d1. −−−−−−−→ d4 :=d4 −4d1. d :=d −2d. 3 3 2 −− −−− −−→. d4 :=d4 −3d2. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM).  1 2 3 4 1 0 0 0  0 −3 −5 −8 −2 1 0 0     0 −6 −7 −11 −3 0 1 0  0 −9 −12 −19 −4 0 0 1   1 2 3 4 1 0 0 0  0 −3 −5 −8 −2 1 0 0     0 1 −2 1 0  0 3 5 0 0 3 5 2 −3 0 1. Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT. 06/04/2010. 79 / 84.

(439) 4. Ma trận khả nghịch.  d2 :=d2 −2d1 d3 : =d3 −3d1. −−−−−−−→ d4 :=d4 −4d1. d :=d −2d. 3 3 2 −− −−− −−→. d4 :=d4 −3d2.  1 2 3 4 1 0 0 0  0 −3 −5 −8 −2 1 0 0     0 −6 −7 −11 −3 0 1 0  0 −9 −12 −19 −4 0 0 1   1 2 3 4 1 0 0 0  0 −3 −5 −8 −2 1 0 0     0 1 −2 1 0  0 3 5 0 0 3 5 2 −3 0 1. d : =d −d. 3 −−4−−−4−−→. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM). Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT. 06/04/2010. 79 / 84.

(440) 4. Ma trận khả nghịch.  d2 :=d2 −2d1 d3 : =d3 −3d1. −−−−−−−→ d4 :=d4 −4d1. d :=d −2d. 3 3 2 −− −−− −−→. d4 :=d4 −3d2. d4 : =d4 −d3. −−−−−−−→. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM). 1 2 3  0 −3 −5   0 −6 −7 0 −9 −12  1 2 3  0 −3 −5   0 0 3 0 0 3  1 2 3  0 −3 −5   0 0 3 0 0 0.  0 0   0  1  0 0 0 0   1 0  0 1  0 0 0 0   1 0  −1 1. 4 1 0 0 −8 −2 1 0 −11 −3 0 1 −19 −4 0 0 4 1 0 −8 −2 1 1 −2 5 5 2 −3 1 0 4 −8 −2 1 5 1 −2 0 1 −1. Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT. 06/04/2010. 79 / 84.

(441) 4. Ma trận khả nghịch.  d2 :=d2 −2d1 d3 : =d3 −3d1. −−−−−−−→ d4 :=d4 −4d1. d :=d −2d. 3 3 2 −− −−− −−→. d4 :=d4 −3d2. d4 : =d4 −d3. −−−−−−−→. 1 2 3  0 −3 −5   0 −6 −7 0 −9 −12  1 2 3  0 −3 −5   0 0 3 0 0 3  1 2 3  0 −3 −5   0 0 3 0 0 0.  0 0   0  1  0 0 0 0   1 0  0 1  0 0 0 0   1 0  −1 1. 4 1 0 0 −8 −2 1 0 −11 −3 0 1 −19 −4 0 0 4 1 0 −8 −2 1 1 −2 5 5 2 −3 1 0 4 −8 −2 1 5 1 −2 0 1 −1. Ta có r(A) < 4. Suy ra A không khả nghịch.. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM). Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT. 06/04/2010. 79 / 84.

(442) 5. Phương trình ma trận. 5. Phương trình ma trận Định lý. Cho các ma trận A, A0 ∈ Mn (R) khả nghịch và B ∈ Mn×p (R), C ∈ Mm×n (R), D ∈ Mn (R). Khi đó. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM). Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT. 06/04/2010. 80 / 84.

(443) 5. Phương trình ma trận. 5. Phương trình ma trận Định lý. Cho các ma trận A, A0 ∈ Mn (R) khả nghịch và B ∈ Mn×p (R), C ∈ Mm×n (R), D ∈ Mn (R). Khi đó i) AX = B. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM). Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT. 06/04/2010. 80 / 84.

(444) 5. Phương trình ma trận. 5. Phương trình ma trận Định lý. Cho các ma trận A, A0 ∈ Mn (R) khả nghịch và B ∈ Mn×p (R), C ∈ Mm×n (R), D ∈ Mn (R). Khi đó i) AX = B ⇔ X = A−1 B;. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM). Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT. 06/04/2010. 80 / 84.

(445) 5. Phương trình ma trận. 5. Phương trình ma trận Định lý. Cho các ma trận A, A0 ∈ Mn (R) khả nghịch và B ∈ Mn×p (R), C ∈ Mm×n (R), D ∈ Mn (R). Khi đó i) AX = B ⇔ X = A−1 B; ii) XA = C. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM). Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT. 06/04/2010. 80 / 84.

(446) 5. Phương trình ma trận. 5. Phương trình ma trận Định lý. Cho các ma trận A, A0 ∈ Mn (R) khả nghịch và B ∈ Mn×p (R), C ∈ Mm×n (R), D ∈ Mn (R). Khi đó i) AX = B ⇔ X = A−1 B; ii) XA = C ⇔ X = CA−1 ;. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM). Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT. 06/04/2010. 80 / 84.

(447) 5. Phương trình ma trận. 5. Phương trình ma trận Định lý. Cho các ma trận A, A0 ∈ Mn (R) khả nghịch và B ∈ Mn×p (R), C ∈ Mm×n (R), D ∈ Mn (R). Khi đó i) AX = B ⇔ X = A−1 B; ii) XA = C ⇔ X = CA−1 ; iii) AXA0 = D. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM). Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT. 06/04/2010. 80 / 84.

(448) 5. Phương trình ma trận. 5. Phương trình ma trận Định lý. Cho các ma trận A, A0 ∈ Mn (R) khả nghịch và B ∈ Mn×p (R), C ∈ Mm×n (R), D ∈ Mn (R). Khi đó i) AX = B ⇔ X = A−1 B; ii) XA = C ⇔ X = CA−1 ; iii) AXA0 = D ⇔ X = A−1 DA0−1 . Ví dụ. Giải phương trình. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM). 3 1 5 2. . X=. −2 3 2 5. Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT. .. 06/04/2010. 80 / 84.

(449) 5. Phương trình ma trận. 5. Phương trình ma trận Định lý. Cho các ma trận A, A0 ∈ Mn (R) khả nghịch và B ∈ Mn×p (R), C ∈ Mm×n (R), D ∈ Mn (R). Khi đó i) AX = B ⇔ X = A−1 B; ii) XA = C ⇔ X = CA−1 ; iii) AXA0 = D ⇔ X = A−1 DA0−1 . Ví dụ. Giải phương trình. 3 1 5 2. . X=. −2 3 2 5. .. Giải. Phương trình có dạng AX = B. Ta có A khả nghịch, nên 2 −1 −2 3 −6 1 −1 X=A B= = . −5 3 2 5 16 0 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM). Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT. 06/04/2010. 80 / 84.

(450) 5. Phương trình ma trận. Ví dụ. Giải phương trình X. 3 1 5 2. . =. −2 3 2 5. .. Giải. Phương trình có dạng XA = B. Ta có A khả nghịch, nên −2 3 2 −1 −19 11 −1 X = BA = = . 2 5 −5 3 −21 13. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM). Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT. 06/04/2010. 81 / 84.

(451) 5. Phương trình ma trận. Ví dụ. Giải phương trình X. 3 1 5 2. . =. −2 3 2 5. .. Giải. Phương trình có dạng XA = B. Ta có A khả nghịch, nên −2 3 2 −1 −19 11 −1 X = BA = = . 2 5 −5 3 −21 13. Ví dụ. Tìm ma trận X thỏa     1 1 1 1 −2 3 2  1 2 2 X 1 . = 3 4 3 1 2 3 2 −1. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM). Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT. 06/04/2010. 81 / 84.

(452) 5. Phương trình ma trận. Ví dụ. Giải phương trình X. 3 1 5 2. . =. −2 3 2 5. .. Giải. Phương trình có dạng XA = B. Ta có A khả nghịch, nên −2 3 2 −1 −19 11 −1 X = BA = = . 2 5 −5 3 −21 13. Ví dụ. Tìm ma trận X thỏa     1 1 1 1 −2 3 2  1 2 2 X 1 . = 3 4 3 1 2 3 2 −1 Giải. Phương trình có dạng AXB = C. Ta có A, B khả nghịch, nên X = A−1 CB −1 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM). Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT. 06/04/2010. 81 / 84.

(453) 5. Phương trình ma trận. X = A−1 CB −1. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM). Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT. 06/04/2010. 82 / 84.

(454) 5. Phương trình ma trận. . X = A−1 CB −1.   2 −1 0 1 −2 3 −2 2 −1   3 1  =  −1 −4 3 0 −1 1 2 −1.. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM). Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT. 06/04/2010. 82 / 84.

(455) 5. Phương trình ma trận. . X = A−1 CB −1.   2 −1 0 1 −2 3 −2 2 −1   3 1  =  −1 −4 3 0 −1 1 2 −1.   −1 −5 3 −2   3 5 = −4 3 −1 −2. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM). Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT. 06/04/2010. 82 / 84.

(456) 5. Phương trình ma trận. . X = A−1 CB −1.   2 −1 0 1 −2 3 −2 2 −1   3 1  =  −1 −4 3 0 −1 1 2 −1.   −1 −5 3 −2   3 5 = −4 3 −1 −2   17 −13 9 . =  −11 5 −4. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM). Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT. 06/04/2010. 82 / 84.

(457) 5. Phương trình ma trận. . X = A−1 CB −1.   2 −1 0 1 −2 3 −2 2 −1   3 1  =  −1 −4 3 0 −1 1 2 −1.   −1 −5 3 −2   3 5 = −4 3 −1 −2   17 −13 9 . =  −11 5 −4 . Ví dụ. Tìm ma trận X thỏa. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM). 1 2 −1 −2 −3 1. Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT. . X=. 1 −2 −1 1. 06/04/2010. .. 82 / 84.

(458) 5. Phương trình  ma trận x1 x2 Giải. Đặt X =  x3 x4  . x5 x6. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM). Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT. 06/04/2010. 83 / 84.

(459) 5. Phương trình  ma trận x1 x2 Giải. Đặt X =  x3 x4  . Ta có x x 5 6 1 2 −1 x1 + 2x3 − x5 x2 + 2x4 − x6 X= . −2 −3 1 −2x1 − 3x3 + x5 −2x2 − 3x4 + x6. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM). Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT. 06/04/2010. 83 / 84.

(460) 5. Phương trình  ma trận x1 x2 Giải. Đặt X =  x3 x4  . Ta có x x 5 6 1 2 −1 x1 + 2x3 − x5 X= −2 −3 1 −2x1 − 3x3 + x5  x1 + 2x3 − x5    x2 + 2x4 − x6 Suy ra hệ phương trình −2x  1 − 3x3 + x5   −2x2 − 3x4 + x6. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM). x2 + 2x4 − x6 −2x2 − 3x4 + x6 = 1; = −2; = −1 = 1.. Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT. . 06/04/2010. .. 83 / 84.

(461) 5. Phương trình  ma trận x1 x2 Giải. Đặt X =  x3 x4  . Ta có x x 5 6 1 2 −1 x1 + 2x3 − x5 x2 + 2x4 − x6 X= . −2 −3 1 −2x1 − 3x3 + x5 −2x2 − 3x4 + x6  x1 + 2x3 − x5 = 1;    x2 + 2x4 − x6 = −2; Suy ra hệ phương trình −2x1 − 3x3 + x5 = −1    −2x2 − 3x4 + x6 = 1.   1 1 0 2 0 −1 0  0 1 0 2 0 −1 −2   Ã =   −2 0 −3 0 1 0 −1  0 −2 0 −3 0 1 1. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM). Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT. 06/04/2010. 83 / 84.

(462) 5. Phương trình  ma trận x1 x2 Giải. Đặt X =  x3 x4  . Ta có x x 5 6 1 2 −1 x1 + 2x3 − x5 x2 + 2x4 − x6 X= . −2 −3 1 −2x1 − 3x3 + x5 −2x2 − 3x4 + x6  x1 + 2x3 − x5 = 1;    x2 + 2x4 − x6 = −2; Suy ra hệ phương trình −2x1 − 3x3 + x5 = −1    −2x2 − 3x4 + x6 = 1.   1 1 0 2 0 −1 0  0 1 0 2 0 −1 −2   Ã =   −2 0 −3 0 1 0 −1  0 −2 0 −3 0 1 1   1 0 0 0 1 0 −1  0 1 0 0 0 1 4   ∼  0 0 1 0 −1 0 1  0 0 0 1 0 −1 −3 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM). Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT. 06/04/2010. 83 / 84.

(463) 5. Phương trình ma trận. . 1  0   0 0. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM). 0 1 0 0. 0 0 1 0.  0 1 0 −1 0 0 1 4   1  0 −1 0 1 0 −1 −3. Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT. 06/04/2010. 84 / 84.

(464) 5. Phương trình ma trận. . 1  0   0 0. 0 1 0 0. 0 0 1 0.  0 1 0 −1 0 0 1 4   1  0 −1 0 1 0 −1 −3. Suy ra  x1     x2    x3 x4      x   5 x6. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM). = = = = = =. −1 − t; 4 − s; 1 + t; −3 + s; t; s.. t, s ∈ R. Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT. 06/04/2010. 84 / 84.

(465) 5. Phương trình ma trận. . 1  0   0 0. 0 1 0 0. 0 0 1 0.  0 1 0 −1 0 0 1 4   1  0 −1 0 1 0 −1 −3. Suy ra  x1     x2    x3 x4      x   5 x6. −1 − t; 4 − s; 1 + t; t, s ∈ R −3 + s; t; s.   −1 − t 4−s Vậy X =  1 + t −3 + s  với t, s tự do. t s Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM). = = = = = =. Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT. 06/04/2010. 84 / 84.

(466)

Chuong 2 Ma Tran Dai So Tuyen Tinh

Tài liệu liên quan

Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về