Dai cuong ve phuong trinh DS 10

<span class='text_page_counter'>(1)</span>ĐẠI CƯƠNG VỀ PHƯƠNG TRÌNH 1. Phương trình một ẩn 1.1 Định nghĩa Phương trình ẩn x là mệnh đề chứa biến có dạng (1) f ( x) = g ( x) Trong đó f ( x) và g ( x) là những biểu thức của x . Ta gọi f ( x ) là vế trái, g ( x ) là vế phải của phương trình (1). Nếu có số thực x0 sao cho f ( x0 ) = g ( x0 ) là mệnh đề đúng thì x0 được gọi là một nghiệm của phương trình (1). Giải phương trình (1) là tìm tất cả các nghiệm của nó (nghĩa là tìm tập nghiệm). Nếu phương trình không có nghiệm nào cả thì ta nói phương trình vô nghiệm (hoặc nói tập nghiệm của nó là rỗng). 1.2 Điều kiện của một phương trình Điều kiện của phương trình là những giá trị của x làm cho (1) có nghĩa hay xác định. Chẳng hạn, f ( x) = h( x) . Điều kiện để phương trình xác định là g ( x) ≠ 0 . Như vậy nếu một phương trình có chứa ẩn g ( x) ở mẫu thì đ iều kiện để phương trình đó xác định là mẫu thức phải khác 0 .. Phương trình. Phương trình f ( x) = m . Điều kiện để phương trình xác định là f ( x) ≥ 0 . T ức là nếu phương trình có chứa ẩn dưới dấu căn bậc hai (bậc chẵn) thì đ iều kiện đề phương trình xác định là biểu thức dưới dấu căn phải không âm. Ví dụ : Tìm điều kiện của các phương trình sau a). c). 2x = 4x + 5 3x − 9 2x − 4 = 9. b). −3 x + 1 5 x − 4 = 4 x + 6 −3 x + 6. d) 1 + 1 − x = 2 x + x + 1. Giải: 2x = 4x + 5 3x − 9 Điều kiện phương trình xác định là: 3x − 9 ≠ 0 ⇔ 3x ≠ 9 ⇔ x≠3 Vậy điều kiện để phương trình đã cho xác định là x ≠ 3 .. a). −3 x + 1 5 x − 4 = 4 x + 6 −3 x + 6 Điều kiện phương trình là:. b). 4 x + 6 ≠ 0  −3 x + 6 ≠ 0  4 x ≠ −6 ⇔  −3 x ≠ −6. 3  x ≠ − ⇔ 2  x ≠ 2 3 Vậy điều kiện để phương trình đã cho xác định là x ≠ − , x ≠ 2 . 2 c). 2x − 4 = 9. Điều kiện để phương trình xác định là:.

<span class='text_page_counter'>(2)</span> 2x − 4 ≥ 0 ⇔ 2x ≥ 4 ⇔x≥2 Vậy điều kiện để phương trình đã cho xác định là x ≥ 2 . d) 1 + 1 − x = 2 x + x + 1. Điều kiện để phương trình xác định là:. 1 − x ≥ 0  x + 1 ≥ 0 x ≤1 ⇔  x ≥ −1 ⇔ −1 ≤ x ≤ 1 Vậy điều kiện để phương trình đã cho xác định là −1 ≤ x ≤ 1 . 2. Phương trình nhiều ẩn Phương trình nhiều ẩn là phương trình có chứa từ hai ẩn trở lên. Ví dụ :. 2 x2 + 4 xy − y 2 = − x + 2 y + 3 là một phương trình hai ẩn ( x và y ). x + y + z = 3xyz là một phương trình ba ẩn ( x , y và z ). Nếu phương trình hai ẩn x và y trở thành mệnh đề đúng khi x = x0 và y = y0 thì ta gọi cặp số ( x0 ; y0 ) là một nghiệm của nó. Khái niệm nghiệm của phương trình ba ẩn, bốn ẩn,… cũng được hiểu tương tự. 3. Phương trình tương đương 3.1 Định nghĩa Hai phương trình được gọi là tương đương nếu chúng có cùng tập nghiệm. 2 4 Ví dụ: Hai phương trình x2 − 3 x + 2 = 0 và − x2 + 2 x − = 0 tương đương với nhau vì chúng có cùng tập nghiệm là 3 3 S = {1;2} . Nếu phương trình f1 ( x) = g1 ( x) tương đương với phương trình f 2 ( x) = g 2 ( x) thì ta viết f1 ( x) = g1 ( x) ⇔ f 2 ( x) = g 2 ( x). 3.2 Phép biến đổi tương đương Nếu thực hiện các phép biến đổi sau đây trên một phương trình mà không làm thay đổi điều kiện của nó thì ta được một phương trình mới tương đương a) Cộng hoặc trừ hai vế với cùng một số hoặc cùng một biểu thức; b) Nhân hoặc chia hai vế với cùng một số khác 0 hoặc với cùng một biểu thức luôn có giá trị khác 0. Ví dụ: Giải phương trình ( x − 1)( x − 2) +. 3 3 = x −1 x −1. Giải: Điều kiện để phương trình xác định: x − 1 ≠ 0 ⇔ x ≠ 1 Phương trình đã cho tương đương với: 3 3 3 − = 0 (chuyển sang vế trái ta đổi dấu của nó) x −1 x −1 x −1 ⇔ ( x − 1)( x − 2) = 0 ( x − 1)( x − 2) +. ⇔ x − 2 = 0 (vì x − 1 ≠ 0 nên ta chia cả hai vế của phương trình cho x − 1 ) ⇔ x=2.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là S = {2} .. 4. Phương trình hệ quả f1 ( x) = g1 ( x) gọi là phương trình hệ quả của phương trình f ( x) = g ( x) nếu tập nghiệm của nó chứa tập nghiệm của phương trình f ( x) = g ( x) . Khi đ ó ta viết f ( x) = g ( x) ⇒ f1 ( x) = g1 ( x). Định lý: Nếu bình phương hai vế của một phương trình cho trước thì ta được một phương trình mới là hệ quả của phương trình đã cho. 5. Phương trình chứa tham số Trong phương trình một ẩn f ( x) = g ( x) , các biểu thức f ( x) hoặc g ( x) có thể chứa những chữ khác ngoài ẩn x . Các chữ này được xem như những số đã biết và gọi là tham số. Lúc đó phương trình được gọi là phương trình chứa tham số. Bài tập: Bài 1. Tìm đ iều kiện xác định của mỗi phương trình sau Bài 5. Giải các phương trình sau: rồi suy ra tập nghiệm của nó: 1 2x −1 = a) x + a) x = −x x −1 x −1 1 2x − 3 b) 3 x − x − 2 = 2 − x + 6 b) x + = x−2 x−2 3− x 2 c) = x+ x−3 c) ( x − 3x + 2) x − 3 = 0 x −3 d). x + x −1 = −x. Bài 2. Giải các phương trình sau: a). 3 − x + x = 3 − x +1. b). x+ x−2 = 2− x +2 x2 9 = x −1 x −1 2 x − 1− x = x − 2 + 3. c) d). Bài 3. Giải các phương trình sau: 2 x+5 = x+3 x+3 3 3x b) 2 x + = x −1 x −1 x2 − 4x − 2 c) = x−2 x−2 2x2 − x − 3 d) = 2x − 3 2x − 3 a). x +1+. d) ( x 2 − x − 2) x + 1 = 0 x 1 e) = − x−2 x−2 x−2 x2 − 4 x+3 f) = + x +1 x +1 x +1 Bài 6. Giải các phương trình sau bằng cách bình phương hai vế của phương trình: a). b) x −1 = x − 3 c) 2 x − 1 = x + 2 d). x − 2 = 2x −1. e). x − 2 = x +1. f). x +1 = x − 2. Bài 7. Giải các phương trình sau: a). Bài 4. Giải các phương trình sau: a). x + x −1 = 2 + x −1. b). x + x − 1 = 0,5 + x − 1 x 3 = 2 x−5 x−5 x 2 = 2 x−5 x−5. c) d). x − 3 = 9 − 2x. b) c) d). x x −1 x−2 x −1 x. 2− x x −1. = =. x x −1 x−2 x −1. =. x. 2− x 1− x = x−2 x−2.

<span class='text_page_counter'>(4)</span>