Ly thuyet Bai tap Phuong trinh bac nhat bac haimot an

<span class='text_page_counter'>(1)</span>PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT VÀ BẬC HAI MỘT ẨN 1. Phương trình bậc nhất một ẩn 1.1 Định nghĩa Phương trình bậc nhất một ẩn là phương trình có dạng ax + b = 0 , trong đó a , b là những hằng số, a ≠ 0 .. Ví dụ: 2 x − 1 = 0 ; −3x + 2 = 0 ;. 3 − 2 x = 0 là những phương trình bậc nhất một ẩn.. 1.2 Giải và biện luận phương trình ax + b = 0 ax + b = 0 (1). • •. b a ≠ 0 : (1) có nghiệm duy nhất x = − . a a=0: b ≠ 0 : (1) vô nghiệm. b = 0 : (1) được thỏa mãn với mọi x ∈ℝ (có vô số nghiệm).. Ví dụ: Giải các phương trình sau b) 5 − 3x = 0 a) 2 x − 8 = 0 Giải: a) 2x − 8 = 0 ⇔ 2x = 8 ⇔x=4 Vậy nghiệm của phương trình là x = 4 . b) 5 − 3x = 0 ⇔ −3 x = −5 ⇔ x=. 5 3. 5 3 Ví dụ: Giải và biện luận phương trình (m − 1) x + 1 − m = 0 (*) Vậy nghiệm của phương trình là x =. Giải: •. m − 1 ≠ 0 ⇔ m ≠ 1 . Phương trình (*) có nghiệm duy nhất (*) ⇔ (m − 1) x = m − 1 ⇔ x =1 • m − 1 = 0 ⇔ m = 1. Phương trình (*) trở thành: 0x = 0 Phương trình nghiệm đúng với mọi x ∈ ℝ (phương trình có vô số nghiệm). Vậy: • m ≠ 1 , (*) có nghiệm duy nhất x = 1 . • m = 1 , (*) có vô số nghiệm. 1.3 Phương trình quy về phương trình bậc nhất mộ t ẩn mx + n 1.3.1 Phương trình = e v ới p ≠ 0 px + q. Điều kiện phương trình xác định khi px + q ≠ 0 hay x ≠ − Phương trình đã cho tương đương với. q . p.

<span class='text_page_counter'>(2)</span> mx + n = e( px + q ). Giải phương trình tìm nghiệm và đối chiếu với điều kiện ở trên để xem xét nhận nghiệm hay loại nghiệm. Ví dụ: Giải các phương trình sau a). 2x + 3 =5 −4 x + 3. b). −x +1 =2 x −1. Giải:. 2x + 3 =5 −4 x + 3 Điều kiện: a). 3 4 Phương trình đã cho tương đương với: 2 x + 3 = 5(−4 x + 3) −4 x + 3 ≠ 0 ⇔ x ≠. ⇔ 2 x + 3 = −20 x + 15 ⇔ 22 x = 12 ⇔x=. 6 (nhận) 11. Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x =. 6 . 11. −x +1 =2 x −1 Điều kiện: x −1 ≠ 0 ⇔ x ≠ 1 Phương trình đã cho tương đương với: − x + 1 = 2( x − 1). b). ⇔ − x + 1 = 2x − 1 ⇔ 3x = 3 ⇔ x = 1 (loại) Vậy phương trình đã cho vô nghiệm. 1.3.2 Phương trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối a) Phương trình ax + b = cx + d với a ≠ 0. Điều kiện phương trình xác định là cx + d ≥ 0 . Với điều kiện phương trình xác định, ta có:.  ax + b = cx + d ax + b = cx + d ⇔   ax + b = −(cx + d ) Giải phương trình tìm nghiệm và đối chiếu với điều kiện ở trên để xem xét nhận nghiệm hay loại nghiệm. Hoặc ta có thể viết gọn là: cx + d ≥ 0  ax + b = cx + d ⇔   ax + b = cx + d    ax + b = −(cx + d ). Giải tìm nghiệm và đối chiếu với đ iều kiện ở trên để xem xét nhận nghiệm hay loại nghiệm. Để dễ nhớ ta viết.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> B ≥ 0  A = B ⇔  A = B  A = −B  Ví dụ: Giải phương trình 2 x − 1 = x − 1 . Giải: 2x − 1 = x −1. Điều kiện: x −1 ≥ 0 ⇔ x ≥ 1 Phương trình đã cho tương đương với: 2 x − 1 = x − 1  2 x − 1 = −( x − 1)  x = 0 ⇔ 3x = 2  x = 0 (loại) ⇔  x = 2 (loại)  3 Vậy phương trình đã cho vô nghiệm. Hoặc ta cũng có thể giải như sau: 2x − 1 = x −1 x −1 ≥ 0  ⇔  2 x − 1 = x − 1    2 x − 1 = −( x − 1) x ≥ 1  ⇔  x = 0  3 x = 2 . x ≥ 1    x = 0 (loại) ⇔    x = 2 (loại)   3 Vậy phương trình đã cho vô nghiệm. b) Phương trình ax + b = cx + d với ac ≠ 0  ax + b = cx + d ax + b = cx + d ⇔   ax + b = − (cx + d ) Để dễ nhớ ta viết: A = B A = B ⇔  A = −B Ví dụ: Giải phương trình 3x − 5 = 5 − 2 x . Giải: 3x − 5 = 5 − 2 x.

<span class='text_page_counter'>(4)</span> 3 x − 5 = 5 − 2 x ⇔ 3 x − 5 = −(5 − 2 x). 5x = 10 ⇔ 3 x − 5 = 2 x − 5 x = 2 ⇔ x = 0 Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là x = 0 và x = 2 . (Hoặc: Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là S = {0;2} ) Ví dụ: Giải và biện luận phương trình mx − 2 = x + m (*) Giải: Ta có: mx − 2 = x + m ( a)  mx − 2 = x + m ⇔  mx − 2 = −( x + m) (b) (a ) ⇔ (m − 1) x = m + 2 • •. m+2 . m −1 m − 1 = 0 ⇔ m = 1 , (a) trở thành 0 x = 3 , phương trình này vô nghiệm. m − 1 ≠ 0 ⇔ m ≠ 1 , (a) có nghiệm duy nhất x =. (b) ⇔ (m + 1) x = −m + 2 • •. −m + 2 . m +1 m + 1 = 0 ⇔ m = −1 , (b) trở thành 0 x = 3 , phương trình này vô nghiệm m + 1 ≠ 0 ⇔ m ≠ −1 , (b ) có nghiệm duy nhất x =. Ta có b ảng sau: Nghiệm của (a). Nghiệm của (b ). Nghiệm của (*). m =1. Vô nghiệm. −m + 2 1 = m +1 2. 1 2. m = −1. m+2 1 =− m −1 2. Vô nghiệm. m ≠ ±1. m+2 m −1. −m + 2 m +1. −. 1 2. m + 2 −m + 2 ; m −1 m +1. Vậy: •. m = 1 , (*) có một nghiệm x =. 1 . 2. 1 m = −1 , (*) có một nghiệm x = − . 2 m+2 −m + 2 , x= • m ≠ ±1 , (*) có hai nghiệm x = m −1 m +1 2. Phương trình bậc hai một ẩn 2.1 Định nghĩa •. Phương trình bậc hai một ẩn là phương trình có dạng ax 2 + bx + c = 0 , trong đó a , b , c là những hằng số, a ≠ 0 ..

<span class='text_page_counter'>(5)</span> Ví dụ: x 2 − 5 x + 6 = 0 ; − x2 + 8 x − 7 = 0 ;. 2 2 x − 4 x + 1 = 0 là những phương trình bậc hai một ẩn. 3. 2.2 Giả i và biện luận phương trình ax 2 + bx + c = 0 ax 2 + bx + c = 0 (2). •. •. a ≠ 0 . Ta tính ∆ = b2 − 4ac (tương ứng ∆ ' = b ' 2 − ac nếu b = 2b ' )
∆ < 0 (tương ứng ∆ ' < 0 ): (2) vô nghiệm. b b' (tương ứng x = − )
∆ = 0 (tương ứng ∆ ' = 0 ): (2) có nghiệm kép x = − 2a a
∆ > 0 (tương ứng ∆ ' > 0 ): (2) có hai nghiệm phân biệt −b + ∆ −b − ∆ −b '+ ∆ ' −b '− ∆ ' x1 = ; x2 = (tương ứng x1 = ; x2 = ) 2a 2a a a a = 0 : (2) trở thành bx + c = 0 . Đây là phương trình như phương trình (1) nêu ở phần trên. Cách giải và biện luận giống như phần 1.2.. Ví dụ : Giải các phương trình sau a) x2 − 5 x + 6 = 0. b) x2 − 4 x + 4 = 0. c) x2 + 2 x + 3 = 0. Giải: a) x2 − 5 x + 6 = 0 Ta có: a = 1 , b = −5 , c = 6 Khi đó:. ∆ = b2 − 4ac = (−5) 2 − 4.1.6 = 25 − 24 = 1 Vì ∆ = 1 > 0 nên phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt x1 =. −b − ∆ 5 − 1 = =2 2a 2. x2 =. −b + ∆ 5 + 1 = =3 2a 2. Vậy tập nghiệm của phương trình là S = {2;3} . b) x2 − 4 x + 4 = 0 Ta có: a = 1 , b = −4 , c = 4 , b ' = −2 Khi đó:. ∆ ' = b ' 2 − ac = (−2) 2 − 1.4 =4−4=0 Vì ∆ ' = 0 nên phương trình đã cho có nghiệm kép. x=−. b' 2 = =2 a 1. Vậy tập nghiệm của phương trình đ ã cho là S = {2} . c) x2 + 2 x + 3 = 0 Ta có: a = 1 , b = 2 , c = 3 , b ' = 1 Khi đó: ∆ ' = b ' 2 − ac = 12 − 1.3 = 1 − 3 = −2.

<span class='text_page_counter'>(6)</span> Vì ∆ ' = −2 < 0 nên phương trình đã cho vô nghiệm. Vậy tập nghiệm của phương trình là S = ∅ . Ví dụ : Giải và biện luận phương trình (m − 1) x2 − (2m + 1) x + m − 3 = 0 (*). Giải: •. m − 1 = 0 ⇔ m = 1 , (*) trở thành: 2 3 m − 1 ≠ 0 ⇔ m ≠ 1 , (*) là phương trình bậc hai với: −3 x − 2 = 0 ⇔ x = −. •. ∆ = (2m − 1)2 − 4(m − 1)(m − 3). = 4m2 − 4m + 1 − 4(m2 − 4m + 3) = 12m − 11 11 , (*) vô nghiệm. 12 11 2m − 1 ∆ = 0 ⇔ 12m − 11 = 0 ⇔ m = , (*) có nghiệm kép x = = −5 . 2(m − 1) 12 ∆ < 0 ⇔ 12m − 11 < 0 ⇔ m <. ∆ > 0 ⇔ 12m − 11 > 0 ⇔ m > x2 =. 11 , 12. (*). có. hai. nghiệm. phân. x1 =. biệt. 2m − 1 − 12m − 11 ; 2(m − 1). 2m − 1 + 12m − 11 . 2(m − 1). Vậy:. • • •. 2 m = 1 , (*) có nghiệm x = − . 3 11 m < , (*) vô nghiệm. 12 11 m = , (*) có nghiệm kép x = −5 . 12. m>. 2m − 1 − 12m − 11 2m − 1 + 12m − 11 11 và m ≠ 1 , (*) có hai nghiệm phân biệt x1 = ; x2 = . 12 2(m − 1) 2(m − 1). 2.3 Định lý Viet 2.3.1 Định lý Viet thuận Nếu phương trình bậc hai ax 2 + bx + c = 0 ( a ≠ 0 ) có hai nghiệm x1 , x2 thì tổng và tích hai nghiệm đ ó là:. S = x1 + x2 = −. b ; a. P = x1 x2 =. c a. Ghi chú: - Nếu a + b + c = 0 thì phương trình bậc hai ax 2 + bx + c = 0 có hai nghiệm x1 = 1 , x2 =. c . a. c - Nếu a − b + c = 0 thì phương trình bậc hai ax 2 + bx + c = 0 có hai nghiệm x1 = −1 , x2 = − . a 2.3.2 Định lý Viet đảo Nếu hai số u và v có tổng u + v = S và tích uv = P thì u và v là nghiệm của phương trình: x 2 − Sx + P = 0 2.4 Phương trình quy về phương trình bậc hai một ẩn.

<span class='text_page_counter'>(7)</span> 2.4.1 Phương trình. ax + b = mx + n với mc ≠ 0 cx + d. Điều kiện phương trình xác định: cx + d ≠ 0 ⇔ x ≠ −. d c. Phương trình đã cho tương đương với: ax + b = (cx + d )( mx + n ) Giải phương trình tìm nghiệm và đối chiếu với điều kiện ở trên để xem xét nhận nghiệm hay loại nghiệm.. Ví dụ : Giải phương trình. x −1 = 3x − 1 x +1. Giải: Điều kiện để phương trình xác định là: x + 1 ≠ 0 ⇔ x ≠ −1 Phương trình đã cho tương đương với: x − 1 = (3 x − 1)( x + 1) ⇔ x − 1 = 3x2 + 2 x − 1 ⇔ 3x 2 + x = 0  x = 0 (nhaän) ⇔  x = − 1 (nhaän)  3  1  Vậy tập nghiệm của phương trình đ ã cho là S = − ;0  .  3 . 2.4.2 Phương trình. ax + b mx + n với pc ≠ 0 = cx + d px + q. d   x ≠ − c cx + d ≠ 0 Điều kiện phương trình xác định:  ⇔  px + q ≠ 0  x ≠ − q p  Phương trình đã cho tương đương với: (ax + b)( px + q) = (cx + d )(mx + n) Giải phương trình tìm nghiệm và đối chiếu với điều kiện ở trên để xem xét nhận nghiệm hay loại nghiệm. 2 x − 1 −3 x + 1 Ví dụ : Giải phương trình = . 2−x 2x + 1 Giải: Điều kiện để phương trình đã cho xác định là:. x ≠ 2 2 − x ≠ 0  ⇔  1 2 x + 1 ≠ 0  x ≠ −  2 Phương trình đã cho tương đương với: (2 x − 1)(2 x + 1) = (−3 x + 1)(2 − x) ⇔ 4 x 2 − 1 = 3x 2 − 7 x + 2 ⇔ x2 + 7 x − 3 = 0.

<span class='text_page_counter'>(8)</span>  −7 − 61 (nhaän) x = 2  ⇔  −7 + 61 (nhaän) x = 2 .  −7 − 61 −7 + 61  Vậy tập nghiệm của phương trình đ ã cho là S =  ; . 2 2   2.4.3 Phương trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối a) Phương trình ax + b = cx + d với a ≠ 0. Điều kiện phương trình xác định: cx + d ≥ 0 Với điều kiện phương trình xác định, ta có: ax + b = cx + d ⇔ (ax + b)2 = (cx + d )2 Giải phương trình tìm nghiệm và đối chiếu với điều kiện ở trên để xem xét nhận nghiệm hay loại nghiệm. Hoặc có thể viết như sau:. cx + d ≥ 0 ax + b = cx + d ⇔  2 2 (ax + b) = (cx + d ) Để dễ nhớ ta viết: B ≥ 0 A =B⇔ 2 2 A = B Ví dụ : Giải phương trình 2 x − 1 = x − 1 . Giải: Điều kiện để phương trình đã cho xác định là: x −1 ≥ 0 ⇔ x ≥ 1 Phương trình đã cho tương đương với: (2 x − 1)2 = ( x − 1)2 ⇔ 4x2 − 4x + 1 = x2 − 2x + 1 ⇔ 3x 2 − 2 x = 0.  x = 0 (loại) ⇔  x = 2 (loại)  3 Vậy tập nghiệm của phương trình là S = ∅ . Hoặc là có thể giải như sau: 2x − 1 = x −1. x −1 ≥ 0 ⇔ 2 2 (2 x − 1) = ( x − 1) x ≥ 1 ⇔ 2 2 4 x − 4 x + 1 = x − 2 x + 1 x ≥ 1 ⇔ 2 3 x − 2 x = 0.

<span class='text_page_counter'>(9)</span> x ≥ 1    x = 0 (loại) ⇔    x = 2 (loại)   3 Vậy tập nghiệm của phương trình đ ã cho là S = ∅ . b) Phương trình ax + b = cx + d với ac ≠ 0 ax + b = cx + d ⇔ (ax + b)2 = (cx + d ) 2. Để dễ nhớ ta viết: A = B ⇔ A2 = B 2 Ví dụ : Giải phương trình 3x − 5 = 5 − 2 x Giải: 3x − 5 = 5 − 2 x ⇔ (3 x − 5)2 = (5 − 2 x)2 ⇔ 9 x 2 − 30 x + 25 = 25 − 20 x + 4 x 2 ⇔ 5 x 2 − 10 x = 0. x = 0 ⇔ x = 2 Vậy tập nghiệm của phương trình đ ã cho là S = {0;2} . 2.4.4 Phương trình. ax + b = cx + d với a ≠ 0. Điều kiện phương trình xác định: cx + d ≥ 0 Với điều kiện phương trình xác định, ta có:. ax + b = cx + d ⇔ ax + b = (cx + d )2 Giải phương trình tìm nghiệm và đối chiếu với điều kiện ở trên để xem xét nhận nghiệm hay loại nghiệm. Hoặc ta có thể viết như sau:. cx + d ≥ 0 ax + b = cx + d ⇔  2  ax + b = (cx + d ) Để dễ nhớ ta viết: B ≥ 0 A=B⇔ 2 A = B Ví dụ : Giải phương trình. 6 − 4x − x2 = x + 4. Giải: Điều kiện để phương trình đã cho xác định là: x + 4 ≥ 0 ⇔ x ≥ −4 Phương trình đã cho tương đương với: 6 − 4 x − x 2 = ( x + 4)2 ⇔ 6 − 4 x − x 2 = x 2 + 8 x + 16 ⇔ 2 x 2 + 12 x + 10 = 0.  x = −1 (nhaän) ⇔  x = −5 (loại).

<span class='text_page_counter'>(10)</span> Vậy tập nghiệm của phương trình đ ã cho là S = {−1} . Hoặc ta cũng có thể giải như sau: 6 − 4x − x2 = x + 4. x + 4 ≥ 0 ⇔ 2 2 6 − 4 x − x = ( x + 4)  x ≥ −4 ⇔ 2 2 6 − 4 x − x = x + 8 x + 16  x ≥ −4 ⇔ 2 2 x + 12 x + 10 = 0  x ≥ −4  ⇔   x = −1 (nhaän)   x = −5 (loại)  Vậy tập nghiệm của phương trình đ ã cho là S = {−1} .. Bài tập: Bài 1. Giải và biện luận các phương trình sau theo tham 1 hai bằng của bình phương số quả còn lại ở rổ thứ nhất. số m . 3 Hỏi số quả quýt ở mỗi rổ lúc ban đầu là bao nhiêu? a) (m 2 + 2) x − 2m = x − 3 Bài 6. Tìm ba cạnh của một tam giác vuông, biết cạnh dài b) m( x − m) = x + m − 2 nhất hơn cạnh thứ hai là 2m và cạnh thứ hai hơn cạnh c) m( x − m + 3) = m( x − 2) + 6 ngắn nhất là 23m. d) m2 ( x − 1) + m = x(3m − 2) Bài 7. Tìm tuổi của một học sinh, biết rằng sau 7 năm nữa Bài 2. Giải và biện luận các phương trình sau theo tham tuổi của em sẽ bằng bình phương số tuổi của em cách đây số m . 5 năm. a) m( x − 2) = 3 x + 1 Bài 8. Tìm chiều dài ba cạnh của tam giác vuông biết rằng 2 chúng là ba số tự nhiên liên tiếp. b) m x + 6 = 4 x + 3m Bài 9. Một san hình chữ nhật có chiều dài hơn chiều roogj c) (2m + 1) x − 2m = 3x − 2 là 1m. Nếu chiều dài tăng 8m và chiều rộng tăng 5m thì Bài 3. Giải và biện luận các phương trình sau theo tham diện tích tăng gấp đôi. Tính chiều dài và chiều rộng. số m . Bài 10. Giải các phương trình sau: a) 2(m + 1) x − m( x − 1) = 2m + 3 a) 3x − 2 = 2 x + 3 b) m 2 ( x − 1) + 3mx = (m 2 + 3) x − 1 b) 2 x − 1 = −5 x − 2 c) 3(m + 1) x + 4 = 2 x + 5(m + 1) x − 1 −3 x + 1 d) m2 x + 6 = 4 x + 3m c) = 2x − 3 x +1 Bài 4. Giải và biện luận các phương trình sau theo tham số m . d) 2 x + 5 = x 2 + 5 x + 1. c). (m + 1) x + m − 2 =m x+3 mx − m − 3 =1 x +1 x+m = x−m+2. d). x − m = x +1. a) b). Bài 5. Có hai rổ quýt chứa số quýt bằng nhau. Nếu lấy 30 quả ở rổ thứ nhất đưa sang rổ thứ hai thì số quả ở rổ thứ. e) f) g). 2x + 3 4 24 − = 2 +2 x −3 x +3 x −9 x 2 + 3x + 2 2 x − 5 = 2x + 3 4 3x − 5 = 3. h). 2x + 5 = 2. i). 3 − 4x = x − 1. j). 2x + 3 = x.

<span class='text_page_counter'>(11)</span>