SKKN phát triển tư duy cho học sinh qua việc khai thác các bài toán cơ bản trong hình học 7

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO QUẢNG XƯƠNG
TRƯỜNGMỤC
THCS
NGUYỄN DU
LỤC
Trang
A. MỞ ĐẦU

1

I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀISÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

1

II. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU

1

III. ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU

2

IV. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU

2

B. NỘI DUNG

2

TÊN ĐỀ TÀI
I. CƠ SỞ LÝ LUẬN CỦA ĐỀ TÀI
II. THỰC TRẠNG
CỦA
VẤN ĐỀ
NGHIÊN
ÁP
PHÁT
TRIỂN
TƯ
DUY CỨU
CHOTRƯỚC
HỌC KHI
SINH
DỤNG ĐỀ TÀI
QUA
KHAI
THÁC
TOÁN
CƠ BẢN
III. CÁC
GIẢIVIỆC
PHÁP ĐÃ
SỬ DỤNG
ĐỂCÁC
GIẢI BÀI
QUYẾT
VẤN ĐỀ
1. TẠO HỨNG THÚ KHI
GIẢI CÁC

BÀI TẬP
CƠLỚP
BẢN 7
VÀ KHAI
TRONG
HÌNH
HỌC
THÁC CÁC BÀI TẬP TƯƠNG TỰ
2. GIÚP HỌC SINH CHỦ ĐỘNG , SÁNG TẠO KHI GIẢI TỐN
HÌNH HỌC
3. HƯỚNG DẪN HỌC SINH KHAI THÁC CÁC CÁCH GIẢI KHÁC
NHAU CỦA CÁC BÀI TẬP CƠ BẢN
thực hiện:
4. HƯỚNG DẪN HỌCNgười
SINH KHAI
THÁCCao
CÁCThế
BÀIAnh
TẬP NÂNG
Chức vụ: Giáo viên
CAO
Đơn vịKIẾN
côngKINH
tác: NGHIỆM
Trường THCS Nguyễn Du
IV. HIỆU QUẢ CỦA SÁNG
SKKN thuộc lĩnh mực (mơn): Tốn

2
2

3
3
5
9
12
16

C. KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ

16

I. Kết luận

16

II. Kiến nghị

17

D. TÀI LIỆU THAM KHẢO

18

QUẢNG XƯƠNG NĂM 2021



A. MỞ ĐẦU
I. Lí do chọn đề tài:
Trong chương trình THCS thì Tốn học là một bộ mơn địi hỏi tư duy cao.

Đặc biệt là hình học, đây là mơn học yêu cầu các em phải có khả năng lập luận,
tư duy tốt. Tuy nhiên đa phần học sinh lớp 7 rất sợ mơn Hình học vì các em
khơng biết lí luận mà chỉ quen với việc quan sát, thử nghiệm, đo đạc, vẽ hình để
đi đến kết quả, một lí do khác làm cho các em sợ học hình là đa số các tiết lí
thuyết vẫn được các em tiếp thu kiến thức mới theo kiểu lớp 6, ít được rèn tư
duy suy luận, nhưng sau bài Định lí thì lượng bài tập cần suy luận tăng rõ rệt.
Với học sinh lớp 7 mới được làm quen với nhiều khái niệm, định lí trong
hình học. Việc làm cho học sinh tiếp cận với kiến thức mới một cách hào hứng,
biết vận dụng những kiến thức lý thuyết đã học để chứng minh một bài tốn hình
học, từ đó mở rộng, nâng cao bài toán là một yêu cầu cần thiết. Đặc biệt là thành
thạo các thao tác vẽ hình chính xác, lập luận dễ hiểu, chặt chẽ và logic. Đồng
thời làm cho học sinh thấy bản chất của các kiến thức đã học thông qua lời giải
từ một bài tốn, cho học sinh nhìn một bài tốn dưới nhiều góc độ khác nhau để
thấy được sự phong phú của tốn học và thêm u thích bộ mơn là nhiệm vụ
khơng thể thiếu trong q trình dạy học của giáo viên.
Là một giáo viên trực tiếp giảng dạy mơn Tốn 7 trong năm 2018 - 2019
tôi luôn băn khoăn, trăn trở và nhận thấy rằng, cần phải làm cho các em tự tin
hơn, khơng cịn có cảm giác khó trong học hình học. Từ đó, khơng những học
sinh chủ động nắm được nội dung kiến thức cơ bản mà còn phải giúp học sinh
có được phương pháp học tập đúng đắn.
Nhận thức được tầm quan trọng của bộ môn, và sự cần thiết của việc rèn
luyện, phát triển tư duy cho học sinh qua việc khai thác các bài toán cơ bản.
Trong q trình giảng dạy Hình học 7, tơi đã sử dụng một số bài tốn điển hình
trong SGK và SBT, nhằm thơng qua bài tốn này giúp các em khắc sâu, ghi nhớ
các kiến thức và tìm ra mối quan hệ giữa các bài toán để từ bài tốn cơ bản này
có thể chứng minh bài tốn có các yếu tố tương tự khác. Đó là lí do tôi chọn đề
tài “Phát triển tư duy cho học sinh qua việc khai thác các bài toán cơ bản”
dành cho đối tượng học sinh lớp 7 bước đầu có hiệu quả cao.
II. Mục đích nghiên cứu:
Mong muốn cùng bạn bè và đồng nghiệp khám phá những kiến thức

phong phú, đa dạng trên cơ sở nền tảng kiến thức cơ bản là SGK, SBT. Qua đó
chúng ta có cái nhìn sâu sắc, tồn diện hơn về tốn học. Mặt khác đây cũng là cơ
hội bồi dưỡng năng lực phát hiện tìm tịi cách giải các bài tốn, phát huy khả
năng tư duy, óc phán đốn, giúp các em học sinh hình thành tốt các kỹ năng giải
tốn, và thêm u thích bộ mơn.
Hình thành tính tích cực, tự giác, chủ động của học sinh. Khơi dậy tính
sáng tạo và giải tốn của học sinh.
Phát triển năng lực tự học, biết liên kết và mở rộng các bài tốn từ đó giúp
các em hình thành phương pháp giải.

1


III. Đối tượng nghiên cứu: Đề tài này nghiên cứu và khai thác các bài toán cơ
bản nhằm phát triển tư duy, chủ động, sáng tạo trong giải tốn Hình học cho học
sinh lớp 7 năm học 2018 - 2019 – Trường THCS Nguyễn Du.
IV. Phương pháp nghiên cứu: Phương pháp thu thập thơng tin, xử lí số liệu.
B. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
I. Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm.
Đặc điểm của lứa tuổi học sinh THCS là muốn tự mình khám phá, tìm
hiểu trong quá trình nhận thức. Các em có khả năng điều chỉnh hoạt động học
tập, sẵn sàng tham gia các hoạt động học tập khác nhau nhưng cần phải có sự
hướng dẫn, điều hành một cách khoa học và nghệ thuật của thầy cơ giáo. Hình
thành tính tích cực, tự giác, chủ động và đồng thời phát triển năng lực tự học của
học là một quá trình lâu dài, kiên nhẫn và phải có phương pháp. Tính tích cực,
tự giác, chủ động và năng lực tự học của học sinh được thể hiện một số mặt sau:
- Biết tìm ra phương pháp nghiên cứu giải quyết vấn đề, khắc phục các tư
tưởng rập khn, máy móc.
- Có kĩ năng phát hiện những kiến thức liên quan với nhau, nhìn nhận một
vấn đề ở nhiều khía cạnh.

- Phải có óc hồi nghi, ln đặt ra các câu hỏi tại sao? Do đâu? Như thế
nào? Liệu có trường hợp nào nữa khơng? Các trường hợp khác thì kết luận trên
có đúng nữa khơng? Và phải biết tổng hợp các bài tốn liên quan.
- Tính chủ động của học sinh còn thể hiện ở chỗ biết nhìn nhận vấn đề và
giải quyết vấn đề.
- Có khả năng khai thác một vấn đề mới từ những vấn đề đã biết.
Khi thấu hiểu bản chất nội dung kiến thức, thấy được sự đa dạng phong
phú của các bài tốn Hình học thì các em cảm thấy u thích hơn, đi sâu nghiên
cứu hơn và sẽ giải được các bài tập một cách hiệu quả hơn.
II. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm.
Qua nhiều năm giảng dạy, tham khảo học hỏi các đồng nghiệp trong và
ngồi nhà trường, tơi nhận ra rằng:
- Học sinh yếu tốn là do kiến thức cịn hổng, lại lười học, lười suy nghĩ,
lười tư duy trong quá trình học tập.
- Học sinh làm bài tập rập khuôn, máy móc để từ đó làm mất đi tính tích
cực, độc lập, sáng tạo của bản thân.
- Các em ít được củng cố, khắc sâu kiến thức, rèn luyện kĩ năng để làm
nền tảng tiếp thu kiến thức mới, do đó năng lực cá nhân khơng được phát huy
hết.
- Khơng ít học sinh thực sự chăm học nhưng có phương pháp học tập phù
hợp, chưa tích cực chủ động chiếm lĩnh kiến thức nên hiệu quả học tập chưa
cao.
- Nhiều học sinh hài lịng với lời giải của mình, mà khơng tìm lời giải
khác, khơng khai thác phát triển bài tốn, sáng tạo bài tốn nên khơng phát huy
hết tính tích cực, độc lập, sáng tạo của bản thân.
- Một số giáo viên chưa thực sự quan tâm đến việc khai thác, phát triển,
sáng tạo bài toán trong các giờ luyện tập, tự chọn…
2

- Việc chuyên sâu một vấn đề nào đó, liên hệ được các bài toán với nhau,
phát triển một bài toán sẽ giúp cho học sinh khắc sâu được kiến thức, quan trọng
hơn là nâng cao được tư duy cho các em làm cho các em có hứng thú hơn khi
học tốn.
Trước thực trạng trên địi hỏi phải có các giải pháp trong phương pháp
dạy và học sao cho phù hợp và có hiệu quả.
Để đạt được mục tiêu đó, mỗi thầy cô giáo chúng ta cần trang bị cho học
sinh không chỉ kiến thức, kỹ năng làm bài tập Tốn mà cịn phải khơi dậy ở các
em lịng say mê, tính tích cực, tự giác trong học tập. Đây khơng chỉ là vấn đề
của riêng ai. Chính vì vậy, nhận thấy sự cần thiết phải rèn luyện cho các em
năng lực tư duy, độc lập sáng tạo càng khiến tơi tâm huyết tìm tịi nghiên cứu
sáng kiến kinh nghiệm này để khắc sâu lý thuyết, rèn kĩ năng giải toán đồng thời
gây hứng thú cho học sinh. Trong khi dạy hình học 7, tơi đã có một số cải tiến và
cách làm để khai thác bài toán cơ bản nhằm tìm ra lời giải hay, ngắn nhất và
nhìn bài tốn dưới nhiều góc độ cho một bài tốn hình học, cũng như việc khai
thác các bài toán xung quanh bài tốn cơ bản đó hay phát triển mở rộng các bài
toán tương tự.
Kết quả khảo sát đầu năm khi chưa sử dụng đề tài:
Lớp
7C1
7C4

Kém
SL %
2

4

Yếu
SL

%
5
11
8
18

TB
SL
30
30

%
67
67

Khá
SL
%
6
13
5
11

Giỏi
SL %
4
9
0

TB trở lên

SL
%
40
89
35
78

III. Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề.
1. Tạo hứng thú khi giải các bài tập cơ bản trong SGK và khai thác các bài
toán tương tự.
Trước hết, trong giảng dạy chính khóa phải giúp học sinh nắm vững các
kiến thức cơ bản về các khái niệm, các tính chất hình học để vận dụng giải các
bài tập. Việc tạo được niềm say mê, hứng thú trong học tập, bằng cách này hay
cách khác chắc chắn sẽ đem lại kết quả học tập tốt hơn nhiều cho mỗi em. Có
thể tự tạo hứng thú từ những nhận xét, phát hiện “nho nhỏ” trong q trình học
tốn, nhất là các bài tập trong SGK.
Trong q trình dạy tốn, chắc rằng các thầy cơ giáo đã có khơng ít lần
gặp các bài tốn cũ mà cách phát biểu có thể hồn tồn khác, hoặc khác chút ít.
Những bài tốn tương tự, mở rộng, đặc biệt hóa hay lật ngược bài tốn mà các
bài tốn này có cùng phương pháp giải. Nếu giáo viên định hướng cho học sinh
kĩ năng thường xuyên liên hệ một bài toán mới với những bài toán đã biết như
bài toán đảo, bài toán tổng quát, bài tốn đặc biệt… thì sẽ làm cho học sinh phát
hiện ra rằng bài tốn đó khơng mới đối với mình nữa hoặc nhanh chóng xếp loại
được bài tốn từ đó định hướng được phương pháp giải quyết một cách tích cực
và chủ động. Sau đây tơi sẽ đưa ra một số ví dụ để giải quyết thực trạng trên và
để thể hiện nội dung của đề tài. Ví dụ:
3


• Bài tập 13/SBT Toán 7 (tập 1, trang 99)

Trên hình vẽ có Ax song song với By, CAx = 500 , CBy = 400 . Tính ACB
bằng cách xem nó là góc ngồi của một tam giác. (xem hình 1)

Lời giải tóm tắt: (xem hình 1’)
Kéo dài AC cắt By tại D. ACB là góc ngồi của tam giác BCD nờn:
à +D
ả = 400 + 500 = 900
ACB = B
1

*Bài toán 1: Bài tập 3/SGK Toán 7
(tập 2, trang 91):
µ = 440 ,
Xem hình 2, cho a // b, C
µ = 1320 . Tính số đo góc COD.
D
Chú ý: Tương tự học sinh có thể giải được bài trong bài toán 5, trang 92,
SGK Toán 7, tập 2.
* Bài tập 57/SGK Tốn 7 (tập 1,
trang 104)
Cho hình vẽ (a // b), hãy tính số đo x
của góc O
(xem hình 3)
Gợi ý:
Sử dụng kết quả của bài toán
1, ta chỉ cần tính OBb.
Ở đây tơi muốn trao đổi một bài toán tổng quát hơn.

4

* Bài tốn 2: Hình 4 cho biết
·
·
, Ax / / By . Chứng minh
CAB
> CAx
rằng:
·
·
·
ACB
= CAx
+ CBy

Lời giải: Trên nửa mặt phẳng
bờ AC chứa tia CB, vẽ tia Cm // Ax.
Vì Ax // By ⇒ Cm // By
·
µ ; CBy
Ã
ả (so le trong).
CAx
=C
=C
1
2
Ã
Ã
à +C

ả (1)
Vy: CAx
+ CBy
=C
1
2
Ã
Ã
à hay tia Cm nằm giữa hai tia CA và CB,
Theo giả thit, CAB
> CAx
ÃABC > C
1
à +C
ả (2)
do ú: ÃACB = C
1
2
·
·
Từ (1) và (2) suy ra ·ACB = CAx
+ CBy
Nhận xét:
+ Bài toán 2 cho biết mối quan hệ giữa hai góc CAx, CBy với góc ACB,
khơng phụ thuộc vào số đo của các góc như ở bài tốn đặt vấn đề.
+ Mấu chốt của lời giải là việc kẻ thêm đường phụ Cm song song với Ax.
+ Đối với học sinh lớp 7 mới được tập dượt chứng minh hình học, nhất là
với kiến thức ở chương I – Đường thẳng vng góc – Đường thẳng song song,
thì đây là một bài toán khá hay. Khai thác bài tốn, ta có nhiều bài tốn tương tự
khá thú vị.

* Bài tốn 3: Cho hình 5,
biết Ax // By và
·
·
CAx
+ ACB
> 1800 . Chứng minh rằng:
·
·
CAx
+ ·ACB + CBy
= 3600 .
Gợi ý:
+ Kẻ tia đối Ax’ của tia Ax và
tia đối By’ của tia By. Sử dụng kết
quả của bài toán 1.
+ Cách khác: Kẻ Cm // Ax và
chứng minh tương tự bài toán 2.

2. Giúp học sinh chủ động, sáng tạo khi giải tốn hình học
Sau khi giúp học sinh nắm vững các kiến thức cơ bản sách giáo khoa sau
đó suy nghĩ đến vấn đề là làm thế nào để học sinh chủ động, sáng tạo khi giải
các bài tốn hình học thơng qua các buổi dạy bồi dưỡng. Cách tôi đã làm là đưa
ra các bài tập tốn với mục đích vận dụng kiến thức, rèn luyện kĩ năng, kiểm tra
năng lực toán học. Đồng thời phù hợp phương pháp dạy học đổi mới theo định
hướng tích cực, độc lập, sáng tạo.
Câu trả lời đã trở nên rõ ràng nếu chú ý nhận xét tính đa dạng và phong
phú của hệ thống bài tập trong sách giáo khoa. Trong khn khổ bài viết này, tơi
xin trình bày thơng qua hai ví dụ về bài tập hình học 7 mà tôi đã tiến hành dạy
trong một tiết dạy học theo chủ đề tự chọn.

5


Ví dụ: Bài tập kích thích mạnh mẽ tư duy học sinh – loại bài tập tình
huống. Ta hãy xét bài tập sau:
Cho điểm M trên trang giấy và hai
đường thẳng d, d’ cắt nhau ngồi trang giấy
(Hình vẽ) . Hãy vẽ đường thẳng d’’ đi qua
điểm M và giao điểm của d, d’. Nêu cách vẽ
và giải thích vì sao vẽ được như vậy.
Tình huống của bài tập này là: Học sinh phải vẽ một đường thẳng đi qua
hai điểm, trong đó một điểm đã cho trước, cịn điểm thứ hai thì chưa xác định
được.
Hướng giải quyết bài tốn không phải là vẽ giao điểm của hai đường
thẳng d và d’ mà là tìm quan hệ giữa đường thẳng phải vẽ (đường thẳng d’’ đi
qua điểm M) với những đường thẳng khác có thể vẽ được trên trang giấy.
Quá trình mị mẫm dẫn đến cấu hình ba đường cao đồng quy trong tam
giác, từ đó suy ra các vẽ.
Lời giải (tóm tắt):
Cách vẽ: Vẽ đường thẳng a đi
qua M và vng góc với d, a cắt d’ tại
A. Vẽ đường thẳng b đi qua M và
vng góc với d’, b cắt d tại B. Vẽ
đường thẳng d’’ đi qua M và vng
góc với AB, d’’ là đường thẳng phải
vẽ, nó đi qua giao điểm của d và d’
(giao điểm này nằm ngồi trang giấy)
vì ba đường cao d, d’, d’’ của tam giác
MAB đồng quy.
Cũng có thể giải thích như sau:

Giả sử giao điểm của d và d’ là C (nằm ngoài trang giấy). Trong tam giác
ABC, hai đường cao a và b cắt nhau tại M. Thế thì đường thẳng d’’ đi qua M
(trực tâm của tam giác ABC) và vng góc với AB phải là đường cao thứ ba,
vậy d’’ đi qua C.
Ví dụ 2: Ta hãy xét bài tập sau.
Trên hình vẽ, biết:
AE = CE, BE // CD,
·ABE = 880 , BCE
·
= 310 .
a) Tính số đo góc ECD.
b) Tính số đo góc EDC.
c) Trong tam giác CDE thì cạnh
nào lớn nhất?

6


Đây là một bài tập dễ, vận dụng nhiều kiến thức và có nhiều cách giải
khác nhau. Nếu đề kiểm tra cuối năm phần hình học lớp 7 được ra theo kiểu này
thì chắc chắn học sinh sẽ bộc lộ rõ ràng mức độ nắm vững kiến thức cơ bản, kĩ
năng cơ bản của mình và ngay cả học sinh trung bình, yếu cũng hi vọng giải
được hầu hết các câu hỏi của bài tốn.
Lời giải: (tóm tắt)
·
·
·
·
a) BCD = ·ABE = 880 (hai góc đồng vị). => ECD
= BCD

− BCE
= 880 − 310 = 570
·
·
b) Vì tam giác EAC cân nên EAB
= ECB
= 310 . Trong tam giác ABE:
·AEB = 1800 − 880 + 310 = 610 .
·
EDC
= ·AEB = 610 (hai góc đồn vị).
·
c) Trong tam giác CDE: DEC
= 1800 − (57 0 + 610 ) = 620
Vậy cạnh CD lớn nhất.
Cách giải khác:
·
·
a) Vì tam giác EAC cân nên EAB
= ECB
= 310 . Trong tam giác AEB: ·AEB = 610 .
·
Với tam giác BEC: ·ABE = 880 là góc ngồi ở đỉnh B nên BEC
= 880 − 310 = 57 0
·
·
Vì BE // CD nên ECD
= BEC
= 57 0 (hai góc so le trong)
·

b) Vì BE // CD nên EDC
= ·AEB = 610 (hai góc đồng vị)
·
c) Trong tam giác CDE: DEC
= 1800 − (57 0 + 610 ) = 620
Vậy cạnh CD lớn nhất.
Khi học sinh đã biết cách chủ động trong việc giải các bài tập tốn thì cần
cho học sinh phát triển các tư duy đó dưới dạng tổng quát để có thể suy luận làm
các bài tập từ rất dễ đến khó hơn, từ đơn giản đến phức tạp hơn, tơi xin trình bày
chủ đề khai thác yếu tố trung điểm của đoạn thẳng mà tôi đã tiến hành trong một
buổi dạy ôn tập tổng hợp cho học sinh.
Để làm được các dạng toán này học sinh cần nhớ khái niệm trung điểm
của đoạn thẳng và nhận ra một điểm là trung điểm của đoạn thẳng trên hình vẽ.
Ngồi ra phải có khả năng tổng hợp các kiến thức đã học để chứng minh một
vấn đề. Xuất phát từ bài toán cơ bản sau:
• Bài tốn 1: Cho hình vẽ.
a. Có nhận xét gì về điểm H và thử chứng
minh nhận xét đó.
b. Hãy đặt một đề tốn.
c. Từ đó suy ra cách dựng trung điểm của
đoạn thẳng AB cho trước.
Với bài tập này học sinh dễ dàng làm
được theo các yêu cầu trên.
* Cách làm trên không những bồi dưỡng cho HS óc quan sát, nhận xét,
phán đốn mà cịn giúp các em chủ động đặt và giải quyết vấn đề.
- Rèn luyện ngơn ngữ, cách lập luận hình học và năng lực tư duy sáng
tạo.
- Rõ ràng so với dạy đại trà thì yêu cầu đã cao hơn ở chỗ:
7

+ HS phải sử dụng nhiều kiến thức và kĩ năng như hai tam giác bằng
nhau, trung điểm của đoạn thẳng, đường trung trực, đường tròn, kĩ năng sử dụng
thước, compa và tính chính xác trong sử dụng cụ.
+ HS phải vận dụng kiến thức về hai tam giác bằng nhau để chứng minh
được điểm đã dựng chính là trung điểm của AB.
+ Học sinh phải vẽ đoạn thẳng AB trước rồi mới dựng trung điểm của nó.
• Bài tốn 2: Gọi I là
trung điểm chung của hai
đoạn tẳng AC và BD.
Chứng minh AB = CD và
AB // CD.

* Chú ý:
- Trong hai kết luận nên đưa kết luận hai đoạn thẳng bằng nhau lên trước
thì HS dễ định ra hướng giải quyết hơn.
- Việc HS vẽ hai đoạn thẳng cắt nhau tại trung điểm của mỗi đoạn là
không dễ, vì vậy nên hướng dẫn HS cách vẽ, vừa rèn luyện kĩ năng sử dụng
dụng cụ, vừa định hướng tư duy cho HS trong q trình xem xét bài tốn (Hầu
hết các bài tốn hình học, khi có q trình vẽ hình đúng thì cũng có nghĩa là một
ý nào đó của lời giải cũng đã xuất hiện).
Sau khi học sinh làm xong bài tập 3, giáo viên đưa ra củng cố theo sơ đồ
phân tích ngược:
AB // CD
⇑
µ =D
µ ; AB = CD
B

⇑

Xét sự bằng nhau của hai tam giác chứa chúng
Sử dụng dấu hiệu I là trung điểm của AC và BD = 2.BI, hướng dẫn học sinh tìm
hiểu bài tốn 3.
• Bài tốn 3: Chứng minh rằng trong một tam giác vuông trung tuyến ứng
với cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền.
* Ý tưởng của bài là ở chỗ:
- HS phải chuyển bài toán sang bài toán với kí hiệu tốn học (Tốn học
hóa lời văn).
- Suy nghĩ điều kiện tồn tại, dấu hiệu đặc biệt.
- HS vẽ nhiều hình để chọn cách vẽ phù hợp.
- Kiểm tra sự vận dụng các bài tốn trên vào việc tìm lời giải bài toán.
- HS xây dựng lược đồ chứng minh.

8


1
2

* Lược đồ tìm lời giải: AM = .BC ⇒ BC = 2. AM ( AM = BM = MC )
Tạo ra một đoạn thẳng bằng 2.AM ⇒ Liên tưởng đến bài toán trên.
* Phương pháp vẽ đường phụ khi có dấu hiệu trung điểm của đoạn thẳng
bằng cách sau: “Tạo ra AD = 2.AM” đối với các tam giác vuông, nhọn, tù.
3. Hướng dẫn học sinh khai thác các cách giải khác nhau của một bài tập
hình học.
Để khắc sâu lý thuyết, rèn kĩ năng giải toán đồng thời gây hứng thú cho
học sinh trong khi học hình học 7, tơi đã có một số cải tiến và cách làm để khai
thác bài tốn nhằm tìm ra lời giải hay, ngắn nhất và nhìn bài tốn dưới nhiều góc
độ cho một bài tốn hình học.
• Bài tốn:

Cho tam giác cân ABC (AB = AC). Kẻ AH ⊥ BC ( H ∈ BC ) . Từ B, C kẻ các
đường thẳng song song với AH chúng cắt đường thẳng đi qua A lần lượt tại M
và N. CMR: AM = AN .
- Trước hết giáo viên yêu cầu học sinh vẽ hình, ghi GT, KL của bài tốn:
∆ABC có AB = AC
AH ⊥ BC ( H ∈ BC )
GT
BM //AN; CN // AH
AM = AN
KL
Nhìn nhận của giáo viên:
Nhìn trên hình vẽ BMNC là hình
thang do BM //CN (Vì cùng song song với
AH) và H là trung điểm BC nên AH là
đường trung bình

của hình thang BMNC. Song việc khai thác chứng minh A là trung điểm của
MN đối với học sinh lớp 7 khi chưa học về tính chất hình thang thì quả là một
điều khơng dễ và rất thú vị. Dưới đây là cách nhìn nhận, hướng dẫn học sinh giải
quyết bài toán này.
Định hướng giải quyết bài toán theo phương pháp tạo ra hai tam giác
chứa hai đoạn thẳng AM và AN sau đó chứng minh hai tam giác đó bằng
nhau.
9


* Một cách nhìn nhận trực tiếp:
Cách 1:
* Hạ ME ⊥ AH ( E ∈ AH ) AF ⊥ CN
( F ∈ CN )

Ta có ME = BH ; AF = HC (1)
Mà BH = HC (2)
(1) và (2) ⇒ NAF = AME
⇒ ∆ANF = ∆MAF
⇒ AM = AN

Cách 2:

* Hạ ME ⊥ AH ( E ∈ AH ) NF ⊥ CN
( F ∈ AH )
Từ đó ta chứng minh cho 2 tam giác
vuông NAF và MAE bằng nhau suy
ra MA = NA
Cách 3:
Qua A kẻ EF // BC
dẫn đến ∆AME = ∆ANF ⇒ AM = AN

Cách 4:

Kẻ AE ⊥ BM ( E ∈ BM ) ; NF ⊥ AH ( F ∈ AH ) ;
Suy ra ∆AEM = ∆NFA (g.c.g)
Suy ra AM = AN (2 cạnh tương ứng)

+ Một cách nhìn nhận gián tiếp:
Cách 1:
Kẻ BE // MN; HF //MN
Dễ dàng chứng minh được:
BE = MA; HF = AN (1)
Ta chứng minh:
10

∆BEH = ∆HFC (g.c.g)
⇒ BE = HF (2)

Từ (1) và (2) có AM = AN
Cách 2:
Qua H kẻ EF // MN
( E ∈ BM ; F ∈ CN )
Dễ chứng minh được:
EH = AM; HF = AN (1)
Có ∆BEH = ∆CFH (g.c.g)
⇒ HE = HF (2)
Từ (1) và (2) có AM = AN
Cách 3:
Kẻ BE // MN ( E ∈ AH )
CF // MN ( F ∈ AH )
Dễ chứng minh được:
BE = AM; CF = AN (tính chất đoạn
chắn) (1)
Ta chứng minh:
∆BEH = ∆CFH (g.c.g)
⇒ HE = HF (2)
Từ (1) và (2) suy ra AM = AN
Cách 4:
Kẻ HE // MN ( E ∈ BM )
CF // MN ( F ∈ AH )
HE = MA; CF = AN (1)
Ta chứng minh được:
∆BEH = ∆HFC (g.c.g)

⇒ HE = HF (2)
Từ (1) và (2) suy ra AM = AN
Nếu khai thác bài tốn theo khía cạnh sử dụng định lí “đường thẳng đi
qua trung điểm một cạnh của tam giác và song song với cạnh thứ hai thì đi
qua trung điểm của cạnh thứ ba” thì bài tốn có thể giải quyết theo 7 cách nữa.
Tuy nhiên ở lớp 7 học sinh chưa học định lí này, nhưng vẫn có thể chứng minh
được, việc đưa vào để khai thác hay không là tùy thuộc giáo viên và thời lượng
buổi dạy.
11


Một điều cần phải nói thêm rằng: Có các cách giải sẽ là tương tự của nhau,
nhưng tôi vẫn đưa ra để giúp học sinh khai thác bài toán một cách triệt để.
4. Bài tập tham khảo
• Bài 1: Cho góc xAy bằng 600, Az là tia phân giác của góc xAy. Từ điểm B
trên Ax vẽ đường thẳng song song với Ay cắt Az tại C. Vẽ BD vuông góc
với Ay ( D ∈ Ay ). Chứng minh rằng BD =

1
AC
2

• Hướng dẫn:
Chứng minh một đoạn thẳng có độ dài bằng một nửa độ dài của đoạn
thẳng khác có các cách giải sau:
Cách 1: Chia đôi đoạn thẳng dài rồi chứng minh một trong hai đoạn thẳng
này bằng đoạn thẳng ngắn.
Gọi E là trung điểm của đoạn thẳng AC. Cần chứng minh AE và EC bằng
BD. Điều này có được nhờ ∆ADB = ∆BEA .
Cách 2: Gấp đôi đoạn thẳng ngắn được đoạn thẳng mới và chứng minh

đoạn thẳng này bằng đoạn thẳng dài.
(trên tia đối của tia DB lấy điểm F sao cho DF = DB và tìm cách chứng
minh rằng AC = BF, nhận ra rằng ∆ABC = ∆BAF cho ta điều đó!)
Bài 2. Cho ABC, đường cao AH, BK cắt nhau tại E; O là tâm đường tròn ngoại
tiếp tam giác ABC. Chứng minh rằng:
a, Khoảng cách từ A tới AC bằng nửa khoảng cách từ E tới B.
b, Khoảng cách từ O tới BC bằng nửa khoảng cách từ E tới A.
Hướng dẫn:
* Cách 1: Lấy I, J lần lượt là trung điểm EA và EB.
* Cách 2: Lấy R, S sao cho R, S lần lượt là điểm đối xứng của O qua AC và BC.
* Cách 3: Kẻ Bx // AE và Ay // BE, Bx cắt Ay tại Q (hoặc lấy Q sao cho Q là
điểm đối xứng của C qua O).
* Cách 4: Lấy D là trung điểm của EC.
Bài 3: Cho ∆ABC ; AB = AC; M ∈ AB ; N thuộc tia đối của tia CA sao cho
MB = CN ; MN cắt BC tại I. Chứng minh: IM = IN .
Hướng dẫn:
* Cách 1: Kẻ Mx // AC cắt BC tại D.
∆MDI = ∆NIC (g.c.g)
* Cách 2: Từ N kẻ Nx // AB cắt tia đối của tia CB tại E; ∆MBI = ∆INE (g.c.g)
* Cách 3: Từ M kẻ Mx // BC cắt AC tại D; My // AC cắt BC tại E
NDM có CD = CN; CI // MD ⇒ IM = IN.
* Cách 4: Từ N kẻ Nx // BC cắt tia đối của tia BA tại E; từ B kẻ By // AC cắt Nx
tại D.
* Cách 5: Từ M kẻ MH ⊥ BC ; NK ⊥ BC .
Bài 4: Cho tam giác ABC cân tại A, kẻ CH ⊥ AB ( H ∈ AB ) .
1
2

CMR: BCH = BAC
Hướng dẫn:

12


·
·
* Cách 1: Nối A với trung điểm M của BC sau đó chứng minh BCH
và MAB
là
hai góc có cặp cạnh tương ứng vng góc và cùng nhọn.
* Cách : Trên tia đối của tia HB lấy điểm D sao cho HB = HD sau đó chứng
·
·
minh BCD
.
= BAC
1·
·
= BAC
* Cách 3: Từ B kẻ Bx // CH sau đó chứng minh CBx
.
2

1·
·
= BAC
* Cách 4: Từ H kẻ HN // BC sau đó chứng minh NHC
.
2

* Cách 5: Từ A kẻ Ax // HC. Tính cụ thể góc BCH và góc BAC rồi so sánh.

* Cách 6: Từ B kẻ Bx ⊥ AB (Chứng minh tương tự cách 3).
Bài 5: Cho ABC; AB > AC; A = α , trên B lấy D sao cho AC = BD. Lấy E là
·
trung điểm của BC; F là trung điểm của AD. Tính DEF
?
Hướng dẫn:
* Cách 1: Nối AE, lấy A’ sao cho E là trung điểm AA’.
* Cách 2: Lấy D’ sao cho E là trung điểm của DD’
* Cách 3: Nối D với C, lấy I là trung điểm của DC…
* Cách 4: Lấy C’ sao cho F là trung điểm CC’.
* Cách 5: Lấy K là trung điểm AB.
5. Hướng dẫn học sinh khai thác các bài tập nâng cao
Các bài toán nâng cao rất rất đa dạng, xuất hiện nhiều trong các kì thi.
Trong bài viết này, tơi xin đưa ra một số bài tốn về tính số đo góc và cạnh.
Bài tốn 1:
Cho ∆ABC vng tại A, M là trung điểm của BC, trên tia đối của tia MA lấy
điểm D sao cho AM = MD. Gọi I và K lần lượt là chân đường vuông góc hạ từ B
và C xuống AD, N là chân đường vng góc hạ từ M xuống AC.
a. Chứng minh rằng BI = CK và BK // CI.
b. Chứng minh KN < MC.
c. ∆ABC thỏa mãn thêm điều kiện gì để AI = IM = MK = KD.
d. Gọi H là chân đường vng góc hạ từ D xuống BC. Chứng minh rằng các
đường thẳng BI, DH, MN đồng quy.

13


Lời giải:
a) Hướng dẫn chứng minh BK = CI
Chỉ ra ∆BMI = ∆CMK

⇒ BI = CK
Chỉ ra ∆BIK = ∆CKI
⇒ BK = CI

* Chứng minh BK // CI
Cách 1: ∆BIK = ∆CKI
·
·
(vị trí so le trong)
⇒ BKI
= CIK
⇒ BK // CI
Cách 2: BI ⊥ AK ; CK ⊥ AK
·
·
⇒ BI // CK ⇒ MBI
= MCK
·
·
·
·
Mà KBI
(so le trong)
= ICK
⇒ KBC
= BCI
⇒ BK // CI
1
2

b) MC = BC
Chỉ ra AN = NC và KN < MC
c) AI = IM ⇒ ∆BAM cân tại A.
⇒ AB = BM
1
1
Mà BM = BC ⇒ AB = BC
2
2

d) O là giao điểm của BI và DH
MN ⊥ AC ⇒ MN ⊥ BD (1)
Xét ∆BOD có BH ⊥ OD
DI ⊥ BO

Mà BH ∩ DI = {M}
⇒ M là trực tâm của ∆BOD ⇒ MO ⊥ BD (2)
Từ (1) và (2) suy ra M, N, O thẳng hàng.
⇒ MO đi qua N
⇒ BI, DH, MN đi qua O hay BI, DH, MN đồng quy.
Bài toán 2: Cho tam giác ABC cân tại A, µA = 200 . Trên AB lấy điểm D sao cho
·
AD = BC. Tính BDC
.
Lời giải:
* Cách 1: Trên nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng BC, chứa điểm A, dựng
tam giác đầu BCE (hình 1)

14

Vì tam giác ABC cân tại A, µA = 200 nên
·ABC = ·ACB = 800 . Vậy E thuộc miền trong tam
giác ABC,
suy ra ·ACE = 200 (1)
Dễ thấy ∆ABE = ∆ACE (c.c.c)
µA
·
·
nên BAE
= CAE
= = 100 (2)

2
µ
·
Từ (1) suy ra A = ACE = 200
Suy ra ∆DAC = ∆ECA (c.g.c), kết hợp với (2)
·ACD1 = CAE
·
Suy ra Hình
= 100
·
·
·
·
Ta có BDC
là góc ngồi của ∆DAC , nên BDC
= DAC
+ DCA

= 200 + 100 = 300.
* Cách 2: Trên nửa mặt phẳng có bờ là đường
thẳng AB, chứa điểm C, dựng tam giác đều ABI
(hình 2).
Vì ∆ABC cân tại A, µA = 200 nên AI = AB = AC ;
·
·
CAI
= 400 ; IBC
= 200 suy ra ·ACI = 700 ( ∆ACI cân
tại A)
·
·
Suy ra ·ADC = BCI
= 1500 suy ra BDC
= 300 .
Hình 2

• Bài tốn 3: Cho tam giác cân tại A,
µA = 800 . Ở miền trong tam giác lấy điểm I sao cho IBC
·
·
= 100 ; ICB
= 300 . Tính
·AIB .
Lời giải:
Trên nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng BC, chứa điểm A, dựng tam giác đều
BCE (hình 3)
Vì ∆ABC cận tại A, nên µA = 800 nên
·ABC = ·ACB = 500

suy ra ·ABE = ·ACE = 100 ; điểm A thuộc

miền trong tam giác BCE.
Dễ dàng chứng minh được ∆AEB = ∆ICB
(g.c.g) suy ra BA = BI suy ra ∆ABI cân
tại B, có ·ABI = 500 − 100 = 400 suy ra
·AIB = 700 .
Hình 3

15


Nhận xét: Các bài toán trên cho ta thấy chúng có mối quan hệ mật thiết với
nhau. Vì vậy nếu trong khi dạy toán mà chúng ta biết hệ thống và liên kết chúng
thì được một hệ thống bài tập không những giúp cho việc giảng dạy thêm phần
sinh động mà còn giúp học sinh cảm thấy hứng thú và chủ động đồng thời nắm
bắt được kiến thức một cách vững vàng hơn.
IV. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục, với bản
thân.
Sau khi vận dụng các ví dụ minh họa cho việc đổi mới phương pháp dạyhọc theo hướng tích cực nhằm rèn luyện cho học sinh tư duy, sáng tạo và phát
triển năng lực tự học của học sinh trong học tập môn Tốn. Từ những bài tốn
khơng mới, giáo viên đã biến nó thành cái mới và sắp xếp chúng theo một hệ
thống nhất định, bước đầu giúp học sinh tiếp thu bài nhanh hơn, vững vàng hơn
và hứng thú hơn. Thực tế trong năm 2018 – 2019 tôi đã sử dụng đề tài trong các
giờ luyện tập, chủ đề tự chọn và các buổi ơn tập, thì kết quả cho thấy học sinh
đều có ý thức thi đua nhau, rất hào hứng phát biểu các cách làm của mình. Và
một điều quan trọng hơn cả là sau khi áp dụng cách khai thác các bài tốn này
tơi thấy tinh thần học tập, khả năng tự nghiên cứu toán học của các em được
phát huy một cách tích cực khơng những nắm vững kiến thức trong SGK các em
cịn có cố gắng trong việc tìm hiểu giải các bài tốn khó trong sách nâng cao.

Kết quả đạt được như sau:
TB trở
Kém
Yếu
TB
Khá
Giỏi
lên
Lớp
SL % SL % SL % SL % SL % SL %
7C1
0
0
0
0
0
0
30 67 15 33 45 100
7C4
0
0
0
0
10 22 30 67
5
11 45 100
C. KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ
1. Kết luận:
Qua quá trình nghiên cứu đề tài này tôi thấy, người dạy cần tạo cho học
sinh thói quen khơng chỉ dừng lại ở kết quả vừa tìm được mà phải phân tích,

khai thác nó để có những kết quả mới. Thơng qua việc hướng dẫn học sinh tìm
tịi, sáng tạo các bài tốn mới từ những bài toán đã học, đã gặp giúp học sinh tự
tin hơn trong giải tốn, nhờ đó mà học sinh phát huy được tư duy và nâng cao
năng lực sáng tạo, bước đầu hình thành cho học sinh niềm say mê nghiên cứu
khoa học. Trong quá trình giảng dạy, bồi dưỡng việc khai thác, liên kết, lật
ngược… bài toán rất quan trọng, nó khơng chỉ giúp cho học sinh nắm bắt kĩ kiến
thức cơ bản của một dạng toán mà cịn nâng cao tính khái qt hóa, đặc biệt hóa
một bài toán. Hơn nữa, việc liên kết các bài toán khác nhau, tìm mối liên hệ
chung giữa chúng sẽ giúp cho học sinh có hứng thú hơn khi học tốn…
Đối với học sinh lớp 7, chứng minh hình học đối với các em cịn mới lạ,
tương đối khó, địi hỏi tư duy cao nên trong q trình dạy tơi áp dụng các giải
pháp trên, lúc đầu nhiều em còn rất ngại học hình, hầu như học sinh chỉ có ý
thức làm bài được một cách dể thỏa mãn với chính mình, rất ngại khó khi suy
nghĩ cách khác hoặc tiếp thu cách của bạn. Các em chưa thấy được tác dụng
16


mạnh của việc nhìn bài tốn dưới nhiều góc độ sẽ củng cố được kiến thức của
mình, rèn luyện được tính tư duy sáng tạo, tính kiên trì trong khi học tốn. Đơi
khi chỉ dừng lại ở việc giải xong bài tốn đó, khơng mấy khi suy nghĩ, tìm tịi
khai thác bài tốn.
Song qua một thời gian kiên trì áp dụng cách khai thác các bài toán cơ bản
và dạy học sinh theo ý tưởng trên, đến nay hầu hết các em đã tham gia, hưởng
ứng một cách tích cực, chủ động, vận dụng kiến thức khi làm thành thạo một số
dạng bài có liên quan từ dễ đến khó, các em nhìn nhận mỗi bài tốn dưới nhiều
khía cạnh khác nhau. Từ đó kích thích được sự tị mị, sự sáng tạo, ham học hỏi,
khám phá cái mới lạ trong học tập mơn Tốn nói riêng và các mơn khoa học
khác nói chung. Đặc biệt nhiều em học sinh đã vận dụng phương pháp khác thác
bài toán một cách hợp lý nên đã tạo ra được nhiều bài toán hay, bài tốn khó và
cũng đã phát hiện nhiều cách giải độc đáo.

Sau một thời gian nghiêm túc thực hiện với cách “Phát triển tư duy cho
học sinh qua việc khai thác các bài tốn cơ bản hình học 7” với mong muốn
tạo cho học sinh tính kiên trì và có khả năng sáng tạo khi làm bài và thấy được
sự phong phú, đa dạng của toán học.
2. Kiến nghị:
Qua thực tế tơi thấy, việc khai thác bài tốn giúp cho học sinh định hướng
tìm ra lời giải 1 bài tốn hình học, khai thác các bài tốn đó là một vấn đề rất
quan trọng và không thể thiếu được trong khi giảng dạy mơn hình học lớp 7.
Chính vì vậy tôi xin mạnh dạn đề nghị PGD tổ chức nhiều hơn nữa các chuyên
đề để giáo viên được trao đổi và học hỏi kinh nghiêm, tạo hiệu quả giảng dạy –
học tập cao nhất.
Trên đây là kinh nghiệm mà tơi rút ra được trong q trình giảng dạy và
tơi đã có được phần thành cơng trong việc thay đổi phương pháp dạy và học tại
trường THCS Nguyễn Du, đặc biệt là trong bồi dưỡng học sinh giỏi. Đề tài chắc
chắc khơng tránh khỏi thiếu sót rất mong nhận được sự góp ý giúp đỡ của q
thầy cơ và các bạn đồng nghiệp.
Tôi xin chân thành cảm ơn!
XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ

Thanh Hóa, ngày tháng năm 2021
Tơi xin cam đoan đây là SKKN của
mình viết, khơng sao chép nội dung
của người khác.
Người viết sáng kiến

Cao Thế Anh

17

TÀI LIỆU THAM KHẢO
- Sách giáo khoa toán 7
(NXB Giáo dục)
- Sách bài tập toán 7
(NXB Giáo dục)
- Sách nâng cao và phát triển tốn 7
(Vũ Hữu Bình)
- Các dạng toán và phương pháp giải toán 7
(NXB Giáo dục)
- Tuyển tập các bài tốn và khó lớp 7
(NXB Giáo dục)
- Ôn tập hình học 7 – Vũ Dương Thụy
(NXB Hà Nội - 2004)
- Định lí hình học và phương pháp chứng minh – Hứa Thuần Phỏng – NXB Hà
Nội – 1982.
- Vẽ đường phụ trong hình học 7 – Vũ Dương Thụy – NXB Giáo Dục

18


DANH MỤC
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐÃ ĐƯỢC HỘI ĐỒNG SÁNG KIẾN KINH
NGHIỆM NGÀNH GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN, TỈNH VÀ CÁC
CẤP CAO HƠN XẾP LOẠI TỪ C TRỞ LÊN
Họ và tên tác giả: Cao Thế Anh
Chức vụ và đơn vị công tác: Giáo viên trường THCS Nguyễn Du
Cấp đánh giá
xếp loại
TT

1.

Tên đề tài SKKN

Một số phương pháp giải bài

(Ngành GD
cấp
huyện/tỉnh;
Tỉnh...)

Kết quả
đánh giá
xếp loại
(A, B,
hoặc C)

Năm học
đánh giá xếp
loại

Cấp tỉnh

C

2007 - 2008

Xác định đa thức một biến và Cấp tỉnh

C

2010 - 2011

Cấp tỉnh

B

2013 - 2014

Cấp tỉnh

B

2015 - 2016

Cấp tỉnh

B

2017 - 2018

tốn cực trị hình học
2.

ứng dụng
3.

Phát triển khả năng sáng tạo
của học sinh qua việc tìm lời
giải cho bài tốn hình học lớp

9

4.

Các phương pháp chứng
minh và bài tập vận dụng tứ
giác nội tiếp

5.

Vận dụng bất đẳng thức Côsi
vào giải một số bài tốn hình
học THCS tăng sự phát triển
tư duy, sáng tạo, hứng thú
cho học sinh học toán lớp 9

19


6.

Kinh nghiệm sử dụng Cấp tỉnh
phương pháp diện tích để
giải các bài tập hình học
lớp 8 – 9

B

2019 - 2020

20