SKKN rèn luyện năng lực giải quyết vấn đề và sáng tạo cho học sinh lớp 7 thông qua bài toán dãy tỉ số bằng nhau

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HỐ

PHỊNG GD&ĐT HUYỆN THỌ XUÂN

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

RÈN LUYỆN NĂNG LỰC GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ VÀ SÁNG
TẠO CHO HỌC SINH LỚP 7 THÔNG QUA BÀI TOÁN DÃY
TỈ SỐ BẰNG NHAU.

Người thực hiện: Lê Thị Tuyết
Chức vụ: Giáo viên
Đơn vị công tác: Trường THCS
SKKN thuộc mơn: Tốn

THANH HĨA NĂM 2021

1


MỤC LỤC
Mục
I

II

III

Nội dung
Trang
MỤC LỤC

2
MỞ ĐẦU
3
1. Lí do chọn đề tài.
3
2. Mục đích nghiên cứu
4
3. Đối tượng nghiên cứu.
4
4. Phương pháp nghiên cứu
5
NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
5
1. Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm
5
2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm
6
3. Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề
8
4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo
20
dục, với bản thân, đồng nghiệp và nhà trường.
KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ
21
1. Kết luận
21
2. Kiến nghị.
22
TÀI LIỆU THAM KHẢO
23

2


I. MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn đề tài .
Phát triển năng lực giải quyết vấn đề và sáng tạo được xác định là một trong
những mục tiêu quan trọng của giáo dục. Theo chương trình giáo dục phổ thơng –
Chương trình tổng thể, năng lực giải quyết vấn đề và sáng tạo là một trong những
năng lực cốt lõi cần phải bồi dưỡng và phát triển cho người học.
Năng lực giải quyết vấn đề và sáng tạo trong mơn Tốn là khả năng huy động,
tổng hợp kiến thức, kỹ năng và các thuộc tính cá nhân nhằm giải quyết một nhiệm
vụ học tập mơn Tốn, trong đó có biểu hiện của sự sáng tạo. Sự sáng tạo trong quá
trình giải quyết vấn đề được biểu hiện trong một bước nào đó, có thể là một cách
hiểu mới về vấn đề, hoặc một sự cải tiến mới cho vấn đề, hoặc một sự cải tiến mới
trong cách thực hiện giải quyết vấn đề, hoặc một cách nhìn nhận đánh giá mới,
một sự cải tiến.
Rèn luyện năng lực giải quyết vấn đề và sáng tạo cho học sinh trong q trình
giải tốn không chỉ giúp học sinh nắm vững và biết vận dụng các bài tốn cơ bản
mà cịn phải biết cách phát triển nó thành những bài tốn mới, có tầm suy luận cao
hơn nhằm phát triển năng lực tư duy cho học sinh. Khơi dậy khả năng tự lập, chủ
động, sáng tạo của học sinh. Rèn luyện kỹ năng vận dụng kiến thức vào thực tế.
Tác động đến tình cảm, đem lại niềm say mê và hứng thú cho học sinh.
Một yêu cầu cấp thiết được đặt ra trong hoạt động giáo dục phổ thông là phải
đổi mới phương pháp dạy học, trong đó đổi mới phương pháp dạy học Toán là một
trong những vấn đề đang được quan tâm nhiều nhất. Bởi lý do rất đơn giản Toán
học là môn học của sự đam mê, sáng tạo, sự tư duy lôgic và luôn đi khám phá
những điều mới lạ. Nó giúp cho người học rèn luyện được phương pháp tư duy,
suy luận, phương pháp giải quyết vấn đề, rèn luyện trí thơng minh sáng tạo xứng
danh là "Nữ hồng của cácmôn học tự nhiên". Điều quan trọng trong đổi mới

phương pháp dạy học Toán là người giáo viên phải nhận thức rõ được nhiệm vụ
của mình chính là mở rộng trí tuệ, hình thành năng lực giải quyết vấn đề, kĩ năng
tư duy sáng tạo cho học sinh, đồng thời dạy cho các em biết tự suy nghĩ, phát triển
được hết năng lực của bản thân mình để giải quyết những vấn đề khó khăn gặp
phải trong q trình học tập, chứ khơng phải làm đầy trí tuệ của các em bằng cách
truyền thụ những tri thức sẵn có. "Rèn luyện năng lực giải quyết vấn đề và sáng
tạo duy sáng tạo" là một mục tiêu mà các nhà giáo dục đang quan tâm và hướng
tới.
Thực tiễn cho thấy trong q trình học Tốn, rất nhiều học sinh cịn bộc lộ
những yếu kém, hạn chế về năng lực giải quyết vấn đề và tư duy sáng tạo. Nhìn
các đối tượng Toán học một cách rời rạc, chưa thấy được bản chất và mối quan hệ
giữa các yếu tố Toán học. Đặc biệt là không linh hoạt trong điều chỉnh hướng suy
nghĩ khi gặp trở ngại, quen với kiểu suy nghĩ rập khn, áp dụng một cách máy
móc những kinh nghiệm cũ vào những hoàn cảnh mới, điều kiện mới đã chứa đựng
những yếu tố thay đổi, nên học sinh chưa có tính độc đáo khi đi tìm lời giải trong
các bài tốn. Do đó "Rèn luyện năng lực giải quyết vấn đề và sáng tạo" là chính
một yêu cầu cấp bách trong Toán học.
3


Trong các nội dung ở chương trình Tốn lớp 7 THCS thì bài tốn về "Dãy tỉ
số bằng nhau" là một phần rất quan trọng. Đặc thù của toán về dãy tỉ số bằng nhau
là khá đa dạng và phong phú, ẩn bên trong nó là sự khó khăn và thách thức rất lớn
khi học sinh đối diện và tìm ra cách giải nó vì khơng có một phương pháp hay một
quy tắc giải nào cụ thể. Đặc biệt như là từ một dãy tỉ số chứng minh một dãy tỉ số
bằng nhau khác,…khó và phức tạp ở trong các đề thi học sinh giỏi, thi lớp chọn.
Chính vì thế, tuy toán về “dãy tỉ số bằng nhau” là một phần nhỏ trong hệ thống
kiến thức Toán THCS nhưng trong nó chứa đựng đầy đủ các yếu tố để tạo nên sức
hấp dẫn, thú vị và kích thích năng lực giải quyết vấn đề và sáng tạo cho học sinh.
Nhận thức được tầm quan trọng của vấn đề nêu trên tôi chọn đề tài viết sáng kiến

kinh nghiệm: "Rèn luyện năng lực giải quyết vấn đề và sáng tạo cho học sinh
lớp 7 thơng qua bài tốn dãy tỉ số bằng nhau”.
2. Mục đích nghiên cứu:
Mục đích nghiên cứu để rèn luyện năng lực giải quyết vấn đề và sáng tạo cho
học sinh trong khi giải bài toán dãy tỉ số bằng nhau của chương trình đại số lớp 7.
Từ đó bồi dưỡng và phát huy năng lực tự học toán cho học sinh, giúp các em nắm
chắc kiến thức một cách chủ động, sáng tạo. Tạo niềm vui, hứng thú học tập cho
các em. Bước đầu hình thành thói quen lao động tích cực sáng tạo, khoa học của
con người lao động trong thời đại mới. Kích thích và khơi dậy lịng say mê nghiên
cứu khoa học.
Ngồi ra mục đích nghiên cứu của đề tài cịn định hướng cho học sinh biết
khai thác các bài toán cùng dạng và giúp các em có thể giải các bài tốn tương tự
nhằm phát huy khả năng sáng tạo của học sinh theo hướng tích cực hóa các hoạt
động, từ đó rèn luyện cho các em khả năng tự học, tự tin hơn và u thích bộ mơn
tốn hơn
3. Đối tượng nghiên cứu:
Đề tài nghiên cứu tổng kết vấn đề: “Rèn luyện năng lực giải quyết vấn đề và
sáng tạo cho học sinh lớp 7 thơng qua bài tốn dãy tỉ số bằng nhau”. Các bài
tốn thuộc phạm vi chương trình mơn Toán lớp 7 phù hợp với các đối tượng học
sinh khá, giỏi của trường THCS tôi đang dạy. Áp dụng trong giải các bài toán liên
quan đến dãy tỉ số bằng nhau thơng qua một số bài tốn điển hình tại các giờ học
luyện tập, ôn tập, bồi dưỡng học sinh giỏi.
4. Phương pháp nghiên cứu
Xuất phát từ phạm vi nghiên cứu và chủ đề lựa chọn, tơi có sử dụng một số
phương pháp:
- Quan sát, điều tra, nghiên cứu tài liệu và phân tích tổng hợp lí thuyết: Qua
các tiết dạy trên lớp tiến hành quan sát học sinh về các phương pháp giải bài tập,
áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ở những dạng khác nhau. Tổ chức khảo sát
chất lượng học sinh khi giải các cài toán về dãy tỉ số bằng nhau, Nghiên cứu tài
liệu và tổng hợp kiến thức lí thuyết cho học sinh.

- Trò chuyện, trao đổi với học sinh, đồng nghiệp: Trò chuyện trao đổi kinh
nghiệm giảng dạy với đồng nghiệp thông qua một số tư liệu tham khảo và một số
dạng bài tập. Trò chuyện trao đổi động viên khuyến khích các em phát huy năng
lực giải quyết vấn đề và sáng tạo trong học toán.
4


- Phân tích, tổng hợp kết quả nhận thức của học sinh.
- Phương pháp thực nghiệm: Kiểm nghiệm tính khoa học, tính khả thi của đề
tài
- Nghiên cứu tài liệu tham khảo: Đọc và nghiên cứu tài liệu có liên quan đến
bài bài toán “dãy tỉ số bằng nhau” và các phương pháp sáng tạo trong giải toán.
II. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
1. Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm
Tất cả mọi dạng tốn đều địi hỏi HS nắm vững kiến thức cơ bản. Phân tích
quan hệ giữa các kiến thức đó và vận dụng phù hợp, linh hoạt vào các tình huống
giải tốn cụ thể.
Để rèn luyện năng lực giải quyết vấn đề và sáng tạo cho học sinh thơng qua
việc giải bài tốn dãy tỉ số bằng nhau ở lớp 7, cần phát huy tính tích cực, tự giác,
thói quen nghiên cứu khoa học cho học sinh, giúp học sinh khai thác nhìn nhận
một vấn đề trên nhiều khía cạnh khác nhau.
Rèn luyện năng lực giải quyết vấn đề và sáng tạo của học sinh là rèn luyện
khả năng tự khám phá, tự phát hiện, tự tìm đến kiến thức mới thơng qua các hoạt
động học tập do giáo viên tổ chức hoặc trao đổi với bạn bè.
Rèn luyện năng lực giải quyết vấn đề và sáng tạo của học sinh còn thể hiện ở
việc rèn khả năng nhận biết các tình huống có vấn đề và giải quyết được các tình
huống ấy. Qua đó tự đánh giá được nhận thức của mình về một nội dung, một kiến
thức hay một lĩnh vực nào đó. Người học không chỉ biết làm theo, sao chép những
cái đúng mà phải nghiên cứu tìm ra cái đúng, đồng thời vận dụng được cái đúng
một cách sáng tạo vào các tình huống học tập khác.

Rèn luyện năng lực giải quyết vấn đề và sáng tạo của học sinh là rèn luyện
các thao tác tư duy phân tích, tổng hợp, so sánh, đặc biệt hóa, khái quát hóa vấn đề
và khả năng giải quyết vấn đề một cách nhanh gọn, độc đáo. Một học sinh có năng
lực giải quyết vấn đề và sáng tạo tốt sẽ có nhiều kết quả cao trong học tập, khả
năng thích ứng nhanh với cuộc sống đầy biến động. Rèn luyện kỹ năng giải quyết
vấn đề và sáng tạo cho học sinh là giúp học sinh có khả năng:
- Nhận ra ý tưởng mới: Biết xác định và làm rõ thông tin, ý tưởng mới; biết
phân tích, tóm tắt những thơng tin liên quan từ nhiều nguồn khác nhau.
- Phát hiện và làm rõ vấn đề: Phân tích được tình huống trong học tập; phát
hiện và nêu được tình huống có vấn đề trong học tập.
- Hình thành và triển khai ý tưởng mới: Phát hiện yếu tố mới, tích cực trong
những ý kiến của người khác, hình thành ý tưởng dựa trên các nguồn thơng tin đã
có, đề xuất giải pháp cải tiến hay thay thế các giải pháp giải pháp khơng cịn phù
hợp; so sánh và bình luận được về các gải pháp đề xuất.
- Đề xuất lựa chọn các giải pháp: Xác định được và biết tìm hiểu các thơng tin
liên quan đến vấn đề; đề xuất được giải pháp giải quyết vấn đề.
- Thiết kế và tổ chức hoạt động: Lập được kế hoạch hoạt động với mục tiêu,
nội dung, hình thức hoạt động phù hợp. Biết phân công phù hợp cho các thành viên
tham gia hoạt động. Đánh giá được sự phù hợp hay không phù hợp của kế hoạch,
giải pháp.
5


- Tư duy độc lập: Biết đặt các câu hỏi khác nhau về một sự vật hiện tượng,
vấn đề. Biết chú ý, lắng nghe và tiếp nhận thông tin, ý tưởng với sự cân nhắc, chọn
lọc. Biết quan tâm tới các chứng cứ khi nhìn nhận đánh giá sự vật, hiện tượng. Biết
đánh giá vấn đề, tình huống dưới những góc nhìn khác nhau.
Chính vì vậy việc rèn luyện năng lực giải quyết vấn đề và sáng tạo cho học
sinh là rất cần thiết trong q trình dạy học. Thơng qua bài toán dãy tỉ số bằng
nhau, giáo viên sẽ tạo cơ hội cho học sinh được rèn luyện, phát triển năng lực giải

quyết vấn đề và sáng tạo thể hiện ở từng bước thực hiện. Học sinh sẽ học cách tiếp
cận vấn đề, hiểu đúng vấn đề, biết diễn đạt vấn đề bằng ngơn ngữ tốn học thích
hợp. Biểu hiện của sự sáng tạo của mỗi cá nhân sẽ được thể hiện ở mỗi bước, thể
hiện ở cách giải quyết ngắn gọn, độc đáo và khả năng khái quát hóa.
2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm
2.1. Với học sinh:
Trước khi sử dụng SKKN vào bồi dưỡng học sinh lớp 7A của trường THCS,
tôi đã dạy HS bài "Tính chất của dãy tỉ số bằng nhau" (1 tiết lý thuyết, 1 tiết luyện
tập, 3 tiết dạy thêm)
Kiểm tra 28 học sinh với thời gian 20 phút bao gồm các nội dung câu hỏi:
x
y
=
2 5

Câu 1. (4 điểm) Cho
và 3x - 2y = - 8. Tìm x, y ?
Câu 2. (4 điểm) Cho 5x = 2y; 3y = 5z và x + y + z = 30.Tìm x, y, z ?
a c b
= =
c b d

a3 + c3 − b3 a
=
c3 + b3 − d 3 d

Câu 3. ( 2 điểm) Cho
. Chứng minh rằng:
Kết quả làm bài của các em đạt được như sau:
Điểm

9 – 10 8 – dưới 7 - dưới 6 – dưới 7 5 –dưới 6 Dưới 5
9
8
Số lượng 0
3
5
6
5
9
(tỉ lệ)
(0%)
(10,8%)
(17,9%)
(21,4%)
(17,9%)
(32%)
Qua kết quả bài làm của học sinh, tôi rút ra một thực tế: 100% học sinh giải
rất tốt bài toán dãy tỉ số bằng nhau (câu 1); nhưng còn thụ động một chiều theo
kiến thức đã học. Vì vậy khi gặp bài tốn (câu 2) đã có nhiều học sinh khơng thể
giải được vì các em khơng biết cách chuyển từ dãy các tích bằng nhau sang dãy tỉ
số bằng nhau để sử dụng tính chất của dăy tỉ số bằng nhau trong tính tốn. Đặc biệt
câu 3, đối tượng học tốt thì khơng đủ thời gian (do 2 câu trên chưa có cách làm
hay), cịn những em khác thì không biết áp dụng, không biết sử dụng kiến thức
của dãy tỉ số bằng nhau như thế nào để chứng minh được bài toán; nhiều em chưa
thể định hướng được cách giải loại tốn này, vì vậy các em thiếu tự tin khi gặp
dạng toán chứng minh dãy tỉ số bằng nhau.
2.2. Với giáo viên
Để bảo đảm tiến trình lên lớp, truyền tải đủ kiến thức cơ bản nhưng không
quá cứng nhắc, giáo viên luôn trăn trở phải làm như thế nào để học sinh cảm nhận
và chấp nhận kiến thức đó một cách dễ dàng, tránh sự học như “vẹt” ở học sinh.

Nếu một chủ đề mới, một dạng toán mới mà học sinh chưa hiểu, chưa nắm vấn đề
6


thấu đáo, chưa làm chủ được kiến thức và cách giải quyết tình huống tương tự,
cảm thấy bế tắc khi gặp tình huống có vấn đề, học sinh sẽ càng chán chường, học
cũng như khơng, dẫn đến tình trạng học đối phó, làm bài tập cho có làm. Trong q
trình dạy - học sự tương tác giữa thầy – trò đóng vai trị quan trọng rất lớn trong
nền giáo dục hiện nay, cũng là vấn đề cơ bản dẫn đến việc có hay khơng hứng thú
với mơn học này.
Nhằm giúp học sinh có kỹ năng thành thạo và vận dụng tính chất của dãy tỉ số
bằng nhau vào giải quyết vấn đề và sáng tạo trong mỗi tình huống cụ thể thì người
giáo viên cần phải nghiên cứu suy nghĩ, tìm tịi phương pháp thích hợp: Đưa ra các
câu hỏi đào sâu những vấn đề lí thuyết, tập dượt cho học sinh quy trình giải bài
tốn thực tế. Học sinh từ chỗ hiểu được, trình bày lại cách tính các số hạng chưa
biết trong dãy tỉ số bằng nhau đơn giản đến chỗ biết cách suy nghĩ tìm ra cách giải
các bài tốn khó hơn, phức tạp hơn. Giúp học sinh nêu được những điểm mấu chốt
của từng bài toán, thấy được mối liên hệ giữa các dữ kiện của bài tốn với tính
chất của dãy tỉ số bằng nhau và tìm ra cách giải quyết một số vấn đề thực tế. Để
làm được điều này đòi hỏi GV phải đầu tư nhiều thời gian và cơng sức, phải có
năng lực sư phạm tốt mới suy nghĩ để tạo ra được nhiều tình huống gợi vấn đề và
hướng dẫn tìm tòi để phát hiện và giải quyết vấn đề. Việc tổ chức tiết học hoặc một
phần của tiết học theo phương pháp phát hiện và giải quyết vấn đề đòi hỏi phải có
nhiều thời gian hơn so với các phương pháp thông thường.
Để giải quyết được các thực trạng chung của học sinh và giáo viên như đã nêu
ở trên, tơi mạnh dạn trình bày sáng kiến kinh nghiệm: "Rèn luyện năng lực giải
quyết vấn đề và sáng tạo cho học sinh lớp 7 trường THCS tôi đang dạy thông qua
bài toán dãy tỉ số bằng nhau."
3. Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề .
3.1. Giúp HS nắm vững kiến thức cơ bản

* Tính chất của dãy tỉ số bằng nhau:
a c
a+c a − c
a c
=
=
⇒ = =
b d b + d b −d
b d

≠

≠

( b d; b -d )
* Tính chất trên cịn được mở rộng cho dãy tỉ số bằng nhau.
a c e
a c e
a+c+e
a −c + e
= =
⇒ = = =
=
= ...
b d
f
b d
f b + d + f b− d + f

(Giả thiết các tỉ số đều có nghĩa)

Tổng quát: Nếu có n tỉ số bằng nhau (n

≥

2):

a
a1 a2 a3
=
=
= .... = n
b1 b2 b3
bn

a
a + a2 + a3 + ... + an
a − a2 + a3 + ... − an
a1 a2 a3
=
=
= .... = n = 1
= 1
b1 b2 b3
bn
b1 + b2 + b3 + ... + bn
b1 − b2 + b3 + ...... − bn

thì

(nếu đặt dấu "-" trước số hạng trên của tỉ số nào thì cũng đặt dấu "-" trước số

hạng dưới của tỉ số đó).
Chú ý:Tính chất dãy tỉ số bằng nhau cho ta một khả năng rộng rãi để từ một số tỉ
số bằng nhau cho trước, ta lập được những tỉ số mới bằng các tỉ số đã cho, trong đó
7


số hạng trên hoặc số hạng dưới của nó có dạng thuận lợi nhằm sử dụng các dữ kiện
của bài tốn.
3.2. Tập dượt cho học sinh quy trình giải bài toán dãy tỉ số bằng nhau.
Trước mỗi bài toán cụ thể, GV cần tập cho học sinh quy trình giải bài tốn
theo các bước:
Bước 1: Xác định mơ hình tốn học của vấn đề thực tiễn (Phát hiện hoặc thâm
nhập vấn đề)
Trong bước này giáo viên hướng dẫn học sinh sử dụng tỉ số, tỉ lệ thức, đẳng
thức, dãy tỉ số bằng nhau....để mơ tả các tình huống đặt ra trong bài toán. Cụ thể:
- Phát hiện vấn đề từ một tình huống gợi vấn đề
- Giải thích và chính xác hóa tình huống (khi cần thiết) để hiểu đúng vấn đề
được đặt ra
- Phát biểu vấn đề và đặt mục tiêu giải quyết vấn đề đó
Bước 2: Giải quyết các vấn đề tốn học trong mơ hình được thiết lập (Tìm giải
pháp)
Trong bước này giáo viên hướng dẫn học sinh sử dụng tính chất của tỉ lệ thức
thiết lập ra dãy tỉ số bằng nhau, sử dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau để thành
lập các tỉ số mới bằng tỉ số đã cho....Tỉ số này có mối quan hệ với các tỉ số đã cho
và cần tỉ số cần tìm.
Tìm cách giải quyết vấn đề, thường được thực hiện theo các bước sau:
- Phân tích vấn đề: làm rõ mối liên hệ giữa cái đã biết và cái cần tìm (dựa vào
những tri thức đã học, liên tưởng tới kiến thức thích hợp)
- Hướng dẫn HS tìm chiến lược giải quyết vấn đề thơng qua đề xuất và thực
hiện hướng giải quyết vấn đề. Cần thu thập, tổ chức dữ liệu, huy động tri thức; sử

dụng những phương pháp, kĩ thuật nhận thức, tìm đốn suy luận như hướng đích,
quy lạ về quen, đặc biệt hóa, chuyển qua những trường hợp suy biến, tương tự hóa,
khái quát hóa, xem xét những mối liên hệ phụ thuộc, suy xuôi, suy ngược tiến, suy
ngược lùi,... Phương hướng đề xuất có thể được điều chỉnh khi cần thiết. Kết quả
của việc đề xuất và thực hiện hướng giải quyết vấn đề là hình thành được một giải
pháp.
- Kiểm tra tính đúng đắn của giải pháp: Nếu giải pháp đúng thì kết thúc ngay,
nếu khơng đúng thì lặp lại từ khâu phân tích vấn đề cho đến khi tìm được giải pháp
đúng. Sau khi đã tìm ra một giải pháp, có thể tiếp tục tìm thêm những giải pháp
khác, so sánh chúng với nhau để tìm ra giải pháp hợp lí nhất.
Bước 3. Thể hiện và đánh giá lời giải trong bài toán cụ thể, sáng tạo lời giải nếu
cách giải quyết vấn đề cũ khơng cịn phù hợp.(Trình bày giải pháp, nghiên cứu
sâu giải pháp)
-HS trình bày lại tồn bộ từ việc phát biểu vấn đề tới giải pháp. Nếu vấn đề là
một đề bài cho sẵn thì có thể khơng cần phát biểu lại vấn đề.
- Tìm hiểu những khả năng ứng dụng kết quả.
- Đề xuất những vấn đề mới có liên quan nhờ xét tương tự, khái quát hóa, lật
ngược vấn đề,... và giải quyết nếu có thể.
Chú ý: Việc tập dượt cho học sinh quy trình giải bài tốn dãy tỉ số bằng nhau sẽ tạo
cơ hội cho học sinh được rèn luyện, phát triển năng lực giải quyết vấn đề và sáng
8


tạo thông qua từng bước thực hiện. Học sinh sẽ học cách tiếp cận vấn đề, hiểu
đúng vấn đề, biết diễn đạt vấn đề bằng ngơn ngữ tốn học thích hợp, thực hiện giải
quyết vấn đề, dựa vào thực tế và kinh nghiệm của bản thân để đánh giá lựa chọn
cách giải quyết phù hợp với thực tiễn.
3.3. Bài tập áp dụng và hướng dẫn khai thác
Dạng 1: Tìm các số hạng chưa biết của dãy tỉ số bằng nhau
Cách giải:

Cách 1.
Bước 1: Xác định mơ hình tốn học của vấn đề thực tiễn: Xác định dãy tỉ số
bằng nhau
Bước 2: Giải quyết các vấn đề tốn học trong mơ hình được thiết lập: Áp
dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau lập ra tỉ số mới bằng các tỉ số đã cho và có
giá trị đã biết.
Bước 3. Thể hiện và đánh giá lời giải trong bài toán cụ thể: Từ dãy tỉ số bằng
nhau viết ra các tỉ lệ thức và tìm các số hạng chưa biết của dãy tỉ số bằng nhau.
Cách 2.
Bước 1: Xác định mơ hình tốn học của vấn đề thực tiễn: Xác định dãy tỉ số
bằng nhau
Bước 2: Giải quyết các vấn đề tốn học trong mơ hình được thiết lập: Đặt giá
≠0

trị của dãy tỉ số bằng nhau đó là một số k
. Biểu diễn các số hạng chưa biết
trong dãy tỉ số bằng nhau theo giá trị k
Bước 3. Thể hiện và đánh giá lời giải trong bài toán cụ thể: Tính giá trị của k,
từ đó tính được các số hạng chưa biết của dãy tỉ số bằng nhau.

Bài tốn 1: Cho

x
y
=
2
5

và 3x - 2y = - 8. Tìm x, y ?

Hướng

dẫn học sinh:
Cách 1.
Bước 1: Xác định mô hình tốn học của vấn đề thực tiễn
? Bài tốn cho biết gì? yêu cầu gì?
Cho dãy 2 tỉ số bằng nhau, tìm số hạng trên của mỗi dãy tỉ số khi số hạng
dưới của chúng đã biết
Bước 2: Giải quyết các vấn đề tốn học trong mơ hình được thiết lập
? Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau hãy lập ra tỉ số mới bằng các tỉ số
đã cho và có giá trị đã biết ?
x y
3x 2 y 3x − 2 y − 8
= ⇒
=
=
=
=2
2 5
6 10
6 −10
−4

Bước 3: Thể hiện và đánh giá lời giải trong bài toán cụ thể
? Từ dãy tỉ số bằng nhau viết ra các tỉ lệ thức và tìm các số hạng chưa biết
theo yêu cầu của bài toán?
9


x

= 2 ⇒ x = 2 .2 = 4
2

;

y
= 2 ⇒ y = 2.5 = 10
5

Cách 2.
Bước 1: Xác định mơ hình tốn học của vấn đề thực tiễn
? Bài tốn cho biết gì? u cầu gì?
Bước 2: Giải quyết các vấn đề tốn học trong mơ hình được thiết lập
? Đặt giá trị của dãy tỉ số bằng nhau đó là một số k
hạng chưa biết trong dãy tỉ số bằng nhau theo giá trị k ?
x
y
=
2 5

≠0

. Biểu diễn các số

≠0 ⇒

Đặt
=k (k
) x = 2k; y = 5k
Bước 3. Thể hiện và đánh giá lời giải trong bài tốn cụ thể:

? Hãy tính giá trị của k ? Suy ra số hạng chưa biết theo yêu cầu của bài tốn?
Vì 3x – 2y = -8
⇒

⇒

k = (-8) : (-4)

3.(2k) – 2.(5k) = -8

⇒

⇒

⇒

6k – 10k = -8

⇒

-4k = -8

k=2

Khi k = 2
x = 2.2 = 4; y = 5.2 = 10
Cách 3. (Ngoài hai cách giải trên có thể gợi ý để các e tìm ra cách giải khác)
Bước 1: Xác định mơ hình tốn học của vấn đề thực tiễn
? Bài tốn cho biết gì? u cầu gì?
Bước 2: Giải quyết các vấn đề tốn học trong mơ hình được thiết lập

-Từ định nghĩa hai phân số bằng nhau:

x
y
=
2 5

suy ra được: 5x = 2y

5x
y=
2

- Rút một ẩn theo ẩn cịn lại, ví dụ:
(1)
Bước 3. Thể hiện và đánh giá lời giải trong bài toán cụ thể:
- Thay vào biểu thức: 3x - 2y = - 8(*) ta tìm được x
5x
2

⇒

⇒

3x – 2.
=-8
3x – 5x = -8 x = 4
- Thay giá trị vừa tìm được của x vào (1) ta tìm được giá trị của y = 10
Bài giải
Cách 1.

Ta có:

x
y
3x 2 y
=
⇒
=
2
5
6
10

.Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau suy ra:

3x 2 y
3x − 2 y − 8
=
=
=
=2
6
10
6 − 10
−4

Từ đó:

x
= 2 ⇒ x = 2 .2 = 4

2

;

( vì 3x – 2y = -8 )
y
= 2 ⇒ y = 2.5 = 10
5

. Vậy x = 2, y = 10
10


Cách 2.
Đặt

x
y
=
2 5

Vì 3x – 2y = -8
⇒

⇒

k = (-8) : (-4)

Khi k = 2
Cách 3..

≠0 ⇒

=k (k

⇒

)

x = 2k; y = 5k

3.(2k) – 2.(5k) = -8

⇒

⇒

6k – 10k = -8

⇒

-4k = -8

k=2

x = 2.2 = 4; y = 5.2 = 10. Vậy x = 2, y = 10

x
y
=

2 5 ⇒

⇒

y=

5x
2

-Từ
5x = 2y
(1)
- Thay(1) vào biểu thức: 3x - 2y = - 8 ta được:
3x – 2.

5x
2

=-8

⇒

3x – 5x = -8

⇒

x=4

y=

⇒

5.4
2 ⇒

y = 10

Bài toán 2. Cho 5x = 2y; 3y = 5z và x + y + z = 30.Tìm x, y, z ?
Hướng dẫn học sinh:
Cách 1.
Bước 1: Xác định mơ hình tốn học của vấn đề thực tiễn
? Bài toán đã cho biết dãy tỉ số bằng nhau chưa? Làm thế nào để thành lập
được dãy tỉ số bằng nhau?
Dựa vào tính chất của tỉ lệ thức, thành lập các tỉ lệ thức từ các đẳng thức đã
cho của các tích: 5x = 2y

x y
=
⇒ 2 5

⇒

(1)

; 3y = 5z

y
z
=
5 3

( 2)

x y z
= =
2 5 3

Từ (1) và (2) suy ra dãy tỉ số bằng nhau:
.
Bước 2: Giải quyết các vấn đề tốn học trong mơ hình được thiết lập.
? Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau hãy lập ra tỉ số mới bằng các tỉ số
đã cho và có giá trị đã biết ?
⇒

x y z x + y + z 30
= = =
=
=3
2 5 3 2 + 5 + 3 10

( Vì x + y + z = 30)
Bước 3:Thể hiện và đánh giá lời giải trong bài toán cụ thể
? Từ dãy tỉ số bằng nhau viết ra các tỉ lệ thức và tìm các số hạng chưa biết
theo yêu cầu của bài toán?
x
=3⇒ x = 6
2

y
= 3 ⇒ y = 15

5

z
=3⇒ z =9
3

Ta có:
;
;
Cách 2.
Bước 1: Xác định mơ hình tốn học của vấn đề thực tiễn
11


? Bài toán đã cho biết dãy tỉ số bằng nhau chưa? Làm thế nào để thành lập
được dãy tỉ số bằng nhau?
? Dựa vào tính chất của tỉ lệ thức, thành lập các tỉ lệ thức từ các đẳng thức đã
cho của các tích ?
x y
=
⇒ 2 5

Từ 5x = 2y

y z
=
5 3

⇒

(1)

; 3y = 5z

( 2)

x y z
= =
2 5 3

Từ (1) và (2) suy ra dãy tỉ số bằng nhau:
.
Bước 2: (Giải quyết các vấn đề toán học trong mơ hình được thiết lập)
? Đặt giá trị của dãy tỉ số bằng nhau đó là một số k
hạng chưa biết trong dãy tỉ số bằng nhau theo giá trị k ?
x y z
= = =k
2 5 3

(k ≠ 0)

≠0

. Biểu diễn các số

⇒

Đặt:
x = 2k; y = 5k; z = 3k
Bước 3. Thể hiện và đánh giá lời giải trong bài tốn cụ thể

? Hãy tính giá trị của k ? Suy ra số hạng chưa biết theo u cầu của bài tốn?
Vì x + y + z = 30
Khi k = 3

⇒

⇒

2k + 5k + 3k = 30

⇒

10k = 30

⇒

k=3

x = 2.3 = 6; y = 5.3 = 15; z = 3.3 = 9
Bài giải.

Cách 1.
Từ 5x = 2y

x y
=
⇒ 2 5
⇒

Từ (1) và (2)

⇒

⇒

(1)

;

x y z
= =
2 5 3

3y = 5z

( Vì x + y + z = 30)

y
= 3 ⇒ y = 15
5

Ta có:
;
Vậy: x = 6; y = 15; z = 9
Cách 2.
Từ 5x = 2y

x y
=
⇒ 2 5

Từ (1) và (2)
Đặt:

( 2)

. Áp dụng tính chất cảu dãy tỉ số bằng nhau:

x y z x + y + z 30
= = =
=
=3
2 5 3 2 + 5 + 3 10
x
=3⇒ x = 6
2

y
z
=
5 3

;

z
=3⇒ z =9
3

⇒

(1)

; 3y = 5z

y z
=
5 3

( 2)

x y z
⇒ = =
2 5 3

x y z
= = =k
2 5 3

(k ≠ 0)

⇒

x = 2k; y = 5k; z = 3k
12


Vì x + y + z = 30
Khi k = 3

⇒

⇒

2k + 5k + 3k = 30

⇒

10k = 30

⇒

k=3

x = 2.3 = 6; y = 5.3 = 15; z = 3.3 = 9. Vậy: x = 6; y = 15; z = 9

Bài toán 3: Cho

x
y
=
2 5

và x2 + y2 = 261. Tìm x, y ?
Hướng dẫn học sinh:

* Sai lầm thường gặp:
Học sinh khi giải dạng bài tập này thường áp dụng sai tính chất của dãy tỉ số
bằng nhau như sau:
x y x 2 + y 2 261
= =
=

= 9 ⇒ x = 2.9 = 18; y = 5.9 = 45
2 5 22 + 52
29

GV cần khẳng định khơng có tính chất trên, và hướng dẫn học sinh hướng
GQVĐ như sau:
Cách 1.
Bước 1: Xác định mơ hình tốn học của vấn đề thực tiễn
? Sử dụng dãy tỉ số bằng nhau đã cho của bài toán để thiết lập được tỉ số mới
bằng các tỉ số đã cho được không?
(Không thể thành lập tỉ số bằng dãy tỉ số đã cho bởi số hạng trên của dãy tỉ số
đã cho là x và y nhưng dữ kiện thứ hai của bài toán là x2 + y2 = 261)
? Vậy từ dãy tỉ số bằng nhau đã cho có thể suy ra dãy tỉ số bằng nhau nào để
có thể giải được bài tốn ?
(Gợi ý: sử dụng tính chất của đẳng thức: a = b

⇒

an = bn)

x2 y2
x
y
⇒
=
=
4
25
2 5

Từ
Bước 2: Giải quyết các vấn đề toán học trong mơ hình được thiết lập
? Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau lập ra tỉ số mới bằng các tỉ số đã
cho và có giá trị đã biết .
⇒

x 2 y 2 x 2 + y 2 261
=
=
=
=9
4
25
4 + 25
29

( vì x2 + y2 = 261)
Bước 3. (Thể hiện và đánh giá lời giải trong bài toán cụ thể): ? Tìm các số
hạng chưa biết của dãy tỉ số bằng nhau như thế nào?.
x2
= 9 ⇒ x 2 = 36 ⇒ x = ± 6
4

;

y2
= 9 ⇒ y 2 = 225 ⇒ y = ± 15
25

Cách 2.

Bước 1: Xác định mơ hình tốn học của vấn đề thực tiễn
? Bài tốn cho biết gì? u cầu gì?
Bước 2: Giải quyết các vấn đề tốn học trong mơ hình được thiết lập
13


? Đặt giá trị của dãy tỉ số bằng nhau đó là một số k
chưa biết trong dãy tỉ số bằng nhau theo giá trị k?
x
y
=
2 5

≠

≠0

. Biểu diễn các số hạng

⇒

Đặt:
= k ( k 0)
x = 2k; y = 5k
Bước 3. (Thể hiện và đánh giá lời giải trong bài tốn cụ thể)
? Tính giá trị của k, từ đó tính được các số hạng chưa biết của dãy tỉ số bằng
nhau?
Vì x2 + y2 = 261
⇒

* Nếu k = 3
* Nếu k = -3

⇒

⇒

4k2 + 25k2 = 261

⇒

29k2 = 261

⇒

k2 = 9

⇒

k=

±

3

x = 2.3 = 6; y = 5 . 3 = 15
x = 2.(-3) = -6; y = 5 . (-3) = -15
Bài giải.

Cách 1.

x2 y2
x
y
⇒
=
=
4
25
2 5

Từ
Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau:
⇒

x 2 y 2 x 2 + y 2 261
=
=
=
=9
4
25
4 + 25
29

( vì x2 + y2 = 261)

x2
= 9 ⇒ x 2 = 36 ⇒ x = ± 6
4

y2
= 9 ⇒ y 2 = 225 ⇒ y = ± 15
25

Ta có:
;
Vậy x = 6, y = 15 hoặc x = -6, y = -15
Cách 2.
Đặt:

x
y
=
2 5

=k(k

Vì x2 + y2 = 261
* Nếu k = 3

⇒

⇒

⇒

≠

0)

⇒

x = 2k; y = 5k

4k2 + 25k2 = 261

⇒

29k2 = 261

⇒

k2 = 9

⇒

k=

±

3

x = 2.3 = 6; y = 5 . 3 = 15

* Nếu k = -3
x = 2.(-3) = -6; y = 5 . (-3) = -15
Vậy x = 6, y = 15 hoặc x = -6, y = -15
x
y
=

2 5

Bài toán 4: Cho
và xy = 360. Tìm x, y ?
Hướng dẫn học sinh:
Sai lầm thường gặp:
Học sinh khi giải dạng bài tập này thường áp dụng sai tính chất của dãy tỉ số
bằng nhau như sau:
14


x y xy 360
= =
=
= 36 ⇒ x = 2.36 = 72; y = 5.36 =180
2 5 2.5 10

GV cần khẳng định khơng có tính chất trên, và u cầu học sinh phải tìm
hướng giải quyết vấn đề theo cách khác (phát huy sự sáng tạo của học sinh)
Bài giải
Cách 1
2

Từ

2

x
y ⇒  x  =  y  = x . y = xy = 360 = 36
   

=
2 5 10 10
2  5
2 5

(Vì xy = 360)

2

Ta có:

x
 x
  = 36 ⇒ = ± 6 ⇒ x = ±12
2
2
2

y
 y
  = 36 ⇒ = ± 6 ⇒ y = ± 30
5
5

Vậy x = 12, y = 30 hoặc x = -12, y = -30
Cách 2.
Đặt:

x
y

=
2 5

=k(k
⇒

Vì xy = 360.
* Nếu k = 6

⇒
⇒

≠

0)

⇒

x = 2k; y = 5k

(2k)(5k) = 360

⇒

10k2 = 360

⇒

k2 = 36

⇒

k=

±

6

x = 2.6 = 12; y = 5 . 6 = 30

* Nếu k = -6
x = 2.(-6) = -12; y = 5 . (-6) = -30
Vậy x = 12, y = 30 hoặc x = -12, y = -30
Bài toán 5: a. Cho 5x = 2y; 3y = 5z và x2 + y2 + z2 = 152. Tìm x, y, z ?
b. Cho 15x = 6y = 10z và xyz = 240.Tìm x, y, z ?
Hướng dẫn học sinh:
? Từ các đẳng thức đã cho thành lập dãy tỉ số bằng nhau bằng cách nào?
a. Thành lập các tỉ lệ thức, suy ra dãy tỉ số bằng nhau:
Từ 5x = 2y

x y
=
⇒ 2 5
⇒

⇒

(1) ;

3y = 5z

y z
=
5 3

( 2)

x y z
= =
2 5 3

Từ (1) và (2)
b. Từ: 15x = 6y = 10z , Tìm BCNN (15,6,10) = 30
Chia các tích cho BCNN vừa tìm 15x = 6y = 10z
⇒

15 x 6 y 10 z
x y z
=
=
⇒ = =
30 30 30
2 5 3

15


? Từ dãy tỉ số bằng nhau vừa thành lập, có vận dụng tính chất dãy tỉ số bằng
nhau để viết tỉ số bằng dãy đã cho được không? Cần phải làm thế nào để tính được
các số hạng chưa biết?

a. suy ra dãy tỉ số bằng nhau

sau đó áp dụng tính chất dãy tỉ số

x
y
z
x +y +z
152
=
=
=
=
=4
4
25 9
4 + 25 + 9
38
2

bằng nhau ta có

x2 y2 z2
=
=
4
25 9

2

2

2

2

3

2

3

3

x y z ⇒  x  =  y  =  z  = xyz = 240 = 8
 
   
= =
2.5.3 30
2
 5  3
2 5 3

b. Từ
? Lên bảng hoàn thành lời giải?
Bài giải.
a. Từ 5x = 2y

x y
=

⇒ 2 5
⇒

Từ (1) và (2)
x2
y2 z2
=
=
⇒ 4
25
9

⇒

(1)

;

3y = 5z

y
z
=
5 3

( 2)

x y z
= =
2 5 3

. Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau:

x
y
z
x 2 + y 2 + z 2 152
=
=
=
=
=4
25 9
4 + 25 + 9
38
⇒ 4
2

2

2

x2
= 4 ⇒ x 2 = 16 ⇒ x = ± 4
4

Ta có:

y2
= 4 ⇒ y 2 = 100 ⇒ y = ± 10

25
z2
= 4 ⇒ z 2 = 36 ⇒ z = ± 6
9

Vậy x = 4, y = 10, z = 6 hoặc x = -10, y = -10, z = -6
⇒

b. Từ 15x = 6y = 10z
3

3

15 x 6 y 10 z
x y z
=
=
⇒ = =
30 30 30
2 5 3

3

xyz 240
x
 y z
⇒   =   =  =
=
=8
2.5.3 30

2
 5  3

(Vì xyz = 240)

16


3

Ta có:

x
x
  = 8⇒ = 2 ⇒ x = 4
2
2
3

y
 y
  = 8 ⇒ = 2 ⇒ y =10
5
5
3

z
z
  = 8 ⇒ =2 ⇒ z = 6
3

3

.Vậy x = 4, y = 10, z = 6
(Cách 2 học sinh tự trình bày)
*Các cách khác HS vận dụng làm tương tự như các bài toán trên đã hướng dẫn
Dạng 2: Từ dãy tỉ số bằng nhau, chứng minh một dãy tỉ số bằng nhau khác.
Cách chứng minh:
Cách 1.
Bước 1: Xác định mơ hình tốn học của vấn đề thực tiễn.
Xác định dãy tỉ số bằng nhau
Bước 2: Giải quyết các vấn đề tốn học trong mơ hình được thiết lập).
Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau lập ra các tỉ số mới bằng các tỉ số
đã cho tùy vào từng yêu cầu của bài
Bước 3. Thể hiện và đánh giá lời giải trong bài toán cụ thể.
Từ dãy tỉ số bằng nhau vừa lập viết ra dãy tỉ số mới theo yêu cầu cần chứng
minh.
Cách 2.
Bước 1: Xác định mơ hình tốn học của vấn đề thực tiễn.
Xác định dãy tỉ số bằng nhau
Bước 2: Giải quyết các vấn đề tốn học trong mơ hình được thiết lập.
≠0

Đặt giá trị của dãy tỉ số bằng nhau đó là một số k
, biểu diễn các số hạng
trên (hoặc các số hạng dưới) của các tỉ số bằng nhau theo k và theo số hạng còn lại
Bước 3: Thể hiện và đánh giá lời giải trong bài tốn cụ thể.
Tính giá trị của mỗi tỉ số trong dãy tỉ số cần chứng minh theo k, ta được dãy
các tỉ số có cùng giá trị. Từ đó suy ra dãy tỉ số bằng nhau theo yêu cầu cần chứng
minh.

Bài toán 6: Cho

a c
=
b d

. Chứng minh rằng:
Hướng dẫn học sinh:

a2 + c2
ac
=
2
2
b +d
bd

Cách 1.
? Bài toán cho biết gì? yêu cầu gì?
? Từ dãy tỉ số bằng nhau đã cho có thể áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng
nhau để thành lập ra các tỉ số mới bằng nhau theo u cầu của bài tốn khơng?
17


? Cần thành lập ra dãy tỉ số bằng nhau nào từ dãy tỉ số đã cho? (vận dụng bài
toán 3 và bài toán 4 để thành lập dãy tỉ số bằng nhau mới)
2

2

a c
a c
a
c
=
⇒   =  = .
b d
b d
b
d 

a 2 c 2 ac
=
=
⇒ b 2 d 2 bd

Từ
(1)
? Từ dãy tỉ số bằng nhau vừa lập viết ra thêm tỉ số mới bằng các tỉ số đó theo
u cầu cần chứng minh
Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:
a2 c2 a2 + c2
ac
= 2 = 2
=
2
2
b
d
b +d

bd

(2)
a2 + c2
ac
=
2
2
b +d
bd

Từ (1) và (2) suy ra:
Cách 2.
? Bài toán cho biết gì? yêu cầu gì?

≠0

? Đặt giá trị của dãy tỉ số bằng nhau đó là một số k
, biểu diễn các số hạng
trên (hoặc các số hạng dưới) của các tỉ số bằng nhau theo k và theo số hạng còn lại:
Đặt

a c
=
b d

≠0

⇒

= k ( Với k
)
a = kb ; c = kd
? Tính giá trị của mỗi tỉ số trong dãy tỉ số cần chứng minh theo k, ta được dãy
các tỉ số có cùng giá trị. Từ đó suy ra dãy tỉ số bằng nhau theo yêu cầu cần chứng

(
a2 + c2
kb ) + ( kd )
k 2 (b 2 + d 2 )
=
=
= k2
2
2
2
2
2
2
b +d
b +d
b +d
2

minh.

2

ac kb.kd 2
=

= k ( 2)
bd bd

(1) ;

Từ (1) và (2) suy ra

a2 + c2
ac
=
2
2
b +d
bd

Bài giải
2

2

a c
a c
a
c
=
⇒   =  = .
b d
b d
b
d 

a 2 c 2 ac
=
=
⇒ b 2 d 2 bd

Cách 1: Từ
Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:
a2 c2 a2 + c2
ac
= 2 = 2
=
2
2
b
d
b +d
bd

(1)

(2)
a + c2
ac
=
2
2
b +d
bd
2

Từ (1) và (2) suy ra:
Cách 2: Đặt

a c
=
b d

= k ( Với k

≠0

)

⇒

a = kb ; c = kd
18


( kb ) + ( kd ) = k 2 (b 2 + d 2 ) = k 2
a2 + c2
=
b2 + d 2
b2 + d 2
b2 + d 2
2

.

2

(1) ;
a2 + c2
ac
=
2
2
b +d
bd

ac kb.kd 2
=
= k ( 2)
bd bd

Từ (1) và (2) suy ra
Học sinh có thể giải bằng các khác như sau:
Cách 3.

Xét hiệu:
Do :

a 2 + c 2 ac a 2bd + c 2bd − b 2 ac − d 2 ac
−
=
b 2 + d 2 bd
bd ( b 2 + d 2 )

a c

= ⇒ ad = bc
b d

Từ đó ta có:
Vậy

a 2 + c 2 ac a 2bd + c 2bd − b 2 ac − d 2 ac ab 2c + acd 2 − b 2 ac − d 2ac
−
=
=
=0
b 2 + d 2 bd
bd ( b 2 + d 2 )
bd ( b 2 + d 2 )

a 2 + c 2 ac
=
b 2 + d 2 bd

Bài toán 7: Cho

.

a c b
= =
c b d

. Chứng minh rằng:
Chứng minh:

a 3 + c 3 − b3 a
=
c3 + b3 − d 3 d

Cách 1.
3

Từ:

3

3

a c b
a c b
a c b
= =
⇒   =  =  = . .
c b d
c b d
 c  b d 

Suy ra:

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:

Đặt

Ta có:

3

= k ( Với k

a k 3d
=
= k3
d
d

3

3

3

3

(2)

a +c −b
a
=
3
3
3
c +b −d
d
3

a c b
= =
c b d

(1)

a
c
b
a + c − b3
=
=
=
c 3 b3 d 3 c 3 + b3 − d 3
3

Từ (1) và (2) suy ra:
Cách 2.

a3 c3 b3 a
=
=
=
c3 b3 d 3 d

3

≠0 ⇒

)

b = kd ; c = kb = k2d; a = kc = k3d

(1)

19


( ) (
( )

)

(

)

a 3 + c 3 − b 3 k 3 d + k 2 d − ( kd )
k 9 d 3 + k 6 d 3 − k 3 d 3 k 3 d 3 k 6 + k 3 −1
=
=
= 3 6 3
= k 3 ( 2)
3
3
3
3
6 3
3 3
3

3
2
3
c +b −d
k d +k d − d
d k + k −1
k d + ( kd ) − d
3

Từ (1) và (2) suy ra
Cách 3.

Xét hiệu:

3

3

(

)

a3 + c 3 − b3 a
=
c3 + b3 − d 3 d

a 3 + c3 − b3 a a3 d + c 3d − b3 d − ac 3 − ab3 + ad3
− =
(1)
c 3 + b3 − d 3 d

d ( c3 + b3 − d 3 )

a c b
= = ⇒ c 2 = ab; b 2 = cd ; ad = bc (2)
c b d

Từ giả thiết
Từ (1) và (2)suy ra:

a 3 + c 3 − b3 a a 3 d + c 3d − b3d − ac 3 − ab3 + ad 3 a 2bc + b 2c 2 − b 3d − a 2bc − b 2c 2 − bcd 2 + bcd 2
− =
=
=0
c 3 + b3 − d 3 d
d ( c 3 + b3 − d 3 )
d ( c 3 + b3 − d 3 )

Vậy:

a3 + c3 − b3 a
=
c3 + b3 − d 3 d

Bài toán 8: Cho

a c
=
b d

chứng minh

Cách 1:
Ta có
Cách 2:
Cho
Ta có:

a c
a b a −b
a
c
= ⇒ = =
⇒
=
b d
c d c−d
a −b c −d

a c
= = k ⇒ a = bk ; c − dk
b d
a
bk
k
c
dk
k
=
=
(1);
=

=
(2)
a − b bk − b k − 1
c − d dk − d k − 1

Từ (1) và (2) suy ra:
Cách 3:
Từ

a
c
=
a −b c−d

a c
b d
b
d
a −b c −d
a
c
= ⇒ = ⇒ 1− = 1− ⇒
=
⇒
=
b d
a c
a
a
c

a
a −b c −d

Dạng 3:Tính giá trị của biểu thức khi cho dãy tỉ số bằng nhau.
Cách 1.
20


Bước 1: Xác định mơ hình tốn học của vấn đề thực tiễn.
Xác định dãy tỉ số bằng nhau
Bước 2: Giải quyết các vấn đề tốn học trong mơ hình được thiết lập.
Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau lập ra các tỉ số mới bằng các tỉ số
đã cho tùy vào từng yêu cầu của bài
Bước 3. Thể hiện và đánh giá lời giải trong bài tốn cụ thể.
Dùng các tính chất của tỉ lệ thức từ đó tính giá trị của biểu thức.
Cách 2.
Bước 1: Xác định mơ hình tốn học của vấn đề thực tiễn.
Xác định dãy tỉ số bằng nhau
Bước 2: Giải quyết các vấn đề tốn học trong mơ hình được thiết lập.
≠0

Đặt giá trị của dãy tỉ số bằng nhau đó là một số k
, biểu diễn các số hạng
trên (hoặc các số hạng dưới) của các tỉ số bằng nhau theo k và theo số hạng còn lại
Bước 3: Thể hiện và đánh giá lời giải trong bài toán cụ thể.
Tính giá trị của mỗi tỉ số trong dãy tỉ số cần tính giá trị theo k, ta được dãy
các tỉ số có cùng giá trị. Từ đó tính giá trị của biểu thức.

Bài toán 9: Cho

x y z
= =
2 3 5

Tính giá trị biểu thức A =
Hướng dẫn học sinh

3x − y + 5 z
x + y + 3z

Cách 1.
Bước 1: Xác định mơ hình tốn học của vấn đề thực tiễn.
? Bài toán đã cho biết dãy tỉ số bằng nhau chưa? Làm thế nào để thành lập
được dãy tỉ số bằng nhau?
Bước 2: Giải quyết các vấn đề tốn học trong mơ hình được thiết lập.
? Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau lập ra các tỉ số mới bằng các tỉ số
x y z 3 x − y + 5 z x + y + 3z
= = =
=
2 3 5 3.2 − 3 + 5.5 2 + 3 + 3.5

đã cho:
Bước 3. Thể hiện và đánh giá lời giải trong bài toán cụ thể.
Dùng các tính chất của tỉ lệ thức từ đó tính giá trị của biểu thức.
⇒

3x − y + 5 z x + y + 3z
3 x − y + 5 z 28 7
=
⇒

=
=
28
20
x + y + 3z 20 5

Cách 2.
Bước 1: Xác định mơ hình tốn học của vấn đề thực tiễn.
? Xác định dãy tỉ số bằng nhau
Bước 2: Giải quyết các vấn đề tốn học trong mơ hình được thiết lập.
≠0

? Đặt giá trị của dãy tỉ số bằng nhau đó là một số k
, biểu diễn các số hạng
trên (hoặc các số hạng dưới) của các tỉ số bằng nhau theo k và theo số hạng còn lại

21


x y z
= = = k ⇒ x = 2k ; y = 3k ; z = 5k
2 3 5

Đặt
Bước 3: Thể hiện và đánh giá lời giải trong bài tốn cụ thể.
? Tính giá trị của mỗi tỉ số trong dãy tỉ số cần tính giá trị theo k, ta được dãy
các tỉ số có cùng giá trị. Từ đó tính giá trị của biểu thức.
Thay vào A ta có: A =
Bài giải
Cách 1:

3 x − y + 5 z 3.2k − 3k + 5.5k 28k 28 7
=
=
=
=
x + y + 3z
2k + 3k + 3.5k
20k 20 5

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có
⇒

3x − y + 5 z x + y + 3z
3 x − y + 5 z 28 7
=
⇒
=
=
28
20
x + y + 3z 20 5

x y z 3 x − y + 5 z x + y + 3z
= = =
=
2 3 5 3.2 − 3 + 5.5 2 + 3 + 3.5

Vậy A =

7
5

Cách 2:
Đặt

x y z
= = = k ⇒ x = 2k ; y = 3k ; z = 5k
2 3 5

Thay vào A ta có: A =

3 x − y + 5 z 3.2k − 3k + 5.5k 28k 28 7
=
=
=
=
x + y + 3z
2k + 3k + 3.5k
20k 20 5

Bài toán 10: Cho các số a; b;c thõa mãn
Tính giá trị biểu thức B =

Vậy A =

7
5

a+b−c a+c−b b+c−a

=
=
c
b
a

(a + b)(b + c )(c + a )
abc

Bài giải
Cách 1:
Sử dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có

a +b−c a +c−b b+c−a a +b−c +a +c−b+b+c −a
=
=
=
=1
c
b
a
a+b+c

 a + b − c = c  a + b = 2c


⇒  a + c − b = b ⇒ a + c = 2b
b + c − a = a b + c = 2a



Suy ra B =
Cách 2:

( a + b)(b + c)(c + a) 2a.2b.2c
=
=8
abc
abc

22


Đặt

a +b−c a+c−b b+c−a
=
=
=k
c
b
a

Suy ra: (a + b) = c

(k + 1

); (a + c) = b(k + 1); (b + c) = a(k + 1)

Mà (a + b) + (a + c) + (b + c) = c

2(a + b + c) =

(k + 1

⇒ (k + 1) = 2 ⇒ k = 1

(k + 1

) + b(k + 1) + a(k + 1)

)(a + b + c)

( a + b)(b + c)(c + a) (k + 1)3 ab c
=
= (k + 1)3 = (1 + 1)3 = 23 = 8
abc
abc

Suy ra: B =
3.4. Đề xuất bài toán tương tự yêu cầu HS tự luyện giải và khai thác:
(Rèn luyện năng lực giải quyết vấn đề và sáng tạo)
Bài tập: Tìm các số x, y, z biết:
a.
b.
c.

6
9
18
x = y= z

11
2
5

x
7 y 5
= ; =
y 20 z 8

và –x + y + z = -120

và 2x + 5y – 2z = 100

12 x −15 y 20 z −12 x 15 y − 20 z
=
=
7
9
11

x y y z
= ; =
3 4 5 6

và x + y + z = 48

2x + 3y + 4z
3x + 4 y + 5z

d.Cho

Tính giá trị biểu thức M =
4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục, với bản
thân, đồng nghiệp và nhà trường.
Sau khi hoàn thành được SKKN này, bản thân tơi đã tích lũy được nhiều cách
tổ chức cho học sinh giải những dạng tốn khó về dãy tỉ số bằng nhau, rút ra được
phương pháp rèn luyện năng lực giải quyết vấn đề và sáng tạo cho học sinh khi gặp
từng dạng bài, từ đó giúp học sinh có thể vận dụng kiến thức tốn học tìm tịi giải
quyết từng tình huống một cách sáng tạo, hiệu quả.
Trong q trình giảng dạy, tơi có thêm kinh nghiệm hướng dẫn học sinh nhận
biết các dạng toán và phân tích kiến thức liên quan, tìm tịi cách giải, từ đó đã góp
phần nâng cao được chất lượng dạy học, tạo hứng thú học tập cho học sinh, phát
huy được tính tích cực chủ động của học sinh đồng thời tăng cường và rèn luyện
năng lực giải quyết vấn đề và sáng tạo trong học tập.
Thông qua hệ thống bài tập tôi đã giới thiệu, khi áp dụng vào giảng dạy cho
học sinh, chỉ sau một buổi ôn luyện (3 tiết) khi học sinh gặp được các tinh huống
“Có vấn đề” liên quan đến dãy tỉ số bằng nhau học sinh đều tìm cách giải quyết
vấn đề đó một cách nhanh chóng. Ngồi ra việc áp dụng SKKN này trong giảng
dạy đã giúp xây dựng cho học sinh thói quen lập luận, trình bày lời giải, tìm lời
23


giải ngắn gọn, khoa học nhất, phát huy óc độc lập, sáng tạo của học sinh. Sau mỗi
tiết học, học sinh có thể hồn thiện kiến thức và phát hiện được kiến thức mới cần
tìm hiểu, nghiên cứu.
Kết thúc chuyên đề, tôi đã kiểm tra đánh giá định kỳ để rút kinh nghiệm và
đánh giá mũi nhọn, chất lượng bài làm của học sinh đã nâng lên rõ rệt.
Kiểm tra 28 học sinh đội tuyển trong thời gian 20 phút với 3 câu hỏi:
Câu 1. (4 điểm) Tìm x, y, z biết: 5x = 8y = 20z và x- y – z = 3
Câu 2. (4 điểm) Tìm x, y, z biết:

x
y z
= =
12 9 5

và xyz = 20
a2 + b2 a
=
b2 + c 2
c

Câu 3. (2 điểm) Cho b2 = ac. Chứng minh:
Kết quả làm bài của các em đạt được như sau:
Điểm
9 – 10 8 - 9
7- 8
6 -7
5-6
Dưới 5
Số lượng
2
6
8
8
4
0
(tỉ lệ)
(7,1%) (21,4%)
(28,6%)
( 28,6%) (14,3% ( 0%)

)
Như vậy là tỉ lệ học sinh biết giải bài toán dãy tỉ số bằng nhau của học sinh
lớp 7A đã tăng lên rất nhiều, đa phần các em đã biết thành lập các dãy tỉ số bằng
nhau từ các điều kiện đã cho của mỗi bài toán, các em đều xác định cách giải cũng
như biết lập luận đúng để tìm số hạng chưa biết của dãy tỉ số bằng nhau hoặc
chứng minh dãy tỉ số bằng nhau. Nhiều em đã tự tin khi gặp dạng toán dãy tỉ số
bằng nhau trong các đề thi HSG toán 7.
III. KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ
1. Kết luận
Sáng kiến kinh nghiệm này đã góp phần tích cực vào việc rèn luyện tư duy
phê phán, tư duy sáng tạo cho HS. Trên cơ sở sử dụng vốn kiến thức và kinh
nghiệm đã có HS sẽ xem xét, đánh giá, thấy được vấn đề cần giải quyết. Hệ thống
bài tập phát triển được khả năng tìm tịi, xem xét dưới nhiều góc độ khác nhau.
Trong khi phát hiện và giải quyết vấn đề, HS sẽ huy động được tri thức và khả
năng cá nhân, khả năng hợp tác, trao đổi, thảo luận với bạn bè để tìm ra cách giải
quyết vấn đề tốt nhất. Qua đó HS được lĩnh hội tri thức, kĩ năng và phương pháp
nhận thức.
Hệ thống bài tập, các vấn đề, tình huống đưa ra để HS xử lí, giải quyết đều
thoả mãn các yêu cầu sau: Phù hợp với chủ đề bài học; Phù hợp với trình độ nhận
thức của HS. Vấn đề, tình huống chứa đựng những mâu thuẫn cần giải quyết, gợi
ra cho HS nhiều hướng suy nghĩ, nhiều cách giải quyết vấn đề.
Khi sử dụng SKKN trong giảng dạy, học sinh được rèn luyện các thao tác tư
duy: Lật ngược vấn đề; Xét tương tự; Khái quát hóa; Khai thác kiến thức cũ, đặt
vấn đề dẫn đến kiến thức mới; Giải bài tập mà chưa biết thuật giải trực tiếp; Tìm
sai lầm trong lời giải; Phát hiện nguyên nhân sai lầm và sửa chữa sai lầm.
2. Kiến nghị
24


Qua thực tế giảng dạy và rút kinh nghiệm bước đầu, tơi có kiến nghị và đề

xuất với các cấp quản lí giáo dục nói chung và BGH Trường THCS tơi đang dạy
nói riêng như sau: Ln quan tâm và tạo điều kiện hơn nữa cho giáo viên trong tổ
thường xuyên được trao đổi, rút kinh nghiệm dạy các chuyên đề khó trong q
trình dạy học bồi dưỡng HSG và áp dụng, thử nghiệm các PPDH mới bằng nhiều
hình thức.
XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG Thanh Hóa, ngày 20 tháng 3 năm 2021
ĐƠN VỊ
Tơi xin cam đoan đây là SKKN của
mình viết, không sao chép nội dung của
người khác.
Người viết SKKN

TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. Sách Bài tập toán 7 tập 1 - Tôn Thân (Chủ biên) – Phạm Gia Đức
Dạng bài tập: Chứng tỏ một phân số là phân số tối giản
25