SKKN HƯỚNG dẫn học SINH lớp 12a2 TRƯỜNG THPT hàm RỒNG rèn LUYỆN kỹ NĂNG TRẢ lời các câu hỏi TRẮC NGHIỆM về HÌNH nón, KHỐI nón

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA

TRƯỜNG THPT HÀM RỒNG

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

HƯỚNG DẪN HỌC SINH LỚP 12 TRƯỜNG THPT
HÀM RỒNG RÈN LUYỆN KĨ NĂNG TRẢ LỜI
CÁC CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM
VỀ HÌNH NĨN, KHỐI NĨN

Người thực hiện:
Chức vụ:
SKKN mơn:

Lê Minh Hịa
Giáo viên
Tốn học

THANH HĨA NĂM 2021


MỞ ĐẦU
1.1 Lý do chọn đề tài
Trong chương trình mơn Tốn bậc THPT hiện nay phần hình học khơng
gian là phần kiến thức khó đối với nhiều học sinh. Từ năm 2017 mơn Tốn
chuyển sang thi trắc nghiệm 100% thì chủ đề Mặt tròn xoay là một trong các
chủ đề mà học sinh phải chuẩn bị ôn tập chuẩn bị cho kì thi quốc gia. Do đó để
dạy cho học sinh làm tốt bài tập toán dạng này, đặc biệt với chương này giáo
viên cần có phương pháp giảng dạy hấp dẫn, sinh động, gây hứng thú cho học
sinh, giáo viên cần tìm tịi, sáng tạo để soạn bài tập trên cơ sở chuẩn kiến thức

và sách giáo khoa, thiết kế hình vẽ rõ ràng và giải thuật ngắn gọn hợp lý giảm
bớt khó khăn giúp học sinh nắm được kiến thức cơ bản của bài học, hình thành
phương pháp, kĩ năng, kỹ xảo giải các bài tốn hình học không gian và lĩnh hội
kiến thức mới bền vững, từ đó đạt kết quả cao nhất có thể được trong các bài
kiểm tra định kì nói riêng và kì thi THPT Quốc gia nói chung.
Năm 2021 là năm thứ 4 mơn Tốn được thi bằng hình thức trắc nghiệm
khách quan 100%, nên q trình giảng dạy giáo viên phải có phải chú ý rèn
luyện thêm cho học sinh kỹ năng làm bài trắc nghiệm mơn Tốn. Trong các tiết
giảng dạy hàng ngày cần dành thời gian để kiểm tra việc nắm kiến thức cơ bản,
kỹ năng của từng bài theo yêu cầu của chương trình qua việc chuẩn bị thật nhiều
các câu hỏi và bài tập trắc nghiệm kiểm tra lý thuyết lẫn bài tập để khắc sâu kiến
thức cho học sinh đồng thời phân tích cho học sinh thấy những sai sót cần tránh
và phân tích rõ cách làm bài trắc nghiệm sao cho hợp lý.
Với suy nghĩ nhằm giúp các em tìm tịi, phát hiện và tạo hứng thú trong q
trình học bộ mơn Tốn và hơn nữa là góp phần nâng cao chất lượng giảng dạy,
trang bị đầy đủ kiến thức về hình học khơng gian, tơi viết đề tài sáng kiến kinh
nghiệm: “Hướng dẫn học sinh lớp 12 trường THPT Hàm Rồng kĩ năng trả lời
các câu hỏi trắc nghiệm về hình nón, khối nón ”.
1.2.Mục đích nghiên cứu :
Đề tài này góp phần trang bị đầy đủ kiến thức về hình học khơng gian đồng
thời rèn luyện kỹ năng giải các bài tốn hình học có liên quan đến q trình hình
thành và liên quan đến thực tế, từ đó học sinh có thể hình thành các ý tưởng sáng
tạo , đưa toán học vào đời sống thực tế.
1.3. Đối tượng nghiên cứu:
Đề tài được áp dụng cho phần MẶT NĨN trong chương trình hình học lớp
12, học sinh ôn thi THPT Quốc gia.
1.4. Phương pháp nghiên cứu:
Trên cơ sở lý thuyết cơ bản trong sách giáo khoa, các kiến thức về hình học
phẳng, quan hệ vng góc trong khơng gian, các kiến thức về hình nón khối nón
tơi đưa ra hệ thống các bài tập trắc nghiệm. Bài tập được chia thành thành 4 vấn

đề: vấn đề 1 gồm các bài tập cơ bản về các cơng thức đường cao, đường sinh,
bán kính đáy, diện tích xung quanh, diện tích tồn phần của hình nón, thể tích
của khối nón, vấn đề 2 gồm các bài tập về khối nón nội, ngoại tiếp, các khối đa
diện, vấn đề 3 về các bài toán thiết diện, vấn đề 4 về các bài toán thực tế. Các

2


bài tập trong từng vấn đề được sắp xếp từ dễ đến khó với các u cầu và mục
đích cụ thể phải đạt được. Các câu hỏi gợi mở khi gặp vấn đề khó, khắc phục
các sai lầm mà học sinh mắc phải khi làm trắc nghiệm
2 – NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
2.1. Cơ sở lí luận
Để thực hiện đề tài cần dựa trên những kiến thức cơ bản sau:
2.1.1. Tỉ số lượng giác của góc nhọn
MH
OM
MH
• tan α =
OH
• sin α =

OH
OM
OH
• cot α =
MH

• cos α =

2.1.2. Hệ thức lượng trong tam giác vuông
Cho ∆ABC vuông tại A
• Định lý Pitago: BC 2 = AB 2 + AC 2 hay a 2 = b 2 + c 2
• BA2 = BH .BC ; CA2 = CH .CB hay b 2 = a.b ', c 2 = a.c '
• AB. AC = BC. AH hay bc = ah
1
1
1
1
1 1
=
+
hay 2 = 2 + 2
2
2
2
AH
AB
AC
h
b c
• BC = 2 AM

•

2.1.3. Hệ thức lượng trong tam giác thường
• Định lý hàm số Côsin:
a 2 = b 2 + c 2 − 2bc.cos A
a
b

c
=
=
= 2R
sin A sin B sin C

• Định lý hàm số Sin:

2.1.4. Các cơng thức tính diện tích.
a. Cơng thức tính diện tích tam giác.
1
1
1
2
2
2
1
1
1
• S = ab sin C = bc sin A = ca sin B
2
2
2
abc
;
S = pr
• S=
4R

• S = a.ha = bhb = chc

• S = p( p − a )( p − b)( p − c) với p =

a+b+c
(Cơng thức Hê-rơng)
2

Đặc biệt:
• ∆ABC vng ở A: S =

1
a2 3
AB. AC • ∆ABC đều cạnh a: S =
2
4

2.1.5. Hệ thống hóa các quan hệ vng góc

3


2.1.6. Kiến thức cơ bản về hình nón –khối nón
• Cho ∆OIM vng tại I. Khi quay nó xung quanh cạnh góc vng OI
thì đường gấp khúc OMI tạo thành một hình được gọi là hình nón
trịn xoay.(gọi tắt là hình nón).
• Phần khơng gian bên trong giới hạn bởi hình nón và cả hình nón được
gọi là khối nón trịn xoay (gọi tắt là khối nón)
• - Hình trịn (I, IM): mặt đáy

4

- O: đỉnh
- OI: đường cao
- OM: đường sinh
- Phần mặt tròn xoay sinh ra bởi OM khi
quay quanh OI: mặt xung quanh.
*Cho hình nón có chiều cao là h , bán kính
đáy r và đường sinh là l .
- Mối quan hệ giữa chiều cao, đường sinh, bán kính đáy: l 2 = h2 + r 2
- Diện tích xung quanh của hình nón : Sxq = π rl
- Diện tích tồn phần của hình nón: Stp = Sxq + Sday = π rl + π r 2
1
3

- Thể tích khối nón : V = π r 2h
2.2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm
Trường THPT Hàm Rồng là một ngôi trường dày truyền thống dạy và học.
Nhiều năm qua trường luôn dẫn đầu trong thành tích học sinh giỏi và xếp tốp
đầu trong kỳ thi Đại học –Cao đẳng trong tỉnh.Tuy nhiên trong các mơn học thì
hình học khơng gian vẫn là mơn học khó đối với đại đa số học sinh đặc biệt là
học sinh trung bình và yếu. Khi giải các bài tốn về hình nón, khối nón, hay
nhầm lẫn các cơng thức , khi gặp các bài tốn khó hơn về thiết diện hoặc các bài
toán gắn với thực tế thì tâm lý học sinh thường nản và bỏ qua. Theo số liệu
thống kê trước khi dạy đề tài này ở 2 lớp12A1, 12A2 tôi trực tiếp giảng dạy năm
học 2020-2021, trường THPT Hàm Rồng, kết quả như sau:
Năm học

Lớp

Sĩ số

Số học sinh giải được trước khi thực hiện đề tài

12A1 55
25
12A2 54
20
Đứng trước thực trạng tên tôi nghĩ nên hướng cho các em tới một cách
tiếp cận vấn dề theo một hệ thống khác để thay đổi cách nhìn nhận vấn đề của
học sinh. Song song với việc cung cấp tri thức tôi chú trọng rèn rũa kỹ năng giải
toán, phát triển tư duy cho học sinh , tự đặt vấn đề và tìm cách giải quyết vấn đề
trên nền tảng kiến thức đã biết do đó học sinh khơng chỉ học tốt phần này mà
cịn làm nền tảng cho các phần kiến thức khác.
2.3.Các biện pháp tiến hành giải quyết vấn đề
Để thực hiện đề tài này việc đầu tiên yêu cầu học sinh thành thạo các bước
sau:
- Nắm vững sự hình thành của hình nón , khối nón. Vẽ được hình.
- Nắm vững các khái niệm về đường cao, đường sinh, bán kính mặt đáy,
mối liên hệ giữa chúng.
- Cơng thức về diện tích xung quanh, diện tích tồn phần của hình nón và
thể tích của khối nón.
- Cơng thức tính diện tích tam giác, quan hệ vng góc
2020-2021

5


Các kiến thức trên giáo viên cho học sinh tự học và kiểm tra chéo lẫn
nhau.

Sau khi các kiến thức cơ bản trên đã vững tôi học sinh tiến hành học theo
các vấn đề sau nâng dần lên theo các mức độ: nhận biết, thông hiểu, vận
dụng và vận dụng cao.
VẤN ĐỀ 1: ( Mức độ nhận biết, thông hiểu) : Công thức và mối liên hệ
giữa các yếu tố liên quan đến hình nón, khối nón.
• u cầu:
Nắm rõ sự hình thành của hình nón, khối nón.
Khái niệm của các đường liên quan đến khối nón.
Hiểu và thuộc cơng thức liên quan đến hình nón, khối nón .
Đối với học sinh khá, giỏi có thể ghi nhớ cơng thức bằng phương
pháp suy luận: diện tích xung quanh của khối nón tương tự như diện tích
tan giác có đường cao là đường sinh, chiều dái cạnh đáy là chu vi của
đường trịn đáy.Thể tích khối nón tương tự thể tích của khối chóp có
đường cao là đường cao của khối nón, đa giác đáy có diện tích là diện
tích của hình trịn đáy.
• Mục đích:
-

Xác định rõ được các yếu tố liên quan đến hình nón, khối nón
Nhớ và sử dụng thành thạo các cơng thức.
• Bài tập
Câu 1: Gọi l , h, r lần lượt là độ dài đường sinh, chiều cao và bán kính đáy của
hình nón. Đẳng thức nào sau đây luôn đúng?
A. l 2 = h 2 + r 2 .

B.

1
1 1
= 2+ 2.

2
l
h
r

C. r 2 = h 2 + l 2 .

D. l 2 = hr .

Hướng dẫn giải
Áp dụng định lý Pitago trong tam giác
vng SOM, ta có: l 2 = h 2 + r 2 .
B,C, D sai theo lý thuyết.
Chọn đáp án A
Câu 2: Cho hình nón có bán kính đường trịn đáy là r , chiều cao h và độ dài
đường sinh là l . Gọi S xq ,Vkn lần lượt là diện tích xung quanh và thể tích của khối
nón. Trong các phát biểu sau, phát biểu nào đúng?
1
3

A. S xq = 2πrl;Vkn = πr 2 h.
1
3

2
B. S xq = 2πrl;Vkn = πr h.

1
3

C. S xq = πrl ;Vkn = πr 2 h.

D. S xq = πrh;Vkn = πr 2l.
Hướng dẫn giải

6


Ta có diện tích xung quanh của hình nón là S xq = πrl .
1
3

1
3

Và thể tích khối nón là Vkn = .S đáy .h = .(πr 2 ).h
Chọn đáp án C
Câu 3: Trong không gian cho ∆ABC vuông tại A , BC = 2a và AC = a 3 . Tính
chiều cao h của hình nón nhận được khi quay ∆ABC xung quanh trục AB .
A. h = a .
B. h = a 7 .
C. h = a 3 .
D. h = 2a .
Hướng dẫn giải

Khi quay ∆ABC xung quanh trục AB ta được hình nón trịn xoay có
chiều cao h = AB = BC 2 − AC 2 = (2a) 2 − (a 3) 2 = a 2 = a .
Chọn đáp án A
Phân tích các phương án nhiễu cho học sinh thấy tại sao mình sai.
Phương án nhiễu B: HS nhầm khi áp dụng h = BC 2 + AC 2 = a 7

Phương án nhiễu C: HS nhầm khi xác định h = AC = a 3
Phương án nhiễu D: HS nhầm khi xác định h = BC = 2a
Câu 4: Một hình nón có bán kính đường trịn đáy bằng 40 cm , độ dài đường
sinh bằng 44 cm . Thể tích khối nón này có giá trị gần đúng là
A. 92 138 cm3 .

B. 73 722 cm3 . C. 30 712 cm 3 .

D. 30 713 cm3 .

Hướng dẫn giải
Chiều cao của hình nón là h = 442 − 402 = 4 21 .
1
3

1
3

Vậy thể tích khối nón là V = π r 2h = π .402.4 21 ≈ 30713 ( cm3 ) .
Chọn đáp án D
Câu 5: Một hình nón có đường cao h = 20cm , bán kính đáy r = 25cm . Tính diện
tích xung quanh S xq của hình nón đó.
A. S xq = 5π 41
B. S xq = 25π 41
C. S xq = 75π 41
D. S xq = 125π 41
Hướng dẫn giải
Đường sinh của hình nón: l = h 2 + r 2 = 5 41 cm

7

Diện tích xung quanh:
S xq = π.r.l = 125π 41 cm 2

Chọn đáp án D
Câu 6: Hình nón có bán kính đáy r = 8 cm , đường sinh l = 10 cm . Thể tích khối
nón là:
A. V =

192
128
π ( cm3 ) .B. V = 128π ( cm3 ) .C. V =
π ( cm3 ) .D. V = 192π ( cm3 ) .
3
3

Hướng dẫn giải
1
3

Áp dụng cơng thức tính thể tích khối nón ta có V = B.h với B = π r 2 = 64π ,
O

l
h

A

I

r

B

Gọi I là tâm đường trịn đáy ta có: h = OI = l 2 − r 2 = 102 − 82 = 6 .
1
3

Vậy V = .64π .6 = 128π ( cm3 ) .
Chọn đáp án B
Câu 7: Cho hình nón có đường sinh l = 5 , bán kính đáy r = 3 . Diện tích tồn
phần của hình nón đó là:
A. Stp = 15π .
B. Stp = 20π .
C. Stp = 22π .
D. Stp = 24π .
Hướng dẫn giải
Áp dụng cơng thức tính diện tích tồn phàn của hình nón ta có
Stp = π rl + π r 2 = 15π + 9π = 24π .
Chọn đáp án D
Câu 8: Cho hình nón đỉnh S có đáy là đường trịn tâm O , bán kính R . Biết
SO = h . Độ dài đường sinh của hình nón bằng
A.

h2 − R 2 .

B.

h2 + R 2 .

C. 2 h 2 − R 2 .

D. 2 h 2 + R 2 .

Hướng dẫn giải
Ta có đường sinh l = h + R 2 .
Chọn đáp án B
2

Câu 9: Cho tam giác SOA vng tại O có OA = 3 cm , SA = 5 cm , quay tam giác SOA
xung quanh cạnh SO được hình nón. Thể tích của khối nón tương ứng là:
A. 12π ( cm ) .
3

B. 15π ( cm ) .
3

C.

80π
cm3 ) .
(
3

3
D. 36π ( cm ) .

8

Hướng dẫn giải

1 2
1
2
SO = SA2 − OA2 = 4 ; V = π r h = π .3 .4 = 12π
3
3

( cm ) .
3

Chọn đáp án A
Câu 10: Cho hình nón trịn xoay có đỉnh là S , O là tâm của đường tròn đáy,
đường sinh bằng a 2 và góc giữa đường sinh và mặt phẳng đáy bằng 60° . Diện
tích xung quanh S xq của hình nón và thể tích V của khối nón tương ứng là
π a2
π a3 3
,V=
.
2
12
π a3 6
2
D. S xq = π a , V =
.
4

π a3 6

2
A. S xq = π a , V =
.

C. S xq = π a 2

B. S xq =

12
π a3 6
2, V =
.
4

Hướng dẫn giải

·
Dựa vào hình vẽ ta có: góc giữa đường sinh và mặt đáy là SAO
= 60° .
Tam giác SAO vuông tại O :
a 2
·
R = OA = SA.cos SAO
= a 2.cos 60° =
.
2
a 6
·
h = SO = SA.sin SAO
= a 2.sin 60° =

.
2
1
π a3 6
2
2
S
=
π
Rl
=
π
a
Vậy xq
và V = π R h =
.
3
12

Chọn đáp án A
Câu 11: Cho hình nón có bán kính đáy bằng 2 (cm), góc ở đỉnh bằng 60o . Thể
tích khối nón là
A. V =

8π 3
8π 3
3
cm3 ) . B. V =
cm3 ) . C. V = 8π 3 ( cm ) .
(

(
9
2

D. V =

8π 3
cm3 ) .
(
3

9


Hướng dẫn giải

r
⇒h=2 3.
tan 30o
1
1
8π 3
cm3 ) .
Vậy thể tích khối nón V = π r 2 h = π .4.2 3 =
(
3
3
3

Ta có bán kính đáy r = 2 , đường cao h =

Chọn đáp án D
·
Câu 12: Trong không gian cho tam giác ABC vuông tại A , AB = a và ACB
= 30°.
Tính thể tích V của khối nón nhận được khi quay tam giác ABC quanh cạnh AB.
A. V =

3π a3
.
3

B. V = 3π a3.

C. V =

3π a3
.
9

D. V = π a3.

Hướng dẫn giải
Ta có : ∆ABC vng tại A có: h = AB = a,r = AC =

AB
= 3a .
tan300

1

1
V = π r 2.h = π .3a2.a = π a3
3
3

Chọn đáp án D

Câu 13: Cho tam giác ABC vng tại A , AH vng góc với BC tại H ,
HB = 3, 6 cm , HC = 6, 4 cm . Quay miền tam giác ABC quanh đường thẳng AH ta

thu được khối nón có thể tích bằng bao nhiêu?
A. 205,89 cm3 .
B. 617, 66 cm3 .
C. 65,14 cm3 .

D. 65,54 cm3 .

Hướng dẫn giải

Ta có AH 2 = HB.HC = 3, 6.6, 4 = 23, 04 nên AH = 4,8cm .
10


Quay miền tam giác ABC quanh đường thẳng AH ta thu được khối nón có bán
kính đáy r = HC = 6, 4 cm , chiều cao h = AH = 4,8cm .
1
3

1
3

3
Thể tích của khối nón tạo thành là V = π r 2 h = .π .6, 42.4,8 ≈ 205,89 ( cm ) .

Chọn đáp án A
VẤN ĐỀ 2:( Mức độ thơng hiểu và vận dụng) Hình nón nội tiếp, ngoại tiếp
hình đa diện.
• u cầu :
- Nắm được khái niệm đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp một tam giác, tứ
giác (thường là tam giác đều, tam giác vng, hình chữ nhật, hình
vng)
- Cách xác định bán kính đường trịn nội, ngoại tiếp nêu trên.
• Mục đích:
- Xác định được hình nón sinh ra trong các bài tốn.
- Xác định thành thạo các yếu tố về hình nón, khối nón từ đó giải quyết
vấn đề bài tốn u cầu.
• Bài tập:

Câu 14 : Một hình tứ diện đều cạnh a có một đỉnh trùng với đỉnh của hình nón
trịn xoay cịn 3 đỉnh kia của tứ diện nằm trên đường trịn đáy của hình nón.
Diện tích xung quanh của hình nón là
2
A. pa 3 .

2
B. pa 2 .

3

3

C. pa2 2 .

2
D. pa 3 .

2

Hướng dẫn giải
Gợi ý: Đường trịn đáy của hình nón là gì của tam giác ABC? Tam giác
ABC là tam giác có tính chất gì? Xác định bán kính đường trịn ngoại tiếp
như thế nào?
Hình nón có bán kính đường trịn đáy r
bằng bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác
đều ABC Þ r = 2 AI = 2 . a 3 = a 3 .
3

3

2

3

Vậy diện tích xung quanh của hình nón cần
tìm:

prl p.

a

Chọn đáp án A
Câu 15: Hình chóp tứ giác đều cạnh đáy bằng a , góc giữa cạnh bên và cạnh
đáy bằng 600 . Diện tích tồn phần của hình nón ngoại tiếp hình chóp là
A.

3π a 2
.
2

B.

3π a 2
.
4

C.

3π a 2
.
6

D.

3π a 2
.
8

Hướng dẫn giải
11

Gợi ý : Đường trịn đáy của hình nón là gì của tứ giác ABCD? Tứ giác ABCD
tính chất gì? Xác định bán kính đường trịn ngoại tiếp như thế nào?
Gọi O là giao điểm của AC và BD
Gọi r là bán kính đường trịn đáy của hình
nón, r = OD =

a
2

Góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng 600
·
⇒ SDO
= 600

Xét tam giác vng SDO vng tại O có
a
OD
OD
·
=
⇒ SD =
= 2 =a 2;
Hay l = a 2 Stp = S xq + Sday ; cos SDO
·
1
SD
cos SDO
2
2

a
a
S xq = π rl = π .
.a 2 = π a 2 ;
S day = π r 2 = π .
.
2
2
π a 2 3π a 2
=
Vậy diện tích tồn phần là Stp = π a 2 +
2
2

Chọn đáp án A
Câu 16: Cho hình chóp tứ giác đều S . ABCD có các cạnh đều bằng 2a . Tính thể
tích V của khối nón có đỉnh S và đường trịn đáy là đường tròn nội
tiếp tứ giác ABCD .
A. V =

a 3π 3
.
6

B. V =

a 3π 2
.
3

C. V =

a 3π 2
.
6

D. V =

a 3π 3
.
3

Hướng dẫn giải
S

D
O

A
B

C

M

Gọi M là trung điểm của BC , ta có OM = a .
Vì hình chóp S . ABCD là hình chóp tứ giác đều có các cạnh đều bằng 2a
.
Do đó AC = BD = 2a 2 . Khi đó SO = SA2 − AO 2 = 4a 2 − 2a 2 = a 2 .
Khối nón có đỉnh S và đường trịn đáy là đường trịn nội tiếp tứ giác

ABCD nên có chiều cao h = SO = a 2 và r = OM = a .
1
3

1
3

1
3

Thể tích khối nón là: V = π r 2 h = π a 2 a 2 = π 2a3 .
Chọn đáp án B

12


Câu 17: Cho hình nón đỉnh S . Xét hình chóp S . ABC có đáy ABC là tam giác
ngoại tiếp đường trịn đáy của hình nón và có AB = BC = 10a, AC = 12a góc tạo bởi
hai mặt phẳng ( SAB ) và ( ABC ) bằng 45° . Tính thể tích khối nón đã cho.
A. 9π a 3
B. 27π a 3
C. 3π a3
D. 12π a 3
Hướng dẫn giải
Gợi ý : Đường trịn đáy của hình nón là gì của tam giác ABC? Tam giác
ABC là tam giác có tính chất gì? Xác định bán kính đường trịn nội tiếp như
thế nào? (Tam giác ABC khơng phải là tam giác đều nên ta tính bán kính
đường trịn nội tiếp tam giác qua công thức ( S∆ABC = pr )
Chọn A
Nửa chu vi tam giác ABC :

10a + 10a + 12a
= 16a
2

Diện tích tam giác ABC là:
S=

p ( p − a) ( p − b) ( p − c) =

16a ( 16a − 10a ) ( 16a − 10a ) ( 16a − 12a ) = 48a 2
2

Mà S∆ABC = pr ⇒ r = S∆ABC = 48a = 3a, với r là
p

16a

bán kính của đường trịn đáy nội tiếp tam giác
ABC .
SO
⇒ SO = IO.tan 45° = IO = 3a
IO
1
1
2
Thể tích khối nón là: Vnon = SO.π .r 2 = .3a.π ( 3a ) = 9π a 3
3
3
Câu 18: Cho nửa đường trịn đường kính AB = 2 R và một điểm C thay đổi trên

nửa đường tròn đó, đặt CAB = α và gọi H là hình chiếu vng góc của C trên AB.

Lại có tan SIO =

Tìm α sao cho thể tích của vật thể trịn xoay tạo thành khi xoay tam giác ACH
quanh trục AB đạt giá trị lớn nhất:
A. α = 60°

B. α = 45°

C. α = arctan

1
2

D. α = 30°

Hướng dẫn giải
Gợi ý:
- Tính thể tích khối nón có được khi quay tam giác ACH quanh AB (hay AH)
1
3

bằng công thức V = Sd .h với đáy là hình trịn tâm H bán kính CH và chiều
cao là AH.
- Tìm GTLN của thể tích dựa vào phương pháp xét hàm, từ đó tìm được AH.
Cách giải:
Thể tích khối nón khi quay ∆ACH quay quanh AB:
V=

1
1
2 Rπ
π
AH .π .CH 2 = AH .π . ( AH . AB − AH 2 ) =
. AH 2 − AH 3
3
3
3
3

13


Xét hàm số: y =

2 Rπ 2 π 3
.t − t với t = AH
3
3

4 Rπ
.t − π t 2
3
t = 0 ( L )
y = 0 ⇔  4R
4R
t =
→ AH =


3
3

⇒ y'=

⇒ HB = AB − AH =

2R
2 R 3 ⇒ tan CAB = CH = 1 ⇒ CAB = arctan 1
⇒ CH =
AH
2
2
3
3

Chọn C
Chú ý khi giải: Ở bước kết luận nhiều HS sẽ kết luận sai góc α là góc 45° dẫn
đến chọn sai đáp án.
VẤN ĐỀ 3( Mức độ vận dụng và vận dụng cao): Các dạng tốn về thiết
diện của hình nón cắt bởi một mặt phẳng
• Yêu cầu: Học sinh cần nắm vững kiến thức sau:
- Mặt phẳng đi qua trục cắt hình nón theo một thiết diện là tam giác cân
có đáy là đường kính của đường trịn đáy, cạnh bên là đường sinh của
hình nón.
- Mặt phẳng qua đỉnh của hình nón cắt hình nón theo thiết diện là tam
giác cân đỉnh S , cạnh bên là đường sinh , đáy là một dây cung của
đường tròn đáy.
- Vẽ được thiết diện.
• Mục đích:

- Xác định được thiết diện, vẽ hình và xác định được các yếu tố liên
quan.
- Học sinh giỏi sử dụng các phương pháp hàm số và bất đẳng thức để
giải các bài toán min, max về diện tích thiết diện.
• Bài tập:
Câu 19. Cắt hình nón S bởi một mặt phẳng đi qua trục ta được thiết diện là một
tam giác vuông cân, cạnh huyền bằng a 2 . Thể tích khối nón bằng:
A.

πa 2
.
4

B.

π a3 2
.
6

Ta có: ∆SAB vng cân tại S nên

C.

π a2 2
.
12

D.

π a3 2

.
12

Hướng dẫn giải


1
a 2
 r = AB =

2
2

 h = 1 AB = a 2

2
2

14


2

1
1 a 2  a 2  π a3 2
⇒ V = hπ r 2 = π
.

÷ =
3

3
2  2 ÷
12


.Chọn đáp án D
Câu 20: Thiết diện qua trục của hình nón ( N ) là tam giác vng cân có cạnh
góc vng bằng a . Tính diện tích tồn phần của hình nón ( N ) ?
A. Stp =

(

π a2 2 + 2

2
C. Stp = π a

2

(

).

B. Stp =

)

2 +1 .

π a2

(

).

2 +1
2

D. Stp =

(

π a2 1+ 2 2
2

).

Hướng dẫn giải

Giả sử SAB là thiết diện qua trục của hìnhnón (như hình vẽ).
Theo giả thiết ta có tam giác SAB vuông cân tại S và SA = SB = a .
1
2

Do đó AB = SA2 + SB 2 = a 2 và SO = OA = AB =

a 2
.
2

Diện tích xung quanh của hình nón: S xq = π .OA.SA = π .

a 2
π a2 2
.a =
.
2
2

π a2
Diện tích đáy S =
.Vậy diện tích tồn phần của hình nón ( N ) là:
2

π a2 2 π a2 π a
Stp =
+
=
2
2

2

(

).

2 +1
2

Chọn đáp án B

15


Câu 21: Cắt hình nón đỉnh S bởi mặt phẳng đi qua trục ta được một tam giác
vng cân có cạnh huyền bằng a 2 . Gọi BC là dây cung của đường
trịn đáy hình nón sao cho mặt phẳng ( SBC ) tạo với mặt phẳng đáy một
góc 600 . Tính diện tích tam giác SBC .
a2
B. S = .
3

a2 3
A. S =
.
3

a2 2
C. S =
.
2

a2 2
D. S =
.
3

Hướng dẫn giải
Dựng OM ⊥ BC ( M là trung điểm của BC ).

Vì BC ⊥ SO nên BC ⊥ SM , từ đó ta có
( SBC ) ; đáy  = [ SM , OM ] = SMO = 60° .

1
2

Vì SO = IJ =

a 2
SO
a 6
=
nên SM =
.
2
sin 60°
3
2

a 6
a 3
Vậy CM = SC − SM = a − 
=
.
÷
÷
3
3



2

1
2

2

Vậy S∆SBC = SM .BC =

2

1 a 6 2a 3 a 2 2
.
=
.
2 3
3
3

Chọn đáp án D
Câu 22: Cho hình nón đỉnh O , chiều cao là h . Một khối nón khác có đỉnh là
tâm của đáy và có đáy là là một thiết diện song song với đáy của hình
nón đỉnh O đã cho (hình vẽ). Tính chiều cao x của khối nón này để thể
tích của nó lớn nhất, biết 0 < x < h .
h
3

A. x = .

B. x = h 3 .

C. x =

2h
.
3

D. x =

h 3
.
3

Hướng dẫn giải

JB OJ h − x
R (h − x )
=
=
⇒ JB =
.
IA OI
h
h
1 R2
Thể tích khối nón cần tìm là: V = π 2 (h − x ) 2 x .
3 h

Từ hình vẽ ta có

16


1 R2
Xét hàm số V ( x ) = π 2 ( h − x ) 2 x , 0 < x < h .
3 h
2
1 R
h
Ta có V '( x ) = π 2 ( h − x )( h − 3x ) = 0 ⇔ x = h hay x = .
3 h
3

Bảng biến thiên:

Dựa vào BBT, ta thấy thể tích khối nón cần tìm lớn nhất khi chiều cao
của nó là x =

h
4π R 2 h
;V =
.
3 max
81

Chọn đáp án A
Câu 23 : Cho hình nón có đỉnh S , chiều cao h và bán kính đáy bằng R . Mặt
phẳng ( α ) qua S cắt hình nón tạo ra một thiết diện tam giác. Diện tích lớn nhất
của thiết diện bằng:
h2 + R 2

B.
4

R2
A. h +
2
2

h2 + R 2
C.
3

h2 + R 2
D.
2

Hướng dẫn giải
Thiết diện là tam giác SMN cân tại S .
Kẻ bán kính OA của hình nón vng góc với MN tại H . Đặt x = OH .
Tam giác OHM vuông tại H có:
HM 2 = OM 2 − OH 2 = R 2 − x 2 ⇒ HM = R 2 − x 2

Tam giác vng SOH tại O có:
SH 2 = SO 2 + OH 2 = h 2 + x 2 ⇒ SH = h 2 + x 2 .

Diện tích thiết diện:
S SMN =

1
1 2

SH .MN =
h + x 2 .2 R 2 − x 2 = h 2 + x 2 . R 2 − x 2
2
2

Áp dụng bất đẳng thức Cơ-si, ta có:
h +x . R −x
2

2

2

Suy ra Smax =

2

(h
≤

2

+ x2 ) + ( R2 − x2 )
2

h2 + R 2
=
.
2

h2 + R 2
⇔ h2 + x 2 = R2 − x2 ⇔ x =
2

R2 − h2
.
2

17


Vậy thiết diện có diện tích lớn nhất khi và chỉ khi giao tuyến của ( α ) với mặt
đáy của hình nón cách tâm của đáy một khoảng bằng

R2 − h2
.
2

Chọn đáp án D
Câu 24. Cho hình nón ( N ) có đường sinh tạo với đáy góc 60° . Mặt phẳng qua
trục của ( N ) cắt ( N ) được thiết diện là một tam giác có bán kính đường trịn nội
tiếp bằng 1. Tính thể tích V của khối nón giới hạn bởi ( N ) .
A. V = 9 3π .
B. V = 9π .
C. V = 3 3π .
Hướng dẫn giải
·
Ta có : ∆SAB có SA = SB và SBA = 600 suy
ra ∆SAB là tam giác đều.
Gọi H , I lần lượt là trung điểm AB và tâm

đường tròn nội tiếp ∆SAB
⇒ I là trọng tâm ∆SAB ⇒ h = SH = 3IH = 3

D. V = 3π .

AB 3
2 SH
AB
⇒ AB =
=2 3⇒r=
= 3.
2
2
3
1
1
Vậy : V = π r 2 h = π ( 3)2 .3 = 3π
3
3
SH =

Chọn đáp án D
VẤN ĐỀ 4( Mức độ vận dụng cao): Các bài toán thực tế liên qua đến hình
nón , khối nón.
• u cầu:
- Nắm vững các kiến thức trong các vấn đề trên.
- Liên hệ được với thực tế để hiểu được các u cầu của bài tốn.
• Mục đích :
- Học sinh làm được các bài tốn hình học liên quan đến thực tế.
Hiểu được đề bài và chuyển được yêu cầu thực tế về u cầu của

bài tốn hình học.
- Để giải quyết các bài toán này học sinh cần phải có kiến thức tổng
hợp về hình học 11 và hình nón, khối nón, hàm số, bất đẳng thức.
• Bài tập:
Câu 25: Một cái phễu có dạng hình nón, chiều cao của phễu là 20 cm . Người ta
đổ một lượng nước vào phễu sao cho chiều cao của cột nước trong phễu
bằng 10 cm (hình H1). Nếu bịt kín miệng phễu rồi lật ngược phễu lên
(hình H2) thì chiều cao của cột nước trong phễu gần bằng với giá trị
nào sau đây?
A. 10 cm .
B. 0,87 cm .
C. 1, 07 cm .
D. 1, 35cm .

18


Hướng dẫn giải
1
3

Gọi R là bán kính đáy của phễu. Thể tích của phễu là V0 = π R 2 .h =

20π 2
R
3

Xét hình H1: Do chiều cao của phễu là 20 cm , cột nước cao 10 cm nên bán
R
.

2
2
1 R
5π R 2
Suy ra thể tích của nước trong phễu là V1 = π  ÷ .10 =
.
3 2
6
Xét hình H2:Gọi x là chiều cao cột nước trong phễu. Dựa vào tam giác

kính đường trịn thiết diện tạo bởi mặt nước và thành phễu là

đồng dạng ta tìm được bán kính đường trịn giao tuyến của mặt nước và thành
phễu là

20 − x
R ( 0 < x < 20 )
20
2

1  20 − x 
π R2
3
R ÷ ( 20 − x ) =
Thể tích phần khơng chứa nước là V2 = π 
( 20 − x )
3  20
1200


Suy ra thể tích nước là:
V1 = V0 − V2 ⇔

5π 2 20π 2 π R 2
3
R =
R −
( 20 − x ) ⇔ x = 20 − 3 7000 ≈ 0,87
6
3
1200

Chọn đáp án B
Câu 26: Người thợ gia công của một cơ sở chất lượng cao X cắt một miến tơn
hình trịn với bán kính 60cm thành ba miếng hình quạt bằng nhau. Sau đó người
thợ ấy quấn và hàn ba miếng tơn đó để được ba cái phễu hình nón. Hỏi thể tích
V của mỗi cái phễu đó bằng bao nhiêu?
16000 2
lít
3
16000 2π
C. V =
lít
3

A. V =

Đổi 60cm = 6dm .

16 2π

lít
3
160 2π
D. V =
lít
3

B. V =

Hướng dẫn giải

Đường sinh của hình nón tạo thành là l = 6dm .
Chu vi đường trịn đáy của hình nón tạo thành bằng 2π.r =
Suy ra bán kính đáy của hình nón tạo thành bằng r =

2π.6
= 4π dm
3

4π
= 2dm
2π

19


Đường cao của khối nón tạo thành là h = l2 − r 2 = 62 − 22 = 4 2
1
3

1
3

Thể tích của mỗi cái phễu là V = πr 2 h = π.22.4 2 =

16 2π 3 16 2π
dm =
lít
3
3

Chọn đáp án B
Câu 27: Một bể nước lớn của khu cơng nghiệp có phần chứa nước là một khối
nón đỉnh S phía dưới (hình vẽ), đường sinh SA = 27 mét. Có một lần lúc
bể chứa đầy nước, người ta phát hiện nước trong bể không đạt yêu cầu
về vệ sinh nên lãnh đạo khu cơng nghiệp cho thốt hết nước để làm vệ
sinh bể chứa. Công nhân cho thoát nước ba lần qua một lổ ở đỉnh S .
Lần thứ nhất khi mực nước tới điểm M thuộc SA thì dừng, lần thứ hai
khi mực nước tới điểm N thuộc SA thì dừng, lần thứ ba mới thốt hết
nước. Biết rằng lượng nước mỗi lần thoát bằng nhau. Tính độ dài đoạn
MN . (Hình vẽ 4: Thiết diện qua trục của hình nón nước).

A. 27

(

3

)

2 −1 m .

3
B. 9 9

(

3

)

4 − 1 m . C. 9 3 9

(

3

)

2 − 1 m . D. 9 3 3

(

3

)

2 −1 m .

Hướng dẫn giải

Gọi V , V1 , V2 là thể tích của khối nón có đường sinh SA, SM , SN .
V1 = 2V2
Theo đề bài ta suy ra 
.
V = 3V2
1
π OA2 SO
OA
SO SA
V
OA2 SO
3
=
=
=
=
Lại có:
, mặt khác
nên
2
O1 M SO1 SM
V1 1 π O M 2 SO O1 M SO1
1
1
3
3

3

V  SA 

3V2  27 
2
=
=
÷ ⇔
÷ ⇔ SM = 27 3 .
V1  SM 
2V2  SM 
3

20


3

3

V  SA 
3V2  27 
1
=
=
Và
÷ ⇔
÷ ⇔ SN = 27 3
V2  SN 
V2  SM 
3
 2
1

= 93 9
Vậy MN = SM − SN = 27  3 3 ữ
ữ
3
3

(

3

)

2 1 .

Chn ỏp ỏn C
ã Sau khi thực hiện xong 4 vấn đề nêu trên tôi cho học sinh tự luyện
tập thông qua hệ thống các bài tập về Mặt tròn xoay, bài tập qua các
đề thi để kiểm nghiệm lại kiến thức đã học.
2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm
Sau khi hướng dẫn học sinh vận dụng tỉ số thể tích trong một số bài tập cụ
thể tôi đã tiến hành kiểm tra sự tiếp thu và khả năng áp dụng của học trò các lớp
kết quả như sau :
Số học sinh giải được
Năm học
Lớp Sĩ số
Trước khi thực
Sau khi thực hiện đề tài
hiện đề tài
55 hs thực hiện tốt vấn đề 1
45 hs thực hiện tốt vấn đề 2

12A1 55
25
35 hs thực hiện tốt vấn đề 3
2020-2021
12A2

54

20

55 hs thực hiện tốt vấn đề 1
40 hs thực hiện tốt vấn đề 2
30 hs thực hiện tốt vấn đề 3

Sáng kiến kinh nghiệm này có thể mở rộng khai thác các bài tốn khó hơn để
dạy cho đối tượng học sinh thi học sinh giỏi.
3– KẾT LUẬN –KIẾN NGHỊ
3.1.Kết luận :
Khi áp dụng chuyên đề này vào giảng dạy học sinh bộ mơn Tốn ở lớp
12A1 trường THPT Hàm Rồng , tôi nhận thấy rằng các em học sinh rất hứng thú
với môn học, các em nhận ra vấn đề về hình nón, khối nón nói riêng và mặt trịn
xoay nói chung khơng cịn trừu tượng và khó nữa. Các em đã hiểu được sự hình
thành, các tính chất và áp dụng để giải các bài tập cụ thể một cách thành thạo.
Hơn thế nữa các em cịn liên hệ được kiến thức tốn học và thực tiễn đời sống
hàng ngày, điều này càng gây thêm niềm hứng thú cho học sinh. Do vậy tơi nhận
thấy chất lượng của mơn Tốn nói riêng, và kết quả học tập của các em học sinh
nói chung được nâng lên rõ rệt, góp phần nâng cao chất lượng giáo dục của nhà
trường. Ngoài ra các em cũng học được cách tìm tịi, khám phá, rèn luyện được
tính khơng được nản trước các vấn đề khi gặp khó khăn mà cần phải kiên trì , nỗ
lực và nghiên cứu, tiếp cận và tìm cách giải quyết.

3.2.Kiến nghị:
21


- Đối với nhà trường, đồng nghiệp khi giảng dạy phần hình khơng gian
nên chú ý giảng dạy và rèn luyện kỹ năng vẽ, đọc và giải hình khơng gian, khi
học đến các bài tốn hình học bắt nguồn từ sự hình thành nên chú trọng sử dụng
trực quan, phần mềm hiện đại. Ngoài ra giáo viên cho học sinh tự tìm hoặc tự
làm các mơ hình để từ đó học sinh hiểu rõ hơn bài học và phát huy thêm tinh
thần sáng tạo, khám phá,tìm tịi. Nhà trường trang bị thêm đồ dùng học tập hiện
đại về hình học khơng gian.
- Đối với Sở GD và Đào tạo: Có thể làm riêng một phần mềm tin học về
các hình khơng gian theo lý thuyết và các bài tốn trong sách giáo khoa để giáo
viên trong tỉnh có thể sử dụng giảng dạy, giúp học sinh có thể trực quan quan sát
hình từ đó các giờ dạy hình khơng gian sẽ thêm sinh động, tạo hứng thú học tập
cho học sinh.
XÁC NHẬN CỦA
THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ

Thanh Hoá, ngày 5 tháng5 năm 2021
Tơi xin cam đoan đây là SKKN của mình viết,
khơng sao chép nội dung của người khác.

Lê Minh Hịa

22


-

TÀI LIỆU THAM KHẢO
Sách giáo khoa Hình học cơ bản và Hình học nâng cao 12
Chun đề Hình học khơng gian của tác giả Trần Phương - Lê Hồng
Đức
Chuyên đề Hình học khơng gian của tác giả Phan Huy Khải
Các đề minh họa, đề thi THPTQG của Bộ giáo dục, đề thi thử
THPTQG của các trường trong cả nước.
Phương pháp giảng dạy mơn Tốn, tác giả: Vũ Dương Thụy – Nguyễn
Bá Kim – NXB Giáo dục

23


DANH MỤC
CÁC ĐỀ TÀI SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐÃ ĐƯỢC HỘI ĐỒNG
ĐÁNH GIÁ XẾP LOẠI CẤP SỞ GD&ĐT VÀ CÁC CẤP CAO HƠN XẾP
LOẠI TỪ C TRỞ LÊN
Họ và tên tác giả: Lê Minh Hịa
Chức vụ và đơn vị cơng tác: Trường THPT Hàm Rồng

TT
1

2

Tên đề tài SKKN
Sử dụng phương
pháp hình học để
giải nhanh một số
bài tốn cực trị về

tọa độ trong hình
học khơng gian
Vận dụng phương
pháp tọa độ để giải
các bài tốn hình
học phẳng

Cấp đánh giá Kết quả đánh
Năm học
xếp loại
giá xếp loại
đánh giá xếp
(Phòng, Sở,
(A, B, hoặc
loại
Tỉnh...)
C)
Sở giáo dục
B
2018-2019
Thanh Hóa

Sở giáo dục
Thanh Hóa

B

2014-2015

24

MỤC LỤC
Mục

Nội dung

Trang

1. MỞ ĐẦU
1.1

Lý do chọn đề tài

1

1.2

Mục đích nghiên cứu

1

1.3

Đối tượng nghiên cứu

1

1.4

Phương pháp nghiên cứu

1

2. NỘI DUNG
2.1
2.2

Cơ sở lí luận:
Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng SKKN

2
4

2.3

Các biện pháp tiến hành giải quyết vấn đề

4

2.4

Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm

20

3. KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ
3.1

Kết luận

20

25