SKKN phân dạng và các phương pháp giải bài toán về giá trị lớn nhất , giá trị nhỏ nhất của hàm số trong kỳ thi THPT quốc gia

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA

TRƯỜNG THPT TĨNH GIA 1

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

PHÂN DẠNG VÀ CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN VỀ
GIÁ TRỊ LỚN NHẤT , GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ
TRONG KỲ THI THPT QUỐC GIA

Người thực hiện: Lê Văn Thọ
Chức vụ: Giáo viên
SKKN mơn: Tốn

Mục lục
THANH HÓA NĂM 2021


Nội dung

Trang

1. Mở đầu
1.1.
Lý
do
chọn
…………………………………………………...
1.2.
Mục
đích

cứu………………………………………………..
1.3.
Đối
tượng
cứu……………………………………………….
1.4.
Phương
pháp
cứu……………………………………………
2. Nội dung sáng kiến kinh nghiệm

đề

tài

1

nghiên

1

nghiên

2

nghiên

2

2.1.

Cơ
sở
lí
luận
của
sáng
kiến
kinh
nghiệm…………………………….
2.2. Thực trạng của vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh
nghiệm…..
2.3.
Các
biện
pháp
thực
hiện…………………………………………….
2.3.1.
Một
số
kiến
thức
cần
nhớ…………………………………………
2.3.1.1. Định nghĩa và nhận xét về giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất
của hàm số…………………………………………………
2.3.1.2. Quy tắc tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số….
2.3.1.3. Một số lưu ý khi giải các bài toán về giá trị lớn nhất, giá
trị
nhỏ nhất của hàm

số………………………………………..
2.3.2. Các dạng toán và phương pháp giải ……………………………..
2.3.2.1. Dạng 1: Xác định giá trị lớn nhất , giá trị nhỏ nhất của
hàm
số thông qua bảng biến thiên hoặc đồ thị của
nó…………..
2.3.2.2. Dạng 2: Xác định giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất trên
đoạn
 a; b  ………………………………………………………
2.3.2.3. Dạng 3: Xác định giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất trên

3
3
3
4
4
4
4
4

5
5
7

8
9


khoảng  a; b  ……………………………………………...
2.3.2.4. Dạng 4: Ứng dụng giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất vào bài

toán thực
tế…………………………………………………
2.3.2.5. Dạng 5: Định tham số để giá trị lớn nhất , giá trị nhỏ nhất
của hàm số thỏa mãn điều kiện cho
trước………………….
2.3.2.6. Dạng 6: Bài toán giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất liên quan
đến đồ thị của đạo hàm……………………………………..
2.3.2.7. Củng cố lại kiến thức, kỹ năng làm bài về giá trị lớn nhất,
giá trị nhỏ nhất của hàm số thông qua buổi thảo luận.......
2.3.3.
Bài
tập
tham
khảo…………………………………………………
2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục,
với bản thân, đồng nghiệp và nhà trường…………………………
3. Kết luận và kiến nghị

11
13
14

15
18
19

3.1.
Kết
luận……………………………………………………………..
3.2. Kiến nghị…………………………………………………………...

19

Tài
liệu
tham
khảo……………………………………………………….
Danh mục các đề tài SKKN mà tác giả đã được Hội đồng Cấp phòng
GD&ĐT, Cấp Sở GD&ĐT và các cấp cao hơn đánh giá đạt từ loại C
trở
lên……………………………………………………………………….

20

19

21


1. Mở đầu
1.1. Lý do chọn đề tài
Trong quá trình giảng dạy mơn tốn, giáo viên phải đặt ra cái đích là giúp
học sinh nắm được kiến thức cơ bản, hình thành phương pháp, kỹ năng, kỹ xảo,
từ đó tạo được thái độ và động cơ học tập đúng đắn. Thực tế dạy và học cho
chúng ta thấy cịn có nhiều vấn đề cần phải giải quyết, học sinh còn gặp nhiều
khó khăn ở một số nội dung trong chương trình mơn tốn. Nhiều học sinh học về
các chủ đề liên quan đến hàm số cịn yếu, trong đó có nội dung về giá trị lớn
nhất (GTLN), giá trị nhỏ nhất(GTNN) của hàm số. Học sinh chưa hình thành
được kỹ năng, kỹ xảo trong q trình giải tốn và năng lực giải bài tốn cịn hạn
chế. Trong nhiều năm dạy học học sinh lớp 12 và học sinh ôn thi Cao đẳng, Đại

học, tôi nhận thấy rằng kiến thức về GTLN,GTNN của hàm số có một vai trị
quan trọng trong chương trình giải tích 12, nó có thể vận dụng trong nhiều nội
dung kiến thức khác, ứng dụng được nhiều bài toán trong thực tế. Đặc biệt năm
học 2020- 2021, là năm học thứ năm thực hiện thi trắc nghiệm mơn tốn trong
kỳ thi THPT Quốc gia, nhiều nội dung đề thi nằm trong chương trình lớp 12 với
các câu hỏi phát huy khả năng vận dụng kiến thức của học sinh và nội dung
GTLN,GTNN của hàm số chiếm một số lượng câu đáng kể. Mặt khác đây cũng
là năm thứ 2 mà toàn ngành giáo dục gặp rất nhiều khó khăn khi dịch Covid 19
bùng phát gây ảnh hưởng trực tiếp đến việc dạy và học của thầy và trò. Nội dung
về GTLN,GTNN của hàm số là nội dung quan trọng được đề cập nhiều trong đề
thi THPT Quốc gia năm 2018, 2019, 2020, đề thi minh họa năm 2019, 2020,
2021 và trong các đề thi thử ở các trường THPT trên toàn quốc với mức độ từ dễ
đến khó.
Từ thực tiễn giảng dạy và bồi dưỡng học sinh ôn thi đại học nhiều năm,
cùng với kinh nghiệm trong q trình giảng dạy. Tơi đã tổng hợp, khai thác
nhiều chuyên đề về hàm số. Trong SKKN này tôi xin chia sẻ chuyên đề : ‘‘Phân
dạng và các phương pháp giải bài toán về giá trị lớn nhất , giá trị nhỏ nhất
của hàm số trong kỳ thi THPT Quốc gia ”.
Phần GTLN,GTNN của hàm số là một nội dung quan trọng, hay trong
chương trình giải tích lớp 12 nên đã có rất nhiều tài liệu, sách viết cũng như rất
nhiều thầy cô giáo và học sinh say sưa nghiên cứu và học tập. Tuy nhiên việc
đưa ra hướng tiếp cận, quy lạ về quen và phát triển năng lực giải bài toán liên
quan đến nội dung này nhiều sách tham khảo vẫn chưa đáp ứng được cho người
đọc. Chính vì vậy việc đưa ra sáng kiến kinh nghiệm này là cần thiết, làm các
em hiểu sâu hơn về bài tốn và u thích chủ đề về GTLN,GTNN của hàm số
trong giải tích lớp 12. Qua đó giúp các em học sinh có định hướng và cách nhìn
dễ dàng hơn đối với nội dung, kiến thức về hàm số.
1.2. Mục đích nghiên cứu
Qua nội dung đề tài này tơi mong muốn cung cấp cho người đọc nắm được
cách tiếp cận bài toán, quy lạ về quen, chuyển phức tạp thành đơn giản đồng

thời giúp cho học sinh một số kiến thức, phương pháp và các kỹ năng cơ bản để
học sinh có thể giải quyết tốt các bài tốn, các dạng toán từ mức độ nhận biết
đến mức độ vận dụng cao về nội dung GTLN,GTNN của hàm số nhằm đạt được

1


kết quả cao trong kỳ thi THPT Quốc gia. Từ đó giúp các em phát triển năng lực
giải quyết các bài tốn.
1.3. Đối tượng nghiên cứu
Chúng tơi tập trung nghiên cứu về định nghĩa GTLN ,GTNN của hàm số;
nghiên cứu về quy tắc tìm GTLN,GTNN của hàm số trên đoạn,trên khoảng ,ứng
dụng GTLN ,GTNN và bài toán thực tế .
1.4. Phương pháp nghiên cứu
Trong phạm vi của đề tài, chúng tôi sử dụng kết hợp các phương pháp như:
phương pháp thống kê – phân loại; phương pháp phân tích – tổng hợp- đánh giá;
phương pháp vấn đáp - gợi mở, nêu ví dụ; phương pháp diễn giải; phương pháp
quy lạ về quen, sử dụng máy tính để hổ trợ tìm đáp án trong câu hởi trắc nghiệm
khách quan.

2


2. Nội dung sáng kiến kinh nghiệm
2.1. Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm
Vấn đề chúng tôi nghiên cứu được dựa trên cơ sở nội dung số của giải tích
12. Khi giải bài tập tốn, người học phải được trang bị các kỹ năng suy luận,
liên hệ giữa cái cũ và cái mới, giữa bài toán đã làm và bài toán mới. Các tiết dạy
bài tập của một chương phải được thiết kế theo hệ thống chuẩn bị sẵn từ dễ đến
khó nhằm phát triển tư duy cho học sinh trong q trình giảng dạy, phát huy tính

tích cực của học sinh. Hệ thống bài tập giúp học sinh có thể tiếp cận và nắm bắt
những kiến thức cơ bản nhất, và dần dần phát triển khả năng tư duy, khả năng
vận dụng các kiến thức đã học một cách linh hoạt vào giải tốn và trình bày lời
giải. Từ đó học sinh có hứng thú và động cơ học tập tốt, phát triển năng lực giải
quyết các bài tốn .Trong q trình giảng dạy nội dung về GTLN,GTNN của
hàm số trong giải tích lớp 12 của trường THPT Tĩnh Gia 1 được giao dạy nhóm
ơn tập thi THPT Quốc gia, tơi thấy kỹ năng giải bài tốn của học sinh cịn yếu,
đặc biệt là những bài tốn tìm GTLN ,GTNN của hàm số khi biết đồ thị , bài
tốn chứa tham số . Do đó cần phải cho học sinh tiếp cận bài toán một cách dễ
dàng, quy lạ về quen, thiết kế trình tự bài giảng hợp lý giảm bớt khó khăn giúp
học sinh nắm được kiến thức cơ bản, hình thành phương pháp, kĩ năng, kĩ xảo và
lĩnh hội lĩnh kiến thức mới, xây dựng kỹ năng làm các bài toán trắc nghiệm
khách quan, từ đó đạt kết quả cao nhất có thể được trong kiểm tra, đánh giá và
kỳ thi THPT Quốc gia.
2.2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm
Nội dung về GTLN,GTNN của hàm số là nội dung không thể thiếu trong đề
thi THPT Quốc gia. Trong những năm gần đây, nội dung này được đề cập trong
đề thi THPT Quốc gia với nhiều mức độ khác nhau, từ dễ đến khó, từ đơn giản
đến phức tạp, với nhiều cách tiếp cận. Học sinh thường gặp khó khăn khi gặp
những bài toán chứa tham số hoặc những bài tốn thực tế. Với tình hình ấy để
giúp học sinh định hướng tốt hơn và phát triển năng lực trong q trình giải bài
tốn, người giáo viên cần tạo cho học sinh thói quen tiếp cận bài tốn, khai thác
các yếu đặc trưng của bài tốn để tìm lời giải, học sinh phải được quen với việc
đọc hiểu đồ thị. Trong đó việc hình thành cho học sinh kỹ năng quy lạ về quen,
kỹ năng đọc hiểu đồ thị.
Chính vì vậy đề tài này đưa ra giúp giáo viên hướng dẫn bài toán về
GTLN,GTNN của hàm số cho học sinh với cách tiếp cận dễ hơn, giúp học sinh
có điều kiện hoàn thiện các phương pháp và rèn luyện tư duy sáng tạo của bản
thân, tự tin giải quyết được những câu khó trong đề thi, nắm vững các dạng tốn,
có các giải pháp, hướng xử lý cho từng kiểu câu hỏi. Đề tài này giúp thầy và trò

chuẩn bị tốt nhất cho kỳ thi THPT Quốc gia.
Vậy với đề tài này, tôi mong muốn các đồng nghiệp và học sinh ngày càng
vận dụng tốt các kiến thức để đưa ra những giải pháp nhằm giải quyết bài toán
GTLN,GTNN của hàm số một cách chính xác và nhanh nhất. Đặc biệt là áp
dụng những giải pháp để làm những câu hỏi dưới hình thức trắc nghiệm, những
câu hỏi khó về vấn đề này. Từ đó tạo cho học sinh sự tự tin, trang bị cho học
3


sinh kiến thức và các giải pháp để hoàn thành tốt nội dung về GTLN và GTNN ,
hoàn thành tốt kỳ thi THPT Quốc gia.
2.3. Các biện pháp thực hiện
2.3.1. Một số kiến thức cần nhớ
2.3.1.1. Định nghĩa và nhận xét về GTLN,GTNN của hàm số

  xác định trên D.
Định nghĩa: Cho hàm số
+) M là GTLN của hàm số trên D nếu:
�
M �f  x  x �D
�
�
M  max f  x 
x 0 �D : f  x 0   M
�
D
. Kí hiệu:
+) m là GTNN của hàm số trên D nếu:
�
m �f  x  x �D

�
�
m  min f  x 
x 0 �D : f  x 0   m
�
D
. Kí hiệu:
+) Nhận xét: Nếu M, m là GTLN và GTNN của hàm số trên D thì phương trình
f ( x)  m  0 và f ( x)  M  0 có nghiệm trên D.
yf x

2.3.1.2. Quy tắc tìm GTLN,GTNN của hàm số
* Quy tắc chung: (Thường dùng cho D là một khoảng)
- Tính f '  x  , giải phương trình f '  x   0 tìm nghiệm trên D.
- Lập bảng biến thiên cho hàm số trên D.
- Dựa vào bảng biến thiên và định nghĩa từ đó suy ra GTLN, GTNN.
* Quy tắc riêng: (Dùng cho  a;b  ) . Cho hàm số y  f  x  xác định và liên tục
trên  a;b  .

- Tính f '  x  , giải phương trình f '  x   0 tìm nghiệm trên  a,b  .
- Giả sử phương trình có 2 nghiệm

x1 , x 2 � a, b 

.

- Tính 4 giá trị      1   2  . So sánh chúng và kết luận.
2.3.1.3. Một số lưu ý khi giải các bài toán về GTLN,GTNN của hàm số
+ GTLN,GTNN của hàm số là một số hữu hạn.
+ Hàm số liên tục trên đoạn  a, b  thì ln đạt GTLN, NN trên đoạn này.

f a ,f b , f x , f x

+ Nếu hàm sồ f  x  đồng biến trên  a;b  thì
max f  x   f  b  ,min f  x   f  a 

+ Nếu hàm sồ f  x  nghịch biến trên  a, b  thì
max f  x   f  a  ,min f  x   f  b 
+ Cho phương trình f  x   m với y  f  x  là hàm số liên tục trên D thì phương
min f  x  �m �max f  x 
D
trình có nghiệm khi D

4


2.3.2. Các dạng toán và phương pháp giải
2.3.2.1. Dạng 1: Xác định giá trị lớn nhất – giá trị nhỏ nhất của hàm số
thông qua bảng biến thiên hoặc đồ thị của nó .
Trong dạng tốn này này giáo viên cần ơn lại các bước tìm giá trị lớn nhất
và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn , khoảng , nửa khoảng [1], giáo viên cần
cho học sinh làm quen với nhiều loại hình dạng đồ thị , bảng biến thiên của hàm
số, đây là một trong những dạng tốn ở mức độ nhận biết hoặc thơng hiểu và rất
hay có trong đề thi THPT Quốc gia.
Ví dụ 1 : Cho hàm số y  f  x 
đường cong như hình vẽ.

� 5�
1, �
�
2 �và có đồ thị là

�
xác định, liên tục trên

� 5�
1, �
�
Tìm giá trị lớn nhất M và giá trị nhỏ nhất m của hàm số f  x  trên đoạn � 2 �

:
Hướng dẫn : Đối với dạng toán này Giáo viên hướng dẫn cho học sinh cắt bỏ đồ
� 5�
1, �
�
thị của các phần khơng liên quan , chỉ lấy mình đồ thị của đoạn � 2 �. Xem đồ

thị như 1 chiếc dây thép uốn theo hình dạng là 1 đường cong , trục Oy là thước
đo của cái dây đó . Khi đó học sinh dễ dàng tìm được số M = 4 và m = -1.
Ví dụ 2 : Cho hàm số y  f ( x) liên tục trên đoạn  1;3 và có đồ thị như hình vẽ
bên. Gọi M , m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số đã cho
trên đoạn  1;3 . Giá trị của M  m là

5


B. 6

A. 2

C. 5

D. 2

Hướng dẫn :

Như ở ví dụ này thì họ đã cắt sẵn đồ thị trên đoạn  1;3 nên dựa vào đồ thị ta
thấy GTLN của hàm số trên đoạn  1;3 là M  2 đạt được tại x  1 và
GTNN của hàm số số trên đoạn  1;3 là m  4 đạt được tại x  2
� M  m  2  (4)  2
Ví dụ 3 : Cho hàm số y  f  x  có bảng biến thiên trên  5;7  như sau

Mệnh đề nào dưới đây đúng?
Min f  x   6
Min f  x   2
5;7 

A.
.
B.  5;7 
.
Max f  x   6
 5;7 
.

C.

Max f  x   9
 -5;7 

.

D.

Min f  x   f  1  2
Hướng dẫn : Dựa vào bảng biến thiên trên  5;7  , ta có:  5;7 
.
Với dạng toán học sinh rất dễ nhầm lẫn đáp án C cũng là đáp án đúng , vì nhiều
học sinh trung bình chưa phân biệt được đoạn , khoảng do đó giáo viên cần
hướng dẫn kỹ để học sinh khơng bị mắc sai lầm khi làm các bài tương tự .
Ví dụ 4 : Cho hàm số
bên dưới.

y  f  x

liên tục trên đoạn [- 2;6] và có đồ thị như hình vẽ

6


Giá trị lớn nhất của hàm số bằng bao nhiêu và tại những điểm nào của hàm số ?
Hướng dẫn : Từ đồ thị suy ra
Max f  x   5

4 �f  x  �5 x � 2;6 ; f  1  4; f  4   5

 
Suy ra :  2;6
tại
Trong bài này nhiều học sinh chỉ nghĩ hàm số đạt giá trị lớn nhất tại 2 điểm là
x = 4 và x=6
Nhận xét : Đây là dạng toán ở mức độ nhận biết tuy nhiên nhiều học sinh học

lực yếu vẫn hay nhầm lẫn giữa giá trị y và biến x , nên khi dạy giáo viên cần
phân tích và làm rõ ràng để khi học sinh làm bài tương tự đạt kết quả tốt nhất.
x � 4;6

2.3.2.2. Dạng 2: Xác định giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên
đoạn [a;b] .
Phương pháp giải : Sử dụng quy tắc tìm giá trị lớn nhất , giá trị nhỏ nhất của
hàm số trên đoạn , ngoài ra với các bài toán trắc nghiệm trong đề thi THPT
Quốc gia, giáo viên có thể hướng dẫn cho học sinh sử dụng máy tính để làm
bài .
x2  3
f  x 
x  1 trên đoạn  2; 4 .
Ví dụ 5 : Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số
min f  x   6
min f  x   2
min f  x   3

A.

 2;4

.

min f  x  
 2;4

B.

 2;4

C.

 2;4

.

D.

19
3 .

Lời giải.
Cách 1 : sử dụng quy tắc
f ' x  

Đạo hàm

.

x2  2x  3

 x  1

2

�
x  1 � 2;4
��
� f ' x   0 � �

.
x

3
�
2;4
 
�

�
�f  2   7
�
� min f  x   6.
�f  3  6 ��
 2;4
�
19
�f  4  
3
Ta có �
Chọn A.

Cách 2: Sử dụng máy tính cầm tay thông qua công cụ TABLE (MODE 7).

7


Bước 1: Bấm tổ hợp phím MODE 7.
Bước 2: Nhập

f X 

X2 3
.
X 1

Start  2
�
�
End  4 .
�
�
Step  0.2
Sau đó ấn phím  (nếu có g  X  thì ấn tiếp phím  ) sau đó nhập �
End  Start
Step 
10
(Chú ý: Thường ta chọn
)

Bước 3: Tra bảng nhận được và tìm GTNN:

Dựa vào bảng giá trị ở trên, ta thấy

min f  x   f  3  6.
 2;4

Ví dụ 6 : Tìm giá trị lớn nhất M của hàm số f  x   x  2  4  x .
A. M  1.
B. M  2.

C. M  3.
D. M  4.
Lời giải. TXĐ: D   2;4 .
Đạo hàm

f  x 

1
1

��
� f '  x   0 � x  3 � 2;4  .
2 x2 2 4 x

�f  2   2
�
�
� M  2.
�f  3  2 ��
�
f  4  2
Ta có �
Chọn B.

Nhận xét : Đa số các bài toán ở dạng này ở mức độ thông hiểu nên giáo viên
nên hướng dẫn đồng thời cả hai cách để học sinh dễ dàng tìm ra kết quả trong
các bài tốn trắc nghiệm.
2.3.2.3. Dạng 3: Xác định giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên
khoảng (a;b) .
Phương pháp : Với dạng toán này trong một số bài toán ngồi cách sử dụng

q tắc tìm GTLN,GTNN của hàm số trên một khoảng ,nửa khoảng giáo viên
cũng định hướng cho học sinh thêm một cách sử dụng bất đẳng thức để giải
quyết nhanh hơn .Từ đó học sinh sẽ hiểu sâu hơn và nhận biết, vận dụng vào bài
toán dễ dàng hơn; học sinh sẽ có động lực nghiên cứu, đam mê và yêu thích nội
dung này.

8


f ( x)  x 

Ví dụ 7 : Giá trị nhỏ nhất của hàm số

1
x trên nửa khoảng  2; � là:

5
B. 2

A. 2
Hướng dẫn
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si, ta được:

7
D. 2

C. 0

1 3x x 1 3.2
x 1 5


  � 2 . 
x 4 4 x
4
4 x 2.
Dấu bằng xảy ra khi x  2 .
f ( x)  x 

Ví dụ 8 : Tính giá trị nhỏ nhất của hàm số
A.

min y 

 0;�

33
5

B.

min y  7

y  3x 

4
x 2 trên khoảng  0; � .

min y  2 3 9

 0;�

C.

min y  3 3 9

 0;�

D.

 0;�

Hướng dẫn : Giáo viên hướng dẫn cho học sinh thực hiện một trong 2
cách sau :
Cách 1: Sử dụng bất đẳng thức Cauchy
y  3x 

4 3x 3 x 4
3x 3x 4
   2 �3 3 . . 2  3 3 9
2
x
2 2 x
2 2 x

3x 4
8
 2 �x3
3.
Dấu "  " xảy ra khi 2 x

min y  3 3 9

 0;�

Vậy
Cách 2:Sử dụng quy tắc tìm GTLN,GTNN trên khoảng
Xét hàm số
Ta có
x
y'

y  3x 

y  3x 

4
x 2 trên khoảng  0; �

4
8
� y'  3 3
2
x
x

Cho

3

0



y'  0 �

8
3

0

8
8
8
 3 � x3  � x  3
3
x
3
3
�



y
33 9

�8�
� min y  y �3 � 3 3 9
 0;�
�3�
Nhận xét : Qua 2 cách trên thì đích đến cho đáp án bài tốn thì cách 1 nhanh

hơn ,tuy nhiên học sinh cần phải biết cách tách hàm số để sử dụng , đây là một
trong những vấn đề khó với học sinh có lực học trung bình . Do đó với học sinh

9


trung bình ta nên định hướng cho học sinh sử dụng quy tắc để làm , còn cách 1
chỉ là để tham khảo.
2.3.2.4. Dạng 4: Ứng dụng GTLN-GTNN vào bài toán thực tế
Phương pháp giải của dạng toán này là :
Bước 1 : Sử dụng các yếu tố mà đề bài cho để thiết lập ra một hàm số
Bước 2 : Tiến hành sử dụng quy tắc tìm giá trị lớn nhất , giá trị nhỏ nhất của
hàm số để giải quyết vấn đề ( thơng thường bài tốn đưa về tìm GTLN hoặc
GTNN trên một khoảng , khoảng này có được là từ điều kiện của việc đặt biến
số ).
Ví dụ 9: Một chất điểm chuyển động theo phương trình S  t  3t  2 , trong đó
t tính bằng giây và S tính theo mét. Chuyển động có vận tốc lớn nhất là
3

A. 1 m/s.
Lời giải :

B. 4 m/s.

C. 3 m/s.

S  t 3  3t 2  2 � v  3t 2  6t  3  t  1  3 �3

2

D. 2 m/s.

2

Do đó max v  3  m / s  .

.

2

Ví dụ 10. Ơng A dự định sử dụng hết 5 m kính để làm một bể cá bằng kính có
dạng hình hộp chữ nhật khơng nắp, chiều dài gấp đơi chiều rộng (các mối ghép
có kích thước khơng đáng kể). Bể cá có dung tích lớn nhất bằng bao nhiêu (kết
quả làm tròn đến hàng phần trăm)?
3
3
3
3
A. 1, 01 m
B. 0, 96 m
C. 1,33 m
D. 1,51 m
Hướng dẫn :

Gọi x, y lần lượt là chiều rộng và chiều cao của bể cá (điều kiện x, y  0 ).
2
Ta có thể tích bể cá V  2 x y .
2
2
Theo đề bài ta có: 2 xy  2.2 xy  2 x  5 � 6 xy  2 x  5

5
5  2x2
�0 x
2
2)
6 x (Điều kiện kiện y  0 � 5  2 x  0
2
5
5x  2 x3
5  6 x2
2 5  2x
� x
� V  2x

�V �

2
6
�V �
 0 � 5  6x  0
6x
3
3

� y

10


� Vmax 

5 30
�1, 01 m3
27
.

Ví dụ 11 : Một sợi dây có chiều dài 28m được cắt thành hai đoạn để làm thành
một hình vng và một hình trịn. Tính chiều dài (theo đơn vị mét) của đoạn dây
làm thành hình vng được cắt ra sao cho tổng diện tích của hình vng và hình
trịn là nhỏ nhất?
56
A. 4   .

112
B. 4   .

84
C. 4   .

92
D. 4   .

Lời giải
Gọi chiều dài của đoạn dây làm thành hình vng là x ( m ) ( 0  x  28 )
=> chiều dài của đoạn dây làm thành hình trịn là 28  x ( m )
2

2
�x � x


��
+) Diện tích hình vng là: �4 � 16
28  x
+) Bán kính hình trịn là: R = 2
2

2
�28  x � 784  56 x  x
 R 2   .�

�
4
� 2 �
=> Diện tích hình trịn:
x 2 784  56 x  x 2 �  4 �2 14
196

�
�x  x 
4

�16 � 
+) Tổng diện tích hai hình: 16

196
�  4 � 2 14
f ( x)  �
�x  x 
 . Nhận thấy f ( x ) đạt giá trị nhỏ nhất tại
�16 � 

Xét
b 14 . 16  112
x
  2  4  4


2a

Vậy chiều dài của đoạn dây làm thành hình vng để tổng diện tích của hai
112
hình đạt giá trị nhỏ nhất là 4   m

Ví dụ 12: Một xưởng in có 15 máy in được cài đặt tự động và giám sát bởi một
kỹ sư, mỗi máy in có thể in được 30 ấn phẩm trong 1 giờ, chi phí cài đặt và bảo
dưỡng cho mỗi máy in cho 1 đợt hàng là 48.000 đồng, chi phí trả cho kỹ sư
giám sát là 24.000 đồng/giờ. Đợt hàng này xưởng in nhận 6000 ấn phẩm thì số
máy in cần sử dụng để chi phí in ít nhất là
9
A. 10 máy.
B. 11 máy.
C. 12 máy.
D.
máy.
Lời giải :

11


Gọi x  0  x  15 là số máy in cần sử dụng để in lơ hàng.
Chi phí cài đặt và bảo dưỡng là 48000x .

6000
6000
48000
.24000 
x .
Số giờ in hết số ấn phẩm là 30x , chi phí giám sát là 30x
4800000
P  x   48000 x 
x
Tổng chi phí in là
.
x  10
�
2
4800000 P�
x

0
�
x

100
�


�
P�
 x   48000 
x  10  L 
�

x2
;
.

Bảng biến thiên:
x

0

10



P�
 x

15


0

P  x

P  10 

Vậy chi phí in nhỏ nhất là 10 máy. Chọn A
Nhận xét :
Để làm tốt dạng tốn này giáo viên cần ơn lại cho học sinh các kiến thức về
các cơng thức tính diện tích, thể tích, cách lập phương trình cho 1 bài toán để tạo
ra hàm số theo yêu cầu của bài tốn . Từ đó sử dụng quy tắc tìm giá trị lớn nhất,

giá trị nhỏ nhất để tìm ra đáp án cho bài toán .
2.3.2.5. Dạng 5 : Định m để GTLN-GTNN của hàm số thỏa mãn điều kiện
cho trước
Phương pháp giải :
Bước 1 : Chia các trường hợp của tham số để tìm cụ thể giá trị mà bài toán yêu
cầu
Bước 2 : Giải điều kiện bài toán để tìm tham số thỏa mãn
y=

x +m
min
y=3
0;1�
x + 1 ( m là tham số thực) thỏa mãn �
�
�
.

Ví dụ 13: Cho hàm số
Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. 1 �m < 3
B. m > 6
Lời giải
Tập xác định:

D = �\ { - 1}

D. 3 < m �6

C. m < 1

.

min y � 3
" x ��
0;1�
0;1�
�
�thì �
�
�
- Với m = 1 � y = 1,
.
y�=

Suy ra m �1. Khi đó

1- m

( x + 1)

2

TH 1: y�> 0 � m < 1 thì
TH 2: y�< 0 � m > 1 thì

khơng đổi dấu trên từng khoảng xác định.

min
y = y ( 0) � m = 3

��
0;1�
�

min
y = y ( 1) � m = 5
��
0;1�
�

(loại).

( thỏa mãn).

12


2 x m
x  1 với m là tham số thực. Tìm tất cả các
Ví dụ 14 : Cho hàm số
giá trị của m  1 để hàm số có giá trị lớn nhất trên đoạn  0; 4 nhỏ hơn 3.
f  x 

m � 1;3 .

A.
Lời giải.
Đạo
f ' x  

B.



 C. m � 1; 5  .

D. m � 1;3 .

m � 1;3 5  4 .

hàm
2m x

2  x  1 x  x  1

��
� f ' x   0 � x 

2
4
� x  2 � 0;4 , m  1.
m
m

�4 �
max f  x   f � 2 � m 2  4.
x� 0;4
�m �
Lập bảng biến thiên, ta kết luận được

Vậy ta cần có





m 1
m 2  4  3 � m  5 ���
m � 1; 5 .

Chọn C

3
2
Ví dụ 15 : Cho hàm số y  2 x  3x  m . Trên  1;1 hàm số có giá trị nhỏ nhất là
1 . Tính m ?

A. m  6 .
.
Lời giải

B. m  3 .

C. m  4 .

D. m  5

2
Xét  1;1 có y� 6 x  6 x .

�
x  0 � 1;1
��
x  1� 1;1
�
y�
 0 � 6x2  6x  0
.

Khi đó

y  1  5  m

; y  0   m ; y  1  1  m

Ta thấy 5  m  1  m  m nên
Theo bài ra ta có

min y  1
 1;1

min y  5  m
 1;1

.

nên 5  m  1 � m  4 .

y  x 3  3 x  2m  1
m

Ví dụ 16 : Tìm
để giá trị lớn nhất của hàm số
trên đoạn
0;
2
 
m

là nhỏ nhất. Giá trị của
�3
�
� ;  1�
A. � 2 �.

thuộc khoảng nào?

�2 �
� ;2�
B. �3 �.

1; 0
C. 
.

0;1
D.   .

Lời giải

3

Xét hàm số y  f  x   x  3x  2m  1 trên đoạn  0; 2 .

�
x  1 � 0; 2
f '  x   3x 2  3  0 � �
x 1
�
Ta có
.

13


Ta có
Suy ra

f  0   2m  1

, f  1  2m  3 và f  2   2m  1

max f  x   max  2m  1 ; 2m  3 ; 2m  1   max  2m  3 ; 2m  1   P
 0;2

.

1
2.
Trường hợp 1: Xét
1
1

Pmin  2 � m 
P  2m  3 �2 m �2
2.
Khi đó
,
. Suy ra
1
2m  3  2m  1 � 4  4m  2   0 � m 
2.
Trường hợp 2: Xét
1
P  2m  1  2 m  2
Khi đó
,
. Suy ra Pmin không tồn tại.
1
m
2.
Vậy
4  4m 2 

2m �
�
3 ��
2m 
1

0

m

Nhận xét : Với dạng toán này, học sinh phải nắm được tính chất về GTLN và
GTNN của hàm số và sự đổi dấu của đạo hàm. Đồng thời hình thành và phát
triển tư duy trừu tượng, quy lạ về quen, kỹ năng phân tích khi giải quyết bài
tốn.
2.3.2.6. Dạng 6: Bài toán GTLN-GTNN liên quan đến đồ thị đạo hàm
Phương pháp chung của dạng toán này là : Sử dụng các yếu tố mà bài toán

cho về đồ thị hoặc bảng biến thiên của y  f '  x  và vận dụng các quy tắc tìm
GTLN, GTNN của hàm số để tìm ra kết quả của bài tốn.
Ví dụ 17 :Cho hàm số y  f  x  xác định và liên tục trên �, đồ thị của hàm số
y f�
 x

như hình vẽ.

y  f  x

Giá trị lớn nhất của hàm số
A.

f  1

.

B.

1; 2
trên đoạn 
là

f  1

.

C.

f  2

.

D.

f  0

.

Lời giải
x  1
�
�
f�
 x   0 � �x  1
�
�x  2

Từ đồ thị hàm

.

y= f�
( x)

ta có bảng biến thiên

14


- 1; 2]
f 1
Từ đó suy ra giá trị lớn nhất của hàm số trên [
là ( ) .

Ví dụ 18 : Cho hàm số y  f  x  , hàm số y  f '  x  liên tục trên �và có đồ thị
như hình vẽ bên dưới

Bất phương trình f  x   x  m ( m là tham số thực) nghiệm đúng với mọi
x � 0; 2 

khi và chỉ khi

A. m  f  2   2.
Lời giải

B. m  f  0  .

f  x  x  m � f  x  x  m

C. m �f  2   2.

D. m �f  0  .

.

�
�
Đặt g ( x)  f  x   x xét trên khoảng  0; 2  . g ( x)  f  x   1 .

�
�
Từ đồ thị ta thấy g ( x)  f  x   1  0 với mọi x � 0; 2  . Suy ra hàm số
g ( x)  f  x   x

luôn nghịch biến trên khoảng  0; 2  .

Bất phương trình f  x   x  m ( m là tham số thực) nghiệm đúng với
m �lim g  x   f (0)

x �0
mọi x � 0; 2  khi và chỉ khi
.
2.3.2.7.Củng cố lại kiến thức, kỹ năng làm bài về giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ
nhất của hàm số thông qua buổi thảo luận.
Giáo viên tổ chức một vài buổi thảo luận trong đó giáo viên giao nhiệm vụ
cho từng nhóm chuẩn bị trước ở nhà, nên chia thành 5 nhóm và năng lực học tập
ở các nhóm là tương đương nhau.
Nhóm 1: Giải quyết các bài tốn vận dụng quy tắc tìm GTLN,GTNN của hàm
số.
Nhóm 2: Giải quyết các bài toán thực tế về GTLN,GTNN của hàm số.
Nhóm 3: Giải quyết các bài tốn tìm tham số m để GTLN,GTNN của hàm số

thỏa mãn điều kiện cho trước.
Nhóm 4: Giải quyết các bài tốn dựa vào đồ thị của hàm số y= để xác định xác
định GTLN,GTNN của hàm số.
Buổi thảo luận được tiến hành theo trình tự như sau:
- Đầu tiên một nhóm lên trình bày, phát kết quả của nhóm cho các nhóm
khác.

15


- Tiếp theo, các nhóm khác đưa ra câu hỏi đối với nhóm vừa trình bày, đưa
ra
cách giải của nhóm.
- Giáo viên nhận xét và đưa ra kết luận cuối cùng và yêu cầu các em học
sinh
ghi nhận.
- Giáo viên có thể trao thưởng cho các nhóm hồn thành tốt nhiệm vụ, có
thể
thưởng điểm cao hoặc những món quà ý nghĩa để khích lệ học sinh.
- Giáo viên nhận xét từng học sinh trong sự chuẩn bị và tiếp thu kiến thức.
Buổi thảo luận tiếp theo thì yêu cấu của các nhóm được đổi cho nhau.
2.3.3. Một số bài tập tham khảo
Câu 1. Cho hàm số y  f  x  liên tục và có đồ thị trên đoạn  2; 4 như hình vẽ
bên. Tổng giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số y  f  x  trên đoạn  2; 4
bằng

A. 5

B. 3

D. 2

C. 0

Câu 2. Cho hàm số y  f  x  có bảng xét dấu đạo hàm như sau:

Mệnh đề nào sau đây đúng
A.

max f  x   f  0 
 1;1

min f  x   f  0 

B.

max f  x   f  1

 0; �

C.

min f  x   f  1

 �; 1

D.

 1; �

4
2
Câu 3. Giá trị lớn nhất của hàm số y  x  x  13 trên đoạn [1; 2] bằng

51
A. 85 B. 4

C. 13

Câu 4. Tìm giá trị nhỏ nhất m của hàm số

D. 25
y  x2 

2
x trên đoạn

1 �
�
;2
�
2 �
�
�.

16


A. m  5

B. m  3

C.

m

17
4

D. m  10

3
2
Câu 5. Giá trị nhỏ nhất của hàm số y  x  3x trên đoạn  4;  1 bằng
A. 16
B. 0
C. 4
D. 4

Câu 6. Giá trị nhỏ nhất của hàm số
nhiêu?
A. 0
B. 1
Câu 7. Giá trị nhỏ nhất của hàm số
5
B. 2

A. 2

y  x 5

1
x trên khoảng  0;� bằng bao

C. 3

D. 2

1
x trên nửa khoảng  2; � là:
7
C. 0
D. 2

f ( x)  x 

x  m2
x  8 với m là tham số thực. Tìm giá trị lớn nhất
Câu 8. Cho hàm số
của m để hàm số có giá trị nhỏ nhất trên đoạn  0;3 bằng 2.
A. m  4 .
B. m  5 .
C. m  4 .
D. m  1.
f  x 

1
s   t 3  6t 2
3
Câu 9.Một vật chuyển động theo quy luật

với t (giây) là khoảng
thời gian tính từ khi vật bắt đầu chuyển động và S (mét) là quãng đường vật di
chuyển được trong khoảng thời gian đó. Hỏi trong khoảng thời gian 9 giây kể từ
khi bắt đầu chuyển động, vận tốc lớn nhất của vật đạt được bằng bao nhiêu?
A. 243 (m/s)
B. 27 (m/s
C. 144 (m/s)
D. 36 (m/s)
Câu 10.Cho một tấm nhơm hình chữ nhật có chiều dài bằng 10cm và chiều rộng
bằng 8cm. Người ta cắt bỏ ở bốn góc của tấm nhơm đó bốn hình vng bằng
nhau, mỗi hình vng có cạnh bằng x(cm), rồi gập tấm nhơm lại (như hình vẽ)
để được một cái hộp khơng nắp. Tìm x để hộp nhận được có thể tích lớn nhất.

x

8  2 21
3

x

10  2 7
3

x

9  21
9 .

x

9  21
3

A.
B.
C.
D.
Câu 11. Một sợi dây kim loại dài 60cm được cắt thành hai đoạn. Đoạn dây thứ
nhất uốn thành hình vng cạnh a , đoạn dây thứ hai uốn thành đường trịn bán
a
kính r . Để tổng diện tích của hình vng và hình trịn nhỏ nhất thì tỉ số r bằng:

17


a
 1.
A. r

a
 2.
B. r

a
 3.
C. r

a
 4.
D. r

Câu 12.
Cho hàm số y  2 x  3x  m . Trên  1;1 hàm số có giá trị nhỏ nhất
là 1 . Tính m ?
A. m  6 .
B. m  3 .
C. m  4 .
D. m  5
.
Câu 13.Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị của tham số thực m sao cho giá trị lớn
3

nhất của hàm số
A. 0

Câu 14.

y f�
 x

y  x3  3x  m

Cho hàm số

f  1

.

Câu 15.

trên đoạn
B. 6

y  f  x

 0; 2

bằng 3. Số phần tử của S là
C. 1
D. 2

xác định và liên tục trên �, đồ thị của hàm số

như hình vẽ.

Giá trị lớn nhất của hàm số
A.

2

y  f  x

B.

1; 2 
trên đoạn 
là

f  1

.

C.

f  2

.

D.

f  0

.

�
�
Cho hàm số f  x  có đạo hàm là f  x  . Đồ thị của hàm số y  f  x 

được cho như hình vẽ bên. Biết rằng f  0   f  1  2 f  3  f  5  f  4  . Tìm giá trị
nhỏ nhất m và giá trị lớn nhất M của f  x  trên đoạn  0;5 .

18


A. m  f  5  , M  f  3

B. m  f  5 , M  f  1

C. m  f  0  , M  f  3

D. m  f  1 , M  f  3

f�
 0  3 ,
Câu 16.Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm cấp hai trên �. Biết
f�
 2   2018

Hàm số
sau đây?

và bảng xét dấu của

y  f  x  2017   2018 x

A.  �;  2017 

�
f�
 x

như sau:

đạt giá trị nhỏ nhất tại điểm x0 thuộc khoảng nào

B.  2017; �

C.  0; 2 

D.  2017; 0 

2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục, với
bản thân, đồng nghiệp và nhà trường
Kết quả vận dụng của bản thân:
Chúng tôi đã thực hiện việc áp dụng cách làm này trong nhiều năm với
những mức độ khác nhau giữa các lớp trong cùng một khoá học hoặc giữa các
lớp ở các khoá học khác nhau.
Đề tài này đã được thực hiện giảng dạy khi tôi tham gia dạy lớp 12A10 ôn
thi THPT Quốc gia ở trường THPT Tĩnh Gia 1 năm học 2020-2021. Trong quá
trình triển khai đề tài này, học sinh thực sự thấy tự tin, tạo cho học sinh niềm
đam mê ,u thích mơn tốn, mở ra cho học sinh cách nhìn nhận, vận dụng, linh
hoạt, sáng tạo các kiến thức đã học, tạo nền cho học sinh tự học, tự nghiên cứu,
phát triển tốt năng lực giải bài toán của học sinh về nội dung cực trị của hàm số.
Kết quả ,học sinh tích cực tham gia giải bài tập, nhiều em tiến bộ, nắm vững
kiến thức cơ bản ,nhiều em vận dụng tốt ở từng bài toán cụ thể .Qua các bài

19


kiểm tra về nội dung này và các bài thi học kỳ, thi thử THPT Quốc gia, tôi nhận
thấy nhiều em có sự tiến bộ rõ rệt và đạt kết quả tốt. Cụ thể như sau :
Học sinh lớp 12A10 (Sỉ số 40) (THPT Tĩnh Gia 1)
G
K
TB
Y
Kém
SL
%
SL

%
SL
%
SL
%
SL
%
8
20
18
45
12
30
2
5
0
0
Triển khai trước tổ bộ môn:
Chúng tôi đã đưa đề tài này ra tổ để trao đổi, thảo luận và rút kinh nghiệm.
Đa số các đồng nghiệp trong tổ đã đánh giá cao và vận dụng có hiệu quả, tạo
được hứng thú cho học sinh và giúp các em hiểu sâu, nắm vững hơn về bản chất
hình học cũng như tạo thói quen sáng tạo trong nghiên cứu và học tập. Và cho
đến nay, những kinh nghiệm của tôi đã được tổ thừa nhận là có tính thực tiễn và
tính khả thi. Hiện nay, chúng tôi tiếp tục xây dựng thêm nhiều ý tưởng để giúp
học sinh trường THPT Tĩnh Gia 1 học tập nội dung này một cách tốt nhất để đạt
kết quả cao nhất trong các kỳ thi.

3. Kết luận và kiến nghị
3.1. Kết luận
Trong dạy học giải bài tập tốn nói chung và dạy học giải bài tập liên quan

đến tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số nói riêng, việc xây dựng
các bài tốn riêng lẻ thành một hệ thống theo một trình tự logic có sự sắp đặt của
phương pháp và quy trình giải toán sẽ giúp học sinh dễ dàng tiếp cận với nội
dung bài học, đồng thời có thể phát triển tư duy học toán cũng như tạo ra niềm
vui và sự hứng thú trong học tốn.
Việc chọn trình tự bài tập và phân dạng như trên giúp học sinh dễ tiếp thu
hơn và thấy được trong từng bài toán nên áp dụng kiến thức nào cho phù hợp.
Mỗi dạng tốn tơi chọn một số bài tập để học sinh hiểu cách làm để từ đó làm
những bài tập mang tính tương tự và dần nâng cao hơn. .Tuy nhiên, vẫn còn một
số học sinh không tiến bộ do mất cơ bản, sức ỳ quá lớn hoặc chưa có động cơ,
hứng thú trong học tập.

20


Do đó đây chỉ là những dạng tốn thường gặp trong đề thi tốt nghiệp THPT
Quốc gia. Để giải quyết tốt những dạng toán này giáo viên trước hết phải cung
cấp cho học sinh nắm chắc các kiến thức cơ bản sau đó là cung cấp cho học sinh
cách nhận dạng bài tốn, thể hiện bài tốn từ đó học sinh có thể vân dụng linh
hoạt các kiến thưc cơ bản, phân tích tìm ra hướng giải.
Rất mong sự đóng góp ý kiến của các bạn quan tâm và đồng nghiệp để đề
tài này được đầy đủ hoàn thiện hơn .
3.2. Kiến nghị
Đối với tổ chun mơn :
Cần có nhiều buổi họp thảo luận về nội dung liên quan đến việc tìm giá trị
lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số. Khuyến khích học sinh xây dựng bài tập
toán liên quan đến những dạng bài tập toán trong bài giảng.
Đối với trường :
Cần bố trí những tiết thảo luận hơn nữa để thơng qua đó các học sinh bổ
trợ nhau về kiến thức. Trong dạy học giải bài tập toán, giáo viên cần xây dựng

bài giảng thành hệ thống những bài tập có phương pháp và quy trình giải toán.
Đối với ngành giáo dục :
Phát triển và nhân rộng những đề tài có ứng dụng thực tiễn cao, đồng thời
viết thành những bộ sách tham khảo cho học sinh và giáo viên.
XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG Nghi Sơn, ngày 20 tháng 5 năm 2021
ĐƠN VỊ
Tôi xin cam đoan toàn bộ nội dung đề
tài trên là do bản thân tôi nghiên cứu
và thực hiện, không sao chép nội dung
của bất kỳ ai..
NGƯỜI VIẾT SKKN

Lê Văn Thọ
Tài liệu tham khảo
[1]. Sách giáo khoa giải tích 12- Nhà xuất bản Giáo dục, Bộ Giáo dục và đào
tạo.
[2]. Sách bài tập giải tích 12- Nhà xuất bản Giáo dục, Bộ Giáo dục và đào tạo.
[3]. Sách tham khảo giải bài toán hay và khó giải tích 12- Nhà xuất bản Đại học
Quốc gia Hà Nội.
[4]. Bộ đề trắc nghiệm luyện thi THPT Quốc gia năm 2017- Nhà xuất bản Giáo
dục Việt Nam.
[5]. Bộ đề trắc nghiệm luyện thi THPT Quốc gia năm 2018- Nhà xuất bản Giáo
dục Việt Nam.

21


[6]. Bộ đề trắc nghiệm luyện thi THPT Quốc gia năm 2019- Nhà xuất bản Giáo
dục Việt Nam.
[7]. Bộ đề trắc nghiệm luyện thi THPT Quốc gia năm 2020- Nhà xuất bản Giáo

dục Việt Nam.
[8]. Bộ đề trắc nghiệm luyện thi THPT Quốc gia năm 2021- Nhà xuất bản Giáo
dục Việt Nam.

DANH MỤC
CÁC ĐỀ TÀI SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐÃ ĐƯỢC HỘI ĐỒNG
ĐÁNH GIÁ XẾP LOẠI CẤP PHÒNG GD&ĐT, CẤP SỞ GD&ĐT VÀ CÁC
CẤP CAO HƠN XẾP LOẠI TỪ C TRỞ LÊN
Họ và tên tác giả: Lê Văn Thọ
Chức vụ và đơn vị cơng tác: Giáo viên tốn, trường THPT Tĩnh Gia 1
T
T

Tên đề tài SKKN

Cấp đánh giá Kết quả
xếp loại

Năm học
đánh giá xếp

22