SKKN phân loại các bài toán giá trị lớn nhất giá trị nhỏ nhất của hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối có tham số

MỤC LỤC

Mục

Nội Dung

Tran
g

1

1. MỞ ĐẦU.

1

2

1.1 Lý do chọn đề tài.

1

3

1.2 Mục đích nghiên cứu.

1

4

1.3 Đối tượng nghiên cứu.

2

5

1.4 Phương pháp nghiên cứu.

2

6

2. NỘI DUNG CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM.

2

7

2.1 Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm.

2

8

2.2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm.

2

9

2.3 Các sáng kiến và giải pháp đã sử dụng giải quyết vấn đề.

3

10

2.4 Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo
dục, bản thân, đồng nghiệp và nhà trường.

18

11

3. KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ.

18

12

3.1 Kết luận.

18

13

3.2 Kiến nghị.

19

14

Tài liệu tham khảo.

20


1. MỞ ĐẦU.
1.1. Lí do chọn đề tài.
Những năm gần đây, các bài toán về hàm trị tuyệt đối đã xuất hiện trong đề tham
khảo, đề chính thức của Bộ giáo dục và sau đó nó đã trở thành trào lưu trên các diễn
đàn toán học, đồng thời xuất hiện nhiều trong các đề thi học sinh giỏi, đề thi thử THPT
Quốc Gia của các Sở giáo dục, các trường phổ thơng với rất nhiều dạng tốn và
thường ở mức độ vận dụng, vận dụng cao.
Trong chương trình sách giáo khoa, các bài tập về hàm số chứa dấu giá trị tuyệt
đối rất ít, bài tốn về giá trị lớn nhất – giá trị nhỏ nhất của hàm số chứa dấu giá trị
tuyệt đối khơng có. Trong các tài liệu tham khảo loại bài tập này khá nhiều nhưng chỉ
dừng ở việc cung cấp đề bài và lời giải, chưa có tài liệu nào phân loại một cách rõ nét.
Qua nhiều năm dạy học tơi nhận thấy bài tốn về giá trị lớn nhất – giá trị nhỏ
nhất của hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối là phần kiến thức địi hỏi học sinh phải có tư
duy sâu sắc, có kiến thức nền vững chắc nên đối với học sinh đại trà, đây là mảng kiến
thức khó và thường để mất điểm. Đối với học sinh khá, giỏi các em có thể làm được
phần này nhưng nhiều khi cách giải còn rời rạc, làm bài nào biết bài đấy, tốn nhiều
thời gian để giải và khi giải xong thì khơng tự tin với kết quả của mình.
Trước các lý do trên, để góp phần vào việc nâng cao chất lượng dạy và học mơn
Tốn ở nhà trường phổ thơng, tạo hứng thú học tập và nâng cao niềm tin vào khoa học
cho học sinh tôi quyết định viết đề tài sáng kiến kinh nghiệm mang tên ”PHÂN LOẠI
CÁC BÀI TOÁN GIÁ TRỊ LỚN NHẤT – GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ
CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI CÓ THAM SỐ”.
Vì điều kiện thời gian cịn hạn chế và do khuôn khổ của sáng kiến kinh nghiệm
nên sự phân loại có thể chưa được triệt để. Rất mong được các bạn bè đồng nghiệp góp
ý kiến chỉnh sửa để đề tài này được hồn thiện hơn.
Tơi xin chân thành cảm ơn!

1.2. Mục đích nghiên cứu.
Mục đích chính của bản Sáng kiến kinh nghiệm này là phân loại các bài toán
giá trị lớn nhất – giá trị nhỏ nhất của hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối có tham
số thành những dạng nhỏ kèm theo phương pháp giải, ví dụ minh họa và một hệ thống
bài tập để học sinh tự rèn luyện và phát triển kĩ năng giải quyết các bài toán dạng này.
Trang 1 |


1.3. Đối tượng nghiên cứu.
- Các dạng câu hỏi về giá trị lớn nhất – giá trị nhỏ nhất trong đề thi THPT quốc
gia của Bộ giáo dục và đề thi thử của các trường THPT, các Sở giáo dục trên cả nước.
- Học sinh khối 12 trường THPT Nông Cống 2 Thanh Hóa.
1.4. Phương pháp nghiên cứu.
Dựa vào sách giáo khoa, tài liệu tham khảo là đề thi THPT quốc gia của Bộ giáo
dục và đề thi thử của các trường THPT, các Sở giáo dục trên cả nước; dựa vào thực
nghiệm trong quá trình giảng dạy của bản thân và dựa trên sự trao đổi chuyên môn với
đồng nghiệp. Phương pháp nghiên cứu của sáng kiến kinh nghiệm này là sự kết hợp
giữa phương pháp nghiên cứu lý luận xây dựng lý thuyết và phương pháp phân tích, hệ
thống hóa tài liệu, tổng kết kinh nghiệm.
2. NỘI DUNG CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM.
2.1. Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm.
2.1.1. Định nghĩa giá trị lớn nhất – giá trị nhỏ nhất của hàm số.
Cho hàm số

y  f  x

xác định trên tập D .

y  f  x
f x �L

a. Số L được gọi là giá trị lớn nhất của hàm số
trên tập D nếu  

L  max f  x 
f x L
D
với mọi x thuộc D và tồn tại x0 �D sao cho  0 
. Kí hiệu
.
y  f  x
f x �n
b. Số n được gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm số
trên tập D nếu  
n  min f  x 
f x n
D
với mọi x thuộc D và tồn tại x0 �D sao cho  0 
. Kí hiệu
.
2.1.2. Quy tắc tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số liên tục trên một
đoạn.
a; b 
f�
 x  bằng 0 hoặc
Bước 1: Tìm các điểm x1 , x2 ,..., xn trên khoảng 
, tại đó
f�
 x

khơng xác định.

f  a  f  x1  f  x2 
f b
f x
,
,
, …,  n  ,   .

Bước 2: Tính

Bước 3: Tìm số lớn nhất L và số nhỏ nhất n trong các số trên. Ta có
n  min f  x 
D

Trang 2 |

.

L  max f  x 
D

;


2.2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm.
Khi đứng trước một bài toán giá trị lớn nhất – giá trị nhỏ nhất của hàm số chứa
dấu giá trị tuyệt đối có tham số học sinh thường mất định hướng không biết bắt đầu từ
đâu hoặc khi đọc lời giải không biết tại sao người giải lại đưa ra đánh giá đó.
Qua khảo sát học sinh khối 12 tại trường THPT Nông Cống 2 khi giải bài toán
giá trị lớn nhất – giá trị nhỏ nhất của hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối có tham số đa
số các em học sinh không làm được, một bộ phận nhỏ khác thì khơng chắc chắn với

kết quả của mình, chỉ có một vài học sinh có thể đưa ra lời giải chính xác.
2.3. Các sáng kiến kinh nghiệm hoặc các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn
đề.
2.3.1. Bài toán tổng quát.
Cho hàm số

y  f  x

. Tìm giá trị lớn nhất – giá trị nhỏ nhất của hàm số trên

 a; b .

Phương pháp:

max f  x   L min f  x   n
Bước 1: Tìm  a ; b
;  a ; b
.
Bước 2: Xét các khả năng:

min f  x   0 max f  x   max  L ; n 
 Nếu L.n �0 thì  a ; b
;  a ; b
.
min f  x   n max f  x   L
 Nếu n  0 thì  a ; b
;  a ; b
.
min f  x   L   L max f  x   n  n
 Nếu L  0 thì  a; b

;  a ; b
.

max f  x  

Công thức tính nhanh:  a ; b

Ln  Ln
2
.

2.3.2. Phân loại các dạng toán.

max f  x, m  �k (�k )
min f  x, m  �k (�k )
2.3.2.1. Dạng 1: Tìm m để  a ; b
hoặc  a ; b
.
Ví dụ 1. [Đề Tham Khảo 2018] Gọi S là tập tất cả các giá trị của m sao cho giá trị
lớn nhất của hàm số
A. 0

y  x3  3x  m

B. 6

trên đoạn

 0;2

C. 1
Lời giải

Trang 3 |

bằng 3. Số phần tử của S là
D. 2


Xét hàm số

f  x   x3  3 x  m

f�
 x   0 � 3x 2  3  0 � x  �1

Ta có

f�
 x   3x 2  3

. Ta có

x � 0; 2

. Vì

f  1  m  2; f  0   m; f  2   m  2

.

nên ta chỉ lấy giá trị x  1 .

.

max f  x   m  2 min f  x   m  2
Suy ra  0;2
;  0;2
.

 Nếu

 m  2   m  2  �0 � 2 �m �2 thì

max f  x   max  m  2 ; m  2   max  m  2;2  m
 0; 2

.

m23
m 1
�
�
��
��
2m 3
m  1
�
�
Yêu cầu bài toán

(thỏa mãn).
max f  x   m  2
 Nếu m  2  0 � m  2 thì  0; 2
.
u cầu bài tốn � m  2  3 � m  1 (không thỏa mãn).
max f  x   2  m
m

2

0
�
m


2
 Nếu
thì  0;2
.
Yêu cầu bài toán � 2  m  3 � m  1 (khơng thỏa mãn).
Vậy có 2 giá trị m thỏa mãn yêu cầu bài toán.

max f  x  

Cơng thức tính nhanh:  0; 2

2m  4
 3 � 2m  2
�m�
1.

2

Ví dụ 2. [Đề Minh Họa 2020 Lần 1] Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị của m sao
cho giá trị lớn nhất của hàm số

f  x   x3  3x  m

trên đoạn

 0;3

bằng 16. Tổng tất

cả các phần tử của S là:
A. 16 .

C. 12 .

B. 16 .
Lời giải

Xét hàm số

f  x   x3  3 x  m

. Ta có

f�
 x   0 � 3x 2  3  0 � x  �1

Ta có

. Vì

f�
 x   3x 2  3
x � 0;3

f  1  m  2; f  0   m; f  3  m  18

.

max f  x   m  18 min f  x   m  2
Suy ra  0;3
;  0;3
.

Trang 4 |

.

nên ta chỉ lấy giá trị x  1 .

D. 2 .


 Nếu

 m  18  m  2  �0 � 18 �m �2

thì

max f  x   max  m  18 ; m  2   max  m  18; 2  m
 0;3

.

m  18  16
m  2
�
�
��
��
2  m  16
m  14
�
�
Yêu cầu bài toán
(thỏa mãn).
max f  x   m  18
m

2

0
�
m

2
 Nếu

thì  0;3
.
�
m

18

16
�
m


2
u cầu bài tốn
(khơng thỏa mãn).
max f  x   2  m
m

18

0
�
m


18
 Nếu
thì  0;3
.
�

2

m

16
�
m


14
u cầu bài tốn
(khơng thỏa mãn).
Vậy có 2 giá trị m thỏa mãn yêu cầu bài toán là m  2; m  14 .

max f  x  

Cơng thức tính nhanh:  0;3

2m  16  20
 16
� m  2; m  14 .
2

Ví dụ 3. Có bao nhiêu số nguyên m để giá trị nhỏ nhất của hàm số
y  3 x 4  4 x3  12 x 2  m

A. 0 .

trên đoạn

 3;2

bằng 15 .

B. 3 .

C. 2 .

D. 1 .

Lời giải
Xét hàm số

f  x   3 x 4  4 x3  12 x 2  m

. Ta có

f�
 x   12 x3  12 x 2  24 x

f�
 x   0 � 12 x3  12 x 2  24 x  0 � x  0; x  1; x  2

.

f  0   m; f  1  m  5; f  2   m  32; f  3  243  m

Suy ra


.

.

max f  x   m  243 min f  x   m  32
 3;2
;  3;2
.

min f  x 
m  243  m  32  �0 � 243 �m �32

Nếu
thì  3; 2
min f  x   m  32
 3; 2

0

 Nếu m  32  0 � m  32 thì
.
�
m

32

15
�
m


47
u cầu bài tốn
(thỏa mãn).
min f  x   m  243
 Nếu m  243  0 � m  243 thì  3;2
.
Yêu cầu bài toán �  m  243  15 � m  258 (thỏa mãn).
Vậy có 2 giá trị m thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Trang 5 |

(không thỏa mãn).


BÀI TẬP ÁP DỤNG
Câu 1 [3]: Hỏi có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số
2

lớn nhất của hàm số

y�
x 3  2mx  6 �
�
�

A. 3 .

trên đoạn

 1; 3

B. 2 .

y = x3 - 4mx + 4

D. 0 .

C.1 .

trên đoạn

 0; 2

B. 40 .

A. 42 .

để giá trị

khơng vượt q 64?

Câu 2 [3]: Hỏi có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số
nhỏ nhất của hàm số

m � 40; 40

m � 40; 40

để giá trị

lớn hơn 3 ?

C. 39 .

D. 41 .

Câu 3 [3]: Gọi S là tập chứa tất cả các giá trị thực của tham số m để giá trị nhỏ nhất
2

của hàm số

2 x  mx  3
y 2
x  2x  2

A. 5 .

bằng 1 . Tổng giá trị tất cả các phần tử của tập S bằng

Câu 4 [3]: Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số

y
nhất của hàm số

x 2  2mx  2
3x 2  x  1

A. 2 .

D. 3 .

C. 6 .

B. 4 .

m � 40; 40 

lớn hơn 2 ?

B. 1 .

nhất của hàm số
A. 3 .

mx  x  3
x2

m � 40; 40

để giá trị nhỏ

� 1�
0; �
�
1;1

2 �.
�
trên
nằm trong khoảng

B. 2 .

2.3.2.2. Dạng 2: Tìm điều kiện của tham số để

C. 1 .

D. 4 .

 .max f  x    .min f  x  �k  �k 
 a ; b

Ví dụ 1. [Đề Minh Họa 2020 Lần 2] Cho hàm số

Trang 6 |

D. 0 .

C. vơ số.

Câu 5 [3]: Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số

y

để giá trị nhỏ

f  x 

 a ; b

.

xm
x  1 . Gọi S là tập tất cả


các giá trị của m mà

max f  x   min f  x   2
 0;1

 0;1

A. 6 .

. Số phần tử của S là

B. 2 .

D. 4 .

C. 1 .
Lời giải

1 m
xm
m 1
�
f
x




2
f  x 
f
1



 x  1 ; f  0   m ;
2 .
x  1 . Ta có
Xét hàm số
max f  x   min f  x   1
y  f  x  1
 0;1
Khi m  1 thì
nên  0;1
(thỏa mãn)
0;1
Khi m �1 thì hàm số hoặc đồng biến hoặc nghịch biến trên đoạn   . Ta xét các

trường hợp sau:
 Nếu

f  0  . f  1 �0 � m � �;  1 � 0;  �

thì

m 1

�
m 1
�
max f  x   min f  x   f  0   f  1  m 
2�
5
 0;1
 0;1
�
2
m
3 (thỏa mãn).
�
min f  x   0;
f 0 . f 1  0 � 1  m  0
 Khi    
thì  0;1

� m 1 �
max f  x   max f  0  ; f  1  max �m ;
�
 0;1
2
�
.





m  �2
�m  2
�
�
�
max f  x   min f  x   2 � �m  1
��
m  5
 0;1
 0;1
2
�
�
m3
�
�2
Suy ra
(không thỏa mãn).
Vậy số phần tử của S là 2 .
Ví dụ 2. [Sở Phú Thọ 2020] Cho hàm số

f  x   x4  2x2  m

. Gọi S là tập tất cả

max f  x   3min f  x 
20; 20
 0; 2
các giá trị nguyên của m thuộc đoạn 
sao cho  0; 2

. Tổng
các phần tử của S bằng
A. 63 .

B. 51 .

C. 195 .
Lời giải

Trang 7 |

D. 23 .


Xét hàm số
Ta có

f  x   x4  2 x 2  m

trên đoạn

 0; 2 .

f�
 x   4 x3  4 x  0 � x  0; x  1; x  1

. Vì

x � 0; 2

nên không lấy x  1 .

f  0   m f  1  m  1 f  2   m  8
;
;
.
max f  x   m  8 min f  x   m  1
Suy ra  0;2
;  0;2
.

 Nếu

f  x
 m  8  m  1  0 � 8  m  1 thì min
 0; 2

 0;

max f  x   max  m  8 ; m  1   max  m  8;1  m  0
 0; 2

Yêu cầu bài toán

8 0
 Khi m �
Yêu cầu bài toán

1 0
 Khi m �۳

Yêu cầu bài toán

� max  m  8;1  m  3.0

m

8 thì

(khơng xảy ra).
min f  x   m  8; max f  x   1  m
 0; 2

 0; 2

1  m  3  m  8 � m  

m 1 thì

.

25
2 .

min f  x   m  1; max f  x   m  8
 0; 2

 0; 2

m  8  3  m  1 � m 

.

.

11
2.

25
�
m


�
2
�
25 � �
11 �
�
11
�
m ��
20;  ��� ;20 �
m
m � 20; 20 
2 � �2
�
�.
Do đó � 2 , kết hợp với
ta có
S   20;  19;...  13;6;7;...20

Vì m nguyên nên
. Tổng các phần tử của S là 63 .

Ví dụ 3. Cho hàm số

f  x 

2x  m
x  2 ( m là tham số thực, m �4 ). Gọi S là tập tất

max f  x   min f  x   8
 0; 2
cả các giá trị của m sao cho  0; 2
. Tổng các phần tử của S là

8
B. 3 .

10
A. 3 .

C. 3 .

D. 4 .

Lời giải

Xét hàm số
Trang 8 |

f  x 

4m
m
2x  m
4m
f�
 x 
2
f
0

f
2





 x  2 ;
2 ;
x  2 . Ta có
4 .


0;2
Khi m �4 thì hàm số hoặc đồng biến hoặc nghịch biến trên đoạn 
. Ta xét các

trường hợp sau:

m 4  m
f  0  . f  2  �۳��
0
��
. � 0
2
4
 Nếu

m



;0 

 4;



thì

m  12
�
m 4  m
�
max f  x   min f  x   f  0   f  2  

8�
28
 0; 2

 0; 2
�
2
4
m
3 (thỏa mãn).
�
min f  x   0;
f  0 . f  2  0 � 0  m  4
 Khi
thì  0;1

�m 4  m �
max f  x   max f  0  ; f  2   max � ;
�
 0; 2
4
�2
.





� m
m  �16
�
�2  8
�
max f  x   min f  x   8 � �

��
m  28
 0; 2
 0; 2
�4  m
�
8
m  36
�
�
4
�
Suy ra
(không thỏa mãn).
Vậy tổng các phần tử của S là

12 

28 8

3 3.

BÀI TẬP ÁP DỤNG
Câu 1 [4]: Cho hàm số

min
y + max y = 10
� �
- 1; 2�
�

�
- 1; 2�
�
�

y = x4 - 2x3 + x2 + a

. Có bao nhiêu số thực a để

.
B. 5.

A. 2.

y=
Câu 2 [4]: Cho hàm số

x4 + ax + a
x +1

C. 3.

D. 1.

. Gọi M , m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá

�
1;2�
trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn � �

. Có bao nhiêu số nguyên a sao cho M �2m.

A. 15.
Câu 3 [4]: Giả sử
Trang 9 |

B. 14.

C. 16.

x2 + y2 - 4x + 6y + 4+ y2 + 6y + 10 = 6+ 4x - x2

D. 13.
đúng với


mọi số thực x; y . Gọi M ,m lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức
x2 + y2 - a

T=

�
- 10;10�
�của tham số a
. Có bao nhiêu giá trị nguyên thuộc đoạn �

để M �2m?
B. 16

A. 17

tất cả các giá trị nguyên của

max f  x  �3min f  x 
 1;4

m

thuộc đoạn

B. 4002 .

Câu 5 [4]: Cho hàm số

C. 4004 .

f  x   x 4  4x3  4 x 2  a

nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn

 3;2

 2020;2020

sao cho

. Số phần tử của S là

A. 4003 .

đoạn

D. 18

f  x   x3  3x 2  m  1 m
( là tham số thực). Gọi S là tập hợp

Câu 4 [4]: Cho hàm số

 1;4

C. 15

D. 4001 .

. Gọi M , m lần lượt là giá trị lớn

 0; 2 . Có bao nhiêu số nguyên

a thuộc

sao cho M �2m ?

A. 7 .

B. 5 .

C. 6 .

D. 4 .

2.3.2.3. Dạng 3. Tìm điều kiện của tham số để giá trị lớn nhất của hàm số
y  f  x; m 

trên đoạn

 a; b

đạt giá trị nhỏ nhất.

Bài toán thường gặp: Tìm điều kiện của tham số để giá trị lớn nhất của hàm số
y  f  x  g  m

trên đoạn

 a; b

đạt giá trị nhỏ nhất.

Phương pháp:

max f  x   L min f  x   n
Bước 1: Tìm  a ; b
;  a ; b
.
y  f  x  g  m
Bước 2: Gọi A là giá trị lớn nhất của
thì





A  max L  g  m  ; n  g  m  �
Trang 10 |

L  g  m  n  g  m
2



L  g  m   n  g  m 
2

.


Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi
L  g  m   n  g  m 
2

Lại có

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi
Bước 3: Kết luận

min A 

L  g  m  n  g  m

�

.

L  g  m  n  g  m



2

Ln
2 .

 L  g  m    n  g  m   �0 .

Ln
L  n
g  m 
2 khi
2 .

Ví dụ 1. [THPT Đơng Sơn 1 – Thanh Hóa 2019] Tìm m để giá trị lớn nhất của hàm
số

y  x 3  3 x  2m  1

trên đoạn

�3
�

 ;  1�
�
�.
A. � 2

 0; 2

là nhỏ nhất. Giá trị của m thuộc khoảng nào?

�2 �
� ;2�
B. �3 �.

 1;0 .

C.

D.

Lời giải
Xét hàm số
Ta có
Suy ra

f  x   x 3  3 x  2m  1

. Ta có

f�
 x   3x 2  3  0 � x  �1

f  0   2m  1; f  1  2m  3; f  2   2m  1
max f  x   2m  1; min f  x   2m  3
 0; 2

 0; 2

Gọi A là giá trị lớn nhất của

.

.

y  x 3  3 x  2m  1

thì

2m  1  3  2 m
A  max  2m  1 ; 2m  3  �
2
.
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi

2m  1  3  2m � m 

1
2.

2m  1  3  2 m 2m  1  3  2m
�

2
2
2
Lại có
.
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi
Vậy min A  2 khi

Trang 11 |

m

1
2.

 2m 1�۳�
  3 2m 

0

3
2

m

1
2.

.

 0;1 .


y=

Ví dụ 2. Giá trị lớn nhất của hàm số

1 4 1 2
1
1
x + ( m - 1) x3 - m2x2 + m
4
3
2
6 trên

�
0;1�
đoạn � �có giá trị nhỏ nhất bằng

1
A. 24 .

1
B. 20 .

2- 2
C. 12 .

2-

2
2

D.

.

Lời giải
Xét hàm số
Ta có

f  x 



1 4 1 2
1
1
x   m  1 x 3  m 2 x 2  m
4
3
2
6 .







f�
 x   x3  m 2  1 x 2  m 2 x  x  x  1 x  m 2 �0 x � 0;1

.

1
1
f  0   m; f  1    2m 2  2m  1  0 m
6
12
Ta tính được
.
�1
�
1
M  max f  x   max f  0  ; f  1  max � m ;   2m 2  2m  1 �
 0;1
12
�6
Do đó





1
�1
�
 max � 2m ;  2m 2  2m  1 �

12
12
�
.

1
�
M
�
2m
�
12 M �2 m
�
� 12
�
��
�
12 M � 2 m 2  2m  1
�M �1  2m 2  2m  1
�
Suy ra � 12
.
Vẽ

y  2m ; y  2m 2  2m  1

Đồ thị hàm số

Trang 12 |

trên cùng một hệ trục tọa độ.

y  max  2m ;2m 2  2m  1

là đường nét liền trong đồ thị.


Từ đồ thị hàm số suy ra 12M đạt giá trị nhỏ nhất tại điểm m0 là nghiệm bé của
2 m  2m 2  2 m  1

phương trình

.

�
0;1�
Vậy giá trị lớn nhất của hàm số đã cho trên � �đạt giá trị nhỏ nhất bằng

m=

2-

2- 2
12 khi

2
2

.

Ví dụ 3. Cho hàm số

y  2 x 3  3 x 2  6  m 2  1 x  2021

. Gọi S là tập hợp tất cả các

�
- 1;0�
giá trị nguyên của tham số m để giá trị lớn nhất của hàm số đã cho trên � �đạt giá

trị nhỏ nhất. Số các phần tử của S là
A. 50 .

B. 0.

C. 51.

D. 25 .

Lời giải
Xét hàm số
Ta có

f  x   2 x 3  3x 2  6  m 2  1 x  2021

.

f�
 x   6 x 2  6 x  6  m 2  1  6  x 2  x  1  m 2   0 x � 1;0

Ta tính được
Suy ra

f  0   2021; f  1  2010  6m 2

.

max f  x   max  2021; 2010  6m 2  �2021
 1; 0

.

.

min max f  x   2021 � 2010  6m 2 �2021
 1; 0
� 2021 �2010  6m 2 �2021
Vậy
� 6m 2  4031 �0 � 

4031
4031
�m �
6
6 .

m � 25;  24;...;24; 25
Vì m ngun nên
. Tập S có 51 phần tử.

BÀI TẬP ÁP DỤNG
Câu 1:

[HSG Bắc Ninh 2019] Xét hàm số

f  x   x 2  ax  b

, với a , b là tham

1;3
số. Gọi M là giá trị lớn nhất của hàm số trên 
. Khi M nhận giá trị nhỏ nhất có

thể được, tính a  2b .
Trang 13 |


A. 2 .
Câu 2 [5]: Cho hàm số
đoạn

 3; 1

D. 3 .

C. 4 .

B. 4 .
y  x 3  x 2   m 2  1 x  27

. Giá trị lớn nhất của hàm số trên

có giá trị nhỏ nhất bằng

A. 26 .

B. 18 .

C. 28 .

Câu 3 [5]: Gọi M là giá trị lớn nhất của hàm số

D. 16 .

y  4ax 3  (1  3a) x

trên đoạn

 1;1 .

Giá trị nhỏ nhất của M bằng
3
B. 2 .

A. 1 .

8
C. 9 .

y  cos x  a cos 2 x  b cos 3x

Câu 4 [5]: Cho hàm số

1
D. 2 .

với a, b là các số thực thay đổi.

Khi giá trị lớn nhất của hàm số đạt giá trị nhỏ nhất, giá trị của biểu thức 2a  3b bằng.
1
A. 2 .

B. 2 .

Câu 5 [5]: Cho hàm số
số trên đoạn

 0; 2

y

C.



1
2.

D. 2 .

1 4 1 2
x   m  3 x3  m 2 x 2  m
4
3
. Giá trị lớn nhất của hàm

có giá trị nhỏ nhất bằng

2
A. 3 .

3
B. 8 .

55
C. 48 .

1
D. 24 .

2.3.2.4. Dạng 4. Tìm điều kiện của tham số để giá trị nhỏ nhất của hàm số
y  f  x; m 

 a; b

trên đoạn

đạt giá trị nhỏ nhất.

Phương pháp:

Bước 1: Rõ ràng

f  x; m  �0, x � a; b 

và chỉ khi phương trình

f  x; m   0

Bước 2: Tìm để phương trình
Ví dụ 1. Cho hàm số
Trang 14 |

min f  x; m  �0
nên  a ; b
, dấu bằng xảy ra khi

có nghiệm trên đoạn

f  x; m   0

 a; b  .

có nghiệm trên đoạn

y  x 2  mx  2m  4

 a; b  .

. Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên

�
- 1;0�
của tham số m để giá trị nhỏ nhất của hàm số đã cho trên � �đạt giá trị nhỏ nhất.

Số các phần tử của S là
A. 3.

B. 0.

C. 4.

D. 2.

Lời giải
Vì

x 2  mx  2m  4 �0, x � 1;0

nên

min x 2  mx  2m  4 �0
 1;0

.

2
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi phương trình x  mx  2m  4  0 có nghiệm trên đoạn

 1;0 .

2
Ta có x  mx  2m  4  0 � x  2; x  2  m .

1 2 m�0 �
2 m 3.
u cầu bài tốn ��
Có hai giá trị của m thỏa mãn u cầu bài tốn.
Ví dụ 2. Cho hàm số

y  x 3  12 x  m

. Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của

�
1;3�
tham số m để giá trị nhỏ nhất của hàm số đã cho trên � �đạt giá trị nhỏ nhất. Số các

phần tử của S là
A. 5.

C. 8.

B. 7.

D. 10.

Lời giải
Vì

x3  12 x  m �0, x � 1;3

nên

min x 3  12 x  m �0
 1;3

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi phương trình
nghiệm trên đoạn
Vì

x 3  12 x  m  0 � x 3  12 x   m  1

có

 1;3 .

x 3  12 x � 16;  9

chỉ khi

.

khi

x � 1;3

m � 16;  9 � m � 9;16 

nên phương trình

 1

có nghiệm trên

 1;3

khi và

.

Có 8 giá trị m thỏa mãn bài tốn.
Ví dụ 3. Cho hàm số

y  x 2  2  m  3 x  4m  1

. Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị

�
0;1�
nguyên của tham số m để giá trị nhỏ nhất của hàm số đã cho trên � �đạt giá trị nhỏ

Trang 15 |


nhất. Số các phần tử của S là
A. 5.

C. 3.

B. 1.

D. 7 .

Lời giải
Vì

x 2  2  m  3 x  4m  1 �0, x � 0;1

nên

min x 2  2  m  3 x  4m  1 �0
 0;1

.

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi phương trình

x 2  2  m  3 x  4m  1  0 � 2m 

x2  6x 1
0;1
x2
có nghiệm trên đoạn   .

x2  6 x  1 �
1 �
�� ;6 �
x2
2 �khi x � 0;1 nên phương trình  1 có nghiệm trên  0;1 khi và
�

Vì
1 �
1 �
�
�
2m �� ;6 �� m �� ;3�
2 �
4 �.
�
�
chỉ khi

Có 3 giá trị m thỏa mãn bài toán.
BÀI TẬP ÁP DỤNG
Câu 1 [5]: Cho hàm số

y

1 4 1 3 1 2
x  x  x m
4
3
2
. Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị

�
- 3;- 2�
�đạt giá trị
nguyên của tham số m để giá trị nhỏ nhất của hàm số đã cho trên �

nhỏ nhất. Số các phần tử của S là
A. 8 .
Câu 2 [5]: Cho hàm số

B. 9 .
y  x 2   2m  3 x  5m  1

C. 10 .

D. 11 .

. Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị

�
0;2�
nguyên của tham số m để giá trị nhỏ nhất của hàm số đã cho trên � �đạt giá trị nhỏ

nhất. Số các phần tử của S là
A. 0 .
Câu 3 [5]: Cho hàm số

B. 1 .
y   x 3  3x 2  2 x  5m  7

C. 2 .

D. 3 .

. Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị

�
1;2�
nguyên của tham số m để giá trị nhỏ nhất của hàm số đã cho trên � �đạt giá trị nhỏ

nhất. Số các phần tử của S là
Trang 16 |


A. 1 .

B. 2 .

D. 3 .

C. 4 .

2.3.2.5. Một số bài toán khác.
Câu 1 [5]: Cho hàm số

y  x 2  3 x  2  mx

(với m là tham số thực). Giá trị nhỏ nhất

của hàm số có giá trị lớn nhất bằng
B. 3 .

A. 1 .

Câu 2 [5]: Giá trị nhỏ nhất của hàm số

C. 2 .

D. 2 .

f ( x )  x 2  x  m  x  1

(với m là tham số

thực) có giá trị lớn nhất bằng
A. 1.

B. 2.

Câu 3 [5]: Cho hàm số

C. 4.

f ( x)  2 x3  9 x 2  12 x  m

trong khoảng ( 20; 20) để với mọi bộ ba số thực

D. 3.

. Có bao nhiêu giá trị m số nguyên

a, b, c � 1;3

thì f (a), f (b), f (c) là

độ dài ba cạnh một tam giác?

A. 10 .

B. 8 .

Câu 4 [5]: Cho hàm số

C. 25 .

f  x   x3  3x  m

để với mọi bộ ba số thực

a, b, c � 2;1

thì

D. 23 .

. Có bao nhiêu số nguyên
f  a , f  b , f  c 

m � 20; 20 

là độ dài ba cạnh của

một tam giác.
A. 30 .

B. 24 .

C. 28 .

D. 26 .

2
2
2
2
Câu 5 [5]: Cho x; y thỏa mãn x  y  4 x  6 y  4  y  6 y  10  6  4 x  x .

T
Gọi M , m lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của
nhiêu giá trị nguyên thuộc đoạn

 10;10

A. 17

B. 16

Câu 6 [5]: Kí hiệu

x2  y2  a

. Có bao

của tham số a để M �2m ?
C. 15

f a ,b   x   x  a  x  b  x  2  x  3

D. 18
. Biết rằng luôn tồn tại số

Min f  x   f  a ,b   x0 
b
a
thực x0 để x��  a ,b 
đúng với mọi a, b thỏa mãn a  b và 0  a  b

. Số x0 bằng
Trang 17 |


A. 2e  1 .

B. 2,5 .

Câu 7 [5]: Cho hàm số
Hàm số

f�
 x

y  f  x

A.

f  1  f  0 

C.

f  2   f  1

y f  x

.
.

Câu 8 [5]: Cho hàm số

xác định và liên tục trên �.

trên đoạn

 2;1 . Giá trị của M  m bằng

B.

f  1  f  2 

.

D.

f  1  f  0 

.

f  x   ax5  bx 4  cx3  dx 2  ex  n

. Đồ thị hàm số

như hình vẽ dưới. Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ

nhất của hàm số

Trang 18 |

f�
 x

có đồ thị như hình vẽ dưới. Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và

giá trị nhỏ nhất của hàm số

y f�
 x

có đạo hàm

D. 2e .

C. e .

y f  x

trên đoạn

 3;2 . Giá trị của M  m bằng

�1 �
f � � f  2 
A. �2 �
.

C.

f  3  f  2 

.

Câu 9 [5]: Cho hàm số
số

y f�
 x

y  f  x

B.

f  0.5   f  0 

.

D.

f  3  f  0 

.

f 2 0
xác định, liên tục trên � và  
. Đồ thị hàm

như hình vẽ dưới. Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ

nhất của hàm số

y  f  x

A.

M  f  1 , m  f  3

C.

M  f  1 , m  f  2 

Câu 10: Cho hàm số

trên đoạn

.
.

 1;3 . Giá trị của M

và m lần lượt là

B.

M  f  3 , m  f  1

.

D.

M  f  1 , m  f  3

.

f  x   ax 3  bx 2  cx  d

có đồ thị

 C  . Biết đồ thị  C 

tiếp

y f�
 x
xúc với đường thẳng y  4 tại điểm có hồnh độ âm và đồ thị của hàm số

như hình vẽ dưới. Giá trị lớn nhất của hàm số

A. 20 .
Trang 19 |

y  f  x

trên

B. 60 .

 0;3

bằng


D. 3 .

C. 22 .

2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục, bản thân,
đồng nghiệp và nhà trường.
Để kiểm tra hiệu quả của đề tài, tôi tiến hành kiểm tra trên hai đối tượng có chất
lượng tương đương nhau là học sinh lớp 12A3 và lớp 12A2 trường THPT Nơng Cống
2. Trong đó lớp 12A2 chưa được tiếp cận phương pháp đã sử dụng trong đề tài, kiểm
tra bằng hình thức trắc nghiệm, thời gian làm bài 45 phút tôi thu được kết quả như sau:
Lớp

Sĩ số

Điểm < 5

5 �Điểm<8

Điểm �8

Số lượng
%
Số lượng
%
Số lượng
%
12A3
39
2
5.1
10
25.5
27
69.4
12A2
42
23
55
11
26
8
19
Đối với đồng nghiệp trong trường tôi cũng đã triển khai ở các buổi sinh hoạt
chuyên môn và được các đồng nghiệp đánh giá cao về hiệu quả trong quá trình giảng
dạy.
3. KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ
3.1. Kết luận.
Sáng kiến kinh nghiệm của tơi về việc “phân loại các bài tốn giá trị lớn nhất – giá

trị nhỏ nhất của hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối có tham số” đã đạt được những kết
quả chính như sau:
- Nhắc lại một số kiến thức cơ bản về giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số.
- Phân loại bài toán giá trị lớn nhất – giá trị nhỏ nhất của hàm số chứa dấu giá trị
tuyệt đối có tham số thành 4 dạng thường gặp trong các đề thi chính thức, đề thi thử
THPT quốc gia, đề thi học sinh giỏi.
- Sau khi phân loại, trong mỗi dạng toán tơi đã nêu bài tốn tổng qt kèm phương
pháp giải, ví dụ mẫu và bài tập áp dụng.
- Ngồi 4 dạng tốn thường gặp tơi cũng sưu tầm thêm một số bài toán khác để học
sinh và bạn bè đồng nghiệp có cái nhìn đa dạng hơn về lớp các bài toán giá trị lớn nhất
– giá trị nhỏ nhất chứa giá trị tuyệt đối có chứa tham số.
- Sáng kiến kinh nghiệm được khi áp dụng vào thực tế giảng dạy đã góp phần
khơng nhỏ vào việc nâng cao năng lực tốn học cho học sinh. Từ đó giúp các em tìm
thấy niềm vui khi học tốn.
- Sáng kiến kinh nghiệm đã triển khai ở các buổi sinh hoạt chuyên môn và được
Trang 20 |


các đồng nghiệp đánh giá cao về hiệu quả trong quá trình giảng dạy
3.2. Kiến nghị.
- Nhà trường cần tổ chức nhiều hơn các buổi trao đổi phương pháp giảng dạy cho
toàn thể cán bộ giáo viên.
- Sáng kiến kinh nghiệm có chất lượng nên được cơng bố rộng rãi.
- Học sinh cần tăng cường tự học ở nhà, tích cực trao đổi học tập qua việc học
nhóm từ đó nâng cao chất lượng học tập.
- Qua việc nghiên cứu một vấn đề nhỏ này tôi hy vọng cùng các đồng nghiệp có
thể góp phần nhỏ cải tiến, đổi mới phương pháp giảng dạy bộ môn.
XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ

Thanh hóa ngày 15/4/2021

Tơi xin cam đoan đây là SKKN
của mình viết, khơng sao chép nội
dung của người khác.
(Ký và ghi rõ họ tên)

Lê Thị Phương

Trang 21 |


TÀI LIỆU THAM KHẢO.
[1] Sách giáo khoa Giải tích 12, Trần Văn Hạo, Nhà xuất bản giáo dục.
[2] Giá trị lớn nhất – giá trị nhỏ nhất, Trần Minh Ngọc, nguồn:

[3] Bài tập giá trị lớn nhất – giá trị nhỏ nhất của hàm số chứa giá trị tuyệt đối,
Nguyễn Đăng Ái, nguồn:
[4] Bài tập giá trị lớn nhất – giá trị nhỏ nhất của hàm số chứa giá trị tuyệt đối, Đặng
Thành Nam, nguồn:
[5] Tham khảo từ một số tài liệu trên các diễn đàn toán học, nguồn:


Trang 22 |