SKKN một số giải pháp hướng dẫn học sinh giải bài toán về tiệm cận của đồ thị hàm số nhằm rèn luyện và phát triển tư duy

MỤC LỤC
1. MỞ ĐẦU….….…………………………………………………...……... ...2
1.1. Lý do chọn đề tài………………………………………………………...2
1.2. Mục đích nghiên cứu…………………………………………….……....2
1.3. Đối tượng nghiên cứu…………………………………………….……...2
1.4. Phương pháp nghiên cứu…………………………………………..…….2
1.5. Những điểm mới của sáng kiến...……………………………….……….3
2. NỘI DUNG CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM …………………....…3
2.1.
Cơ
sở
luận..............................................................................................3

lí

2.2. Thực trạng vấn đề………...………………………………………...…...3
2.3. Các giải pháp thực hiện………...…………………………………...…..4
2.4. Hiệu quả của sáng kiến…………...………………………………........18
3. KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ ….…………………...……….…………….....19
3.1. Kết luận………………………………………………………………..19
3.2. Kiến nghị………………………………………………………………19

1


1. MỞ ĐẦU.
1.1 Lý do chọn đề tài.
Nền giáo dục Việt Nam đang tập trung đổi mới, hướng tới một nền giáo
dục tiến bộ, hiện đại ngang tầm với các nước trong khu vực và trên thế giới. Một
trong các nội dung đổi mới đó là thay đổi hình thức kiểm tra đánh giá kỳ thi tốt
nghiệp THPT Quốc Gia . Đối với bộ mơn Tốn, từ năm 2017 thay hình thức thi

tự luận được tiến hành lâu nay bằng hình thức thi trắc nghiệm. Hình thức này là
mới đối với thầy và trò, nhưng đã được các nước phát triển trên thế giới áp dụng
lâu nay. Cùng với sự thay đổi hình thức thi thì đề thi cũng có sự thay đổi về hình
thức và nội dung. Trong đề thi khơng cịn nhiều câu hỏi hóc búa, địi hỏi phải
suy luận và tính tốn dài dịng, nhưng bên cạnh đó lại xuất hiện các cách hỏi mới
khơng q khó nhưng yêu cầu học sinh khi học phải hiểu đầy đủ và cặn kẽ các
vấn đề.
Các bài toán về tiệm cận của đồ thị hàm số là một chủ đề quan trọng ở
chương trình tốn giải tích lớp 12, đồng thời là một nội dung trong kì thi tốt
nghiệp THPTQG. Ngồi các bài tốn cơ bản ở mức độ nhận biết và thơng hiểu
ta cũng thường gặp các bài tốn kết hợp nhiều kiến thức và kỹ năng phức tạp.
Thực tế lâu nay học sinh thường gặp những bài toán hỏi về tiệm cận đồ thị hàm
số chứa tham số phức tạp nên khi gặp các bài toán dạng này học sinh thường có
tâm lí e ngại, bối rối vì không biết dùng phương pháp nào để giải.
Xuất phát từ thực tế đó, tơi lựa chọn đề tài : “ Một số giải pháp hướng
dẫn học sinh giải bài toán về tiệm cận của đồ thị hàm số nhằm rèn luyện và
phát triển tư duy”. Để giúp học sinh không còn bị lúng túng khi gặp các câu
hỏi như vậy, dần hình thành kỹ năng giải tốn cũng như tính chính xác và linh
hoạt trong q trình giải tốn. Đồng thời tạo được sự hứng thú, phát triển tư duy,
năng lực sáng tạo của học sinh khi học tập môn tốn cũng như các mơn học
khác.
1.2. Mục đích nghiên cứu.
Đưa ra một số dạng bài tập và phương pháp giải tương ứng giúp học sinh
củng cố kiến thức, hình thành kĩ năng giải toán, phát triển tư duy sáng tạo. Đồng
thời thúc đẩy hứng thú học tập cho học sinh, góp phần nâng cao chất lượng
giảng dạy.
1.3. Đối tượng nghiên cứu.
- Học sinh thực hiện nội dung này là học sinh lớp 12.
- Đối tượng nghiên cứu: Các phương pháp giải các bài tốn về số nghiệm
của phương trình liên quan đến hàm số.

1.4. Phương pháp nghiên cứu.
- Phương pháp nghiên cứu xây dựng cơ sở lí thuyết: Nghiên cứu các tài
liệu liên quan đến đề tài như: sách giáo khoa, tài liệu về phương pháp dạy học
toán, sách tham khảo, đề thi khảo sát chất lượng của các trường trung học phổ
thông, mạng internet,..
- Phương pháp điều tra quan sát: Tìm hiểu việc nắm bắt bài học của học
sinh qua việc vận dụng kiến thức để giải toán và qua các bài kiểm tra, tìm hiểu
về việc vận dụng các phương pháp dạy học tích cực ở một số trường phổ thông.
2


- Phương pháp tổng kết kinh nghiệm: Tham gia dự giờ, rút kinh nghiệm
trong tổ bộ môn, tham dự các buổi họp chuyên đề, trao đổi ý kiến với đồng
nghiệp.
1.5. Những điểm mới của sáng kiến.
- Phân loại các dạng bài tập về tiệm cận của đồ thị hàm số.
- Đưa ra một số bài tập để học sinh tự luyện.
2. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM.
2.1. Cơ sở lí luận.
- Định nghĩa và ý nghĩa của tiệm cận đứng, tiệm cận ngang của đồ thị hàm
số.
- Các tính chất của hàm số, kiến thức về đồ thị, bảng biến thiên, phương trình
lượng giác...[1]
2.2. Thực trạng vấn đề.
Học sinh vốn quen thuộc với các bài tập cho hàm số tường minh, tương
ứng với từng dạng bài tập đều đã có phương pháp giải rõ ràng, một số bài các
em còn có thể sử dụng sự hỗ trợ của máy tính Casio. Nhưng với hình thức thi
mới, cách hỏi mới xuất hiện các dạng bài tập hỏi về tiệm cận có chứa tham số,
chỉ cho bảng biến thiên hoặc đồ thị. Khi gặp những bài tập này đa số học sinh
thường lúng túng trong quá trình tìm lời giải, các em không biết phải xử lý như

thế nào hay phải sử dụng phương pháp giải cho phù hợp, ngay cả những học
sinh khá giỏi cũng gặp phải vấn đề như vậy.
2.3. Các giải pháp thực hiện
Để khắc phục những khó khăn mà học sinh thường gặp phải, tôi đã thực
hiện một số giải pháp sau:
- Bổ sung, hệ thống những kiến thức cơ bản.
- Đưa ra một hệ thống ví dụ và bài tập trắc nghiệm khách quan tăng dần từ
dễ đến khó, tăng dần từ mức độ nhận biết, thơng hiểu lên vận dụng. Giúp cho
các em làm quen dần với dạng bài tập này. Dần hình thành kỹ năng giải tốn
cũng như tính chính xác và linh hoạt trong q trình giải tốn.
- Đổi mới trong việc kiểm tra, đánh giá. Ra đề kiểm tra với 4 mức độ nhận
thức: nhận biết, thông hiểu, vận dụng thấp, vận dụng cao để kiểm tra mức độ
tiếp thu, kiểm tra năng lực của học sinh và có kế hoạch điều chỉnh.
2.3.1. Các bài toán thường gặp.
Dạng 1. Cho biết biểu thức hàm số
3x − 1 − x + 3
.
x2 + 2x − 3
C. x = −1 và x = 3 . D. x = 3 .

Ví dụ 1: [3] Tìm tất cả các đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y =
A. x = 1 và x = −3 .

B. x = −3 .

Hướng dẫn: Để tìm tiệm cận đứng ta xét mẫu bằng 0 ta được x = 1, x = −3 . Sau khi
tính giới hạn ta thấy x = 1 không là tiệm cận đứng.
Sai lầm: Học sinh thường lấy cả x = 1 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
Lời giải
3

Hàm số có tập xác định D = (−3; +∞) \{1} .
 x =1
.
 x = −3

2
Ta có x + 2 x − 3 = 0 ⇔ 

Xét lim y = lim 3 x −2 1 − x + 3 = +∞ nên x = −3 là một tiệm cận đứng.
x →−3+

x →−3+

x + 2x − 3

( 3x − 1) − ( x + 3)
3x − 1 − x + 3
y = lim 2
= lim
Xét lim
x →1
x →1
x →1
x + 2x − 3
( x − 1) ( x + 3) 3x − 1 + x + 3
2

(

( x − 1) ( 9 x + 2 )
x →1
( x − 1) ( x + 3) ( 3x − 1 +

= lim

x +3

)

= lim
x →1

( 9x + 2)

( x + 3) ( 3x − 1 +

x+3

)

)
=

11
8 .

Nên x = 1 không là tiệm cận đứng. Đáp án B
Ví dụ 2: [3] Đồ thị hàm số y =

A. 3 .

x +1
có bao nhiêu tiệm cận?
x- 1

B. 2 .

C. 4 .

D. 1 .

Lời giải
Xét hàm số: y =

x +1
có đồ thị (C), TXĐ: D = R \ { 1} .
x −1

y = lim y = 1 ⇒ tiệm cận ngang y = 1. .
Ta có: xlim
→+∞
x →−∞
lim y = +∞ ⇒ tiệm cận đứng là x = 1 .

x →1+

Vì hàm số y =

x +1

là hàm số chẵn nên đồ thị của hàm số này được suy ra từ đồ thị
x −1

( C ) bằng cách giữ nguyên phần đồ thị bên phải trục tung, lấy đối xứng qua trục tung
phần đồ thị nằm bên phải trục tung. Do đó, hàm số y =

x +1
sẽ có 3 đường tiệm cận là
x −1

x = 1, x = −1; y = 1 . Đáp án A

Ví dụ 3. [3] Tập hợp các giá trị thực của m để đồ thị hàm số
y=

2 x −1
( mx − 2 x + 1) ( 4 x2 + 4mx + 1) có đúng 1 đường tiệm cận là.
2

A. { 0} .

B. ( −∞; −1) ∪ { 0} ∪ ( 1; +∞ ) .

C. ( −∞; −1) ∪ ( 1; +∞ ) .

D. ∅ .

4

Hướng dẫn: Bài toán hỏi tiệm cận chung bao gồm cả đứng và ngang. Vì vậy ta xét số
tiệm cận ngang trước. Do ở mẫu hệ số của x 2 là m nên ta cần xét m = 0 trước. Sau khi
xét số tiệm cận ngang, nhận thấy đồ thị hàm số ln có 1 tiệm cận ngang. Nên để đồ
thị hàm số chỉ có 1 tiệm cận thì khơng có tiệm cận đứng.Tử có 1 nghiệm, mẫu là biểu
thức bậc 4, do đó đồ thị hàm số khơng có tiệm cận đứng khi mẫu vô nghiệm.
Lời giải
+ Với m = 0 , hàm số có dạng: y =

−1
. Đồ thị hàm số có đúng một tiệm cận ngang
4x2 + 1

y = 0.

+ Với m ≠ 0
2 1
−
2 x −1
x2 x4
lim y = lim
=
lim
= 0.
x →±∞
x →±∞ mx 2 − 2 x + 1 4 x 2 + 4mx + 1
4m 1 
(
)(
) x→±∞  m − 2 + 1 
+ ÷

÷ 4 +
x x 2 
x x2 


Đồ thị hàm số có một tiệm cận ngang y = 0 .
1 − m < 0

m > 1
⇔
( Không tồn tại m).
 4 m − 4 < 0  −1 < m < 1

Để thị hàm số có đúng một tiệm cận thì 

2

Vậy m = 0 thì đồ thị hàm số có đúng một tiệm cận.
x2 + x − 2
m
y
=
Ví dụ 4. [3] Tìm đề đồ thị hàm số
có 2 tiệm cận đứng.
x2 − 2 x + m
A. m < 1 và m ≠ −8 . B. m > 1 và m ≠ −8 . C. m ≠ 1 và m ≠ −8 . D. m > 1 .

Hướng dẫn: Mẫu là tam thức bậc hai, do đó để đồ thị hàm số có hai tiệm cận đứng thì
điều kiện đầu tiên là mẫu phải có hai nghiệm phân biệt. Tuy nhiên tử có hai nghiệm là
x = 1, x = −2 . Nên đồ thị hàm số có hai tiệm cận đứng thì mẫu có hai nghiệm phân biệt

khác 1; − 2 .
Lời giải
Yêu cầu bài toán ⇔ x 2 − 2 x + m = 0 có 2 nghiệm phân biệt khác nghiệm của
x2 + x − 2 = 0 .
1 − m > 0
m < 1

⇔ 1 − 2 + m ≠ 0 ⇔ 
.
 m ≠ −8
4 + 4 + m ≠ 0


x2 + a
Ví dụ 5. [3] Tìm tất cả các giá trị của tham số a để đồ thị hàm số y = 3
có 3
2
x + ax

đường tiệm cận.
A. a > 0 .

B. a ≠ 0, a ≠ ±1 .

C. a < 0, a ≠ −1 . D. a ≠ 0, a ≠ −1

5


Hướng dẫn: Ta có đồ thị hàm số có 1 tiệm cận ngang là y = 0 , để đồ thị hàm số có ba

tiệm cận thì đồ thị hàm số có hai tiệm cận đứng. Dễ thấy mẫu có hai nghiệm là x = 0
( nghiệm bội 2) và x = −a . Như vậy điều kiện đầu tiên là −a ≠ 0 , tuy nhiên cần tìm
điều kiện để 0, − a không là nghiệm của tử.
Lời giải
Hàm số có tập xác định là D = ¡ \ { 0, − a} .
x2 + a
= 0 nên y = 0 là một tiệm cận ngang.
Ta có lim y = lim 3
x → ±∞
x → ±∞ x + ax 2

a ≠ 0
2
x2 + a
−
a
+
a
≠
0
⇒
(
)
a
≠
0
có
hai
tiệm
cận

đứng
thì
và
.

x 3 + ax 2
 a ≠ −1

Để hàm số y =

Ví dụ 6: [3] Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho đồ thị của hàm số
y=

( m − 1) x + 1

có đúng một đường tiệm cận ngang.

x2 − x + 1
A. ∀m ∈ ¡ .
C. m = 0 .

B. m = 1 .
D. Khơng có giá trị nào của m thỏa mãn.
Hướng dẫn: Bài toán hỏi về tiệm cận ngang, nên ta sẽ tính giới hạn khi x → +∞ ,
x → −∞ . Ta có đồ thị hàm số có hai tiệm cận là y = m − 1, y = −(m − 1) . Nên để đồ thị
hàm số có 1 tiệm cận đứng thì m − 1 = −(m − 1) .
Lời giải
m − 1 = 0 ⇔ m = 1 Ta có y = 0 là tiệm cận ngang duy nhất của đồ thị hàm số đã cho.
m − 1 > 0
 m − 1 < 0 ⇒ y = ± (m − 1) là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.


Vậy m = 1 .
mx 2 + 3mx +1
Ví dụ 7: [3] Tìm tất cả giá trị của m sao cho đồ thị hàm số y =
có ba
x +2

tiệm cận.
A. m ³

1
.
2

B. m £ 0 .

C. 0 < m £

1
2

.

1
2

D. 0 < m < .

Hướng dẫn: Nhận thấy đồ thị hàm số đã cho có tối đa 2 tiệm cận ngang, và 1 tiệm cận
đứng. Như vậy để đồ thị hàm số có 3 tiệm cận thì đồ thị hàm số có hai tiệm cận ngang

và một tiệm cận đứng.
Nếu m < 0 thì mx 2 + 3mx + 1 ≥ 0 ⇔ x ∈ [a; b] nên đồ thị hàm số khơng có tiệm cận ngang
Nếu m = 0 thì y =

1
, đồ thị hàm số chỉ có 2 tiệm cận.
x+2

Nếu m > 0 đồ thị hàm số chắc chắn có 2 tiệm cận ngang, ta biện luận để đồ thị hàm số
có đúng 1 tiệm cận đứng.
Lời giải
Ta có lim y = lim
x →+∞

x →+∞

mx + 3mx + 1
= lim
x →+∞
x+2
2

3m 1
+
x x2 = m .
2
1+
x

m+

6


3m 1
+ 2
mx + 3mx + 1
x
x =− m.
lim y = lim
= lim
x →−∞
x →−∞
x
→−∞
2
x+2
1+
x
Đồ thị hàm số có hai tiệm cận ngang thì m > 0.
− m+

2

Khi x = −2 ⇒ mx 2 + 3mx + 1 = 1 − 2m .
1
2
1
1
Với m = ⇒ 1 − 2m = 0, ta phải thử với trường hợp m = .

2
2

Với m < ⇒ 1 − 2m > 0 thì đồ thị hàm số sẽ có tiệm đứng là x = −2 .

1
m= ⇒ y=
2

1
1 2 3
x + x +1
2
2
= 2
x+2

( x + 1) ( x + 2 ) .

x+2
Lúc đó ta chỉ được xét giới hạn khi x → −2− .
1
2

⇒ lim− y = lim−
x →−2

x →−2



( x + 1)( x + 2)
1
x +1 
=
lim−  −
÷ = −∞ .
x+2
x+2 ÷
2 x→−2 


1
2

Từ đó với m = thì đồ thị hàm số có tiệm cận đứng x = −2 .
1
2

Do đó đồ thị hàm số có ba tiện cận ⇔ 0 < m ≤ .
x − x2 + 1
Ví dụ 8: [3] Tìm tất cả các giá trị của tham số a để đồ thị hàm số y =
có
2
ax + 2

tiệm cận ngang.
A. a > 0 .
B. a = 1 hoặc a = 4 . C. a ≤ 0 .
D. a ≥ 0 .
2

Hướng dẫn: Điều kiện biểu thức dưới căn ax + 2 > 0 . Tương tự các bài tham số trước
ta cũng sẽ xét 3 trường hợp của a .
Lời giải
Điều kiện: ax 2 + 2 > 0 .
+ TH1: a = 0 . Ta có: y =
lim y = lim

x →+∞

x →+∞

(

(

)

1
x − x2 + 1 .
2

)

1
1
−1
x − x 2 + 1 = lim
= 0 nên có TCN: y = 0 .
x →+∞
2

2 x + x2 + 1

+ TH2: a > 0 . Suy ra: ax 2 + 2 > 0 với mọi x ∈ ¡ . Do đó: TXĐ: D = ¡ .
Ta có: y =

x − x2 + 1
ax 2 + 2

y = const nên có TCN.
có bậc tử ≤ bậc mẫu nên lim
x →∞

+ TH3: a < 0 . Suy ra: − −

2
2
a
a

7




2
a

2
a

Do đó: TXĐ: D =  − − ; − ÷
÷ nên đồ thị hàm số khơng có TCN. Vậy a ≥ 0 .


Ví dụ 9: [3] Biết đồ thị hàm số y =

( 2m − n ) x 2 + mx + 1 nhận trục hoành và trục tung
2
x + mx + n − 6

làm hai đường tiệm cận. Tính m + n .
A. 2 .
B. −6 .
C. 8 .
D. 9 .
Hướng dẫn: Từ biểu thức hàm số ta có đồ thị hàm số có 1 tiệm cận ngang là
y = 2m − n

Do đồ thị hàm số nhận trục hoành làm tiệm cận nên 2m − n = 0 .
Đồ thị hàm số nhận trục tung( x = 0 ) làm tiệm cận đứng nên mẫu có nghiệm là 0. Từ
các điều kiện đó ta tìm được m, n .
Lời giải
2
2
Đặt g ( x ) = ( 2m − n ) x + mx + 1 , f ( x ) = x + mx + n − 6 .

y = 2m − n . Suy ra tiệm cận ngang là y = 2m − n .
Ta có xlim
→±∞

Theo giả thiết ta có tiệm cận ngang là y = 0 . Do đó ta có 2m − n = 0 . (1).
Mặt khác, tiệm cận đứng của đồ thị là x = 0 suy ra f ( 0 ) = 0 ⇔ n − 6 = 0 ⇔ n = 6 .
Khi đó g ( 0 ) = 1 ≠ 0 . Từ (1) và (2) suy ra n = 6 và m = 3 .
Vậy m + n = 9 .
ax 2 + x − 3
Ví dụ 10: [3] Đồ thị của hàm số y = 2
có một đường tiệm cận ngang là y = c
4 x + bx + 1

và chỉ có một đường tiệm cận đứng. Tính
A.

a
=1.
bc

B.

a
biết rằng a là số thực dương và ab = 4 ?
bc

a 1
= .
bc 4

C.

a

=4.
bc

Hướng dẫn: Ta xác định được tiệm cận ngang của đồ thị hàm số là y =

D.

a
=2.
bc

a
a
nên = c .
4
4

Hàm số chỉ có một tiệm cận đứng khi mẫu có nghiệm kép hoặc có hai nghiệm phân
biệt trong đó có 1 nghiệm trùng với 1 nghiệm của tử. Đối với trường hợp 1 ta tìm luôn
được b . Với trường hợp 2 do

a 4
= , nên dựa vào từng đáp án ta tìm được b, sau đó
bc b

ta kiểm tra lại.
Lời giải
ax 2 + x − 3
Do đồ thị của hàm số y = 2
có một đường tiệm cận ngang là y = c nên

4 x + bx + 1

c=

a
a 4
⇒
= và chỉ có một đường tiệm cận đứng nên:
4
bc b

8


Th1: 4 x 2 + bx + 1 = 0 có nghiệm kép ⇒ b = ± 4 ⇒ b = 4(a > 0, ab = 4) thay vào hàm số thõa
mãn nên

a
=1.
bc

Th2: 4 x 2 + bx + 1 = 0 và ax 2 + x − 3 = 0 có nghiệm chung. Thay

a
1
lần lượt bằng ; 2; 4
bc
4

ta thấy khơng thõa mãn.

Ví dụ 11: [3] Tìm giá trị của tham số m sao cho đồ thị hàm số y = 2 x + mx 2 − x + 1 + 1
có tiệm cận ngang.
A. m = 4 .
B. m = 2 .
C. m = 0 .
D. m = −4 .
2
Hướng dẫn: Xét biểu thức dưới dấu căn f ( x) = mx − x + 1 ≥ 0
Nếu m < 0 , tập xác định của hàm số là [a; b] nên đồ thị hàm số khơng có tiệm cận
ngang. Loại phương án D.
Nếu m = 0 , tập xác định của hàm số là D = ( −∞;1) nhưng

1 1 1
lim y = lim 2 x + 1 − x + 1 = lim x  2 − 2 − + ÷
= −∞
x →−∞
x →−∞
x →−∞
x
x x÷



(

)

Nên đồ thị hàm số khơng có tiệm cận ngang. Loại phương án C.
y = lim y = +∞ ,
Nếu m > 0 ta thử với hai giá trị m = 4, m = 2 . Ta thấy khi m = 2 thì xlim

→−∞
x →+∞

nên đồ thị hàm số khơng có tiệm cận ngang. Chỉ có m = 4 thoả mãn.
Lời giải
2
ĐKXĐ: mx − x + 1 ≥ 0 . Để đồ thị hàm số có tiệm cận ngang thì điều kiện cần là m ≥ 0 ,
Loại phương án B.
+) Xét phương án C: với m = 0 thì tập xác định của hàm số là D = ( −∞;1) .

(



)

y = lim 2 x + 1 − x + 1 = lim x  2 −
Mà xlim
→−∞
x →−∞
x →−∞


1 1 1
− + ÷ = −∞ nên đồ thị hàm số khơng
x2 x x ÷


có tiệm cận ngang trong trường hợp này.
+) Ta xét phương án A (xét hàm số khi m = 4 ).

(

)


1 1 1
lim y = lim 2 x + 4 x 2 − x + 1 + 1 = lim x  2 + 4 − + 2 + ÷
÷ = +∞ .
x →+∞
x →+∞
x →+∞
x
x
x





1
1
−

÷ 5


x −1
x
lim y = lim 2 x + 4 x 2 − x + 1 + 1 = lim 

+ 1 ÷= lim 
+1÷=
2
x →−∞
x →−∞
x →−∞
÷ 4
 2 x − 4 x − x + 1  x→−∞  2 + 4 − 1 + 1

÷
2
x x



(

)

Trường hợp này, đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là y =

5
.
4

Vậy m = 4 thoả mãn YCBT.
Ví dụ 12: [3] Với giá trị nào của m , đồ thị hàm số y =

x + 1 − x2 + 3x
có đúng hai

x 2 + ( m + 1) x − m − 2

đường tiệm cận?
9


 m ≥ 1

B.   m ≤ −2 .
 m ≠ −3


A. m ∈ ¡ .

 m ≤ −2
.
 m ≠ −3

m ≥ 1

C. 

D. 
.
 m ≤ −2

Hướng dẫn: Trước hết ta tìm điều kiện của biểu thức dưới căn. Mẫu chứa m nhưng có
thể thấy mẫu có hai nghiệm là x = 1, x = − m − 2 . Đồng thời tử cũng có nghiệm là x = 1 ,
nên trước hết ta tiến hành nhân liên hợp, sau đó rút gọn nhân tử x − 1 . Đưa hàm số về
dạng

y=

−1

( x + m + 2) ( x + 1 +

x 2 + 3x

)

Nhận thấy đồ thị hàm số có 1 tiệm cận ngang là y = 0 .
Lời giải
  x ≤ −3

 x ≥ 0
2
x + 1 − x + 3x

y= 2
. Hàm số xác định khi:  x ≠ 1
.
x + ( m + 1) x − m − 2
 x ≠ −m − 2



Ta có
y=

x + 1 − x 2 + 3x

−x +1
−1
=
=
2
x + ( m + 1) x − m − 2 ( x − 1) ( x + m + 2 ) x + 1 + x 2 + 3x
( x + m + 2 ) x + 1 + x 2 + 3x

)

(

(

)

lim y = 0 ⇒ y = 0 là tiệm cận ngang.

x →±∞

 − m − 2 ≤ −3  m ≥ 1
⇔
.
 −m − 2 ≥ 0
 m ≤ −2

Hàm số có hai tiệm cận khi có một tiệm cận đứng ⇔ 

Dạng 2. Cho biết đồ thị hàm số hoặc biết bảng biến thiên
Ví dụ 13: [3] Cho hàm bậc ba y = f ( x ) có đồ thị như hình vẽ bên. Hỏi đồ thị hàm số

(x
y=

2

+ 4 x + 3) x 2 + x

x  f 2 ( x ) − 2 f ( x ) 

A. 2 .

có bao nhiêu đường tiệm cận đứng?

B. 3 .

C. 4 .

D. 6 .

Hướng dẫn: Ta thấy hàm số chứa căn, nên trước hết ta tìm điều kiện biểu thức dưới
căn, sau đó ta giải lấy nghiệm của mẫu, so sánh với nghiệm của tử. Nếu nghiệm x0 của
10


mẫu khơng làm cho căn có nghĩa thì loại ln, nếu nghiệm x0 làm cho căn có nghĩa,
và khác nghiệm của tử thì x = x0 là tiệm cận đứng, nếu x0 trùng với nghiệm của tử thì
cần tính giới hạn để kiểm tra x = x0 là tiệm cận đứng hay không phải là tiệm cận đứng.
Lờigiải

(x
y=

2

+ 4 x + 3) x 2 + x

x  f 2 ( x ) − 2 f ( x ) 

=

( x + 1) ( x + 3) x ( x + 1)
. Điều kiện tồn tại căn
x. f ( x ) .  f ( x ) − 2

x ≥ 0
x 2 + x :  x ≤ −1 .


x = 0

2
Xét phương trình x  f ( x ) − 2 f ( x )  = 0 ⇔  f ( x ) = 0 .
f x =2
 ( )

Với x = 0 ta có lim
x →0

+

( x + 1) ( x + 3) x ( x + 1)
x. f ( x ) .  f ( x ) − 2

= lim+
x →0

( x + 1) ( x + 3) x + 1 = +∞
. Suy ra
x . f ( x ) .  f ( x ) − 2 

x=0

là tiệm cận đứng.
Với f ( x ) = 0 ⇒ x = −3 (nghiệm bội 2) hoặc x = a (loại vì −1 < a < 0 ).
Ta có: lim

x →−3+

( x + 1) ( x + 3) x ( x + 1)
x. f ( x ) .  f ( x ) − 2 

= −∞ nên x = −3 là tiệm cận đứng.

 x = −1

Với f ( x ) = 2 ⇒  x = b ( −3 < b < −1) (nghiệm bội 1). Ta có:
 x = c c < −3
(
)



( x + 1) ( x + 3) x ( x + 1)
 lim+
=0
 x→−1 x. f ( x ) .  f ( x ) − 2 
( x + 1) ( x + 3) x ( x + 1)
nên x = −1 không là tiệm
lim
=0 
x → b+
x. f ( x ) .  f ( x ) − 2 

( x + 1) ( x + 3) x ( x + 1)
=0
 xlim
→−1−
x
.
f
x
.

f
x
−
2

(
)

(
)




cận đứng.

( x + 1) ( x + 3) x ( x + 1)
x →b
x. f ( x ) .  f ( x ) − 2 
( x + 1) ( x + 3) x ( x + 1)
lim
x →c
x. f ( x ) .  f ( x ) − 2 
lim+

+

+
= +∞ (do x → b + thì f ( x ) → 2 ) nên x = b là tiệm cận đứng.

−
= +∞ (do x → c + thì f ( x ) → 2 ) nên x = c là tiệm cận đứng.

Vậy đồ thị hàm số có 4 tiệm cận đứng.

11

3
2
Ví dụ 14: [3] Cho hàm số bậc ba f ( x ) = ax + bx + cx + d có đồ thị như hình vẽ bên.

( x − 3x + 2 ) 2 x + 1
g ( x) =
( x − 5x + 4) . f ( x )
2

Hỏi đồ thị hàm số

4

A. 4.

2

có bao nhiêu đường tiệm cận đứng?

B. 3.

C. 2.

D. 6.

Hướng dẫn:
Bước 1: Ta cũng tìm điều kiện của biểu thức dưới căn.
Bước 2: Ta nhận thấy mẫu có 2 nghiệm giống với nghiệm của tử. Để tránh sai sót ta
tiến hành phân tích và rút gọn luôn
g ( x) =

2x +1
(x + 1)(x + 2). f ( x )

Khi giải nghiệm mẫu ta được 4 nghiệm là −2; − 1; x0 ; 2 ( 0 < x0 < 1) , ta cần lưu ý là hai
nghiệm −2; − 1 khơng làm cho căn có nghĩa.
Lời giải
Quan sát đồ thị hàm số f ( x ) ta thấy đồ thị hàm số cắt trục hoành tại điểm có hồnh độ
x0 ∈ ( 0;1) , có hệ số a > 0 và tiếp xúc với trục hoành tại điểm có hồnh độ bằng 2. Từ

đó suy ra f ( x ) = a ( x − x0 ) ( x − 2 ) .
2

( x − 3x + 2 ) 2 x + 1 =
(x
g ( x) =
( x − 5x + 4) . f ( x ) ( x − 5x
2

Suy ra

4

2

4

2
2

− 3x + 2 ) 2 x + 1

+ 4 ) .a ( x − x0 ) ( x − 2 )

2

xác định trên

2x +1
 1

D =  − ; +∞ ÷\ { x0 ,1, 2} và g ( x ) =
.
2
a ( x + 1) ( x + 2 ) ( x − 2 ) ( x − x0 )
 2

g ( x ) = ±∞, lim g ( x ) = ±∞ và lim g ( x ) hữu hạn nên hàm số có 2 tiệm cận
Ta có x →lim
x →1
x
x →2
0

+/−

+/ −

đứng là x = x0 và x = 2 .

12


3
2
Ví dụ 15: [3] Cho hàm số bậc ba f ( x ) = ax + bx + cx + d ( a , b , c , d ∈ ¡

) có đồ thị như

hình vẽ sau đây:

Đồ thị hàm số g ( x ) =

x ( x − 2)
f

2

( x) − 2 f ( x)

A. 2

có bao nhiêu đường tiệm cận đứng?

B. 4.

C.3.

D. 1.

Hướng dẫn:
Bước 1: Ta cũng tìm điều kiện của biểu thức dưới căn.
Bước 2: Ta giải mẫu, bài tốn này mặc dù mẫu có nghiệm x = 2 trùng với nghiệm của
tử, tuy nhiên trên tử nghiệm x = 2 là nghiệm đơn nhưng dưới mẫu x = 2 là nghiệm bội
hai nên đồ thị hàm số vẫn nhận x = 2 là tiệm cận đứng.
Lời giải
 x ≥ 0
2
 f ( x ) − 2 f ( x ) ≠ 0

Điều kiện: 

 f ( x) = 0

2
Xét phương trình: f ( x ) − 2 f ( x ) = 0 ⇔ 

 f ( x ) = 2
 x = −1
x = 2

+) Từ đồ thị ⇒ phương trình f ( x ) = 0 ⇔ 

x = −1 không là tiệm cận đứng do đk x ≥ 0 .

x = 2 là nghiệm kép và tử số có một nghiệm x = 2 ⇒ x = 2 là một đường tiệm cận

đứng.
x = a < 0


+) Từ đồ thị ⇒ phương trình f ( x ) = 2 ⇔  x = 1
 x = b (b > 2)
x = a không là tiệm cận đứng (vì x ≥ 0 )
13


x = 1, x = b là hai đường tiệm cận đứng.

Vậy tổng số đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số g ( x ) là 3.
Ví dụ 16: [3] Cho hàm số y = f ( x ) có bảng biến thiên như sau:

Tổng số đường tiệm cận đứng và tiệm cân ngang của đồ thị hàm số
y=

2019
là
2020 f ( x ) + 2021

A. 3 .

B. 4 .

C. 6 .

D. 5 .

Hướng dẫn: Hàm số là hàm phân thức có tử là hằng số, nên số tiệm cận đứng bằng số
nghiệm của mẫu. Dựa vào bảng biến thiên ta có mẫu có 3 nghiệm phân biệt nên đồ thị
hàm số có 3 tiệm cận đứng. Để tìm tiệm cận ngang, ta tính theo định nghĩa kết hợp với
bảng biến thiên.

Lời giải
Dựa vào bảng biến thiên, phương trình 2020 f ( x ) + 2021 = 0 ⇔ f ( x ) = −

2021
có 4
2020

nghiệm x1 ; x2 ; x3 thỏa mãn x1 ∈ ( −∞ ; − 2 ) , x2 ∈ ( −2;0 ) , x3 ∈ ( 0;1) . Suy ra đồ thị hàm
2019

số y = 2020 f x + 2021 có 3 đường tiệm cận đứng là x = x1 ; x = x2 ; x = x3 .
( )
2019

2019

2019
y = lim
=
y=
Vì xlim
nên
là tiệm cận ngang của đồ thị
→+∞
x →+∞ 2020 f ( x ) + 2021
2021
2021

2019

hàm số y = 2020 f x + 2021 .
( )
2019

y = lim
= 0 nên y = 0 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số
Vì xlim
→−∞
x →−∞ 2020 f ( x ) + 2021
y=

2019
.
2020 f ( x ) + 2021
2019

2019
Do đó đồ thị hàm số y = 2020 f x + 2021 có 2 đường tiệm cận ngang là y =
và
( )
2021
y = 0.

14


Vậy tổng số đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số
y=

2019

là 5.
2020 f ( x ) + 2021

Ví dụ 17: Cho hàm số y = f ( x ) là hàm đa thức bậc bốn có bảng biến thiên như sau:

Tổng số đường tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y =

5 − f ( x)
4  f ( x )  − 9
2

bằng
A.6.

B. 8.

C. 7.

D. 4.

Hướng dẫn: Hàm số là hàm phân thức, và có chứa căn nên trước hết ta xét điều kiện
biểu thức dưới căn f ( x) ≤ 5 ⇔ x ∈ [a; b] . Do x không tiến tới −∞; +∞ nên đồ thị hàm số
khơng có tiệm cận ngang. Khi xét mẫu ta có
3

f ( x) = < 5

2
2
4  f ( x )  − 9 = 0 ⇔ 

 f ( x) = − 3 < 5

2

Nên các nghiệm của mẫu đều thoả mãn điều kiện của biểu thức dưới căn. Số tiệm cận
đứng bằng số nghiệm của mẫu
Lời giải
Đặt g ( x ) =

5 − f ( x)
4  f ( x )  − 9
2

+ Xét tử số 5 − f ( x ) . Điều kiện xác định 5 − f ( x ) ≥ 0 ⇔ f ( x ) ≤ 5 .
Dựa vào bảng biến thiên thì tập nghiệm của bất phương trình này là đoạn [ a; b ] với
a < m1 , b > m2 .

15


Do đó tập xác định của g ( x ) là tập con của [ a; b ] nên ĐTHS y = g ( x ) khơng có tiệm
cận ngang.
3

f ( x) =

2
2
+ Xét phương trình 4  f ( x )  − 9 = 0 ⇔ 
 f ( x) = − 3


2

( 1)
( 2)

Dựa vào bảng biến thiên thì phương trình (1) ln có 4 nghiệm phân biệt x1 , x2 , x3 , x4
và phương trình (2) ln có 2 nghiệm phân biệt x5 , x6 .
Các nghiệm thu được đôi một khác nhau, thuộc khoảng [ a; b ] , đồng thời không phải là
nghiệm của tử nên giới hạn của g ( x ) khi x → xi , i = 1, 6 bằng vơ cực.
Do đó đồ thị hàm số y = g ( x ) có 6 đường tiệm cận đứng.
Vậy đồ thị hàm số y = g ( x ) có tất cả 6 đường tiệm cận.
Ví dụ 18. Cho hàm số y = f ( x) xác định trên ¡ , có bảng biến thiên như hình vẽ. Với
giá trị nào của m thì đồ thị hàm số y =

1
có tổng số đường tiệm cận ngang và
f ( x) − m
2

tiệm cận đứng bằng 3 . Chọn đáp án đúng

A. 0 < m < 1 .

B. m = 0 .

C. 0 < m ≤ 1 .

D. 0 ≤ m ≤ 1 .

Hướng dẫn: Dựa vào biểu thức hàm số ta thấy cần xét hai trường hợp m = 0 và m ≠ 0
Lời giải
Với m = 0 ⇒ y =

1
. Dựa vào bảng biến thiên ta có đồ thị khơng có tiệm cận ngang
f ( x)
2

và đứng.
y=−
Ta có với m ≠ 0 thì xlim
→+∞

cận ngang là y = −

1
1
; lim y = − . Suy ra đồ thị hàm số có một đường tiệm
m x →−∞
m

1
.
m

Vậy để đồ thị hàm số có ba đường tiệm cận thì đồ thị hàm số có hai đường tiệm cận
đứng
16

Khi đó phương trình f 2 ( x) − m = 0 có hai nghiệm phân biệt
m > 0

 m > 0
2
Xét phương trình f ( x) − m = 0 ⇔   f ( x) = m ⇔ 
 f ( x) = m

  f ( x) = − m

(Vì từ BBT suy ra f ( x ) > 0, ∀x ∈ ¡ nên phương trình f ( x ) = − m vô nghiệm)
Từ BBT để phương trình f ( x) = m có hai nghiệm phân biệt thì 0 < m < 1 ⇔ 0 < m < 1

2.3.2. Bài tập áp dụng
Câu 1.

Có bao nhiêu giá trị nguyên của m thuộc đoạn [ −100;100] để đồ thị hàm số
y=

1

( x − m)

2x − x2

có đúng hai đường tiệm cận?

A. 200 .
Câu 2.

B. 2 .

C. 199 .

D. 0 .

3
2
Cho hàm số f ( x ) = ax + bx + cx + d có hai điểm cực trị x = −1 ; x = 2 . Biết

f ( −1) . f ( 2 ) < 0 , hỏi đồ thị hàm số y =

x +1
f ( x)

có nhiều nhất bao nhiêu đường

tiệm cận?
A.1.
Câu 3.

B.3.

C.4.

D.2

Cho hàm số y = f ( x ) với f ( x ) là hàm đa thức, có bảng biến thiên như sau

Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để đồ thị hàm số y =

x
có đúng hai
f ( x)

đường tiệm cận đứng.
A. 4 .
Câu 4.

B.vơ số.

C. 1 .

Tìm tập hợp tất cả các giá trị của m để đồ thị hàm số y =

D. 5 .
1 − 2x
2 − 3mx 2

có hai

tiệm cận ngang.
A. R \ { 0} .

B. ( 0; +∞ ) .

C. ( −∞;0 ) .

D. ∅ .

17


Câu 5.

Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số
y=

x −1
có đúng hai đường tiệm cận. Tổng tất cả các phần tử của
x + 2mx − m + 2
2

tập S bằng:
A. − 4 .
Câu 6.

B. − 2 .

Gọi S là tập hợp các giá trị nguyên của tham số m để đồ thị hàm số
y=

x+2
x − 6 x + 2m
2

có hai đường tiệm cận đứng. Số phần tử của tập S là

A. Vô số.

Câu 7.

D. −1 .

C. −5 .

B. 12 .

C. 14.

D. 13 .

Tìm tất cả các giá trị của m sao cho đồ thị hàm số y =

x +1
mx 2 + 1

có hai tiệm

cận ngang.
A. m ∈ φ .
Câu 8.

B. m < 0 .

D. m > 0 .

Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số m để đồ thị hàm số
y=

1+ 3 − x
x 2 − mx + m − 3

có hai đường tiệm cận đứng?

A. 0 .
Câu 9.

C. m = 0 .

B. 3 .

Cho hàm số y = f ( x ) =

C. 2 .

D. 1 .

x−m −3
có đồ thị ( C ) . Gọi S là tập chứa tất cả
x − 4x + 3
2

các giá trị nguyên của m ∈ [ −30;30] để đồ thị ( C ) có đúng một tiệm cận
đứng và một đường tiệm cận ngang. Số phần tử của tập S là
A. 4 .
Câu 10. Cho hàm số y =

C. 3 .

B. 1 .
20 + 6 x − x 2
x − 8 x + 2m
2

D. 2 .

. Tìm tất cả các giá trị của m sao cho đồ thị

hàm số có đúng hai đường tiệm cận đứng
A. m ∈ [ 6;8 )

B. m ∈ ( 6;8 )

C. m ∈ [ 12;16 )

mx 2 − 1
Câu 11. Có bao nhiêu giá trị của m để đồ thị hàm số y = 2

x − 3x + 2

D. m ∈ ( 0;16 )
có đúng hai

đường tiệm cận?
A. 2 .

B. 1 .

C. 4 .

D. 3 .

18


x−3

Câu 12. Cho hàm số y = x3 − 3mx 2 + 2m 2 + 1 x − m . Có bao nhiêu giá trị nguyên của
(
)
tham số m thuộc đoạn [ −2020; 2020] để đồ thị hàm số có 4 đường tiệm cận?
A. 4039.

B. 4040.

C. 4038.

Câu 13. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số y =

D.4037.
x
( x − m) 4 − x 2

có ba

đường tiệm cận.
A. m ∈ ¡ .

m≠0

.
 −2 < m < 2


B. −2 ≤ m ≤ 2 .

C. −2 < m < 2 . D. 

3
2
Câu 14. Cho hàm số y = f ( x ) = ax + bx + cx + d ( a ≠ 0 ) có đồ thị như hình dưới đây.

Gọi S là tập các giá trị nguyên của m thuộc khoảng ( −2019; 2020 ) để đồ thị
hàm số g ( x ) =

( x + 1)

( f ( x ) − 2) ( x

2

f ( x)

− 2mx + m + 2 )

có 5 đường tiệm cận (tiệm cận

đứng hoặc tiệm cận ngang). Số phần tử của tập S là
A. 2016.

B. 4034.

C. 4036.

D. 2017.

3
2
Câu 15. Cho hàm số bậc ba f ( x ) = ax + bx + cx + d có đồ thị như hình vẽ. Hỏi đồ thị

hàm số g ( x ) =

(x

2

− 2x ) 1 − x

( x − 3)  f 2 ( x ) + 3 f ( x ) 

A. 4 .

B. 3 .

có bao nhiêu đường tiệm cận đứng?

C. 5 .

D. 6 .

2.4. Hiệu quả của sáng kiến.
19


Năm học 2020-2021 tôi được giao nhiệm vụ hỗ trợ giảng dạy mơn Tốn ở các
lớp: 12B1, 12B2. Đa số học sinh chăm ngoan và có ý thức học, đặc biệt các em
rất có hứng thú học và giải tốn. Tuy nhiên khi gặp bài toán hỏi về số nghiệm
của hàm ẩn các em rất lung túng không biết giải thế nào. Sau khi tiến hành thực
nghiệm sáng kiến của mình tại các lớp dạy của mình, tơi đã thu được nhiều kết
quả khả quan. Hoạt động học tập của học sinh diễn ra khá sôi nổi, đa số học sinh
hiểu bài và vận dụng được vào giải toán. Một số học sinh khá giỏi đã biết tự tìm
tịi, nghiên cứu thêm ở các đề thi và sách tham khảo để hệ thống hóa, đào sâu
kiến thức.
Kết quả kiểm tra:
Lớp

Điểm yếu

Điểm TB

Điểm khá

Điểm giỏi

Số bài

%

Số bài

%

Số bài

%

Số bài

%

12B1

0

0

8

19,5

11

26,8

22

53,7

12B2

0

0

6

13

25

54

15

33

3. KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ.
3.1. Kết luận.
Trong q trình giảng dạy, tơi nhận thấy rằng: sau khi đưa ra hệ thống bài tập
trên, học sinh đã biết vận dụng cách linh hoạt, vào các bài toán khác nhau, từ
đơn giản đến phức tạp. Học sinh khơng cịn tâm lý e ngại khi gặp các bài toán
này nữa. Mặt khác, hiệu quả áp dụng tương đối cao, bài giải trở nên sáng sủa,
ngắn gọn và hầu hết các em vận dụng tốt.
3.2. Kiến nghị.
Nhà trường cần tạo điều kiện nhiều hơn nữa cho giáo viên trong việc tiếp
xúc với các loại sách tham khảo có chất lượng trên thị trường, đồng thời cũng
cần có tủ sách lưu lại các sáng kiến kinh nghiệm của giáo viên đã được xếp loại,
các chuyên đề tự học, tự bồi dưỡng của giáo viên để đồng nghiệp có tư liệu tham
khảo.
Các cơ quan quản lý giáo dục trong tỉnh cần phát triển rộng rãi các sáng

kiến kinh nghiệm của giáo viên, đặc biệt là các sáng kiến đã được xếp loại để
đồng nghiệp tham khảo, học hỏi. Qua đó nâng cao hiệu quả của các sáng kiến
kinh nghiệm trong ứng dụng vào thực tế nhà trường.
Mặc dù đã có nhiều cố gắng song khơng thể tránh khỏi những sơ suất,
thiếu sót. Kính mong hội đồng khoa học các cấp và bạn bè đồng nghiệp góp ý,
xây dựng, bổ sung cho bản kinh nghiệm của tôi đạt chất lượng tốt hơn.
Tôi xin chân thành cảm ơn!
20


XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG
ĐƠN VỊ

Thanh Hóa, ngày 10 tháng 5 năm 2021
Tơi xin cam đoan đây là SKKN của
mình viết, không sao chép nội dung của
người khác.
(Ký và ghi rõ họ tên)
Mai Văn Ngọc

TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. Sách giáo khoa giải tích 12, tác giả Đồn Quỳnh, Nguyễn Huy Đoan, Trần
Phương Dung, Nguyễn Xuân Liêm, Đặng Hùng Thắng, nhà xuất bản giáo dục
năm 2008.
2. Đề thi minh họa môn Toán năm 2017, 2018, 2019, 2020 của Bộ Giáo Dục và
Đào Tạo.
3. Đề thi thử THPTQG mơn tốn của các Sở Giáo Dục, các trường THPT trong
cả nước.
4.Tuyển chọn những bài ôn luyện thi vào đại học cao đẳng, tác giả Nguyễn
Trọng Bá, Lê Thống Nhất, Nguyễn Phú Trường, nhà xuất bản giáo dục, năm

2001.

21


DANH MỤC
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐÃ ĐƯỢC HỘI ĐỒNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM NGÀNH
GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN, TỈNH VÀ CÁC CẤP CAO HƠN
XẾP LOẠI TỪ C TRỞ LÊN

Họ và tên tác giả: Mai Văn Ngọc
Chức vụ và đơn vị cơng tác: TTCM - Trường THPT Hồng Lệ Kha

TT

Tên đề tài SKKN

Cấp đánh giá xếp
loại
(Ngành GD cấp

Kết quả
đánh giá
xếp loại

Năm học
đánh giá
xếp loại
22

huyện/tỉnh; Tỉnh...)
Tỉnh

(A, B, hoặc C)

C

2012-2013

Tỉnh

B

2013-2014

không gian.
Hướng học sinh giải bài toán cực trị

Tỉnh

B

2014-2015

.4

của biểu thức nhiều biến số.
Một số kỹ thuật đặc biệt giải hệ

Tỉnh

B

2015-2016

5

phương trình.
Hướng dẫn học sinh lớp 12 giải một

Tỉnh

B

2017-2018

6

số bài tích phân đặc biệt.
Rèn luyện một số kỹ năng giải

Tỉnh

C

2018-2019

Tỉnh

B

2019-2020

1.

Hướng dẫn học sinh giải một số bài
toán khoảng cách liên quan đến đồ thị
hàm số.

2.

Hướng dẫn học sinh giải một số bài
toán cực trị liên quan đến tọa độ trong

3.

phương trình mũ và phương trình
logarit chứa tham số ôn thi THPT
7

Quốc Gia.
Hướng dẫn học sinh giải một số bài
tốn vận dụng về phương trình liên
quan đến hàm số nhằm rèn luyện và
phát triển tư duy.

23