SKKN rèn luyện năng lực tư duy và lập luận toán học cho học sinh qua bài toán viết phương trình đường thẳng trong không gian

1.MỞ ĐẦU
1.1. Lý do chọn đề tài
Theo Chương trình giáo dục phổ thơng 2018, “năng lực là thuộc tính cá
nhân được hình thành, phát triển nhờ tố chất sẵn có và quá trình học tập, rèn
luyện, cho phép con người huy động tổng hợp các kiến thức, kĩ năng và các
thuộc tính cá nhân khác như hứng thú, niềm tin, ý chí,… thực hiện thành cơng
một loại hoạt động nhất định, đạt kết quả mong muốn trong những điều kiện cụ
thể”.
Thơng qua chương trình mơn Tốn, học sinh cần hình thành và phát triển
được năng lực toán học. Năng lực toán học bao gồm các thành tố cốt lõi sau:
năng lực tư duy và lập luận toán học; năng lực mơ hình hóa tốn học; năng lực
giải quyết vấn đề toán học; năng lực giao tiếp toán học; năng lực sử dụng cơng
cụ, phương tiện học tốn.Tùy vào từng đối tượng học sinh, yêu cầu cần đạt của
từng khối lớp, năng lực toán học của mỗi học sinh được biểu hiện ở các mức độ
khác nhau.
Dạy học theo hướng phát triển năng lực học sinh là chuyển đổi từ việc
“học sinh cần phải biết gì” sang việc “phải biết và có thể làm gì” trong các tình
huống và bối cảnh khác nhau. Do đó dạy học theo hướng phát triển năng lực học
sinh chú trọng lấy học sinh làm trung tâm và giáo viên là người hướng dẫn, giúp
các em chủ động trong việc đạt được năng lực theo yêu cầu đặt ra, phù hợp với
đặc điểm cá nhân.
“Phương pháp tọa độ trong không gian” là phần kiến thức trọng tâm của
Hình học lớp 12 cũng là nội dung xuất hiện nhiều trong các đề thi THPT Quốc
gia và thi tốt nghiệp. Việc giải các toán bằng phương pháp tọa độ trong khơng
gian nói chung và giải bài tốn viết phương trình đường thẳng nói riêng chứa
đựng tiềm năng rất lớn trong việc phát triển, rèn luyện năng lực tư duy và lập
luận tốn học cho học sinh.
Với những lí do trên, tôi lựa chọn đề tài “ Phát triển năng lực tư duy và
lập luận toán học cho học sinh trường THPT Thường Xuân 2 qua bài toán
viết phương trình đường thẳng trong khơng gian Oxyz” để nghiên cứu, áp
dụng vào giảng dạy nhằm phần nào đáp ứng yêu cầu đổi mới giáo dục và góp

phần vào nâng cao chất lượng dạy học cho nhà trường .
1.2. Mục đích nghiên cứu
- Phát triển năng lực tư duy và lập luận tốn học cho học sinh thơng qua
việc phân loại và tìm lời giải cho bài tốn viết phương trình đường thẳng trong
không gian với hệ tọa độ Oxyz .
1.3. Đối tượng nghiên cứu
- Các bài tập viết phương trình đường thẳng trong khơng gian Oxyz nằm
trong chương trình tốn học phổ thông.
1.4. Phương pháp nghiên cứu
- Phương pháp nghiên cứu lý luận: nghiên cứu chương trình giáo khoa,
nghiên cứu tài liệu, sách tham khảo liên quan đến vấn đề viết phương trình
đường thẳng trong khơng gian.
1


- Phương pháp nghiên cứu thực tế: thông qua việc dạy và học phân mơn
Hình học ở THPT rút ra một số nhận xét và phương pháp giúp học sinh rèn
luyện năng lực tư duy và lập luận toán học.
- Phương pháp kiểm chứng sư phạm: tiến hành dạy, kiểm tra đánh giá khả
năng tiếp thu kiến thức và năng lực tư duy toán học của học sinh.
2. NỘI DUNG SÁNG KIẾN
2.1.Cơ sở lý luận của sáng kiến kinh nghiệm
2.2.1. Khái niệm năng lực tư duy và lập luận toán học
Theo chương trình giáo dục phổ thơng tổng thể mơn Toán, năng lực tư
duy và lập luận toán học của học sinh ở cấp trung học phổ thông được thể hiện
qua việc:
- Thực hiện được tương đối thành thạo các thao tác tư duy, đặc biệt phát
hiện được sự tương đồng và khác biệt trong những tình huống tương đối phức
tạp và lí giải được kết quả của việc quan sát.
- Sử dụng được các phương pháp lập luận, quy nạp và suy diễn để nhìn ra

những cách thức khác nhau trong việc giải quyết vấn đề.
- Nêu và trả lời được câu hỏi khi lập luận, giải quyết vấn đề. Giải thích,
chứng minh, điều chỉnh được giải pháp thực hiện về phương diện toán học.
2.2.2. Phát triển năng lực tư duy và lập luận toán học qua bài toán viết
phương trình đường thẳng
Khi giải bài tốn viết phương trình đường thẳng, năng lực tư duy và lập
luận toán học của học sinh được thể hiện ở việc:
- Trước hết học sinh cần nắm được quy tắc : muốn viết được phương trình
đường thẳng thì cần biết hai yếu tố đó là một điểm thuộc đường thẳng và một
vectơ chỉ phương của đường thẳng đó.
- Biết phân tích, so sánh tìm ra điểm giống nhau, khác nhau giữa các dạng
tốn với quy tắc trên; xác định yếu tố đã biết là gì, yếu tố cần tìm là gì và tìm
như thế nào.
- Căn cứ vào kiến thức hình học khơng gian, phương pháp tọa độ trong
không gian đã học, lập luận để giải quyết vấn đề, đưa bài toán từ lạ về quen.
2.2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm
Sau nhiều năm giảng dạy tại trường THPT Thường Xuân 2, tôi nhận thấy
đa số các em học sinh của nhà trường còn học yếu các mơn tự nhiên, đặc biệt là
mơn Tốn. Trong q trình học, các em thường lúng túng khi phải giải các bài
tốn địi hỏi khả năng tư duy và lập luận tốn học. Chẳng hạn, ở bài tốn viết
phương trình đường thẳng các em viết được phương trình đường thẳng nếu giả
thiết cho cụ thể điểm thuộc đường thẳng và vectơ chỉ phương, nhưng sẽ gặp khó
khăn nếu bài tốn u cầu viết phương trình đường thẳng thỏa mãn một điều
kiện nào đó, bởi các em khơng biết cách phân tích, lập luận để tìm ra hướng giải.
Từ thực trạng như trên, tôi đã áp dụng đề tài “ Phát triển năng lực tư duy
và lập luận toán học cho học sinh trường THPT Thường Xuân 2 qua bài toán
viết phương trình đường thẳng trong khơng gian Oxyz” vào giảng dạy để giúp
các em khắc phục những điểm yếu khi học về mảng kiến thức này.
2

2.3. Các sáng kiến kinh nghiệm hoặc giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn
đề
Giải pháp:
- Hệ thống một số kiến thức liên quan đến phương trình đường thẳng, mặt
phẳng; quan hệ song song và quan hệ vng góc trong không gian.
- Phân loại và hướng dẫn học sinh phân tích tìm cách giải cho bài tốn
viết phương trình đường thẳng trong không gian Oxyz .
- Triển khai dạy trên lớp và kiểm tra đánh giá cuối chuyên đề.
Nội dung giải pháp:
2.3.1. Kiến thức cơ bản
1). Khái niệmuu
vectơ
chỉ phương của đường thẳng
r
Vectơ ud khác vectơ-không
được gọi là vectơ chỉ phương (VTCP) của
uu
r
đường thẳng d nếu giá của ud song song hoặc trùng với đường thẳng d .
2). Khái niệmuu
vectơ
ur chỉ pháp tuyến của mặt phẳng
n
Vectơ  P  khác vectơ-không
được gọi là vectơ pháp tuyến (VTPT) của
uuur
n
mặt phẳng  P  nếu giá của  P vng góc với mặt phẳng  P  .
3). Quan hệ song song và quan hệ vng góc giữa hai đường thẳng, giữa đường

thẳng và mặt phẳng
uu
r
uu
r
u

k
.
u
(k �0).
d

+) Nếu d / / uu
rthìuu
r
uu
r uu
r
� ud .u  0.
+) d   � ud  u u
u
r
uuur
u

k
.
n
 P  ( k �0).

) Nếu d   P  thì d
+
uu
r uuur
uu
r uuur
d / /  P  thì ud  n P � ud .n P   0.
+) Nếu
+) Đường thẳng d là giao tuyến của hai mặt phẳng  P  ,  Q  hoặc đường
uu
r uuur uuur
u
�
n ;n �
.
thẳng d là song song với hai mặt phẳng  P  ,  Q  thì d � P  Q �
+) Đường thẳng d vng góc với hai đường thẳng d1 , d 2 thì
uu
r uur uur
ud  �
ud1 ; ud 2 �
.
�
�
4). Phương trình của đường thẳng trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz
Cho đường thẳng d đi qua điểm M  x0 ; y0 ; z0  và có VTCP
uu
r
ud  (u1;u 2 ;u 3 ) . Khi đó:
�x  x0  u1t

�
d : �y  y0  u2t (t �R)
�z  z  u t
� 0
3
a. Phương trình tham số của đường thẳng
3


d:

x  x0 y  y0 z  z0


u1
u2
u3

b. Phương trình chính tắc của đường thẳng
(với a1 �0; a2 �0; a3 �0 ).

2.32. Phân loại và tìm cách giải bài tốn viết phương trình đường thẳng
trong khơng gian Oxyz
Dạng 1: Viết uphương
trình đường thẳng d đi qua điểm M  x0 ; y0 ; z0  có vectơ
u
r
chỉ phương ud  (u1;u 2 ;u 3 )
Cách giải:
Phương trình tham số của đường thẳng d có dạng:

�x  x0  u1t
�
�y  y0  u2t
�z  z  u t
3
� 0
với t �R
Nếu cả u1, u 2 ,u 3 �0 thì đường thẳng d có phương trình chính tắc là:
x  x0 y  y0 z  z0


u1
u2
u3
Nhận xét: Để viết được phương trình đường thẳng ở dạng tham số (hoặc chính
tắc ) cần biết hai yếu tố đó là biết một điểm thuộc đường thẳng và một vectơ chỉ
phương của đường thẳng đó.
d
Ví dụ 1: Viết phương trình tham số, phương trình
uu
r chính tắc của đường thẳng
đi qua điểm M 0 (3;2; 1) có vectơ chỉ phương ud  (2; 1;3)
Giải:

�x  3  2t
�
�y  2  t , t �R
�
Phương trình tham số của đường thẳng d : �z  1  3t
x  3 y  2 z 1



.
2
1
3
Phương trình chính tắc của đường thẳng d :
Bài tập tương
tự: Cho đường thẳng  đi qua điểm M (2;0; 1) có vectơ chỉ
r
phương a  (4; 6;2) . Phương trình tham số của  là
�x  2  4t
�x  2  2t
�x  2  2t
�x  4  2t
�
�
�
�
�y  6t .
�y  3t
�y  3t.
�y  6  3t
�
�
�
�
A. �z  1  2t
B. �z  1  t
C. �z  1  t

D. �z  2  t
(BT SGK Hình học 12 tr96).

4


Dạng 2: Viết phương trình đường thẳng d đi qua hai điểm A  x A ; y A ; z A  và
B  xB ; y B ; z B 
Ở dạng 2, GV có thể phát triển năng lực tư duy và lập luận toán học cho HS
thông qua việc định hướng học sinh thực hiện các nhiệm vụ sau:
- Vẽ hình minh họa.
- So sánh dạng 2 và dạng 1 để xác định yếu tố nào đã biết (điểm thuộc
đường thẳng điểm A và điểm B ); yếu tố nào chưa biết (vectơ chỉ phương của
đường thẳng).
- Phân tích giả thiết đã cho dựa vào hình vẽ, lập luận để tìm yếu tố chưa
biết, từ đó đưa dạng 2 về dạng 1: Từ định nghĩa VTCP của
uu
r đường
uuu
r thẳng ta nhận
thấy đường thẳng d đi qua hai điểm A, B nên có VTCP ud  AB .
- Nêu cách giải dạng 2.
Cách giải:
uu
r uuu
r
u

AB
- Tìm vectơ chỉ phương: d

A hoặc điểm B và có VTCP
uu
r -uuViết
u
r phương trình đường thẳng đi qua điểm
ud  AB.
Ví dụ 2: Viết phương trình tham số của đường thẳng d đi qua hai điểm
A(1;3; 2), B(4;2; 3).
Giải:
Đường thẳng d đi qua hai điểm A(1;3; 2), B(4;2; 3) thì có vectơ chỉ
uu
r uuu
r
u

AB
 (5; 1; 1). Khi đó phương trình tham số của d là:
phương là d
�x  1  5t
�
, t �R
�y  3  t
�z  2  t
�
Bài tập tương tự: Trong không gian Oxyz , đường thẳng đi qua hai điểm
A(1;2; 1) và B (2; 1;1) có phương trình tham số là:
�x  1  t
�
�y  2  3t .
�

A. �z  1  2t

�x  1  t
�
�y  2  3t
�
B. �z  1  2t

�x  1  t
�x  1  t
�
�
�y  3  2t.
�y  1  2t
�
�
C. �z  2  t
D. �z  t
(Đề minh họa thi tốt nghiệp 2021).
Dạng 3: Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm A  x A ; y A ; z A  và song
song với đường thẳng  cho trước.

5


Ở dạng 3, GV có thể phát triển năng lực tư duy và lập luận tốn học cho HS
thơng qua việc định hướng các em thực hiện các nhiệm vụ sau:
- Vẽ hình minh họa.
nào đã biết (điểm thuộc
- So sánh dạng 3 và dạng 1 để xác định yếu tố

đường thẳng điểm A ); yếu tố nào chưa biết (vectơ chỉ phương của đường
thẳng).
- Dựa vào hình vẽ phân tích giả thiết đã cho, lập luận để tìm yếu tố chưa
d song song với đường thẳng 
biết, từ đó đưa dạng
uu
r 3 về dạng 1: Đường thẳng
uu
r
u của  cũng là VTCP ud của đường thẳng d , tức là ta
nên ta có VTCP
uu
r uu
r
u

u
.
có thể chọn d
- Nêu cách giải dạng 3.
Cách giải:
uur
u
 xác định VTCP  , từ đó suy ra VTCP
- Từ phương trìnhuu
đường
r uu
r thẳng
của đường thẳng d là ud  u .
r

u
- Viết phương trình đường thẳng d đi qua A và có VTCP d .
Ví dụ 3: Viết phương trình tham số của đường thẳng d đi qua điểm A(1;3; 2)
�x  3  2t
�
�y  2  t , t �R
�
và song song với đường thẳng  có phương trình �z  1  3t
Giải:

uu
r uu
r
u

u
   2; 1;3
Do đường thẳng d song song với  nên ta có: d
�x  1  2t
�
, t �R.
�y  3  t
�
Phương trình tham số d : �z  2  3t
Bài tập tương tự: Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A(1;2;0), B(1;1;2) và
C (2;3;1) . Đường thẳng đi qua A và song song với BC có phương trình là

x 1 y  2 z



2
1 .
A. 1

x 1 y  2 z


3
4
3.
B.

x 1 y  2 z


4
3.
C. 3

x 1 y  2 z


2
1 .
D. 1
(Mã đề 103 –TN THPT - 2020).

Dạng 4: Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm A và vng góc với
mặt phẳng  P  cho trước.
6

Ở dạng 4, GV có thể phát triển năng lực tư duy và lập luận tốn học cho HS
thơng qua việc định hướng các em thực hiện các nhiệm vụ sau:
- Vẽ hình minh họa.
nào đã biết (điểm thuộc
- So sánh dạng 4 và dạng 1 để xác định yếu tố
đường thẳng điểm A ); yếu tố nào chưa biết (vectơ chỉ phương của đường
thẳng).
- Từ hình vẽ phân tích giả thiết đã cho, lập luận để tìm yếu tố chưa biết, từ
d vng góc với mặt phẳng  P  nên ta
đó đưa dạng
4
về
dạng
1:
Đường
thẳng
uuur
uu
r
n P
P


u
có VTPT
cũng là VTCP d của đường thẳng d , tức là ta có thể
uu
r uu

r của
chọn ud  u .
- Nêu cách giải dạng 4.
Cách giải:

uuur
n
 P  xác định VTPT  P , từ đó suy ra
- Từ phương trình mặtuu
rphẳng
uuur
u  n P  .
VTCP của đường thẳng d là d
r
u
- Viết phương trình đường thẳng d đi qua A và có VTCP d .
Ví dụ 4: Viết phương trình tham số của đường thẳng d đi qua điểm
A(1;3; 2) và vuông góc với mặt phẳng  P  : 2 x  y  3z  2  0 .
Giải:
uuu
r uuur

Do

(d )  ( P) � u( d )  n( P )  (2; 1;3)

�x  1  2t
�
d : �y  3  t
, t �R

�z  2  3t
�
Phương trình tham số
Bài tập tương tự: Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz , phương trình nào dưới
đây là phương trình đường thẳng đi qua điểm A(2;3;0) và vng góc với mặt
phẳng ( P) : x  3 y  z  5  0?
�x  1  3t
�
�y  3t
�
A. �z  1  t

�x  1  t
�
�y  3t
�
B. �z  1  t

�x  1  t
�
�y  1  3t
�
C. �z  1  t

�x  1  3t
�
�y  3t
�
D. �z  1  t

( Mã đề 101 THPT.QG - 2017).
7


Dạng 5: Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm A và vng góc với
hai đường thẳng khơng song song d1 , d 2 cho trước.

Ở dạng 5, GV có thể phát triển năng lực tư duy và lập luận tốn học cho HS
thơng qua việc định hướng các em thực hiện các nhiệm vụ sau:
- Vẽ hình minh họa.
nào đã biết (điểm thuộc
- So sánh dạng 5 và dạng 1 để xác định yếu tố
đường thẳng điểm A ); yếu tố nào chưa biết (vectơ chỉ phương của đường
thẳng).
- Phân tích giả thiết đã cho, lập luận để tìm yếu tố chưa biết, từ đó đưa
dạng 5 về dạng 1: Đường thẳng duurvuông
thẳng d1 , d 2 nên ta
uur góc với hai đường
uu
r
ud1 , ud2
u
có tích có hướng của hai VTCP
cũng là VTCP d của đường thẳng d
uu
r uur uur
u �
u ;u �
, tức là ta có thể chọn d �d1 d2 �.
- Nêu cách giải dạng 5.

Cách giải:
uu
r uur uur
u
�
u ;u �
- Xác định VTCP của đường thẳng d là d �d1 d2 �
r
u
- Viết phương trình đường thẳng d đi qua A và có VTCP d .
Ví dụ 5: Viết phương trình tham số của đường thẳng d đi qua điểm
A(1;3; 2) và vng góc với hai đường thẳng:
�x  1  2t
�
d1 : �y  3  t
, t �R
x 1 y  3 z  2
d2 :


�z  2  3t
�
5
1
1
và
Giải:
uur
uur
u


(2;

1;3)
u
 (5; 1; 1)
Đường thẳng d1 có VTCP d
; d 2 có VTCP d
1

2

uu
r uuu
r uur
�
�
�
VTCP
u

u
d
d
� 1 , u d2 � (4;17;3)
Do d vuông góc với d1 và d 2

�x  1  4t
�
d : �y  3  17t , t �R.

�z  2  3t
�
Vậy phương trình tham số của đường thẳng

8


Bài tập tương tự: Trong không gian Oxyz , cho điểm M (1;1;3) và hai đường
x 1 y  3 z 1 � x 1 y
z
:


, :
  .
3
2
1
1
3 2 Phương trình nào dưới đây là
thẳng
�
phương trình đường thẳng đi qua M vng góc với  và  ?
�x  1  t
�x  t
�x  1  t
�
�
�
�y  1  t

�y  1  t
�y  1  t
�z  1  3t
�
�
A. �
B. �z  3  t
C. �z  3  t

�x  1  t
�
�y  1  t
�
D. �z  3  t

( Mã đề 101, THPTQ G-2017 ).
Dạng 6: Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm A , vng góc và cắt
đường thẳng d1 cho trước.
Ở dạng 6, GV có thể phát triển năng lực tư duy và lập luận toán học cho
HS thông qua việc định hướng các em thực hiện các nhiệm vụ sau:
- Vẽ hình minh họa.
nào đã biết (điểm thuộc
- So sánh dạng 6 và dạng 1 để xác định yếu tố
đường thẳng điểm A ); yếu tố nào chưa biết (vectơ chỉ phương của đường
thẳng).
- Phân tích giả thiết đã cho, lập luận để tìm yếu tố chưa biết, từ đó đưa
dạng 6 về dạng 2: Giả sử đường thẳng d cắt d1 tại điểm M . Do d  d ' nên
uuuu
r uur
uuuu

r uur
AM  ud ' � AM .ud '  0. Từ đó, tìm được tọa độ điểm M và viết phương trình
đường thẳng d như dạng 2.
- Nêu cách giải dạng 6.
Cách giải:
uuuu
r uur
AM
.ud '  0. Từ đó
d
d
'
M
�
d
'
d

d
'
- Giả sử
cắt
tại điểm
. Do
nên
M.
suy ra tọa độ điểm
- Viết phương trình đường thẳng d đi qua A, M như dạng 2.
Ví dụ 6: Viết phương trình của đường thẳng d đi qua điểm A  1;1;1 , cắt và
�x  1  2t

�
d' : �y  2  t .
�z  1  t
�
vng góc với đường thẳng
Giải:

uur
u
 2; 1;1
Đường thẳng d ' có VTCP: d ' 
Giả sử d cắt d ' tại điểm M  1  2t ;2  t; 1  t  �d ' . Khi đó:
3 1�
uuuu
r uur
1 �M�
uuuu
r
2; ;  �.
�
AM
.
u

0
�
t

.
d'

AM   2t;1  t; 2  t  .
� 2 2�
2
Do d  d ' nên
9


Đường thẳng d đi qua
uu
r uuuu
r � 1 3� 1
ud  AM  �
1; ;   . 2;1; 3 .
� 2 2�
� 2

A  1;1;1

và

� 3 1�
M �2; ;  �
� 2 2 � có VTCP
x 1 y 1 z 1


.
2
1
3

Phương trình d là:
Bài tập tương tự: Trong khơng gian Oxyz , cho điểm A(2;1;3) và đường thẳng
x  1 y 1 z  2
d:


.
1
2
2 Đường thẳng đi qua A , vng góc với d và cắt trục Oy
có phương trình là
�x  2t
�x  2  2t
�x  2  2t
�x  2t
�
�
�
�
�y  3  4t
�y  1  t
�y  1  3t
�y  3  3t
�z  3t
�z  3  3t
�z  3  2t
�
A. �
B. �

C. �
D. �z  2t
(Mã đề 102 THPT.QG - 2018).
ạng 7: Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm A và song song với
D
hai mặt phẳng  P  ,  Q  cho trước.

Ở dạng 7, GV có thể phát triển năng lực tư duy và lập luận tốn học cho
HS thơng qua việc định hướng các em thực hiện các nhiệm vụ sau:
- Vẽ hình minh họa.
nào đã biết (điểm thuộc
- So sánh dạng 7 và dạng 1 để xác định yếu tố
đường thẳng điểm A ); yếu tố nào chưa biết (vectơ chỉ phương của đường
thẳng).
- Phân tích giả thiết đã cho, lập luận để tìm yếu tố chưa biết, từ đó đưa
 P  ,  Q  nên ta
dạng 7 về dạng 1: Đường thẳng duusong
song
với
hai
mặt
phẳng
ur uuur
uu
r
n P , n Q
u
có tích có hướng của hai VTPT
cũng là VTCP d của đường thẳng
uu

r uuur uuur
�
n P ; n Q �
�.
d , tức là ta có thể chọn ud  �
- Nêu cách giải dạng 7.
Cách giải:
uu
r uuur uuur
ud  �
n P ; n Q �
�
�
- Xác định VTCP của đường thẳng d là
r
u
- Viết phương trình đường thẳng d đi qua A và có VTCP d .
10


Ví dụ 7: Viết ptts của đường thẳng d đi qua điểm A(1;3; 2) và song song với
hai mặt phẳng:  P  : x  y  z  3  0 ;  Q  :  2 x  y  z  0
Giải:
Mặt phẳng  P  có VTPT

uuu
r
n P  (1;1;1)

Do d song song với hai mp

;  Q  có VTPT

uuu
r
n Q  (2;1; 1)

uu
r uuu
r uuur
�
�
�
VTCP
u

n
 P ,  Q
d
�(P) , n(Q) � (2; 1;3)

�x  1  2t
�
d : �y  3  t , t �R
�z  2  3t
�
Vậy phương trình tham số của
Bài tập tương tự: Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm A(1; 2;3) và
hai mặt phẳng ( P) : x  y  z  1  0,(Q) : x  y  z  2  0 . Phương trình nào
dưới đây là phương trình đường thẳng đi qua A , song song với ( P) và (Q) ?

�x  1  t
�x  1
�x  1  2t
�x  1  t
�
�
�
�
�y  2
�y  2
�y  2
�y  2
�
�
�
�
A. �z  3  t
B. �z  3  2t
C. �z  3  2t
D. �z  3  t
( Mã đề 102 THPT.QG - 2017).
d
Dạng 8: Viết phương trình đường thẳng là giao tuyến của hai mặt phẳng
 P ,  Q .

Ở dạng 8, GV có thể phát triển năng lực tư duy và lập luận toán học cho
HS thông qua việc định hướng các em thực hiện các nhiệm vụ sau:
- Vẽ hình minh họa.
nào đã biết; yếu tố nào chưa
- So sánh dạng 8 và dạng 1 để xác định yếu tố

biết ( điểm thuộc đường thẳng và VTCP của đường thẳng).
- Phân tích giả thiết đã cho, lập luận để tìm yếu tố chưa biết, từ đó đưa
Do đường thẳng d là giao tuyến của hai mặt phẳng  P  ,  Q 
dạng 8 về dạng 1:
uu
r
P
,
Q




u
d thì thuộc cả hai mặt phẳng
và VTCP d của
nên mọi điểm thuộc
uuur uuur
n , n
đường thẳng d vng góc với hai VTPT  P  Q của hai mặt phẳng hay ta có
uu
r
uuur uuur
�
ud  �
n
.
� P ; n Q �
thể chọn
- Nêu cách giải dạng 8.

Cách giải:
11


- Xác định VTCP của đường thẳng d là

uu
r uuur uuur
ud  �
n P ; n Q �
.
�
�

- Chọn một điểm A thuộc cả hai mặt phẳng  P  ,  Q  .

r
ud

- Viết phương trình đường thẳng d đi qua A và có VTCP
.
d
Ví dụ 8: Viết phương trình của đường thẳng là giao tuyến của hai mặt phẳng
(P) : x  2 y  z  3  0; (Q) : 2 x  y  z  3  0
Giải:
uuur
uuur
n

1;2;


1
,
n


 Q    2; 1;1 .
Mặt phẳng  P  ,  Q  lần lượt có VTPT là:  P
uu
r uuur uuur
u
�
n ; n �  1; 3; 5
Khi đó, VTCP của đường thẳng d là d � P  Q  �
Mặt khác, ta có điểm A  0;0;3 là điểmr thuộc cả hai mặt phẳng  P  ,  Q  nên
A thuộc d .Vậy, d đi qua A và có VTCP u d   1; 3; 5 có ptts là:
�x  t
�
�y  3t , t �R.
�z  3  5t
�
Bài tập tương tự: Viết phương trình của đường thẳng d là giao tuyến của hai
mặt phẳng (P) : 3x  2 y  1  0; (Q) : 2 x  y  z  1  0 .
Dạng 9: Viết phương trình hình chiếu vng góc của đường thẳng d lên mặt
phẳng  P  ( trong đó d khơng vng góc với  P  ).

Ở dạng 9, GV có thể phát triển năng lực tư duy và lập luận tốn học cho
HS thơng qua việc định hướng các em thực hiện các nhiệm vụ sau:
- Vẽ hình minh họa.
- So sánh dạng 9 và dạng 1 để xác định yếu tố nào đã biết; yếu tố nào chưa

của đường thẳng).
biết ( điểm thuộc đường thẳng và VTCP
- Từ hình vẽ phân tích giả thiết đã cho, lập luận để tìm yếu tố chưa biết, từ
đó đưa dạng 9 về dạng 8: Do đường thẳng d ' là hình chiếu vng góc của d lên
mặt phẳng  P  nên d ' là giao tuyến của hai mặt phẳng  P  ,  Q  với  Q  là mặt
phẳng chứa d và vng góc với  P  .
- Nêu cách giải dạng 9.
Cách giải:

- Lập phương trình mặt phẳng  Q  chứa d và vng góc với  P  .
12


- Do d '   P  � Q  nên ta tìm VTCP và viết phương trình đường thẳng d '
theo dạng 8.
Ví dụ 9: Viết phương trình hình chiếu vng góc d ' của đường thẳng d có
�x  3  2t
�
�y   t
�
phương trình �z  1  t lên mặt phẳng (P) : x  2 y  z  1  0
Giải:
uu
r
M
3;0;

1



u
Đường thẳng d đi qua
và có VTCP d  (2; 1;1)
uuu
r điểm
n  (1; 2;1)
Mp  P  có VTPT  P

Mp  Q  chứa d và vng góc với  P  nên  Q  đi qua điểm M  3;0; 1 và
uuur uu
r uuur
�
n Q  �
u
�d ; n P �  1; 1; 3 � ptmp  Q  : x  y  3z  6  0
cóVTPT
Do đường thẳng d ' là hình chiếu vng góc của d lên mặt phẳng  P  nên
d ' là giao tuyến của hai mặt phẳng  P  ,  Q  .
uur uuur uuur
ud '  �
n P ; n Q �
�
�  7;4;1
Khi đó, VTCP của đường thẳng d ' là
Mặt khác, ta có điểm A  11; 5;0 là điểm thuộc cả hai mặt phẳng  P  ,  Q 
nên A thuộc d ' . Vậy đường thẳng d ' có phương trình tham số là:
�x  11  7t
�
�y  5  4t , t �R.
�z  t

�
Bài tập tương tự: Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng ( P) : x  y  z  3  0

x y 1 z  2


1
2
1 . Hình chiếu vng góc của d trên ( P ) là
và đường thẳng
x 1 y 1 z 1
x 1 y 1 z 1




4
5 .
2
1
A. 1
B. 3
x 1 y 1 z 1
x 1 y  4 z  5




1
4


5
1
1
1
C.
D.
(Đề minh họa THPTQG- 2019).
d
Dạng 10: Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm A và cắt hai đường
thẳng d1 , d 2 .
d:

13


Ở dạng 10, GV có thể phát triển năng lực tư duy và lập luận tốn học
cho HS thơng qua việc định hướng các em thực hiện các nhiệm vụ sau:
- Vẽ hình minh họa.
- So sánh dạng 10 và dạng 1 để xác định yếu tố nào đã biết ( điểm thuộc
đường thẳng); yếu tố nào chưa biết ( VTCP của đường thẳng).
- Phân tích giả thiết đã cho qua hình vẽ, lập luận để tìm yếu tố chưa biết,
từ đó đưa dạng 10 về dạng 8 hoặc dạng 2 theo hướng:
+) Hướng 1:
d ,d
Do đường thẳng d đi qua điểm A và cắt hai đường thẳng 1 2 nên d
là giao tuyến của hai mặt phẳng  P  ,  Q  với  P  là mặt phẳng chứa A, d1 , còn
 Q là mặt phẳng chứa A, d 2 .
+) Hướng 2:
Giả

thẳng d cắt hai đường thẳng d1 , d 2 lần lượt là M 1 , M 2 .
uuuursửuuđường
uuu
r
Khi đó: AM 1 , AM 2 cùng phương.
- Nêu cách giải dạng 10.
Cách giải:

+) Cách 1:
A, d 2

Lập phương trình mặt phẳng  P  chứa A, d1 , còn  Q  là mặt phẳng chứa
Do d   P  � Q  nên ta tìm VTCP và viết phương trình đường thẳng d

.
theo dạng 8.
+) Cách 2:

d cắt hai đường thẳng d1 , d 2 lần lượt là M 1 , M 2 .
Giả sử đườnguuu
thẳng
ur uuuuu
r
t
,
t
'
AM
,
AM

1
2 cùng phương, suy ra tọa độ điểm M 1 , M 2 . Viết
Tìm tham số
để
phương trình đường thẳng d đi qua hai điểm A, M 1 như dạng 2.
Ví dụ 10: Viết phương trình chính tắc của đường thẳng d đi qua điểm A  1;1;1
�x  1  2t
x 1 y  2 z 1
�
d1 : �y  2  t ; d 2 :


1
2
1
�z  1  t
�
và cắt hai đường thẳng
Giải:
uur
u
 (2; 1;1)
Đường thẳng d1 đi qua điểm A1  1;2; 1 và có VTCP udur
u  (1;2;1)
Đường thẳng d 2 đi qua điểm A2  1;2;1 và có VTCP d
uuur uuur uur
n �
AA ; u �  1; 4; 2 � ptmp  P 
Mp  P  chứa A, d1 có VTPT:  P � 1 d1 �
:

x  4 y  2 z  7  0.
1

2

14


uuur uuuu
r uur
�
n

AA
; u �  1;2; 5 � ptmp  Q 
Mp  Q  chứa A, d 2 có VTPT:  Q � 2 d2 �
là:
uu
r uuu
r uuur
n P  ; n Q �
x  2 y  5 z  2  0. Do d   P  � Q  nên VTCP ud  �
�
�  24;7; 2
uu
r
A
1;1;1
u
 và có VTCP d   24;7; 2 nên có phương

Vậy, d đi qua điểm 
x 1 y 1 z 1


.
24
7
2
trình chính tắc là:
Dạng 11: Viết phương trình đường thẳng d song song với đường thẳng  và
cắt hai đường thẳng d1 , d 2 .

Ở dạng 11, GV có thể phát triển năng lực tư duy và lập luận tốn học cho
HS thơng qua việc định hướng các em thực hiện các nhiệm vụ sau:
- Vẽ hình minh họa.
- So sánh dạng 11 và dạng 1 để xác định yếu tố nào đã biết ( chưa có); yếu
tố nào chưa biết ( điểm thuộc đường thẳng và VTCP của đường thẳng).
- Phân tích giả thiết đã cho qua hình vẽ, lập luận để tìm yếu tố chưa biết,
từ đó đưa dạng 11 về dạng 8 hoặc dạng 2 theo hướng:
+) Hướng 1:
Do đường thẳng d song song với  và cắt d1 nên có một mặt phẳng
 P  chứa d , d1 song song với . Tương tự, đường thẳng d song song với 
và cắt d 2 nên có một mặt phẳng  Q  chứa d , d 2 song song với .
Vậy: d   P  � Q  .

+) Hướng 2:
uu
r uu
r
u


u
.
Do d song song với  nên d
d1 , d 2 lần lượt
d
Giả sử giaouđiểm
của
u
r uuuu
uur đưởng thẳng với hai đường thẳng
là M 1 , M 2 . Khi đó, ud , M 1M 2 cùng phương.
- Nêu cách giải dạng 11.
Cách giải:
+) Cách 1:
Lập phương trình mặt phẳng  P  song song với  và chứa d1 , còn  Q 
song song với  và chứa d 2 . Khi đó: d   P  � Q  nên ta tìm VTCP, điểm
thuộc đường thẳng và viết phương trình đường thẳng d theo dạng 8.

15


+) Cách 2:

uu
r uu
r
u

u

. Lấy M 1 , M 2 bất kì thuộc
d
d

Xác định VTCP của đường thẳnguu
là:
r uuuuuur
d1 , d 2 .Tìm tham số t , t ' để hai vectơ ud , M 1M 2 cùng phương, từ đó suy ra tọa
d đi qua điểm M 1 ( hoặc điểm
độ điểm M 1 , M 2 . Viết
uu
r phương trình đường thẳng
M 1 ) và có VTCP ud .
�x  1  2t
�
 : �y  2  t
�z  1  t
�
Ví dụ 11: Viết phương trình của đường thẳng d song song với
và

d1 :

x 1 y  2 z 1


1
2
1 ;

d2 :

x y 1 z  3


.
1
1
2

cắt hai đường thẳng
Giải:
Mặt phẳng  P  song song với  và chứa d1 thì đi qua điểm A1  1;2;1 và có
uuur uu
r uur
�
n P  �
u
� ; ud1 �  3; 1;5 � ptmp  P  :  3x  y  5z  6  0.
VTPT
Mặt phẳng  Q  song song với  và chứa d 2 thì đi qua điểm A2  0; 1;3 và
uuur uu
r uur
�
n Q  �
u
� ; ud2 �  3; 5;1 � ptmp  Q  :  3x  5y  z  8  0.
có VTPT
�4 4 �
A�

 ;  ;0�
d

P
�
Q
�




9 3 �và có VTCP
Đường thẳng
nên đi qua điểm
uu
r
uuur uuur
ud  �
n P ; n Q �
�
�  24; 12;12  2  2; 1;1 . Vậy, phương trình đường thẳng
4
4
x
y
9
3  z.
d:
2
1

1
Dạng 12: Viết phương trình đường thẳng d vng góc với mặt phẳng  P  và
cắt hai đường thẳng d1 , d 2 .

Ở dạng 12, GV có thể phát triển năng lực tư duy và lập luận tốn học cho
HS thơng qua việc định hướng các em thực hiện các nhiệm vụ sau:
- Vẽ hình minh họa.
- So sánh dạng 12 và dạng 1 để xác định yếu tố nào đã biết ( chưa có); yếu
tố nào chưa biết ( điểm thuộc đường thẳng và VTCP của đường thẳng).
16


- Phân tích giả thiết đã cho qua hình vẽ, lập luận để tìm yếu tố chưa biết,
từ đó đưa dạng 12 về dạng 8 hoặc dạng 2 theo hướng:
+) Hướng 1:
Do đường thẳng d vng góc với  P  và cắt d1 nên có một mặt phẳng
 Q  chứa d , d1 vng góc với  P  . Tương tự, đường thẳng d vng góc với

 P

và cắt d 2 nên có một mặt phẳng  R  chứa d , d 2 vng góc với  P  .
Vậy: d   Q  � R  .
+) Hướng 2:



uu
r uuu
r
ud  n   .

Do d vng góc với
nên VTCP
Giả sử giao điểm của
d với hai đường thẳng d1 , d 2 lần lượt là M 1 , M 2 . Khi đó:
đường
uu
r uuuuuthẳng
ur
ud , M 1M 2 cùng phương.
- Nêu cách giải dạng 12.
Cách giải:
+) Cách 1:
Lập phương trình mặt phẳng  Q  vng góc với  P  và chứa d1 , cịn  R 
là mặt phẳng vng góc với  P  và chứa d 2 .
Khi đó: d   Q  � R  nên ta tìm VTCP, điểm thuộc đường thẳng và viết
phương trình đường thẳng d theo dạng 8.
+) Cách 2:
uu
r uuu
r
u

n
 .
Xác định VTCP của đường thẳng d là: d
Lấy hai điểm M 1 , M 2 bất kì thuộc d1 , d 2 . Tìm tham số t , t ' để hai vectơ
uu
r uuuuuur
ud , M 1M 2 cùng phương, từ đó suy ra tọa độ điểm M 1 , M 2 . Viết phương trình

uu
r
M
M
u
đường thẳng d đi qua điểm 1 ( hoặc điểm 1 ) và có VTCP d .
Ví dụ 12: Viết phương trình đường thẳng d vng góc với mặt phẳng
�x  1  2t
�x  2  t '
�
�
d 2 : �y  1  t ' .
d1 : �y  2  t
�z  1  t '
�z  1  t
   : x  y  z  2  0 và cắt hai đường thẳng
�
�
;
Giải:
uuu
r
n
  1;1;1
Mặt phẳng    : x  y  z  2  0 có VTPT   
.
d vng góc với mặt phẳng    : x  y  z  2  0 nên
Đường
thẳng
uu

r uuu
r
ud  n     1;1;1 .
có VTCP

17


1 , M 2 . Giả
Giả sử đường thẳng d cắt hai đường thẳng d1 , d 2 lần lượt là M
uu
r
1  1  2t ;2  t ; 1  t  �d1; M 2  2  t ';1  t '; 1  t ' �d 2 . Suy ra, ud và
sửuuu
: uM
uur
M 1M 2   t ' 2t  1; t ' t  1; t ' t 
cùng phương. Khi đó:
11 1 7 �
� 3 1� �
t ' 2t  1 t ' t  1 t ' t
1
3
2; ;  �, M 2 � ; ;  �


� t  ; t '   � M1 �
� 2 2 � �4 4 4 �
1
1

1
2
4
3
1
y

z

x2
2
2.

1
1
1
Vậy, ptđt d là:
Bài tập tương tự:
Trong không gian Oxyz cho mặt phẳng ( P) : 2 x  2 y  z  3  0 và hai

x 1 y z 1
x  2 y z 1
 
, d2 :
 
.
2
1
2
1

2
1 Đường thẳng vng góc
đường thẳng
với ( P), đồng thời cắt cả d1 và d 2 có phương trình là:
d1 :

x3 y2 z2


2
2
1 .
A.
x 1 y z 1


2
1 .
C. 2

x  2 y  2 z 1


3
2
2 .
B.
x  2 y 1 z  2



2
1 .
D. 2
( Đề tham khảo- THPTQG-2018).
Dạng 13: Viết phương trình đường thẳng d là đường vng góc chung của
hai đường thẳng chéo nhau d1 , d 2 .

Ở dạng 13, GV có thể phát triển năng lực tư duy và lập luận tốn học cho
HS thơng qua việc định hướng các em thực hiện các nhiệm vụ sau:
- Vẽ hình minh họa.
- So sánh dạng 13 và dạng 1 để xác định yếu tố nào đã biết ( chưa có); yếu
tố nào chưa biết ( điểm thuộc đường thẳng và VTCP của đường thẳng).
- Phân tích giả thiết đã cho qua hình vẽ, lập luận để tìm yếu tố chưa biết,
từ đó đưa dạng 13 về dạng 8 hoặc dạng 2 theo hướng:
+) Hướng 1:
Đường thẳng d là đường vng góc chung của hai đường thẳng chéo
nhau d1 , d 2 nên d vừa vng góc, vừa cắt d1 , d 2 . Do đó d là giao tuyến của
hai mặt phẳng  P  và  Q  , trong đó  P  chứa d1 và d , còn  Q  chứa d 2 và d .
18


+) Hướng 2:
Giả sử đường thẳng d cắt hai đường thẳng d1 , d 2 lần lượt là M 1 , M 2 .
Do d là đường vng góc chung của hai đường thẳng chéo nhau d1 , d2 nên
uur uuuuuur uuuur uuuuuur
ud1  M 1M 2 ; ud 2  M 1M 2
.
Cách giải:
+) Cách 1:
uu

r uur uur
ud  �
ud1 ; ud2 �
.
�
�
Xác định VTCP của đường thẳng d :
Lập phương trình mặt phẳng  P  chứa d1 và d , còn  Q  chứa d 2 và d .
Khi đó: d   P  � Q  nên ta tìm VTCP, điểm thuộc đường thẳng và viết
phương trình đường thẳng d theo dạng 7.
+) Cách 2:
Lấy hai điểm M 1 , M 2 bất kì lần lượt thuộc hai đường thẳng d1 , d 2 .
uur uuuuuur
�
u
�d1 .M 1M 2  0
�
�uur uuuuuur
uur uuuuuur uuuur uuuuuur
ud2 .M 1M 2  0
ud1  M 1M 2 ; ud2  M 1M 2
�
t
,
t
'
�
Xác định tham số
để
Từ đó suy ra tọa độ điểm M 1 , M 2 .

Viết phương trình đường thẳng d đi qua hai điểm M 1 , M 2 như dạng 2.
Ví dụ 13: Viết phương trình đường vng góc chung của hai đường thẳng
�x  1  3t
�
d1 : �y  2  2t
x 1 y 1 z  5
d2 :


.
�z  1  2t
�
2
3
1
và
uur
u
  3;2;2 . d 2
M
1;

2;

1
d


1

Giải:
Ta có: 1 đi qua điểm
, có VTCP d1
đi qua
uur
u  2;3;1 .
điểm M 2  1; 1;5 , có VTCP d2 
Đường thẳng d là đường vng góc chung của hai đường thẳng d1 , d2
uu
r uur uur
ud  �
ud1 ; ud 2 �
�
�  4;1;5 .
nên VTCP:
Mặt phẳng  P  chứa d1 , d và nên  P  đi qua điểm M 1  1; 2; 1 và có
uuur uu
r uur
�
n P  �
u
�d ; ud1 �  8;23; 11 � ptmp  P  : 8 x  23 y  11z  43  0.
VTPT:
Mặt phẳng  Q  chứa d 2 , d và nên  Q  đi qua điểm M 2  1; 1;5 và có
uuur uu
r uur
�
n Q   �
u
�d ; ud2 �  14;14; 14 � ptmp  Q  :  x  y  z  7  0.

VTPT:
13�
� 34
A�
 ;0;  �
3 �và có
Đường thẳng d   P  � Q  nên đi qua điểm � 3
uu
r uuur uuur
ud  �
n P ; n Q �
�
�  12;3;15  3. 4;1;5 .
VTCP
19


34
�
x


 4t
�
3
�
� pt d : �y  t
.
�
13

�z    5t
3
�

�x  1  t '
�
d'
:
�y  3  2t '.
x 1 y  2 z
d:


�z  1
�
1
2
3 và
Bài tập tương tự: Cho đường thẳng
Viết phương trình đường vng góc chung của d , d '.
( Bài 3.42- Sách BTHH12)
Dạng 14: Viết phương trình đường thẳng d nằm trong mặt phẳng  P  và cắt
d ,d .
hai đường thẳng 1 2

Ở dạng 14, GV có thể phát triển năng lực tư duy và lập luận toán học cho
HS thông qua việc định hướng các em thực hiện các nhiệm vụ sau:
- Vẽ hình minh họa.
- So sánh dạng 14 và dạng 1 để xác định yếu tố nào đã biết (chưa có); yếu
tố nào chưa biết ( điểm thuộc đường thẳng và VTCP của đường thẳng).

- Phân tích giả thiết đã cho qua hình vẽ, lập luận để tìm yếu tố chưa biết,
từ đó đưa dạng 14 về dạng 2: Giả sử đường thẳng d cắt hai đường thẳng
d1 , d 2 lần lượt là M 1 , M 2 . Do d nằm trong mặt phẳng  P  nên M 1 , M 2 � P  ,
suy ra M 1 , M 2 là giao điểm của d1 , d2 và mặt phẳng  P  .
Cách giải:

- Xác định giao điểm M 1 , M 2 của d1 , d 2 và mặt phẳng  P  .
- Viết phương trình đường thẳng d đi qua hai điểm M 1 , M 2 như dạng 2.

Ví dụ 14: Viết phương trình đường thẳng d nằm trong  P  : x  y  z  2  0 và
x 1 y  2 z 1
x  2 y 1 z 1
d1 :


; d2 :


.
2
1
1
1
1
1
cắt hai đường thẳng
Giải: Điểm M 1 là giao điểm của d1 và mặt phẳng  P  . Tọa độ điểm M 1 là
nghiệm của hệ phương trình:

20

�
�x  y  z  2  0
�x  5
�
�x  1 y  2
�

� �y  0 � M 1  5;0; 3 .
�
1
�2
�z  3
�
y

2
z

1
�

�
�1
1
Tương tự, điểm M 2  2;1; 1 là giao điểm của d 2 và mặt phẳng  P  .
 P  và cắt d1 , d2 nên d đi qua M 1, M 2 , d có
Do d nằm trong mặt phẳng
uuuuuur

VTCP giao điểm của M 1M 2   3;1;2 .
x5 y z 3
 
.
1
2
Vậy ptct của d : 3
Bài tập tương tự: Viết phương trình đường thẳng  nằm trong    : y  2 z  0
�x  1  t
�x  2  t '
�
�
d1 : �y  t
; d 2 : �y  4  2t '.
�z  4t
�z  4
�
�
và cắt hai đường thẳng
( Bài 3.32- Sách BTHH12)
2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục, với
bản thân, đồng nghiệp và nhà trường
Với mục đích của đề tài là hướng tới đối tượng học sinh có học lực yếu,
trung bình, khá của trường THPT Thường Xuân 2 và trong khn khổ của một
SKKN nên các dạng tốn trình bày trong đề tài là những dạng cơ bản, thường
gặp trong sách giáo khoa, sách bài tập hay các đề thi tốt nghiệp, thi THPT QG.
Các dạng tốn được trình bày theo trình tự từ dễ đến khó; từ cơ bản đến nâng
cao. Ở mỗi dạng tốn đều có sự phân tích, lập luận, nêu cách giải, ví dụ cụ thể
và bài tập tương tự nên phù hợp để học sinh phát triển năng lực tư duy và lập
luận toán học.

Đối với học sinh, hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm mang lại được thể
hiện ở việc:
- Học sinh phát triển được năng lực tư duy tốn học, có nhiều thay đổi
tích cực về kỹ năng giải tốn, biết phân tích, so sánh, lập luận sử dụng kiến thức
đã học để giải quyết vấn đề. Học sinh hứng thú hơn khi giải toán, bởi các kiến
thức, kỹ năng mà các em cịn lúng túng, mơ hồ đã được trình bày một cách
tường minh, dễ hiểu.
- Kết quả bài kiểm tra về nội dung viết phương trình đường thẳng đã có
nhiều tiến bộ sau khi các em được tiếp thu chuyên đề (kết quả thực nghiệm
được nêu ở phần phụ lục).
Đối với bản thân, đề tài đã phần nào giúp tôi thực hiện được mục tiêu đổi
mới phương pháp dạy học, chú trọng đến việc phát triển phẩm chất, năng lực
cho học sinh; góp phần giúp nhà trường nâng cao chất lượng giáo dục đại trà.
3. Kết luận và kiến nghị

21


3.1. Kết luận
Qua thực tế giảng dạy, tôi nhận thấy khi chưa áp dụng đề tài vào giảng
dạy, học sinh có học lực mơn Tốn ở mức trung bình, yếu gặp khá nhiều khó
khăn trong việc tìm lời giải cho bài tốn viết phương trình đường thẳng trong
khơng gian, kể cả những bài tập ở dạng cơ bản nhất. Sau khi triển khai đề tài học
sinh đã có thể làm tốt các bài tập ở mức độ thông hiểu và vận dụng trong sách
giáo khoa và trong các đề thi tốt nghiệp. Đặc biệt, năng lực tư duy và lập luận
toán học của các em được cải thiện rõ rệt, giúp các em tiếp thu hiệu quả kiến
thức của môn Tốn cũng như các mơn học khác.
3.2. Kiến nghị
Với những nội dung được trình bày trong đề tài, tơi hy vọng đề tài sẽ là
một tài liệu tham khảo bổ ích cho các em học sinh và thầy cô giáo.

Trên đây là một vài kinh nghiệm nhỏ của bản thân trong quá trình thực
hiện việc đổi mới phương pháp dạy học và chắc rằng đề tài không tránh khỏi
những hạn chế, thiếu sót. Vì vậy, tơi rất mong nhận được sự góp ý của các bạn
đồng nghiệp và của các em học sinh.
Tơi xin chân thành cảm ơn.
XÁC NHẬN
Thanh Hóa, ngày 15 tháng 5 năm 2021
CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ
Tôi xin cam đoan đây là SKKN của
mình viết, khơng sao chép nội dung của
người khác.

Nguyễn Thị Thanh Huyền
TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1]. Sách giáo khoa Hình học 12 cơ bản, NXB Giáo Dục, Trần Văn Hạo ( Tổng
chủ biên) - Nguyễn Mộng Hy ( Chủ biên) .
[2]. Sách bài tập Hình học 12 cơ bản, NXB Giáo Dục, Nguyễn Mộng Hy ( Tổng
chủ biên) – Khu Quốc Anh – Trần Đức Huyên.
[3]. Sách giáo khoa Hình học 12 nâng cao, NXB Giáo Dục, Đoàn Quỳnh ( Tổng
chủ biên) – Văn Như Cương ( Chủ biên) .
[4]. Sách bài tập Hình học 12 nâng cao, NXB Giáo Dục, Đoàn Quỳnh ( Tổng
chủ biên) .
[5]. Đề thi, đề minh họa thi THPT QG và thi tốt nghiệp mơn Tốn từ năm 2017
đến năm 2021.

22


23