SKKN rèn luyện khả năng tư duy nhanh cho học sinh qua bài toán đường tiệm cận của đồ thị hàm số

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ

TRƯỜNG THPT THPT VĨNH LỘC

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

RÈN LUYỆN KHẢ NĂNG TƯ DUY NHANH
CHO HỌC SINH QUA BÀI TOÁN ĐƯỜNG TIỆM CẬN
CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ

Người thực hiện: Trần Thị Lan Anh
Chức vụ: Giáo viên
SKKN thuộc lĩnh vực (mơn): Tốn


MỤC LỤC


MỤC LỤC

1. MỞ ĐẦU

1

1.1 Lí do chọn đề tài

1

1.2 Mục đích nghiên cứu

1

1.3 Đối tượng nghiên cứu

2

1.4 Phương pháp nghiên cứu

2

2. NỘI DUNG SÁNG KIẾN

2

2.1 Cơ sở lí luận của sáng kiến

2

2.2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm

3

2.3 Cách giải quyết vấn đề

4

2.3.1 Một số dạng tốn thường gặp

4

2.3.1.1 Bài tập khơng chứa tham số

4

2.3.1.2 Bài tập chứa tham số

10

2.3.2 Bài tập dưới hình thức tự luận

11

2.3.3 Hướng dẫn giải nhanh các bài tập trắc nghiệm có liên quan
đến tiệm cận

13


2.3.4 Hệ thống các bài tập tự luyện

17

2.4. Kết quả thử nghiệm

19

2.4.1 Kết quả chung

19

2.4.2 Kết quả kiểm tra

19

3. KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ

19


1. MỞ ĐẦU
1.1 Lí do chọn đề tài.
Tốn học là một trong những lĩnh vực đóng vai trị quan trọng trong cuộc
sống của chúng ta. Nó khơng chỉ làm cho cuộc sống có trật tự và ngăn nắp mà
nó cịn có nhiệm vụ ni dưỡng một số phẩm chất nhất định của con người đó là
khả năng suy luận, sáng tạo, tư duy linh hoạt và khả năng giải quyết vấn đề thậm
chí cả kĩ năng giao tiếp hiệu quả. Vì thế, việc nâng cao chất lượng dạy học nói
chung, chất lượng dạy học mơn Tốn nói riêng đang là yêu cầu cấp bách đối với
ngành giáo dục nước ta hiện nay.
Trong chương trình mơn Tốn ở trường phổ thơng Đường tiệm cận được
đưa vào chương 1 sách Giải tích lớp 12. Đây thật sự là phần rất phù hợp để ra
dưới dạng các câu hỏi trắc nghiệm trong kì thi THPT quốc gia cũng như thi học
sinh giỏi hiện nay. Hơn nữa bài tập về đường tiệm cận có thể sử dụng ở cả 4
mức độ đánh giá: Nhận biết, thơng hiểu, vận dụng, vận dụng cao, từ đó nội dung
này mang tính phân loại học sinh rất tốt. Để giải tốn khơng địi hỏi nhiều kiến
thức, nhưng u cầu sự quan sát tinh tế, tư duy sáng tạo. Dạy Tốn là dạy kiến
thức, tư duy, tính cách [Nguyễn Cảnh Tồn]. Do đó khi dạy đường tiệm cận,
ngồi việc đưa ra kiến thức và phương pháp giải học sinh giáo viên cịn phải tìm
được cách giải nhanh, tổng qt hóa bài tốn để giúp học sinh phát triển khả
năng tư duy nhanh để vận dụng một cách linh hoạt nhất trong việc học toán,
cũng như trong cuộc sống
Mặt khác rèn luyện khả năng tư duy nhanh cho học sinh qua bài toán về

đường tiệm cận của đồ hàm số góp phần vào việc đổi mới phương pháp dạy học
theo quan điểm "lấy học sinh làm trung tâm". Theo đó thầy chỉ đóng vai trị là
người hướng dẫn để học sinh tự tìm tịi phát hiện ra kết quả, phát hiện ra mâu
thuẫn và sai lầm trong quá trình giải quyết một bài toán .
Cùng với việc nghiên cứu các đề thi của Bộ giáo dục và đào tạo, kết hợp
với q trình giảng dạy và nghiên cứu, tơi nhận thấy bài toán về đường tiệm cận
của đồ thị hàm số có liên quan tới giới hạn hàm số lớp 11, khiến nhiều học sinh
gặp khó khăn. Chính vì vậy, với mong muốn có thể cung cấp thêm cho các em
một số kiến thức, giúp các em vượt qua khó khăn, hướng dẫn để các em có thể
giải nhanh bài tốn về đường tiệm cận nhằm mục đích phát triển khả năng tư duy
nhanh trong khi giải toán về đường tiện cận nói riêng và trong q trình làm tốn
trắc nghiệm nói chung. Từ đó tơi mạnh dạn chọn đề tài “Rèn luyện khả năng tư
duy nhanh cho học sinh qua bài toán đường tiệm cận của đồ thị hàm số”.
Trong sáng kiến kinh nghiệm của mình, tơi chỉ đề cập đến hai loại tiệm cận đó
là: Tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số. Hi vọng có được sự ủng
hộ và góp ý nhiệt thành của q đồng nghiệp, nhằm biến nó thành một cơng cụ
đích thực cho việc dạy và học đường tiệm cận.
1.2 Mục đích nghiên cứu.
- Đối với giáo viên:
Trên cơ sở lí luận phương pháp dạy học, đề tài đưa ra phương pháp giải
nhanh cho một số bài toán về đường tiệm cận của đồ thị hàm số qua đó rèn
luyện cho học sinh khả năng tư duy nhanh khi giải toán.
5


- Đối với học sinh:
- Thứ nhất: Giúp học sinh tiếp cận và làm quen với cách học, cách làm nhanh bài
tốn trắc nghiệm, tránh được sai lầm từ đó có thể phát huy tối đa hiệu quả làm
bài, nhằm đạt được kết quả cao nhất.
-Thứ hai: Thông qua sáng kiến kinh nghiệm của mình, tơi muốn định hướng để

học sinh có thể giải gianh, giải chính xác đối với những bài tốn có liên quan
đến đường tiệm cận của đồ thị hàm số cũng như và các bài toán có trong
chương trình phổ thơng.
1.3. Đối tượng nghiên cứu.
- Tìm hiểu lí luận dạy học nói chung, dạy học phần Đường tiệm cận nói riêng để
làm rõ nội hàm các khái niệm.
- Kiến thức về đường tiệm cận của đồ thị hàm số.
- Kiến thức về cách tính giới hạn của hàm số.
- Học sinh lớp 12B2 năm học 2019 – 2020; 12C2, 12C8 năm học 2018 – 2019
trường THPT Vĩnh Lộc
1.4 Phương pháp nghiên cứu.
- Về lí thuyết: Đề tài sử dụng nhiều phương pháp khác nhau, trong đó chủ yếu
là:
+ Phương pháp nghiên cứu tổng hợp để tiếp cận và đi sâu vào các vấn đề
về lí luận dạy học nói chung, dạy phần Đường tiệm cận nói riêng nhằm lí giải rõ
khái niệm, từng bài tốn được đề cập đến trong đề tài.
+ Phương pháp phân tích để tìm ra những nét nổi trội khi vận dụng cách
giải nhanh nhằm giúp học sinh phát triển tư duy khi giải toán về đường tiệm cận
- Về thực tiễn:
+ Dự giờ đồng nghiệp dạy cùng khối 12 chương trình ban nâng cao.
+ Thực nghiệm sư phạm: thực nghiệm đề tài vào giảng dạy nội dung phần
Đường tiệm cận do bản thân trực tiếp đứng lớp ở trường Trung học phổ thơng
Vĩnh Lộc.
+ Sử dụng phương pháp thống kê tốn học trên cơ sở so sánh các giá trị
thu được giữa lớp thực nghiệm và lớp đối chứng để đánh giá hiệu quả của những
biện pháp dạy học mà đề tài đưa ra.
+ Trong quá trình giảng dạy giáo viên dự đốn, tổng hợp, phân theo từng
dạng, phân tích chỉ rõ cách làm nhanh từ đó lựa chọn phương án giải phù hợp
nhất. Cuối cùng trình bày lại thơng qua các ví dụ cụ thể.
2. NỘI DUNG SÁNG KIẾN

2.1. Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm.
a) Định nghĩa:

+)
là đường tiệm cận đứng (hay tiệm cận đứng) của đồ thị hàm số
nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thỏa mãn:

y = f ( x)

lim y = + ∞ lim+ y = − ∞ lim− y = + ∞ lim− y = − ∞

x→ a +

, x→ a

, x→ a

, x→ a

6


+) Hàm số

y = f ( x) xác định trên 1 khoảng có dạng ( − ∞ ;b ) , ( a; + ∞ ) , ( − ∞ ; + ∞ )

y = b là đường tiệm cận ngang (hay tiệm cận ngang) của đồ thị hàm số y = f ( x)
nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thỏa mãn:

lim y = b lim y = b

x→+∞

, x→−∞

b) Cách tính giới hạn dạng:

0
0

lim f ( x ) = 0 xlim
g ( x) = 0
x→ x
→x
0

lim
x→ x

0

0

f ( x)
g ( x)

0
0

Nếu ( x→ ±∞ )

; ( x→ ± ∞ )
thì ( x→ ±∞ )
được gọi là có dạng vơ định
Để tính được các dạng giới hạn này ta phải khử dạng vơ định, có một số loại
thường gặp và cách khử dạng vô định của chúng như sau:

P ( x)

Nếu biểu thức dưới dấu giới hạn có dạng:
da thức của x.

Q( x)

trong đó

( x − x0 ) .P1 ( x )
=
n
Q ( x ) ( x − x0 ) .Q1 ( x )
Để khử dạng vô định ta biến đổi:
P( x)

P ( x) Q ( x)
,

là hai

m

rồi giản ước các thừa

( x − x0 ) , k = max ( m, n ) .
số có dạng
k

Nếu biểu thức dưới dấu giới hạn có chứa dấu căn: ta nhân và chia biểu thức
liên hợp của biểu thức chứa căn tiến về 0, rồi làm tương tự như dạng trên ta sẽ
khử được dạng vô định.

7


∞
c) Cách tính dạng: ∞
lim f ( x ) = ± ∞ xlim
g ( x) = ± ∞
x→ x
→x
0

Nếu ( x→±∞ )

định

0

; ( x→ ±∞ )

lim
x→ x

0

thì ( x→ ±∞ )

f ( x)

g ( x)

được gọi là có dạng vơ

∞
∞

k
k
x
x
Chia tử và mẫu cho
với là lũy thừa có số mũ lớn nhất của tử và mẫu (hoặc
k
x
rút làm nhân tử), sau đó áp dụng các định lý về giới hạn hữu hạn hoặc các
quy tắc về giới hạn vô cực.
Trong dạng này ta gặp 3 khả năng:

- Bậc

f ( x)

nhỏ hơn bậc

g ( x ) thì kết quả giới hạn bằng 0

- Bậc

f ( x)

lớn hơn bậc

g ( x)

f ( x)

thì kết quả giới hạn bằng

g ( x ) thì kết quả giới hạn bằng tỉ số các hệ số của lũy thừa

- Bậc
b ằng bậc
cao nhất của tử và mẫu.

 n x n = x,khi x > 0
n n
 x = − x,khi x < 0
Chú ý rằng nếu biểu thức chứa căn bậc n là căn bậc chẵn thì: 
2.2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm.
Việc rèn luyện khả năng tư duy nhanh cho học sinh qua bài toán về đường
tiệm cận của đồ thị hàm số là rất cần thiết vì các lí do sau:
Thứ nhất, mơn tốn đã có sự thay đổi hình thức thi từ hình thức tự luận sang trắc

nghiệm, từ đó địi hỏi học sinh phải giải một tốn bằng cách nhanh nhất có thể,
để tiết kiệm thời gian.

8


Thứ hai, trong các đề thi tự luận trước đây bài toán về đường tiệm cận của đồ thị

y=

ax + b
cx + d

hàm số chỉ xuất hiện thoáng qua và chủ yếu khai thác ở hàm số dạng
nhưng hiện nay và xu hướng trong những năm tới bài toán tiệm cận đã đang được
khai thác sâu hơn và ở nhiều loại hàm số phức tạp hơn. Ngồi ra bài tốn về
đường tiệm cận có liên quan tới một phần của giới hạn hàm số lớp 11, khiến
nhiều học sinh lúng túng.
Trong bài viết này, thông qua cách nhận biết để giải nhanh các dạng toán
về đường tiệm cận của đồ thị hàm số để rèn luyện khả năng tư duy nhanh cho
học sinh trong học tập, tôi thấy kết quả đạt được tốt và phù hợp với các đối
tượng là học sinh trường THPT Vĩnh Lộc.
2.3 Cách giải quyết vấn đề: Cách giải nhanh bài toán đường tiệm cận của
đồ thị hàm số.
Giáo viên đưa ra cách giải nhanh cho một số dạng tốn thường gặp dựa
trên cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm thơng qua phân tích chỉ ra cách làm
nhanh và được minh họa bằng các ví dụ cụ thể. Tiếp đó là hệ thống bài tập tự
luận và cuối cùng thông qua bài tập trắc nghiệm để các em thực hành giải đề thi
qua đó giúp học sinh nhận ra và vượt qua những “bẫy’’ của dạng tốn trắc
nghiệm về đường tiệm cận. Từ đó rèn luyện cho học sinh khả năng tư duy nhanh

trong giải toán cũng như các vấn đề gặp phải trong thực tế.
Cụ thể như sau
2.3.1 Một số dạng toán thường gặp
2.3.1.1 Bài tập không chứa tham số
a. Phương pháp:
-Tiệm cận đứng: +)Tìm nghiệm của mẫu số
+) Sử dụng định nghĩa tiệm cận đứng
+) Kết luận
-Tiệm cận ngang: +) Tìm tập xác định
+) Sử dụng định nghĩa tiệm cận ngang
+) Kết luận
+ Sử dụng cách tìm nhanh tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số
được trình bày dưới đây
Trong khn khổ sáng kiến kinh nghiệm, chương trình sách giáo khoa giải
tích 12 cơ bản, các đề thi những năm qua tôi chia thành các dạng sau:
b. Các dạng toán:
Dạng 1: Hàm đa thức

y = f ( x) khơng có tiệm cận

3
y
=
3
x
+ 2 x − 1 khơng có tiệm cận.
Ví dụ:[9] Hàm đa thức
9

y=

P ( x)

Q( x)

Dạng 2:
Tiệm cận đứng:

trong đó

Trong trường hợp nếu

P ( x) Q ( x)
,

là hai đa thức của

Q( x0 ) = 0 và P( x0 ) ≠ 0 thì x = x0 là tiệm cận đứng

( x − x0 ) u ( x)
y=
=
l
Q
x
(
)
Q(
x

)
=
0
P(
x
)
=
0
x
−
x
(
)
0 v (x)
0
0
Trong trường hợp nếu
và
hay
P ( x)

và

k< l

thì

k

x = x0 là tiệm cận đứng.

x 2 − 3x + 2
y=
1+ x

Ví dụ 1:[1] Tìm tiệm cận đứng của đồ thị hàm số sau:

x= −1

Có thể kết luận nhanh
là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số (
nghiệm của mẫu, không là nghiệm của tử)

x = − 1 là

3x 2 + 2 x − 1
y=
x+1

Ví dụ 2:[2] Tìm tiệm cận đứng của đồ thị hàm số sau:

2
1
+
x
=
0
↔
x
=
−

1
x
=
−
1
3
x
+ 2x − 1 = 0
Mẫu số
đồng thời
là nghiệm của tử
trong bài tốn này

x = − 1 khơng phải là tiệm cận đứng.

Giáo viên có thể chỉ rõ:

( x + 1) (3x − 1)
3x 2 + 2 x − 1
y=
⇔ y=
⇔ y = 3x − 1
1+ x
1+ x
y=

Ví dụ 3:[9] Tìm tiệm cận đứng của đồ thị hàm số sau:

3x 2 − 4 x + 1

( x − 1)

2

10


Trong ví dụ này

nhưng

x = − 1 là nghiệm của tử số và cũng là nghiệm của mẫu số

x = − 1 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số. Trong quá trình dạy giáo viên
y=

3x 2 − 4 x + 1

( x − 1)

2

⇔ y=

( x − 1) ( 3x − 1) ⇔ y = 3x − 1
2
x −1
( x − 1)

chỉ rõ:

Tiệm cận ngang: Hàm số có dạng

am x m + am−1 x m−1 + .... + a1 x + a0
y=
( am ≠ 0,bn ≠ 0 )
n
n− 1
bn x + bn−1 x + .... + b1 x + b0
Nếu

hàm số khơng có tiệm cận ngang (vì khi đó hàm số

→ ±∞

khi

x→ ± ∞ )
Nếu

hàm số có 1 tiệm cận ngang

am
bn

Nếu

hàm số có 1 tiệm cận ngang

y = 0.

y=

− 2x2 + x − 1
y=
x2 + x
Ví dụ 1:[8] Tìm tiệm cận ngang của đồ thị hàm số sau:
Do bậc của x trên tử số lớn hơn bậc của x ở mẫu số nên đồ thị hàm số không có tiệm
cận ngang.

y=
Ví dụ 2:[9] Tìm tiệm cận ngang của đồ thị hàm số sau:

Có thể kết luận ngay đồ thị hàm sơ có tiệm cận ngang
bằng bậc của x dưới mẫu số)

3x 2 + 2 x − 5

( x − 1)

2

y = 3 (bậc của x trên tử số
11


y=
Ví dụ 3:[8] Tìm tiệm cận ngang của đồ thị hàm số sau:

− 2x + 1
x2 + x

Do bậc của x trên tử số nhỏ hơn bậc của x ở mẫu số nên đồ thị hàm số có tiệm
cận ngang

y= 0
y=

: Trong chương trình SGK cơ bản có đề cập đến hàm số:

ax + b
cx + d

Chú ý 1
ln có 2 đường tiệm cận một tiệm cận đứng và một đường tiệm cận ngang có

x= −
phương trình

d
a
y=
c, c

a b
≠
c
d ).
(trong đó

U ( x)

y=
V ( x)

U ( x) V( x)

Dạng 3: Đối với hàm số
trong đó
,
là hai biểu thức chứa
căn cùng bậc. Ta có thể thực hiện tìm tiệm cận của đồ thị hàm số như sau:
Đối với tiệm cận đứng:
Khả năng 1:

x

- Nếu 0 chỉ là nghiệm của

x

- Nếu 0 là nghiệm của
tiệm cận đứng của đồ thị

V ( x)

thì

x = x0 là tiệm cận đứng của đồ thị

V( x) và U ( x) khơng xác định thì x = x0 khơng phải là
y=

Ví dụ 1:[9] Tìm tiệm cận đứng của đồ thị hàm số sau:

Kết luận ngay

x+ 1−1
x−1

x = 1 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số

12


y=
Ví dụ 2:[8]Tìm tiệm cận đứng của đồ thị hàm số sau:

x− 2+1
x ( x − 2)

Dựa vào lí thuyết trên ta có kết luận: x = 2 là tiệm cận đứng, x = 0 không phải là
tiệm cận đứng của đồ thị hàm số (Trong quá trình giảng dạy giáo viên có thể giải
thích tường tận: x = 2 chỉ là nghiệm của mẫu số, và thuộc tập xác định của tử số;
x = 0 là nghiệm của mẫu số nhưng tại x = 0 tử số không xác định)
Khả năng 2: Nếu x0 vừa là nghiệm của
chúng ta có 2 cách xử lí như sau:

Một là: Tính nhanh giới hạn
là là một số thì
vơ cực (

U ( x)
lim
x→ x 0 V ( x )

V( x)

lim

,

vừa là nghiệm của

U ( x)

x → x0+

V ( x)

lim

hoặc

x → x0−

U ( x) thì

U ( x)
V ( x)

nếu kết quả

x = x0 khơng phải là tiệm cận của đồ thị hàm số; nếu kết quả là

) thì

x = x0 lại là tiệm cận của đồ thị hàm số.

( x − x0 ) h( x)
y=
=
(1)
V ( x ) ( x − x0 ) n k( x)
Hai là: Phân tích
U ( x)

Nếu

m≥ n

Nếu

m

thì

x = x0 không phải là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số

thì

x = x0 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

y=

:[9] Đối với hàm số

x + 1 − 2x + 1
x2 − x

Ví dụ 1

13


x = 0
x2 − x = 0 ⇔ 
x = 1
Mẫu số :
+)

x = 2 là nghiệm của mẫu số nhưng không phải là nghiệm của tử số và tử số
x= 2

xác định tại
nên trong trường hợp này kết luận ngay
đứng của đồ thị hàm số.
)

x = 2 là tiệm cận

x = 0 là nghiệm của tử số cũng là nghiệm của mẫu số nên trong trường hợp

+

này ta tính nhanh giới hạn dạng

lim y = lim
Ta tính

x→ 0

x¬ 0

y=
Hoặc tính

Kết luận

0
0

x + 1 − 2x + 1
−x
1
=
lim
=
−
x ¬ 0 x ( x − 1)( x + 1 + 2 x + 1)
x2 − x
4

−x
x( x − 1)( x − 1 + 2 x − 1)

x = 0 không phải là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số
y=

:[9] Đối với hàm số

x+4 −2
x2

Ví dụ 2

2
x
Mẫu số : = 0 ⇔ x = 0 , x = 0 vừa là nghiệm của tử vừa là nghiệm của mẫu số

y=
nhưng

x
1
=
x 2 ( x + 4 + 2) x( x + 4 + 2)

nên dựa vào (1) hoặc tính giới hạn

14

lim+ y = lim+

hàm số

x→ 0

x→ 0

x
1
=
lim
= +∞
+
2
x
→
0
x ( x + 4 + 2)
x( x + 4 + 2)

(có thể tính giới

−
x
→
0
hạn khi
)

x= 0

Kết luận
là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
Tuy nhiên qua 2 ví dụ trên giáo viên cần nhấn mạnh cho học sinh dùng tính chất
(1) cho nhanh. Ở đây chúng ta chỉ trình bày để qua đó học sinh thấy được cách
làm nhanh và sử dụng khi gặp dạng toán này.
Đối với tiệm cận ngang:
Khả năng1: Nếu hàm số khơng có tập xác định (TXĐ) chứa

dạng

( − ∞ ;b ) , ( b; + ∞ ) , ( − ∞ ; + ∞ )

,..hoặc bậc của tử số

ví dụ TXĐ

U ( x) lớn hơn bậc mẫu số

V( x) thì đồ thị hàm số khơng có tiệm cận ngang
4 − x2 + 2
y=
x+1
Ví dụ 1:[9] Hàm số

có TXĐ: D =

[ − 2;2] \ { − 1}

nên khơng có

tiệm cận ngang

x2 + 2 x − 1
y=
x + 2 có TXĐ: D = R\ { − 2}

Ví dụ 2:[9] Hàm số
hơn mẫu số nên cũng khơng có tiệm cận ngang
Khả năng 2: Nếu bậc của tử số

tập xác định (TXĐ) dạng
cận ngang

nhưng bậc của tử lớn

U ( x) nhỏ hơn bậc mẫu số V( x) và hàm số có

( − ∞ ;b ) , ( b; + ∞ ) , ( − ∞ ; + ∞ ) ,..thì đồ thị hàm số có tiệm

y= 0
15


Ví dụ 3:[9] Hàm số

2x + 1 − x + 1
y=
x2 − x

của x trên tử nhỏ hơn dưới mẫu, ta kết luận

Khả năng 3: Nếu bậc của tử số

có TXĐ

 1 
D =  − ; + ∞ ÷ \ { 0;1}
 2 
, bậc

y = 0 là tiệm cận ngang

U ( x) bằng bậc mẫu số V( x) và hàm số có tập

( − ∞ ;b )

( a;+ ∞ ) thì đồ thị hàm số có 1 tiệm cận

xác định (TXĐ) dạng
hoặc
ngang. Cụ thể ta xem xét các ví dụ sau:

x2 − 1 + x + 1
y=
x+ 2

D = ( − 1; + ∞ )

có TXĐ
, bậc của x trên
Ví dụ 4:[9] Hàm số
tử bằng dưới mẫu (và bằng 1), ta kết luận đồ thị số hàm số có 1 tiệm cận ngang

y=1
y = 1 (vì xlim
→+∞
)
1 − 2x − x
y=
x −1

 1
D =  −∞; ÷
 2  , bậc của x trên tử

Ví dụ 5:[9] Hàm số
có TXĐ
bằng dưới mẫu ( và bằng 1), ta kết luận đồ thị số hàm số có 1 tiệm cận ngang

y= −1
n n
− ∞ ;b )
(
x = − x,khi x < 0
Chú ý 2: Khi TXĐ có dạng
cần phải nhớ

Ví dụ 6: Tìm tiệm cận ngang của đồ thị hàm số

1 − x + x2 + 2
y=
x+1

có TXĐ

16


D = ( − ∞ ;1)

, bậc của x trên tử bằng dưới mẫu (và bằng 1), ta kết luận đồ thị số

y= 1

hàm số có 1 tiệm cận ngang
. Khi giảng dạy giáo viên cần giải thích rõ cho
học sinh và rèn luyện thêm cho các em ở bài tập trắc nghiệm

Vì

1 − x + x2 + 2
y=
=
x+1

1− x − x 1+
x+1

Khả năng 4: Nếu bậc của tử số

xác định (TXĐ) dạng

2
x2

do đó x→−∞

U ( x) bằng bậc mẫu số V( x) và hàm số có tập

( − ∞ ; + ∞ ) hoặc TXĐ chứa ( − ∞ ;b ) và ( a;+ ∞ ) thì đồ thị
lim y = b ≠ lim y = b '

x→−∞

x→+∞

có 2 tiệm cận ngang nếu

cần phải tính nhanh 2 giới hạn dạng

Ví dụ 7:[9] Hàm số

lim y = − 1.

. Như vậy trong trường hợp này

∞
∞

x4 + 3 − x4 + 1
y=
x2 − x

có TXĐ

D = R \ { 0,1}

, bậc của x trên

tử bằng dưới mẫu, ta kết luận đồ thị số hàm số có 1 tiệm cận ngang

y= 0

lim y = lim y = 0

(Vì x→ − ∞

x→ + ∞

). Trong quá trình dạy học sinh thường mắc sai lầm cho
rằng đồ thị hàm số có 2 tiệm cận ngang.

17


Ví dụ 8:[9] Hàm số

4x2 + 3 − x

y=
x−1

có TXĐ

D = R \ { 1}

, bậc của x trên tử

bằng dưới mẫu, ta kết luận đồ thị số hàm số có 2 tiệm cận ngang

lim y = 1 lim y = − 3

(Vì x→+∞

y=

; x→ − ∞

U ( x)

y = 0 và y = 2

)

U ( x) V( x)

V ( x)

Dạng 4: Đối với hàm số

trong đó
,
là hai biểu thức chứa
căn khơng cùng bậc. Ta có thể thực hiện tìm tiệm cận của đồ thị hàm số như sau:
Đối với tiệm cận đứng:
Tương tự như dạng 3
Khả năng 1:

x

- Nếu 0 chỉ là nghiệm của

x

- Nếu 0 là nghiệm của
tiệm cận đứng của đồ thị

V ( x)

thì

x = x0 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số

V( x) và U ( x) khơng xác định thì x = x0 khơng phải là
y=

Ví dụ 1:[9] Đối với hàm số

3

3x + 1 − 2 x − 1
x−1

ta có thể kết luận nhanh

x = 1 là
tiệm cận đứng của đồ thị (vì
của tử)

x = 1 là nghiệm của mẫu và x = 1 không là nghiệm

18


y=

3

Ví dụ 2:[9] Đối với hàm số

x + 1 − 2x − 4
x+ 3

ta có thể kết luận nhanh

x = 3 khơng là tiệm cận đứng của đồ thị (vì x = 3 là nghiệm của mẫu nhưng tử
số không xác định tại

x = 3)

x

Khả năng 2: Nếu 0 vừa là nghiệm của
ta có 2 cách xử lí như sau:

lim

Tính nhanh giới hạn
số thì
(

U ( x)

x→ x 0

V ( x)

lim+

,

x→ x0

V( x) vừa là nghiệm của U ( x) thì chúng

U ( x)
V ( x)

lim−

hoặc

x→ x0

U ( x)
V ( x)

nếu kết quả là một

x = x0 không phải là tiệm cận của đồ thị hàm số; nếu kết quả là vơ cực

) thì

x = x0 lại là tiệm cận của đồ thị hàm số.
y=

Ví dụ 1:[9] Đối với hàm số
Ta thấy

3

3x + 2 − 2 x
x−2

x = 2 vừa là nghiệm của mẫu số vừa là nghiệm của tử số. Dựa vào cách
3

lim
tính nhanh giới hạn
tiệm cận đứng.

x→ 2

3x + 2 − 2 x 1
=−
x− 2
5 , suy ra đồ thị hàm số khơng có

19


y=
Ví dụ 2:[9] Đối với hàm số

3

3x − 2 − x

( x − 1)

2

ta thấy

x = 1 vừa là nghiệm của
3

lim+
x→ 1

3x − 2 − x 2

( x − 1)

2

= +∞

mẫu số vừa là nghiệm của tử. Do đó tính nhanh giới hạn
kết quả đồ thị hàm số có tiệm cận đứng x =1
Đối với tiệm cận ngang: Chúng ta sử dụng phương pháp giống với dạng 3
m

Chú ý 2: Đối với dạng

,

u ( x) − n v( x)

- Trước tiên ta xác định xem cần tính giới hạn của hàm số khi

hay

hoặc cả 2
- Sau đó nhân liên hợp để đưa về dạng 3

Ví dụ:[9]

2
y

=
x
− 1 − x ta làm như sau:
Đối với hàm số:

Tìm TXĐ:

D = ( − ∞ ; − 1] ∪ [ 1; + ∞ )

lim y = lim

Tính

x→ −∞

lim y = lim

x→ + ∞

x→ + ∞

x→ −∞

(

(

)



1 
x 2 + x − x = lim x  − 1 + 2 − 1÷ = + ∞
x→ −∞
x



)

x 2 + x − x = lim

x→ + ∞

Vậy hàm số có 1 tiệm cận ngang

x

1
x2 + x + x 2

y=

=

1
2

20

x
x
y = ln x , y = loga x
y
=
e
y
=
a
Dạng 5: Các hàm số
,
,

Đối với các hàm số này học sinh cần lưu ý:

Ox

+) Đồ thị của hàm số mũ có tiệm cận ngang là trục
đứng .

+) Đồ thị của hàm số logarit có tiệm cận đứng là trục
ngang .

Oy

và khơng có tiệm cận

và khơng có tiệm cận

2.3.1.2 Bài tập chứa tham số

a. Phương pháp:
- Sử dụng định nghĩa tiệm cận đứng, tiệm cận ngang
- Sử dụng cách nhận biết và tính nhanh tiệm cận đứng và tiệm cận ngang
như đã trình bày ở mục 2.3.1.1
Sau đây tơi xin trình bày một số ví dụ thường gặp
b. Dạng Tốn

Ví dụ 1:[6] Cho hàm số
hình vẽ

y = f ( x)

liên tục trên

¡

g ( x) =
Tìm tất cả các số thực m để đồ thị hàm số
đứng?

và có bảng biến thiên như

1
f ( x) − m

có đường tiệm cận

Đối với bài này: Để đồ thị hàm số có tiệm cận đứng thì mẫu số

f ( x) − m = 0

có
21


nghiệm từ đó dựa vào BBT suy ra

f ( x) = m

có nghiệm khi

m≤ 4

Chú ý bài tốn này cịn có thể hỏi cụ thể: Tìm tất cả các số thực m để đồ thị hàm
số có 1, 2, 3, 4 tiệm cận đứng.
Ví dụ 2:[3] Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m thì đồ thị hàm số

y=

x− 2
x 2 − 3x − m 2

chỉ có 1 tiệm cận đứng.

Đối với bài này: Có thể xảy ra các trường hợp sau
TH1: Mẫu số có 1 nghiệm khác 2, xảy ra khi

 V= 0
⇔
 2

2
 2 − 3.2 + m ≠ 0

 9 − 4m2 = 0
3
⇔
m
=
±
 2
2
 m ≠ 2

TH2: Mẫu số có 2 nghiệm phân biệt trong đó 1 nghiệm bằng 2, xảy ra khi

 V> 0
⇔
 2
2
2
−
3.2
+
m
=
0


 9 − 4m2 > 0
⇔ m= ± 2

 2
 m = 2

Kết luận: Có 4 giá trị m.
Phân tích: Học sinh thường dừng lại ở việc tìm m để hàm ở mẫu số có 1 nghiệm
mà quên đi phải tìm cho mẫu số có 1 nghiệm khác nghiệm trên tử và nếu mẫu số
có 2 nghiệm phân biệt và 1 nghiệm là nghiệm của tử vẫn thỏa mãn u cầu
Ví dụ 3:[3] Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số

mx 2 + mx − 2
y=
x−1

có 2 tiệm cận ngang
22


Phân tích chỉ ra được:

m< 0

+) Nếu
tập xác định của hàm số khơng chứa
khơng có tiệm cận ngang

+) Nếu

( − ∞ ;b )

và

( a;+ ∞ ) nên

m = 0 hàm số khơng xác định
m> 0

+) Nếu
theo cách làm đã trình bày (Dạng 3 - khả năng 4) suy ra hàm số có
2 tiệm cận. Nếu trong bài tốn cần chỉ rõ tiệm cận thì ta dễ dàng tính được

mx 2 + mx − 2
lim y = lim
=− m
x
→
−∞
x
−
1
x→ −∞
tiệm cận ngang là

và

mx 2 + mx − 2
lim y = lim
= m
x
→
+∞

x
−
1
x → +∞

nên 2

y = m, y = − m .

Ví dụ 4:[3] Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số

y=

1
 x 2 − ( 2m + 1) x + 2m  x − m

có 4 tiệm cận

Phân tích chỉ ra được: Tập xác định có dạng

( m;+ ∞ ) và bậc của x trên tử nhỏ

hơn dưới mẫu nên đồ thị hàm số có 1 tiệm cận ngang

y= 0

Do vậy ta phải tìm m để đồ thị hàm số có 3 tiệm cận đứng hay mẫu số bằng 0 có

3 nghiệm phân biệt suy ra

 x 2 − ( 2m + 1) x + 2m  x − m = 0

biệt khi và chỉ khi phương trình

x 2 − ( 2m + 1) x + 2m = 0

có 3nghiệm phân

có 2 nghiệm phân biệt
23


lớn hơn m. Điều này xảy ra khi :

 2m ≠ 1 0 < m < 1


1
>
m
⇔

 1
2m > m m ≠ 2


2.3.2 Bài tập vận dụng dưới hình thức tự luận
Tiếp theo tôi đưa ra các bài tập tự luận tương ứng với các dạng bài đã
trình bày ở trên để học sinh củng cố lại cách giải nhanh bài tốn tìm tiệm cận
của đồ thị hàm số

Bài 1. Tìm tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của các hàm số sau:

a)

1
y = x 4 − 3x 2 + 2;
4

b)

x 2 − 3x − 4
y= 2
x − 16 ;

y=

x −4

;

c)

( x − 2)

d)

3x − 2 x − 1
;
2
x − 5x + 4

y=

f)

x+ 3
9 − x2

;

y = x + 2 x + 3 − x;
2

g)

y=
m)

x +7 −3
;
x2 − 5x + 6
x

 2
y=  ÷ ;
 3
n)
p

2

2

y=

2 x − 1 − x2 + x + 3
y=
;
2
x − 5x + 6
h)[3]

2

y=
i)

3x − 2
;
x −1

y=
)

x+1
;
x2 − 1

q
2

y
=
x
+ 1 − x;
)

24


x+ 2

y=

1− x

e)

2

x−7
y= 2
;
x + 3x − 4
k)

;

Bài 2.[6] Hàm số
biến thiên như sau:

y = f ( x)

r)

xác định và có đạo hàm trên

g ( x) =
Tìm m để đồ thị hàm số

y=

1
f ( x) − m

x −1
2

.

¡ \ { − 1;1} ,

có bảng

có 3 đường tiệm cận

Bài 3.[6] Tìm tất cả các giá trị thực của tham số

y=

x+1

để đồ thị hàm số

x2 + 2
mx 4 + 3

có đường tiệm cận ngang.

Bài 4.[2] Tìm tất cả các giá trị thực của tham số

2 x 2 − 3x + m
y=
x− m

để đồ thị hàm số

khơng có tiệm cận đứng.

Đáp án
Bài1

25