SKKN sử dụng cấp số cộng và cấp số nhân để tìm số hạng tổng quát của dãy số trong chương trình đại số và giải tích lớp 11

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ
TRƯỜNG THPT LÊ VĂN HƯU

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

SỬ DỤNG CẤP SỐ CỘNG VÀ CẤP SỐ NHÂN,
ĐỂ TÌM SỐ HẠNG TỔNG QUÁT CỦA DÃY SỐ,
TRONG CHƯƠNG TRÌNH
ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH LỚP 11.

Người thực hiện: Thiều Minh Tiến
Chức vụ: Giáo viên
SKKN thuộc lĩnh vực (mơn): Tốn

THANH HĨA, NĂM 2021


MỤC LỤC

2

2


MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Dãy số và các bài toán về dãy số là một cơ sở quan trọng để học sinh nắm
được kiến thức của chương trình giải tích THPT. Dãy số có nhiều cách cho khác
nhau, các bài toán về dãy số cũng rất đa dạng. Nhưng có lẽ khi biết cơng thức số
hạng tổng qt của dãy số, chúng ta có được “chiếc chìa khóa” quan trọng nhất
giúp ta hình dung tốt nhất về dãy số đó cũng như làm cơ sở để giải quyết tốt các

bài tốn liên quan tới nó. Đáng tiếc điều này không dễ và không phải bao giờ
cũng làm được.
Trong chương trình SGK việc tìm SHTQ của dãy số cũng được đề cập tới,
song chỉ dừng lại ở dạng đơn giản nhất thường trực tiếp là CSC hay CSN hay ở
dạng yêu cầu chứng minh quy nạp (kết quả SHTQ đã rõ). Với hai mục đích quan
trọng của mơ hình trường chuyên: ngoài đào tạo kiến thức cho học sinh đáp ứng
nhu cầu thi Đại học, còn phải trang bị cho học sinh các kiến thức chuyên sâu của
môn chuyên để làm tiền đề cho các em có thể phát triển tốt hơn sau này, chúng
ta đã xây dựng hệ thống các chuyên đề bổ trợ kiến thức cho học sinh cũng như
có những chuyên đề đặc biệt để bồi dưỡng HSG. Trong đó chun đề về tìm
cơng thức SHTQ của dãy số có lẽ đáp ứng cả hai yêu cầu đó, ngồi là dạng tốn
cơ bản về dãy số, tìm SHTQ của dãy số cũng hay xuất hiện trong các bài thi
HSG các cấp (một ý riêng rẽ cũng có thể là một bước quan trọng trong một vấn
đề).
Tuy nhiên các tài liệu viết về chuyên đề này thường khơng đầy đủ,
rời rạc hoặc gây cho học sinh có cảm giác “rất khó”. Trên cơ sở chuyên đề đã
giảng dạy trong năm qua, tôi mạnh dạn tập hợp các dạng toán về "Sử dụng cấp
số cộng và cấp số nhân để tìm số hạng tổng quát của dãy số trong chương trình
đại số và giải tích lớp 11” để góp phần giúp khắc phục những khó khăn đã nêu
ở trên.
Mong được chia sẻ ý kiến với các em học sinh tôi dạy và các quý đồng
nghiệp.
3


2. Nhiệm vụ của đề tài
Với những lý do và mục đích đã nêu ở trên thì nhiệm vụ của đề tài là:
+ Củng cố kiến thức về dãy số, CSC, CSN, phương pháp chứng minh quy
nạp trong chương trình lớp 11.
+ Xây dựng phương pháp giải cho một lớp các bài tập về tìm cơng thức

SHTQ của dãy số dạng cơ bản.
3. Đối tượng nghiên cứu
Các dãy số được đề cập trong chương trình phổ thơng và các dãy số đặc
biệt khác.
4. Phạm vi nghiên cứu
Nội dung, kiến thức về dãy số dành cho đối tượng là học sinh bậc THPT
là rất phong phú và đa dạng. Bài viết nhỏ này chỉ đề cập đến một vấn đề rất nhỏ
đó là: Sử dụng cấp số cộng và cấp số nhân để tìm số hạng tổng quát của dãy số
trong chương trình đại số và giải tích lớp 11.
5. Phương pháp nghiên cứu
Đề tài được nghiên cứu trên cơ sở phân tích tính chất các dãy số, liên
quan đến quá trình tìm cơng thức SHTQ của nó, dựa trên việc nghiên cứu sách
giáo khoa nâng cao lớp 11 hiện hành, các sách tham khảo ôn luyện thi đại học,
và qua việc trực tiếp giảng dạy.

4


NỘI DUNG
Chương I: CƠ SỞ LÝ LUẬN CỦA ĐỀ TÀI
1.1. Cơ sở thực tiễn
Dãy số và các bài toán về dãy số là một cơ sở quan trọng để học sinh nắm
được kiến thức của chương trình giải tích THPT vì nó là một cơ sở để xây dựng
nên khái niệm giới hạn, từ đó đến các khái niệm khác của giải tích. Việc tìm
được cơng thức SHTQ là vấn đề hay đặt ra khi nghiên cứu dãy số.
Vì vậy đề tài này cung cấp một số phương pháp tìm công thức SHTQ của
dãy số, nhằm trang bị cho các em học sinh kiến thức, phương pháp và kỹ năng
cần thiết chuẩn bị tốt cho các kì thi Đại học .
Cụ thể đề tài đề cập đến phương pháp chung để giải các bài toán dạng:
+ Ứng dụng phép quy nạp tìm cơng thức SHTQ của dãy số.

+ Ứng dụng CSC, CSN tìm cơng thức SHTQ của một số dãy không phải CSC,
CSN.
1.2. Cơ sở khoa học





Phương pháp quy nạp toán học.
Dãy số và các khái niệm liên quan.
Cấp số cộng và cấp số nhân.
Một số dãy số đặc biệt khác liên quan đến phương pháp sai phân.

5


Chương II: NỘI DUNG VẤN ĐỀ
2.1. Phương pháp chung
* Bài tốn tổng qt
Cho dãy số .Tìm cơng thức số hạng tổng quát của dãy số .
* Phương pháp
+ Phương pháp quy nạp toán học.
+ Đặt dãy số phụ quy về các dãy số đã biết công thức SHTQ.
+ Xét một phương trình liên quan đến tìm cơng thức SHTQ của dãy số (một số
tài liệu gọi tên là phương trình đặc trưng của dãy số).
2.2. Dạng toán cho vấn đề nghiên cứu -ứng dụng
2.2.1. Khái niệm dãy số
a)Dãy số.Mỗi hàm số

u xác định trên tập các số nguyên dương

¥*

được gọi là một dãy số vô hạn (gọi tắt là dãy s). Kớ hiu

u : Ơ * đ Ă , n a u ( n) .
Người ta thường viết dãy số dưới dạng khai triển
u1 , u2 , u3 ,..., un ,...,

un = u ( n ) hoặc viết tắt là

trong đó

un là số hạng thứ

với mọi

( un )

và gọi

u1 là số hạng đầu,

n và là SHTQ của dãy số.

( un )

b) Dãy số tăng, dãy số giảm.Dãy số
un+1 > un

( un )

được gọi là dãy số tăng nếu ta có

n Ỵ ¥ *.
un+1 < un

với mọi

Chú ý. Khơng phải mọi dãy số đều tăng hoặc giảm. Chẳng hạn, dãy số

( un )

Dãy số

được gọi là dãy số giảm nếu ta cú

n ẻ Ơ *.

vi

un = ( - 3)

n

tc l dóy

- 3,9, - 27,81,... không tăng cũng không

giảm.

6


( un )

c)Dãy số bị chặn. Dãy số
M

được gọi là bị chặn trên nếu tồn tại một số

sao cho

un £ M , vi mi

Dóy s

( un )

n ẻ Ơ* .

un ³ m, với mọi

Dãy số

( un )

m sao cho

được gọi là bị chặn dưới nếu tồn tại một số

n Ỵ ¥* .

được gọi là bị chặn nếu nó vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới,

tức là tồn tại các số

m, M sao cho

m £ un £ M , với mi

n ẻ Ơ* .

2.2.2. Khỏi nim CSC, CSN
CSC
S hng tng qt
Tính chất
Cơng thức tổng

CSN

un = un −1 + d

với

n ∈¥ *
u +u
un = n+1 n −1
2
( u + u ) .n
Sn = 1 n

2

( n − 1) .d  .n
= u1 +

2



un = un −1 .q

với

n ∈¥ *

un 2 = un +1.un −1
Sn =

u1.( 1 − q n )
1− q

với

q ≠1
Sn = u1.n

với

q =1
2.3. Bài tốn tìm SHTQ của dãy số dựa vào cấp số cộng và số nhân

DẠNG 1.Tìm SHTQ dạng đa thức khi biết các số hạng đầu tiên
Nhận xét. Với 10 số hạng đầu thế này, để tìm ra quy luật biểu diễn là rất khó.
Với những cách cho này ta thường làm phương pháp sau,đặt

∆uk = uk +1 − uk
∆ 2uk = ∆uk +1 − ∆uk
∆ 3uk = ∆ 2uk +1 − ∆ 2uk
................................
7


∆uk , ∆ 2uk , ∆ 3uk ,... nếu đến hàng nào có giá trị khơng

Ta lập bảng các giá trị

un là đa thức bậc 1,2,3,...và ta đi tìm đa

đổi thì dừng lại ,sau đó kết luận
thức đó.

( un ) có dạng khai triển sau

Ví dụ 1.1.Cho dãy số

1,-1,-1,1,5,11,19,29,41,55,...
Hãy tìm SHTQ của dãy số.
Lời giải
Bảng giá trị ban đầu
1

-

-1

1

5

1

1
-2

1
2

0
2

Ta thấy hàng

2

4
2

6
2

1

2

4

5

9

9

1

5

8
2

1

1

1

0

2

4

2

2

2

∆ 2 uk không đổi nên dãy số là dãy các giá trị của đa thức bậc

hai

un = an 2 + bn + c, ( a ≠ 0 )

( *)
Trong đó n là số thứ tự của các số hạng trong dãy.
Cho n=1,2,3 thay vào công thức (*) ta được hệ phương trình sau

 a + b + c =1

4a + 2b + c = −1
 9a + 3b + c = −1

ta tính được

a = 1,

b = 5,

un = 5n 2 + 5n − 5 .

8

c = −5 .Vậy

số hạng tổng quát


Ví

dụ

1.2.

Cho

dãy

( un ) có

số

dạng

khai

triển

sau

−5,-3,11,43,99,185,307,471,...
Hãy tìm SHTQ của dãy số.

Lời giải :Bảng giá trị ban đầu
uk-5
∆uk

-3
2

∆ 2u k

11

43

14

18

12

∆ 3uk
Ta thấy hàng

32

99
56

24

6

6

185
86

30
6

307
122

36
6

471
164

42
6

∆ 3uk không đổi nên dãy số là dãy các giá trị của đa thức bậc

ba

un = an 3 + bn 2 + cn + d , ( a ≠ 0 )
(**)
Cho n=1,2,3,4 thay vào công thức (**) ta được hệ phương trình
 a + b + c + d = −5
 8a + 4b + 2c + d = −3



 27a + 9b + 3c + d = 11
64a + 16b + 4c + d = 43

Ta tính được

a = 1,

Vậy SHTQ của dãy là

b = 0,

c = −5 ,

d = −1 .

un = n 3 − 5n − 1 .

Bài tập tương tự. Với mỗi dãy số sau đây,hãy tìm SHTQ của dãy số.
1)8,14,20,26,32,
2)1, -2, -2,1,7,16,28,43,61,
3)1,6,17,34,57,86,121,

9


Tiếp theo chúng ta sẽ tìm hiểu tiếp DẠNG 2. Ở dạng này cách tìm SHTQ của
dãy số dựa vào biểu diễn các số hạng của dãy số để đưa về các CSC và nhân.Từ
đó ta tìm được SHTQ tương ứng.

DẠNG 2. Dạng cơ sở. Cho dãy

( un )

u1 = a, un+1 = qun + d , n ≥ 1 ,

biết

q, d là các hằng số thực.

với
Lời giải

q = 0 thì

Trường hợp 1.Nếu

u1 = a, un = d ,với mọi

Nên

q = 1 thì

Trường hợp 2.Nếu
Suy ra

( un )

Do đó

un = a + ( n − 1) d .

( un )

n ∈ Ν* , n ≥ 2 .
u1 = a , un+1 = un + d , n ≥ 1 .

là CSC với số hạng đầu

d =0

Trường hợp 3.Nếu
Suy ra

u1 = a , un +1 = d , n ≥ 1 .

thì

u1 = a và cơng sai bằng

u1 = a , un +1 = qun , n ≥ 1 .

là CSN với số hạng đầu

u1 = a và công bội bằng

.
Do đó

un = a.qn−1

Trường hợp 4.Nếu
un = vn +

vn +1 +

Khi đó

q ≠ 0, q ≠ 1, d ≠ 0. Đặt dãy

d
1− q

Thay cơng thức

sao cho

vào CTTH ta có


d
d 
= q  vn +
÷+ d
1− q
1
−
q



.Suy ra

( vn )

( vn )

(***)

( ***)

d.

là một CSN với số hạng đầu

10

vn +1 = qvn , n ≥ 1 .

q


v1 = u1 −

d
d
=a−
1− q
1 − q và

công

bội

q .Nên

bằng


d  n −1
vn =  a −
q ,n ≥1
1− q ÷


.

Vậy
u n = vn +


d
d  n−1
d
= a −
÷q +
1− q 
1− q 
1− q
.

( un )

Ví dụ 1.3.Tìm cơng thức của SHTQ của các dãy

biết

1) u1 = −1, un+1 = un + 3, n ≥ 1 .

[ ĐS : un = 3n − 4] .
2) u1 = 1, un +1 = 2un + 3, n ≥ 1 .

 ĐS : un = 2n+1 − 3
.

Lời giải

( un )

un +1 = un + 3, n ≥ 1 nên

1) Vì
u1 = −1

và

cơng

là một CSC với số hạng đầu

d = 3.

sai

Do

đó

un = u1 + ( n − 1) d = −1 + 3 ( n − 1) = 3n − 4.
2) Đặt dãy

( vn ) sao cho

un = vn +

d
= vn − 3
1− q
.Thay vào CTTH

ta được

vn+1 − 3 = 2 ( vn − 3) + 3 ⇔ vn+1 = 2vn .Nên

( vn )

là CSN với số hạng đầu

là

q = 2 .Suy ra

v1 = u1 + 3 = 1 + 3 = 4 và công bội

Vậy

un = vn − 3 = 2n+1 − 3.
11

vn = 4.2n−1 = 2n+1 .


Bài tập tương tự.Tìm cơng thức của SHTQ của các dãy
1)

u1 = 1, un +1 = un + 7, n ≥ 1 .

2)

u1 = 3, un +1 = 2un , n ≥ 1 .

3)

u1 = −1, un +1 = 2un + 1, n ≥ 1 .

4)

5
3
u1 = , un +1 = 2un − , n ≥ 1
4

4
.

5)

1
u1 = 1, un+1 = 2un − , n ≥ 1
3
.

( un )

biết

Lời bình.Dạng 2 gọi là dạng cơ sở vì
Với 3 trường hợp 1,2 và 3 dãy số trở thành các dãy đặc biệt đó là: dãy số
hằng,CSC và CSN . Các dãy số này ta đều đã tìm được cơng thức của số hạng
tổng quát.
Trên cơ sở của 3 dãy này ,để giải trường hợp 4 bằng phương pháp đặt một dãy
số mới

( vn )

thể đưa được về dãy số

( vn ) mà

Vấn đề đặt ra là mỗi quan hệ giữa
có thể đưa dãy

( un ) bằng một biểu thức nào đó để có

liên hệ với dãy số

( vn ) là dãy số hằng hoặc CSN.
( un )

và

( vn ) bởi biểu thức nào mới

( vn ) thành dãy số hằng hoặc CSC,CSN hoặc trường hợp

4.Qua q trình tìm tịi ,tác giả đã tìm ra một số dạng sau.

12


LOẠI

u1 = a , un +1 = qun + cn + d , n ≥ 1

2.1:

q, c, d ∈ R

với

và

q, c ≠ 0 .
Lời giải

q = 1 thì

Trường hợp1.Nếu

u1 = a và

un+1 = un + cn + d .

Cách 1.Ta có

u1 = a
u2 = u1 + c.1 + d
u3 = u2 + c.2 + d
u4 = u3 + c.3 + d
......................
un = un−1 + c.( n − 1) + d .
Cộng vế với vế các hệ thức trên, ta được
un = a + c.1 + c.2 + c.3 + ... + c.( n − 1) + ( n − 1) d = a +

cn ( n − 1)
+ ( n − 1) d .
2

Cách 2. Dùng công thức DẠNG 1 (Viết dãy số theo dạng khai triển)

q ≠ 1 thì đặt dãy

Trường hợp 2.Nếu

( vn ) sao cho

un = vn +

cn
,
1− q

thay vào CTTH ta được

c ( n + 1)

cn 
= q  vn +
÷+ cn + d
1− q
1− q 

c
⇒ vn+1 = qvn + d −
1− q
vn+1 +

Từ đó ta có dãy
Khi đó dãy

( vn )

với

v1 = u1 −

( vn ) lại có DẠNG 1
13

c
c
, vn +1 = qvn + d −
, n ≥1
1− q
1− q


( un )

Ví dụ 1.4.Tìm SHTQ của các dãy

biết,

1) u1 = 5, un+1 = un + 3n − 2, n ≥ 1 .
2) u1 = 11, un +1 = 10un + 1 − 9 n, n ≥ 1 .
3) u1 = 1, un+1 = 3un − 6n + 1, n ≥ 1 .

Lời giải
1) u1 = 5, un+1 = un + 3n − 2, n ≥ 1

Cách 1.Ta có

u1 = 5
u2 = u1 + 3.1 − 2
u3 = u2 + 3.2 − 2
u4 = u3 + 3.3 − 2
u5 = u4 + 3.4 − 2
......................
un = un −1 + 3.( n − 1) − 2.
Cộng vế với vế các hệ thức trên, ta được
un = 5 + 3.1 + 3.2 + 3.3 + ... + 3. ( n − 1) − 2 ( n − 1) = 5 +
un =

hay

3n ( n − 1)
− 2 ( n − 1)
2

3n 2 − 7n + 14
2
.

( un )

Cách 2.Ta có dạng khai triển của dãy số

là

5,6,10,17,27,40,56,75,...
uk5
∆u k

6
1

4
3

∆ 2u k

10

17

27

7
3

10
3

40
13

3

56
16

3

75
19

3

Từ bảng ta suy ra

un = an 2 + bn + c
(*)
Thay

n = 1, n = 2, n = 3 vào

( *)

ta được

14


a + b + c = 5
3
−7

4a + 2b + c = 6 ⇔ a = , b = , c = 7
2
2
9a + 3b + c = 10


3 2 7
3n 2 − 7n + 14
un = n − n + 7 =
.
2
2
2

Vậy

2) u1 = 11, un +1 = 10un + 1 − 9 n, n ≥ 1

( vn )

Đặt dãy

sao cho

un = vn + n, n ≥ 1 .Thay vào CTTH của dãy

( un ) ta được
vn+1 + n + 1 = 10 ( vn + n ) + 1 − 9n ⇒ vn+1 = 10vn .

( vn )

Nên

là một CSN với số hạng đầu là

v1 = u1 − 1 = 10 và cơng bội

q = 10 .Do đó

vn = 10.10n−1 = 10n . Vậy

un = 10n + n .

3) u1 = 1, un+1 = 3un − 6n + 1, n ≥ 1

Đặt dãy

( un )

( vn )

sao cho

un = vn + 3n, n ≥ 1 .Thay vào CTTH của dãy

ta được

vn+1 + 3 ( n + 1) = 3 ( vn + 3n ) − 6n + 1 ⇒ vn+1 = 3vn − 2 .Nên

( vn )

được xác

định bởi
v1 = u1 − 3 = −2, vn+1 = 3vn − 2, n ≥ 1.

Đặt dãy

( vn )

( yn )

sao cho

vn = yn + 1, n ≥ 1 .Thay vào CTTH của dãy

ta được

yn+1 + 1 = 3 ( yn + 1) − 2 ⇒ yn+1 = 3 yn . Suy ra
hạng đầu

y1 = v1 − 1 = −2 − 1 = −3 và công bội

15

( yn )

là một CSN với số

q=3


yn = −3.3n−1 = −3n ⇒ vn = −3n + 1.

Do đó

un = −3n + 1 + 3n.

Vậy

( un )

Bài tập tương tự.Tìm cơng thức của SHTQ của các dãy

biết,

1)u1 = 99, un+1 = un − 2n − 1, n ≥ 1.

2)u1 = 1, un+1 = un + n3 , n ≥ 1.
3)u1 = 1, un+1 = un + 2n 2 , n ≥ 1.
LOẠI 2.2.

u1 = a, un+1 = qun + rc n , n ≥ 1 ,với

q ≠ 0.

Lời giải

u1 = a, un+1 = un + rc n ta có thể làm bằng

q = 1 thì

Trường hợp 1.Nếu
phương pháp sau,
u1 = a
u2 = u1 + rc1

u3 = u2 + rc 2
u4 = u3 + rc3
......................
un = un−1 + rc n−1.

Cộng vế với vế các hệ thức trên, ta được

un = a + ( c + c + c + ... + c
1

2

Trường hợp 2.Nếu

( vn )

3

n −1

) .r = a +

c ( c n−1 − 1) .r
c −1

.

u1 = a, un+1 = qun + rc n nên đặt dãy

c ≠ q thì

sao cho

rc n
un = vn +
.
c−q
Thay vào CTTH ta được
16


vn +1 +


rc n+1
rc n 
n
= q  vn +
÷+ rc ⇒ vn +1 = qvn .
c−q
c−q


( vn ) là CSN

Suy ra

với số hạng đầu

( vn )

Khi đó


rc  n−1
rc n 
rc  n−1 rc n
= a −
= a −
.
÷q ⇒ un = vn +
÷q +
c−q
c−q 
c−q
c−q


hợp

3.Nếu

un = q n v n

,thay

u1 = a, un+1 = qun + rq n ,đặt

c = q thì
vào

CTTH

của

q n+1vn+1 = q. ( q n vn ) + rq n ⇒ vn +1 = vn +

( vn )

Suy ra
d=

rc
rc
=a−
c−q
c − q và công

q.

bội bằng

Trường

v1 = u1 −

là 1 CSC

( un )

dãy

ta

dãy
được

r
.
q

với số hạng đầu

v1 =

u1 a
=
q q và cơng sai

r
.
q

n

Ví dụ 1.5.Cho dãy

( un )

1

u1 = 1, un+1 = un +  ÷
 2  ,với

biết

.Xác định SHTQ của dãy số.
Lời giải
Cách 1. Ta có

17

n ∈¥ *


u1 = 1
u2 = u1 +

1
2
2

1
u3 = u2 +  ÷
2

3

1
u4 = u3 +  ÷
2

......................

n −1

1
un = un−1 +  ÷ .
2
Cộng vế với vế ta được
n −1

1  1 
.
−
1

÷

÷
2
n −1
n −1
÷
2   2 
1 1
1
1

un = 1 + +  ÷ + ... +  ÷ = 1 +
= 2− ÷
1

2 2
2
 2
−1
2
.
n

( vn )

Cách 2.Đặt dãy số

1
n
 ÷
2
1

un = vn +
= vn − 2. ÷
1
2
−
2
.

sao cho

Thay vào CTTH ta được
n +1

1
vn +1 − 2  ÷
2
Suy ra dãy

n

n

1 1
= vn − 2. ÷ +  ÷ ⇔ vn+1 = vn
2 2
.

( vn )

được xác định bởi

1

v1 = u1 + 2. = 1 + 1 = 2
⇒ vn = v1 = 2 , n ≥ 1
2


vn+1 = vn
.
n

Vậy

n −1

1
1
un = vn − 2.  ÷ = 2 −  ÷
2
2 .

Ví dụ 1.6. Viết cơng thức của SHTQ của các dãy số
18

( un )

với


1)u1 = 8, un+1 = 2un + 3n , n ≥ 1.
2)u1 = 1, un+1 = 5un − 3n , n ≥ 1.
3)u1 = 101, un+1 = 7un + 7 n+1 , n ≥ 1.
4)u1 = 1, un+1 = 2un + 6.2n , n ≥ 1.
Lời giải

1)u1 = 8, un+1 = 2un + 3n , n ≥ 1.
un = vn + 3n , n ≥ 1 thay vào CTTH của dãy

Đặt

( un )

ta được

vn+1 + 3n+1 = 2 ( vn + 3n ) + 3n ⇔ vn+1 = 2vn .

Suy ra

( vn )

là một CSN có

q =2.

v1 = u1 − 5 = 3 và công bội

Vậy

vn = 5.2n−1 ⇒ un = 5.2n−1 + 3n.
2)u1 = 1, un+1 = 5un − 3n , n ≥ 1.
3n
un = vn +
,n ≥1
2
thay vào CTTH của dãy

Đặt

( un )

ta được


3n+1
3n  n
vn+1 +
= 5  vn + ÷− 3 ⇔ vn+1 = 5vn .
2
2


Suy ra

( vn )

là một CSN có

3
1
v1 = u1 − = −
2
2 và công bội

Vậy

1
1
vn = − .5n−1 ⇒ un = .( 3n − 5n−1 ) .
2
2

3)u1 = 101, un+1 = 7un + 7 n+1 , n ≥ 1.
Đặt

un = 7n.vn , n ≥ 1 thay vào CTTH của dãy
7 n+1.vn+1 = 7 ( 7 n.vn ) + 7 n+1 ⇔ vn+1 = vn + 1.

19

( un )

ta được

q = 5.


v1 =

( vn ) là một CSC có

Suy ra

u1 101
=
7
7 và công sai

d =1.

Vậy

vn = v1 + ( n − 1) d =

101
94
 94 
+ n − 1 = n + ⇒ un = 7 n  n + ÷ = n.7 n + 94.7 n−1.
7
7
7


4)u1 = 1, un+1 = 2un + 6.2n , n ≥ 1.
un = 2n.vn , n ≥ 1 thay vào CTTH của dãy

Đặt

( un )

ta được

2n+1.vn+1 = 2 ( 2n.vn ) + 6.2n ⇔ vn+1 = vn + 3.

( vn )

Suy ra

là một CSC có

vn = v1 + ( n − 1) d =

Nên

v1 =

u1 1
=
2 2 và công sai

d = 3.

1
5
+ ( n − 1) .3 = 3n − .
2
2

Vậy

5

un = 2n  3n − ÷ = 3n.2n − 5.2n−1
2

u1 = a, un+1 =

LOẠI 2.3.

cun
, n ≥ 1.
q + dun

Lời giải

( vn )

Đặt dãy số

un =
sao cho

1
vn thay vào CTTH của dãy

được

c.

1
vn

1
1
c
q
d
=
⇔
=
⇔ vn+1 = vn + .
vn+1 q + d . 1

vn +1 qvn + d
c
c
vn
Nên

( vn ) , v1 =

1
q
d
, vn+1 = vn + , n ≥ 1.
a
c
c

Quay về DẠNG 1.
20

( un )

ta


u1 = a, un+1 =

LOẠI 2.4.

b + cun
, n ≥1

p + run
.

( un )

Ví dụ 1.7.Tìm cơng thức của SHTQ của các dãy

1)u1 = 1, un+1 =

sau biết,

un
, n ≥ 1.
1 + un

2)u1 = 2, un+1 =

un
, n ≥1
2 + un
.

Lời giải

1)u1 = 1, un+1 =
un =
Đặt dãy

un
, n ≥ 1.

1 + un
1
vn sao cho

un = vn + α ,thay vào CTTH của

( un )

ta được

1
vn

1
1
1
=
⇒
=
⇒ vn+1 = vn + 1.
vn+1 1 + 1
vn+1 1 + vn
vn

v1 =

1
= 1,
u1
và công sai

Dãy

( vn )

Vậy

1
vn = v1 + ( n − 1) d = 1 + n − 1 = n ⇒ un = .
n

là CSC có số hạng đầu

2)u1 = 2, un+1 =

Đặt dãy

( vn )

d = 1.

un
, n ≥1
2 + un
un =

sao cho

1
vn , thay vào CTTH của

21

( un )

ta được


1
vn

1
1
1
=
⇒
=
⇒ vn+1 = 2vn + 1.
vn+1 2 + 1
vn+1 2vn + 1
vn
vn = yn − 1 ,thay vào CTTH của

Đặt

( vn )

ta được

yn+1 − 1 = 2 ( yn − 1) + 1 ⇒ yn+1 = 2 yn

⇒ ( yn ) là một CSN với số hạng đầu
q = 2.

bội
Khi đó

3
yn = .2n−1 = 3.2n−2 ⇒ vn = yn − 1 = 3.2n−2 − 1.
2
Vậy

un =

1
3.2n −2 − 1

.

22

y1 = v1 + 1 =

1
3
+1 =
u1
2 và công


KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ

1. Kết luận
Qua những gì tơi đã trình bày, hy vọng phần nào giúp cho các em học sinh
nắm vững hơn về các bài toán về tìm cơng thức SHTQ của một dãy số, hệ thống
hóa được các bài tốn cùng loại, có các phương pháp đa dạng tiếp cận loại bài
tốn này, từ đó có thể giúp các em học tập tốt hơn.
Như chúng ta đã biết, hiện nay trên thị trường có rất nhiều tài liệu tham
khảo. Tuy nhiên, bản thân các em học sinh rất khó lựa chọn cho mình một tài
liệu phù hợp, mang tính hệ thống hóa một vấn đề nào đó. Vì vậy qua những ý
kiến nhỏ bé của cá nhân tơi được đúc kết qua q trình nghiên cứu và trong quá
trình giảng dạy thực tiễn, hy vọng phần nào giúp các em học sinh có thêm một
tài liệu tham khảo về vấn đề đã được nêu. Qua tài liệu này, tơi cũng mong có thể
giúp các em xâu chuỗi các kiến thức, thấy được những ứng dụng đặc sắc của
những kiến thức dường như đơn giản nhất, tiếp cận tự nghiên cứu, tự sáng tạo
trong học tập bộ mơn Tốn.
Các vấn đề được trình bày trong tài liệu này chỉ là ý kiến riêng của cá
nhân bản thân tơi, nên khơng tránh khỏi những sai sót và hạn chế. Vì vậy tơi rất
mong được sự góp ý chân thành và quý báu của đồng nghiệp,các em học sinh
cũng như những ai quan tâm về vấn đề này, để bài viết được hoàn thiện hơn.
2. Kiến nghị
Hằng năm, những sáng kiến kinh nghiệm có ứng dụng thực tiễn, thiết thực
phục vụ cho nhiệm vụ nâng cao chất lượng giáo dục và đào tạo, nhất là các sáng
23


kiến đổi mới phương pháp giảng dạy cần được tập hợp trong một kỷ yếu khoa
học của Sở GD& ĐT và tạo điều kiện cho giáo viên, học sinh và phụ huynh
được tham khảo.

TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1] Nguyễn Tài Chung (2014), Bồi dưỡng học sinh giỏi chuyên khảo dãy số,

NXB Quốc Gia Hà Nội.
[2] Phạm Văn Ga (2016), Rèn luyện tư duy sáng tạo cho học sinh khá, giỏi
thông qua dạy học giải bài tập một số dạng phương trình sai phân. Nxb Đại học
Quốc Gia Hà Nội.
[3] Nguyễn Thành Giáp, Phạm Văn Quốc (2003), Một số Bài toán về dãy số,
Nxb Đà Nẵng.
[4] Nguyễn Văn Mậu (2008), Chuyên đề chọn lọc dãy số và ứng dụng, Nxb Giáo
dục.
[5] Nguyễn Văn Mậu, Nguyễn Thị Nhung(2003), Phương pháp lượng giác xác
định dãy số và tính giới hạn, Nxb Sư phạm Hà Nội.
[6] Lê Đình Thịnh (2011), Bài tốn phương trình sai phân, Nxb Giáo dục.
[7] Lê Đình Thịnh (Chủ biên ), Đặng Đình Châu,Lê Đình Định,
Phan Văn Hạp (2001), Phương trình sai phân và một số ứng dụng, Nxb Giáo
dục.
[8] Lê Đình Thịnh, Lê Đình Định (2005), Các phương pháp sai phân, Nxb Đại
học Quốc Gia Hà Nội.

24


XÁC NHẬN CỦA

Thanh Hóa, ngày 15 tháng 04 năm 2021

THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ

Tôi xin cam đoan đây là SKKN của mình viết,
khơng sao chép nội dung của người khác.

Lê Đình Sinh

Thiều Minh Tiến

25