Tich co huong cua 2 vec to va ung dung

<span class='text_page_counter'>(1)</span>TÍCH CÓ HƯỚNG CỦA HAI VÉC TƠ VÀ ỨNG DỤNG (Chương trình nâng cao)   a (a1 , a2 , a3 ) b (b1 , b2 , b3 ) 1. Định nghĩa:Trong không gian Oxyz, cho hai véc tơ , , tích có hướng của  hai véc tơ a, b là một véc tơ được xác định như sau:.      a a3 a3 a1 a1 a2   a , b  a  b   2 ; ;   a2b3  a3b2 ; a3b1  a1b3 ; a1b2  a2b1  b b b b b b 3 3 1 1 2   2 2. Tính chất:          j , k  i ;  k , i   j  i , j  k ; 2.1     [ a , b ]  [ b , a] 2.2       [ a , b ]  a ; [ a , b ]  b 2.3      a , b  [ a , b]  0 2.4 cùng phương      [a, b]  a . b .sin  a , b  2.5 Chứng minh:  a a3 a3 a1 a1 a2     a , b    2 ; ;   a2b3  a3b2 ; a3b1  a1b3 ; a1b2  a2 b1  b2 b3 b3 b1 b1 b2   2.2. Ta có: và   b b3 b3 b1 b1 b2   b; a    2 ; ;       a3b2  a2b3 ; a1b3  a3b1 ; a2b1  a1b2  [ a , b ]  [ b , a]  a2 a3 a3 a1 a1 a2  do đó      b  a2b1 ).a3 1 2 2.3. Xét  a , b  .a (a2b3  a3b2 ).a1  (a3b1  a1b3 ).a2 (a     a1a2b3  a1a3b2  a2 a3b1  a1a2b3  a1a3b2  a2 a3b1 0  [a, b]  a . Hoàn toàn tương tự [a, b]  b a a a     a2b3  a3b2 ; a3b1  a1b3 ; a1b2  a2b1  (0;0;0)  1  2  3    b1 b2 b3 a, b cùng phương. 2.4. [a, b]  0   2 2 2   2 2   2  2  2  2 (a.b) 2  2   a . b .sin 2  a , b   a . b  1  cos 2  a , b    a . b  a . b .  2  2  a . b  (a.b) 2   a .b 2.5. Xét (a12  a22  a32 )(b12  b22  b32 )  (a1b1  a2b2  a3b3 ) 2 (a2b3  a3b2 )2  (a3b1  a1b3 )2  (a1b2  a2b1 ) 2  2  [a, b ] 3. Ứng dụng của tích có hướng:.       a , b [ a c 3.1. Điều kiện đồng phẳng của ba vectơ: và đồng phẳng  , b].c 0    [a, b]  c           [a, b].c 0  [a, b]  c  [ a, b]  a        [ a, b]  b a , b  c  Ta có và đồng phẳng. 1   S ABC   AB, AC  2 3.2. Diện tích tam giác ABC:     1 1  1  S ABC  AB. AC.sin BAC  AB . AC .sin( AB, AC )  [ AB, AC ] 2 2 2 Ta có:  SABCD   AB, AD  3.3. Diện tích hình bình hành ABCD: 1.

<span class='text_page_counter'>(2)</span>   S ABCD 2.S ABD   AB, AD  3.4. Thể tích khối hộp ABCD.ABCD:. VABCD . A ' B ' C ' D '.     [ AB, AD]. AA '.  Gọi H là hình chiếu vuông góc hợp bởi  của A’ trên mp(ABCD), là góc  [ AB, AD] cùng phương với A ' H nên AA’ và A’H.    Vì cos   cos( AA ',[ AB, AD ]) ABCD. A ' B ' C ' D '  A ' H .S ABCD  AA '.cos  .S ABCD  Ta có V       AA ' . [ AB, AD] . cos( AA ',[ AB, AD]) AA '.[ AB, AD ] =. 1     [ AB, AC ]. AD 6. VABCD 3.5. Thể tích tứ diện ABCD: Từ khối tứ diện ABCD ta dựng khối hộp ACED.BC’E’D’ 1 1 1   VABCD  VABC . DB ' C '  VABEC .DB ' E ' C '  [ AB, AC ]. AD 3 6 6 Ta thấy.  [ IM , u ] d ( M , )   u. 3.6. Khoảng cách từ một điểm M đến đường thẳng  :  u  Giả sử đường thẳng qua I và có véc tơ chỉ phương  . Gọi H là hình  chiếu vuông góc của M trên  , J là điểm xác định bởi IJ u . Ta có:     [ IM , IJ ] [ IM , u ] 2S d ( M , ) MH  MIJ     IJ u u. 3.7. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau:.    [u1 , u2 ].M 1M 2  h [u1 , u2 ]. 2.

<span class='text_page_counter'>(3)</span>  u d M Giả sử 1 qua 1 và có véc tơ chỉ phương 1 , d 2 qua M 2 và có véc u tơ chỉ phương 2 . Dựng hình hộp M 1 A1 B1C1.M 2 A2 B2C2 như hình bên. Khoảng cách giữa hai đường d1 và d 2 bằng chiều cao h của. khối hộp. h Ta có. Vhh S M1 A1B1C1.     [ M 1 A1 , M 1C1 ].M 1M 2 [u1 , u2 ].M 1M 2    h [ M 1 A1 , M 1C1 ] [u1 , u2 ] . 4. Một số bài toán vận dụng tích có hướng: Những bài toán về tích có hướng xoay quanh các chủ đề:  Xét sự đồng phẳng của ba véc tơ  Tính diện tích của một tam giác, tứ giác  Tính thể tích của một tứ diện, hình lăng trụ, hình hộp  Tìm tọa độ các điểm đặc biệt trong tam giác  Tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng;  Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau -----------------------    a (4;3; 4), b (2;  1;1), c (1; 2; z ), d ( 3;1; 2) Bài 1: Trong không gian Oxyz cho      a, b  a  và tìm z để các véc tơ , b, c đồng phẳng a) Tính     b) Chứng minh các véctơ a, b, d không đồng phẳng   c) Hãy biểu thị véc tơ u ( 13;14;15) theo các véc tơ a, b, d Hướng dẫn, đáp số:    3 4 4 4 4 3  [ a, b]  ; ;  (7; 4;  10)    1 1 1 2 2 1  a) Ta có: , [ a, b].c 15  10z    3    [ a, b].c 0  z  a, b, c đồng phẳng 2       b) [ a, b].d  37 0  a, b, d không đồng phẳng. 4m  2n  3 p  13 m 2   3m  n  p 14  n  3      4m  n  2 p 15  p 5 u  ma  nb  pd  c) Giả sử , m, n, p   , ta được hệ  Bài 2: Cho ba điểm A(2;0;0), B(0;3;1), C(-1;4;2). a) Chứng minh: A,B,C là 3 đỉnh của một tam giác b) Tính diện tích tam giác và độ dài trung tuyến AM. c) Tính độ dài đường cao kẻ từ đỉnh A của tam giác ABC. Hướng dẫn, đáp   số:    AB ( 2;3;1), AC ( 3; 4; 2)   AB, AC  (2;1;1) 0 a) Ta có nên AB, AC không cùng phương do đó A, B, C tạo thành 3 đỉnh của tam giác. 1  6 83 S ABC   AB, AC   AM  2 2 ; 2 b) c) Tính theo các cách sau: 3.

<span class='text_page_counter'>(4)</span> AH  Cách 1:. 2 S ABC 6  2  2 BC 1  (4  3) 2  (2  1) 2 . BC ( 1;1;1) Cách 2: (Áp  dụng 3.6), đường thẳng BC qua B và có véc tơ chỉ phương  AB, AC  6    AH    2 3 BC    BH t BC    AH .BC 0. Cách 3: Xác định tọa độ H , sau đó tính độ dài AH. Tọa độ H xác định từ hệ điều kiện: Bài 3: Cho các điểm A(1;0;1), B(0;0;2), C(0;1;1), D(-2;1;0) a) Chứng minh: A,B,C,D là các đỉnh của một tứ diện b) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AC và BD c) Tính thể tích của tứ diện ABCD và khoảng cách từ A đến mp(BCD) Hướng dẫn, đáp số:           AB , AC  (  1;  1;  1) AB, AC  . AD 3 0 AC ( 1;1;0), AD( 3;1;  1) ,   a) Ta có AB ( 1;0;1), vì   nên các véc tơ AB, AC , AD không đồng phẳng. Do đó A, B, C, D là 4 đỉnh của  tứ diện. [ AC , BD]. AB h   [ AC , BD] b) Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau AC và BD là . Ta có (  2).(  1)  (  2).0  1.1  h 1 2 2 2  AC , BD  ( 2;  2;1) (  2)  (  2)  1   nên Nhận xét: có thể tính h theo cách xác định đoạn vuông góc chung hoặc tính h bằng khoảng cách từ AC đến () chứa BD và () //AC. Tuy nhiên 2 cách này dài hơn cách tính trên. Bài 4: Cho tam giác ABC có A(-2;0;1), B(0;-1;1), C(0;0;-1) a) Tìm tọa độ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC và tính bán kính của đường tròn đó b) Tìm tọa độ trực tâm H của tam giác ABC Hướng dẫn, đáp số:    AB(2;  1;0), AC (2;0;  2),  AB, AC  (2; 4; 2) Tính được  a) I(x;y;z) là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC khi và chỉ khi IA=IB, IA=IC và AB, AC , AI  AI 2 BI 2  2 2  AI CI  5 1 1    I   ; ;    AB , AC . AI  0   đồng phẳng, do đó ta có:   . Từ đó tính được  6 6 6  b) Gọi H(x;y;z) là trực tâm tam giác khi và chỉ khi AB  CH , BC  AH và AB, AC , AH đồng phẳng   AB.CH 0      BC. AH 0  1 2 2    I   ; ;    AB , AC . AH  0    . Từ đó tính được  3 3 3  Bài tập: Bài 1: Cho tam giác ABC có A(0;0;2), B(0;1;0), C(1;2;3) a) Tìm tọa độ S thuộc Oy để tứ diện SABC có thể tích bằng 2 4.

<span class='text_page_counter'>(5)</span> b) Tìm tọa độ hình chiếu H của O trên mp(ABC) Bài 2: Cho 4 điểm A(2;5;-4), B(1;6;3), C(-4;-1;12), D(-2;-3;-2) a) Chứng minh: ABCD là một hình thang b) Tính diện tích hình thang ABCD Bài 3: Cho tam giác ABC có A(0;4;1), B(1;0;1), C(3;1;-2) a) Tìm tọa độ trực tâm H của tam giác ABC b) Tìm tọa độ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Bài 4: Cho hai điểm A(2;0;  1), B(0;  2;3) a) Tìm tọa độ C thuộc Oy để tam giác ABC có diện tích bằng 11 b) Tìm tọa độ D thuộc (Oxz) để ABCD là hình thang có cạnh đáy AB.. 5.

<span class='text_page_counter'>(6)</span>