DETHI HSG TOAN9 CO DAP AN NH 20122013

<span class='text_page_counter'>(1)</span>Phßng gD&§T hiÖp hßa –b¾c giang Trêng THCS §øc Th¾ng đề thi học sinh giỏi năm học 2012-2013 M«n To¸n líp 9 Thêi gian: 150 phót Ngµy lµm bµi : 24/11/2012 Bµi 1. (1,5 ®iÓm) Thực hiện tính: √2 x+ 2 √ x 2 − 4 √ x 2 − 4 + x+ 2. với. x=2 √6 +3. Bài 2 (2,0 điểm). Cho hµm sè: y = ( 3k-1)x – 2k (1) a)Tìm k và vẽ đồ thị (d) của hàm số (1) biết (d) đi qua điểm A ( 2; 2 ). b) Tìm giao điểm C và B của đờng thẳng (d) với trục hoành và trục tung. c) Tính diện tích tam giác OBC và độ dài đờng cao OH của tam giác BOC. Bµi 3: (2,0 ®iÓm) 2.  a b    ab a) Chøng minh r»ng víi hai sè thùc bÊt k× a, b ta lu«n cã:  2  . Dấu đẳng thức xảy ra khi nào ? b) Cho ba sè thùc a, b, c kh«ng ©m sao cho a  b  c 1 . Chứng minh: b  c 16abc . Dấu đẳng thức xảy ra khi nào ? 6 6 c) Víi gi¸ trÞ nµo cña gãc nhän  th× biÓu thøc P sin   cos  cã gi¸ trÞ bÐ nhÊt ? Cho biÕt gi¸ trÞ bé nhất đó. Bµi 4: (1,5 ®iÓm) Mét ®oµn häc sinh ®i c¾m tr¹i b»ng « t«. NÕu mçi « t« chë 22 ngêi th× cßn thõa mét ngêi. NÕu bít ®i mét ô tô thì có thể phân phối đều tất cả các học sinh lên các ô tô còn lại. Hỏi có bao nhiêu học sinh đi cắm trại vµ cã bao nhiªu « t« ? BiÕt r»ng mçi « t« chØ chë kh«ng qu¸ 30 ngêi. Bµi 5 ( 3,0 ®iÓm ) 1) Cho hình thoi ABCD cạnh a , gọi R và r lần lợt là các bán kính các đờng tròn ngoại tiếp các tam giác ABD vµ ABC. 1 1 4  2  2 2 r a a) Chøng minh : R 8R 3r 3 ( R 2  r 2 ) 2 ; ( KÝ hiÖu S ABCD lµ diÖn tÝch tø gi¸c ABCD ) b) Chøng minh : BC 0  2) Cho tam gi¸c ABC c©n t¹i A cã BAC 108 .Chøng minh : AC lµ sè v« tØ. S ABCD .

<span class='text_page_counter'>(2)</span> Phßng gD&§T hiÖp hßa –b¾c giang Trêng THCS §øc Th¾ng. Hd chÊm §Ò thi kh¶o s¸t häc sinh giái M«n: To¸n 9 Bµi Bµi 1. (1,5 ®). Cho ®iÓm. S¬ lîc lêi gi¶i x  2  x  2  2 ( x  2)( x  2). . ( x  2)( x  2)  x  2. . ( x  2  x  2) 2 x  2( x  2  x  2). . 1 x2. √ 3+ √ 2 ¿2 x=2 √6 +3 vào được:. Thay. Bµi 2 (2,0®). 0,75. 0,75. ¿ ¿ √¿. 1 1 = √2 √ 6+2+3 ¿. a) §å thÞ d cña hµm sè (1) ®i qua A (2;2) ta cã 2 = ( 3k – 1 ) -2k <=> k = 1 đồ thị y = 2x - 2 b) Vẽ đồ thị y = 2x - 2 Víi x = 0 => y = -2 => giao diÓm cña d víi trôc Oy lµ B( 0; - 2) Víi y = 0 => x = 1 => giao ®iÓm cña d víi trôc Ox lµ C ( 1; 0). 0,5 0.5 0,5. O C 1 H. c) Tính đợc diện tích tam giác BOC là 1 ( đơn vị diện tích ). 2 √5 5. ; OH =. B2. 0,25. ( §¬n vÞ dµi ). 0,25. a, Ta cã: 2. a 2  2ab  b 2 a 2  2ab  b 2  a b   ab   ab    4 4  2   Bµi 3 (2,0®).  a  b 4. 2. 0, a, b  R 2. 2  a b    ab, a, b  R   a  b  4ab, a, b  R VËy:  2  Dấu đẳng thức xảy ra khi a b b ,Theo kÕt qu¶ c©u 3.a, ta cã: 2 2  a  b  c   a   b  c   4a  b  c  mµ a  b  c 1 (gi¶ thiÕt) 2 1 4a  b  c   b  c 4a  b  c  nªn: (v× a, b, c kh«ng ©m nªn b + c kh«ng ©m) 2  b  c  4bc (kh«ng ©m) Nhng: Suy ra: b  c 16abc .. 0,25. 0,25 0,25. 0,25 0,25.

<span class='text_page_counter'>(3)</span>  a b  c 1 1  b c  , a   4 2 Dấu đẳng thức xảy ra khi:  b c c , Ta cã: 3. P sin 6   cos 6   sin 2     co s 2  . 3. P  sin 2   cos 2    sin 4   sin 2  cos 2   cos 4   2. P  sin 2   cos 2    3sin 2  cos 2  1  3sin 2  cos 2  ¸p dông kÕt qu¶ c©u 3.a, ta cã: 2.  sin 2   cos 2   4sin 2  cos 2   1 4sin 2  cos 2   sin 2  cos 2   P 1  3sin 2  cos 2  1  Suy ra: Pmin . Bµi 4 (1,5®). Bµi 5 (3,0®). 1a. 1b. 1 4. 3 1  4 4. 1 4 khi vµ chØ khi: sin 2  cos 2   sin  cos  (v×  lµ gãc nhän). 0,25. 0,25. Do đó: sin  0,25  1  tg 1   450 cos  + Gäi sè « t« lóc ®Çu lµ x ( x nguyªn vµ x  2) Sè häc sinh ®i c¾m tr¹i lµ: 22x + 1. 0,25 + Theo giả thiết: Nếu số xe là x  1 thì số học sinh phân phối đều cho tất cả các xe, 0,25 mçi xe chë sè häc sinh lµ y (y lµ sè nguyªn vµ 0 < y  30). 22 x  1 23 22   x  1 y 22 x  1  y  x 1 x 1 + Do đó ta có phơng trình: 0,25 + Vì x và y đều là số nguyên dơng, nên x  1 phải là ớc số của 23. Mµ 23 nguyªn tè, nªn: x  1 1  x 2 hoÆc x  1 23  x 24  NÕu x 2 th× y 22  23 45  30 (tr¸i gi¶ thiÕt) 0,25 y  22  1  23 x  24  NÕu th× < 30 (tháa ®iÒu kiÖn bµi to¸n). 0,25 + VËy sè « t« lµ: 24 vµ tæng sè häc sinh ®i c¾m tr¹i lµ: 22 24  1 23 23 529 häc sinh. 0,25 Tứ giác ABCD là hình thoi nên AC là đờng trung trực của đoạn thẳng BD,BD là đờng B E trung trùc cña AC.Do vËy nÕu gäi M,I,K lµ giao điểm của đờng trung trực của đoạn M th¼ng AB víi AB,AC,BD th× ta cã I,K lµ O tâm đờng tròn ngoại tiếp các tam giác C A I ADB,ABC Từ đó ta có KB = r và IB = R.Lấy một K điểm E đối xứng với điểm I qua M , Ta có BEAI là hình thoi ( vì có hai đờng chéo EI D vµ AB vu«ng gãc víi nhau vµ c¾t nhau t¹i trung điểm mỗi đờng ) 0,25 0,25 0 0       Ta cã BAI EBA mµ BAI  ABO 90  EBA  ABO 90 0,25 0  Xét  EBK có EBK 90 ,đờng cao BM.Theo hệ thức trong tam giác vuông ta có 1 1 1   2 2 BE BK BM 2 0,25 a 1 1 4  2 2  2 R r a (§pcm) Mµ BK = r , BE = BI = R; BM = 2 Nªn 0,25 0    XÐt AOB vµ AMI cã AOB  AMI 90 vµ A chung AOB AMI.

<span class='text_page_counter'>(4)</span> . 0,25. AO AM AM . AB AB 2   AO   AB AI AI 2R. BO  Chứng minh tơng tự ta đợc. BM . AB AB 2  BK 2r. AB 4 4 Rr Ta cã Mà theo định lí Pi ta go trong tam giác vuông AOB ta có 2 2 1 1  1 r AB 2 OA2  OB 2  AB 4  2  2   AB 2  4R 2 4 R r  R  r2 8R 3r 3 S ABCD  2 2 2 (R  r ) Từ đó ta có : S ABCD 2. AO.OB 2.. 2. 0,25. 0,25. 0,25. B. A. x. C. D.  Kẻ tia Cx sao cho CA là tia phân giác của BCx , tia Cx cắt đờng thẳng AB tại D.Khi 0   đó Ta có DCA  ACB 36  DCA cân tại C , BCD cân tại B  AB  AC DC .Theo tính chất đờng phân giác trong tam giác BCD ta có CB AB BC CA    ; BC BD CD AD CA BD  CA BC CA    BC ( BC  CA) CA2  BC 2  BC.CA  CA2 0 CA BC  CA 2. 0,25. 0,25. 2. 5  BC   BC   BC 1           1 0   4  CA   CA   CA 2 . BC 1  5 BC BC   0) CA 2 ( V× CA .VËy AC lµ sè v« tØ. 0,25.

<span class='text_page_counter'>(5)</span>