Mot so Phuong phap khac giai PT vo ti

<span class='text_page_counter'>(1)</span>Dạng 7 VII. MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP KHÁC Ngoài những phương pháp thường gặp ở trên, đôi khi ta cũng có những lời giải khác lạ đối với một số phương trình vô tỷ. Cũng có thể ta sử dụng kết hợp các phương pháp ở trên để giải một phương trình. 1. Dùng tọa độ của véc tơ r r Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, Cho các véc tơ: u = ( x1; y1 ) , v = ( x2 ; y2 ) khi đó ta có. r r r r u+v ≤ u + v ⇔. 2. 2. + ( y1 + y2 ) ≤ x12 + y12 + x22 + y22 r r x y Dấu bằng xẩy ra khi và chỉ khi hai véc tơ u, v cùng hướng ⇔ 1 = 1 = k ≥ 0 , chú x2 y 2. ( x1 + x2 ). ý tỉ số phải dương. rr r r r r u.v = u . v .cosα ≤ u . v , dấu bằng xẩy ra khi và chỉ khi cos α = 1 ⇔ u cùng hướng v. Ví dụ 1. Giải phương trình:. x 2 − 4 x + 20 + x 2 + 4 x + 29 = 97 .. r r Trong mặt phẳng tọa độ xét hai véc tơ a = ( x − 2; 4) và b = (− x − 2;5) . r r r Khi đó ta được a + b = (−4;9) , suy ra a + b = 97 và ta cũng có a = x 2 − 4 x + 20 , r r r r r r b = x 2 + 4 x + 29 . Phương trình trở thành a + b = a + b , đẳng thức đó xảy ra khi a và r x − 2 −x − 2 2 b cùng chiều ⇔ = . Từ đó ta được phương trình có một nghiệm là x = . 4 5 9 2. Sử dụng tính chất đặc biệt về tam giác Nếu tam giác ABC là tam giác đều , thì với mọi điểm M trên mặt phẳng tam giác, ta luôn có MA + MB + MC ≥ OA + OB + OC với O là tâm của đường tròn .Dấu bằng xẩy ra khi và chỉ khi M ≡ O . Cho tam giác ABC có ba góc nhọn và điểm M tùy ý trong mặt mặt phẳng Thì MA+MB+MC nhỏ nhất khi điểm M nhìn các cạnh AB,BC,AC dưới cùng một góc 1200. Ví dụ 2. Giải phương trình. x 2 − 3 2.x + 9 + x 2 − 4 2.x + 16 = 5 .. Nếu x ≤ 0 thì Vt ≥ 3 + 4 = 7 > 5 = Vp (phương trình không có nghiệm). Nếu x > 0 thì ta xét tam giác vuông ABC với A = 900 , AB = 4; AC = 3. Gọi AD là phân giác của góc A, lấy M thuộc tia AD. Đặt AM = x, xét ∆ACM ⇒ CM 2 = x 2 + 9 − 3 2.x và 2 2 ∆ABM ⇒ BM = x + 16 − 4 2.x . Từ đó suy ra Vt = CM + BM ≥ BC = 5 . Dấu đẳng thức xảy ra khi M ≡ D ,hay. xét.

<span class='text_page_counter'>(2)</span> CM 3 = BM 4 ⇔ 16 CM 2 = 9 BM 2 ⇔ 16 x 2 + 16.9 − 48 2. x = 9 x 2 + 16.9 − 36 2. x ⇔ 7 x − 12 2. x = 0 ⇔ x=. 12 2 7. 12 2 . 7 3. Phương pháp sử dụng tính liên tục hàm số để chứng minh số nghiệm phương trình Ví dụ 3. CMR phương trình sau có 3 nghiệm phân biệt thuộc (-7,9): 2 x + 63 1 − x = 3 Vậy phương trình có nghiệm là x =. đặt t= 3 1 − x có pt 2t3 – 6t + 1 =0 hàm số này liên tục trên R ,có f(-2)f(0)<0 có 1ng t∈(-2,0) suy ra có 1 ng x∈ (1,9) , f(0)f(1)<0 có 1ng t∈ (0,1) suy ra có 1ng x∈ (0,1) , f(1)f(2)< 0 có 1ng t∈ (1,2) suy ra có 1 ng x∈ (-7,0) Vậy phương trình đã cho có đúng 3 nghiệm phân biệt thuộc ( -7,9). 4. Phương pháp sử dụng đạo hàm bậc 2 Tìm tập xác định của phương trình Xét hàm số f trên miền D ,tồn tại đạo hàm bậc 2 suy ra hàm số lồi hoặc lõm trên miền. Suy ra phương trình không có quá 2 nghiệm nhẩm 2 nghiệm thuộc miền D Ví dụ 4. Giải phương trình: 3 x + 1 = 3 x 2 − 8 x + 3 ⇔ đ/k x≥ - 1 PT tương đương 3 x + 1 − 3 x 2 + 8 x − 3 = 0 xét hàm số f(x) = 3 x + 1 − 3 x 2 + 8 x − 3 trên 3 3 tập x/đ x ≥ -1, f , ( x) = − 6 x + 8 ⇒ f ,,`` ( x) = − − 6 < 0 vậy hàm số đó 2 x +1 4 ( x + 1) 2 có đồ thịlồi trên txđ. Do đó phương trình nếu có nghiệm thì không quá 2 nghiệm ta dễ thấy x = 0, x = 3 là nghiệm Ví dụ 5. Giải phương trình: x + 3 x + 1 = x 2 + x + 1 điều kiện x ≥ 0 phưong trình tương. đương với x + 3 x + 1 − x 2 − x − 1 = 0 xét hàm số f(x) = x + 3 x + 1 − x 2 − x − 1 tập xác định x ≥ 0 1 3 1 9 f , ( x) = + − 2 x − 1 ⇒ f ,, ( x) = − − − 2 < 0 đồ thị 2 2 x 2 3x + 1 4 x 4 (3 x + 1) 2 hàm số lồi trên tạp xác định vì vậy phương trình không có quá 2 nghiệm ,dễ thấy x = 0 ,x = 1 là nghiệm. 5. Một số phương trình không mẫu mực.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> Ví dụ 6. Giải phương trình:. 6 10 + = 4 đ/k x < 2 2−t 3−t. 6 6 6 > 0 ⇒ 2 − x = 2 ⇔ 3 − x = 1+ 2 2− x t t t ≤ 4 10t 2  khi đócó PT: t4-8t3+12t2-48t+96=0 suy ra Pt thành t+ 2 = 4 ⇔  10t 2 2 t +6 = (4 − t )  2 t + 6 (t-2)(t3-6t2-48)=0 Có nghiệm t=2 suy ra x=1/2 cònphương trình: t3-6t2-48=t2(t-6) -48 < 0 với o<t≤ 4 vô nghiệm, vậy pt đã cho có 1 nghiệm x=1/2 đặt t =. Ví dụ 7. Giải phương trình:. 3x 2 − 7 x + 3 − x 2 − 2 = 3x 2 − 5 x − 1 − x 2 − 3x + 4 tưong. 3x 2 − 7 x + 3 − 3x 2 − 5 x − 1 = x 2 − 2 − x 2 − 3x + 4 tương đương với − 2x + 4 3x − 6 = 2 2 2 3x − 7 x + 3 + 3x − 5 x − 1 x − 2 + x 2 − 3x + 4 *) với mọi x > 2 không thể là nghiệm vì vế trái < 0,vế phải > 0 *) với mọi x < 0 cũng không thể là nghiệm *) với x = 2 là nghiệm vậy phương trình chỉ có nghiệm x = 2. đương với. Bài tập. (. ). 1). 2 x2 − 2 x + 1 + 2 x2 −. 3 −1 x + 1 + 2x2 +. 2). x 2 − 4 x + 5 − x 2 − 10 x + 50 = 5. (. ). 3 +1 x +1 = 3.

<span class='text_page_counter'>(4)</span>