17 Chuyen de to hop va phep dem

<span class='text_page_counter'>(1)</span>CHUYÊN ðỀ: CÁC BÀI TOÁN VỀ TỔ HỢP, CHỈNH HỢP VÀ PHÉP ðẾM CHỦ ðỀ 1: CHỨNG MINH CÁC HỆ THỨC TỔ HỢP A. Lý thuyết cơ bản: 1. Pn = n ! = 1.2.3...n n! 2. Cnk = , (0 ≤ k ≤ n, n > 0) k !(n − k )! n! 3. Ank = , (0 ≤ k ≤ n, n > 0) (n − k )! 4. Cnk = Cnn − k 5. Cnk + Cnk +1 = Cnk++11 B. Các dạng bài tập Bài: Chứng minh ñẳng thức Cnk + 3Cnk −1 + 3Cnk − 2 + Cnk −3 = Cnk+ 3 , 3 ≤ k ≤ n 14 15 16 Bài: Tính tổng S = C30 − C30 + C30 − ... − C3029 + C3030 0 2006 1 2005 2 2004 k 2006 − k 2006 0 Bài: S = C2007 C2007 + C2007 C2006 + C2007 C2005 + ... + C2007 C2007 − k + ... + C2007 C1 k 2006 − k k Hướng dẫn: C2007 C2007 − k = 2007.C2006. Bài: (KB-08). Chứng minh:. n +1  1 1  1 +  k + k +1  = k với n, k ∈ ℤ , 0 ≤ k ≤ n n + 2  Cn +1 Cn +1  Cn. Bài: (ðH HV-06). Chứng minh rằng với ∀n ≥ 2 :. 1 1 1 1 n −1 + 2 + 2 + ... + 2 = 2 A2 A3 A4 An n. Bài: Cho k,n là các số nguyên và 4 ≤ k ≤ n . CMR: Cnk + 4Cnk −1 + Cnk − 2 + 4Cnk −3 + Cnk − 4 = Cnk+ 4 Cn2 Cn3 Cnn + 3 + ... + n = Cn2+1 Cn1 Cn2 Cnn −1 Bài: Cho n ≥ 2 là số nguyên, CMR: Pn = 1 + P1 + 2 P2 + 3P3 + ... + ( n − 1) Pn −1 ( có thể CM quy nạp). Bài: Chứng minh rằng với mọi số nguyên n ≥ 1 , ta có: Cn1 + 2. CHỦ ðỀ 2: GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LIÊN QUAN ðẾN SỐ TỔ HỢP, SỐ CHỈNH HỢP A. Lý thuyết cơ bản: Với các phương trình, BPT thuộc dạng này, cách giải như sau:
ðặt ñiều kiện.
Sử dụng các công thức về số tổ hợp, số chỉnh hợp, số hoán vị ñưa phương trình ñã cho về phương trình ñại số.
Nghiệm tìm ñược phải ñối chiếu với ñiều kiện ban ñầu, chú ý ñến tính nguyên của nghiệm B. Bài tập Bài: Giải phương trình :. Px Ax2 + 72 = 6( Ax2 + 2 Px ). Bài: Giải phương trình:. C 1x + 6C x2 + 6C x3 = 9 x 2 − 14 x. Bài: Giải phương trình:. x 2 C xx−−14 = A42 C x3−1 − xC xx−−14 5 C x4−1 − C x3−1 − Ax2− 2 ≤ 0 4 y y 2 Ax + 5C x = 90  y 5 Ax + 2C xy = 80. Bài: Giải bất phương trình: Bài: Giải hệ phương trình:. 1.

<span class='text_page_counter'>(2)</span> Bài: Giải hệ phương trình:. a). C xy++11 = C xy+1  y 3C x +1 = 5C xy+−11. ( x ≥ y). 1  x x C y : C y + 2 = 3 b)  C x : A x = 1 y  y 24. Bài: Tìm các số nguyên dương m, n thỏa mãn: C nm++11 : C nm+1 : C nm+−11 = 5 : 5 : 3. An4+1 + 3 An3 , biết rằng Cn2+1 + 2Cn2+ 2 + 2Cn2+3 + Cn2+ 4 = 149 (n + 1)! ðS: M=3/4 Bài : (KB-06). Cho tập A gồm n phần tử ( n ≥ 4) . Biết rằng số tập con gồm 4 phần tử của A bằng 20 lần số tập con gồm 2 phần tử của A. Tìm k ∈ {1, 2,...n} sao cho số tập con gồm k phần tử của A lớn nhất. ðS: Tập hợp A có 18 phần tử; k=9 Bài :(KB-02). Cho ña giác ñều A1 A2 ... A2 n (n ≥ 2) nội tiếp ñường tròn (O). Biết rằng số tam giác có các ñỉnh là 3 trong số 2n ñỉnh A1 , A2 ,... A2 n nhiều gấp 20 lần số hình chữ nhật có các ñỉnh là 4 trong số 2n ñỉnh A1 , A2 ,... A2 n . Tìm n. ðS: n=8 Nhận xét: trong 3 thí dụ trên, dạng ñầu bài không nói gì ñến giải phương trình liên quan ñến số tổ hợp, số chỉnh hợp nhưng thực chất bài toán chính là ñiều ấy. Bài : (KD-05). Tính giá trị của BT M =. Bài : (CðSPHCM-05). Tìm tất cả các số tự nhiên x,y sao cho: Axy −1 : Axy−1 : C xy−1 = 21: 60 :10 ðS: x=7,y=3 x x 2 Ay + 5C y = 90 ðS: (2;5) Bài : (Cð CNHN-04).  x x 5 Ay − 2C y = 80 1 2 6 Bài : A2 x − Ax2 ≤ C x3 + 10 ðS: x=3,x=4 2 x Bài : Cho tập hợp A gồm n phần tử n>4. Tìm n, biết rằng trong số các tập con của A có ñúng 16n tập con có số phần tử là số lẻ. ðS: n=8 3 n−2 Bài: DB KB 02. Tìm số n nguyên dương thỏa mãn BPT An + 2Cn ≤ 9 Bài:DB KD 03. Tìm số tự nhiên n thỏa mãn Cn2Cnn − 2 .2Cn2Cn3 + Cn3Cnn −3 = 100 Bài: DB KB 05. Tìm số nguyên n lớn hơn 1 thỏa mãn 2 Pn + 6 An2 − Pn An2 = 12.  Ax2 + C y3 = 22 Bài: DB-KB-07. Tìm x, y ∈ N thỏa mãn  3 2  Ay + Cx = 66 CHỦ ðỀ 3: CÁC BÀI TOÁN VỀ PHÉP ðẾM A. Lý tuyết cơ bản: 1. Hai quy tắc ñếm cơ bản: 1.1 Qui tắc cộng: Một công việc nào ñó có thể ñược thực hiện theo một trong hai phương án A hoặc B. Nếu phương án A có m cách thực hiện, phương án B có n cách thực hiện và không trùng với bất kì cách nào trong phương án A thì công việc ñó có m + n cách thực hiện. 1.2. Qui tắc nhân: Một công việc nào ñó có thể bao gồm hai công ñoạn A và B. Nếu công ñoạn A có m cách thực hiện và ứng với mỗi cách ñó có n cách thực hiện công ñoạn B thì công việc ñó có m.n cách thực hiện. 2. ðịnh nghĩa và công thức tính số hoán vị, tổ hợp chập k, chỉnh hợp chập k của một tập hợp 2.1. Hoán vị (không lặp): 2.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> Một tập hợp gồm n phần tử (n ≥ 1). Mỗi cách sắp xếp n phần tử này theo một thứ tự nào ñó ñược gọi là một hoán vị của n phần tử. Số các hoán vị của n phần tử là: Pn = n! 2.2 Chỉnh hợp (không lặp): Cho tập hợp A gồm n phần tử. Mỗi cách sắp xếp k phần tử của A (1 ≤ k ≤ n) theo một thứ tự nào ñóñược gọi là một chỉnh hợp chập k của n phần tử của tập A. Số chỉnh hợp chập k của n phần tử: n! Ank = n( n − 1)( n − 2)...( n − k + 1) = ( n − k )! • Công thức trên cũng ñúng cho trường hợp k = 0 hoặc k = n. • Khi k = n thì Ann = Pn = n! 2.3 Tổ hợp: Cho tập A gồm n phần tử. Mỗi tập con gồm k (1 ≤ k ≤ n) phần tử của A ñược gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử. n! • Số các tổ hợp chập k của n phần tử: Cnk = k !(n − k )! 0 • Qui ước: Cn = 1 • Tính chất: Cn0 = Cnn = 1. Cnk = Cnn − k Cnk = Cnk−−11 + Cnk−1 Cnk =. n − k + 1 k −1 Cn k. B. Một số bài tập ôn tập quy tắc ñếm, hoán vị, tổ hợp, chỉnh hợp: Quy tắc ñếm: Ví dụ 1: Từ tập hợp X = {a, b, c} chọn ra một tập hợp con. Hỏi có mấy cách. Ví dụ 2: Từ các số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 lập ñược mấy số tự nhiên có 3 chữ số phân biệt. Ví dụ 3: Số 12000 có bao nhiêu ước số tự nhiên. Ví dụ 4: Từ các phần tử của X = {0,1, 2,3, 4,5} có thể lập ñược bao nhiêu số tự nhiên chẵn gồm 3 chữ số khác nhau. Ví dụ 5: Từ các phần tử của X = {0, 2,3, 6,9} có thể lập ñược bao nhiêu số tự nhiên chẵn gồm 5 chữ số khác nhau. Hoán vị, tổ hợp, chỉnh hợp: Ví dụ 6: Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4 có thể lập ñược mấy số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau. Ví dụ 7: Sắp xếp 5 người vào một băng ghế có 7 chỗ. Hỏi có bao nhiêu cách. Ví dụ 8: Từ các phần tử của X = {0,1, 2,3, 4,5} có thể lập ñược mấy số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau. Ví dụ 9: Có 10 cuốn sách toán khác nhau chọn ra 4 cuốn. Hỏi có mấy cách. Ví dụ 10: Một nhóm có 5 nam và 3 nữ. Chọn ra 3 người sao cho trong ñó có ít nhất một nữ. Hỏi có bao nhiêu cách. Ví dụ 11: Hỏi có thể lập ñược bao nhiêu số tự nhiên có 4 chữ số sao cho trong mỗi số ñó, chữ số hàng ngàn lớn hơn hàng trăm, chữ số hàng trăm lớn hơn chữ số hàng trục và chữ số hàng trục lớn hơn chữ số hàng ñơn vị. C. Các dạng bài tập cơ bản 1. Các phương pháp chính ñể giải toán ñếm:
Phương pháp trực tiếp: “ hỏi gì, ñếm nấy”
Phương pháp gián tiếp: “ ñếm những cái không cần ñếm ñể biết những cái cần ñếm” 3.

<span class='text_page_counter'>(4)</span> 2. Hai loại bài toán ñếm:
Phép ñếm không lặp
Phép ñếm có lặp I. Phép ñếm không lặp + Phép ñếm không lặp, mỗi yếu tố cấu thành nên phần tử cần ñếm chỉ xuất hiện tối ña một lần, không có sự lặp lại + Hai quy tắc ñếm chính: Qui tắc cộng và qui tắc nhân. Loại 1: Sử dụng phương pháp trực tiếp giải các bài toán phép ñếm không lặp Chú ý: Chia cách thực hiện theo các bước sau: • Bước 1: Phân bài toán ra các trường hợp, trong mỗi trường hợp phân thành các giai ñoạn • Bước 2: Tùy các giai ñoạn cụ thể và giả thiết của bài toán ñể sử dụng quy tắc cộng, nhân, hoán vị, tổ hợp, chỉnh hợp. Ớ Bước 3: đáp án là tổng kết quả của các trường hợp trên. Bài 1: (KB-04). Trong một môn học, thầy giáo có 30 câu hỏi khác nhau gồm 5 câu hỏi khó, 10 câu hỏi trung bình và 15 câu hỏi dễ. Từ 30 câu hỏi ñó có thể lập ñược bao nhiêu ñề kiểm tra, mỗi ñề gồm 5 câu hỏi khác nhau, sao cho mỗi ñề nhất thiết phải có ñủ 3 loại câu hỏi: khó, TB, dễ và số câu hỏi dễ không ít hơn 2. ðS: 56875 Bài 2: (KB-05). Một ñội thanh niên tình nguyện có 15 người, gồm 12 nam và 3 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách phân công ñội thanh niên tình nguyện ñó về giúp ñỡ 3 tỉnh miền núi sao cho mỗi tỉnh có 4 nam, 1 nữ. ðS: 207900 Bài 3: (Cð CKLK-05). Cĩ 5 nhà tốn học nam, 3 nhà tốn học nữ và 4 nhà vật lí nam. Lập một đồn công tác 3 người cần có cả nam và nữ, cần có nhà toán học và nhà vật lí. Hỏi có bao nhiêu cách. ðS: 90 Bài 4: Có 6 quả cầu xanh ñánh số từ 1 ñến 6, 5 quả cầu ñỏ ñánh số từ 1 ñến 5, 4 quả cầu vàng ñánh số từ 1 ñến 4. Hỏi có bao nhiêu cách lấy 3 quả cầu vừa khác màu vừa khác số. ðS: 64 Bài 5: Từ các chữ số 0,1,2,3,4,5 có thể lập ñược bao nhiêu số tự nhiên mà mỗi số có 6 chữ số khác ðS: 192 nhau và chữ số 2 ñứng cạnh chữ số 3. Bài 6: Từ các chữ số 1,2,3,4,5,6,7,8,9 có thể lập ñược bao nhiêu số tự nhiên mỗi số gồm 6 chữa số khác nhau và tổng của các chữ số hàng chục, hàng trăm, hàng nghìn bằng 8. ðS: 1440 Bài 7: Từ các chữ số 0,1,2,3,4,5,6 có thể lập ñược bao nhiêu số tự nhiên chẵn có 5 chữ số khác nhau mà mỗi số lập ñược ñều nhỏ hơn 25000. ðS: 360 Loại 2: Sử dụng phương pháp gián tiếp giải các bài toán phép ñếm không lặp ðối với nhiều bài toán, phương pháp 1 rất dài. Do ñó ta sử dụng phương pháp loại trừ (phần bù) theo phép toán A ∪ A = X ⇒ X \ A = A • Bước 1: Chia yêu cầu của ñề thành hai phần là yêu cầu chung X (tổng quát) gọi là loại 1 và yêu cầu riêng A. Xét A là phủ ñịnh của A, nghĩa là không thỏa mãn yêu cầu riêng gọi là loại 2. • Bước 2: Tính số cách chọn loại 1 và loại 2 Ớ Bước 3: đáp số là số cách chọn loại 1 trừ ựi số cách chọn loại 2. Bài: (KD-06). ðội thanh niên xung kích của một trường PT có 12 học sinh gồm 5 học sinh lớp A, 4 học sinh lớp B và 3 học sinh lớp C. Cần chọn 4 học sinh ñi làm nhiệm vụ, sao cho 4 học sinh này thuộc không quá 2 trong 3 lớp trên. Hỏi có bao nhiêu cách chọn như vậy. ðS: 225 Bài: (Cð SPHN 05). Trong một tổ HS của lớp 12A có 8 nam và 4 nữ. Thầy giáo muốn chọn 3 học sinh ñể trực nhật, trong ñó phải có ít nhất một học sinh nam. Hỏi thầy giáo có bao nhiêu cách chọn. ðS: 216 4.

<span class='text_page_counter'>(5)</span> Bài: (Cð KA-04). Một lớp học có 30 học sinh, trong ñó có 03 cán bộ lớp. Hỏi có bao nhiêu cách chọn 3 em trong lớp ñể trực tuần sao cho trong 3 em ñó luôn có cán bộ lớp. ðS: 1135. Bài : Một hộp ñựng 4 viên bi ñỏ, 5 viên bi trắng và 6 viên bi vàng. Người ta chọn ra 4 viên từ trong hộp ñó. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ñể số bi lấy ra không ñủ cả 3 màu? ðS: 645 Bài : Ở một trường tiểu học có 50 em là HSG, trong ñó có 4 cặp em sinh ñôi. Cần chọn ra 3 học sinh trong số 50 em ñể ñi dự trại hè. Hỏi có bao nhiêu cách chọn mà trong nhóm 3 em ñược chọn không có cặp anh em sinh ñôi nào? ðS: 19408 Bài : Cho hình thập giác lồi. Hỏi có thể lập ñược bao nhiêu tam giác có ñỉnh là ñỉnh của thập giác lồi, nhưng cạnh của tam giác không phải là cạnh của thập giác lồi? ðS: 50 Bài: Một thầy giáo có 12 cuốn sách ñôi một khác nhau, trong ñó có 5 cuốn sách văn học, 4 cuốn âm nhạc và 3 cuốn hội họa (các cuốn ñôi một khác nhau). Ông muốn lấy ra 6 cuốn và ñem tặng cho 6 học sinh, mỗi học sinh một cuốn sao cho sau khi tặng sách xong, mỗi một trong 3 thể loại Văn học, Âm nhạc, Hội họa ñều còn lại ít nhất một cuốn. Hỏi có bao nhiêu cách tặng? ðS: 579.600 II. Phép ñếm có lặp ðể giải các bài toán về phép ñếm có lặp, người ta qui về phép ñếm không lặp và sử dụng các phương pháp giải ñã dùng. Bài 1: Cho tập hợp E={1;2;3;4;5;6}. Có thể lập ñược bao nhiêu số có 4 chữ số không yêu cầu ñôi một khác nhau (các chữ số này chọn từ tập E) sao cho mỗi số tạo thành ñều chia hết cho 4? ðS: 324 Nhận xét: - Ở ñây không ñòi hỏi các chữ số của số có 4 chữ số ñôi một khác nhau, nên cho phép các số ñã dùng rồi ñược dùng lại (phép ñếm có lặp) Bài 2: Có thể lập ñược bao nhiêu số có 6 chữ số sao cho số 1 có mặt tối ña 5 lần, các số 2,3,4 mỗi số có mặt tối ña một lần? ðS: 228 Bài 3: Biển số xe là một dãy gồm 2 chữ cái ñứng trước và 4 chữ số ñứng sau: các chữ cái ñược lấy từ 26 chữ cái A,B,C...,Z. Các chữ số ñược chọn từ 10 chữ số 0,1,2...,9. Có bao nhiêu biển số xe có hai chữ cái khác nhau, ñồng thời có ñúng 2 chữ số lẻ và 2 chữ số lẻ ñó giống nhau? ðS: 487500. Bài:KB 02. Cho ña giác ñều A1 A2 ... A2 n. BÀI TẬP TỰ GIẢI (n ≥ 2) nội tiếp ñường tròn (O). Biết rằng số tam giác có các. ñỉnh là 3 trong số 2n ñỉnh A1 , A2 ,... A2 n nhiều gấp 20 lần số hình chữ nhật có các ñỉnh là 4 trong số 2n. n=8 ñỉnh A1 , A2 ,... A2 n . Tìm n. Bài:TK 02. ðội tuyển học sinh giỏi của một trường gồm 18 em, trong ñó có 7 học sinh khối 12, 6 học sinh khối 11, 5 học sinh khối 10. Hỏi có bao nhiêu cách cử 8 em trong ñội ñi dự trại hè sao cho mỗi khối có ít nhất một em ñược chọn ðS: 41811 Bài:TK KA 03. Có bao nhiêu số tự nhiên chia hết cho 5 mà mỗi số có 4 chữ số khác nhau. ðS: 952 Bài:TK 03. Từ các chữ số 0,1,2,3,4,5 có thể lập ñược bao nhiêu số tự nhiên mà mỗi số có 6 chữ số khác nhau và chữ số 2 ñứng cạnh chữ số 3. ðS: 192 Bài:TK KB 03. Từ các chữ số 1,2,3,4,5,6 có thể lập ñược bao nhiêu số tự nhiên mỗi số có 6 chữ số và thỏa mãn ñiều kiện : 6 chữ số của mỗi số là khác nhau và trong mỗi số ñó tổng của 3 chữ số ñầu nhỏ hơn tổng của 3 chữ số cuối 1 ñơn vị. ðS: 108 Bài:TK 03. Trong một tổ gồm 7 học sinh nữ và 5 học sinh nam, cần chọn ra 6 em trong ñó số học sinh nữ nhỏ hơn 4. Hỏi có bao nhiêu cách chọn như vậy. ðS: 462 Bài:TK 03. Từ 9 chữ số 0,1,2…8 có thể lập ñược bao nhiêu số tự nhiên chẵn mà mỗi số gồm 7 chữ số khác nhau. ðS: 90720 Bài:KB 04. Trong một môn học, thầy giáo có 30 câu hỏi khác nhau gồm 5 câu hỏi khó, 10 câu hỏi trung bình và 15 câu hỏi dễ. Từ 30 câu hỏi ñó có thể lập ñược bao nhiêu ñề kiểm tra, mỗi ñề gồm 5 câu hỏi khác nhau , sao cho mỗi ñề nhất thiết phải có ñủ 3 loại câu hỏi: khó, TB, dễ và số câu hỏi dễ không ðS: 56875 ít hơn 2. Bài:TK KA 04. Cho tập hợp A gồm n phần tử ( n ≥ 7) . Tìm n biết số tập con gồm 7 phần tử của A bằng 2 lần số tập con gồm 3 phần tử của A 5.

<span class='text_page_counter'>(6)</span> Bài:KB 05. Một ñội thanh niên tình nguyện có 15 người, gồm 12 nam và 3 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách phân công ñội thanh niên tình nguyện ñó về giúp ñỡ 3 tỉnh miền núi sao cho mỗi tỉnh có 4 nam, 1 nữ. Bài:TK 05. Từ các chữ số 1,2,…,9 có thể lập ñược bao nhiêu số tự nhiên, mỗi số gồm 6 chữ số khác nhau và tổng của các chữ số hàng chục, hàng trăm, hàng nghìn bằng 8. Bài: TK 04. Cho tập hợp A gồm n phần tử n>4. Tìm n, biết rằng trong số các tập con của A có ñúng 16n tập con có số phần tử là số lẻ. Bài:DB KD 04. Có bao nhiêu số tự nhiên thỏa mãn ñồng thời các ñiều kiện sau: gồm ñúng 4 chữ số ñôi một khác nhau, là số chẵn; nhỏ hơn 2158 Bài:TK 05. Từ các chữ số 1,2..7 có thể lập ñược bao nhiêu số tự nhiên, mỗi số gồm 5 chữ số khác nhau và nhất thiết phải có hai chữ số 1 và 5. Bài:TK 05. Một ñội văn nghệ có 15 người gồm 10 nam và 5 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách lập một nhóm ñồng ca gồm 8 người, biết rằng trong nhóm ñó phải có ít nhất 3 nữ. Bài:TK 06. Từ các chữ số 0,1,2,3,4 có thể lập ñược bao nhiêu số tự nhiên có năm chữ số khác nhau? Tính tổng của tất cả các số tự nhiên ñó. Bài:KD 06.ðội thanh niên xung kích của một trường PT có 12 học sinh gồm 5 học sinh lớp A, 4 học sinh lớp B và 3 học sinh lớp C. Cần chọn 4 học sinh ñi làm nhiệm vụ, sao cho 4 học sinh này thuộc không quá 2 trong 3 lớp trên. Hỏi có bao nhiêu cách chọn như vậy. (03 cách) ðS: 225 Bài:TK 06. Một lớp học có 33 học sinh, trong ñó có 7 nữ. Cần chia lớp học thành 3 tổ, tổ 1 có 10 học sinh, tổ 2 có 11 học sinh, tổ 3 có 12 học sinh sao cho trong mỗi tổ có ít nhất 2 học sinh nữ. Hỏi có bao nhiêu cách chia như vậy. Bài:TK 06. Từ các chữ số 0,1,2,3,4,5,6 có thể lập ñược bao nhiêu số tự nhiên chẵn có 5 chữ số khác nhau mà mỗi số lập ñược ñều nhỏ hơn 25000. Bài:KB 06. Cho tập A gồm n phần tử ( n ≥ 4) . Biết rằng số tập con gồm 4 phần tử của A bằng 20 lần số tập con gồm 2 phần tử của A. Tìm k ∈ {1, 2,...n} sao cho số tập con gồm k phần tử của A lớn nhất. Bài:TK 06. Từ các chữ số 0,1,...6 có thể lập ñược bao nhiêu số chẵn, mỗi số có 5 chữ số khác nhau trong ñó có ñúng 2 chữ số lẻ và 2 chữ số lẻ ñó ñứng cạnh nhau. Bài:TK 06. Cho hai ñường thẳng song song d1 , d 2 . Trên ñường d1 có 10 ñiểm phân biệt, trên ñường d 2 có n ñiểm phân biệt ( n ≥ 2) . Biết rằng có 2800 tam giác có ñỉnh là các ñiểm ñã cho. Tìm n Bài:Cð KA 04. Một lớp học có 30 học sinh, trong ñó có 03 cán bộ lớp. Hỏi có bao nhiêu cách chọn 3 em trong lớp ñể trực tuần sao cho trong 3 em ñó luôn có cán bộ lớp. Bài:CðTCKT IV 05. Từ các chữ số 1,2,3,4,5 có thể lập ñược bao nhiêu số tự nhiên mà mỗi số có các chữ số khác nhau. Bài:CðKTKT 05. Từ các số 0,1,2,...6,7 có thể lập ñược bao nhiêu số tự nhiên chẵn có 5 chữ số khác nhau. Bài:CðSPHN 05. Trong một tổ HS của lớp 12A có 8 nam và 4 nữ. Thầy giáo muốn chọn 3 học sinh ñể trực nhật, trong ñó phải có ít nhất một học sinh nam. Hỏi thầy giáo có bao nhiêu cách chọn. Bài:CðCKLK 06. Cĩ 5 nhà tốn học nam, 3 nhà tốn học nữ và 4 nhà vật lí nam. Lập một đồn cơng tác 3 người cần có cả nam và nữ, cần có nhà toán học và nhà vật lí. Hỏi có bao nhiêu cách. Bài:DB KD 07. Từ các chữ số 0,1,2,3,4,5,6 có thể lập ñược bao nhiêu số tự nhiên chẵn mà mỗi số gồm 4 chữ số khác nhau. Bài:DB KA 07. Trên các cạnh AB,BC,CD,DA của hình vuông ABCD lẫn lượt cho 1,2,3 và n ñiểm phân biệt khác A,B,C,D. Tìm n biết số tam giác có 3 ñỉnh lấy từ n+6 ñiểm ñã cho là 439. Bài:DB KA 07. Có bao nhiêu số tự nhiên chẵn lớn hơn 2007 mà mỗi số có 4 chữ số khác nhau. Bài:DB KA 08. Cho tập hợp E = {0,1, 2,3, 4, 5, 7} . Hỏi có bao nhiêu số tự nhiên chẵn gồm 4 chữ số khác nhau ñược thành lập từ các chữ số của E. Bài : Từ các chữ số 1,2,3,4,5,6 có thể lập ñược bao nhiêu số tự nhiên, sao cho mỗi số có 6 chữ số và thỏa mãn ñiều kiện: sáu chữ số của một số là khác nhau và trong mỗi số ñó tổng của 3 chữ số ñầu nhỏ hơn tổng của 3 chữ số cuối 1 ñơn vị. ðS: 108 Bài : Từ 9 chữ số 0,1,2,3,4,5,6,7,8 có thể lập ñược bao nhiêu số tự nhiên chẵn mà mỗi số gồm 7 chữ số khác nhau? ðS: 90720 Bài : Từ các số 0,1,2,3,4,5,6 có thể lập ñược bao nhiêu số tự nhiên chẵn, mỗi số có 5 chữ số khác nhau trong ñó có ñúng 2 chữ số lẻ và 2 chữ số lẻ ñứng cạnh nhau. ðS: 360 6.

<span class='text_page_counter'>(7)</span> Bài : Cho 10 chữ số 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9. Lập ñược bao nhiêu số lẻ có 6 chữ số khác nhau nhỏ hơn 600000 xây dựng từ 10 số trên? ðS: 36960 Bài : Tìm tất cả các số tự nhiên có ñúng 5 chữ số sao cho trong mỗi số ñó chữ số sau lớn hơn chữ số ñứng liền trước? ðS: 126 Bài : Từ 5 bông hồng vàng, 3 bông hồng trắng, 4 bông hồng ñỏ ( các bông hoa này xem như ñôi một khác nhau), người ta muốn chọn ra một bó hoa gồm 7 bông. a) Có mấy cách chọn bó hoa trong ñó có ñúng một bông màu ñỏ b) Có mấy cách chọn bó hoa trong ñó có ít nhất 3 bông vàng và ít nhất 3 bông ñỏ? ðS: a) 112 ; b) 150 Bài : Có 12 cây giống 3 loại: xoài, mít, ổi, trong ñó có 6 cây xoài, 4 cây mít, 2 cây ổi. Muốn chọn ra 6 cây giống ñể trồng. Hỏi có bao nhiêu cách chọn sao cho số cây mít nhiều hơn số cây xoài. ðS: 172 Bài: Một ñội văn nghệ có 15 người gồm 10 nam, 5 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách lập một nhóm ñồng ca gồm 8 người, sao cho có ít nhất 3 nữ. ðS: 3690 Bài: Một lớp học có 30 học sinh, trong ñó có 3 cán bộ lớp. Hỏi có bao nhiêu cách chọn 3 em trong lớp ñể trực tuần sao cho trong 3 em ñó luôn luôn có cán bộ lớp? ðS: 1135 Bài: Trong một toa tàu có 2 ghế xa-lông ñối mặt nhau, mỗi ghế có 4 chỗ ngồi. Trong số 8 hành khách, có 3 người muốn ngồi nhìn theo hướng tàu chạy, 2 người muốn ngồi ngược lại, 3 người còn lại không có yêu cầu gì. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp chỗ ngồi? ðS: 1728 Bài: Số ñiện thoại của một thành phố có 6 chữ số ñược lựa chọn trong tập {0;1;2;,...;8;9}. a) Có bao nhiêu số ñiện thoại gồm 3 cặp hai số giống nhau (tức là có dạng ababab , chấp nhận cả số 000000. b) Có bao nhiêu số ñiện thoại mà số 6 có mặt 2 lần, số 2 và số 5 mỗi số có mặt ñúng một lần và 2 số còn lại có tổng chia hết cho 3. ðS: a) 100 ; b) 2700. 7.

<span class='text_page_counter'>(8)</span>