(Luận văn thạc sĩ) hệ phương trình bậc nhất hai ẩn chứ tham số trong dạy học toán lớp 10

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

Bùi Thị Cẩm An

HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN
CHỨA THAM SỐ
TRONG DẠY HỌC TOÁN LỚP 10

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC

Thành phố Hồ Chí Minh – 2020


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

Bùi Thị Cẩm An

HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN
CHỨA THAM SỐ
TRONG DẠY HỌC TOÁN LỚP 10
Chuyên ngành: Lí luận và phương pháp dạy học bộ mơn Tốn
Mã số

: 8140111

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
PGS. TS. LÊ THỊ HOÀI CHÂU

Thành phố Hồ Chí Minh – 2020


LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan luận văn này là cơng trình nghiên cứu của tơi dưới sự
hướng dẫn của PGS.TS. Lê Thị Hồi Châu, các trích dẫn được trình bày trong luận
văn hồn tồn chính xác và đáng tin cậy.
Tác giả
Bùi Thị Cẩm An


LỜI CẢM ƠN
Đầu tiên, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc, lời cảm ơn chân thành đến cô
PGS.TS Lê Thị Hồi Châu, người đã rất tận tình, tận tâm hướng dẫn, giúp đỡ và
động viên em rất nhiều trong suốt quá trình thực hiện luận văn. Đặc biệt, Cô đã luôn
tiếp thêm niềm tin và động lực cho em ở những lúc khó khăn nhất tưởng chừng như
khơng thể vượt qua.
Em cũng xin trân trọng cảm ơn PGS.TS Lê Văn Tiến, PGS.TS Lê Thái Bảo
Thiên Trung, TS. Vũ Như Thư Hương, TS. Nguyễn Thị Nga, TS. Tăng Minh Dũng
đã nhiệt tình giảng dạy, truyền thụ cho chúng em những kiến thức cơ bản và thú vị
về didactic toán. Em xin chân thành cảm ơn GS.TS. Annie Bessot và GS.TS. Hamid
Chaachoua đã có những góp ý quan trọng cho luận văn của em.
Em xin cảm ơn Ban giám hiệu trường, các Thầy, Cơ chun viên Phịng Sau
Đại học và Khoa Toán - Trường Đại học Sư phạm TP. Hồ Chí Minh đã tạo thuận
lợi trong suốt q trình học tập và làm luận văn.
Xin chân thành cảm ơn đến Ban giám hiệu, quý thầy cô và tập thể các em học
sinh trường THCS-THPT Nguyễn Khuyến đã tạo điều kiện thuận lợi giúp tơi hồn
thành luận văn này.
Lời cảm ơn chân thành tôi xin được gửi đến tất cả các bạn cùng lớp didactic

K28, đặc biệt là: chị Nguyễn Thị Nhân, em Phạm Thành Đạt, em Phạm Thị Hoàng
Yến- những người đã luôn giúp đỡ và động viên tôi trong suốt q trình học tập và
làm luận văn.
Cuối cùng, tơi xin bày tỏ lòng biết ơn đến những người thân u trong gia
đình. Đó là ba mẹ, chồng và các em của tôi đã luôn luôn bên cạnh chia sẻ, động
viên tinh thần, tạo điều kiện tốt nhất để tôi được học tập và hoàn thành luận văn.
Cảm ơn con gái Nguyễn Phương Thảo đã đồng hành cùng mẹ trong suốt quá trình
học tập cao học này.
Một lần nữa, em xin chân thành cảm ơn tất cả quý thầy cô, bạn bè, người thân
đã ở bên cạnh em trong suốt hơn hai năm vừa qua. Đặc biệt là sự tri ân của em đối
với cơ Lê Thị Hồi Châu. Kính mong Cô luôn khỏe và hạnh phúc.
Tác giả
Bùi Thị Cẩm An


MỤC LỤC
Trang phụ bìa
Lời cam đoan
Lời cảm ơn
Mục lục
Danh mục các chữ viết tắt
Danh mục các bảng
MỞ ĐẦU .................................................................................................................... 1
Chương 1. MỘT NGHIÊN CỨU QUAN HỆ THỂ CHẾ
TỪ CÁCH TIẾP CẬN SINH THÁI HỌC ........................................ 14
1.1. Mở đầu ............................................................................................................... 14
1.1.1. Tham số là gì? ............................................................................................ 14
1.1.2. Hệ phương trình tuyến tính xét về phương diện đối tượng ........................ 15
1.1.3. Hệ phương trình tuyến tính xét về phương diện cơng cụ ........................... 16
1.2. Giai đoạn đối tượng O được đưa vào giảng dạy ................................................ 18

1.2.1. Xét trên phương diện đối tượng ................................................................. 18
1.2.2. Xét trên phương diện công cụ .................................................................... 30
1.3. Giai đoạn đối tượng O không được đưa vào giảng dạy ..................................... 37
1.3.1. Xét trên phương diện đối tượng ................................................................. 38
1.3.2. Xét trên phương diện công cụ .................................................................... 45
1.4. Sự can thiệp của hệ phương trình bậc nhất hai ẩn chứa tham số ở mơn
Hóa học ............................................................................................................ 50
1.4.1. Phản ứng oxi hóa khử ................................................................................. 50
1.4.2. Xác định cơng thức phân tử của hợp chất hữu cơ ...................................... 52
1.5. Kết luận chương 1 .............................................................................................. 53
Chương 2. MỘT NGHIÊN CỨU THỰC NGHIỆM........................................... 56
2.1. Mục đích, đối tượng và hình thức thực nghiệm................................................. 56
2.1.1. Mục đích ..................................................................................................... 56
2.1.2. Đối tượng và hình thức thực nghiệm.......................................................... 56
2.2. Giới thiệu bài toán thực nghiệm ........................................................................ 57


2.3. Thực nghiệm bài tốn 1 ..................................................................................... 59
2.3.1. Phân tích tiên nghiệm bài tốn 1 ................................................................ 59
2.3.2. Phân tích hậu nghiệm bài toán 1 ................................................................ 63
2.4. Thực nghiệm bài toán 2 ..................................................................................... 66
2.4.1. Phân tích tiên nghiệm bài tốn 2 ................................................................ 66
2.4.2. Phân tích hậu nghiệm bài tốn 2 ................................................................ 68
2.5. Thực nghiệm bài tốn 3 ..................................................................................... 70
2.5.1. Phân tích tiên nghiệm bài tốn 3 ................................................................ 71
2.5.2. Phân tích hậu nghiệm bài toán 3 ................................................................ 71
2.6. Kết luận chương 2 .............................................................................................. 75
KẾT LUẬN .............................................................................................................. 76
DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO .............................................................. 77
PHỤ LỤC

DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT
1. CL

:

Chiến lược

2. HH

:

Hiện hành

3. HS

:

Học sinh

4. SBT

:

Sách bài tập

5. SGK

:

Sách giáo khoa

6. SGV

:

Sách giáo viên

7. KNV

:

Kiểu nhiệm vụ

8. PTTT :

Phương trình tuyến tính

9. THPT :

Trung học phổ thông


DANH MỤC CÁC BẢNG
Bảng 1.1 Kỹ thuật giải quyết KNV Tts: Giải hệ PTTT có tham số .......................... 15
Bảng 2.1. Thống kê các lời giải của học sinh ở bài toán 1 ....................................... 63
Bảng 2.2. Thống kê các lời giải của học sinh ở bài toán 2 ....................................... 68

1

MỞ ĐẦU
1. Những ghi nhận ban đầu và câu hỏi xuất phát
Như chúng ta biết, dạy - học toán ở trường trung học phổ thông (THPT) Việt
Nam được đánh dấu bởi cuộc cải cách giáo dục 1990 trên quy mô tồn quốc. Năm
1989, một chương trình mới được ban hành và kể từ 09/1990 sách giáo khoa (SGK)
biên soạn theo chương trình mới này đã thay thế cho những bộ sách cũ soạn theo
chương trình riêng cho từng miền trước đây. Theo đó, hệ phương trình bậc nhất hai
ẩn chứa tham số được đưa vào giảng dạy ở tất cả các lớp 10 trên tồn quốc.
Năm 2000, với mục đích giảm tải, chỉnh lý và hợp nhất, người ta thay SGK
một lần nữa ở bậc trung học. Kể từ đó, cả nước dùng chung một bộ SGK. Mặc dù
giai đoạn này người ta hạ thấp yêu cầu đối với một số nội dung tốn học nhưng đối
tượng hệ phương trình bậc nhất hai ẩn chứa tham số vẫn giữ một vị trí quan trọng.
Từ năm học 2006-2007, chương trình mơn Toán ở bậc THPT được biên soạn
lại. Những thay đổi về quan điểm dạy học Tốn ở phổ thơng dẫn đến những thay
đổi về chương trình mà trong đó có tri thức hệ phương trình bậc nhất hai ẩn. Cụ thể:
đối tượng hệ phương trình bậc nhất hai ẩn chứa tham số có tồn tại trong hầu hết các
chương trình cũ, nhưng biến mất trong chương trình hiện nay (chương trình cơ bản).
Một câu hỏi được chúng tơi đặt ra: liệu sự biến mất này có để lại hệ quả gì?
Liên quan đến câu hỏi đặt ra, chúng tơi tìm đến quan điểm của Thuyết nhân
học về sự tồn tại của các tri thức trong thể chế. Hình tượng hố sự tồn tại của các tri
thức trong thể chế như những sinh vật sống, các nhà nghiên cứu thừa nhận tư tưởng
về điều kiện sinh thái cho sự tồn tại và phát triển của các đối tượng:
“Mỗi sinh vật đều không thể sống tách biệt (không cần dựa vào đối tượng nào
để phát triển và bản thân nó cũng chẳng cần cho đối tượng nào khác), mà chỉ
có thể tồn tại trong một phức hệ tập trung quanh nó. Nó được nuôi dưỡng, phát
triển trong phức hệ ấy, và cũng cần cho sự sống của một số đối tượng khác
cùng tồn tại trong phức hệ”
(Lê Thị Hoài Châu, 2018, trang 70)

2
Ngoài ra, trong cách tiếp cận sinh thái của các đối tượng tri thức thì:
Hàng loạt vấn đề cần phải xem xét: Cái gì tồn tại, và vì sao? Rồi cả cái gì
khơng tồn tại, vì sao? Một đối tượng tri thức tồn tại với những điều kiện nào?
Trong tập hợp những điều kiện cụ thể, cuộc sống của đối tượng nào được thúc
đẩy, hay ngược lại, bị ngăn cản? Đặt trong một thể chế dạy học, những câu hỏi
này được phát biểu là: vì sao tri thức này được xem là cần dạy chứ không phải
là tri thức kia? Tri thức cần dạy được xây dựng như thế nào? Vì sao trình bày
nó ở dạng ấy? Nó phải chịu những ràng buộc nào?
(Lê Thị Hoài Châu, 2018, trang 75)

Hơn nữa, Chambris (2008) thừa nhận:
Một đối tượng không thể sống một cách tách biệt. Nó phải có thể xuất hiện
trong thể chế như là một phần của tổng thể có cấu trúc… Như vậy, nó phải ở
trong mối liên hệ với các đối tượng khác. Những nơi khác nhau mà ở đó các
mối liên hệ này được thắt nối với nhau tạo nên nơi cư trú cho đối tượng. Người
ta có thể xem như những mối liên hệ này tạo nên các mắt xích dinh dưỡng dưới
dạng dây chuyền, theo kiểu A được nuôi dưỡng nhờ B, B được nuôi dưỡng nhờ
C, … Những vai trò mà một đối tượng phải giữ trong lịng một cư trú của nó
được gọi là chức năng của đối tượng.
(Theo Lê Thị Hoài Châu, 2018, trang 76)

Từ ghi nhận này, chúng tôi đặt vấn đề: Vì sao tri thức hệ phương trình bậc
nhất hai ẩn cần tồn tại? Nếu nó khơng tồn tại thì mắt xích dinh dưỡng cho đối tượng
nào bị mất đi?
Và vì tốn học là một thể thống nhất nên sự biến mất đi của đối tượng hệ
phương trình bậc nhất hai ẩn chứa tham số có ảnh hưởng gì đến hoạt động toán học
về sau của HS?

2. Tổng quan các cơng trình có liên quan
Với những câu hỏi đã đặt ra định hướng cho việc nghiên cứu của mình, chúng
tơi tiến hành thu thập tài liệu và tổng hợp lại những kết quả tìm thấy liên quan đến
vấn đề dạy học hệ phương trình bậc nhất hai ẩn.


3
2.1. Về hệ phương trình bậc nhất hai ẩn
Ở nước ta, có rất nhiều nghiên cứu về hệ phương trình tuyến tính (PTTT). Đa
số các nghiên cứu này đều dùng hệ PTTT để minh họa cho các giải pháp nào đó về
dạy học hoặc trong mối liên hệ với các đối tượng khác. Ta biết rằng mỗi tri thức
toán học đều có hai phương diện: đối tượng và cơng cụ. Cả hai phương diện này
đều đã xuất hiện trong những cơng trình mà chúng tơi tham khảo.
Chẳng hạn luận văn của Phạm Anh Lý (2012) với đề tài: “Nghiên cứu việc dạy
học hệ phương trình bậc nhất hai ẩn trong mối liên hệ với mơ hình hóa tốn học”.
Trong luận văn này, hệ phương trình bậc nhất hai ẩn được xét trên phương diện đối
tượng trong mối liên hệ với mơ hình hóa. Tác giả làm rõ những đặc trưng và ràng
buộc của thể chế dạy học Việt Nam đối với việc dạy học hệ phương trình bậc nhất
hai ẩn trong mối liên hệ với mơ hình hóa tốn học. Theo đó, trong thể chế dạy học ở
bậc đại học, các bài tốn thực tiễn được giải quyết bằng cơng cụ hệ PTTT chỉ được
đề cập trong các giáo trình Đại số tuyến tính dành cho kinh tế. Ở đó, vấn đề mơ hình
hóa khơng được quan tâm. Tuy nhiên, ứng dụng của hệ PTTT trong các bài toán về
giá cả, chi phí… trong lĩnh vực kinh tế hồn tồn vắng bóng trong SGK phổ thơng
Việt Nam.
Tác giả cũng xây dựng đồ án dạy học bằng mơ hình hóa với khái niệm hệ
phương trình bậc nhất hai ẩn.
Ngồi ra hệ phương trình bậc nhất hai ẩn cịn được xét trong nghiên cứu của
Nguyễn Thị Minh Vân (2012) với đề tài “Nghiên cứu didactic về giải toán bằng
cách lập hệ phương trình ở THCS”. Ở đây tri thức đang bàn đến được xét trên
phương diện là công cụ để giải quyết bài tốn bằng cách lập hệ phương trình ở trung

học cơ sở. Tác giả cho thấy rằng giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình là một
phương pháp giải tốn gắn với thực tiễn, đó là giải các bài tốn có nội dung đề cập
đến những vấn đề xung quanh đời sống sinh hoạt, lao động và học tập.
Bằng cơng cụ lý thuyết là thuyết nhân học và lí thuyết tình huống (với khái
niệm hợp đồng didactic), tác giả tiến hành phân tích mối quan hệ thể chế với nội
dung giải tốn bằng cách lập hệ phương trình trên 2 bộ SGK lớp 9 ở Việt Nam:
Chương trình chỉnh lí hợp nhất năm 1994 và chương trình cải cách năm 2000.


4
Ngồi ra, tác giả cịn phân tích trên sách Mathématiques 3è trong bộ Triangle, bộ
sách của Pháp dành cho HS chương trình song ngữ Pháp-Việt ở Việt Nam. Theo đó,
trong cả thể chế dạy học Toán ở Pháp, thể chế dạy học Tốn ở Việt Nam thì giải bài
tốn bằng cách lập hệ phương trình xuất hiện với tư cách là phương pháp để giải các
bài toán thực tế, từ đó làm xuất hiện hệ phương trình bậc nhất hai ẩn. Những hệ
phương trình bậc nhất hai ẩn thu được khi “phiên dịch” từ bài toán thực tế đều là hệ
phương trình bậc nhất hai ẩn khơng chứa tham số, hệ phương trình được lập ln có
một nghiệm duy nhất, sau khi giải hệ, nghiệm của hệ cũng chính là nghiệm của bài
tốn thực tế ban đầu. Tuy nhiên, có một điểm khác nhau giữa hai thể chế, đó là thể
chế Việt Nam có ưu tiên hơn đối với kiểu nhiệm vụ (KNV) giải bài toán bằng cách
lập hệ phương trình, nó được bố trí riêng giữa hai đơn vị bài học và được trình bày
như là một kiến thức cần nhớ thay vì chỉ rút ra từ các ví dụ nhằm nhắm đến việc dạy
học một nội dung toán học khác đó là hệ phương trình bậc nhất hai ẩn như trong thể
chế dạy học ở Pháp. Vì được ưu tiên hơn nên trong thể chế dạy học Việt Nam,
những hệ phương trình thu được do “phiên dịch” từ các bài toán thực tế cũng trở
nên phức tạp hơn nhưng tất cả các hệ đó đều đưa về được hệ phương trình bậc nhất
hai ẩn khơng chứa tham số.
Trong luận văn của Trần Thị Mỹ Dung (2008) với đề tài “Nghiên cứu thực
hành của giáo viên trong dạy học hệ phương trình tuyến tính ở lớp 10” hệ PTTT
được nhìn từ góc độ tri thức tốn học, tri thức cần dạy, tri thức được dạy ở lớp 10.

Qua nghiên cứu này, chúng tôi nhận thấy rằng: Trong thể chể dạy học toán 10 hiện
hành, hệ PTTT được tiếp cận theo tiến trình đối tượng - cơng cụ. Theo đó, vai trò
đối tượng được chú trọng trong khi chức năng cơng cụ của nó chỉ thể hiện khá mờ
nhạt và khơng đầy đủ thơng qua một số ít bài tập. Đó là chỉ xuất hiện trong phần bài
tập gắn với các KNV: “Giải bài toán thực tế bằng cách lập hệ phương trình”, “Xét
vị trí tương đối của hai đường thẳng” hay “Xét sự đồng quy của các đường thẳng”.
Hơn nữa qua phân tích thực hành dạy học của giáo viên, tác giả cho thấy đa số giáo
viên ngày nay có quan tâm đến chức năng cơng cụ của hệ PTTT nhưng vì một số
ràng buộc mà họ đã khơng thực hiện hoặc chỉ thực hiện một cách hình thức.


5
Trong luận văn của Nguyễn Thị Như Hà (2005) với đề tài “Máy tính bỏ túi
trong dạy học tốn - Trường hợp hệ phương trình bậc nhất hai ẩn ở lớp 10” tác giả
cho thấy được vai trò của máy tính bỏ túi trong việc dạy học hệ phương trình bậc
nhất hai ẩn. Theo đó, SGK thí điểm 2003 giới thiệu hai kiểu sử dụng máy tính bỏ túi
để giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn khơng chứa tham số. Kiểu thứ nhất là dùng
quy tắc Cramer với sự hỗ trợ của máy tính bỏ túi, lúc này máy tính chỉ có vai trị hỗ
trợ tính tốn. Đối với kiểu sử dụng máy tính bỏ túi này thì các hệ số của hệ phương
trình thuộc tập Z hoặc Q. Kiểu thứ hai là dùng chương trình cài sẵn, HS chỉ việc
nhập dữ liệu, ấn phím và ghi kết quả cuối cùng. Đối với kiểu sử dụng máy tính bỏ
túi thứ hai này thì các hệ số thường là các số vơ tỷ hay số thập phân hữu hạn (có 1
hoặc 2 chữ số ở phần thập phân). Hệ phương trình được cho trong KNV “Giải hệ”
là hệ phương trình bậc nhất hai ẩn không chứa tham số. Trong chương trình trung
học phổ thơng thí điểm 2003, máy tính bỏ túi ngồi vai trị hỗ trợ tính tốn cịn được
khai thác ở việc tính gần đúng, kết hợp với sử dụng thuật tốn để giải hệ phương
trình. Tác giả cho rằng trong thể chế dạy học ở Việt Nam, chức năng của máy tính
bỏ túi là hỗ trợ tính tốn và kiểm tra kết quả phép tính.
2.2. Về đối tượng “tham số”
Các tham số luôn gắn tham số với một đối tượng nào đó trong Tốn học và

thường khơng có vị trí quan trọng trong những nghiên cứu mà chúng tơi tìm được.
Trong Phương trình tham số của đường trong Tốn và Vật lý bậc trung học
phổ thơng của Nguyễn Thị Quỳnh (2016), tham số được gắn với đối tượng phương
trình của đường trong Tốn và Vật lý. Trong chương trình Tốn ở bậc THPT hiện
hành, phương trình tham số của đường thẳng đóng vai trị như phương trình xác
định vị trí của điểm trên đường thẳng, nghĩa là ứng với mỗi tham số t, thì có một
điểm trên đường thẳng. Tham số được xem như một tham biến bất kỳ. Cịn trong
chương trình Vật lý ở bậc trung học phổ thơng hiện hành, phương trình tham số của
đường xuất hiện thơng qua khái niệm phương trình chuyển động của chất điểm - là
phương trình tọa độ chất điểm theo thời gian t, lúc này tham số là thời gian t.
Chương trình cũng khơng đề cập gì đến mối quan hệ giữa Toán và Vật lý đối với
khái niệm phương trình tham số của đường thẳng hay ý nghĩa của tham số t. Tác giả


6
cũng đã chỉ ra rằng trong dạy học Toán THPT, phương trình tham số của đường
thẳng trong mặt phẳng có vai trị cơng cụ để giải quyết các bài tốn liên quan đến
đường thẳng như xét vị trí tương đối, tính khoảng cách, góc. Bên cạnh đó, khái
niệm phương trình tham số còn được sử dụng trong vật lý để nghiên cứu sự chuyển
động của một vật.
Về phần mình, sau khi tìm hiểu khái niệm tham số, phương trình chứa tham
số, tác giả Lê Tấn Phú (2012) phân tích thể chế dạy học toán ở lớp 10 và lớp 12
Việt Nam. Tác giả chỉ ra rằng tham số gây một số khó khăn khi HS giải quyết
những kiểu nhiệm vụ liên quan đến chứa tham số trong chủ đề phương trình và hàm
số chứa tham số. Theo tác giả, tham số trong phương trình chứa tham số và tham số
trong hàm số cho bằng biểu thức chứa tham số đều có bản chất là hằng số nhưng là
những số tùy ý (số cố định tạm thời), đôi khi hạn chế trong những giới hạn nhất
định. Như vậy tham số có tính chất kép: Cố định- tự do. Tính chất kép này của tham
số gây ra một số khó khăn cho HS khi giải quyết KNV “Giải và biện luận phương
trình chứa tham số”. Tuy nhiên, khi kết hợp với môi trường Casyopée thực hiện

KNV trên sẽ làm HS hiểu rõ tính chất kép của tham số. Điều này khắc phục khó
khăn hiểu rõ tính chất kép của tham số trong mơi trường truyền thống, từ đó giúp
HS hiểu rõ bản chất của bài tốn.
Nguyễn Thùy Trang (2006) thì nghiên cứu đối tượng algorit và tham số trong
dạy học chủ đề phương trình ở trường trung học phổ thơng. Tác giả gắn nghiên cứu
của mình với Hệ phương trình bậc nhất nhiều ẩn”
Trước hết, tác giả nghiên cứu khái niệm algorit, tham số và phương trình chứa
tham số trong tốn học. Sau đó tác giả xem xét đối tượng này trong thể chế dạy học
Toán THPT ở Việt Nam trong ba giai đoạn Cải cách giáo dục 1990, Chỉnh lý hợp
nhất 2000, chương trình thí điểm 2003. Tham số là một khái niệm có tên nhưng
chưa được định nghĩa chính xác về mặt toán học (paramathématique). Tác giả đưa
ra một số mô tả về khái niệm tham số:
 Tham số: Đại lượng mà giá trị của nó được dùng để phân biệt các phần tử của
một tập hợp nào đó


7
 Tham số khơng phải là một thuật ngữ tốn học, được sử dụng trái với ẩn số,
nhằm để mô tả một vài hoặc một số lớn các hệ số mà người ta muốn đưa ra một
đề nghị hay các cách giải một hệ phương trình.
 Thay vì là số, các hệ số của một phương trình có thể phụ thuộc vào một hay
nhiều tham số. Người ta gọi tham số là một chữ đại diện cho một số thực cố
định nhưng khơng xác định.
 Khơng có sự khác nhau cơ bản giữa hằng số và biến số. Tất cả phụ thuộc vào
suy luận mà trong đó chữ được đưa vào. Trong một số suy luận, với cùng một
chữ nhưng đầu tiên được xem như là hằng số, sau đó, được xem như là biến số
(hoặc ngược lại). Trong trường hợp này, chữ có tên gọi là tham số.
 Cho hàm số f(x), ngồi đối số ra cịn có các chữ a, b, c,… Nếu trong việc khảo
sát và nghiên cứu, ta xem các chữ a, b, c,… như đã biết thì chúng gọi là tham
số, hay thơng số hay tham biến.

 Trong các bài toán chứa tham số, người ta phải xem xét đối tượng tham số ở hai
khía cạnh:
+ Tham số cố định: Cho phép xét tham số như một giá trị số.
+ Tham số có độ tự do: Dưới sự điều khiển của các ràng buộc, điều kiện cụ thể
của bài toán mà nảy sinh sự phân chia trường hợp. Khi từng điều kiện, ràng buộc
đã thỏa mãn thì tham số lại xuất hiện ở tính cố định. Tiến trình này gọi là biện
luận.
Như vậy, tham số trong phương trình chứa tham số hay tham số trong hệ
phương trình chứa tham số mang hai nghĩa: Cố định và có độ tự do.
3. Định hướng nghiên cứu của chúng tơi
Từ những tóm tắt ngắn gọn những cơng trình trên, chúng tơi quan tâm đến hệ
phương trình bậc nhất hai ẩn có chứa tham số. Chúng tơi tiến hành một nghiên cứu
về cuộc sống của đối tượng này trong thể chế dạy học Toán THPT ở Việt Nam qua
các giai đoạn. Tìm kiếm sự khác nhau giữa các giai đoạn, từ đó nghiên cứu về ảnh
hưởng của nó đến các đối tượng khác (Hình học, các mơn khoa học như Hóa học,
các bài tốn thực tế…). Như vậy đề tài sẽ tập trung vào hệ phương trình bậc nhất
hai ẩn chứa tham số trên phương diện công cụ. Nhưng, khác với những cơng trình


8
trên, chúng tơi nhìn nó theo cách tiếp cận sinh thái của Thuyết Nhân học, nghiên
cứu ảnh hưởng của việc nó biến mất đối với HS.
4. Phạm vi lý thuyết tham chiếu
Vì “Didactic mang lại những cơng cụ hữu hiệu lí giải các hiện tượng trong
giảng dạy và học tập” (Annie Bessot et al., trang 9) nên chúng tôi vận dụng lý
thuyết diactic Toán, cụ thể là Thuyết Nhân học với các khái niệm quan hệ cá nhân,
quan hệ thể chế, tổ chức tri thức, hệ sinh thái làm khung lý thuyết tham chiếu cho
luận văn của mình.
4.1. Quan hệ thể chế, quan hệ cá nhân
Ba khái niệm cơ bản của lý thuyết về quan hệ thể chế và quan hệ cá nhân là

đối tượng, cá nhân và thể chế.
Một đối tượng tri thức O tồn tại đối với cá nhân X là chủ thể của một thể chế I
ngay khi X nhận ra O. Ta nói X hoặc I biết O. Nói cách khác, O tồn tại đối với X
nếu tồn tại một mối quan hệ cá nhân của X với O. Có thể xem quan hệ cá nhân này
như tập hợp tất cả những tác động qua lại mà X có với O (cảm nhận về O, sử dụng
O, nói về O, nghĩ về O,…). Tương tự như vậy, đối tượng tri thức O tồn tại với thể
chế I nếu tồn tại một mối quan hệ thể chế của I với O. Mối quan hệ thể chế này cho
biết O xuất hiện ở đâu, như thế nào, với vai trị gì trong I, giữ quan hệ nào với các
đối tượng tri thức khác của I.
Phân tích mối quan hệ thể chế của I đối với một đối tượng tri thức O nào đó
trong thể chế là tìm câu trả lời cho câu hỏi: O xuất hiện trong I như thế nào, với
những đặc trưng gì, vai trị ra sao, giữ quan hệ thế nào với các đối tượng tri thức
khác của I.
Phân tích quan hệ cá nhân của X với O là làm rõ những đặc trưng của nó và
đánh giá những điểm phù hợp, khơng phù hợp của quan hệ cá nhân này so với quan
hệ thể chế với cùng đối tượng tri thức O.
Trong luận văn này, chúng tôi quan tâm đến mối quan hệ thể chế R(I, O) với I
là thể chế dạy học Toán ở trường THPT. O là hệ phương trình bậc nhất hai ẩn chứa
tham số. Việc nghiên cứu quan hệ thể chế R (I, O) sẽ cho phép chúng tôi trả lời
phần nào cho câu hỏi ở ghi nhận 1.


9
4.2. Tổ chức tri thức
Đây là một khái niệm quen đã được sử dụng1 trong nhiều cơng trình nghiên
cứu và các luận văn thạc sĩ về Lí luận và Phương pháp dạy học bộ mơn tốn, nên
chúng tơi chỉ giới thiệu một cách ngắn gọn.
Mỗi tổ chức tri thức được hình thành từ một KNV T. T được giải quyết bởi một kĩ
thuật . Kĩ thuật 𝜏 được giải thích hoặc được tạo ra bởi công nghệ 𝜃 và công nghệ
𝜃 lại được hợp thức hóa bởi lý thuyết  . Một bộ gồm bốn thành phần T , ,  ,  

được gọi là một tổ chức tri thức.
(Lê Thị Hoài Châu, 2018, trang 112)

Việc xây dựng các tổ chức tri thức gắn với đối tượng O sẽ cho phép chúng tôi
vạch rõ mối quan hệ thể chế R (I, O), từ đó góp phần giải thích được trong dạy học
Tốn 10, đối tượng hệ phương trình bậc nhất hai ẩn chứa tham số xuất hiện như thế
nào qua những lần thay đổi chương trình và SGK.
4.3. Hệ sinh thái
Chúng tơi đặt nghiên cứu của mình trong cách tiếp cận sinh thái với các khái
niệm hệ sinh thái của đối tượng tri thức: nơi cư trú, chức năng, nhu cầu dinh dưỡng.
Để tìm câu trả lời cho câu hỏi về sự tồn tại hay không tồn tại của một đối
tượng tri thức chúng ta nên xem xét những nơi mà đối tượng này hay đối tượng liên
đới với nó “cư trú”. Artaud M (1998) đã nói:
“Nên xem xét những nơi khác nhau mà ở đó ta tìm thấy đối tượng này hay
những đối tượng liên đới với nó. Ta gọi những nơi chốn ấy là “nơi cư trú” của
đối tượng. Sau đó, tại mỗi địa điểm đã xác định, cần phải xem xét chức năng
sinh thái của đối tượng, nghĩa là chức năng mà nó chiếm giữ”.
(Theo Lê Thị Hoài Châu, 2018, trang 75)

Khi nghiên cứu về sự tồn tại hay biến mất của đối tượng hệ phương trình bậc
nhất hai ẩn chứa tham số, trước hết chúng tôi xem xét “nơi cư trú” của đối tượng
này. Sau đó, tại mỗi địa điểm đã xác định, chúng tơi xem xét chức năng sinh thái
của nó. Từ đó chúng tơi muốn tìm hiểu xem sự tồn tại hay khơng tồn tại này có ảnh
Dưới tên gọi praxéologie, vốn là từ gốc do Chevallard đưa ra. Trong cuốn “Thuyết nhân học
trong Didactic Tốn, tác giả Lê Thị Hồi Châu (2018) đã đề nghị dịch thuật ngữ praxéologie là tổ
chức tri thức.
1


10

hưởng gì đến sự hiểu biết của HS và ngồi ra ảnh hưởng gì đến sự tồn tại của một
vài tri thức khác trong chương trình hay khơng? Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn
chứa tham số có thể tác động được vào những tri thức nào và bị tác động bởi những
tri thức nào?
Hơn nữa, Chambris (2008) đã nói:
Một đối tượng khơng thể sống một cách tách biệt. Nó phải có thể xuất hiện
trong thể chế như là một phần của tổng thể có cấu trúc… Như vậy, nó phải ở
trong mối liên hệ với các đối tượng khác. Những nơi khác nhau mà ở đó các
mối liên hệ này được thắt nối với nhau tạo nên nơi cư trú cho đối tượng. Người
ta có thể xem như những mối liên hệ này tạo nên các mắt xích dinh dưỡng dưới
dạng dây chuyền, theo kiểu A được nuôi dưỡng nhờ B, B được ni dưỡng nhờ
C… Những vai trị mà một đối tượng phải giữ trong lòng một cư trú của nó
được gọi là chức năng của đối tượng.
(Theo Lê Thị Hồi Châu, 2018, trang76)

Việc đi tìm câu trả lời cho câu hỏi vì sao cần tồn tại đối với tri thức hệ phương
trình bậc nhất hai ẩn chứa tham số trong chương trình Tốn THPT sẽ giúp chúng tơi
chỉ ra được chính hệ phương trình bậc nhất hai ẩn chứa tham số sẽ tạo nên những
mắt xích dinh dưỡng cho các đối tượng nào khác?
5. Mục tiêu và câu hỏi nghiên cứu
5.1. Mục tiêu
Trả lời cho câu hỏi: Sự biến mất của tri thức hệ phương trình bậc nhất hai ẩn
chứa tham số trong SGK Toán 10 cơ bản hiện hành khiến cho mắt xích dinh dưỡng
cho đối tượng nào mất đi và gây khó khăn, ảnh hưởng gì đến việc giải quyết các bài
tốn về sau của HS?
5.2. Câu hỏi nghiên cứu
Trong khuôn khổ của lý thuyết tham chiếu đã chọn, hai câu hỏi nghiên cứu
ban đầu được trình bày bằng 3 câu hỏi cụ thể sau:
Câu hỏi 1: Trong tốn học, Tham số là gì? Hệ phương trình chứa tham số
được trình bày như thế nào? Vai trò của tham số trong hệ PTTT chứa tham số là gì?

11
Câu hỏi 2: Trong thể chế dạy học Toán ở bậc THPT, tham số và hệ phương
trình chứa tham số được trình bày như thế nào? Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn
chứa tham số là mắt xích dinh dưỡng cho những đối tượng nào khác?
Câu hỏi 3: Sự biến mất của tri thức hệ phương trình bậc nhất hai ẩn chứa tham
số trong thể chế dạy học Toán trung học phổ thơng ảnh hưởng gì đến hoạt động
thực tế của HS?
(Hoạt động thực tế bao gồm giải quyết các bài tốn thực tế, học các mơn học
khác như hình học, hóa học…)
6. Phương pháp nghiên cứu và cấu trúc của luận văn
Luận văn của chúng tôi nhắm đến việc tìm ra câu trả lời thỏa đáng cho ba câu
hỏi nêu trên.
Đối với câu hỏi thứ nhất, chúng tôi sẽ phân tích, tổng hợp lại một số kết quả
đã có của Trần Thị Mỹ Dung (2008), Nguyễn Thùy Trang (2005), Lê Tấn Phú
(2012) về tham số và hệ phương trình chứa tham số nhằm chỉ ra các yếu tố trả lời
cho câu hỏi này.
Đối với câu hỏi thứ hai và thứ ba, chúng tơi sẽ phân tích chương trình và SGK
tốn phổ thơng để làm rõ mối quan hệ thể chế với đối tượng hệ phương trình bậc
nhất hai ẩn chứa tham số trong thể chế dạy học Toán ở bậc THPT giai đoạn Cải
cách giáo dục 1990, Chỉnh lý hợp nhất 2000, hiện hành. Chúng tơi sẽ giải thích vì
sao có sự lựa chọn ba giai đoạn này.
Như chúng ta biết Cải cách giáo dục ở Việt Nam là các thay đổi lớn trong hệ
thống giáo dục phổ thông và đại học tại Việt Nam sau năm 1976 bao gồm những
thay đổi liên quan tới chương trình giáo dục, nội dung SGK, phương pháp dạy học,
cách thức thi tốt nghiệp phổ thông và tuyển sinh đại học. Từ năm 1976 tới nay, với
việc ban hành và sửa đổi Luật giáo dục ở các đợt khác nhau (1998, 2005, 2009), hệ
thống giáo dục Việt Nam liên tục có nhiều thay đổi. Cụ thể:
+1975 khi đất nước thống nhất, ở Việt Nam có hai cấu trúc hệ thống giáo dục

song song tồn tại, đó là: miền Bắc tiếp tục hệ 10 năm và miền Nam tiếp tục hệ 12
năm. Sự khác nhau về hệ thống cơ cấu giáo dục đòi hỏi Đảng và ngành giáo dục


12
phải nhanh chóng có biện pháp cụ thể để thống nhất hệ thống giáo dục phổ thông tại
hai miền theo một cơ cấu hệ thống thống nhất trong cả nước.
+Đến năm 1981, thì cho áp dụng hệ 11 năm cho miền Bắc (thêm lớp 5). Năm
1992-1993, hệ thống 11 năm phổ thông của miền Bắc được thay đổi từ 11 năm sang
12 năm (thêm lớp 9). Từ đó đến nay toàn bộ hệ thống là 12 năm thống nhất cả nước.
Cuộc cải cách giáo dục bắt đầu từ năm 1981: Hệ thống giáo dục chuyển từ 10 năm
sang 12 năm (bỏ lớp vỡ lòng), kéo theo sự đổi mới chương trình SGK.
+1981-1992: Giai đoạn này SGK mỗi năm thay một lớp, bắt đầu từ lớp 1 vào
năm 1981, đến 1992 thì thực hiện đến lớp 12, kết thúc vịng cải cách thống nhất hệ
thống giáo dục và chương trình trên toàn quốc.
+Trước năm 2000, nước ta tồn tại ba bộ SGK trung học phổ thông khác nhau
ở hai miền Nam, Bắc. Ba bộ sách này viết theo cùng một chương trình, dùng bộ nào
là do các sở chọn.
+Năm 2000, người ta hợp nhất ba bộ SGK của giai đoạn trước đây theo tinh
thần giảm nhẹ nội dung và yêu cầu đối với HS.
+Năm 2006, SGK soạn theo chương trình phân ban bắt đầu được triển khai.
Hiện nay cả nước đang thực hiện theo chương trình phân ban gồm chương trình
nâng cao (sử dụng bộ SGK nâng cao) và chương trình cơ bản (Sử dụng bộ SGK cơ
bản).
Như vậy giai đoạn 1990 đánh dấu cuộc cải cách giáo dục trên toàn quốc, nên
trong khuôn khổ một luận văn, chúng tôi chọn phân tích SGK ba giai đoạn: Giai
đoạn Cải cách giáo dục 1990, giai đoạn Chỉnh lý hợp nhất 2000 và giai đoạn hiện
hành.
Việc nghiên cứu mối quan hệ thể chế với đối tượng hệ phương trình bậc nhất
hai ẩn chứa tham số trên ba giai đoạn như trên giúp chúng tơi có thể làm rõ ảnh

hưởng của việc khơng đưa hệ phương trình bậc nhất hai ẩn chứa tham số vào
chương trình tốn 10 cơ bản hiện hành lên việc giải quyết các hoạt động thực tế của
HS.


13
Tổng hợp kết quả của hai phân tích trên để đề xuất các câu hỏi mới hay giả
thuyết nghiên cứu từ đó xây dựng tình huống thực nghiệm cho phép tìm câu trả lời
cho các câu hỏi mới hay đưa vào thử nghiệm giả thuyết nghiên cứu đã đặt ra ở trên.


14

Chương 1
MỘT NGHIÊN CỨU QUAN HỆ THỂ CHẾ
TỪ CÁCH TIẾP CẬN SINH THÁI HỌC
1.1. Mở đầu
Trước khi nghiên cứu thể chế, chúng tôi điểm lại một số vấn đề về hệ PTTT
chứa tham số.
Việc làm rõ những đặc trưng của hệ PTTT chứa tham số nhìn từ góc độ một tri
thức toán học là quan trọng. Tuy nhiên như đã trình bày ở phần tổng quan, về vấn
đề hệ PTTT đã có một số cơng trình nghiên cứu như Trần Thị Mỹ Dung (2008),
Nguyễn Thùy Trang (2005), Lê Tấn Phú (2012). Do đó bằng phương pháp phân tích
chủ yếu là tổng hợp và kế thừa các kết quả nghiên cứu về tham số, hệ phương trình
chứa tham số của các tác giả trên, chúng tôi tổng kết một số nội dung mà chúng tôi
quan tâm.
 Trước hết chỉ ra được vai trị của tham số trong hệ phương trình chứa tham
số.
 Kế đến, chúng tôi xem xét hệ PTTT chứa tham số xét trên phương diện đối
tượng và xét trên phương diện cơng cụ.

Từ đó, chúng tơi tìm câu trả lời cho CH1: Trong tốn học, Tham số là gì? Hệ
phương trình chứa tham số được trình bày như thế nào? Vai trò của tham số trong
hệ PTTT chứa tham số là gì?
1.1.1. Tham số là gì?
Tham số trong hệ phương trình chứa tham số được hiểu là biến chỉ dạng và
được xét ở hai khía cạnh: Tham số cố định, tham số có độ tự do.
+ Tham số cố định: Cho phép xét tham số như một giá trị số.
+ Tham số có độ tự do: Dưới sự điều khiển của các ràng buộc, điều kiện cụ thể
của bài toán mà nảy sinh sự phân chia trường hợp. Khi từng điều kiện, ràng
buộc đã thỏa mãn thì tham số lại xuất hiện ở tính cố định. Tiến trình này gọi là
biện luận.
Ví dụ: Khi tính thu nhập của một người lao động dựa trên tiền lương và số giờ
làm việc (thu nhập = tiền lương x số giờ làm việc), người ta thường cho rằng số giờ


15
làm việc dễ dàng thay đổi còn mức lương cố định trong một thời gian nào đó. Khi
đó, tiền lương có thể xem là tham số cố định và thu nhập là tham số có độ tự do.
Như vậy tham số trong hệ PTTT chứa tham số đều có bản chất là hằng số
nhưng là những số tùy ý (số cố định tạm thời), đôi khi hạn chế trong những giới hạn
nhất định. Như vậy, tham số có tính chất kép: cố định - tự do. Vậy khái niệm tham
số chuyển hóa vào SGK Tốn THPT như thế nào?
Chúng tơi sẽ tiến hành phân tích thể chế để trả lời cho câu hỏi này.
1.1.2. Hệ phương trình tuyến tính xét về phương diện đối tượng
Dựa vào kết quả nghiên cứu của Trần Thị Mỹ Dung (2008), Nguyễn Thùy
Trang (2005) chúng tơi tóm tắt trong bảng dưới những kỹ thuật giải các hệ PTTT
chưa tham số.
Bảng 1.1. Kỹ thuật giải quyết KNV Tts: Giải hệ PTTT có tham số
 Cr - Kỹ thuật đưa về hệ
( m.n )

ts

T

- Giải hệ PTTT
có tham số

có số PT và số ẩn bất kỳ

Cramer

 G  J - Kỹ thuật Gauss- Jordan

 G - Kỹ thuật Gauss
 D - Kỹ thuật định thức

Tts( n,n ) - Giải hệ PTTT

có tham số
có số PT và số ẩn bằng nhau

 Cr - Kỹ thuật đưa về hệ

Cramer

 G  J -Kỹ thuật Gauss- Jordan

 G -Kỹ thuật Gauss
Trong bảng trên, chúng tôi liệt kê lại những kỹ thuật mà các tác giả đã chỉ ra
để giải quyết hai KNV Tts(m,n) , Ttsn.n . Tên các KNV, kỹ thuật và hệ thống ký hiệu của

tác giả được chúng tôi giữ nguyên. Tên mỗi kỹ thuật mà tác giả đưa ra dựa vào cơng
nghệ mà kỹ thuật đó sử dụng.
Tham chiếu với tri thức tốn học, trong chương trình Tốn THPT hệ PTTT
nghiên cứu hai trường hợp đó là hệ phương trình bậc nhất hai ẩn và hệ phương trình


16
bậc nhất ba ẩn. Trong khuôn khổ một luận văn, chúng tơi chọn hệ trường hợp hệ
phương trình bậc nhất hai ẩn.
Như vậy, trong chương trình Tốn THPT, đối với KNV: “Giải hệ phương
trình bậc nhất hai ẩn” có ba kỹ thuật để giải quyết, đó là kỹ thuật thế, kỹ thuật cộng,
kỹ thuật định thức. Trong đó, kỹ thuật thế và kỹ thuật cộng thường được ưu tiên cho
việc giải hệ khơng chứa tham số, cịn kỹ thuật định thức tỏ ra hiệu quả đối với giải
hệ có tham số.
1.1.3. Hệ phương trình tuyến tính xét về phương diện cơng cụ
Theo tác giả Trần Thị Mỹ Dung (2018), có ba kiểu nhiệm vụ thường gặp trong
hình học mà ở đó hệ PTTT can thiệp với tư cách là cơng cụ, đó là:
 KNV: “Biểu thị tuyến tính một vectơ qua một hệ hữu hạn các vectơ”
 KNV: “Xét vị trí tương đối của hai cái phẳng”
 KNV: “Tìm giao của các phẳng”.
Trong chương trình tốn THPT, tương ứng với ba KNV trên lần lượt là các
KNV sau:
 KNV “Phân tích một vectơ theo tổng của hai vectơ cho trước”
 KNV “Xét vị trí tương đối giữa hai đường thẳng”, “Xét vị trí tương đối giữa
hai mặt phẳng” hoặc “Xét vị trí tương đối giữa đường thẳng và mặt phẳng”
 KNV “Tìm giao điểm của hai đường thẳng” hoặc “Giao của đường thẳng và
mặt phẳng” hoặc “Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng”.
Trong khuôn khổ của một luận văn, chúng tơi sẽ tìm hiểu vai trị cơng cụ của
hệ phương trình bậc nhất hai ẩn chứa tham số trong việc giải quyết các KNV “xét vị
trí tương đối giữa hai đường thẳng trong mặt phẳng Oxy”, “Tìm giao tuyến của hai

mặt phẳng trong khơng gian Oxyz”.
Ngồi ra, chúng tơi cũng nhận thấy rằng hệ phương trình bậc nhất hai ẩn chứa
tham số cũng là công cụ để giải quyết các bài tốn thực tế. Chúng tơi dùng thuật
ngữ “giải bài tốn thực tế” để nói về tất cả những KNV mà lời giải địi hỏi phải có
sự can thiệp của hệ phương trình bậc nhất hai ẩn chứa tham số. KNV này có trong
cuộc sống, trong các mơn khoa học khác như Hóa học, …
Từ những tổng kết trên, chúng tôi đặt ra câu hỏi:


17
Việc tồn tại hay khơng tồn tại hệ phương trình bậc nhất hai ẩn chứa tham số
trong chương trình Tốn hiện nay thì với KNV “Giải bài tốn thực tế”, “Xét vị trí
tương đối giữa hai đường thẳng trong mặt phẳng Oxy”, “Tìm giao tuyến của hai
mặt phẳng trong khơng gian Oxyz” được trình bày ra sao, được giải quyết như thế
nào?
Để trả lời được câu hỏi trên, chúng tôi làm rõ mối quan hệ thể chế với đối
tượng hệ phương trình bậc nhất hai ẩn chứa tham số. Để viết ngắn gọn, chúng tôi
dùng ký hiệu O để chỉ đối tượng này. Như đã nói ở phần mở đầu, trong ba giai đoạn
Cải cách giáo dục 1990, Chỉnh lý hợp nhất 2000 và hiện hành, đối tượng hệ phương
trình bậc nhất hai ẩn chứa tham số được đưa vào giảng dạy trong chương trình Tốn
THPT giai đoạn Cải cách giáo dục 1990, Chỉnh lý hợp nhất 2000, nâng cao hiện
hành. Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn chứa tham số hồn tồn vắng bóng khỏi
chương trình cơ bản hiện hành. Vì thế trong phân tích mối quan hệ thể chế dưới
đây, chúng tôi chia ra hai giai đoạn:
 Giai đoạn đối tượng O được đưa vào giảng dạy: Khi xem xét cả ba
chương trình Tốn THPT giai đoạn Cải cách giáo dục 1990, Chỉnh lý hợp nhất
2000, nâng cao hiện hành, chúng tơi nhận thấy có sự tương đồng trong việc đưa đối
tượng O vào, vì thế trong khn khổ của một luận văn, giai đoạn này chúng tôi lựa
chọn một đại diện để phân tích, đó là chương trình nâng cao hiện hành. Tài liệu
dùng để phân tích đó là:

+ Đồn Quỳnh (tổng chủ biên) (2018), Đại số 10 nâng cao, Nxb Giáo dục.
+ Nguyễn Huy Đoan (chủ biên) (2018), Sách bài tập Đại số 10 nâng cao, Nxb
Giáo dục.
+ Đồn Quỳnh (tổng chủ biên) (2018), Hình học 10 nâng cao, Nxb
Giáo dục.
+ Văn Như Cương (tổng chủ biên) (2010), Sách bài tập Hình học 10 nâng cao,
Nxb Giáo dục.
+ Đồn Quỳnh (tổng chủ biên) (2018), Hình học 12 nâng cao, Nxb
Giáo dục.